Błąd Eulera

Euler jest twórcą teorii stateczności systemów sprężystych.  W roku 1744 wyznaczył siłę krytyczną ściskanego słupa poprzez rozwiązanie ścisłego równania różniczkowego zgiętej osi pręta przegubowo opartego na końcach. W roku 1757 uzyskuje ten sam rezultat z wykorzystaniem zlinearyzowanego równania  różniczkowego, W pracy zajmuje się statecznością słupa obciążonego siłami skupionymi $N$ na końcach oraz równomiernie rozłożonymi po długości siłami osiowymi $n$ (rys.1). Popełnił przy tym błąd, który został naprawiony dopiero 150 lat później w pracy (Dinnik, 1935).

Obciążenia zewnętrzne $N,n(z) $ wywołują moment zginający

$M(z)= – \int \limits_0^z n \cdot [v(z)-v(\zeta)] d\zeta \, – Nv(z)$,  (1)

gdzie $v(z)$ jest ugięciem pręta w punkcie o współrzędnej $z$, a $ v( \zeta)$ – ugięciem w punkcie pośrednim $\zeta \in (o,z)$.

Euler Error

Rys.1. Schemat konstrukcji i obciążeń analizowany przez Eulera (Panovko, Gubanova, 1967)

Z drugiej strony podstawowe równanie różniczkowe zginania wymusza:

$M(z)= EI \dfrac{d^2 v}{dz^2}$,  (2)

Z porównania (1) i (2) otrzymujemy równanie różniczkowe pręta z rys. 1:

$EI \dfrac {d^2 v}{dz^2}+n \int \limits_0^z [v(z) -v(\zeta)] d \zeta \, +N \cdot v(z) \,= 0$,  (3)

Po przekształceniu całki wchodzącej (3)w ten sposób, że

$\int \limits_0^z [v(z) -v(\zeta)] d \zeta=v(z)-\int \limits_0^z v(\zeta) d \zeta= v(z)\cdot z -[\zeta v(\zeta) {|}_0^z + \int \limits_0^z \zeta \dfrac {dv}{d \zeta} d \zeta= \int \limits_0^z \zeta \dfrac {dv}{d \zeta} d \zeta$,  (4)

to zamiast (3) otrzymamy:

$EI \dfrac {d^2 v}{dz^2}+n \int \limits_0^z \zeta \dfrac{dv}{d \zeta} d \zeta \, +N \cdot v(z) \,= 0$,  (5)

 lub po przeróżniczkowaniu

$EI \dfrac {d^3 v}{dz^3}+(n (z+N) \dfrac {d v}{dz} \,= 0$,  (6)

Otrzymaliśmy znane obecnie, ale nie znane za czasów Eulera wyrażenie, które można prosto otrzymać z formuły na siłę poprzeczną w belce. Równanie (6) jest trzeciego rzędu, więc jego rozwiązanie musi mieć trzy stałe całkowania. Tymczasem rzeczywiste rozwiązanie zadania powinno spełniać cztery warunki brzegowe

$v=0$
$\dfrac {d^v} {dz^2}$,
dla  $z=0$  i $z=l$
 (7)

Błąd Eulera był trywialny i polegał na zaniedbaniu  ostatniego warunku brzegowego (7), co można dopuścić tylko dla przypadku małego $n$, wskutek czego Euler otrzymał prawidłową wartość siły krytycznej $N_{cr}$ w dla przypadku granicznego $n=0$.

W 1778 roku pokazany błąd, polegający na analizie równania (6), ale bez działania siły $N$ na wierzchołku słupa (rys.1) doprowadził do paradoksu, polegającego na wynika, że taki słup nie może utracić stateczności. Zjawisko nieograniczonej stateczności słupa obciążonego ciężarem własnym sam Euler nazywa „nie tylko paradoksem, ale i bardzo podejrzanym”.

W kolejnej publikacji w 1778 roku Euler wyjaśnił paradoks poprzez uwzględnienie  w rozwiązaniu poziomej reakcji H (rys.2).

Euler2Rys.2. Prawidłowy układ sił równowagi słupa pod ciężarem własnym $n$ (Panovko, Gubanova, 1967)

W miejsce równania problemu (6) otrzymaliśmy  równanie prawidłowe (8) (Panovko, Gubanova, 1967):

$EI \dfrac {d^3 v}{dz^3}+(n (z+N) \dfrac {d v}{dz} \,= H$,  (8)

Literatura

Dinnik, A. N. (1935). Ustojcivost  uprugich system (Objedinnoje Naucno-Techniceskoje izdatelstwo NKTP SSSR). Moskva-Leningrad. Retrieved from http://dwg.ru/lib/800
Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »