gdzie: $(M,N)$ – moment zginający i siła osiowa w przekroju krytycznym pręta, $M_R=W f_y$, $N_R=A f_y$, $I$- moment bezwładności pręta, $z$- odległość punktu przekroju od osi obojętnej, $A$- pole przekroju pręta, $W$- wskaźnik wytrzymałości przekroju,  $f_y$ – granica plastyczności oraz $\chi$ współczynnik wyboczeniowy,

NIE ma to przekonywującego uzasadnienia teoretycznego, a wynika z przybliżonej teorii Ayrton- Perry . Z wielu argumentów podnoszonych w krytyce takiego podejścia wymienimy tylko dwie:

1) sumowanie naprężeń od zginania $\sigma_M$ z naprężeniami od ściskania $\sigma_N$ jest nieprawidłowe z powodu nieobowiązywania zasady superpozycji w obszarach nieliniowych,  bliskich stanom granicznym,
2) wyznaczanie współczynnika wyboczenia w złożonym stanie naprężenia jest nieprawidłowe, bo pręt zginany nie może ulec wyboczeniu,

Tym niemniej w praktyce inżynierowie chętnie stosowali i niestety nadal chętnie stosują, aproksymację ($\ref{4}$) lub ($\ref{5}$) ze względu na: a) trudności obliczeniowe w erze przedinformatyzacyjnej, oraz b) wystarczające dla praktyki przybliżenia uzyskiwane z tych  wzorów.

Wymiarowanie pręta ściskanego według Eurokodu 3

Podstawy normowe

Formułę (\ref{5}) w prostym przypadku obciążenia, ściskania pręta, można zapisać w przestrzeni sił przekrojowych w sposób [3],(6.46):

$$\begin {equation} \cfrac{N_{Ed}} {N_{b,Rd}}\le 1\label {6} \end {equation}$$

gdzie: $N_{Ed}$ – obliczeniowa siła ściskająca, $N_{b,Rd}$- nośność na wyboczenie elementu ściskanego

Nośność na wyboczenie elementu ściskanego należy obliczać z zależności [3],(6.46):

$$\begin {equation} N_{b,Rd} \le  \cfrac{\chi A_k f_y}{\gamma_{M1}} \label {7} \end {equation}$$

gdzie: $A_k$ pole przekroju pręta zależne  od klasy przekroju: $A_k =A$  dla 1,2 i 3 klasy oraz $A_k = A_{eff}$ dla klasy 4-tej. Współczynnik materiałowy dla elementu przy sprawdzaniu warunków stateczności $\gamma_{M1}=1,1$.

Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ zależy od smukłości względnej pręta

$$\begin {equation} \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{A_k  \cdot f_y}{N_{cr}}} \label {8} \end {equation}$$

i jest wyznaczany z formuły [3], (6.49):

$$ \begin {equation} \phi=0,5\left [ 1+\alpha \cdot (\overline \lambda-0,2)+\overline \lambda^2\right] \label {9} \end {equation}$$

W przypadku elementów o smukłości $\overline \lambda <0,2$ warunek stateczności elementu sprowadza się do sprawdzenia nośności przekroju.

Parametr klasy imperfekcji  $\alpha$  przyjmuje się w zależności od klasy imperfekcji ( rodzaju krzywej wyboczeniowej), przypisanej do kształtu przekroju, na podstawie tab.1 i tab.2

Tab.1. Parametry imperfekcji $\alpha$ krzywych wyboczeniowych
[3], tab. 6.1.

Tab.2. Przyporządkowanie krzywych wyboczenia do rodzaju przekroju stalowego
[3], tab. 6.2.

Wykres zależności współczynnika wyboczenia ($\ref{9}$) od smukłości względnej ($\ref{8}$) uzyskany z powyższych formuł zobrazowano na rys.2.

Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów [3], rys. 6.1.

Po podstawieniu eulerowskiej siły krytycznej ($\ref{2}$) w zapisie $N_{cr}=\cfrac{ \pi^2 \cdot EI}{L_{cr}^2}$ do (\ref{8}) otrzymamy wyrażenie na smukłość względną w postaci [3],(6.50) – (6.51):

$$\begin {equation} \overline \lambda = \sqrt{\cfrac{A_k \cdot f_y }{N_{cr}}} = \cfrac{L_{cr}}{i} \cdot \cfrac{1}{\lambda_1} = \cfrac{\lambda}{\lambda_1} \label {10} \end {equation}$$

gdzie:
smukłość elementu $ \lambda=\cfrac{L_{cr}}{i}$
promień bezwładności przekroju $i= \sqrt{ \cfrac{I}{A_k}}$,
smukłość porównawcza $\lambda_1= \pi \cdot \sqrt{ E / f_y }=93,9 \cdot  \varepsilon$.
współczynnik gatunku stali $\varepsilon=\sqrt{235/f_y)}$,  ($f_y$ w [MPa]).

Współczynnik $\varepsilon $ dla poszczególnych stali wynosi:  S235 – 1,00 ; S275 –  0,924; S355 –  0,814.

Formuły (\ref{8}) i (\ref{10}) są tożsame, to znaczy wyznaczenie $N_{cr}$ ze wzoru Eulera i podstawienie do (\ref{8}) nie może dać innego rezultatu od wartości, uzyskanej bezpośrednio z (\ref{10}). W celu uzyskania lepszego wyniku należy wyznaczyć siłę krytyczną pręta w inny sposób niż z wzoru Eulera – polecane są współczesne programy obliczeniowe, np. LTBeam lub Consteel.

Wyznaczanie siły krytycznej ze wzoru Eulera jest obarczone dużą niepewnością, wynikającą z tego, że zależy od poprawnego przyjęcia długości wyboczeniowej $L_{cr}$, a to w praktycznych przypadkach rzeczywistych konstrukcji nie jest zadaniem banalnym. Większość ram stalowych jest przesuwna, a więzy są odkształcalne (nie są w pełni przegubowe, czy też sztywne). W takiej sytuacji szacowanie długości wyboczeniowych na podstawie prostych schematów statycznych znanych z mechaniki, prowadzi do bardzo istotnych błędów. Błąd ten wzmacnia się przy wyznaczaniu współczynnika wyboczenia, który jest silnie nieliniową funkcją długości wyboczeniowej.

Dlatego należy sformułować wniosek:

Wyznaczanie współczynnika wyboczenia z formuły (10) NIE ma większego znaczenia praktycznego w analizach rzeczywistych konstrukcji. Smukłość słupa osiowo ściskanego wyznaczamy bezpośrednio z formuły (\ref{8}), a siłę krytyczną $N_{cr}$ należy przyjąć z rozwiązania pomocniczego zadania mechaniki – problemu wyboczenia z wykorzystaniem numerycznych procedur MES dla całego systemu konstrukcyjnego, do którego przynależy słup.

Przykład numeryczny [4]

Sprawdzić wytrzymałość słupa wykonanego z kształtownika HEB340- S355 ściskanego osiowo.

Charakterystyki geometryczne HEB340: h=300 mm, b=340 mm, t_w=12 mm, t_f=21,5 mm, A=170,9 cm^2, i_y=14,65 cm, i_z=7,53 cm.

Parametry stali S355: fy = 355 MPa, $\varepsilon=\sqrt{235/355}=0,814$

Z rozwiązania układu konstrukcyjnego i po wyliczeniu kombinacji uzyskano obliczeniową siłę ściskającą słup

$N_{Ed}=3326,0 \, kN$.

Zarówno w głowicy jak i w stopie wykonstruowano przestrzenne przeguby.
Taki słup jest wyjątkowym przypadkiem i jest nazywany wahaczem.
Długości wyboczeniowe w obu płaszczyznach są takie same i są równe długości teoretycznej  $L_{cr, y} =L_{cr, z}=L$

Odległość między przegubami jest wysokością kondygnacji budynku i wynosi 4335 mm.  Długość wyboczeniowa jest taka sama w obu płaszczyznach: w płaszczyźnie ramy (x-y) – wyboczenie wokół osi z  i z płaszczyzny ramy (x-z) – wyboczenie wokół osi y:  $L{cr,z}=L{cr,y}=435 cm$.

Współczynnik wyboczeniowy [analitycznie]

$\lambda_1=93,9 \cdot 0,814=76,41$,

Ponieważ $h/b=340/300=1,13 \le 1,2$ oraz $t_f=21,5 < 100 \,mm \to$ (tab.2),
to mamy krzywe wyboczeniowe:
przy wyboczeniu wokół osi (y) –  „b” ($\alpha=0,34 $),
przy wyboczeniu  wokół osi (z) –  „c” ($\alpha=0,49 $).

Wyboczenie z płaszczyzny (wokół osi y)
$\lambda_y=\cfrac{433,5}{14,65}=29,59$, $\overline \lambda_y=\cfrac{29,7}{76,41}=0,39$,

$\phi_y=0,5+[1+0,34\times(0,39-0,2)+0,39^2)]=0,61 $
$\chi_y= \cfrac {1} {0,61+ \sqrt {0,61^2-0,39^2}}=0,93 $

Wyboczenie w płaszczyźnie (wokół osi z)
$\lambda_z=\cfrac{433,5}{7,53}=57,57$,  $\overline \lambda_z=\cfrac{57,57}{76,41}=0,75$
„c” $\to \alpha=049 $,
$\phi_z=0,5+[1+0,49\times(0,75-0,2)+0,75^2)]=0,92 $
$\chi_z= \cfrac {1} {0,92+ \sqrt {0,92^2-0,75^2}}=0,69 $

$\chi= \min \{ 0,93 ; 0,69 \}= 0,69$.

Współczynniki wyboczeniowy  [z wykresu]

Rys.4 . Wyznaczenie współczynnika wyboczenia z wykresu [4]

Sprawdzenie nośności elementu

$3326,0 \ kN \le \cfrac {0,69 \cdot 170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,1}= 3805,64 \ kN $

Elementy ściskane i zginane

Elementy ściskane i zginane są najczęściej spotykanymi elementami stalowymi. W zasadzie (p. pkt.1) wszystkie rzeczywiste elementy ściskane  są jednocześnie zginane. Poniżej zamieszczono krótkie wprowadzenie do zagadnienia. Rozwinięcie zagadnienia zawiera artykuł Stalowe słupy hal, w którym zdefiniowano element  belka-słup.

Zgodnie z [3], wzór (6.61)-(6.62) warunki nośności elementów zginanych i ściskanych są następujące:

$$\begin{equation}  \cfrac{N_{Ed}}{\chi_y \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{yy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y, Rd}} + \cfrac{ k_{yz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \\
\cfrac{N_{Ed}}{\chi_z \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{zy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y,Rd}} + \cfrac{ k_{zz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \label {11} \end{equation}$$

gdzie:
$N_{Ed}$, $M_{y,Ed}$, $M_{z,Ed}$- obliczeniowa siła osiowa, maksymalny na belce moment zginający względem osi y oraz maksymalny moment zginający względem osi z,

$\Delta M_{y,Ed}$ i $\Delta M_{z,Ed}$ – ewentualne dodatkowe momenty, spowodowane przesunięciem środka ciężkości przekroju klasy 4 na skutek zredukowania jego przekroju do przekroju efektywnego wg tab 3.

$N_{Rd}$, $M_{y,Rd}$, $M_{z,Rd}$, $B_{Rd}$ –  obliczeniowe nośności mierzone: siłą osiową, momentem zginającym względem osi y i względem osi z oraz bimomentem,

Nośności obliczeniowe $F_{Rd}$, to nośności charakterystyczne przeskalowane  materiałowym współczynnikiem bezpieczeństwa $\gamma_{M1}$ :  $F_{Rd}=\cfrac{F_{Rk}}{\gamma_{M1}}$

$\chi_y$ , $\chi_z$ −współczynniki wyboczenia giętnego względem stosownych osi,
$\chi_{LT}$ – współczynnik zwichrzenia,
k_yy, k_yz, k_zy, k_zz– współczynniki interakcji, które można obliczać każdą naukowo i technicznie uzasadnioną metodą (wybór w zasadzie zależy od inżyniera -projektanta) W normie [3], (6.61)-(6.62)}”] podano przykładowo dwie metody: metoda 1 (załącznik A) i metoda 2 (Załącznik B).

Tab.3. Definicje charakterystyk geometrycznych prętów z przekrojami różnych klas
[3], tab 6.7

Długości wyboczeniowe prętów w systemie

Geometryczna interpretacja długości wyboczeniowej

Na rys. 5 zestawiono klasyczne, standardowe przypadki I do VI prętów i stosowne współczynniki długości wyboczeniowych $\mu$ do formuły ($\ref{2}$).

Rys.5. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla podstawowych przypadków Eulera [5]

Standardowe przypadki Eulera w praktyce nie wystąpią , przede wszystkim dlatego, że sztywności węzłów nie są idealne. Konsekwencje pokażemy w kolejnych punktach.

Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypadków złożonych i sens geometryczny [5]

W bardziej złożonych przypadkach użyteczna jest interpretacja geometryczna długości wyboczeniowej. Na tej podstawie można skutecznie określić długość wyboczeniową w złożonym przypadku pręta. Oceny dokonujemy po oszacowaniu osi wygiętego pręta jako długość cięciwy prostopadłej do łuku odkształconej osi. Ilustruje to rys. 6 (1). Wynikające z takiego podejścia współczynniki długości wyboczeniowej oszacowano dla 7-miu szczególnych przypadków.

Długość wyboczeniowa zależy od sztywności całej konstrukcji

Rozpatrzmy przykład prostej ramy, złożonej ze słupa i rygla w sposób pokazany na rys.7.

Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długości wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu, [5], rys.20

W pracy [[5] pokazano ścisłe rozwiązanie problemu wg teorii II rzędu, które dla $H=0$ (dla zagadnienia wyboczenia) zależne od parametru

$$\begin{equation} \kappa=\cfrac{EI_S}{EI_R}\cdot\frac{l_R}{l_S} \label {12} \end{equation}$$

Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7

[5], rys.24

Rozwiązanie graficzne, pokazane na rys. 8 przedstawia zmienną $y_1=tan (\varepsilon_S)$ w funkcji parametru $\kappa$ (11).

Wartość rzędnej $\varepsilon_S =l_S \sqrt {\frac{A}{EI_S}}$ (A jest reakcją 2-rzędu stopy słupa). Dla $\kappa=1$ – z rys.8 odczytujemy rozwiązanie zagadnienia  poprzez rzutowanie punktu przecięcia $y_1$ z $\kappa$. Dla $\kappa=1$ otrzymamy  $\varepsilon_S=2,45$.

Z porównania $\cfrac{\pi^2 EI_S}{(\mu\cdot l_S)^2}=2,45^2 \cdot \cfrac{EI_S}{l_S^2}$ uzyskujemy  $ \mu = 1,28$.

Pokazaliśmy, że w przypadku słupa idealnie utwierdzonego w podłożu i w głowicy współczynnik długości wyboczeniowej  jest znacznie większy od 0,5 lub 1 i dla identycznych belkowych sztywności rygla i słupa może wynosić 1,28 .

Rozważania dla innych przypadków było przedmiotem wielu prac. W kolejnym punkcie podamy praktycznie użyteczne aproksymacje długości wyboczeniowych słupów ram w układach wielokondygnacyjnych.

Nomogramy do wyznaczania długości wyboczeniowych [6]

W „starej” polskiej normie „Konstrukcje stalowe – Obliczenia statyczne i projektowanie” [6], Z1-3 zamieszczono użyteczne nomogramy do wyznaczania długości wyboczeniowych prętów.

Na rys. 9 pokazano nomogram do wyznaczania długości wyboczeniowych słupów układów przesuwnych (ang unbraced).

Rys 9 Nomogram współczynnika wyboczenia dla układów przesuwnych [zmodyfikowane [6], Z1-3

Osie współrzędnych nomogramu są podatnościami węzłów dolnego $k_1$ i górnego $k_2$ słupa ( w przypadku belek-słupów będzie to odpowiednio koniec lewy i prawy).

W praktyce rzadziej stosuje się układy o węzłach nieprzesuwnych dla których nomogram jest istotnie inny, jak pokazano na rys. 10.

Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczenia dla układów nieprzesuwnych [zmodyfikowane [6] ,Z1-3

Stopień podatności węzłów wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} k_i= \cfrac{\overline K_S}{\overline K_S+\overline K_R} \, \ge 0,3 \label {13} \end{equation}$$

w której:
$\overline K_S=\cfrac{I_S}{l_S}$ – względna sztywność słupa (w stosunku do modułu Younga E)
$\overline K_R=\sum \limits_{(i)} \left( \eta \cfrac {I_R}{l_R}\right)$ – względna sztywność rygli,

przy czym:

$ \sum \limits_{(i)}$ – sumowanie obejmuje elementy (bez słupa)  leżące w płaszczyźnie wyboczenia i sztywno połączone ze słupem w rozpatrywanym węźle (i=1, 2),
$\eta$ – współczynnik uwzględniający warunki podparcia na drugim końcu belki-rygla. W przypadku układu o węzłach przesuwnych (w nawiasie nieprzesuwnych):
$\eta=1,5 (0,5)$  przy podparciu przegubowym,
$\eta=2,0 (1,0)$ przy sztywnym utwierdzeniu:
Dla stopy sztywnej (przenoszącej ściskanie ze zginaniem) można przyjmować $  K_F = K_S $, a w pozostałych przypadkach $ \overline K_F = 0,1 \cdot \overline K_S $. W formule ($\ref{13}$) dla węzła podporowego $\overline K_F$ traktuje się jako $ \overline K_R$ .

Długości wyboczeniowe zależą od obciążenia (stopnia wytężenia) pręta

W wielu pracach pokazano, że sztywność wyodrębnionego z systemu pręta ściskanego (lub rozciąganego)  zależy od wielkości obciążenia. Na rys.11 pokazano zależność sztywności pręta (ściskanego lub rozciąganego) z głowicą przesuną o $\Delta$  od stopnia obciążenia. Przy braku obciążenia sztywność jest zerowa, dla  $N=N_{cr,L}$, czyli przy obciążeniu silą ściskającą Eulera odpowiadającą $\mu=1$ sztywność jest nieskończenie duża, co wynika z formuł ścisłych, ale też formuły aproksymacyjnej (zmieniono oryginalne oznaczenie sztywności $\alpha$ na $K$):

$$\begin{equation} K=-\cfrac{2EI}{L} \cfrac{(\pi^2/4)(N/N_{cr})}{1- N/N_{cr}} \label {14} \end{equation}$$

Ry.11. Sztywność pręta przesuwnego w funkcji obciążenia: a) schemat pręta z głowica przesuwną o $\Delta$, b) wykres sztywności $K$ : formuły ścisłe i aproksymacja [7], rys.3.18

W przypadku  systemu prętów, pokazanego na rys.12 o węzłach 1 i 2 , słup (1-2) ma sztywność (13), natomiast sztywności zamocowania w węzłach zależą od sztywności prętów (rygli  bez słupa)  zbiegających się w węźle zgodnie z formułą [7], wzór (3.47):

$$\begin{equation}\gamma_i=\frac{K_S}{\sum \limits_i K_R} \quad (i=1,2)  \label {15} \end{equation}$$

gdzie:
$K_S=(6 EI/L)_S$
$K_R$ wg formuł podanych na rys..13 zależnie od rodzaju elementu.
Na przykład dla 3-ciego elementu nieprzesuwnego jest $K_R=\frac{6EI}{L}\left(1-\frac{N}{4 N_{cr},L} \right)$

Rys.13 . Sztywności elementów prętowych (aproksymacja) [7] rys. 3.18

Współczynnik dlugości wyboczeniowej $\mu=\cfrac{L_{cr}}{L}$ jest pierwiastkiem równania [7],rys. 3.46

$$\begin{equation} \cfrac{\gamma_1 \cdot \gamma_2(\pi/\mu)^2 -36}{6(\gamma_1+\gamma_2)}=\frac{\pi}{\mu} \cdot ctg \frac{\pi}{\mu} \label {16} \end{equation}$$

Rozwiązanie równania (15) można przedstawić w formie nomogramu ( to jest właśnie rys. 9), przy czym współczynniki podatności wynoszą [7],(3.48)}”

$$\begin{equation} k_i=\cfrac{\gamma_i}{1,5 + \gamma_i} \quad  (i=1,2)\label {17} \end{equation}$$

Z analizy powyższych formuł wynika, że pręty mało wytężone powinny nieć duże długości wyboczeniowe, czyli małe siły krytyczne Eulera. Generalnie siła krytyczna nie jest wartością własną pręta, ale zależy od sztywności całego systemu i od poziomu wytężenia pręta.

Ramy portalowa [5]

W pracy [5]) przeanalizowano ramy jednokondygnacyjne o kształcie pokazanym na rys. 14 a – c, przy czym słup może być przegubowo oparty na fundamencie lub w nim zamocowany.

Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana [5] rys. 116

Stopa przegubowa realizuje się w sposób pokazany na rys. 15a, a utwierdzenie 15 b) lub c).

Rys.15. Stopa słupa stalowego: a) przegubowa, b,c)- utwierdzona [5],rys. 115

W przypadku równych sił w slupach ramy portalowej współczynniki długości wyboczeniowej słupów można dobierać z nomogramów pokazanych na rys. 16

Rys. 16. Współczynniki długości wyboczeniowych słupów ram portalowych $\mu$ w funkcji współczynnika stosunku sztywności $k_{S-R}$

Współczynnik stosunku sztywności słupa i rygla  $k_{S-R}$ należy przyjmować z zależności zestawionych na rys. 16. Podstawową wartość opisuje formuła:

$$\begin{equation} k_{S-R}=\frac{EI_S/l_S}{K_R} \label {18} \end{equation}$$

gdzie sztywność rygla wynosi:
dla rygla prostego (rys. 14a) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}$,
dla rygla pochyłego (rys. 14b) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot cos\alpha$,
dla rygla łukowego (rys. 14c) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot\frac{1}{2\left( \cfrac{r}{l \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha – \alpha}\right)}$.

W przypadku różnych sił działających w słupach należy wyznaczyć spodziewany stosunek

$$\begin{equation} m=\cfrac{ min F}{max F}=\cfrac{F_1}{F_2} \label {19} \end{equation}$$

a następnie współczynniki korekcyjne dla słupa 1 i 2:

$$\begin{equation} \alpha_1 \sqrt{0,5(1+m)} \le 1,0$, $\alpha_2=\alpha_1 \cdot \sqrt{m} \label {20} \end{equation}$$

Ostatecznie współczynnik długości wyboczeniowej dla słupa 1 wynosi:

$$\begin{equation} \mu_1=\mu \cdot \alpha_1 \label {21} \end{equation}$$

Przykład liczbowy

Rys.17 Rama portalowa do przykładu

Wyznaczyć długość wyboczeniową słupa ramy pokazanej na rys. 17 dla danych:

Rygiel HEA 260 ($I_R=10455 cm^4 $),

Słupy HEB200 ($I_S=5696 cm^4$),

Stosunek obciążenia .$m=\cfrac {F_1}{F_2}=0,75$.

Długość wyboczeniowa wg [6]

Rama jest układem o węzłach przesuwnych w płaszczyźnie.  W [6] nie uwzględnia się poziomu obciążenia , ani różnicy obciążeń słupów.

Sztywność rygla $\overline K_R= \cfrac{10445}{800}=13,06 cm^3$

Sztywność słupa $\overline K_S= \cfrac{5696}{400}= 14,2 cm^3$

Sztywność zamocowania  $\overline K_F= 0,1 \cdot 14,2=1,4 cm^3$ (stopa jest przegubowa)

Współczynnik podatności węzła dolnego $k_1= \cfrac{14,2}{14,2+1,4}=0,91$

Współczynnik podatności węzła górnego $k_2=\cfrac{14,2}{14,2+13,06}= 0,52$.

Z nomogramu rys. 9 po interpolacji liniowej odczytujemy $\mu=0,78$

Długość wyboczeniowa słupa $L_{cr}=0,78 \cdot 400=312 cm$.

Długość wyboczeniowa wg [7]

Wyznaczymy długość wyboczeniową słupa ramy dla dwóch różnych poziomów obciążenia:

dla F₁=20% i 80% $N_{cr,L}$

Długość wyboczeniowa wg  [5]

Współczynnik stosunku sztywności słupów i rygla wynosi $k_{S-R}=\cfrac{1}{6}\cfrac{EI_S}{EI_R} \cfrac{l_R}{l_S}=\cfrac{1\cdot5696\cdot8,0}{6\cdot 10455\cdot 4,0}=0,182$.

Z nomogramu rys. 16 dla ramy ze stopami przegubowymi odczytujemy i równych sił w słupach odczytujemy $\to \mu=2,34$.

Ponieważ siły w słupach mogą się różnić ($m=\cfrac{F_1}{F_2}=0,75$), więc współczynnik korekcyjny wynosi $\alpha_m=\sqrt{0,5(1+0,75)}=0,935$.

Ostatecznie:
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 1: $\mu_1=0,935 \cdot 2,234=2,20$,
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 2 $ \mu_2=\cfrac{2,20}{\sqrt{0,75}}=1,91$
długość wyboczeniowa słupa 1: $L_{cr,1}=2,20\cdot 400=880 cm$,
długość wyboczenia słupa 2: $L_{cr ,2}=1,91 \cdot 400= 762 cm$

Wnioski z przykładu

Z przeprowadzonych obliczeń porównawczych metodami nomogramowymi oraz numerycznymi, stwierdzono:

1. Metody nomogramowe prowadzą do znacznych błędów w oszacowaniu długości wyboczeniowych i w zasadzie nie powinny być stosowane w praktycznych obliczeniach inżynierskich,
2. Długości wyboczeniowe słupów ram istotnie zależą od poziomu wytężenia słupa oraz od imperfekcji geometrycznych ( przechyłowych i łukowych).  W tym świetle rzeczywiste siły krytyczne, a więc i smukłości pręta  w istocie nie są wartościami własnymi idealnego systemu konstrukcyjnego. Stopień korelacji jest słaby.
3. Uzasadnioną metodą wymiarowania prętów ściskanych są metody imperfekcyjne. Metody są prostsze do zastosowań od klasycznej metody inżynierskiej i nie wymagają wyznaczania długości wyboczeniowych, a nawet współczynników wyboczeniowych.

Metody imperfekcyjne są przedmiotem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania.