Nieliniowy kalkulator żelbetu M-N

Kalkulator zbrojenia przekrojów zginanych i ściskanych lub rozciąganych,  można bez opłat i rejestracji pobrać poprzez kliknięcie na rys.1. 

Rys.1. Kalkulator żelbetu M-N (CH-P Ż0.xls) rewizja 1.2 – kliknij na obraz, aby pobrać

Kalkulator dotyczy  jednokierunkowo mimośrodowo ściskanego lub rozciąganego żelbetowego przekroju prostokątnego bxh zbrojonego podwójnie, pokazanego na rys. 2. Pręt żelbetowy jest nieliniowy konstrukcyjnie, ponieważ: 1) rozkład naprężeń w ściskanej strefie betonu jest nieliniowy, 2) stal zbrojenia jest materiałem sprężysto-plastycznym ze wzmocnieniem , 3) teoretyczna wysokość strefy ściskanej $x$ może przekroczyć wysokość przekroju $h$ i obejmować naprężenia pozorne. Nowy algorytm  projektowania przekroju żelbetowego opracowano z zastosowaniem nieliniowego modelu betonu (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008)] i modelu stali ze wzmocnieniem plastycznym (Menegotto, Pinto, 1973).  Projekty wykonane z użyciem kalkulatora, pozwalają na oszczędności  dochodzące do 30% zbrojenia, co przekracza oszczędności, które można uzyskać przy zastosowaniu standardowych procedur minimalizacji kosztu elementu żelbetowego (np. praca (Mohammad, Seyan, 2016)).

Zaleca się, aby zestawy sił przekrojowych szacować  metodą imperfekcyjną (Chodor, 2016) (teoria II rzędu z zadanymi  siłami imperfekcji) a jednocześnie pomijać współczynniki niestateczności. Wówczas obliczenia zbrojenia przekroju są zbrojeniem elementu (np słupa).

Udostępniona wersja arkusza ma chronioną treść i strukturę. Uwagi dotyczące udoskonalenia arkusza lub dostrzeżonych usterek proszę zgłaszać do autora na adres: leszek.chodor@chodor-projekt.net.

Rozszerzenie zadania na ukośne (dwukierunkowe) zginanie ze ściskaniem/rozciąganiem przedstawiono w artykule.  Arkusz na dwukierunkowe zginanie zawiera oryginalny algorytm i w zasadzie obejmuje wszystkie przypadki spotykane w praktyce.  Będzie udostępniony po opublikowaniu w czasopiśmie naukowym, zrecenzowaniu oraz za drobnymi opłatami.

Postawienie problemu

Zagadnienie żelbetu  polega na poszukiwaniu  pięciu niewiadomych: wysokości strefy ściskanej $x$, pola zbrojenia dolnego ${A}_{sl}$ ,  górnego$A_{su}$, a także naprężeń w stali $\sigma_{sl}$, $\sigma_{su}$ przy ograniczeniu maksymalnego odkształcenia betonu do wartości εcu2=3,5‰. Poszukiwane zmienne zilustrowano na rys.1. Do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił:  ΣX=0,  ΣMi=O względem osi  „i= O, l lub u=(oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia)”. Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny. Trzeci i czwarty warunek określa fizyczne prawo dla zbrojenia górnego i dolnego. Piąty warunek jest określony przez prawo fizyczne betonu, które można zapisać w postaci:

$$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{s_cE}\end{equation}$$

gdzie moduł odkształcalności  Ecc, t) jest nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, Rys.3.2.).

W przypadku obliczania przekrojów model $(\ref{s_cE})$ można przyjąć w równoważnej, niezależnej od czasu  postaci $(\ref{s_cz})$ (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, wzory (3.17)-(3.18)):

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1, & \text {jeśli  $ \varepsilon_{c2} \le\varepsilon_c \le\varepsilon_{cu2}$} \\
1-  (1- \varepsilon_c/\varepsilon_{c2})^n, & \text {jeśli  $\varepsilon_c <\varepsilon_{c2}$ }
\end {cases} \label{s_cz}\end{equation}$$

gdzie wykładnik modelu n=2 ,  fcd – wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie.

Z zależności normowej $(\ref{s_cz})$, wynika, że obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest minimalny  dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie εccu2) i wynosi:

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{E_cu}\end{equation}$$

Moduł Ecu $(\ref{E_cu})$ zastosujemy w prezentowanym algorytmie jako parametr klasy betonu.
Na przykład dla betonu C30/37  graniczny moduł odkształcalności wynosi Ecu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa.
Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi Ecm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) Ec,eff=Ecm/[1+φ(∞,t0)]≈Ecm/(1+2)=32/3=10,7 MPa. Pomiędzy modułami betonu Ecu, Ecm  oraz Ec,eff  w istocie nie ma związku z punktu widzenia rozpatrywanego zagadnienia.

Model obliczeniowy przekroju żelbetowego

Wypadkowa i moment naprężeń w betonie

Na rys.1. pokazano bryłę naprężeń w betonie, opisaną zależnością $(\ref{s_cz})$. Wymaga się (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, Tab.3.1.), by maksymalne odkształcenie betonu nie przekroczyło εcu2, a na granicy prosto-  i krzywo-liniowego  przebiegu naprężeń  odkształcenie betonu wynosi εc2.  W analizie   modelu z paraboliczną bryłą  naprężeń odkształcenia te wynoszą:

$$\begin{equation}\varepsilon_*= \begin {cases}
2,0 \unicode{x2030} \text {(*= c2)}\\
3,5 \text{‰} \text {(*= cu2)}\\
\end {cases} \label{e_c2}\end{equation}$$

Nieliniowy model przekroju żelbetowego

Rys.2. Nieliniowy model przekroju żelbetowego

Po przekształceniu formuły $(\ref{s_cz})$ do postaci dogodnej od obliczeń numerycznych otrzymamy

$$\begin{equation}\sigma_c (z)= f_{cd} \cdot \begin {cases}
1 , & \text {jeśli  $z \ge (x-x_0) $} \\
1- [ 1- z/(x-x_0) ] ^n , & \text {jeśli  $ z < (x-x_0)$}
\end {cases} \end{equation}$$

gdzie długość wykresu prostoliniowego  x0:

$$\begin{equation} x_0=\left (1-\varepsilon_{c2}/\varepsilon_{cu2}\right) \cdot x \end{equation}$$

Naprężenie σc  w odległości  „z” od osi obojętnej przekroju (od linii ε=0) działa na ramieniu:

$$\begin{equation}  r_i= d_i – x + z , \quad  (i=O,l,u) \end{equation}$$

gdzie efektywne ramię $d_i$ zależnie od osi do której jest odmierzane, wynosi:

$$\begin{equation}d_i = \begin {cases}
h/2,  & (i=O)\\
h-a_l,  & (i=l) \\
a_u,  & (i=u)
\label {signM_c} \end {cases} \end{equation}$$

uwaga ($\ref {signM_c}$):  moment o wartości $M_c=\sigma_c\cdot r_i$ jest lewoskrętny dla $i=O, l$, to znaczy ma zwrot  reakcji $M_{Rd}$ (jest przeciwny do obciążenia zewnętrznego $M_{Ed}$), a jest prawoskrętny dla $i=u$.

Rozpatrzymy  dwa przypadki wysokości strefy ściskanej, pokazane na rys.1.:
 X<h dla wysokości strefy ściskanej x ≤ h 
 X>h dla wysokości strefy ściskanej x > h

W przypadku X<h wypadkowa bryły naprężeń w betonie wynosi

$$\begin{equation}F_c^{x<h}= b \cdot \int \limits _0^x\sigma _c \cdot dz= b \cdot f_{cd} \cdot \left( \int \limits _0^{x_0} \left \{ 1- \left [1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \cdot dz + \int \limits _{x_0}^x dz \right )= \dfrac{17}{21}\cdot b \cdot x \cdot f_{cd} \label {Nc<} \end{equation}$$

a moment tej bryły:

$$\begin{equation}M_{c,i}^{x<h}= b \cdot \int \limits _0^x\sigma _c \cdot dz= b \cdot f_{cd} \cdot \left( \int \limits _0^{x_0} \left \{ 1- \left [ 1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} r_i \cdot dz + \int \limits _{x_0}^x r_i \cdot dz \right )= F_c \cdot d_i- M_c(x^2)  \label {Mc<} \end{equation}$$

gdzie $ M_c (x^2) = \dfrac {33} {98} \cdot b \cdot  x^2 \cdot f_{cd}$.

przy czym zwroty tych momentów zdefiniowano w uwadze ($\ref {signM_c}$).

Siły przekrojowe od obciążeń zewnętrznych $(N,M)_{Ed}$ uzyskuje się z rozwiązania problemu mechaniki budowli sprowadzone do osi przekroju betonowego, a w przypadku przekroju prostokątnego do osi „0”. Dlatego z punktu widzenia prezentowanego algorytmu najważniejszy jest przypadek „i=0”, czyli dla $d_i=d_0=h/2$.  W tradycyjnym podejściu często wykorzystywało się warunki dla „i=L”, co w szczególnych przypadkach prowadzi do uproszczenia formuł obliczeniowych. Takich uproszczeń nie wykorzystujemy, ze względu na brak ich ogólności.

W przypadku X>h  na skutek tego, że pod przekrojem (na odcinku x do h) naprężenia faktycznie nie działają, a były wliczone w wyrażenia dla przypadku X<h,  wyrażenia $(\ref{Nc<})$ i $(\ref {Mc<})$ należy skorygować:

$$\begin{equation} \begin {cases}
F_c^{x>h}= F_c^{x<h} -\Delta F_c^{x>h}\\
M_{c,i}^{x>h}=M_{c,i}^{x<h} -\Delta M_c^{x>h}
\end {cases} \label {N,Mc>}\end{equation}$$

Fragment bryły naprężeń dla z∈ [0; x-h] na rys.1. oznaczono kolorem lekko czerwonym. Daje on następujące „nadmiarowe”:  siłę Δ Fcx>h  oraz  moment Δ Mcx>h bryły naprężeń w betonie:

$$\begin{equation}\Delta F_c^{x>h}=b \cdot f_{cd} \cdot \int \limits _0^{x-h} \left \{ 1- \left [1- z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \, dz = F_N \cdot(21+20 \overline x) \label{dF_c>}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\Delta M_{c,i}^{x>h}=b \cdot f_{cd} \cdot \int \limits_0^{x-h} \left \{ 1- \left [1-z/(x-x_0) \right ]^2 \right \} \cdot r_i \, dz= F_N\cdot h \cdot \begin {cases}
– (\, 7+8 \overline x+9 \overline x^2 \,) \text { : (i=O)}\\
[\, 7+2 \overline x – 9 \overline x^2 –  4 \overline a_l (7+5\overline x)\, ] \text { : (i=l)}\\
[ \, 21+18 \overline x + 9 \overline x^2 – 4 \overline a_u (7+5\overline x)\, ]  \text { : (i=u)}
\end {cases} \label{dM_c>}\end{equation}$$

gdzie: $\overline x=x/h$ ,  $\overline a_l=a_l/h$ , $\overline a_u=a_u/h$ , $ F_N = \dfrac{7}{192} \dfrac{(1-\overline x)^2}{\overline x^2} \cdot b \cdot h\cdot f_{cd}$.

Przypadek X>h  w praktyce zachodzi rzadko, jednakże w celu wyznaczenia  krzywych interakcji w całym zakresie pracy pręta, korektę $(\ref{dF_c>})$,$(\ref{dM_c>})$ należy stosować.

Model stali zbrojeniowej

Na rys. 3 pokazano  nieliniowy model stali (Menegotto, Pinto, 1973),  opisany formułą :

$$\begin{equation}\overline\sigma_s =k\cdot \overline\varepsilon_s + \dfrac{(1-k)\cdot {\overline\varepsilon_s}} {\left (1+{\overline\varepsilon_s}^R \right)^{1/R}}\label {s_s}\end{equation}$$

gdzie: $ {\overline\varepsilon_s}=\varepsilon_s / \varepsilon_{yd} \, \text{  ;  } \,{\overline\sigma_s} =\sigma_s/ f_{yd}$
Obliczeniowe graniczne odkształcenie sprężyste (początkowe plastyczne) wynosi:
$$\begin{equation} \varepsilon_{yd}=f_{yd}/E_s \end{equation}$$
W analizie żelbetu przyjmuje się, że moduł Younga stali wynosi Es=200 GPa. Wytrzymałość obliczeniowa stali $f_{yd}=f_{yk}/\gamma_s$ jest wartością granicy plastyczności, uzyskaną przez podzielenie charakterystycznej granicy plastyczności  $f_{yk}$ przez współczynnik materiałowy γs=1,15. Dla powszechnie stosowanej stali zbrojeniowej B500: fyk=500 MPa, fyd=500/1,15=434,8 MP ; εyd=434,8/200 ·10-3=2,17 ‰.
Model $(\ref{s_s})$ upraszcza obliczenia numeryczne i dokładniej oddaje rzeczywiste zachowanie stali zbrojeniowej, szczególnie w zagadnieniach obciążeń zmiennych, gdzie istotny jest efekt Baushingera, a także uwzględnia wzmocnienie stali w zakresie plastycznym. Z analizy eksperymentalnie uzyskanych charakterystyk stali B500 (rys.2) wynika, że parametr wzmocnienia  k=(0,01÷0,2). Dla betonu B500 $\varepsilon_{yk}=f_{yk}/E_s=500/200=$ 2,5‰.  W zależności od klasy plastyczności   minimalne  odkształcenia stali zbrojeniowej  $\varepsilon_{uk}$ (PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1, 2008, Tab.C.1) i wynikające stąd współczynniki pochylenia półki plastycznej $k$ wynoszą:
$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} \ge \begin {cases}
2,5 \%,  \to k=0,05 & ( klasa\, A)\\
5,0 \%,  \to k=0,08 & (klasa \, B) \\
7,5 \%,  \to k=0,15 & ( klasa \, C)
\end {cases} \label {k_s} \end{equation}$$
Promień łączenia gałęzi sprężystej z gałęzią plastyczną zwykle przyjmuje się  na podstawie pracy (Filippou, Popov, Bertero, 1983)  R=20.
Model stali zbrojeniowej ze wzmocnieniem

Rys.3. Model stali zbrojeniowej ( linia pomarańczowa), (wykres rzeczywisty- linia niebieska)

Sieczny moduł odkształcalności stali zdefiniujemy jako

$$\begin{equation}E_{si}=k_{si}\cdot E_s \text{ (i=l, 2)} \label {E_si}\end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}k_{si} = k+\dfrac{1-k}{ \left (1+{\overline \varepsilon_s}^R \right)^{1/R}} \label{k_si} \end{equation}$$

Można przyjąć, że pręt rozciągany ($\varepsilon_{sc}>0$)  jest nieskrępowany na skutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego naprężenie  w pręcie rozciąganym „i=t” wynosi

$$\begin{equation} \sigma_{st}= E_{sc}\cdot \varepsilon_{st} \label {s_st} \end {equation} $$.

W przypadku pręta otoczonego betonem ściskanym redukujemy naprężenia w stali ściskanej „i=c” o naprężenia w betonie, co można zapisać

$$\begin{equation} \sigma_{sc}= E_{si} \cdot \varepsilon_{sc} -\sigma_c(\varepsilon_{c}=\varepsilon_{sc}) \label {s_sc}\end {equation}$$

gdzie $\sigma_c$ wyznacza się z zależności ($\ref{s_cz}$).

W obu stanach wytężenia pręta ($\ref{s_st}$) i  ($\ref{s_sc}$)  ograniczamy odkształcenia pręta $\varepsilon_s < \varepsilon_{uk}/\gamma_s$  ($\ref{k_s}$) , co skutkuje ograniczeniem naprężeń (choć dopuszcza naprężenia w stali większe od  $f_{yd}$).

Siły w prętach zbrojenia wyznaczamy w sposób standardowy:

$$ \begin{equation} N_{si}=\sigma_{si}\cdot  A_{si} \label{N_si} \end{equation}$$

Równowaga przekroju i równanie żelbetu

Warunki równowagi przekroju

Na rys.1 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa$N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

Warunki równowagi przekroju zapiszemy w postaci :

$$\begin{equation} \begin {cases}
\Sigma X        :  N_{Ed} = F_c + F_{su}  – F_{sl}\\
\Sigma M_0  :  M_{Ed} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)
\end {cases} \label {R1}\end{equation}$$

Warunki równowagi  ($\ref{R1}$) można zapisać w postaci równoważnej  w drodze wyeliminowania z $\Sigma X$  kolejno Fsl lub Fsu  i podstawieniu do $\Sigma M_0$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
M_{Ed} = M_{c,0}  – (N_{Ed}- F_c) \cdot (d_0 – a_l )  + F_{su}\cdot d_s \\
M_{Ed}  = M_{c,0} +  ( N_{Ed}- F_c) \cdot (d_0 – a_u)  +F_{sl}\cdot d_s
\end {cases}  \label {R2}\end{equation}$$

gdzie $d_s=h-a_l-a_u$.

Równanie żelbetu

Po dodaniu stronami  obu równań $(\ref{R2})$ i po przekształceniach otrzymamy podstawowe równanie żelbetu:

$$\begin {equation} F_{sl} +F_{su}= \dfrac {2 (M_{Ed}-M_{c,0})} {d_s}+ (N_{Ed}-F_c) \label {Rzelbet} \end {equation}$$

Równanie żelbetu $(\ref{Rzelbet})$ zawiera ogólne informacje o modelu i w zależności od sytuacji obliczeniowej może stanowić układ równań z jednym z równań  równowagi $(\ref{R1})$ lub $(\ref{R2})$.

Z równania ($\ref{Rzelbet}$) wynika szereg wniosków, które przedstawimy na przykładach w dalszej części pracy.

Równanie $x^2$ i $x^3$

Dla przypadku X<h po podstawieniu  wyrażeń na  $ F_c (\ref {Nc<})$  i  $ M_c  ( \ref {Mc<})$  do  równania żelbetu $(\ref{Rzelbet})$ otrzymamy równanie drugiego  stopnia ze względu na $x$:

$$\begin{equation}Ax^2+Bx+C=0 \label {X2}\end{equation}$$

gdzie:
$A=33/49$,
$B= -17/21\cdot (h+d_s)$,
$C= (C_1+C_2) /(b\cdot f_{cd})$,
$C_1= – (A_{sl}\cdot \sigma_{sl} + A_{su} \cdot \sigma_{su}) \cdot d_s$
$C_2= 2 M_{Ed}+N_{Ed}\cdot d_s$,

Równanie $(\ref{X2})$ jest tylko pozornie kwadratowe, ponieważ współczynnik  C2 zależy od σsi, (i=l,u) , a naprężenie w stali zbrojeniowej jest funkcją odkształcenia zgodnie z $(\ref{s_s})$. Odkształcenia z kolei podlegają  zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{Proporcje}$) wynikającymi z  rys. 1. Po uwzględnieniu znaków odkształceń: $\varepsilon_{su}<0$ – zbrojenie ściskane oraz $\varepsilon_{sl}>0$ – zbrojenie rozciągane, otrzymamy:

$$\begin {equation} \dfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \dfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\dfrac{\varepsilon_{cu2}}{x} \label {Proporcje} \end {equation}$$

Nie ma potrzeby rozróżniania przypadku X<h i X>h, ponieważ zasada  Bernoulliego (płaskich przekroi) jest taka sama i w konsekwencji formuły są jednakowe w obu przypadkach.

Po podstawieniu do $(\ref{X2})$ formuł zasady płaskich przekroi ($\ref{Proporcje}$) oraz prawa fizycznego $\sigma_{si}=E_{si}\varepsilon_{si}$ warunek  równowagi można zapisać w  postaci równania sześciennego (zwanego równaniem $x^3$):

$$\begin{equation} Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 \label {X3}\end{equation}$$

gdzie:
$A=33/49$,
$B= -17/21\cdot (h+d_s)$,
$C= (C_1+C_2) /(b\cdot f_{cd})$,
$C_1= – (A_{s1}\cdot n_{E1} + A_{s2} \cdot n_{E2}) \cdot d_s \cdot f_{cd}$
$C_2= 2 M_{Ed}+N_{Ed}\cdot d_s$,
$D= [A_{s1}\cdot n_{E1}\cdot (h-a_l) + A_{s2}\cdot n_{E2}\cdot a_u]\dfrac{d_s}{b}$

W równaniu $x^3$  ($ \ref{X3}$) wprowadzono  oznaczenie stosunku doraźnej (zależnej od stopnia wytężenia stali) sztywności stali i sztywności $(\ref{E_cu})$ betonu:

$$\begin{equation}n_{Ei}=\dfrac{E_{si}}{E_{cu}}=k_{si} \cdot n_E\end{equation}$$

gdzie: współczynnik $k_{si}$ określa formuła ($\ref{k_si}$), a  $n_E=\dfrac{E_s}{E_{cu}}$ jest współczynnikiem  materiałowym dla danego przekroju zależnym od klasy zastosowanej stali i betonu. Na przykład dla betonu C30/37 i stali B500 mamy $n_E=200/6,1=32,8 $.

Doraźny, sieczny  moduł stali $E_{si}$ $(\ref{E_si})$ jest proporcjonalny do współczynnika $k_{si}$ i zależy od odkształcenia stali, co w konsekwencji ustalonych więzi betonem ($\ref{e_c2}$) uzależnia go od wysokości strefy ściskanej $x$, więc równanie żelbetu ($\ref{X3}$) jest tylko pozornie sześcienne.

Nośność przekroju

Dwuparametrową nośność przekroju zginanego i ściskanego lub rozciąganego $(M,N)_{Rd}$  wyznaczają równania róenowagi ($\ref{R1}$) po zamianie indeksów $Ed$ na $Rd$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
N_{Rd} =  F_c + F_{su} –  F_{sl})\\
M_{Rd}= M_{c,0}+ F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \end{cases} \label {Interakcja} \end{equation}$$

Warunki nośności przekroju są zachowane, gdy spełniona jest nierówność

$$\begin{equation} (M,N)_{Ed} \le (M,N)_{Rd} \label{E<R} \end{equation}$$.

Na rys. 3 pokazano przykład krzywych interakcji  (linie w kolorze czerwonym) i obszarów interakcji (wewnątrz obszaru objętego czerwonymi liniami) dla konkretnneg o przekroju żelbetowego. Kółkami oznaczono dwie pary sił zewnętrznych $(N,M)_{Ed}$  dla których przekrój ma wystarczającą nośność ( punkty wypadają wewnątrz obszaru interakcji).

Projektowanie przekroju żelebetowego

Procedura projektowania przekroju

Decyzje projektowe podejmuje Projektant w standardowej półodwrotnej procedurze projektowej:

  • dla znanych ograniczeń projektowych, najczęściej geometrycznych ograniczeń architektonicznych oraz technologicznych „zgaduje” rozwiązanie problemu, a w tym przypadku: dla znanych rozmiarów przekroju $hxb$, otulenia $c_l, c_u$, klasę betonu $f_c$ oraz klasy stali zbrojeniowej $f_y$ i $klasa$ oraz przyjmuje zbrojenie elementu (średnice $\varnothing_l$ i $\varnothing_u$  oraz  liczbę prętów zbrojenia $n_l$ i $n_u$.
  • określa nośność przyjętego  przekroju $(N,M)_{Rd}$ i porównuje z siłami zewnętrznymi $(N,M)_{Ed}$,
  • w przypadku nie spełnienia warunków nośności ($\ref{E<R}$) lub zbyt dużego zapasu nośności koryguje przekrój przez zwiększenie lub zmniejszenie parametrów rozwiązania. Zadaniem komputera jest szybka odpowiedź na zadane pytanie: jaka jest nośność aktualnie przyjętego przekroju ?

Nie powinno mieć zastosowania omijanie lub przyśpieszanie tych procedur, w tym prowadzenie automatycznej optymalizacji przekroju lub oczekiwanie na jednoznaczny projekt komputerowy. udział Projektanta w podejmowaniu decyzji jest nieodzowny i najważniejszy. Komputer jest jedynie „liczydłem” , a projekt NIE może być  utożsamiany z obliczeniami lub też rozwiązania projektowe ograniczane przez możliwości obliczeniowe.

Z tych oczywistych względów równania żelbetu ($\ref{X2}$) oraz ($\ref{X3}$) mają małe praktyczne znaczenie i nie są stosowane w prezentowanym algorytmie. Ważne jest natomiast równanie $(\ref{Rzelbet})$, ponieważ będzie często stosowane do wstępnego projektowania zbrojenia przekroju.

Algorytm wyznaczania nośności (interakcji) przekroju

W celu wyznaczenia krzywych interakcji , przykładowo pokazanych na rys.3 stosujemy procedurę zastosowaną w arkuszach obliczeniowych (The Concrete Centre, 1999), sprowadzona do następujących kroków:

  1. Przyjąć przedział wysokości strefy ściskanej [$x_{min}$ ; $x_{max}$] i podzielić go na kilkadziesiąt przedziałów o szerokości $\Delta x$
  2. Dla kolejnych wartości $x_i=x_{i-1}+\Delta x$ wyznaczyć kolejno:
    2.1. odkształcenia w stali ($\ref{Proporcje}$),
    2.2. naprężenia ($\ref{s_st}$), ($\ref{s_sc}$) i siły w zbrojeniu ($\ref{N_si}$),
    2.3. wypadkową ($\ref {Nc<}$) i moment ($\ref {Mc<}$) naprężeń w betonie, a jeśli $x>h$ skorygowane ($\ref {N,Mc>}$),
    2.4. nośność przekroju ($\ref {Interakcja}$),
  3. Uzyskane punkty obwiedni nośności nanieść  na wykres i połączyć liniami prostymi lub funkcjami sklejanymi.

Kalkulator żelbetu

Struktura arkusza (informatyczna)  arkusza rys.1. jest wzorowana na (The Concrete Centre, 1999) (obliczenia wg normy angielskiej i uproszczonej procedury) i jest dostosowana do obliczeń wg Eurokod 2 oraz nieliniowych modeli stali oraz betonu.

Literatura

Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In W. Starosolski & R. Jasiński (Eds.), Naprawy i wzmocnienia konstrukcji budowlanych: konstrukcje metalowe, posadzki przemysłowe, lekka obudowa, rusztowania : XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk, 24-27 lutego 2016 roku. (Vol. I, pp. 25–202). Katowice: Polski Związek Inżynierów i Techników Budownictwa.
Filippou, F., C., Popov, E. P., & Bertero, V. V. (1983). Effects of Bond Deterioration on Hysteretic Behavior of Reinforced Concrete Joints (Report EERC No. 83–19). Berkeley: Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley.
Menegotto, M., & Pinto, P., E. (1973). Method of analysis of cyclically loaded RC plane frames including changes in geometry and non-elastic behavior of elements under normal force and bending. (Preliminary Report IABSE). IABSE.
Mohammad, F. A., & Seyan, D. A. (2016). Optimum design of reinforced concrete rectangular columns subjected to axial compression and biaxial bending moments. Athens Journal of Technology and Engineering, (3 (2)).
PN-EN 1992-1-1+AC+Ap1. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
The Concrete Centre. (1999). RC Spreadsheets (1999). Retrieved June 22, 2017, from http://www.concretecentre.com/Publications-Software/RC-Spreadsheets-v4B-2.aspx

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »