Przekrycia strukturalne są prętowymi systemami zadaszenia, w których pręty pasów i krzyżulców tworzą przestrzenny wzór sieci (struktury) krystalograficznej od której wywodzi się nazwa konstrukcji. W pracy [1] z podobieństwa konstrukcji do budowy molekularnej wywodzi się o lekkości, dużej sile i prostej, powtarzalnej budowie, powielanej  ze struktury cząsteczkowej wzorcowych molekuł.
Pierwszym systemem konstrukcji strukturalnych, produkowanych w skali przemysłowej był niemiecki system Mero, opatentowany już w 1943 roku [2]). Wynalazek Mengeringhausen zrewolucjonizował aspekty projektowania, technologii i architektury prętowych konstrukcji przestrzennych. Obecnie, okres rozwoju i ważnych realizacji przekryć strukturalnych jest już ograniczany – jesteśmy w okresie stosowania przekryć wielokrzywiznowych: siatkowych, cięgnowych  i ogólnie konstrukcji organicznych, czerpiących wzorce z natury.

Definicja przekrycia strukturalnego

W literaturze zachodniej: [3], [4], [5] przekrycia strukturalne występuje najczęściej pod nazwą „Konstrukcje przestrzenne” (ang Space Structures), lub [6], [7] pod nazwą „Dwuwarstwowe struktury” (ang. Double Layer Grids). W literaturze polskiej najczęściej stosuje się nazwę „Przekrycia strukturalne”[8], [9], lub „Struktury prętowe”, lub „Struktury przestrzenne” [10], lub „Przestrzenne przekrycia prętowe (struktury)” [11], lub „Ustroje strukturalne”  [11]. Spotyka się też nazwę „Przekrycie materacowe” [12] lub „Materace kratownicowe” [10]. Należy zwrócić uwagę, że w Polsce specyficznie klasyfikuje się warstwy przekrycia dwuwarstwowego i przyjmuje że ma ono trzy warstwy: siatkę pasa górnego, warstwę krzyżulców, oraz siatkę pasa dolnego [13], [9]. Tymczasem w definicji klasycznej za warstwy struktur uważa się tylko pasy. Skłaniamy się ku definicji przyjętej przez Kowala [14] i przestrzenne siatki, będziemy nazywać przekryciami trójwarstwowymi.

Tradycyjnie przyjmuje się, że przekrycie strukturalne jest przestrzenną kratownicą i w typowym przypadku jest przekryciem dwuwarstwowym. Współczesne przekrycia strukturalne konstruuje się oraz analizuje jako układ prętów sztywno połączonych w węzłach, to znaczy  przekrycie strukturalne jest ramą przestrzenną., a nie kratownicą. Przekrycia strukturalne mogą mieć kilka warstw, a warstwy zewnętrzne (siatki pasów) mogą być wykonane z ciągłych płyt. Układ krzyżulców może być wzorowany na różnych układach naturalnych, w tym na plastrze miodu. Struktury mogą być wykonane z różnych materiałów: stali, aluminium, drewna, betonu, kompozytów, szkła, albo ich kombinacji.

Rys.1. Typowe przekrycie strukturalne jest zbudowane z podstawowych piramidek o wysokości H i module M=a (oprac. własne)

Na rys. 1 pokazano fragment typowego przekrycia strukturalnego zestawionego z piramidek o podstawie kwadratowej, wysokości H oraz boku a, który stanowi moduł przekrycia M.  Pasy górne narysowano linią czerwoną, pasy dolne linią niebieską, krzyżulce linią zieloną. Piramidki wyróżniono cieniowaniem: płaszczyznę górną kolorem szarym, a płaszczyzny boczne piramidek (ostrosłupów) odcieniami koloru zielonego.

Wymiary piramidki należy tak przyjmować by kąt nachylenia krzyżulca α  zawierał się między 30° a 60° . Dla piramidki o podstawie kwadratowej axa, mamy a=H√2·tgα·cos 45°, co daje:

przy czym optymalne siły w krzyżulcach uzyskuje się w przypadku, gdy kąt przestrzenny pomiędzy krzyżulcem, a podstawą piramidki wynosi 45⁰ , tak jak pokazano na rys.1, czyli $M=H \sqrt(2)$.

Podstawowym wymiarem piramidki jest wysokość H, a po jej przyjęciu można z tej zależności obliczyć optymalny moduł M. Następnie ten moduł należy skorygować z warunku umieszczenia całkowitej liczby piramidek na długości i szerokości przekrycia, ale tak by kąt nachylenia krzyżulców był bliski optymalnemu, a bezwzględnie nie wykroczył poza granice konstrukcyjnie dopuszczone.

[5] podaje, że wysokość H wstępnie można wyznaczyć na podstawie  rozpiętości przęsła struktury L w przedziale:

W przypadku podparcia struktury na obwodzie – L jest krótszym z boków płyty przekrycia, a w innych przypadkach przyjmuje się, że L jest odległością pomiędzy podporami.

W różnych opracowaniach indeks i=L/H jest wskazywany różnie i to z dużymi rozbieżnościami. Ogólną zasadą jest to, że wysokość przekrycia strukturalnego może być znacznie mniejsza (nawet dwukrotnie) od konwencjonalnych przekryć zbudowanych z wiązarów płaskich, ponieważ ugięcia płyty strukturalnej są znacznie mniejsze od standardowych wiązarów. Dodatkowo zmniejszenie wysokości przekrycia możemy uzyskać po wykorzystaniu efektu kopułowego (poprzez wyniesienie kalenicy przekrycia zakrzywionego  lub płaskich płatów przekrycia) lub po nadaniu odwrotnej strzałki wygięcia. Należy jednak pamiętać o tym, że zbyt mała wysokość przekrycia może spowodować wzrost ciężaru zadaszenia, a zwiększanie wysokości wcale nie musi prowadzić do zmniejszania ciężaru, bowiem istnieją pewne minimalne przekroje elementów i z różnych względów (konstrukcyjnych, technologicznych) nie możemy zastosować profilów mniejszych od uwarunkowanych konstrukcyjnie. W każdym przypadku zalecamy przeprowadzenie procedury optymalizacyjnej z warunku minimum masy całego przekrycia.

Rys.. Wysokość H przekrycia strukturalnego w funkcji długości efektywnej (sprawczej) [zestawienie własne]

Na rys. 2 przedstawiono zależność i=L/H w funkcji L. Wykres opracowano na podstawie najnowszych zaleceń, wynikających z analizy wielu zrealizowanych konstrukcji: [15]. China Building Industry Press, Beijing)), [5].

Analizowana w tym artykule struktura przestrzenna dotyczy przekrycia rozpiętego na płaszczyźnie. Natomiast prętowe powłoki jedno- lub dwukrzywiznowe (ang. latticed structure) są najczęściej jednowarstwowe, ale bywają także dwuwarstwowe i są przedmiotem artykułu kopuła siatkowa.

Najprostsze kratowe dźwigary przestrzenne powstają w wyniku połączenia dwóch równoległych kratownic płaskich uzupełnionej o skratowania w płaszczyznach pasów dolnych i górnych T1 oraz skratowania poprzeczne (przepony) T3. W rezultacie powstaje dżwigar czteropasowy, pokazany na rys.3. Za najbliższego poprzednika oczek struktur przestrzennych należy wskazać piramidki prętowe utworzone w kratownicach trójpasowych. Na rys. 4 pokazano kratownice trójpasowe zastosowane na dźwigary przekrycia stadionu Korona w Kielcach.

Rys.3. Płaskie dźwigary kratowe w układzie bikonstrukcyjnym (oprac własne)

Rys.4. Przekrycie stadionu KORONA w Kielcach. Naroże przekrycia wg projektu wykonawczego [16]

Na rys.5. pokazano najprostsze trójwarstwowe przekrycie strukturalne. Przekrycie rozpostarto nad kwadratową powierzchnią o bokach, stanowiących 11-to krotną wielokrotność modułu siatki strukturalnej i podparto w czterech narożach „materaca” w poziomie węzłów dolnych tworzących piramidek strukturalnych.

Rys.5 Trójwarstwowe przekrycie strukturalne [17]

Podstawowe idee

Koncepcje przekrycia strukturalnego najlepiej wyjaśnić na przykładzie ewolucji przekrycia od tradycyjnego układu wiązarowo-płatwiowego ze stężeniami poprzez ruszt kratowy ze szczątkowymi stężeniami, aż do przekrycia strukturalnego, w którym dodatkowe stężenia nie są wymagane. Na rys.6a pokazano standardowe, klasyczne przekrycie płatwiowe P, z płaskimi układami poprzecznymi z ryglem kartowym W na słupach S  w każdym module systemowym w linii ścian zewnętrznych. W układzie zastosowano minimalny system stężeń połaciowych poprzecznych T1 oraz pionowych między wiązarami T2.

Rys. 6a . Przekrycie klasyczne płaskimi dźwigarami kratowymi

Rys.6b. Przekrycie rusztem kratownicowym

Ze względów funkcjonalnych bądź architektonicznych często nie można zastosować słupów S we wszystkich miejscach z rys. 6a. Wówczas stosuje się podciągi W1  rozpięte na możliwych do zastosowania słupach S1, a wiązary W2 stawia się lub zawiesza na tych podciągach. W rezultacie powstaje ruszt kratowy pokazany na rys. 6b, w którym nie ma potrzeby stosowania stężeń, a przede wszystkim stężeń pionowych między wiązarami, bo ich rolę pełnią wzajemnie przenikające się wiązary.

Przekrycia pokazane na rys. 6a i 6b pokrywają taką samą powierzchnię, ale w układzie rusztowym zredukowano liczbę słupów prawie o połowę. Jednocześnie w ruszcie kratownicowym następuje wzajemna przestrzenna współpraca kratownic poprzecznych i podłużnych i w rezultacie tej współpracy (efektu przestrzennego) uzyskujemy bardziej ekonomiczny projekt przekrycia. Kolejnym krokiem ewolucji przekryć hal jest zastąpienie wiązarów płaskich rusztu wiązarami trójpasowymi. W rezultacie otrzymamy właśnie przekrycie strukturalne, np w kształcie pokazanym na rys. 5.

Podobne idee, które dotyczą konstrukcji płaskich, to znaczy ewolucja od systemu płaskich ram z płatwiami poprzez ruszt, aż do systemu strukturalnego, obserwuje się w przypadku przekryć zakrzywionych. Na rys. 7a i 7b przedstawiono to na przykładzie kopuły sferycznej. Klasyczne prętowe przekrycie kopułą składa się z łuków nośnych (żeber) południkowych i opartych na nich płatwi w kierunku równoleżnikowym.

Rys.7a. Kopuła żebrowa z jasno wydzielonymi zadaniami elementów  [5]

W przypadku układów klasycznych  2D (płaskich)   (rys. 6a i 7a) występuje wyraźny podział na:
1. główne elementy nośne: dżwigary lub łuki W, oraz W2
2. drugorzędne elementy nośne:  płatwie lub pręty równoleżnikowe  P, oraz P2
3. pręty dodatkowe, zapewniające stabilność płaskiego układu: stężenie lub wykratowania T.

Rys.7b. Przestrzenna kopuła prętowa (siatkowa) [5]

Natomiast w przypadku układów  3D (przestrzennych), pokazanych na rys. 7b –  elementy konstrukcyjne współpracują ze sobą i nie można wprost wskazać elementu głównego: nie ma też znaczenia stopień podparcia (lub utwierdzenia) jednego w drugim, a może drugiego w pierwszym – współcześnie analizy dokonywane są numerycznie i automatycznie uwzględniane są nawet skomplikowane powiązania pomiędzy elementami. Nie ma też znaczenia to, czy połączenia są przegubowe, czy też sztywne – paradoksalnie łatwiejsze są obliczenia komputerowe układów o węzłach sztywnych, bo połączenia przegubowe prowadzą do zwiększenia rozmiaru zadania. W kopule siatkowej (rys. 7b) występuje współpraca prętów południkowych oraz równoleżnikowych z udziałem prętów przekątnych, leżących na powierzchni zakrzywionej. W tym systemie integralnie wszystkie elementy są wymagane do stabilności układu.

Różnicę między strukturami 2D a 3D  można zrozumieć w drodze badania strumieni sił w prętach. W systemie 2D występuje wyraźna sekwencja przenoszenia sił z elementów drugorzędnych na elementy główne. Natomiast w systemie 3D  takiej sekwencji nie można wskazać, bo wszystkie elementy przyczyniają się do przeniesienia obciążenia na fundamenty zależnie od swoich zdolności i mocy. Systemy 3D są bowiem najczęściej statycznie niewyznaczalne i zachowują się inteligentnie:  elementy silniejsze i lepiej ustawione przejmują większe siły, a elementy słabsze lub odwrócone są odciążane i przejmują rodzaje sił stosownie do przygotowania.

Systemy  przekryć rusztami kratownicowymi

Przekrycia rusztowe mają przewagę nad przeryciami strukturalnymi w prostocie konstruowania węzłów i  montażu i dlatego zostały wdrożone w wielu systemach.

Systemy rusztowe francuskie

We Francji w latach siedemdziesiątych XX wieku opracowano i wdrożono wiele systemów rusztowych [8]:

TOD (Treilis Orthogonal Dolléans). W systemie podstawowym elementem jest belka kratowa o stałej długości 2,40 m i wysokości 0,7 m. Pasy kratownic zaprojektowano z rur kwadratowych, a krzyżulce z rur kolistych o spłaszczonych końcówkach. W systemie wygenerowano technologiczne mimośrody połączeń czołowych między prefabrykatami.

Tesep. Pomiędzy prefabrykatami zastosowano węzły zakładkowe.

MACE (Metropolitan Architectural Consortium for Education). Zastosowano system tylko z 36. różnych prefabrykatów z belek kratowych o wysokości 0,9 m. Pasy górne kratownic zaprojektowano z rur kwadratowych, pasy dolne z płaskowników, a krzyżulce z rur okrągłych.

CASH  (Components et Assemblages Schwartz-Hautmont) przewidziano dla przekryć o niewielkich rozpiętościach. Kratownice składowe o długości 2,4 m i wysokości 0,5 m, w całości wykonane są z rur kwadratowych.

Petroff jest systemem rusztów o siatce ortogonalnej lub trójkątnej, wykorzystującym  węzły podobne do systemu Unibat.

Tridimatec  Jest jednym z pierwszych systemów rusztów do przekrywania średnich i dużych rozpiętości.

System  wiąże się z nazwiskiem Stefana  Du Château, wielkiego polskiego Architekta, mieszkającego i tworzącego we Francji, pioniera  w obszarze przestrzennych konstrukcji rurowych, który opatentował wiele węzłów: Tridirectional SDC system (1957), Pyramitec (1960), Circotec (1963), Bacotec (1965), Tridimatec (1965), Unibat (1968), Spherobat (1979),  Tridibalu i Flotalu  (1984), Pyramibat (1984), Bamboutec (1984),  Dodecavis (1985).

Na rys.8 pokazano cechy charakterystyczne rusztu ortogonalnego Tridimatec [18], w którym wszystkie pręty są wykonane z rur i łączone w węzłach w taki sposób, że pasy są w nich uciąglane, a krzyżulce przyłączane nakładkowo.

Rys. 8. Detale rusztu ortogonalnego systemu Tridimatec [18]

System „Mostostal”

System  Mostostal został opracowany w Polsce w roku 1979. Na rys. 9 pokazano charakterystyczną konstrukcję kratownic i węzły rusztów systemu.

Rys 9 . Kratownice rusztu Mostostal  [9]

System Mitex

W pracy [19] opracowano system rusztów kratownicowych pod nazwą system Mitex. W tym systemie zrealizowano szereg przekryć  hal wielkopowierzchniowych w Polsce. Realizacje w pierwszych latach stosowaniu systemu dotyczyły przekryć hal hipermarketów o powierzchni ponad 1 hektar każda w: Radomiu, Siemianowicach, Piotrkowie Trybunalskim, Jeleniej Górze, Świętochłowicach, Tarnowie, Płocku, Pile, Bełchatowie i Łomży.

Na rys. 10a pokazano sztandarowy detal systemu Mitex: węzeł podporowy na głowicy słupa żelbetowego. Jedną z podstawowych idei systemu jest zastosowanie słupów żelbetowych, a nie stalowych. Z analizy ekonomicznej wynika niezbicie, że słupy żelbetowe są prawie 5-krotnie ekonomiczne od słupów stalowych, a ponadto bardziej przyjazne ze względów funkcjonalnych. Aksonometryczny widok węzła podporowego ze sposobem podłączania kratownic składowych przedstawia rys. 10b i 10c.

Rys.10a . Detal podporowy S-P (Słup-Przekrycie) w systemie Mitex [19]

Rys. 10b Aksonometria węzła podporowego systemu Mitex [19]

Rys. 10bc Aksonometria węzła przenikania kratownic w systemie Mitex [19]

Na rys. 11 pokazano fragment rysunku zestawczego i zasadnicze przekroje przez przekrycie typu Mitex hali w Tarnowie. Pokazany fragment przekrycia ma wymiary 108×37,8 m. Przekrycie jest oparte na siatce słupów  12×24+12×13,8 m i złożone z przenikających się wiązarów o różnych wysokościach: h=2,0m (dla L=24 m); h=1,0 m (dla L=12 m); h=0,6 m (w polach o wymiarach 12x12m, objętych wiązarami głównymi). Najmniejsze pola  zagęszczono płatwiami walcowanymi IPE (od IPE 140 do 220 zależnie od strefy obciążenia śniegiem i innych uwarunkowań), lub płatwiami z kształtowników giętych na zimno, co umożliwiło zastosowanie blachy dachowej o optymalnej wysokości fałdy dla jednej długości przęsła 6m.

Rys. 11 . Fragment przekrycia hali ECHO Tarnów w systemie Mitex  [20] [ kliknij aby powiększyć do PDF ↵]

Na rys. 12 pokazano fotografię fragmentu przekrycia dużego kompleksu przemysłowego CERSANIT w Wałbrzychu  o powierzchni ok 2 hektarów, zrealizowanego w systemie Mitex. Projekt został opracowany w latach 1999/2000 [21], a fabryka  wybudowana w roku 2001 i  w kolejnych latach rozbudowywana o dalsze obiekty z przekryciami również w tym samym systemie.

Rys.12. Przekrycie rusztem w systemie Mitex kompleksu CERSANIT w Wałbrzychu  [21]

Przekrycia  strukturalne – efekt kopuły

Przekrycie strukturalne  może być w ogólności utworzone na płaskiej lub zakrzywionej powierzchni. W przypadku przekryć na powierzchni płaskiej powinno ono przenosić przede wszystkim zginanie i dla tego typu przekryć właściwe jest zastosowanie wielowarstwowej konstrukcji, np. takiej jaką pokazano na rys.5, w której warstwy zewnętrzne (pasy górne i dolne) przenoszą siły pochodzące od zginania, a warstwa środkowa (krzyżulce) przenosi ścinanie. W przypadku przekryć rozpiętych na powierzchni zakrzywionej zaznacza się  efekt kopuły (membrany), w której przeważają siły błonowe (a nie zgięciowe) i wówczas przekrycie przenosi przede wszystkim siły rozciągające i ściskające.

Systemy przekryć strukturalnych na zakrzywionej powierzchni mogą mieć mniejszą wysokość konstrukcyjną od opisanej w poz. 1 i na rys.2. Można mianowicie wstępnie przyjąć, że wyznaczony, zgodnie z rys.2 wskaźnik  i(=L/H), dotyczy wysokości H, na którą składa się wysokość płaskiego przekrycia (odległość pomiędzy pasami kratownicy), powiększona o strzałkę wygięcia  powierzchni pasów dolnych przekrycia na długości L. Tę zasadę  nazywamy efektem kopuły.

Rozwiązania systemowe przekryć strukturalnych

Pod koniec lat 40. i na początku lat 50. XX w. pojawiło się na świecie wiele pionierskich systemów struktur przestrzennych, takich jak niemiecki system Mero (1942), angielski system Space Deck (1954), kanadyjski system Triodetic (1955), amerykański system Unistrut (1955).  W tab.1. zestawiono powszechnie używane systemowe rozwiązania, podlegające ochronie patentowej.

Topologia struktur trójwarstwowych

Ze względu na ułożenie pasów struktur wyróżnia się układy:

• dwudrożne – dwukierunkowe (2K), w których pasy są ułożone wzdłuż dwóch dominujących kierunków, najczęściej prostopadłych do siebie,
• trójdrożne – trójkierunkowe (3K), w których pasy są ułożone wzdłuż  trzech dominujących kierunków, najczęściej  wzdłuż boków trójkąta umiarowego.
• wielodrożne – wielokierunkowe (XK), w których pasy są ułożone wzdłuż kilku (sześciu, ośmiu) kierunków

Nazwa	Opis	Szkic
Grupa 1: Złożone z kratownic (ruszty kratownicowe - pkt.3)
ruszt 2K, O-O ruszt dwukierunkowy, ortogonalny	Ten typ rusztu kratownicowego ma zaletę prostoty węzłów. Ze względu na niską odporność na skręcanie, zwykle stosuje się stężenia połaciowe.
ruszt 2K, D-D ruszt dwukierunkowy, diagonalny	Układ sieci jest dokładnie taki sam jak wyżej, z tym że jest obrócona o 45° w stosunku do krawędzi. Kratownice mają różne przęsła w dwóch kierunkach, ale uzyskuje się lepszą pracę przestrzenną.
ruszt 3K ruszt trójkierunkowy	Pasy tworzą siatkę trójkątów równobocznych. Ruszt Jest sztywny i można go dostosować do dziwnych kształtów w planie zarówno okręgu jak i sześciokąta. Węzły są dość skomplikowane ze względu na dużą liczbę prętów zbiegających się w jednym punkcie (do 13-tu prętów w skrajnych przypadkach).
ruszt 1K ruszt jednokierunkowy	Składa się on z szeregu wzajemnie nachylonych kratownic, tworząc złożone kształty. Można wyznaczyć kierunek dominujący. Niezbędne są stężenia poziome , zwiększające integralną sztywność.
Grupa 2: Złożone z piramidek o podstawie kwadratowej (ośmiościanów, ang. octahedrons)
piramidki 2K, O-O Ortogonalna siatka piramid; (Kwadrat przesunięty o kwadrat) [ ang. square on square offset ]	Jedna z najczęściej używanych konfiguracji struktur. Geometria górnej warstwy jest odwzorowana w dolną warstwę z przesunięciem o moduł . Długości prętów górnej i dolnej warstwy są jednakowe. Krzyżulce są najczęściej umieszczone pod katem 45° do diagonali oczka. tej samej długości. Większość systemów "kwadrat przesunięty o kwadrata" jest objęta patentami. Struktura (K-K) jest montowana w bocznym systemie montażowym.
piramidki 2K, O-P-O Ortogonalna siatka piramid z wewnętrzną pustką; (Kwadrat przesunięty o kwadrat z wewnętrzną pustką) [ang square on square offset with internal openings; square on larger square]	Konfiguracja (K-P-K) jest podobna do (K-K) , ale środkowe piramidy są usuwane, tworząc większe kraty dolnej warstwy . Modyfikacja ta zmniejsza całkowitą ilość elementów , a tym samym zmniejsza ciężar struktury. Konfiguracja (K-P-K) daje ciekawe efekty architektoniczne, a także umożliwia zamontowania świetlików w przekryciu. Należy zwrócić uwagę, że bez dodatkowych nakładów, np. sztywnych belek obwodowych wokół segmentów przekrycia , system jest geometrycznie zmienny.
piramidki 2K, O-D Diagonalne piramidki (Kwadrat na diagonali (przekątnej) [ ang differential square pyramid; square on diagonal ]	Konfiguracja K-D polega na obróceniu warstwy dolnej w stosunku do górnej o kąt 45°. Takie ułożenie skutecznie zwiększa sztywność skrętną struktury. Jest to jedna z najbardziej wydajnych konfiguracji z warunku przenoszenia sił ściskających przez krótsze pręty warstwy górnej i rozciągających przez dłuższe pręty warstwy dolnej Nawet po usunięciu dużej liczby piramidek, układ pozostaje strukturalnie stabilny i jest przyjemny estetycznie (architektonicznie )
piramidki 2K, D-P-O Diagonalne piramidki (Kwadrat na diagonali (przekątnej) [ ang Diagonal square pyramid ; diagonal square on square with internal openings; diagonal on square ]	Konfiguracja K-P-D jest odwrotną konfiguracją K-D. Składa się z piramid z kwadratową podstawą połączonych w wierzchołkach z mniejszą liczbą elementów przecinających się w węźle , które są stosunkowo proste, ponieważ tylko sześć prętów łączy się w górnym węźle i osiem elementów w dolnym węźle.
Grupa 3: Złożone z piramidek o podstawie trójkątnej (czworościanów, ang. tetrahedrons)
piramidki 3K, T-T siatka piramid trójkątnych; (Trójkąt przesunięty o trójkąt) [ang. triangular pyramid ; triangle on triangle offset ]	T-T: siatka trójkątna piramid, stosowana jako podstawowe elementy, połączone w wierzchołkach. Tworzy wzór na górnej warstwie i jest przesunięte na trójkątnej sieci warstwy dolnej . Jeśli głębokość siatek przestrzennych jest równa sqrt(2/3) przekątnej, to wszystkie krzyżulce mają taką samą długość.
piramidki 3K, T-P-T siatka piramid trójkątnych z wewnętrzną pustką; [ang. triangular pyramid with openings ; triangle on triangle offset with internal openings]	T-P-T: W konfiguracji T-T wybrane wewnętrzne piramidki są usunięte. Trójkątny wzór jest tworzony na górnej warstwie, a sześciokątny w dolnej warstwie . Wzór w dolnej warstwie może być zróżnicowany zależnie od sposobu usuwania piramidek. W tym typie konfiguracji można stworzyć wrażenie otwartej przestrzeni lub też kontrast wzorów.

Tab.3. Systemy montażowe struktur przestrzennych 💡

Nazwa	Opis	Szkic
Piramidowy boczny	Połączenia pomiędzy piramidkami realizuje się na bokach piramid (górnych pasach), które są wykonywane z profili bliskogałęziowych. Taki system stosuje się w układzie ortogonalnym (O)
Piramidowy czołowy	Połączenia pomiędzy piramidkami realizuje się w wierzchołkach.
Prętowy	Stosowany w przypadku, gdy elementy wysyłkowe piramidek są zbyt duże do transportu (wysokość lub szerokość przekracza skrajnię samochodową, najczęściej 2400 mm)

Konstrukcja węzłów

Rozwiązania systemowe znamienne są  konstrukcją węzłów. W tab. 4 zestawiono opatentowane węzły przekryć strukturalnych, które opracowano w drodze uzupełnienia wykazu podanego w pracy [22] o systemy opracowane w Polsce. [22] podał szczegółową klasyfikację i przeprowadził ocenę rozwiązań systemowych.  Wybór „najlepszego” systemu jest uzależniony od szeregu parametrów przekrycia i ostatecznie powinien być pozostawiony do świadomego wyboru projektanta po uwzględnieniu  pod przede wszystkim aspektów ekonomicznych i architektonicznych. W zasadzie nie jest możliwe budowa bazy danych przeznaczona do automatycznego wyboru systemu przez komputer. Charakterystyczne dla wszystkich systemów jest to, że końcówki prętów są obrobione i przystosowane (do spawania, spłaszczone, wygięte itd, a większość systemów jest przystosowana do skręcania na budowie ( z wyjątkiem SDC i Oktaplatte). Ponadto w większości stosowane są węzły kulowe lub walcowe, a w celu oparcia płatwi lub przegród kurtynowych (podkonstrukcji) należy pasy wyposażać w stołki.

Tab. 4  Typy węzłów strukturalnych [22] – uzupełnione  💡

Typ węzła	Rodzaj w typie	Łącznik element przekrój	Systemy	Przykład systemu
Kula	nacięta		Spherobat,Francja NS space trusses, Japonia; Tubal, Holandia; Orbik, Wielka Brytania NS space trusses, Japonia; Tubal Holandia, Orbik, Wielka Brytania	Spherobat [Du Chateau(1979)
Kula	nacięta		SDC, Francja	SDC [Du Chateau(1957)]
Kula	nacięta		Vestrut, Włochy	Vestrut [ Ventrella E. (1980)]
Kula	zwarta		Mero KK, Niemcy; Montal, Niemcy; Uzary, Wochy; Zublin, NIemcy Steve Baer, USA; Van Tiel, Holandia; KT space truss, Japonia MeroMT, Niemcy	(U)| Mero KK [ Mengerighausen (1942)]
Cylinder			Triodetic, Kanada Nameless, Niemcy	(U) Triodetic [Fentiman A. (1964)
Cylinder			Octatube Plus, Holandia; Nameless, Singapur Pieter Huybers, Holandia Nameless system, Wielka Brytania	Octatube [Eekhout (1984)]
Dysk			Palc, Hiszpania Power strut, USA Pieter Huybers, Holandia	Pieter Huybers, Dome Structures (1986)
Dysk			Boyd Auger, USA; Octatube, Holandia Piramodul large span, Holandia	Gyrotron (Expo'67) [Boyd Auger (1967)]
Dysk			Nodus, Wielka Brytania	Nodus [ British Steel Corporation (1972)]
Dysk			Moduspan(Unistrut), USA; Space-frame system VI (Unistrut), USA	Unistrut (1955)
Dysk	Końcówki elementu		Pieter Huybers, Holandia Pierce, USA Buckmister Fuller	Observation Tawer Apeldoorn [Pieter Huybers (1995)]
	Wyciągane i wyginane		Radial, Australia Harley, Australia	Harley System 80 [Kenchington Ford (1991)]
Forma	Formowane		Buckmister Fuller Nonadome, Holandia	(U) Tent-type geodesic dome [ Buckminster Fuller, Vitra -Rhein, Germany (2006)]
	nacięta		Oktaplatte, Niemcy WHSJ, Chiny	Oktaplatte [Fröhlich J. (1959)]
Dodatkowe	Płyty		Mai Sky, USA	Mai Sky System [Mai Sky Inc ]
Dodatkowe			Mero BK i ZK, Niemcy Mero NK, Niemcy Satterwhite, USA	(U) Mero NK
Pryzma			Montal, Niemcy Mero BK, Niemcy	(U) Mero BK
Pryzma			Tridimatec, Francja	Tridimatec [Du Chateau (1965)]

Wybrane węzły przekryć strukturalnych

Węzeł MERO

Wprowadzony ponad 70. lat temu przez dr Mengeringhausen węzeł MERO (rys.13) jest używany do dzisiaj. Jego zasadniczą częścią jest lita, stalowa kula tłoczona na gorąco z płaskimi ściankami i gwintowanymi otworami. Do otworów są mocowane rurowe pręty, zamknięte odkuwkami stalowymi spawanymi w kształcie stożka, w których umieszczono sześciokątne śruby łączące. W węźle może zbiegać się do 18 prętów bez mimośrodów. Produkowane są węzły  o średnicy od 46,5 do 350 mm, a odpowiadające śruby mają rozmiar  M12 do M64 z maksymalną nośnością  1413 KN.

Rys.13. Węzeł MERO. Widok perspektywiczny, przekrój i wymiary węzła sferycznego [5]

Typowa piramidka systemu Mero jest (pół ośmiościanem), w której pasy i krzyżulce mają taką samą długość a. Wysokość piramidki wynosi a/√2 , a kąt pomiędzy pasem i krzyżulcem wynosi 54,7°. Węzeł Mero ma tę zaletę, że osie wszystkich prętów  przechodzą przez środek węzła, co eliminuje siły od mimośrodów oraz momenty zginające pręty. Siły osiowe są przenoszone wzdłuż osi podłużnej śruby, a docisk stożkowych końcówek prętów. Sworzeń blokujący (dowel pin) ma średnicę od 6 do 9 mm.

Złącze Mero zostało pierwotnie opracowane dla płaskich struktur trójwarstwowych, ale ze względu na rosnącą popularność pokryć, skonstruowano nowe systemy o nazwie Mero Plus. W tych systemach stosuje się pręty z rur okrągłych lub kwadratowych Złącze przenosi siły tnące, skręcanie i w szczególnych przypadkach również zginanie.  W systemie Mero Plus produkowane są cztery rodzaje węzłów, a mianowicie:

• Dysk (rodzaj TK) – rys. 14,
• Miska (rodzaj NK) – rys. 15,
• Cylinder Node (rodzaj ZK)- rys. 16,
• Blok  (rodzaj  BK) – rys. 17.

Rys.14. Węzeł Mero Plus – TK

Węzeł  rodzaju TK ma kształt pierścienia, w którym za pomocą pojedynczych śrub można łączyć 5 do 10 prętów z rur okrągłych, kwadratowych  lub prostokątnych.

Rys.15. Węzeł Mero Plus – NK

Węzeł rodzaju NK jest półkolistą miską w której łączą się pręty pasów i krzyżulców za pośrednictwem pojedynczych śrub.Węzeł może przenosić ścinanie. Węzły NK  używane są do płaskich trójwarstwowych i zakrzywionych powierzchni, a w szczególności do budynków o nieregularnych w planie lub w kształcie piramidy .

Rys.16. Węzeł Mero Plus – ZK

Węzeł rodzaju Mero ZK, to  cylindrowy węzeł do sztywnych połączeń (przenosi zginanie) . Zazwyczaj , węzeł może łączyć się od 5 do 10 kwadratowych lub prostokątnych prętów, które mogą przyjmować poprzeczne obciążenie. Węzły cylindrowe są wykorzystywane do powierzchni pojedynczo lub podwójnie zakrzywionych i wszędzie tam, gdzie wymagane są zginane połączenia sztywne .

Rys.17. Węzeł Mero Plus – BK

Węzeł rodzaju BK to blokowy albo w kształcie graniastosłupa węzeł do łączenia prętów pod kątem o przekrojach kwadratowych lub prostokątnych . od 70 do 120º. Stosuje się do powierzchni jedno- lub dwu-krzywiznowych, do połączeń przegubowych lub sztywnych , o małej liczbie prętów prostej geometrii i małych wymiarach przekrycia.

System Space Deck

Angielski system Space Deck pokazano na rys. 18. Wykorzystuje on prefabrykaty w postaci piramid, w których cztery krzyżulce są wspawane w naroża ramki utworzonej przez pasy przestrzeni. Piramidki są składane w piramidalnym systemie bocznym poprzez skręcenie pasów górnych. Pasy dolne są przykręcane do wierzchołków piramid. W systemie można osiągnąć niewielkie krzywizny pokrycia poprzez zmiany długości i sprężenie prętów dolnych. System Space Deck jest zazwyczaj używany do budynków rozpiętości 40 m. Stosuje się standardowy moduł 1,2 m; a minimalna wysokość struktury wynosi 0,75 m. Dla większych obciążeń lub rozpiętości przekrycia stosuje się piramidki do 1,5 m i wysokości do 2,0 m.

Triodectic

W kanadyjskim systemie Triodectic zastosowano tłoczony, ząbkowany węzeł węzła aluminiowy (rys.19). Końcówki prętów rurowych są sprasowane, tworząc wpusty wciskane do piasty węzła. Złącze jest zrealizowane po umieszczeniu końców prętów w piaście, umieszczeniu podkładek i skręceniu śrubą. System Triodetic jet stosowany do 33 m rozpiętości, a moduł podstawowy do 2,7 m. Wysokość przekrycia wynosi zwykle 70% modułu .

Rys.19. Węzeł systemu Triodectic

Unistrut

Węzeł amerykańskiego systemu Unistrut wykonano z blachy tłoczonej do kształtu pokazanego na rys.20. Pręty z rur kwadratowych umieszczane są w wytłoczonych kanałach i mocowane za pomocą jednej śruby. Węzły warstwy górnej i dolnej są identyczne. Maksymalna rozpiętość dla tego systemu wynosi około 40 m. Stosuje się moduły 1,2 lub 1,5 m. System mona spotka również po nazwą Moduspan.

Rys.20 Węzeł systemu Unistrut

Oktaplatte

Rys.21 Węzeł systemu Okatplatte

Nodus

Rys.22 Węzeł systemu Nodus

NS Space Truss

Rys.23 Węzeł NS Space Truss

Lederer

Rys.24 Węzły Lederer [23]

Polskie systemy

W Polsce opracowano kilka systemów przekryć strukturalnych, z których najważniejsze opisano niżej.

Węzeł ZK (Zbigniew Kowal)

Na rys. 25 pokazano węzły tłoczone typu ZK, opracowane przez Profesora  Zbigniewa Kowala  [24]. Węzły ZK są podstawą systemu Zachód.

Węzeł ZK jest znamienny tym, że zastosowano w nim czaszę kulistą tłoczoną z blach, w której posłużono się korzystnym zjawiskiem znanym z technologii tłoczenia blach, polegającym na uzyskaniu grubszego dolnego pierścienia węzła, który można dostosować przyłączenia prętów warstwy górnej (węzeł górny) lub warstwy dolnej (węzeł dolny). Do czaszy kulistej podłączone są krzyżulce. Na rys. 25 pokazano wersję węzła z regulowanymi długościami krzyżulców, które w tym przypadku przykręcone są do węzła za pomocą nagwintowanych końcówek wciśniętych w zakończenie rurowych krzyżulców. W opisie do systemu Zachód pokażemy inne warianty węzła ZK.

Rys.25 Węzeł typu ZK: górny (z prawej), typowy dolny ( z lewej) [24]

System Zachód

Na rys. 26 pokazano standardowy element wysyłkowy (piramidkę) systemu Zachód. Zastosowano w nim węzeł dolny typu ZK bez możliwości regulacji długości krzyżulców poprzez przyspawanie rur K_n i K_m bezpośrednio do wytłoczonej powierzchni czaszy. Od dołu do węzła są przykręcane pasy dolne D_i, wykonane na przykład z ceownika, ale najczęściej z litych prętów o przekroju okrągłym. Pasy górne R_i wykonane na przykład z ceowników C80E (ale najczęściej z kątowników), są skręcane z pasami sąsiednich piramidek w bocznym systemie montażowym za pomocą śrub M12, a w narożach M20. Ze względu na znaczne siły w narożach wymagają one najczęściej wzmocnienia i zastosowania dodatkowych śrub, np. M24.

Rys.26 Piramidka systemu Zachód  [9]

System Mostostal

System Mostostal jest wzorowany głównie na systemach Pyramitec i Unibat [9] stosowany jest  do przekryć o wymiarach od 24×24 m do 36×36 i składany jest z segmentów 12×18, 18×18,24×18 lub 24×24 m. Wysokość użytkowa hal wynosi 4,8; 6,0 lub 7,2 m.

Na rys. 27 pokazano piramidkę systemu Mostostal wraz z detalami węzłów, stosowaną w bocznym systemie montażowym, a na rys. 28 stosowaną w czołowym systemie montażowym. Należy zwrócić uwagę, że profile pasów górnych zależą od wybranego systemu montażowego: w systemie bocznym wykonane są z kątowników, a  w systemie czołowym z dwuteowników. Istotnie różni się również konstrukcja węzłów górnych. W systemie bocznym w węźle górnym zastosowano trójkątną zaślepkę wewnętrznego narożnika kątowników, tak by pręt krzyżulca trafiał prostopadle w powierzchnię zaślepki (rys. 28a). W systemie czołowym węzeł górny utworzono z dwóch ceowników, złożonych w kształt rury kwadratowej (rys. 29). Pasy dolne wykonano z litych prętów okrągłych , wstępnie sprężanych nakrętkami rzymskimi.

Rys.27 Piramidka systemu Mostostal w bocznym systemie montażowym  [9]

Rys.28 Piramidka systemu Mostostal w czołowym systemie montażowym  [9]

Na rys 29 pokazano kilka wariantów wykonania węzła górnego w bocznym systemie montażowym Mostostal. Rys 29 a) obrazuje typowy węzeł. Na rys. 29b) krzyżulec łączy się z węzłem od dołu za pośrednictwem przekładki, a na rys. 29c) spłaszczony krzyżulce wspawany jest w naroże utworzone przez kątowniki pasów górnych.

Rys.29 Węzeł górny w bocznym systemie montażowym Mostostal [9]

Zaprezentowane na rys. 30 warianty węzłów dolnych w systemie Mostostal, to: a) połączeniu pasów z rur okrągłych lub prostokątnych do poziomej blachy wzmocnionej od spodu żebrami, do których można podłączyć pasy dolne; b) połączenie spłaszczonych końcówek rur krzyżulców z płytą z bolcem z rury; c) połączeni krzyżulców z obróconych kątowników, d) węzęł dolny piramidki trójkątnej i z trzema krzyżulcami.

Rys.30 Warianty węzła dolnego w systemie Mostostal [9]

Przekrycie strukturalne typu LC

[23] opracowali projekt przekrycia hali widowiskowo-sportowej w Szczecinie, o bardzo dużej rozpiętości 103×89 m. Na rys. 31 pokazano wizualizację  bryły hali z  jednokrzywiznowym przekryciem strukturalnym. Przekrój podłużny przez przekrycie pokazano na rys.32.

Rys. 31 Hala widowiskowo -sportowa w Szczecinie

Rys. 32 Hala widowiskowo -sportowa w Szczecinie. Przekrój [25]

Stosunek wysokości konstrukcyjnej przekrycia do długości przęsła (podwojonego wysięgu wspornika) wynosi i= 2×103,2/3,6= 69 . Jednakże na skutek efektu kopułowego wysokość efektywna przekrycia wynosi 19,5-6,6+3,6=16,5 m, czyli i = 2×103,2/16,5= 12,5. W kierunku poprzecznym i= 89/3,6=24,7.  Wykorzystanie efektu kopułowego umożliwiło istotne zredukowanie ugięć przekrycia i jego wysokości konstrukcyjnej. Podane szacunki są przybliżone, i należy je traktować wyłącznie jako porównawcze bowiem na ścianach bocznych oraz szczytowej umieszczono kilka kolumnadę wahaczowych słupów. Odkształcalność słupów powoduje jednak, że przekrycie pracuje przeważająco wspornikowo.

Fragment przekrycia  otoczony  czerwoną linią przerywaną rozrysowano w  rzucie na rys. 34. Liniami szarymi oznaczono konstrukcję przekrycia w części świetlikowej (centralnej na rys. 31).

Ważnym zjawiskiem, które obserwowano podczas wielokrotnych prób doboru profili prętów, było to, że  należało istotnie przewymiarować kilka prętów, ale tak by nastąpiło odciążenie dużej liczby innych prętów co w bilansie doprowadziło do obniżenia masy całego przekrycia o ok. 16%.

W przekryciu zastosowano oryginalna rozwiązanie węzłów. Węzły kulowe uzyskano poprzez nałożenie maskownic na konstrukcje typu LC (Leszek Chodor) pokazane na rys 33. Konstrukcję węzłów przystosowano do przenoszenia bardzo dużych sił i zaprojektowano z dwóch przenikających się rur grubościennych, wyposażonych w pionowe przepony do których zakładkowo mocowane są krzyżulce. Rurowe pasy podłączone są do węzła za pośrednictwem sprężanych połączeń kołnierzowych.

Rys 33a. Węzeł LC przed nałozeniem maskownicy

Rys 33b. Węzeł LC po nałożeniu maskownicy

Rys. 33c. Węzeł LC kompletny w trakcie maskowania [25]

Rys.34. Typologia węzłów typu LC [25]

Węzły typu LC obejmują rozmaite konfiguracje, opisywane w sposób pokazany na rys. 34. Na rys. 35 pokazano fragment warstwy dolnej przekrycia hali w Szczecinie ze wskazanymi typami węzłów LC, a na rys. 36 rozrysowano przykładowo węzeł rodzaju —-Iaccc.

Rys. 35 Fragment warstwy dolnej L-0 przekrycia hali w Szczecinie [25]

Rys. 36 Węzeł LC rodzaju „BG_HHVV PY_—-Iaccc” [25]

Podparcie struktur

Systemy podparcia

Rys. 37 Przykłady rozmieszczenia podpór przekryć strukturalnych

Rys. 38 Podparcie przekryć: w węzłach dolnych za pośrednictwem rozwidlonych prętów; w węźle dolnym; w węzłach dolnych za pośrednictwem słupa strukturalnego, w węźle górnym; w węzłach dolnych za pośrednictwem podpory ramowej

Przykład węzła podporowego

Rys.39 Węzeł podporowy systemu MERO (1)Węzeł MEro, (2) pręt Mero, (3) Przegubowe łożysko podporowe, (4)płyta podporowa, (5) ogranicznik poziomy, (6) Elastomer zbrojony, (7) śrub y fundamentowe, (8) podlewka z zaprawy montażowej [5]

Uwagi do obliczania struktur

Współczesna metoda obliczania struktur

Współcześnie siły w prętach struktur można wyznacza się metodami numerycznymi w przestrzennym modelu prętowym, w następujących krokach:

A Wstępne przyjęcie systemu konstrukcyjnego

1. Ustalić koncepcję geometryczną przekrycia: wysokość konstrukcyjną, układ prętów – konfigurację struktury, system montażowy, sposób podparcia oraz obciążenia i ich kombinacje.
2. Dla układu konstrukcyjnego dobranego w kroku 1, przyjąć typoszereg profili na poszczególne pręty stowarzyszony z detalami węzłowymi, to znaczy dobrać rodzaje profili na : pasy górne, krzyżulce , pasy dolne, detal węzła górnego, detal węzła dolnego, detal połączeń montażowych.
3. Zbudować model numeryczny system.  Wstępne przekroje dobrać w sposób niemalże dowolny, ale lepiej zastosować najprostszą możliwą analogię, czyli analogię belkową opisaną w pkt. 7.2.1.  Rodzaje profili dobrać opracowanego w kroku 1 typoszeregu. W obliczeniach numerycznych będą one podlegały odwrotnej (natychmiastowej) weryfikacji i korekcie.
4. Zwrócić uwagę, by pręty w modelu były prostoliniowe oraz  połączone osiowo w węzłach, Obciążenia przykładamy tylko w węzłach. Ewentualne obciążenia międzywęzłowe będą przykładane już po zgrubnym zaprojektowaniu systemu.

B Sprawdzenie stateczności systemu

Dla systemu, obciążeń i profili przyjętych jak wyżej przeprowadzić wstępne  obliczenia dla systemu liniowo- sprężystego. przy założeniu PRZEGUBOWEGO połączenia prętów  węzłach.  W przypadku braku rozwiązania lub nadmiernych przemieszczeń węzłów , mamy do czynienia z systemem osobliwym, co może wskazywać na geometryczną zmienność systemu lub   źle określoną macierz sztywności z innych powodów (np braki połączeń prętów w węzłach lub złe stosunki sztywności lub długości poszczególnych prętów.

System należy doprowadzić do poprawności, poprzez stwierdzenie rozwiązania przy umiarkowanych przemieszczeniach węzłów.

C Wstępne przyjęcie przekrojów prętów

Z rozwiązania w kroku B odczytać siły przekrojowe i dobrać profile stosowanie do ich wartości, przy czym długości wyboczeniowe prętów przyjąć równe długościom teoretycznym. Model systemu skorygować poprzez wprowadzenie nowych sztywności prętów

D Wymiarowanie prętów dla modelu rzeczywistego z imperfekcjami systemu.

Zbudować model rzeczywisty poprzez przyjecie usztywnień w węzłach. W każdym węźle przyłożyć poziome siły imperfekcji H_x=H_y= 1/100 V.

Dla tak zmodyfikowanego systemu przeprowadzić obliczenia nieliniowe P-Δ.  Otrzymane  w wyniku siły osiowe oraz momenty zginające drugiego rzędu uwzględniają wyboczenie prętów i NIE należy już uwzględniać współczynników wyboczeniowych. Pręty zwymiarować jako ściskane/rozciągane i zginane.

E W przypadku braku zbieżności w kroku D, przeprowadzić analizę wyboczeniową systemu i wyznaczyć siły krytyczne w poszczególnych prętach, a dla tych sił, wyznaczyć smukłości prętów i współczynniki wyboczeniowe. Pręty zwymiarować dla tak oszacowanych parametrów.

F Ostatecznie  przeprowadzić obliczenia nieliniowe.

Należy uznać, że system jest poprawnie zaprojektowany, jeśli jest zbieżny. W przypadku braku zbieżności, w zasadzie konstrukcję należy przeprojektowywać, aż do momentu uzyskania zbieżności oraz spełnienia warunków wytrzymałości oraz sztywności (nieprzekroczenia dopuszczalnych przemieszczeń, ugięć oraz drgań).

Metody analogowe

Idea metod analogowych

W przeszłości obliczanie struktur przestrzennych często prowadzono za pomocą metod analogowych: analogii belkowej, płytowej lub rusztowej.

Idea analogii płytowej polega na zastosowaniu teorii płyt dla zastępczej płyty, której sztywności zależą od topologii struktury przestrzennej. Zastosowanie tej analogii jest dość uciążliwie, między innymi z powodu konieczności oszacowania współczynnika Poissone’a płyty zastępczej. Prostsze są analogie prętowe (pkt.7.2.2) : belki lub rusztu belkowego.

Obecnie metody te straciły na znaczeniu, oprócz zgrubnego, wstępnego oszacowania przekrojów prowadzonego równolegle z koncepcyjnym konstruowaniem węzłów.

Analogia belkowa

Zakładamy, ze Czytelnik zapoznał się z  rozdz 7.1. (analogia klasyczna) i rozdz 7.2 ( analogia belki Timoshenko) artykułu Stalowe dźwigary kratowe.

W analogii belkowej z kratownicy przestrzennej wydzielimy belkę o przeroju trójpasowym i długości sprawczej $L_{eff}$, którą możemy określić na podstawie analizy geometrii przekrycia i lokalizacji podpór. Najczęściej przyjmuje się model , wktórym przekrycie jest podparte przegubowo na obwodzie. W przypadku przekrycia o rzucie prostokątnym $L_x\times l_y$, rzut przekrycia pokazano na rys. 40.

Rys.40 Rzut prostokątny przekrycia z zaznaczonymi obszarami A,B,C,D o zróżnicowanym wytężeniu.

Na rys. 40 zaznaczono obszary A,B,C, D w których różnicuje się przekroje prętów: pasów oraz krzyżulców, ze względu na istotnie różne wytężenie .

Dla geometrii jak wyżej przyjmuje się model belki swobodnie podpartej o długości sprawczej $L_{eff}$, którą można oszacować ze wzoru:

Współczynniki \alpha przyjmuje sie z tab. 5

Tab.5. Współczynniki długości sprawczej $\alpha_{eff}$ płyty prostokątnej o wymiarach $L_x \times L_y$

Dla $L_x>3 \cdot L_y$ można przyjąć $\alpha=1,0 $ i $L_{eff}=L_y$ (krótszy bok przekrycia).

Na rys.41 pokazano zastępczy model belkowy kratownicy trójpasowej. Z zależności geometrycznych wynika, że dla przestrzennego kąta nachylenia krzyżulca $45^o$ kąt nachylenia kratownicy płaskiej do pionu wynosi $35,3^o$.

Ponieważ dla kąta nachylenia krzyżulca do pasa płaskiej kratownicy składowej zachodzi $arctg\beta=\dfrac{a/2}{h}=\dfrac{h\sqrt{2}}{2h}=\sqrt{2}$, więc $\beta=54,7^o$, co jest dopełnieniem do $90^o$ kata $35,3^o$.

Rys.41. Model belki zastępczej kratownicy trójpasowej. Rzuty płaskie na płaszczynę pionowa boczną i poprzeczną.

Obciążenie Q jest obciążeniem liniowym równomiernie rozłożonym zebranym z pasa powierzchni $a_{eff}$ przekrycia , przypadającego na jedną kratownicę trójpasową. W przypadku topologii przekrycia „O-O” można przyjąć $a_{eff}=1,5 \cdot a$, a w przypadku „O-P-O” $a_{eff}=2,0 \cdot a$.

Położenie środka ciężkości $C$ przekroju trójpasowego obliczymy z klasycznej zależności

co w przypadku $A_g=A_d$ daje znaną zależność $z_C=\dfrac{2}{3}H$.

Moment bezwładności przekroju trójpasowego bez uwzględnienia odkształcalności poprzecznej wynosi:

Podatność na ścinanie jednej ściany pręta wynosi [26], Przykład 1.2 i Tab. 1.1 , wrs b

Sztywność na ścinanie całego przekroju pręta trójpasowego dla $\beta \approx 30^o$ można oszacować ze wzoru [26], wzór (1.3)

Współczynnik podatności na ścinanie

Strzałka ugięcia $\delta$ belki wolnopodartej podatnej na ścinanie (belki Timoschenko) wynosi [26] tab 1.3

Po rozwiązaniu belki wolnopodpartej uzyskamy siły przekrojowe: momenty zginające $M(x) $ i siły poprzeczne $V(x)$ w punkcie o współrzędnej x pod długości belki. Z równowagi momentów zginających w przekroju belki-kratownicy mamy:

Nośność $M_R$ przekroju kratownicy na zginanie wynosi

gdzie $N_g=A_g\cdot f_y$ – siła ściskająca pas górny, $N_d=A_d\cdot f_y$ – siła rozciągająca pas dolny, $f_y$ jest granicą plastyczności stali.

Po doborze przekroju pasów górnych $A_g$ i dolnych $A_d$ sprawdzamy warunek nośności przekroju na zginanie :

Nośność $M_R$ przekroju kratownicy na ścinanie wynosi

krotność „4” wynika z przecięcia płaszczyzną pionową czterech krzyżulców piramidki nachylonych pod kątem przestrzennym $45^o$.

Po doborze przekroju krzyżulców  $A_k$ sprawdzamy warunek nośności przekroju na ścinanie :

Sprawdzenie nośności elementów struktury

Sprawdzenie nośności elementów kratownicy przestrzennej dokonuje się tradycyjnymi metodami:

• pręt rozciągany wg artykułu Rozciągane pręty stalowe,
• pręt  ściskany wg artykułu Ściskane pręty stalowe.
• warsztatowe połączenia spawane krzyżulców z węzłami  wg artykułu Połączenia spawane,
• montażowe połączenia śrubowe  piramidek i pasów dolnych z piramidkami wg artykułu Połączenia śrubowe.

Literatura

1. Merkle R. C. (2014). Molecular Space Frames: An Atomically Precise Aerogel (IMM Report #44), [ http://www.imm.org/Reports/rep044.pdf ]
2. MERO (MEngerighausen ROhrbauweise) (1943
3. Makowski Z., S. (1965), Steel Space Structures. Michael Joseph Ltd
4. Chilton J. (2000). Space Grid Structres. Architectural Press
5. Lan T. T. (2005). Space Frame Structures. In W.-F. Chen & E. M. Lui (Eds.), Handbook of Structural Engineering (2nd ed.). CRC Press
6. Constructional Steel Research and Development Organization (1972), Steel Design-ers Manual (Fourth Edition). Crosby Lockwood Staples Frogmore
7. Makowski Z. S. (1981). Analysis, Design and Construction of Double Layer Grids. Applied Science Publishers Ltd, Chapman & Hall Publishers
8. Bródka J. (1979), System konstrukcyjno-montażowy hal o przekryciach struktural-nych. Arkady
9. Bródka J. (red.) (1985). Przekrycia strukturalne, Arkady
10. Kurzawa Z. (2011), Stalowe konstrukcje prętowe. Cz. II. Struktury przestrzenne, przekrycia cięgnowe, maszty i wieże. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej
11. Kucharczuk, W., Labocha, S. (2012). Hale o konstrukcji stalowej. Poradnik projektanta. Polskie Wydawnictwo Techniczne
12. Bródka J., Łubiński M. (1971), Lekkie konstrukcje stalowe, Arkady
13. Kowal Z. (1982). Hale o dużych rozpiętościach. W: Bogucki W. (red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych (1 Wydanie., 2 Tom). Arkady
14. Kowal Z. , (1975), Wybrane działy z konstrukcji metalowych, część III: Zbiorniki, Płyty fałdowe i warstwowe, Struktury prętowe, Budynki wysokie,  Wydawnictwo Politechnik Wrocławskiej, Wrocław
15. Chinese Academy of Building Research. (1981), Specifications for the Design and Construction of Space Trusses (JGJ 7-80 (English translation: Int. J. Space Struct. 16[3]
16. Chodor L., (2006), Projekt wykonawczy konstrukcji zadaszenia stadionu KORONA w Kielcach, Archwum – Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o. o., Kielce
17. SAFAS Team (Mehdi Setareh, Nicholas Polys, Jian Chen, Brett Jones, Felipe Bacim, Ji Li, Li Ma, Tianyu Geng). (2014). Structure And Form Analysis System (SAFAS). [ http://www.setareh.arch.vt.edu/safas/007_fdmtl_21_spatial_structure.html ]
18. Motro R. (2013), Nodes and Structures – A tribute to Stephane Du Chateau. 8, 1–5
19. Chodor L. (1999). Projekt konstrukcji przekrycia Centrum Handlowego w Radomiu. Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o.o.; Archiwum Biura Projektów Budownictwa BPB, sp z o.o. w Kielcach
20. Chodor, L. (2000). Projekt konstrukcji przekrycia Centrum Handlowego w Tarnowie. Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o.o.; Archiwum Biura Projektów Budownictwa BPB, sp z o.o. w Kielcach
21. Chodor L. (2000), Projekt konstrukcji przekrycia Fabryki Płytek Ceramicznych Cersanit 1 w Wałbrzychu, Archiwum Biura Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o. o., Kielce
22. Gerrits, J. M. (1995). Morphology of space frame connections. In G. C. Giuliani (Ed.), Proceedings of the IASS International Symposium Spatial Structures: Heritage, Present and Future, Padova 5-9 June 1995 (pp. 171–178). SG Editoriali
23. Wikipedia,(2015). Pavilion Z, Brno Exhibition Grounds, [ http://www.anc-d.u-fukui.ac.jp/~ishikawa/years/1950-1960/Structural%20Systems-Countries/Axial%20Force/Europe/1959-s.f-CZE/PavilionZ,ExhibitionGrounds.htm ]
24. Kowal Z. (1975). Struktury przestrzenne z węzłami tłoczonymi (No. 15, Monografie 5; Prace Naukowe Instytutu Budownictwa Politechniki Wrocławskiej). Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej
25. Chodor, L. (2006). Projekt konstrukcji przekrycia hali widowisko-sportowej w Szczecinie. Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt, sp. z o.o..,  Archiwum Biura Projektów Budownictwa BPB, sp.  z o.o. w Kielcach
26. Pałkowski S. (2009). Konstrukcje stalowe: wybrane zagadnienia obliczania i projektowania. Wydawnictwo Naukowe PWN

________________________________