Imperfekcje konstrukcji stalowych [R3-2]

[ Imperfekcje a współczynniki obciążeń ]  [poprzednie R3-1] ⇐ ⊗ ⇒ [następne R3-3] [ Imperfekcje konstrukcji żelbetowych ]

W normie do projektowania konstrukcji stalowych Eurokod 3 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zdefiniowano oryginale zasady, stanowiące podstawę metod imperfekcyjnych. W normie tej dopuszczono jeszcze stosowanie historycznych metod wyboczeniowych, a zasady metody imperfekcyjnej były udoskonalane w normach publikowanych w kolejnych latach dla konstrukcji żelbetowych, zespolonych i aluminiowych.

Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.3(3)), w celu uwzględnienia systemowych imperfekcji geometrycznych konstrukcji stalowych wrażliwych na efekty drugiego rzędu (w tym ram przechyłowych) można stosować uproszczoną metodę zastępczych imperfekcji geometrycznych przechyłowych i łukowych. Za dokładniejszą uznaje się metodę alternatywną, przedstawioną w pkt. 3.6 (rozdział 3), zgodnie, z którą imperfekcje określane są ze zintegrowanej postaci wyboczenia sprężystego. Wśród postaci wyboczenia sprężystego można wydzielić postać przechyłową lub łukową, symetryczną lub niesymetryczną, giętną lub skrętną itd., choć w ogólności jest to trudne ze względu na sprzężenie postaci wyboczenia i przy zastosowaniu współczesnych metod  projektowaniu  jest niepotrzebne.

Zaczniemy od przedstawienia zasad oryginalnych i w kolejnych punktach będziemy przedstawiali udoskonalenia metody, tak by w konkluzjach wskazać na syntezę zasad, które stanowią punkt wyjścia do uogólnień wprowadzanych w podręczniku.

Imperfekcje przechyłowe

Na Rys. 3.1 pokazano model przyjmowany w Eurokod 3 do analizy globalnych imperfekcji systemów konstrukcyjnych. W modelu zakłada się, że na skutek niezamierzonych odchyłek, budowla o wysokości h pochyli się w kierunku poprzecznym o kąt $\Phi$ , ale też pochyli się o taki kąt w kierunku podłużnym – w płaszczyźnie rzędu słupów.

Rys.3.1 Imperfekcje przechyłowe IGP

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, rys. 5.2.)

Podstawowa  i jednocześnie największa możliwa wartość pochylenia wynosi:

$$\begin{equation}\Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 \label {3-2.1} \end{equation}$$

Przechył ($\ref{3-2.2}$) może być zredukowany współczynnikami redukcyjnymi $\alpha_h$ oraz $\alpha_m$:
$$\begin{equation}  \alpha_h = \cfrac{2}{\sqrt{h}},  \quad  \text{lecz  } \, 2/3 \le \alpha_h \le \, 1  \label {3-2.2} \end{equation}$$
$$\begin{equation}  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{m+1}{2m}}   \label {3-2.3} \end{equation}$$

gdzie:
$h$ – wysokość budowli lub długość elementu,
$m$ – liczba słupów w rzędzie, które przenoszą obciążenie $N_{Ed}$  nie mniejsze niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyźnie pionowej.

Współczynnik  $\alpha_m$ powinien być obliczony dla liczby słupów stabilizowanych w kilku rzędach, a nie tylko w jednej ścianie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. (5.5)), (Ravindra, Galambos, 1972). Współczynniki redukcyjne przyjmują maksymalne możliwe wartości 1,0 odpowiednio dla h= 4 metry i dla m = 1.

Zredukowany przechył wynosi
$$\begin{equation}  \Phi=\Phi_0 \cdot \alpha_h \cdot \alpha_m  \to n_G= n_{\Phi} =n_{\Phi,0}/ (\alpha_h \cdot\alpha_m) \label {3-2.4} \end{equation}$$

Na skutek geometrycznej imperfekcji przechyłowej na głowice i stopy słupów (Rys. 3.2b) i na stropy między kondygnacyjne (Rys. 3.2a) działają równoważne siły imperfekcji

$$\begin{equation}  H_{Ed} =\Phi \cdot N_{Ed}  =\cfrac{H}{n_G}\label {3-2.5} \end{equation}$$

Ry.s. 3.2  Równoważne, poziome siły fikcyjne od imperfekcji przechyłowych: a) na stropy międzykondygnacyjne, b) na głowice i stopy słupów

Siła $N_{Ed}$ jest unormowaną osiową siłą przekrojową w danym słupie. Zwykle przyjmuje się, że jest to maksymalna siła ściskająca z długości słupa. W przypadkach uzasadnionych dużym wpływem sił $H_{Ed}$  na stan przemieszczeń i naprężeń, jako normę przyjmuje się średnią ważoną, proporcjonalną do odcinków długości słupa (w granicy, jako całkę po długości pręta, podzieloną przez jego długość h).  Jeśli zewnętrzna siła pozioma przekracza 15% całkowitej siły pionowej, to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{3-2.5}$), wynikające z modelu Rys. 3.1.

W przypadku linii słupów spiętych belką wezgłowiową do głowicy najczęściej pierwszego słupa przykłada się sumaryczną siłę od imperfekcji wszystkich słupów w szeregu $\sum H_{Ed}= \Phi \sum N_{Ed}$. Taki zabieg uogólnia się na całą kondygnację budynku wielokondygnacyjnego w przypadku baterii słupów spiętych tarczą stropową, ponieważ w praktycznie spotykanych przypadkach wpływ sił imperfekcji na zwiększenie wytężenia początkowego nie jest zbyt istotny, a siły imperfekcji spełniają pożyteczną, obliczeniową rolę, bo prowadzą do wytrącenia systemu z idealnego położenia, więc w celu uproszczenia procedur dla zwykłych przypadków przyjmuje się zwykle najniekorzystniejszą wartość ($\ref{3-2.1}$) (bez redukcji).

Przechyły $\Phi$ układu na danej wysokości układu mogą powodować zwykłą translację (Rys. 3.3a) o odcinek $\Phi \cdot x$  (x- wysokość rozpatrywanego punktu nad poziom zerowy), albo obrót (Rys. 3.3b ) $\Phi\cdot b/2 \cdot x/h$ (b, h – szerokość i wysokość budowli). Wartość translacji lub obrotów zmienia się po wysokości od zera (dla x=0) do maksymalnej wartości ($\ref{3-2.4}$) (dla x=h).

Rys.3.3. Przechyły układu: a) translacyjne Λ , b) skrętne Λφ

Zasada ($\ref{3-2.5}$) dotyczy wszystkich obciążeń grawitacyjnych, również rozłożonych (liniowych lub powierzchniowych), co można zapisać formułą:

$$\begin{equation} g_x= g_y = \Phi \cdot g_z  \label {3-2.6} \end{equation}$$

Imperfekcje łukowe

Zastępcze imperfekcje łukowe elementów modelowane są wstępnym wygięciem elementu o amplitudzie (strzałce wygięcia)  $e_0$ w sposób pokazany na Rys. 3.2b. Mimośrody $e_0$ są proporcjonalne do długości elementu oraz zależą od rodzaju prowadzonej analizy (sprężysta, plastyczna). W poprawce do polskiej wersji (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zaleca się, by względną imperfekcję łukową dla wszystkich rodzajów analiz przyjmować wg kol. (2) Tab. 3.1 (jak dla analizy sprężystej). Typ krzywej wyboczeniowej zależy od rodzaju profilu i dobiera się  go z tab. 3.2

. Tab.3.1. Wartości obliczeniowe wstępnych imperfekcji łukowych e0/L (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 5.1.)

Tab 3.2 Kryteria wyboru krzywych wyboczeniowych
( kopia (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.2.)

W przypadku belek, istotne mogą być lokalne imperfekcje w postaci wstępnych skręceń. Równoważne siły imperfekcji, będą równomiernie rozłożonymi po długości belki, momentami skręcającymi . Postępując analogicznie do procedury szacowania równoważnych sił ($\ref{3-2.9}$), otrzymamy następujące wyrażenie na równoważne momenty skręcające od imperfekcji skrętnych:

$$\begin{equation} m_T= M_{Ed} \cdot \cfrac{8 \varphi_0}{L_T}  \label {3-2.7} \end{equation}$$

gdzie: $M_{Ed}$  – obliczeniowy moment zginający,  $L_T$ – efektywna długość belki, miarodajna do szacowania zwichrzenia elementu.

Występujący w ($\ref{3-2.7}$)  kąt wstępnego skręcenia  $\varphi_0$ oszacujemy przy założeniu, że wstępne wygięcia łukowe $e_0$ , pokazane na Rys. 3.4b dotyczą pasa górnego (1) i dolnego (2) belki o wysokości H, ale są wygięte w przeciwne strony o wartość, stanowiącą 50% imperfekcji łukowego wygięcia, tzn.: $e_{0(1)}=-e_{0(2)}= e_0 / 2$.  Tutaj $e_0$ jest strzałką wygięcia wstępnego, określoną jak dla pręta ściskanego wg tab. 3.1, zależnie od krzywej wyboczeniowej a do d belki zginanej, przyporządkowanej do typu przekroju zgodnie z tab. 1.1. Mamy stąd oszacowanie:

$$\begin{equation} \varphi_0 =\cfrac{e_0/2}{H/2}=\cfrac{e_0}{H}  \label {3-2.8} \end{equation}$$

gdzie: H – wysokość belki.

Obciążenie równoważne od imperfekcji lokalnych (elementu) przyjmuje się zgodnie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.3.2.(6)), rys. 3.3b i zależnością:

$$\begin{equation}q_d=\cfrac{8 N_{Ed} \cdot e_0}{l^2} = \cfrac{8N_{Ed}}{n_L \cdot L} \label {3-2.9} \end{equation}$$

gdzie $e_0$ – obliczeniowa imperfekcja łukowa. Oznaczenie imperfekcji jest zgodne z nomenklaturą normy (PN-EN 1999-1-1, 2010), gdzie pominięto indeks „d”, który jest stosowany w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) ( tzn. $e_0=e_{0d}$).Względną imperfekcję łukową należy przyjmować z Tab. 3.1. Siła jest obliczeniową siłą osiową działającą w elemencie o długości L, którą należy szacować, uwzględniając uwagi pod formułą ($\ref{3-2.5}$).

Rys. 3.4. Zastąpienie wstępnych imperfekcji równoważnymi siłami poziomymi : a) imperfekcje przechyłowe (globalne), b) imperfekcje łukowe (lokalne)

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, rys. 5.4.)

Uwaga

W dalszej części pracy pokazano, że bezkrytyczne stosowanie fikcyjnych sił dla każdego schematu statycznego prętów zgodnie z formułą ($\ref{3-2.9}$), może prowadzić do grubych błędów. Formuła jest słuszna wyłącznie dla pręta przegubowo-przegubowego.

Równoważność imperfekcji od obciążeń i od sił przekrojowych

Fikcyjne siły imperfekcji $(\ref{3-2.5})$ są uzależnione od osiowych sił przekrojowych $N_{Rd}$ występujących w danym elemencie. Na użytek szacowania sił imperfekcji można prrzyjąć, że w układzie konstrukcyjnym, siły przekrojowe są proporcjonalne do mnożnika obciążeń zewntrznych $\Lambda$ i wówczas formuła $(\ref{3-2.5})$ przyjmie równoważną postać

$$\begin{equation}   H = \Phi \cdot \Lambda V \label {3-2.10} \end{equation}$$

gdzie V oznacza obciążenie grawitacyjne (pionowe) w ustalonej konfiguracji, złożone z obciążeń konstrukcji (skupionych, rozłożonych liniowo lub powierzchniowo) .

W tym ujęciu siły fikcyjne siły od imperfekcji są poziomymi obciążeniami od imperfekcji stowarzyszonymi z każdym obciążeniem grawitacyjnym, niezależnie od miejsca jego przyłożenia.

Przykłady rachunkowe

Przykład 3-2.1 [Stalowa rama portalowa ]

Postawienie zadania i dane ogólne

Oszacować przechyłowe oraz łukowe imperfekcje geometryczne oraz zastępcze obciążenia poziome dla ramy portalowej, pokazanej na rys. 3.5. Rama portalowa
o rozpiętości
$L= 6 \,m$
oraz wysokości
h=4,5 \, m
wykonana jest z profili: rygiel [2] – IPE 270, słup lewy [1] – HEA 260, słup prawy [3] – HEB 300. Pręty obciążone są obciążeniami równomiernie rozłożonymi:  rygiel  $q_{z,[2]}= – 15 kN/m$; słupy  $q_{x, [1] , [3]} = 6 \, kN/m$.

Rys.3.5 Schemat ramy do przykładu 3.1.

Imperfekcje geometryczne przechyłowe

Podstawowa imperfekcja przechyłowa
$( \ref{3-2.1} )  \to$  $ \Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 $

Współczynniki redukcyjne:
wysokości  $(\ref{3-2.2}) \to$  $ \alpha_h= \cfrac{2} {\sqrt{4,5}}= 0,943 \quad ( 2/3 \le 0,943 \le 1) $
liczby słupów dla $m=2$ , $(\ref{3-2.3}) \to $ $\alpha_m =\sqrt{\cfrac{2+1} {2 \cdot 2}}= 0,866$

Imperfekcja przechyłowa
$(\ref{3-2.4}) \to$ $ \Phi=1/200 \cdot 0,943 \cdot 0,866=0,00408 = 1/245$
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 0,866}= 245$.

Po sporządzeniu wykresu sił przekrojowych (rys. 3.6) okazuje się, że:

Suma sił osiowych w słupach wynosi $\Sigma N_{Ed}=24,75+65,25=90 \, kN$, więc siła w słupie [1] $ N_{Ed, [1]} =24,75 \, kN $  < 50% $ \Sigma N_{Ed} / m = 90/2 = 45 \, kN $.
Zgodnie z zaleceniem normowym [1]  powinno wykluczyć się z liczby słupów $m$ w wyrażeniu ($\ref{3-2.3}$), czyli :
$m=1 \to  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{1+1} {2 \cdot 1}}= 1,00 $.
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 1,00}= 212 $.

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla $n_{\Phi} = 245$

Fikcyjne siły poziome od imperfekcji przechyłowych

Fikcyjne siły jako wynik sił osiowych w słupach zgodnie z  ($\ref{3-2.5}$):

$H_{Ed[1]} = 24,75/245= 0,1010 kN$

$H_{Ed[2]} = 65,25/245= 0,266 kN$

$\Sigma H_{Ed}= 0,010+0,266=90/245= 0,367 \ , kN$

Rys. 3.6 Wykres sił osiowych w prętach systemu z rys. 3.3.a

Zewnętrzna siła pozioma $H_{Ed[1]} =6 \cdot 4,5= 27 kN > 15 \text {% } \cdot 24,75 =3,71 \, kN; \quad \text {oraz } >15 \text {% } \cdot 65,25= 9,78 \, kN$, wiec zgodnie z zaleceniami normowymi , to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{3-2.5}$).

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla wyznaczonych wyżej sił fikcyjnych

Fikcyjne siły jako wynik obciążeń grawitacyjnych

$\Sigma V_{Ed}= 6 \cdot 15=90 \, kN$

{$\ref{3-2.10})$ to \Sigma H_{Ed} = 90/245= 0,367 \ , kN$

Imperfekcje geometryczne łukowe

Strzałki impefekcji łukowych przyjęto z tab 3.1. i 3.2 i zestawiono w tab.3.3

Tab.3.3. Parametry geometrycznych
imperfekcji łukowych do przykładu 3.1.

Fikcyjne obciążenia od imperfekcji łukowych

W kolumnie (7) tab.3.3. podano wartości fikcyjnych obciążęń od imperfekcji łukowych $q_d$ wyliczone z formuły normowej ($\ref{3-2.9}$).

W rozdziale 4 przeprowadzono dyskusję formuły ($\ref{3-2.9}$) i wykazano, ze obowiązuje ona wyłącznie dla prętów przegubowo-przegubowych. Pokazano metodę plastyczną i kinematyczną, umożliwiające uzyskanie poprawnych aproksymacji.

Wnioski z przykładów

  1. Z analizy zadania w zakresie współczynnika korygującego imperfekcje przechyłowe w zależnosci od liczby słupów, wynika , że:

(a) wymóg ograniczenia liczby słupów uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych do celów wyliczenia współczynnika redukcyjnego $\alpha_h$, komplikuje obliczenia, bo wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych,
(b) ograniczenie liczby słupów (a) prowadzi do zwiększenia  imperfekcji przechyłowej konstrukcyjnego,w stopniu nieistotnym statystycznie wobec niepewnej i arbitralnie przyjętej wartości imperfekcji przechylowej.

(c) umożliwienie ograniczenia obliczeń imperfekcyjnych w przypadku, gdy zewnętrzne siły poziome przekraczają 15% obciążeń pionowych pozornie tylko upraszczaj obliczenia, bowiem sprawdzenie tego warunku wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie oraz wyznaczenie segregowanie obciążeń poziomych.

(d) z wniosku (a) i (b) wynika, że  w obliczeniach praktycznych można pomijać redukcję liczby słupów $m$ z warunku ich obciążęnia. „N< 50%H”.
Z wniosku (c) wynika, że w obliczeniach praktycznych można nie sprawdzać warunku „N<15%H” i procedurę wyznaczania sił imperfekcji prowadzić w każdym przypadku.

2. Zastąpienie imperfekcji przechyłowych fikcyjnymi siłami poziomymi od obciążeń grawitacyjnych jest proste i daje dokładne wyniki,

3. Zastąpienie imperfekcji łukowych fikcyjnymi siłami poziomymi od obciążeń grawitacyjnych jest jest złożone i nie poddaje się prostym uniwersalnym algorytmom. Zaleca się stosowanie współczesnych programów obliczeniowych, w których  imperfekcje łukowe zadają siwe bezpośrednio w sposób geometryczny


[następne R3-3] [ Imperfekcje konstrukcji żelbetowych ]


Niniejszy artykuł jest częścią 2, rozdziału 3. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(2019-04-19, 30) Wersja 1.0 
Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na adres  wydawnictwa biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w rozdziale

PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
Ravindra, M. K., & Galambos, T. V. (1972). Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters”  by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »