Transformacja podstawowych zmiennych losowych

W analizie niezawodności fundamentalnym zadaniem jest transformacja podstawowych zmiennych losowych $X$ do gaussowskiej przestrzeni standardowej $U$ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], i in.

Transformacja zmiennych losowych $T:\ X \to U$ powinna zachować prawdopodobieństwo obszaru awarii. Warunek ten można zapisać w następującej postaci:

$$\begin{equation} P_f=\int \limits_{\Omega _f } f_X (x) dx=\int \limits _{\Delta _f } f_U (u) du\end{equation}$$

gdzie:
$\Omega_f$ i $\Delta _f $ – obszar awarii w oryginalnej przestrzeni i  w gaussowskiej przestrzeni standardowej,
$f_X$ i $f_U$ – funkcja gęstości rozkładu oryginalnych zmiennych $X$  i  gaussowskich zmiennych  standardowanych $U$.

Obszar awarii w gaussowskiej przestrzeni standardowej określony jest przez następującą transformację:

$$\begin{equation} \Omega _f=\left \{ x: g(x)\leq0 \right \}\rightarrow \Delta _f=\left \{ u: G(u) \leq 0 \right \} \end{equation}$$

gdzie:

$G(u)$ – funkcja graniczna w gaussowskiej przestrzeni standardowej.

Funkcja graniczna w gaussowskiej przestrzeni standardowej jest określana przez odwrotną transformację zmiennych losowych $X=T^{-1}(U)$

$$\begin{equation} G(u)=g [T^{-1}(u)] \end{equation}$$

Nieliniowe zależności między rozkładami prawdopodobieństwa powodują zmianę własności geometrycznych obszaru awarii w wyniku transformacji, co pokazano na rys.1 na przykładzie transformacji przestrzeni $X$ niezależnych zmiennych o rozkładzie wykładniczym  z obszarem $\Omega_f$ z granicą liniową, na obszar $\Delta _f$ w gaussowskiej przestrzeni standardowej $U$ z silnie nieliniową powierzchnią graniczną.

Jeśli  składowe  wektora losowego nie są skorelowane, to można je transformować niezależnie (jedna po drugiej), wykorzystując  tożsamość:

$$\begin{equation} \Phi_{U_i} (u_i)= F_{X_i} (x_i) \end{equation}$$

gdzie:

$\Phi_{U_i}$ – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej $U_i$,
$F_{X_i}$ – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X_i$,

Transformację zmiennej losowej $X_i $ na zmienną losową  $U_i $ można opisać wyrażeniem:

$$\begin{equation} u_i= \Phi _{U_i}^{-1} (F_{X_i} (x_i) \end{equation}$$

Natomiast transformację odwrotną do niej przedstawia wzór:

$$\begin{equation} x_i= F_{X_i}^{-1} \Phi_{U_i} (u_i) \end{equation}$$

Jeżeli składowe wektora losowego są skorelowane to wykorzystuje się transformację  [8], która przekształca kolejne składowe zmiennej losowej zgodnie z sekwencją:

$$\begin{equation} \Phi (u_1)=F_{X_1} (x_1) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Phi (u_2)=F_{X_2} (x_2 | x_1)\end{equation}$$

$$\begin{equation} \Phi (u_3)=F_{X_3} (x_3|x_1,x_2)\end{equation}$$

$\ldots$

$$\begin{equation} \Phi (u_i)=F_{X_i}(x_i|x_1,x_2, \ldots |x_{i-1}) \end{equation}$$

gdzie:

$F_{X_i} (x_i|x_1,x_2,\ldots, x_{i-1})$ – dystrybuanta warunkowego rozkładu prawdopodobieństwa $X_i$ pod warunkiem $ \left \{ X_1=x_1,X_2=x_2 ,\ldots , X_{i-1}=x_{i-1} \right \}$.

$ F_{X_i}$ można przestawić w następujący sposób:

$$\begin{equation} F_{X_i} (x_i|x_1,x_2,\ldots, x_{i-1})=(\int \limits_{-\infty} \limits^{x_i} \dfrac {f_{x_i} (x_1,x_2, \ldots,x_{i-1}, t) \ dt } { (f_{x_{i-1}} (x_1 ,x_2,\ldots, x_{i-1}) }\end{equation}$$

gdzie:
$f_{x_i}(x_1,x_2,\ldots,x_i)$ – funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu brzegowego,
jeśli znana jest funkcja łącznej gęstości prawdopodobieństwa f zmiennej $X$, to:

$$\begin{equation}f_{x_i}(x_1,x_2,\ldots,x_i)=\int \limits_{-\infty} \limits^{\infty} \ldots \int \limits_{-\infty} \limits^{\infty} f_{x} (x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_{i+1},\dots, dx_n) \end{equation}$$

Transformacja Rosenblatta (7) do (10) nie jest jednoznaczna. Kolejność transformacji składowych wektora losowego można wybrać n! sposobami. Na kształt obszaru awarii w gaussowskiej przestrzeni standardowej ma wpływ kolejność wykonywania transformacji. Natomiast od kształtu obszaru awarii w  gaussowskiej przestrzeni standardowej zależy efektywność algorytmów analizy niezawodności. Jeśli funkcja $F_{X_i}$ nie ma prostej postaci to, transformacja wymaga zastosowania całkowania numerycznego. [2], [1].

Niejednoznacznośc transformacji Rosenblatta daje możliwość doboru najlepszej kolejności z punktu widzenia  kosztowności i dokładności obliczeń, co należy badać odrębnie w każdym indywidulanym zagadnieniu.

Literatura

1. Hohenbichler, M., Rackwitz, R. (1981), Non-normal deoendent vectors in. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 107, 1227–1238
2. Engelund, S., Rackwitz, R. (1993), A benchmark study on importance sampling tech-niques in structural reliability. Structural Safety, 12, 255–276
3. Stocki, R. (1999), Niezawodnościowa optymalizacja konstrukcji prętowych w zakresie dużych przemieszczeń. Teoria i program komputerow, Praca doktorska, IPPT PAN. [ http://bluebox.ippt.pan.pl/~rstocki/Dok.pdf ]
4. Stocki R. (2010), Analiza niezawodności i optymalizacja odpornościowa złożonych konstrukcji i procesów technologicznych. IPPT PAN
5. Kolanek, K. (2006). Analiza i optymalizacja niezawdności konstrukcji za pomocą ad-aptacyjnych metod symulacyjnych, Praca doktorska, IPPT PAN, [ http://www.ippt.pan.pl/_download/doktoraty/Kolanek_doktorat.pdf ]
6. Knabel, J. (2004). Analiza niezawodności konstrukcji sprężysto-plastycznych przy użyciu powierzchni odpowiedzi, Praca doktorska, IPPT PAN, [ http://prace.ippt.gov.pl/IFTR_Reports_6_2004.pdf ]
7. Winkelmann, K. (2013). Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich meto-dami symulacyjnymi oraz metodą powierzchni odpowiedzi, Praca doktorska, Poli-technika Gdańska, [ http://pbc.gda.pl/Content/34300/phd_winkelmann.pdf ]
8. Rosenblatt M. (1952), Remarks on multivariate transformation. The Annals of Mathematical Statistics, 23, 470+472

________________________________