Klasa przekroju stalowego

Klasy przekroju stalowego klasyfikują odporność elementu z uwagi na utratę stateczności ścianek przekroju (miejscową utratę stateczności) oraz ze względu na możliwość obrotu w wymaganym przegubie plastycznym i z tych względów wyróżniamy cztery klasy przekrojów stalowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006). Generalną zasadą jest to, że klasyfikacja przekroju musi być dokonana na podstawie warunków obciążenia przekroju z uwzględnieniem łącznego działania sił przekrojowych wywołujących naprężenia normalne [NEd, MyEd, MzEd] oraz dla wszystkich kombinacji obciążeń. Zasada superpozycji nie obowiązuje. Sklasyfikowanie przekroju jest wymagane na poziomie: analizy globalnej, wyznaczania nośności elementu z uwzględnieniem stateczności, a także projektowania  przekroju.

Spis treści

Idea klas przekrojów stalowych

Podstawą klasyfikacji przekrojów prętów są  spostrzeżenia:

1.  Pręty stalowe zachowują się różnie w zależności od typu przekroju kształtownika. Różnice występują  pomiędzy prętami o takich samych integralnych charakterystykach geometrycznych [A, Iy,Iz] w zależności od tego z jak grubych ścianek są wykonane.

2. Najbardziej pożądanym zachowaniem prętów jest plastyczne wyczerpanie nośności wskutek ukształtowania  się takiej liczby przegubów plastycznych (przekrojów w pełni uplastycznionych), które prowadzą do pojawienia się mechanizmu plastycznego. W takim przypadku wykorzystujemy zapasy nośności pręta w stanie plastycznym i możemy zaoszczędzić na materiale pręta  ok. kilkanaście procent  lub więcej (do 30 procent po uwzględnieniu redystrybucji naprężeń w całym systemie) w stosunku do tradycyjnie stosowanej analizy w zakresie sprężystym.

3. Niestety nie zawsze dochodzi do pełnego mechanizmu plastycznego. Analizę plastyczną możemy stosować do prętów z przekrojami krępymi ( o dużej grubości ścianek) . Są to przekroje klasy 1 lub  w części klasy 2. Jeśli nie ma warunków do plastycznienia przekroju, to przekrój zniszczy się sprężyście i wtedy zalicza go do klasy wyższej (3-ciej lub 4-tej).

4. Nie zawsze będziemy mogli stosować klasyczną analizę sprężystą (klasa 3), bowiem przy smukłych ściankach ( o małej grubości) przed wyczerpaniem nośności sprężystej może dojść do utraty stateczności miejscowej ścianki i należy przekrój pręta zmodyfikować poprzez wyłączenie z pracy tych części ścianek, które uległy utracie stateczności.  Taki przekrój ma klasę 4-tą.

Klasa przekroju ścieżki

Rys.1. Klasyfikacja przekrojów stalowych

 (Biegus, 2013)

Na rys.1 opisane spostrzeżenia zilustrowano na przykładzie ścieżki równowagi (M,Θ)=(moment zginający, kat obrotu przekroju) dwuprzęsłowej belki z przekrojami różnej klasy.
Belka wykonana z kształtownika o przekroju krępym  (klasy 1) będzie miała ścieżkę równowagi opisaną literami ODABC,  zniszczy się na skutek uruchomienia mechanizmu plastycznego, mechanizm zniszczenia zajdzie po utworzeniu dwóch przegubów plastycznych i przekrój osiągnie nośność plastyczną Mpl=Wpl·fd.

Belka wykonana z kształtownika o przekroju klasy 2 będzie miała ścieżkę równowagi opisaną literami ODAB,  zniszczy się na skutek utworzenia jednego przegubu plastycznego, ale nie utworzą się w pełni kolejne przeguby ze względu na niewystarczające obroty w tych przekrojach, to znaczy osiągnie nie osiągnie pełnej nośności plastycznej Mpl, ale będzie miała nośność większą od sprężystej Mel.

Belka wykonana z kształtownika o przekroju klasy 3 będzie miała ścieżkę równowagi opisaną literami ODAE,  zniszczy się na skutek utworzenia uplastycznienia jednego punktu przekroju, to znaczy osiągnie nośność sprężystą Mel=Wel·fd.

Belka wykonana z kształtownika o przekroju klasy 4 będzie miała ścieżkę równowagi opisaną literami ODFG,  zniszczy się na skutek uplastycznienia jednego punktu przekroju, to znaczy osiągnie nośność sprężystą Mel=Wel·fd

Belka wykonana z kształtownika o przekroju klasy 2 będzie miała ścieżkę równowagi opisaną literami ODG,  zniszczy się na skutek utraty nośności przez przekrój zredukowany po wyłączeniu tych części ścianek, które utraciły stateczność i osiągnie nośność efektywną , agosnie  teorią nośności zakrytycznej: Meff =Weff·fd.

Możemy przyjąć definicje:

Klasa pierwsza – odnosi się do przekrojów które osiągają nośność plastyczną, a przeguby plastyczne mają pełną możliwość obrotu niezbędną do redystrybucji momentów zginających.

Klasa druga – są to przekroje wątpliwe, które osiągają ograniczoną nośność plastyczną, ze względu na ograniczoną możliwość obrotu w wymaganym przegubie plastycznym, przez co uniemożliwiona  jest pełna redystrybucja momentów zginających.

Klasa trzecia – przekroje tej klasy nie osiągają nośności przegubu plastycznego, ale osiągają nośność sprężystą, obserwowaną wraz z początkiem uplastycznienia dowolnego punktu w przekroju.

Ścianki elementów konstrukcyjnych o przekrojach klasy 1, 2 i 3 nie tracą stateczności miejscowej, a do przekrojów stosowana jest nazwa – przekroje krępe.

Klasa czwarta  dotyczy elementów cienkościennych osiągających nośność zakrytyczną, która jest mniejsza niż nośność sprężysta, ze względu na utratę stateczności miejscowej przez ściankę przekroju (wybrzuszenie, zwichrowanie, itp). Przekroje klasy 4 popularnie nazywa się przekrojami smukłymi.

Na rys. 2 pokazano rozkłady naprężeń w zginanych przekrojach poszczególnych klas: rozkład plastyczny dla klasy 1 i 2, rozkład sprężysty dla klasy 3 oraz rozkład sprężysty zredukowany dla klasy 4.

Klasy przekroju zginanego - rodzaje analizy

Rys.2. Nośności przekrojów stalowych jednokierunkowo zginanych, klasy przekrojów i odpowiadające rokłady naprężeń w przekroju

 (Griner, Jaspart, Weynand, Ziller, Oereder, Herbrand, 2012)

Klasę przekroju ustala się w zależności od smukłości ścianek λ=c/t , tworzących przekrój oraz do stopnia ściskania ścianek (w całości lub częściowo). Na rys. 3 pokazano sposób wyznaczania wymiarów c i t ścianek przekroju.  Klasa przekroju ustalana jest zgodnie z najwyższą klasą dowolnej ścianki. W istocie powinniśmy mówić więc o klasie ścianek przekroju. Alternatywnie  określa się dwie klasy przekroju: ze względu na środnik i ze względu na pasy.

Klasa przekroju definicja szerokości i grubości ścianki

Rys.3. Definicja szerokości c i grubości t ścianki do wyznaczania jej smukłości

 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)

Przekroje walcowane zaprojektowano tak, że w przypadku zginania przekroju ich ścianki spełniają warunki klasy 1 . Każdy zginany względem osi większej sztywności przekrój walcowany jest klasy 1 i nie potrzeba tego sprawdzać dodatkowymi rachunkami.

Dla przekrojów rozciąganych nie określa się klasy przekroju.

Procedura klasyfikowania przekroju

Procedura określania klasy przekroju stalowego jest następująca:

Przez domniemanie przekrój jest klasy 1

Podstawową metodą projektowania elementów stalowych jest projektowanie w granicznym stanie plastycznym. Możliwość projektowania w innych stanach granicznych, to znaczy w granicznym stanie sprężystym, krytycznym bądź zakrytycznym MUSI być każdorazowo uzasadniona przez wykazanie że konstrukcja zniszczy się przed osiągnięciem nośności plastycznej. Oznacza to, że przez domniemanie przyjmuje się, że przekrój jest klasy 1.

Jeśli przekrój jest walcowany na gorąco i zginany, to jest klasy 1 i kończymy procedurę. Efekty niestateczności uwzględnimy przy wymiarowaniu elementu.

Sprawdzenie czy przekrój jest klasy 1, 2 czy wyższej

W przypadku przekrojów innych niż walcowane i walcowanych, ale pracujących w złożonym stanie naprężenia – sprawdzamy warunki pkt. 5.6. (Wymagania dotyczące przekrojów w analizie plastycznej) (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006), umożliwiające kwalifikację  do klasy 1,2.  Jeśli przekrój ich nie spełnia, to należy go zakwalifikować do klasy wyższej (3 lub 4). Przy tym jeśli przekrój nie będzie spełniał warunków dla klasy 3-ciej,to kwalifikujemy go do klasy 4-tej.

Klasa przekroju dwuteownik

Rys.4. Dwuteownik bisymetryczny

W przypadku zginanego poprzecznie, bisymetrycznego przekroju dwuteowego, pokazanego na rys.4, maksymalne stosunki szerokości do grubości środnika i pasa dla klas przekroju 1,2 i 3  zestawiono w tab.1.

Tab. 1. Graniczne smukłości ścianek dwuteownika zginanego lub ściskanego
(na podstawie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006))Graniczne smukłości ścianek zginanych i ściskanych

$$\begin{equation}\varepsilon=\sqrt{\dfrac{235}{f_y}} \label{eps}\end{equation}$$

Wartości podane w tab.1. dotyczą  ścianek  w szerszym sensie: środnik jest dowolną ścianką wewnętrzną przekroju (obustronnie zamocowaną w innych ścinkach przekroju), a pas swobodną ścianką zewnętrzną (rys.3).

W przypadku innych przekrojów (w tym rur okrągłych i kątowników) lub inaczej wytężonych,  maksymalne stosunki szerokości do grubości dla części ściskanych należy wyznaczyć zgodnie z tab 5.2  pkt 5.6. (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006), w którym  podano też dodatkowe warunki, dotyczące zabezpieczenia środnika w miejscu działania znacznych sił skupionych, warunków kształtowania elementów o zmiennym przekroju, ograniczeń w otworowaniu przekrojów uplastyczniających się.

Klasy przekroju poddanego jednoczesnemu ściskaniu i jednokierunkowym zginaniu (mimośrodowemu zginaniu) należy wyznaczać zgodnie z pkt.3.

Ważne i naukowo uzasadnione jest spostrzeżenie zawarte w normie, że  przypadku stosowania metod globalnej analizy plastycznej, które uwzględniają miarodajne rozkłady naprężeń i odkształceń w elementach oraz złożone skutki niestateczności, wymagania o dodatkowych warunkach nie mają zastosowania. Globalna analiza plastyczna pozwala uwzględniać nieliniowe właściwości materiału przy obliczaniu efektów oddziaływań w układzie konstrukcyjnym. Można w tym celu stosować jedną z następujących metod: 1) analizę sprężysto-plastyczną, w której kolejne przekroje lub węzły osiągające nośność plastyczną traktuje się jak przeguby plastyczne, 2) nieliniową analizę plastyczną, w której uwzględnia się rozwój stref plastycznych w elementach, 3) analizę sztywno-plastyczną, w której abstrahuje się od odkształceń sprężystych, traktując poszczególne części między przegubami jako sztywne. Ostatnia metoda, nazywana historycznie metodą nośności granicznej (Neal, 1985) jest szczególnie przydatna do zastosowań inżynierskich w podejściu kinematycznym (badania plastycznych mechanizmów zniszczenia  , (Chodor, 2013).

Jeśli potwierdziliśmy, że przekrój (inny niż walcowany) jest klasy 1, to kończymy procedurę. Jeśli nie potwierdziliśmy tego, to przechodzimy do kolejnego kroku, czyli sprawdzenia, czy przekrój jest klasy 3.

Sprawdzenie czy przekrój jest klasy 3

Jeśli w kroku 2.2. (na podstawie granicznych proporcji części ściskanych podanych w tab 5,2, PN-EN 1993-1-1), nie zakwalifikowano przekroju do  klasy 1,2, ro przekrój będzie klasy 4 lub 4-tej. W celu zakwalifikowania przekroju do klasy 3-ciej należy sprawdzić jeszcze warunek pkt. 5.5.2 (9) (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) odnośnie wyjątkowego traktowania przekroju klasy 4 i możliwość zaklasyfikowania go do grupy przekrojów klasy 3. W tym celu należy podwyższyć wymagania  granicznych smukłości, określonych w tab 5.2. (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) poprzez przyjęcie  powiększonego współczynnika materiałowego ε z formuły:

$$\begin{equation}\varepsilon=\sqrt{\dfrac{235}{f_y}} \cdot \sqrt{ \dfrac{f_y/\gamma_{M0}}{\sigma_{com,Ed}}} \label{eps_fy}\end{equation}$$

gdzie: σcom.Ed -największe obliczeniowe naprężenie ściskające w rozpatrywanej części, wynikające z analizy pierwszego rzędu lub, w razie konieczności, analizy drugiego rzędu. Oznacza to, że współczynnik określony pod tab.1 należy zwiększyć  o pierwiastek stopnia wytężenia części ściskanej.

Takiego wyjątkowego potraktowania przekroju nie można robić przy sprawdzaniu stateczności elementu wg 6.3

Kwalifikowanie przekroju do klasy 4

W przypadku, gdy rozpatrywany przekrój nie spełnia warunków klasy 3, to należy go traktować jako przekrój klasy 4.

Klasa przekroju mimośrodowo zginanego

Przypadek mimośrodowego zginania (jednoczesnego ściskania i zginania) jest uogólnieniem i połączeniem przypadków omówionych w pkt.2, czyli zginania i ściskania. Przypadki proste są przypadkami granicznymi mimośrodowego zginania, lecz są wzajemnie sprzężone. Przy tym, jeśli ściskająca siła przekrojowa jest duża, to  klasa przekroju jest przyjmowana jak dla czystego ściskania.  Jest to podejście konserwatywne, to znaczy uwzględnienie dodatkowego zginania może wykazać, ze przekrój jest klasy niższej.

Klasę przekroju ściskanego mimośrodowo sprawdza się najpierw dla czystego ściskania. Jeśli to sprawdzenie wykaże, że klasa jest 1, to nie jest potrzebne sprawdzenie dla przypadku złożonego wytężenia. W przypadku profili walcowanych taka procedura jest wystarczająca  w przeważającej liczbie przypadków praktycznych.  W  przypadku, gdy przekrój poddany czystemu ściskaniu miałby klasę 2 i wyższą, należy dokonać sprawdzenia zgodnie z zasadami podanymi w pkt. 3.1 i 3.2.

Plastyczna interakcja zginania i ściskania oraz współczynnik α

W celu sklasyfikowania przekroju zginanego i ściskanego w stanie plastycznym potrzebne jest wyznaczenie wysokości strefy ściskanej  αc (rys. 6).

Algorytm wyznaczania współczynnika α jest zależny od kształtu przekroju.

Współczynnik α dla przekroju prostokątnego

Na rys.5 pokazano rozkład naprężeń w granicznym stanie plastycznym przekroju prostokątnego kolejno dla:  czystego zginania My≠0, czystego rozciągania  N≠0 i dla jednoczesnego zginania i rozciągania  My,N≠0.
W przypadku interakcji zginania i rozciągania  (ściskania dla ujemnej siły N) dwa warunki równowagi przekroju o szerokości b i wysokości h można zapisać w postaci:

$$\begin{equation}\sum{X:} \ N=2\cdot f_y \cdot z_N \cdot b \end{equation}$$

$$\begin{equation}\sum {M:}\ M=M_{pl}-2 \cdot f_y \cdot z_N \cdot b \cdot z_N /2 \end{equation}$$

skąd otrzymujemy:

$$\begin{equation}z_N= \dfrac {N} {2 \cdot f_y\cdot b } \end{equation}$$

$$\begin{equation}M= M_{pl}- N \cdot z_N/2=M_{pl}- \dfrac {N^2} {4 \cdot f_y \cdot b} \end{equation}$$

 i ostatecznie uzyskamy wyrażenie na współczynnik α wysokości strefy ściskanej:

$$\begin{equation}\alpha = \dfrac {1}{2}- \dfrac {z_N} {h} \end{equation}$$

Uzyskana formuła może być stosowana w doniesieniu do środników dwuteowników ściskanych i zginanych względem osi y-y, ale także do pasów dwuteowników zginanych względem osi z-z. Do praktycznych  obliczeń należy brać  wartości obliczeniowe sił  (N=NEd, M=MEd).

Klasa przekroju plastyczna Interakcja zgianania i ściskania prostokąta

Rys.5 Rozkład naprężeń w granicznym stanie plastycznym w przekroju prostokątnym

(zmodyfikowane (Griner et al., 2012))

Współczynnik α dla środnika przekroju dwuteowego jednokierunkowo zginanego

Na rys.6 pokazano rozkład naprężeń w granicznym stanie plastycznym przekroju dwuteowego na przypadek jednoczesnego zginania i ściskania.

Klasa przekroju plastyczna Interakcja zginania i ściskania H

Rys.6 Rozkład naprężeń w granicznym stanie plastycznym w przekroju dwuteowym

(zmodyfikowane (Griner et al., 2012))

 W tym przypadku współczynnik α można określić z zależności:

  • przy ustalonej sile osiowej i przyrastaniu momentu zginającego

$$\begin{equation}z_N= \dfrac {N_{Ed}}{2 \cdot f_y \cdot t_w } \end{equation}$$

$$\begin{equation}\alpha_w= \dfrac {1} {2}+ \dfrac {z_N}{c_w} \ \ \le 1 \end{equation}$$

  • przy jednoczesnym przyrastaniu momentu zginającego i siły osiowej

$$\begin{equation}\alpha_w = \dfrac {1}{2}+|e_d|\cdot \\ \cdot \left[ 1-0,5 \cdot \sqrt{( \dfrac {c_w}{e_d})^2 + \sqrt {(4 \cdot W_{pl,y,Ed} /{t_w} -c_w^2) /e_d^2}+4}\right] \end{equation}$$

gdzie mimośród  $e_d=\dfrac{M_{y,Ed}}{N_{Ed}}$.

Analityczne rozwiązanie problemu w ogólnym przypadku, z uwzględnieniem zależności rozwiązań teorii plastyczności od kolejności przykładania i przyrastania sił jest zadaniem złożonym.  Dlatego  w praktyce zadowalamy się oszacowaniem uzyskanym dla ustalonej siły osiowej.

Współczynnik α dla przekroju dwuteowego dwukierunkowo zginanego

W przypadku przekroju ściskanego siłą NEd oraz zginanego dwukierunkowo momentami zginającymi My,Ed i Mz,Ed odpowiednio wokół osi większej sztywności y-y i mniejszej sztywności z-z, w celu wyznaczenia współczynnika α należy rozpatrzyć przypadek jednoczesnego działania wszystkich tych sił przekrojowych.  Nieprawidłowe jest podejście, w którym rozpatruje się odrębnie zginanie w kierunku osi y-y i odrębnie wokół osi z-z nawet rozdziałęm siły ściskającej na dwie składowe, towarzyszące zginaniu względem stosownych osi. Należy zastosować krzywe interakcji plastycznej i wynikające z nich położenia osi obojętnej w granicznym stanie plastycznym (Chodor, 2015).

Klasa plastyczna (1 lub 2) wewnętrznej ścianki ( w tym środnika)

Klasa przekroju ścianka zginana i ściskana

Rys.7. Ścianka ściskana i zginana w stanie plastycznym: cw -wysokość środnika (ścianki wewnętrznej), αcw-wysokość strefy ściskanej

Środniki klasy 1 i 2 w stanie granicznym są uplastycznione , w sposób pokazany na rys.7.

W zależności od współczynnika wysokości strefy ściskanej α klasę środnika określimy z zależności w tab. 2

Tab. 2. Klasa  ścianki wewnętrznej (środnika) zginanego i ściskanego
(na podstawie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006))
Klasa przekroju ścianka wewnętrzna

Klasa plastyczna (1 lub 2) ścianki zewnętrznej ( w tym pasa )

Klasę plastyczną pasa można określić z tab.3

Tab. 3. Klasa  ścianki zewnętrznej  (pasa) zginanego i ściskanego
(na podstawie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006))
Klasa przekroju ścianka zewnętrzna

Sprężysta  interakcja zginania i ściskania oraz współczynnik Ψ

Współczynnik Ψ

W stanie sprężystym naprężenia normalne σ w dowolnym punkcie przekroju o współrzędnej [y,z] w układzie osi głównych, centralnych,
o charakterystykach geometrycznych [A, Iy, Iz] =[pole przekroju, moment bezwładności względem osi poziomej y-y, moment bezwładności względem osi pionowej z-z] i obciążonego siłami przekrojowymi [NEd, MyEd, MzEd] =[siła osiowa, moment zginający wokół osi y, moment zginający wokół osi z] można wyznaczyć ze znanych zależności przekroju rozciąganego i dwukierunkowo zginanego  :

$$\begin{equation}\sigma=\dfrac{N_{Ed}}{A}+\dfrac{M_{y,Ed}}{I_y} \cdot z+\dfrac{M_{z,Ed}}{I_z}\cdot y \end{equation}$$

Po wyznaczeniu naprężeń normalnych σ1 w punkcie (y1,z1) oraz σ2 punkcie (y2,z2) ich stosunek jest poszukiwanym współczynnikiem

$$\begin{equation}\psi=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1} \end{equation}$$

gdzie:
σ2 – mniejsze brzegowe naprężenie ściskające w ściance (naprężenia rozciągające należy wstawiać do wzoru ze znakiem minus),
σ–  większe brzegowe naprężenie w ściance.

Klasa sprężysta (3) wewnętrznej ścianki ( w tym środnika)

Klasa przekroju stosunek naprężen

Rys.8. Przekrój sprężysty ściskany i zginany: cw -wysokość środnika (ścianki wewnętrznej), fy – granica plastyczności, Ψ – stosunek naprężeń krawędziowych rozciągających do ściskających

Przekroje klasy 3 w stanie granicznym są wytężone sprężyście, w sposób pokazany na rys. 8.

W zależności od stosunku naprężeń krawędziowych rozciągających do ściskających  Ψ ściankę zaliczymy do klasy 3 , jeśli:

dla  Ψ> -1, zachodzi:   λw ≤ 42·ε / (0,67+0,33·Ψ),

dla  Ψ≤ -1, zachodzi:   λw ≤ 62·ε (1-Ψ)·√(-Ψ).

Klasa sprężysta (3) ścianki zewnętrznej ( w tym pasa )

W przypadku pasa w dowolnej konfiguracji ściskania warunek klasy 3 można ocenić z tab 4.

Tab. 4. Klasa sprężysta ścianki  zginanej i ściskanej
(na podstawie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006))

Klasa przekroju sprężysta półka

Współczynnik niestateczności miejscowej kσ należy wyznaczać w zależności od przebiegu naprężeń w ściance i stosunku ψ=σ21 naprężeń minimalnych σ2 do maksymalnych σ wg tab. 5 , którą opracowano na podstawie zależności podanych w tab.4.2. (PN-EN 1993-1-5, 2008).

Dla ścianki ściskanej na całej długości stosunek naprężeń krawędziowych Ψ=σ21 jest zawsze  dodatni (i nie przekracza 1 dla równomiernego ściskania)  1> Ψ ≥ 0 .

W tym przypadku możliwy jest przebieg naprężeń po długości ścianki zewnętrznej taki , taki w którym minimalne naprężenia wystąpią na krawędzi wewnętrznej  lub zewnętrznej (rys, 9)

Klasa przekroju ściskany pas

Rys.9. Rozkład naprężeń w ściskanym pasie, najmniejsze naprężenia na krawędzi: a) wewnętrznej , b) zewnętrznej

Dla ścianki zginanej stosunek naprężeń krawędziowych jest ujemny  Ψ=σ21 <0.

Klasa przekroju naprężenia pas zginany

Rys.10. Rozkład naprężeń w zginanym pasie, najmniejsze naprężenia na krawędzi: a) (wewnętrznej, b) zewnętrznej

W tym przypadku możliwy jest przebieg naprężeń po długości ścianki zewnętrznej taki , taki w którym naprężenia maksymalne  wystąpią na krawędzi zewnętrznej lub wewnętrznej  (rys. 10).

Współczynnik niestateczności miejscowej kσ (ψ) można obliczyć z wyrażeń, zamieszczonych w tab. 5

Tab. 5. Współczynnik niestateczności pasów (wg (PN-EN 1993-1-5, 2008))
Współczynnik niestatecznosci pasów

Przykłady rachunkowe

Kształtownik  walcowany ma przekrój klasy 1 ?

Dla dwuteownika  IPE600, wykonanego ze stali S355 sprawdzić, czy jest klasy 1.

Wymiary geometryczne i charakterystyki geometryczne kształtownika odczytano z tablic profili walcowanych, obliczono smukłości środnika i półki,(tab.6).

Tab.6. Charakterystyki geometryczne IPE 600 do przykładu 4.1..
Klasa przekroju IPE600 - 1

Dla t<40 i stali S355 granica plastyczności  fy wynosi (tab. 3.1 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)) :
fy=355 MPa.  ε=√(235/355)=0,81

Sprawdzenie  warunków klasy przekroju : 

środnik  λw/ε = 42,8/0,81 =52,8
< 72 (zginanie y-y)   → 1 klasa
> 42 (ściskanie)        → 4 klasa
(zginanie z-z)   → 1 klasa

Ostatecznie środnik ma klasę kw=1 (tylko zginanie).
Jeśliby jednak był czysto ściskany, to miałby klasę 4.

pas  λf/ε = 4,2/0,81 =5,2
<9  (zginanie y-y)   → 1 klasa
> 9  (ściskanie)        → 1 klasa
> 9 (zginanie z-z)   → 1 klasa

Ostatecznie pas ma klasę kf=1.

Ponieważ zarówno środnik jak i pas przy zginaniu względem osi y-y są klasy 1, to również przekrój jest kA= 1, co potwierdza tezę podaną wyżej.  Sprawdzanie warunków dodatkowych pomija się.

W przypadku ściskania dwuteownik typoszeregu IPE ma środnik klasy wyższej niż 2  i dlatego na słupy najczęściej stosuje się dwuteowniki HEA i HEB, Wskażmy , że HEB i HEA mają lepszą klasę od IPE przy ściskaniu, ale wymagają sprawdzenia klasy przekroju.

Czyste ściskanie

Określić klasę przekroju słupa wykonanego z kształtownika HEB340 – S355.

Charakterystyki geometryczne: A= 170.9 cm2, b = 300 mm, h = 340 mm, tf = 21,5 mm;
tw = 12 mm, r = 27 mm, Iy = 36660 cm4, iy = 14,65 cm, Iz = 9690 cm4, iz = 7,53 cm.
Własności mechaniczne:  fy = 355 MPa i  E = 210 GPa; ε=√(235/355)=0,81.

Środnik ściskany:  λw=[ 340-2(21,5 +27)]/12= 20,25 < 33ε=33·0,81=26,7  ⇒ kw=  1 klasa (tab.1 ⇐ tab. 5.2 EC3-1-1),
Pas ściskany:          λf=[ (340-12)/2-27]/21,5= 5,4 < 9ε=9·0,81=7,3               ⇒ kf=     1 klasa (tab.1 ⇐ tab. 5.2 EC3-1-1),

Przekrój:               ⇒   kA=max{kw, kf}=max {1,1)= 1 klasa

Ściskanie ze zginaniem jednokierunkowym (ściskanie mimośrodowe)

Określić klasę przekrojów belki- słupa  HEA300 – S355, pokazanej na rys. 11.

Kllasa przekroju HEA200 przykład

Rys.11. Belka-słup poddana jednoczesnemu ściskaniu i zginaniu jednoosiowemu

Obciążenie belki jest następujące:

siła ściskająca                                                    NEd= 500 kN,
moment zginający                                            M y1,Ed=M y2,Ed=200  kNm,
W każdym przekroju belki działają siły przekrojowe wykazane wyżej. Moment zginający MyEd z zdania jest obliczeniowym (indeks d), zewnętrznym – przekrojowym (indeks E) momentem zginającym wokół osi y, stowarzyszonym z nośnością obliczeniową Mpl,yRd.

W tab. 7 zestawiono charakterystyki geometryczne przekroju, własności mechaniczne fy, ε oraz  nośności plastyczne przekroju: Npl,Rd , Mpl,zRd, Mpl,yRd.

Tab.7. Charakterystyki geometryczne oraz materiałowe HEA300-S355
Klasa przekroju HEA300 przykład

Klasa środnika kw

Sprawdzenie stanu plastycznego

  • Współczynnik strefy ściskanej w granicznym stanie plastycznym

W celu wyznaczenia współczynnika wysokości strefy ściskanej α ustalimy najpierw szerokość docisku zn siły osiowej NEd:

$z_N=\dfrac{N_{Ed}}{2 \cdot t_w \cdot f_y}= \dfrac {500} {2 \cdot 8,5 \cdot 355}\cdot 10^3= 83 mm$

a następnie obliczymy współczynnik strefy ściskanej w sytuacji przyrastania siły osiowej:

$\alpha_w= \dfrac {1} {2}+ \dfrac {83}{208} =0,90$

Z tab.2. dla α>0,5 , otrzymujemy  dla klasy 1 smukłość graniczną
λw,gr=396ε/(13α-1)= 396·0,81/(13·0,90-1)=29,6
Ponieważ  λw,gr=29,6 > λw=24,5, więc środnik jest klasy 1.

W celu potwierdzenia sprawdzimy jeszcze stan sprężysty (to znaczy, czy środnik jest klasy niższej niż 3).

Uwaga: W zasadzie po stwierdzeniu klasy 1 ścianki, powinniśmy zakończyć procedurę klasyfikacji. Prowadzimy ją dalej wyłącznie w celach dydaktycznych.

Sprawdzenie stanu sprężystego

Wyznaczenie naprężeń w stanie sprężystym dokonujemy  z konwencjonalnych wzorów:

z=cw/2= 20,8/2=10,4 cm   ⇒ $\sigma_{c_w/2}=\dfrac {500}{112,5} \cdot 10^1+\dfrac{_{200} }{18263} \cdot 10,4 \cdot 10^3=44,4+113,9=158,3 MPa$

z=-cw/2= 20,8/2=-10,4 cm   ⇒ $\sigma_{c_w/2}=\dfrac {500}{112,5}\cdot 10^1- \dfrac{_{200} }{18263} \cdot 10,4 \cdot 10^3=44,4-113,9=-69,4 MPa$

Stosunek naprężeń krawędziowych wynosi $\psi= -69.4/158,3=-0,438.$

Ponieważ  Ψ≤ -1,więc  λw,gr ≤ 62·0,81 (1+0,438)·√0,438=47,8 > λw=24,5  ⇒  środnik jest klasy 3  lub niszej.

Klasa środnika kw

Środnik spełnia wymagania klasy 1.
Procedurę klasyfikacji przekroju zakończono.

Klasa pasów kf

W rozważanym przypadku zginania jednokierunkowego i siły ściskającej, pas poddany jest czystemu ściskaniu.

Z tab.1. odczytano, że:  λf= 8,5  < λf,gr=9   ⇒  pas jest klasy 1

Klasa przekroju kA

kA=max{kw ; kf}=max{1,1}= 1 .

Przekrój jest  klasy 1.

Ściskanie ze zginaniem dwukierunkowym

Określić klasę  przekroju  HEA300- S355, belki- słupa  o schemacie pokazanym na rys. 12.

Klasa przekroju belka-słup

Rys.12. Belka-słup poddana jednoczesnemu ściskaniu i zginaniu dwukierunkowemu

Zewnętrzne siły obliczeniowe wynoszą:
siła ściskająca                                            NEd  = 500 kN,
moment zginający wokół osi y-y           MyEd= 200 kNm,
moment zginający wokół osi z-z            MzEd= 50 kNm.

Siły przekrojowe i rozkład naprężeń w przekroju w stanie plastycznym i sprężystym

Klasa przekroju schemat pręta

Rys.13. Wykresy sił przekrojowych belki-słupa z przykładu 4.4.

Wykresy sił przekrojowych wykonano na rys. 13. Przekroje krytyczne (sprawcze) do wyznaczenia klasy przekroju belki oznaczono przez PK1 i PK2.

Charakterystyki przekroju podano w tab. 7.

Na rys.14 pokazano rozkłady naprężeń w przekrojach PK1 i PK2 w stanie plastycznym i sprężystym.

Klasa przekroju rozkłady naprężeń

Rys.14. Rozkłady naprężeń w przekroju PK1 i PK2 w stanie sprężystym i plastycznym

Naprężenia sprężyste wyznaczono w klasyczny sposób   Na przykład naprężenia normalne w stanie sprężystym  w punkcie (y,z)=(b/2-cf ; h/2)=( 30/2-11,88 ; 29/2)=(3,12 ; 14,5  [punkt nad początkiem wyokrąglenia pasa górnego], wynoszą:

$\sigma / f_y=\dfrac{500}{112,5}\cdot10^1+( \dfrac{_{200}}{18263} \cdot z+\dfrac{50}{6310 }\cdot {14,5}) \cdot10^3 /355= 0,519$

Klasyfikacja przekroju PK1

Środnik

λw=24,5  (tab.7)

Aw=24,6 cm2,

$N_{Edw}= \dfrac {24,6}{112,5}\cdot 500=109,3 kN$

$z_{Nw}= \dfrac {109,3}{2 \cdot 355 \cdot 8,5 } \cdot 10^3= 18,12 mm$

$\alpha_w= \dfrac {1} {2}+ \dfrac {36,23} {208}=0,587 \le 1$

  • Sprawdzenie, czy środnik jest klasy 1 lub 2 (stan plastyczny – tab.2, tab.5.2 EC3 arkusz 1 )

αw =0,587>0,5, więc
smukłość zmodyfikowana  λw,mw·(13αw-1)= 24,5·(13·0,587-1)=162,46 < λwgr=396·ε=396·0,81=320

⇒ środnik jest klasy 1.

Pas

λf= 8,5  (tab.7)

Af = 112,5 – 24,6 = 87,9 cm2

$N_{Edf}= \dfrac {87,9}{112,5}\cdot 500=390,67 kN$

$z_{Nf}= \dfrac {390,67}{4 \cdot 355 \cdot 14 } \cdot 10^3= 19,65 mm$

$\alpha_f= \dfrac {1} {2}+ \dfrac {19,65} {2\cdot 118,8}=0,583 \ \le 1$

ψf= 0,662

Klasa 3 (stan sprężysty – tab.4 i 5, tab.5.2. EC3 arkusz 2) :

kσ=0,57-0,21·0,662+0,07·0,6622=0,462
λfgr=21·ε √kσ=21·0,810,462=11,56 > 8,5 ⇒ pas jest klasy 3 lub lepiej

Klasa 1 lub 2 (stan plastyczny – tab.3 , tab.5.2. EC3 arkusz 2) :

λfgr=10·ε/(αf √αf)=10·0,81/(0,583 ·√0,583)= 18,2 > 8,5  ⇒ pas jest klasy 2 lub lepiej

λfgr=9·ε/αf √αf=9·0,81/(0,583 ·√0,583)= 16,38 > 8,5  ⇒ pas jest klasy 1

Przekrój PK1

Przekrój PK1 jest klasy max (1;1}= 1.

Klasyfikacja przekroju PK2

Przekrój jest jednorodnie ściskany

Środnik

λw=24,5  < 33ε=26,7 ⇒ środnik jest klasy 1

Pas

λf=8,5   < 14ε = 11,3 ⇒ pas jest klasy 3 lub lepiej
>10ε=8,1     ⇒ nie jest klasy 2
>9ε=7,3)     ⇒ nie jest klasy 1

Pas jest klasy 3

 Przekrój PK2

Przekrój CS2 jest klasy max (1;3}= 3.

Klasyfikacja klasy belki

Belka jest klasy max (1;3}= 3.

Program  SemiComp

Program SemiComp Member Design jest powszechnie dostępnym i darmowym arkuszem obliczeniowym pracującym w środowisku Excel, opracowanym przez  Institute for Steel Structures,  Graz University of Technology, Austria. Program  jest dostępny do pobrania na stronie SemiComp.  Podstawy teoretyczne przedstawiono w w finalnej wersji raportu (Griner et al., 2012) , a liczne przykłady zawarto w dokumencie  (TU Graz, 2012).

Arkusz Semi-Comp współpracuje z powszechnie dostępnym, bezpłatnym programem LTBeam do wyznaczania momentu krytycznego dowolnej belki.

Przykład zastosowania programu Semi-Comp Member Design

Pokażemy zastosowanie arkusza Semi-Comp Member Design na przykładzie 4.4.

Klasa przekroju SemiComp dane

Rys.15. Dane w arkuszu Semi-Comp dla przykładu 4.4

Na rys. 15  pola oznaczone na błękitno w bloku Cross-Section Data oraz pola oznaczone na zielono są wybierane przez program z bazy danych po wskazaniu profilu (HEA 300) oraz klasy stali (S355).

Po wybraniu Calculate Force zostaną wyliczone siły przekrojowe  w belce i zobrazowane w sposób pokazany na rys. 16.

Klasa przekroju SemiComp wykresy sił

Rys.16. Wykresy sił przekrojowych w arkuszu Semi-Comp dla przykładu 4.4

Po wybraniu zakładki Cross Section Check uzyskamy  najważniejsze parametry oraz klasę przekroju w arkuszu pokazanym na rys 17.

Klasa przekroju SemiComp sprawdzenie przekroju

Rys.17. Sklasyfikowanie przekroju ściskanego i  ukośnie zginanego w arkuszu Semi-Comp dla przykładu 4.4.

Przeprowadziliśmy sprawdzenie poprawności przeliczenia przykładu 4.4. Uzyskano  rozbieżności w oszacowaniu stosunków naprężeń kawędziowych z zależności ścisłych ( pkt.4) i prezentowanych przez  arkusz Semi-Comp, co jest skutkiem tego, że w arkuszu stosuje się uproszczenia dopuszczone przez normy. Nie wpływa to w istocie  na  klasyfikacje przekroju z punktu widzenia wymiarowania.

Literatura

Biegus, A. (2013). Projektowanie konstrukcji  stalowych według Eurokodu 3. Bezpieczeństwo pożarowe konstrukcji stalowych (Wykład). Wrocław: Politechnika Wrocławska, Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego. Retrieved from http://www.kkm.pwr.wroc.pl/KONSTRUKCJE%%20METALOWE%%20ELEMENTY,%%20HALE,%%20OBIEKTY%%20-%%20WYKLAD/06_A.Biegus-Bezpieczenstwo_pozarowe_konstrukcji_stalowych.pdf
Chodor, L. (2013). Teoria sprężystości i plastyczności Nieliniowości fizyczne. Nieliniowość sprężysta. Teoria nośności granicznej. Lecture-Wykład presented at the Wykład 6- część 2 z  przedmiotu Teoria sprężystości i plastyczności , Politechnika Świętokrzyska, Kielce. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Wyklady/TSiP/6.2-Nieliniowosci-fizyczne-cz2.pdf
Chodor, L. (2015, November 10). Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania. Retrieved November 23, 2015, from http://chodor-projekt.net/encyclopedia/interakcja-plastyczna-sily-osiowej-i-dwuosiowego-zginania/
Griner, R., Jaspart, J., Pierre, Weynand, K., Ziller, K., Oereder, R., & Herbrand, M. (2012). Background infrormation. Design Guidlines for Cross-Section and member design according to Eurocode 3 with particular focus on semi-compact sections. Final version (March 2012) (No. Valorisation Ptoject No RFS2-CT-2010-00023). TU Graz Universtity, Institute for Steel Structures and Shell Structures. Retrieved from http://portal.tugraz.at/portal/page/portal/Files/i2050/pdf/Forschung/SC+_BackgroundDocumentation_March2012.pdf
Neal, B. G. (1985). The plastic methods of structural analysis (3rd ed). London ; New York: Chapman and Hall.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-5. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice (2008). UE: PKN.
TU Graz. (2012). Worked Examples for Cross-Section and member design according to Eurocode 3 with particular focus on semi-compact sections. (No. Valorisation Ptoject No RFS2-CT-2010-00023). TU Graz Universtity, Institute for Steel Structures and Shell Structures. Retrieved from http://portal.tugraz.at/portal/page/portal/Files/i2050/pdf/Forschung/SC+_BackgroundDocumentation_March2012.pdf

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »