Klasyczna formuła Ayrton-Perry [R2-3]

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
[Imperfekcje projektowe z odchyłek wykonawczych] [poprzednie R2-2]  ⇐  ⊗   ⇒ [następne R2-4] [Uogólnienie formuły Ayrton-Perry]

Geneza metod imperfekcyjnych nieodłącznie jest związana z klasyczną metodą projektowania pręta ściskanego i zginanego z użyciem współczynnika wyboczeniowego.

Historia współczynnika wyboczeniowego rozpoczyna się już w IX wieku pracą Ayrton i Perry (Ayrton, Perry, 1886). Teoria sformułowana w tej pracy została podstawą praktyki normalizacyjnej w wielu krajach. Podejście (Robertson, 1925) jest podstawą brytyjskich norm od prawie 100 lat (w odmianie (Godfrey, 1962) ). (Dutheil, 1950) przedstawił wersję używaną we Francji. Teoria Ayrton-Perry jest podstawą współczesnej formacji współczynników wyboczeniowych w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) i innych normach Eurokod. Teoria współczynników wyboczeniowych Ayrton-Perry jest hipotezą, wspomaganą badaniami eksperymentalnymi. Wobec tego hipotezą podlegającą weryfikacji eksperymentalnej, jest również powszechnie wykorzystywany wzór na naprężenia w pręcie zginanym momentem M i ściskanym siłą osiową N:

$$\begin {equation} \sigma= \cfrac{M}{W} + \cfrac{N}{\chi \cdot A} \label{2-3.1} \end {equation}$$

gdzie: $\chi$  – współczynnik wyboczeniowy, A- pole przekroju, W – wskaźnik wytrzymałości,

Sumowanie naprężeń normalnych od zginania oraz ściskania w sposób określony powyższą formułą należy traktować jako użyteczną, inżynierską aproksymację, umożliwiającą projektowanie konstrukcji prętowych w dobie przed-informatyzacyjnej. Obecnie, wraz z powszechnym stosowaniem obliczeń numerycznych w projektowaniu konstrukcji oraz stosowaniem nowych zaawansowanych technologii i programów obliczeniowych – era współczynnika wyboczeniowego jest schyłkowa i wchodzimy w erę metody imperfekcyjnej (Chodor, 2016).

Klasyczna teoria Ayrton-Perry

Formuła  Ayrton-Perry (APF)

W roku 1886 eksperci z dziedziny elektryczności i magnetyzmu William Ayrton i John Perry przedstawili jedną z najdłużej stosowanych teorii w wymiarowaniu konstrukcji budowlanych – teorię ściskania słupa z imperfekcjami. Na przestrzeni lat przedstawiane były rozmaite zapisy postacie tej formuły u wynikającego z niej współczynnika wyboczeniowego. Przedstawiamy kilka równoważnych postaci formuły Ayrton-Perry APF, której wyprowadzenie zaprezentowano poniżej.

Klasyczna postać

Teoria Perry-Robertson jest dzisiaj podstawą obliczania współczynników wyboczeniowych (Dwight, 1975) w postaci zaprezentowanej w roku 1920 przez  (Robertson, 1925) na naprężenia w pręcie z imperfekcjami  $\sigma_{imp}$, jako pierwiastek równania kwadratowego ($\ref{2-3.33}$)):

$$ \begin {equation} \sigma_{imp} =1/2 \cdot  \left \{ f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)-\sqrt{[f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)]^2 – 4 f_y \sigma_{cr} }  \right \} \label{2-3.2} \end {equation}$$

gdzie parametr imperfekcji:

$$ \begin {equation} \Theta= e_0 \cdot \cfrac{A}{W }\label{2-3.3} \end {equation}$$

$e_0$ jest amplitudą początkowego wygięcia pręta,  $A$- polem przekroju pręta, $W$ – wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie. Formuła ($\ref{2-3.2}$) może być zapisana dla każdego kierunku wyboczenia pręta (y, z), a w każdym przypadku należy brać odpowiednie do tego kierunku wartości $e_0$ oraz $W$.

Zwarta postać

Po przekształceniach formalnych oryginalny zapis ($\ref {2-3.2}$) formuły APF można przedstawić w zwartej formie

$$ \begin {equation} (\sigma_{cr} -\sigma_{imp})\cdot (f_y-\sigma_{imp})=\sigma_{imp}\cdot \sigma_{cr}\cdot \Theta \label{2-3.4} \end {equation}$$

Klasyczne wyrażenie na współczynnik wyboczeniowy

Definicja smukłości względnej elementu (1-1.3)  może być zapisana w naprężeniach, co uzyskujemy  poprzez  podstawienia: $N_{cr}=\sigma_{cr} \cdot A$ oraz $N_R=f_y \cdot A$. w postaci:

$$ \begin {equation}  \overline \lambda = \sqrt{\cfrac{f_y}{\sigma_{cr} }} \label{2-3.5} \end {equation}$$

Z definicji ($\ref{2-3.5}$) naprężenia krytyczne można zapisać jako:

$$ \begin {equation}  \sigma_{cr}=\cfrac {f_y}{\overline \lambda^2} \label{2-3.6} \end {equation}$$

Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ występujący w formule ($\ref{2-3.1}$) zdefiniowany w naprężeniach jest stosunkiem naprężeń w pręcie z imperfekcjami $\sigma_{imp}$ do wytrzymałości materiału $f_y$:

$$ \begin {equation}  \chi = \cfrac{\sigma_{imp}}{f_y}\label{2-3.7} \end {equation}$$

Po podzieleniu obu stron ($\ref{2-3.2}$) przez granicę plastyczności $f_y$ i uwzględnieniu, ($\ref{2-3.6}$)  oraz ($\ref{2-3.7}$)  otrzymamy zależność  współczynnika wyboczeniowego   od smukłości pręta  ($\ref{2-3.5}$) lub (1-1.3) w postaci

$$\begin {equation} \chi= 1/2 \cdot \left [ (1+\overline \Theta) – \sqrt{ (1+\overline \Theta)^2 – \cfrac{4}{ \overline \lambda^2} } \right ] \label {2-3.8} \end {equation}$$

gdzie wprowadzono względny parametr imperfekcji

$\overline \Theta=\cfrac{1+\Theta}{\overline \lambda^2}$

Postać da Silva

Formuła ($\ref{2-3.8}$)może być przekształcona do zwartej, choć uwikłanej postaci (da Silva, Simoes,, Gervasio, 2010)

$$ \begin {equation} (1-\chi)\cdot (1- \overline \lambda^2 \cdot \chi ) =\Theta \cdot \chi \label{2-3.9} \end {equation}$$

a parametr imperfekcji ($\ref{2-3.3}$) może być zapisany w postaci

$$ \begin {equation}  \Theta=\alpha \cdot (\overline \lambda -\overline \lambda_0) \label{2-3.10} \end {equation}$$

gdzie:
$\alpha$ wg Tab. (1-3-2),
$\overline \lambda_0$ wg formuły (1-3-2)

skąd otrzymujemy wyrażenie na strzałkę wygięcia imperfekcji łukowej

$$ \begin {equation}   e_0=\alpha \cdot (\overline \lambda -\overline \lambda_0) \cdot \cfrac{W}{A} \label{2-3.11} \end {equation}$$

Zapis współczynnika wyboczeniowego da Silva ($\ref{2-3.9}$), parametru imperfekcji ($\ref{2-3.10}$) oraz  imperfekcji łukowej ($\ref{2-3.11}$) jest przydatny w opisie alternatywnej metody imperfekcyjnej AIM.

Postać Eurokod

Po przekształceniach ($\ref{2-3.8}$) można uzyskać standardową postać formuły APF, stosowaną współcześnie w normach Eurokod  do projektowania konstrukcji budowlanych:

$$ \begin {equation} \chi^2+\chi\cdot\left[ -1-\cfrac{1}{ \overline \lambda^2}( 1-\Theta) \right ] +\cfrac{1}{ \overline \lambda^2}=0 \label{2-3.12} \end {equation}$$

Z rozwiązania równania kwadratowego ($\ref{2-3.12}$) względem współczynnika wyboczeniowego  $\chi=\cfrac{N}{A\cdot f_y}$ otrzymujemy znaną formułę stosowaną w w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006):

$$\begin{equation} \chi_{*}=\cfrac{1}{\Phi_{*} +\sqrt{\Phi_{*}^2+\overline \lambda_{*}^2}} \text { lecz  $ \chi_{*} \le 1$ }\label {2-3.13} \end{equation}$$

Formułę ($\ref{2-3.13}$) podano w zapisie uogólnionym na kilka rodzajów wyboczenia
„*” : $(*= [_, LT, T, TF]$= [ wyboczenie, zwichrzenie,skrętne, giętno-skrętne]).

Współczynnik pomocniczy $\Phi$ oblicza się z zależności:

$$\begin{equation} \Phi_{*}=1/2 \cdot \left ( 1+\Theta_{* }+ \overline \lambda_{*}^2 \right ) \label{2-3.14}\end {equation}$$

Parametr imperfekcji l($\ref {2-3.10}$) zapisany z indeksami rodzajów wyboczenia przyjmuje podstać.

$$\begin{equation} \Theta_{*}= \alpha_{*} \cdot (\overline \lambda _{*} -\overline \lambda_{*,0})  \label{2-3.15}\end {equation}$$

Wyprowadzenie formuły APF

Na Rys. 2-3.1 pokazano model pręta analizowany przez Ayrton i Perry. W połowie rozpiętości pręta założono amplitudy wygięcia : początkową (imperfekcję pręta) $e_0=w_0(L/2)$, a po obciążeniu (ugięciu) $e=w(L/2)$.

Rys. 2-3.1 Model pręta Ayrton-Perry

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Teorię Ayrton-Perry przedstawimy w ujęciu klasycznym. Analizę problemu belki-słupa z imperfekcją łukową według teorii wyższych rzędów przedstawiono w pracach, (Frish-Fay, 1962), (Godoy, Mook, 1996), (Shaw, 1972) i in.

Moment zginający przekrój o współrzędnej  $x$ wynosi: w stanie początkowym $M_0 (x)=P\cdot w_0 (x)$, a po obciążeniu pręta

$$ \begin {equation} M(x)=P\cdot[w_0(x)+w(x)] \label {2-3.15a} \end {equation}$$

Moment zginający jest jednocześnie przeskalowaną krzywizną pręta zgodnie z zależnością:

$$ \begin {equation} M(x)=-EI \cfrac{d^2 w(x)}{dx} \label {2-3.16} \end {equation}$$

Układ równań ($\ref{2-3.15a}$)+($\ref{2-3.16}$)  można sprowadzić do jednego równania różniczkowego zagadnienia

$$ \begin {equation}  EI w”(x) +Pw(x) = -Pw_0 (x) \label {2-3.17} \end {equation}$$

Przyjmijmy, że wygięcia wstępne są dowolną funkcją, spełniającą warunki brzegowe $w_0(0)=w_0 (L)=0$, $w_0 (L/2)=e_0$. Po rozwinięciu tej funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera i zachowaniu pierwszego wyrazu, otrzymamy

$$ \begin {equation} w_0 (x) =e_0 \sin{\cfrac{\pi x}{L}} \label {2-3.18} \end {equation}$$

Z rozwiązania Eulera wynika, że kształt taki odpowiada pierwszej postaci wyboczonej idealnego pręta przegubowo-przegubowego. Po podstawieniu ($\ref{2-3.18}$) do ($\ref{2-3.17}$) i wprowadzeniu oznaczenia

$$ \begin {equation} \alpha^2 =\cfrac {P}{EI} \label {2-3.19} \end {equation}$$

otrzymamy równanie różniczkowe ściskania pręta z imperfekcjami:

$$ \begin {equation} w” +\alpha^2 \cdot w = -\alpha^2 \cdot e_0 \cdot \sin{ \cfrac{\pi x}{L}}\label {2-3.20} \end {equation}$$

Całką ogólną tego równania jest:

$$ \begin {equation} w_o (x) = A \sin{ \alpha x} + B \cos { \alpha x}  \label {2-3.21} \end {equation}$$

a całką szczególną:

$$ \begin {equation} w_{imp} (x)= C \sin{ \cfrac{\pi x}{L}} \label {2-3.22} \end {equation}$$

Po wykonaniu różniczkowania ($\ref{2-3.22}$) i podstawieniu do ($\ref{2-3.20}$), otrzymamy wyrażenie na stałą C w postaci:

$$ \begin {equation} C=\cfrac{e_0}{ (\tfrac{\pi} {\alpha L})^2-1}= \cfrac{e_0}{\tfrac{P}{P_{cr}} -1} \label {2-3.23} \end {equation}$$

gdzie uwzględniono tożsamość:

$$ \begin {equation}  \left ( \cfrac{\pi} {\alpha L} \right )^2= \left (\cfrac{\pi^2 EI} {L^2} \right ) / (EI \alpha^2) =\cfrac {P_{cr}}{P}\label {2-3.24} \end {equation}$$

Siłę krytyczną $P_{cr}$ zdefiniowano w  (1-1.5) (przy oznaczeniu $N_{cr}$) i jest ona obliczana dla $L_{cr}=L$ , a $P=EI \alpha^2$  z definicji ($\ref{2-3.19}$).

Zupełne  rozwiązanie równania ($\ref{2-3.20}$) jest sumą całki ogólnej ($\ref{2-3.21}$) i szczególnej ($\ref {2-3.22}$) i po uwzględnieniu ($\ref{2-3.23}$), wynosi:

$$ \begin {equation} w(x)=A \sin{\alpha x}+B \cos{\alpha x}+\cfrac{e_0}{\tfrac{P_{cr}}{P}-1}\cdot \sin{\pi x/L}   \label {2-3.25} \end {equation}$$

Warunki brzegowe zapiszemy w postaci:

$$ \begin {equation}  w(0)=0 \to B=0 \, ; \quad w(L)=0 \to A\cdot \sin{kL}=0  \label  {2-3.26} \end {equation}$$

Jeśli $A \neq 0$ , to $kL = n \pi$  i mamy zbiór rozwiązań, prowadzących do klasycznego wyniku Eulera, a kolejne obciążenia krytyczne wynoszą:

$$ \begin {equation}  P_{cr,1}=\cfrac{\pi^2 EI}{L^2} \, ; \quad P_{cr,2}=\cfrac {4\pi^2 EI}{L^2} \, \quad itd \label {2-3.27} \end {equation}$$

W rozważanym przypadku interesuje nas obciążenie $P_{cr,1}$ , co zachodzi dla $A =0$ , skąd po uwzględnieniu  ($\ref{2-3.18}$) otrzymujemy:

$$\begin {equation} w(x)= \cfrac { e_0 \sin {\pi x/L} } { \tfrac{P_{cr}}{P} -1}=\cfrac{w_0(x)} { \Lambda_{cr} -1} \label {2-3.28} \end {equation}$$

gdzie $\Lambda_{cr}=\cfrac{P_{cr}}{P}$ – mnożnik obciążenia krytycznego zdefiniowany w (1-1.13).

Z przekształcenia ($\ref{2-3.24}$ ) można uzyskać znane wyrażenie na całkowite ugięcie belki z imperfekcjami:

$$\begin {equation} w= w(x)+w_0 (x) = w_0 (x) \cdot \left ( 1+ \cfrac{1} { \Lambda_{cr}-1} \right )= \cfrac{w_0(x)}{1- \tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}=a_\Lambda \cdot w_0(x) \label {2-3.29} \end {equation}$$

gdzie współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}= \cfrac{1}{1-\tfrac{1}{\Lambda_{cr}}}$ zdefiniowano w (1-1.12) .

Amplituda całkowitego ugięcia wynosi:

$$\begin {equation} e =a_{\Lambda} \cdot e_0 \label {2-3.30} \end {equation}$$

Ponieważ w najbardziej wytężonym (środkowym) przekroju pręta siły przekrojowe wynoszą: siła osiowa $N=P$, moment zginający $M_{max} = P \cdot e = P \cdot a_{\Lambda} \cdot  e_0$, więc naprężenia w środkowym przekroju pręta wynoszą

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\cfrac {N}{A}+ a_\Lambda \cfrac{P\cdot e_0}{W} \label {2-3.31} \end {equation}$$

Po wprowadzeniu parametru $\Theta$ ($\ref{2-3.3}$) i oznaczeniu $\sigma=N/A$, oraz $\sigma_{cr}=N_{cr}/A$ zależność ($\ref{2-3.31}$) można zapisać w postaci:

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\sigma \cdot  [ 1+ \Theta \cdot  ( 1- \cfrac{\sigma}{\sigma_{cr}} ) ]  \label {2-3.32} \end {equation}$$

Stąd po uporządkowaniu, w granicznym stanie plastycznym (dla $\sigma_{max}= f_y$ ) otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na naprężenie w pręcie $\sigma$

$$\begin {equation} \sigma^2- \sigma [f_y + \sigma_{cr} (\Theta +1) ] + f_y \cdot \sigma_{cr}=0 \label {2-3.33} \end {equation}$$

Po rozwiązaniu algebraicznego równania ($\ref{2-3.33}$) jako pierwiastek  $\sigma_{imp}$, czyli punkt równowagi równania kanonicznego pręta z imperfekcją, uzyskujemy formułę Ayrton-Perry ($\ref{2-3.2}$) .

Efekt P-δ

Formuła ($\ref{2-3.30}$) wyraża prawo amplifikacji ugięcia przy ściskaniu, to znaczy zwiększanie przemieszczenia poprzecznego przez ściskanie, który jest często nazywany efektem P-δ (lub P-„małe delta”).

$$\begin {equation} w(x)=a_{\Lambda}  \cdot w_o(x) \label {2-3.34} \end {equation}$$

gdzie   $w_0(x)$ jest ugięciem pod obciążeniem oszacowanymi wg teorii 1. rzędu, to znaczy nie musi być imperfekcją lecz ugięciem przed „zadziałaniem siły osiowej”. Zależność ($\ref {2-3.34}$) pokazano na Rys. 2-3.2b dla $ \delta =w(L/2)$

Rys. 2-3.2 Oznaczenia, b) Wykres P-δ, c) Wykres Southwella

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

 Wykres Southwella

Ciekawe zastosowanie ma wykres, pokazany na Rys. 2-3.2c. Przedstawia on zależność uzyskaną z ($\ref {2-3.34}$),  przekształconą do postaci parametrycznej, jak następuje:

$$\begin {equation} \delta = \left [ a \cdot \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) \right ] \quad \to \quad \left [\delta \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) -\delta =a \right ]   \quad \to \quad \left [  \left ( \cfrac{P_{cr}}{P} \right ) = \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \cdot \delta + \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \right ] \label {2-3.35} \end {equation}$$

Wykres znany, jako wykres Southwella pozwala wyznaczyć siłę krytyczną  na podstawie serii pomiarów siły obciążającej pręt P i odpowiadających ugięć δ przed utratą stateczności, czyli bez doprowadzania pręta do wyboczenia.

W pracy (Rykaluk, 2012) omówiono dalsze szczegóły metody Southwella w tym jej zastosowanie dla pręta ściskanego siłami na mimośrodzie i wyznaczanie imperfekcji zastępczej.

Formuła Robertson

(Robertson, 1925) zaproponował, aby parametr imperfekcji w formule Perry ($\ref{2-3.2}$ ) przyjmować o wartości:

$$\begin {equation} \Theta=0,003 \lambda \label {2-3.36} \end {equation}$$

gdzie smukłość pręta $\lambda$ jest zależna od warunków brzegowych (zamocowania końców pręta.

Propozycja ($\ref{2-3.29}$) była arbitralna. W rzeczywistości parametr imperfekcji zależy od szeregu czynników, takich jak: typ przekroju (spawany, walcowany, itp.), ustawienie osi przekroju, symetrii przekroju, dokładność wytwórczych, naprężeń resztkowych, itd.
W kolejnych latach po przeprowadzeniu dużej liczby pomiarów lepsze dopasowanie do wyników uzyskiwano dla:

$$\begin {equation} \Theta=0,0003 \lambda^2  \label {2-3.37} \end {equation}$$

Formuła ($\ref {2-3.2}$) z hipotezą ($\ref{2-3.37}$) jest podstawą zastosowania współczynnika wyboczeniowego we współczesnych normach konstrukcyjnych w postaci analogicznej do pokazanej na Rys. 2-3.3, na którym  pokazano przykładowo dwie krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson, obie dla słupa ściskanego siłą , z przekrojem o takiej o nośności $P_R$ , wykonanego ze stali $ f_y=300 \, MPa$, ale dla różniących się parametrów imperfekcji: $\Theta= 0,00002 \lambda^2$ lub $\theta=0,0004 \lambda^2$ . Zwróćmy uwagę, że niewielka różnica parametru imperfekcji prowadzi do znacznych różnic między krzywymi wyboczeniowym

Rys. 2-3.3. Krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005))

Teoria Perry-Robertsona oprócz hipotecznego doboru parametru imperfekcji jest obarczona większą wadą: dotyczy prętów sprężystych, a rzeczywiste słupy mają smukłości tak małe, że  nie jest słuszna dla nich teoria Eulera, a w ślad za nią również teoria Perry-Robertsona.

Doprowadzenie teorii do zgodności z pomiarami eksperymentalnymi jest możliwe poprzez mnożenie wielu krzywych wyboczeniowych zależnych od szeregu czynników. Zalecana w niniejszym podręczniku bezpośrednia metoda imperfekcyjna rozwiązuje te wieloznaczności.

Krzywe wyboczeniowe w normach światowych na tle eksperymentów

Krzywe wyboczeniowe zarówno prętów ściskanych (wyboczenie gietne) jak i belek (wyboczenie boczne – zwichrzenie) były przedmiotem licznych badań dobrej jakości, które są gromadzone w międzynarodowych bazach danych. Na Rys. 2-3.4 pokazano przykładowe wyniki badań doświadczalnych stalowych słupów (a) i belek (b), zgromadzone w japońskiej bazie danych (Fukumoto, 1982), opracowane na podstawie  447 eksperymentów na słupach oraz 418 na belkach o przekroju HE oraz IPE walcowanych i spawanych. Zaczernione kółka oznaczają eksperymentalną wartość średnią  współczynnik wyboczenia giętnego  lub współczynnika zwichrzenia  zebranych z szerokości podstawy strzałki, czyli przedziału smukłości względnej . Rozrzut obserwowanych współczynników wynoczeniowych oznaczono słupkiem. Podstawa strzałki sięga do wartości charakterystycznej współczynnika wyboczeniowego, obliczonej jako kwantyl rozkładu normalnego , gdzie jest odchyleniem standardowym pomiarów w klasie (współczynniki zmienności współczynnika wyboczeniowego wynosiły od kilku do 15%.

Rys. 2-3.4. Normowe krzywe wyboczeniowe na tle danych doświadczalnych:a) wyboczenie giętne słupów, b) wyboczenie boczne (zwichrzenie) belek

(opracowano z wykorzystaniem danych z pracy (Fukumoto, 1982))

Na tle wyników badań wrysowano europejskie krzywe wyboczeniowe EC3 oraz japońską krzywą wyboczenia giętnego JRA. W każdym przypadku krzywe wyboczeniowe są bezpiecznym, dolnym oszacowaniem współczynnika wyboczeniowego.

Nie obserwuje się statystycznie istotnej potrzeby różnicowania na typy krzywych wyboczeniowych, a wystarczająca wydaje się być krzywa JRA położona pomiędzy europejskim typem „b” i „c”.

Na Rys. 2-3.5 porównano krzywe wyboczenia bocznego (zwichrzenia) prezentowane w innych normach światowych: amerykańskiej (AISC, 1993), australijskiej(AS4100, 2004) oraz kanadyjskiej na tle normy europejskiej EC3  Różnice pomiędzy nimi występują szczególnie w zakresie prętów o smukłości . W tym  niesprężystym obszarze pracuje większość rzeczywistych prętów. Na przykład dla  różnica między normą europejską EC3 a amerykańską AISC wynosi 28%. W przypadku pręta ściskanego (wyboczenia giętnego) różnice między wytycznymi norm świata są mniejsze (Galambos, Surovek, 2008), choć przekraczają wymaganą dokładność obliczeń wytrzymałościowych, która zwyczajowo wynosi 2%.

Z analizy zagadnienia wynika, że złożoność zjawiska utraty stateczności wymaga dokładniejszych metod od dostarczanych przez normowe formacje współczynników wyboczeniowych. Współczesne metody powinny być zgodne z fizyką zjawiska, a mniej z zaleceniami norm, które z natury rzeczy są kompromisem bezpieczeństwa, uniwersalności i prostoty wytycznych. Metoda współczynników wyboczeniowych jest obecnie zastępowana bezpośrednimi metodami imperfekcyjnymi, opisanymi w niniejszej pracy.

Rys.2-3.5 Porównanie normowych, światowych krzywych wyboczeniowych przy zwichrzeniu

(opracowano na podstawie (Galambos, Surovek, 2008))

Uwagi do  wyboczenia pręta w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej

Rozkład sztywności w statycznie niewyznaczalnych konstrukcjach wpływa na rozdział sił praktycznie we wszystkich rzeczywistych systemach. Dotyczy to również kratownic, które konstruuje się i współcześnie oblicza jak system prętów sztywno połączonych w węzłach.

Załóżmy, że w dowolnej, statycznie niewyznaczalnej konstrukcji pręt [e] uległ wyboczeniu podczas wzrostu obciążenia całej konstrukcji. Ponieważ wskutek wyboczenia sztywność osiowa elementu [e] zmniejsza się, to również siła przekrojowa ulega zmniejszeniu. Wobec tego nowa siła może być niewystarczającą do tego, by utrzymywać pręt w stanie wyboczenia. Taką sytuację nazwiemy „ucieczką” pręta przed wyboczeniem. W numerycznych procedurach geometrycznie nieliniowych opisane zjawisko można w prosty sposób poprawnie uwzględnić. W obliczeniach klasycznych i normowych zjawisko „ucieczki pręta przed wyboczeniem” jest pomijane. Można wykazać, że w niektórych przypadkach podejście takie jest zbyt konserwatywne (prowadzi do nieuzasadnionego przewymiarowania pręta).

Współczynnik wyboczeniowy dla pręta z imperfekcją mimośrodową

Rys. 2-3.6. Imperfekcja mimośrodowa

Rozważmy słup pokazany na Rys. 2-3.6 z imperfekcją mimośrodową $e_0$  przyłożenia obciążenia $P$.

Równanie różniczkowe zagadnienia  można w tym przypadku zapisać w postaci:

$$\begin {equation} EI_y w” = – M(x)=- P(e_0+w) \label {2-3.38} \end {equation}$$

Rozwiązaniem tego równania jest:

$$\begin {equation} w (x) =e_0 \cdot \left ( \cos kx +\cfrac{1- \cos kL}{\sin kL} \right ) \sin kx -1 \label {2-3.39} \end {equation}$$

Strzałka ugięcia:

$$\begin {equation} \delta = w(L/2) = e_0 \cdot \left ( \cfrac { \sec{kL}}{2} -1 \right ) = e_0 \cdot    \sec{ \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{P}{P_{cr}}} \right )} \label {2-3.40} \end {equation}$$

W środku słupa siła osiowa wynosi $N=P$. Naprężenia maksymalne wystąpią w skrajnym punkcie przekroju o współrzędnej $z_{max}$:

$$\begin {equation}  \sigma_{max} = \cfrac{N}{A}+ \cfrac{N\cdot e_0}{I_y} \cdot z_{max} = \cfrac{N}{A} \cdot \cfrac {\Theta}{ \cos { \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}} \right )}} \label {2-3.41} \end {equation}$$

gdzie parametr imperfekcji $\Theta = \cfrac{e_0 \cdot z_{max}}{I_y}$ zdefiniowano w ($\ref{2-3.3}$).

Po uwzględnieniu $N_{cr}=\overline \lambda^2 \cdot N_R$  zależność ($\ref{2-3.41}$)  w granicznym stanie plastycznym, (dla $N = N_R=A\cdot f_y$) można zapisać w postaci

$$\begin {equation}  \sigma_{max} = \cfrac{N}{A \cdot \chi_e } \label {2-3.42} \end {equation}$$

gdzie współczynnik wyboczeniowy $\chi_e$ dla modelu mimośrodowej imperfekcji wynosi:

$$\begin {equation}  \chi_e= \cfrac {1} {\Theta} \cdot  \cos { \left ( \cfrac { \pi } {2 \cdot \overline \lambda } \right )} \label {2-3.43} \end {equation}$$

gdzie $\Theta$ wg formuły ($\ref{2-3.10}$).

Porównanie współczynników wyboczeniowych z modelu łukowego i mimośrodowego

Na rys. 2-3.7 naniesiono porównanie wartości mimośrodowego współczynnika wyboczeniowego ($\ref{2-3.42}$) z wartością normową ($\ref{2-3.13}$)

Dokładność przybliżenia przez wiele lat była wystarczająca w obliczeniach inżynierskich, prowadzonych metodami „ręcznymi”. Uogólnienie zagadnienia na przypadek jednoczesnego zginania poprzecznego ( zginania z udziałem sił poprzecznych) i ściskania pręta nic nie zmieni z punktu widzenia formalizmu matematycznego, a prowadzi do jeszcze większych rozbieżności.

W dobie informatycznej jest szansa na stosowanie rozwiązań poprawnych matematycznie na gruncie teorii geometrycznie nieliniowej NLG. Obliczenia nieliniowe 2 rzędu są standardem współczesnych programów komputerowych. W ten właśnie sposób przechodzimy do przedmiotu niniejszej pracy, czyli teorii imperfekcyjnej,  ideowo omówionej w pracy (Chodor, 2016).


[następne R2-4] [Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa]


Niniejszy artykuł jest częścią 3. rozdziału 2. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji artykułu:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika.  Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami.

(2019-04-08 do 15) wersja 1,0: wersja pierwotna
(2019-05-27) Wersja 2.0: dokonano podziału rozdziału na części w celu poprawy procesu wczytywania strony 

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w rozdziale

AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed (1993). Chicago: American Institute of Steel Construction.
AS4100. Australian Standard AS4100, Steel Structures. Standards Australia (2004). North Sydney, New South Wales, Australia.
Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Butterworth, J. W. (2005, August). Column Buckling. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering. Retrieved from http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~jbut030/Courses/CIVIL211/Column_Buckling_Notes.pdf
Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25–202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
Dutheil, J. (1950). Le Flambement et le Deversement. Bulletin Bimestriel de La Societe Royale Des Ingenieurs et Des Industriels, (3).
Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions = Rapports des commissions de travail AIPC = IVBH Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 (1975)). Retrieved from http://dx.doi.org/10.5169/seals-19829
Frish-Fay, R. (1962). Flexible Bars , Lecturer of Civil Engineering University of New South Wales,. Butterworth & Co (Publisher)  London.
Fukumoto, Y. (1982). Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures. Der Stahlbau, (1).
Galambos, T. V., & Surovek, A. E. (2008). Structural stability of steel: Concepts and Applications for structural engineers. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., Hoboken.
Godfrey, G. B. (1962). The Allowable Stresses in Axially Loaded Steel Struts. The Struct. Engr, 40(3).
Godoy, L. A., & Mook, D. T. (1996). Higher-order sensitivity to imperfections in bifurcation buckling analysis. Int.J.Solid Struct., 33(4), 511–520.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers.
Rykaluk, K. (2012). Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne.
Shaw, F. S. (1972). Virtual displacements and analysis of structures. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall.
da Silva, L. S., Simoes, R., & Gervasio, H. (2010). Design of Steel Structures: Eurocode 3: Designof Steel Structures, Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings (Eccs Eurocode Design Manuals). EU: Wiley.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »