Statyka pojedynczego cięgna była przedmiotem badań od czasów Galileusza [1]. Krótką notkę historyczną zamieszczono w  artykule Krzywa łańcuchowa. W niniejszym artykule przedstawiono zagadnienie statyki cięgna w ujęciu [2] i wyprowadzono równania katenoidy (krzywej łańcuchowej).

Równanie równowagi cięgna

Na rys. 1 pokazano pojedyncze cięgno zawieszone w punktach A i B (rys.1a) , zwisające pod obciążeniem $q_1$ w rzucie i $q_2= \cfrac{q_1}{cos \alpha}$ po długości cięgna. Odcinek cięgna o długości $ds$, a w rzucie $dx=ds cos \alpha$ jest rozciągany siłą S na lewym i $S+dS$ na prawym końcu. Składowe sił $S$, to: pozioma $H=S cos \alpha$ i pionowa $T=S sin \alpha$.

Rys. Schemat pojedynczego cięgna [2] – rozdz. 12, rys. 13

Warunki równowagi sił, działających na element $dS$ cięgna można zapisać w postaci:

$$ \begin{equation}  \label{1} \begin {cases}
\textrm {$\sum H=0: $} & H-(H+dH)=0 \to dH=0 \to H=const \\
\textrm {$\sum M=0 $} & T dx – H dy=0 \to T=H y^{’} \to T^{’}=H y^{„} \\
\textrm {$\sum T (q_1)=0 $} &T-(T+dT)+ q_1 dx =0 \to T^{’} = q_1(x)\\
\textrm {$\sum T (q_2)=0: $} & T-(T+dT)+ q_2 ds =0 \to T^{’} = q_2(x) \cfrac{ds}{dx}\\
\end {cases} \end{equation} $$

Z porównania $(\ref{1} a)$   z $(\ref{1} c)$ mamy

$$ \begin{equation}  H y^”=q_1(x) \label{2} \end{equation} $$

Ponieważ  $ ds= \sqrt{dx^2 + dy^2}=dx \sqrt{1+{y^{’}}^2}$, więc po złożeniu $( \ref{1} b)$ i $( \ref{1} d )$, mamy:

$$ \begin{equation}  H y^”=q_2(x) \sqrt{1+{y^{’}}^2}\label{3} \end{equation} $$

Długość odcinka liny wynosi

$$ \begin{equation}  L= \int \limits_l \sqrt{1+{y^{’}}^2} \label{4} \end{equation} $$

Równanie różniczkowe $(\ref{2})$ lub $(\ref{3})$ ma dwie stałe całkowania $C_1$ i $C_2$ , które wyznaczamy z warunków brzegowych. Zależności pomiędzy siłami $T(x)$ , $H(x)$ i siła w linie $S(x)$ po uwzględnieniu zależności geometrycznych  (rys.1) można zapisać w postaci:

$$ \begin{equation}  \label{5} \begin {cases}
T(x)=H \cdot tan \varphi= H \cdot y^{’}(x) \\
S(x)= \sqrt{H^2+T^2(x)}=Hv \sqrt{1+{y^{’}}^2(x)}=H \sqrt{1+tan^2 \varphi}= \cfrac{H}{cos \varphi} \\
\end {cases} \end{equation} $$

gdzie $\varphi$ jest lokalnym kątem nachylenia cięgna.

Krzywa łańcuchowa

Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego $(\ref{2})$ dla obciążenia $q_2(x)=g= const$, na przykład pod ciężarem własnym cięgna $g$. Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej $u=y^{’}$ równanie $(\ref{3})$ można zapisać w postaci:

$$ \begin{equation}  H u^{’} =g \sqrt {1+u^2} \to \cfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\cfrac{g}{H} \cdot dx \label{6} \end{equation} $$

Całką ogólną równania różniczkowego $(\ref{6})$ jest

$$ \begin{equation}  ln \left ( u + \sqrt{1+u^2}\right)= \cfrac{q}{H}\cdot x +C_1 \to u+ \sqrt {1+u^2}= e^{\left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)} \to y^{’}+ \sqrt {1+{y^{’}}^2}= e^{ \left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)} \label{7} \end{equation} $$

Ponieważ  $\cfrac{d (lnx)}{dx}=\cfrac{1}{x}$, wiec $(\ref{7})$ można zapisać w postaci:

$$ \begin{equation}  \cfrac{1}{y^{’} + \sqrt {1+{y^{’}}^2}}=e^{- \left( \cfrac {g}{H}x+C_1\right)} \label{8} \end{equation} $$

Odejmując stronami $(\ref{7})$ i $(\ref{8})$ uzyskamy

$$ \begin{equation}  2y^{’}=e^{\left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)} \to y^{’}= \cfrac{1}{2} \left \{ e^{ \left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)} \right \} \label{9} \end{equation} $$

Rozwiązanie zagadnienia cięgna uzyskamy po przecałkowaniu równania $(\ref{9})$ w postaci:

$$ \begin{equation}  y= \cfrac{H}{2g} \left \{ e^{\left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \cfrac{g}{H}x+C_1\right)} \right] \} + C_2 \label{10} \end{equation} $$

Stałe całkowania $C_1$ , $C_2$ oraz stałą $H$ należy określać dla konkretnych warunków brzegowych.

Cięgno układa się w krzywą łańcuchową (katenoidę)

Rys.2. Cięgno w układzie podstawowym układa się w krzywą łańcuchową pod ciężarem własnym  [2], rozdz. 12, rys. 18

W układzie  współrzędnych przyjętym zgodnie z rys. 2, z początkiem zaczepionym poniżej  najniższego punktu cięgna, tak by ten punkt miał współrzędne

$C(0, \cfrac{H}{g})$

stałe całkowania zerują się:  $C_1=0$ i $C_2=0$.

W przyjętym układzie punkty zaczepienia cięgna mają współrzędne: $A(-\cfrac{l}{2}, f+\cfrac{H}{g})$, $B(\cfrac{l}{2}, f+\cfrac{H}{g})$, a ugięcie cięgna wynosi  $\delta (x)= y-(f +\cfrac{H}{g})$.

W tym układzie współrzędnych rozwiązanie (10) przyjmuje kształt krzywej łańcuchowej (katenoidy) $(\ref{11})$:

$$ \begin{equation}  y= \cfrac{H}{2g} \left \{ e^{\tfrac{x}{ H/g}}+ e^{-\tfrac{x}{ H/g}} \right \} = \cfrac{H}{g} cosh \cfrac{x}{H/g} \label{11} \end{equation} $$

Aproksymacja krzywej łańcuchowej parabolą

Po rozłożeniu kosinusa hiperbolicznego w szereg potęgowy – krzywą łańcuchową $ \ref{11})$ można zapisać w postaci

$$ \begin{equation}  y= \cfrac{H}{g} \left ( 1+ \cfrac{x^2}{2!(H/g)^2}+\cfrac{x^4}{4! (H/g)^4}+ …\right) \approx \cfrac{H}{g}+\cfrac{g}{2H}\cdot x^2 \label{12} \end{equation} $$

Strzałka zwisu cięgna $f$ (rys.2) wynosi:

$$ \begin{equation}  f=y(\cfrac{l}{2})-\cfrac{H}{g}= \cfrac{H}{g}\left( cosh \cfrac{l/2}{H/g}-1\right) \approx \cfrac{gl^2}{8H}+ \cfrac{g^3 l^4}{384 H^3}+ \cfrac{g^5l^6}{46080 H^5}+ … \label{13} \end{equation} $$

Kąt nachylenia linii cięgna określa pochodna $y^{’}$ funkcji $(\ref{12})$:

$$ \begin{equation}  f=y^{’}=sinh \cfrac{x}{H/g} \approx \cfrac{x}{H/g}+ \cfrac{x^3}{3!(H/g)^3}+ … \label{14} \end{equation} $$

Po wprowadzeniu oznaczeń

$$ \begin{equation}  \label{15} \begin {cases}
m=\cfrac{h/g}{l/2}= \cfrac{2H}{gl} \\
n_f=\cfrac{f}{l} \\
n_L=\cfrac{L}{l} \\
\end {cases} \end{equation} $$

otrzymamy:

$$ \begin{equation}  \label{16} \begin {cases}
\textrm {dla krzywej łańcuchowej} & n_f= \cfrac{m}{2}\left ( cosh \cfrac{1}{m}-1\right) \quad  ; \quad n_L=m \cdot sinh \cfrac{1}{m} \\
\textrm {dla paraboli} & n_f=\cfrac{1}{4m}\quad  ; \quad n_L=\cfrac{1}{2}\sqrt{1+(1/m)^2}+\cfrac{m}{2}\cdot ln \left({\cfrac{1}{m}+ \sqrt{1+(1/m)^2}} \right) \\
\end {cases} \end{equation} $$

Na rys.3 graficznie pokazano różnice między ścisłymi zależnościami (dla krzywej łańcuchowej) i aproksymacji parabolą. Dokładność aproksymacji jest zadawalająca dla płaskich cięgien, o strzałce zwisu $f/l<0,12$, co odpowiada współczynnikowi obciążeń $m=\cfrac{2H}{gl}>2$.

Rys.3. Dokładność aproksymacji linii cięgna parabolą. Współczynnik obciążeń $m$ w funkcji: a) $n_f$, b) $n_L$  [2]– rozdz. 12, rys. 19

Siły i długość cięgna

Po podstawieniu wyrażenia na linię cięgna (13) do  (5a,b) , można uzyskać następujące wyrażenia na siły w cięgnie:

$$ \begin{equation}  \label{17} \begin {cases}
T(x)=H \cdot sinh \cfrac{x}{H/g} \\
S(x)=H \cdot cosh \cfrac{x}{H/g}=g \cdot y\\
\end {cases} \end{equation} $$

W sposób ścisły uzyskano ważny rezultat: Siła w cięgnie S(x) jest równa iloczynowi obciążenia liniowego cięgna ( np. ciężaru własnego) oraz rzędnej linii cięgna w danym punkcie po jego długości. Zależność (17b) jest prawdziwa wyłącznie w układzie współrzędnych z rys. 2.

Siła działająca na podporę wynosi  $S(l/2)= q \cdot (H/g+f)$, a reakcja pionowa podpory $ A= T(l/2)= H \cdot sinh \cfrac{l/2}{H/g} = g \cfrac{l}{2}$

Z równania (4) można uzyskać długość cięgna po rozciągnięciu:

$L= \int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{1+{y^{’}}^2}dx =\int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{1+sinh^2 \cfrac{x}{H/g}} dx= \int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{cosh \cfrac{x}{H/g}} dx= \cfrac{H}{g}\cdot sinh \cfrac{x}{H/g} |_{-l/2}^{l/2}$

czyli

$$ \begin{equation}  L=2 \cfrac {H}{g} \cdot sinh \cfrac{l/2}{H/g} \approx l \cdot \left ( 1+\cfrac{g^2l^2}{24h^2}+\cfrac {g^4 l^4}{1920 H^4} \right) \label{18}  \end{equation} $$

Podpory na różnych wysokościach

Rys.4 Pojedyncze cięgno zawieszone na różnych wysokościach [2]– rozdz. 12, rys. 20

W przypadku cięgna pokazanego na rys. 4, zawieszonego na podporach o różnych wysokościach, ułoży się ono również wg krzywej łańcuchowej (11), przy czym punkt symetrii jest przeniesiony do punktu B’, oddalonego o $a$ od osi rzędnych $y$.

Różnica wysokości podpór $c$ wynosi

$$ \begin{equation}  c= \cfrac{H}{g} \cdot \left( cosh \cfrac{b}{H/g}- cosh \cfrac{a}{H/g}\right)\label{19}  \end{equation} $$

gdzie $a$ i $b$ są odległościami poziomymi podpór od osi $y$. Zachodzą związki geometryczne: $l=2a+d \to a=\cfrac{l-d}{2}$ ; $l=2b-d \to b=\cfrac{l+d}{2}$.

Długość krzywej , wyznaczona z $(\ref{18})$ w granicach [a,b], wynosi

$$ \begin{equation}  L=L_{AC}+L_{CB}= \cfrac{H}{g}\cdot \left ( sinh \cfrac{a}{H/g}+ sinh \cfrac{b}{H/g}\right) = \sqrt {c^2 + \left ( 2 \cdot c\cfrac{H}{g}\cdot sinh \cfrac{l}{2H/g}\right)^2 } \label{20}  \end{equation} $$

Obowiązuje zależność  $S=g \cdot y$,  a  reakcje pionowe podpór wynoszą:

$$ \begin{equation}  \label{21} \begin {cases}
A=H \cdot sinh \cfrac{a}{H/g} \\
B=H \cdot sinh \cfrac{b}{H/g}\\
\end {cases} \end{equation} $$

Styczna do linii cięgna w punkcie $C$ jest równoległa do cięciwy krzywej (rys 5a).

Rys.5. Własności liny zawieszonej na różnych wysokościach: a) z dużym zwisem, b) z małym zwisem  [2] – rozdz. 12, rys. 21

Ponieważ punkt $C$ leży w odległości $a$ od podpory, to $y^{’}= sinh \cfrac{ \overline x-a}{H/g}=0 \to \overline x=a$.

W celu wyznaczenia odległości $\bar {\bar x} $ należy skorzystać z równania $ y^{’}= sinh \cfrac{\bar {\bar x}-a}{H/g}=\cfrac{c}{l}$. Po wyznaczeniu $\bar {\bar x} $  można obliczyć strzałkę ugięcia z formuły

$$ \begin{equation}  \label{22} f= \cfrac{c}{l}\cdot \bar{\bar x}- \cfrac{H}{g} \left ( cosh \cfrac{\bar {\bar x}-a}{H/g}-cosh \cfrac{a}{H/g}\right) \end{equation} $$

Wielokąt trasy pod obciążeniami skupionymi

 W przypadku obciążenia cięgna siłami skupionymi linię cięgna wyznaczamy w pierwszym przybliżeniu z wielokątu trasy cięgna przy założeniu nieodkształcalności osiowej cięgna $EA=\infty $ w sposób pokazany na rys. 6.

Rys.6 Wielokąt sił\tras w cięgnie :a) schemat obciążeń, b) kierunki tras, c) układ cięgien  [2] – rozdz. 12, rys. 22

Następnie stosujemy procedury iteracyjne. W prostym przypadku tok postępowania naszkicowano na rys. 7.

Rys.7 Szkic do wyznaczanie tras cięgien pod obciążeniem skupionym  [2] – rozdz. 12, rys. 23

 W pierwszym przybliżeniu rozwiązania iteracyjnego przyjmuje się, że siła pozioma $H$ oraz siła w cięgnie $S$ wynoszą

$$ \begin{equation}  \label{23} H=\cfrac{Fl}{4f} \quad ; \quad S=\cfrac{F}{2 sin \alpha} \end{equation} $$

Dla przypadku $EA=\infty$ mamy następujące zależności geometryczne:

$$ \begin{equation}  \label{24} tan \beta= \cfrac {f+\Delta f}{l/2} \to f+ \Delta f= \cfrac{l}{2}tan \beta \quad ; \quad sin \beta= \cfrac {f+\Delta f}{\left( 1+\cfrac{S}{EA} \right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}} \end{equation} $$

W wyrażeniu $(\ref{24})$ nie uwzględniono sprężystej odkształcalności cięgna. W takim razie  $(\ref{23})$ należy poprawić w drugiej iteracji  $(\ref{25})$

$$ \begin{equation}  \label{25} H=\cfrac{Fl}{4(f+ \Delta f)}=\cfrac{F}{2 sin \alpha} \quad ; \quad S=\cfrac{F}{2 sin \beta}=\cfrac {\left( 1+\cfrac{S}{EA} \right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}}{2(f+ \Delta f)} \cdot F \end{equation} $$

Pomiędzy stanem odkształconym, a pierwotnym wystąpiło następujące przemieszczenie:

$$ \begin{equation}  \label{26} \sqrt{(f+\Delta f)^2+(l/2)^2}- \sqrt{f^2+(l/2)^2}= \cfrac{S}{EA}\cdot \sqrt{f^2+(l/2)^2} \end{equation} $$

W równaniach (26) i (27) występują dwie nieznane wielkości $S$ i $\Delta f$, które można wyznaczyć z układu równań (28) przekształconych z zapisu wyżej:

$$ \begin{equation}  \label{27} 2 \cdot \cfrac{S}{F}\cdot (f+\Delta f) – \left( 1+ \cfrac{S}{EA}\right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}=0 ; \quad
\sqrt{(f+\Delta f)^2 =(l/2)^2}-\left( 1 + \cfrac{S}{EA}\right)\cdot \sqrt{f^2 + (l/2)^2}=0 \end{equation} $$

Układ równań (28) można sprowadzić do jednego równania nieliniowego do wyznaczania $S$:

$$ \begin{equation}  \label{28} \sqrt{ \left (  \cfrac{F}{2S}\cdot \left ( 1+ \cfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{ f^2 +(l/2)^2}\right)^2 +(l/2)^2}- \left ( 1+ \cfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}=0 \end{equation} $$

Teraz można wyznaczyć $\Delta f $ z zależności

$$ \begin{equation}  \label{29} \Delta f = \cfrac{F}{2S}\cdot \left ( 1+ \cfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}-f \end{equation} $$

Przykład rachunkowy [2]– str 844, (rys.7):

Rys. 7 Przykład rachunkowy wyznaczenia tras cięgna pod obciążeniem skupionym: a) schemat, b) tabela iteracyjna, c) wykres porównawczy [2] – rozdz. 12, rys. 24

Na rys. 7a pokazano schemat cięgna o przekroju $A=0,5 cm^2 $, wykonanego ze stali o module Younga $E=16 000 kN/cm^2 \to EA=8000 kN $. W tabeli rys. 7b) podano wyniki obliczeń iteracyjnych przeprowadzonych zgodnie z podanymi wyżej zależnościami. Na rys. 7c) pokazano wykres porównawczy siły we cięgnie wywołanej siła skupioną $F=$ 0 do 20 kN dla iteracji pierwszej ($EA= \infty$) i dla drugiej ($EA=8000 kN$). W przykładzie pokazano, że błąd oszacowania zwiększa się wraz ze zwiększaniem się wartości siły $F$ i wynosi 15% dla $F=20 kN $, to znaczy jest istotny i obliczenia nieliniowe są wymagane.

W przypadkach bardziej złożonych obciążeń , a także dla siatek cięgnowych zalecane jest stosowanie specjalistycznego oprogramowania, np Sofistic AG.

Równanie stanu napiętej liny

Podstawowe równanie stanu

Ze względu na silne nieliniowości geometryczne w przypadku cięgien nie obowiązuje zasada superpozycji.

Rozpatrzmy cięgna w dwóch stanach, pokazanych na rys. 8. W pierwszym cięgno o długości $l$, obciążone jest liniowo $q_1$ i temperaturą $t_1$, wskutek czego wystąpi rozciąg $H_1$ i strzałka zwisu $f_1$. Siła w cięgnie $S_1 \approx H_1$. W drugim stanie tego samego cięgna  odpowiednie wielkości oznaczono indeksem „2”. Składową obciążenia $q$ jest ciężar własny $g$.

Rys.8. Dwa stany obciążenia cięgna: a) stan $q_1, t_1$, b) stan $q_2, t_2$  [2] – rozdz. 12, rys. 35

Przy aproksymacji linii cięgna parabolą otrzymamy naciągi:

$$ \begin{equation}  \label{30} \begin {cases}
H_1= \cfrac{q_1 l^2}{8f_1} \approx S_1 \\
H_2= \cfrac{q_2 l^2}{8f_2} \approx S_2\\
\end {cases} \end{equation} $$

a także długości napiętego cięgna

$$ \begin{equation}  \label{31} \begin {cases}
L_1= l \cdot \left \{ 1+\cfrac{8}{3} \cdot \left ( \cfrac{f_1}{l} \right)^2 \right \} = l \cdot \left \{ 1 + \left( \cfrac{q_1^2}{24 \cdot H_1}\right)^2 \right \} \\
L_2= l \cdot \left \{ 1+\cfrac{8}{3} \cdot \left ( \cfrac{f_2}{l} \right)^2 \right \} = l \cdot \left \{ 1 + \left( \cfrac{q_2^2}{24 \cdot H_2}\right)^2 \right \} \\
\end {cases} \end{equation} $$

Różnica długości cięgna w obu stanach wynosi:

$$ \begin{equation}  \label{32} \Delta L= L_2-L-1= \cfrac{l^3}{24}\cdot \left \{ (\cfrac{q_2}{H_2})^2- (\cfrac{q_1}{H_1})^2\right \} = \cfrac{l^3}{24}\left \{ (\cfrac{\gamma_2}{\sigma_2})^2- (\cfrac{\gamma_1}{\sigma_1})^2\right \} \end{equation} $$

gdzie wprowadzono oznaczenia:

$$ \begin{equation}  \label{33} \begin {cases}
\gamma=\cfrac{q}{A_m}\\
\sigma=\cfrac{H}{A_m}=\cfrac{S}{A_m} \\
A_m \quad \textrm{ – pole przekroju metalicznego (stalowego) rdzenia cięgna}\\
\end {cases} \end{equation} $$

Z drugiej strony na podstawie prawa fizycznego Hooka mamy :

$$ \begin{equation}  \label{34} \Delta L = \left \{ \cfrac{\sigma_2-\sigma_1}{E}+\alpha_t \cdot (t_2-t_1)\right \} \end{equation} $$

Po przekształceniach równanie $ (\ref{33})=(\ref{34})$ można zapisać w postaci

$$ \begin{equation}  \label{35} \left( \cfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^3=\left \{ \cfrac{E \gamma_1^2 l^2}{24 \sigma_1^3}+\cfrac{E}{\sigma_1} \cdot \alpha_t\cdot (t_2-t_1)-1\right \} \cdot \left( \cfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^2 -\cfrac{E\gamma_2^2 l^2}{24 \sigma_1^3}=0\end{equation} $$

Równanie $(\ref{35})$ nazywane jest równaniem stanu naciągniętego cięgna. Równanie jest nieliniowe- stopnia trzeciego względem $\sigma_2$. Może być rozwiązane dowolną metodą. Najczęściej stosuje się podejście iteracyjne.

Równanie stanu dla obciążenia rzutowanego

W przypadku, gdy na cięgno działają obciążenie grawitacyjne liczone na rzut pokrycia, to do równania stanu (36) należy wprowadzić modyfikację.

Rozpatrzmy cięgno o długości w rzucie $l$ , wysokości $h$, rozpięte pod kątem $\alpha$ i zwisem $\overline f $ . Długość początkowa cięgna wynosi

$$ \begin{equation}  \label{36} s=\sqrt{l^2+h^2} \end{equation} $$

Obciążenie $q$ (rys.9a) należy rozłożyć na:

$$ \begin{equation}  \label{37} \overline q = q \cdot cos\alpha \quad oraz \quad \overline{\overline q}= q\cdot sin \alpha \end{equation} $$

Rys.9. Obciążenie rzutowane cięgna [2] – rozdz. 12, rys. 37

Zmodyfikowane równanie stanu (36) uzyskuje się po zastąpieniu długości $ l$ przez $s$ oraz $\gamma$ przez $\overline \gamma$:

$$ \begin{equation}  \label{38} \overline \gamma_1 = \cfrac{\overline q_1}{A_m} \quad ; \quad \overline \gamma_2 = \cfrac{\overline q_2}{A_m} \end{equation} $$

W rezultacie uzyskujemy zmodyfikowane równanie stanu cięgna

$$ \begin{equation}  \label{39} \left( \cfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^3=\left \{ \cfrac{E \overline \gamma_1^2 s^2}{24 \sigma_1^3}+\cfrac{E}{\sigma_1} \cdot \alpha_t\cdot (t_2-t_1)-1\right \} \cdot \left( \cfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^2 -\cfrac{E\overline \gamma_2^2 s^2}{24 \sigma_1^3}=0 \end{equation} $$

Cięgno rozpięte na konstrukcji odkształcalnej

W przypadku rozpięcia cięgna na konstrukcji odkształcalnej można wyznaczyć zastępczą stałą sprężystości poziomej konstrukcji i rozpatrzyć schemat ze sprężystą podporą o stałęj $C$, pokazany na rys.10. Należy przy tym rozpatrzyć różnice dwóch stanów obciążeń: podczas montażu $q_1$ (rys..10a) , w którym powstaje naciąg $H_1$ i stanu eksploatacyjnego $q_2$ (rys.10b), w którym powstaje naciąg $H_2$.

$$ \begin{equation}  \label{40}\Delta l =\cfrac{H_2-H_1}{C}=\cfrac{A_m}{C}(\sigma_2 – \sigma_1) \end{equation} $$

W równaniu  $(\ref{32} b)$ należy zamienić $l$ na $l-\Delta l$. W rezultacie wystąpią też stosowne zmiany w równaniu stanu $(\ref{40})$.

Rys. 10 Dwa stany cięgna rozpiętego na sprężystej konstrukcji [2]– rozdz. 12, rys. 36

1. Galileusz, (1638). Dialogi o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym
2. Petersen C., (2013), Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten, 4 Wydanie

________________________________