Współczesna nauka i praktyka projektowania konstrukcji, a w szczególności konstrukcji stalowych (ale również żelbetowych [1], [2]) uznaje, że podstawowym sposobem analizy jest analiza plastyczna, a nie sprężysta. Wyrazem tego jest wiele odniesień i dyspozycji w normie [3] i normach związanych. Dlatego podstawowym obszarem  pracy i kształcenia inżyniera powinny być metody analizy plastyczne, a klasyczne metody teorii sprężystości jedynie jako pomocnicze, wstępne.

Wprowadzenie

Metody analizy plastycznej prowadzą do optymalnego projektowania konstrukcji poprzez wykorzystanie rezerw plastycznych i powinny być stosowane w pierwszej kolejności. Metody teorii sprężystości można (i należy) stosować wtedy (i tylko wtedy), gdy w sposób  niebudzący wątpliwości, pokażemy, że: 1) materiał (stal) nie jest w stanie osiągnąć wystarczającego stanu plastycznego, 2) przekrój elementu  w przekrojach krytycznych ma wystarczająca swoboda obrotu, umożliwiająca utworzenie przegubu plastycznego.

Rys. 1  Modele  sprężysto -plastyczne: a) model  elementu lub konstrukcji (M-Φ), b) przegub rozproszony, c) przegub skupiony (opracowano na podstawie [4])

Typowa ścieżka równowagi (obciążenie – moment zginający M, przemieszczenie -kąt obrotu Φ) elementu lub konstrukcji sprężysto-plastycznej (rys.1a)  w początkowym zakresie  pracy sprężystej jest liniowa, powyżej obciążenia  sprężystego M_el staje się nieliniowa, a po osiągnięciu przez obciążenie granicznej wartości plastycznej M_pl przechodzi w linię poziomą, to znaczy bez dalszego wzrostu obciążenia następuje nieograniczony wzrost przemieszczenia.

Bardziej interesująca jest inna interpretacja: po osiągnięciu przez przemieszczenie Φ granicznej wartości plastycznej Φ_p obciążenie M utrzymuje się na stałym poziomie M_pl.
To spostrzeżenie jest podstawą definicji przegubu plastycznego, symbolicznie przedstawionego zaczernionym kółkiem na rys. 1c, to znaczy takiego przegubu w którym wartość siły przekrojowej jest stała, ale większa od zera i równa M_pl.

W przypadku konstrukcji żelbetowych definiuje się uogólniony przegub plastyczny w sposób pokazany na rys. 2. Przyjmuje się, że długość strefy uplastycznionej (rozproszonego przegubu) wynosi $1,2 h$, a kąt obrotu w przegubie (różnica kątów obrotu z lewej i prawej strony przegubu) oznacza się jako $\Theta_s$.  (odpowiada to kątowi $\Theta_p$ z rys. 1.

Rys.2 Przegub plastyczny w belce lub płycie żelbetowej [5]

Przedstawiona powyżej definicja przegubu plastycznego skupionego w punkcie jest podstawą analizy sztywno-plastycznej, którą nazwiemy teorią plastyczności I rzędu i omówimy w pkt. 3.  Założenia upraszczające przyjmowane w teorii I rzędu są uzasadniane dokładniejszymi analizami teorii sprężysto-plastycznej, którą nazwiemy teorią plastyczności II rzędu i omówimy w pkt. 2. Przykładowo w ramach teorii II rzędu analizuje sie kształt przegubów plastycznych – frontów plastycznych (rys. 1b) i wykazuje dopuszczalność uproszczenia przyjmowanego w teorii I rzędu o skupionych przegubach plastycznych (rys 1c), a także modelu konstrukcji złożonej z prętów sprężysto-plastycznych z przegubami plastycznymi punktowymi (rys.1d), przenoszącymi momenty przywęzłowe M_j.

Analiza sztywno-plastyczna (I rzędu) jest klasycznie nazywana teorią nośności granicznej.np. [6], [1], a uzyskana zgodnie z tą teorią nośność konstrukcji była powszechnie nazywana  nośnością graniczną. Tymczasem w świetle współczesnej nomenklatury nośność graniczna jest nośnością odpowiadającą stanowi granicznemu i jest zdefiniowana w normie [7]. Nośność graniczną wynikającą z analizy plastycznej będziemy nazywać nośnością plastyczną i oznaczać.

Nośność plastyczna jest  mnożnikiem konfiguracji obciążenia zewnętrznego w granicznym stanie plastycznym i będzie wyznaczana przy zastosowaniu analizy plastycznej I rzędu w modelu sztywno-plastycznym. Przykładowo dla modelu rys. 1c zachodzi $ M_{pl}= \Lambda_{pl}\cdot M$.

Mnożnik obciążenia $\Lambda$ jest nazywany również parametrem obciążenia [8] i jest podstawą analizy jednoparametrowej, w której można zwiększać znaną konfigurację obciążenia (łączne działanie wszystkich obciążeń- pionowych, poziomach, skupionych, rozłożonych itd.)  proporcjonalnie do tego parametru obciążenia. Wartość mnożnika obciążenia $\Lambda$ przy której obciążenia przemnożone przez ten parametr $\Lambda \cdot P $ wywołują określony efekt nazywamy obciążeniem granicznym: 1) w stanie sprężystym: przy utracie stateczności sprężystej mamy obciążenie graniczne krytyczne $\Lambda_{cr}$, przy uplastycznieniu choć jednego punktu w konstrukcji mamy obciążenie graniczne sprężyste $\Lambda_{el}$, 2) w stanie plastycznym przy uruchomieniu mechanizmu plastycznego, mamy obciążenie graniczne plastyczne $\Lambda_{pl}$. W dalszym ciągu obciążeniem granicznym będziemy nazywać maksimum na nieliniowej ścieżce równowagi, a przy innych obciążeniach granicznych pomijamy przymiotnik graniczny.

Analiza sprężysto-plastyczna (plastyczna II rzędu)

Przekrój belki sprężysto-plastycznej

Rozważmy przypadek prostego zginania,  tzn. pręta obciążonego na końcach przeciwnie skierowanymi momentami zginającymi M , wykonanego z materiału idealnie sprężysto-plastycznego, którego model pokazano na rys. 2a).

Rys. 2 Modele materiału sprężysto-plastycznego: a) idealnie sprężysto-plastyczny (Prandtla) , b) ze wzmocnieniem, c) sztywno-plastyczny ze wzmocnieniem; Re- granica sprężystości ; εp- odpowiadające odkształcenia plastyczne  [9]

Można wykazać [6], że również przy plastycznym odkształceniu jednokierunkowym stan naprężenia jest możliwy tylko pod warunkiem spełnienia założenia płaskich przekrojów (założenia Bernoulliego), wyrażonego proporcją:

gdzie ρ – promień krzywizny odkształconej osi belki, z – odległość włókna przekroju od osi obojętnej.

Rozkład naprężeń w przekroju sprężystym  przedstawionym na rys. 4a) jest proporcjonalny do prostoliniowy rozkład odkształceń (2), ponieważ naprężenia są związane z odkształceniami prawem fizycznym (w zakresie sprężystym prawem Hooke’a), które można zapisać w postaci :

gdzie E(ε) jest modułem odkształcenia, zależnym  od wartości odkształcenia i prowadzącym w ogólności do nieliniowego rozkładu naprężeń na wysokości przekroju. Dla modelu materiału sprężysto plastycznego ze wzmocnieniem (rys. 3b) mamy na przykład:

gdzie : E- moduł Younga; E’ współczynnik kątowy dla prostej wzmocnienia,  a dla jednoosiowego rozciągania σ=σ_x, ε=ε_x,

Przekroje belki, wykonanej z materiału o modelu (3) podczas wzrostu obciążenia M mogą pozostawać w stanach pokazanych na rys. 3:
a) sprężysty
b) graniczny sprężysty,
c) jednostronnie sprężysto-plastyczny,
d) dwustronnie sprężysto-plastyczny,
e) graniczny plastyczny.

Dla materiału sprężysto-plastycznego granica sprężystości R_e jest równa granicy plastyczności fy.

Rys.3. Charakterystyczne rozkłady  naprężeń w przekroju belki sprężysto-plastyczne (opis  w tekście)  [9]

Położenie osi obojętnej przekroju uplastycznionego zmienia położenie w stosunku do sprężystej osi obojętnej. Położenie tej osi  wyznaczymy z równań równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych:

W przypadku rozkładu sprężystego mielibyśmy

Na podstawie  równania (6a) możemy określić położenie osi obojętnej. Moment statyczny Sy zeruje się, jeśli oś obojętna y jest osią ciężkości , czyli jest osią centralną.
Z równania (6b), po przyjęciu definicji

otrzymamy fundamentalne związki zginania sprężystego:

skąd

Rozkład graniczny sprężysty wystąpi wówczas, gdy maksymalne naprężenia ( w skrajnym najdalej oddalonym od osi obojętnej włóknie) osiągną granicę sprężystości R_e. W przypadku stali przyjmuje się, że R_e=f_y (granica plastyczności). Stowarzyszony z takim rozkładem naprężeń moment zginający, nazywamy momentem sprężystym i oznaczamy przez M_el. Zgodnie z definicją (7b)

Wartość $\Lambda_{el}$ mnożnika obciążeń zewnętrznych, wywołujących choć w jednym przekroju moment zginający $M_{el}$ nazywamy granicznym mnożnikiem sprężystym (a obciążenie granicznym obciążeniem sprężystym).

Dla granicznego plastycznego rozkładu naprężeń (rys. 4e) równania równości sum i momentów układów sił  wewnętrznych i zewnętrznych przyjmują postać:

Ponieważ oś y’ jest osią centralną, więc $-S_y(A_2)=S_y(A_1)$, czyli
$M_{pl}=S_y(A_1)-S_y(A_2)=2S_y(A_1)$.

Przyjmując definicję

 mamy

Z warunku (9a) wynika, że oś obojętna w stanie plastycznym dzieli przekrój na dwie połowy $A_1=A_2$. Przez analogię do stanu sprężystego charakterystykę (10a) nazwiemy plastycznym wskaźnikiem wytrzymałości przekroju., zaś moment (10b) granicznym momentem plastycznym.

Wartość $\Lambda_{pl}$ mnożnika obciążeń zewnętrznych, wywołujących choć w jednym przekroju moment zginający $M_{pl}$ nazywamy granicznym mnożnikiem plastycznym (a obciążenie granicznym obciążeniem plastycznym).

W przypadku ustroju statycznie niewyznaczalnych pojęcie mnożnika plastycznego dotyczy przypadku, w którym liczba przekrojów, w których osiągnięty jest graniczny stan plastyczny jest tak, zę powstałe przeguby plastyczne wystarczają do uruchomienia mechanizmu plastycznego W tym przypadku liczba przegubów jest większa od jednego i zwykle jest większa o 1 od stopnia statycznej niewyznaczalności ustroju.

Front i  przegub plastyczny

Front plastyczny w belce zginanej w zakresie sprężysto-plastycznym o bisymetrycznym przekroju, pokazanego na  rys. 4 wyznaczymy z warunku równowagi momentów zginających. Z warunku zerowania siły osiowej , wynika, że oś obojętna w przypadku przekroju bisymetrycznego pokrywa się z osią centralną.

Rys.4. Rozkład naprężeń sprężysto-plastycznych M_el≤M(x)≤M_pl  przekoju bisymetrycznego [9]

Związek (11) przedstawia zależność wysokość ξ strefy uplastycznionej os wartości momentu zginającego. Kształt frontu plastycznego zależy więc od rozkładu momentu zginającego na długości belki, a także od kształtu przekroju poprzecznego. Dla najczęstszego przekroju dwuteowego i dla dwóch podstawowych przypadków obciążenia: obciążenia równomiernego oraz siłą skupioną belki swobodnie podpartej kształty frontu plastycznego pokazano na rys. 6. Na fragmentach u góry rysunku pokazano kształty frontów na etapie przejściowym przed osiągnieciem granicznego stanu plastycznego zobrazowanego na dolnych fragmentach ($\Lambda=\Lambda_{pl}$).

Rys.6. Kształty frontów plastycznych w belce dwuteowej pod obciążeniem: a) skupionym, b) rozłożonym [10]

Zasięg frontu plastycznego  F=2f w zależności od schematu wynosi [10]:

a) dla obciążenia skupionego (rys.6a)
$ F=L \cdot (1-\frac {\Lambda M_{max}}{M_{pl}}) $
i w granicznym stanie plastycznym ma długość  F=0,073L  (dla dwuteownika zachodzi $ \omega=W_{pl}/W_{el}=1,17$),

b) dla obciążenia rozłożonego (rys. 6b)
w granicznym stanie plastycznym F=0,190 L (dla $\omega =1,17$)

Z przykładu wynika, że zależnie od rodzaju obciążenia długości przegubu mogą różnić się nawet 3-krotnie.

W pracy [11] pokazano, że rzeczywiste fronty plastyczne mają kształt jak na rys. 7 . Badania prowadzono dla belek o przekroju prostokątnym z użyciem elastooptyki (rys. 8).Rys.7. Rzeczywisty kształt frontu plastycznego w belce H/L=8 o przekroju prostokątnym pod obciążeniem skupionym P [11]

 Rys.8. Obraz frontu plastycznego z badań belki H/L=4 o przekroju prostokątnym pod obciążeniem skupionym [11]

Sprężysto-plastyczny model jest złożony i nie jest uniwersalny: kształt frontów plastycznych zależy od rodzaju (kształtu przekroju oraz od rozkładu sił przekrojowych na długości elementu. Dlatego nie jest używany w praktyce. Jest natomiast podstawą sformułowania teorii sprężysto- idealnie-plastycznej analizy konstrukcji(pkt. 2.3. ) i następnie teorii nośności granicznej (modelu sztywno-plastycznego) (pkt.3).

Proces formowania się przegubów plastycznych

W analizie sprężysto-plastycznej bada się propagację (rozrastania się) stref plastycznych w konstrukcji.

Fundamentalnym założeniem analiz jest hipoteza o sekwencyjnym (kolejnym) tworzeniu się przegubów plastycznych w konstrukcji, aż do momentu wyczerpania jej nośności plastycznej, czyli utworzenia się takiej liczby przegubów, które zmieniają układ w mechanizm plastyczny (konstrukcję geometrycznie zmienną o jednym stopniu swobody).

W pracy [11] pokazano jednak, że przeguby plastyczne tworzą się jednocześnie, jeśli tylko w procesie uplastyczniania uwzględnimy działanie  sił poprzecznych (naprężeń stycznych). Na rys. 9 zilustrowano proces formowania się przegubów plastycznych w belce dwuprzęsłowej, obciążonej siłami skupionymi (opis pod rysunkiem).

Rys.9. Proces formowania się przegubów plastycznych w belce dwuprzęsłowej l/h=10 o przekroju prostokątnym. Linia przerywana- tradycyjny proces z sekwencją tworzenia się przegubów: najpierw nad podporą X przy obciążeniu Pl/M_el=2,88, później w prześle przy obciążeniu Pl/M_el = 3,00; Linia ciągła – jednoczesność tworzenia się przegubów P i X po uwzględnieniu naprężeń stycznych τ . [11]

Rys.10. Porównanie teoretycznego procesu uplastyczniania belki z eksperymentem [11]

Na rys. 10 porównano teoretyczny proces tworzenia się przegubów plastycznych z uwzględnieniem naprężeń stycznych z wynikami badań doświadczalnych. Ze względu na wzmocnienie materiału rzeczywistego przeguby plastyczne tworzą się sekwencyjnie: najpierw nad podporą X, a później w przęśle.  Teoretyczne spostrzeżenie jednoczesności tworzenia się przegubów plastycznych jest więc tylko teoretyczne i w świetle badań doświadczalnych nie podważa poprawności klasycznych analiz, a także rozważań prowadzonych w dalszej części niniejszego artykułu.

Przeguby plastyczne w praktyce

Nieliniowa analiza zniszczenia plastycznego konstrukcji

Analizę i projektowanie konstrukcji  sprężysto-plastycznych dokonuje się w procedurze, uwzględniającej obok zjawisk plastyczności również zjawiska niestateczności. Preferowana jest zmodyfikowana metoda Rankine-Merchanta, opisana w artykule: Nośność graniczna konstrukcji, a nośność krytyczna i plastyczna oraz innych związanych artykułach. Nośność graniczna konstrukcji sprężysto-plastycznej jest wyznaczana na podstawie znajomości nośności konstrukcji idealnie sprężystej (nośność krytyczna) oraz nośności konstrukcji sztywno-plastycznej (nośność plastyczna -pkt 3 ). Λ

W niniejszym artykule nie zajmujemy się problemem wyznaczania nośności granicznej z uwzględnieniem zjawisk niestateczności konstrukcji, a skupiamy się na wyznaczeniu nośności plastycznej, która jest ważną  formą zniszczenia konstrukcji. Przed omówieniem liniowej teorii sztywno-plastycznej konstrukcji przedstawimy kilka uwag o wyznaczaniu ścieżki równowagi

Nieliniowa ścieżka równowagi sprężysto-plastycznej konstrukcji wyznaczana jest iteracyjnie w procedurze sterowania przyrostem mnożnika obciążenia Λ lub charakterystycznego przemieszczenia Δ. W trakcie analizy przyrostowej monitorowane są wartości momentów zginających oraz wyznaczane przemieszczenia sprawcze, w tym obroty w miejscach przegubów fizycznych lub plastycznych. Do czasu utworzenia pierwszego przegubu plastycznego prowadzimy klasyczną analizę sprężystą. Po utworzeniu przegubu w przekroju najbardziej wytężonym  następuje skokowa zmiana ustroju konstrukcyjnego i należy powtórnie składać sztywność ustroju.  Dla nowego ustroju wyznaczamy kolejną gałąź ścieżki równowagi. Wskutek zmiany geometrii konstrukcji (dużych obrotów) w tworzących się przegubach plastycznych może nastąpić jakościowa zmiana pracy elementu i zjawisko P-Δ innej natury od nieliniowych geometrycznie zagadnień wyboczenia sprężystego.

Rys.11. Przykład plastycznej ścieżki równowagi (opis w tekście) [8]

Na rys.11 przedstawiono przykład zmiany parametru obciążenia $\Lambda$ przy zwiększających się przemieszczeniach. Obciążenia pionowe głowic słupów są ważną specyfiką konstrukcji. Pierwszy powstaje mechanizm belkowy z przegubem wewnętrznym, wskutek obrotu w przegubie następuje skrócenie przęsła rygla i nachylenie słupów. To wywołuje ściskanie rygla, a dodatkowa siła ściskająca  wywołuje zniszczenie w postaci wyboczenia rygla. Przykład pokazuje, że zmiana geometrii może wpływa na nośność plastyczną, w szczególności, gdy w elementach pojawią się znaczne siły ściskające. Wystąpienie jakościowo nowych sił przekrojowych zmienia również  nośność plastyczną na skutek interakcji plastycznej siły osiowej i momentu zginającego.

Model sztywno-plastyczny (plastyczny I rzędu)

Analiza sprężysto-plastyczna II rzędu (nieliniowa) operuje modelem konstrukcji  ze skończonymi strefami uplastycznionymi. Poniżej wykażemy, że nośność plastyczna konstrukcji nie zależy od sprężystych właściwości materiału, w tym nie zależy od historii tworzenia się stref uplastycznionych i kształtów frontów plastycznych.

W celu oszacowania nośności plastycznej nie ma potrzeby analizować materiału sprężysto-plastycznego, wystarczy założyć, że konstrukcja jest wykonana z materiału sztywno-plastycznego, a przeguby plastyczne są skoncentrowane (punktowe w prętach lub liniowe w płytach). W przypadku pręta model fizyczny przekroju sztywno-plastycznego w przestrzeni sił przekrojowych i stowarzyszonych przemieszczeń pokazano na rys. 12. Nośność plastyczna przekroju na rozciąganie i ściskanie oraz na zginanie wynosi

gdzie: dla stali granica plastyczności przy rozciąganiu i ściskaniu jest taka sama: $f_{y,r} = f_{y,c} =f_y $, A-pole przekroju, $W_{pl}=2S_{y1}$ – wskaźnik wytrzymałości plastycznej równy podwojonemu momentowi statycznemu połówki przekroju.

W tab.1. podano wyrażenia na wskaźniki wytrzymałości plastycznej dla najczęściej stosowanych profili stalowych. W ostatniej kolumnie tabeli podano parametr $\omega\frac{W_{pl}}{W_{el}}$. Parametr ten wskazuje na stopień zwiększenia nośności przekroju plastycznego do nośności przekroju sprężystego. Określa on analizy plastycznej daje on stopień oszczędności, które przynosi prowadzenie analizy plastycznej zamiast sprężystej.

Rys.12 Model fizyczny przekroju sztywno-plastycznego: a) rozciąganego/ściskanego, b) zginanego

Tab.1 Wskaźniki wytrzymałości plastycznej i sprężystej przekroju [2]

Kolejnym efektem prowadzonych analiz sztywno-plastycznych jest to, że na nośność nie wpływają samo zrównoważone stany naprężeń  od wpływu temperatury lub naprężenia resztkowe. Nośność plastyczna może zostać oszacowana od góry i od dołu na podstawie dwóch twierdzeń teorii nośności granicznej: twierdzenia kinematycznego i twierdzenia statycznego

Twierdzenia ekstremalne teorii nośności plastycznej – ogólne sformułowanie

Mamy do dyspozycji dwa twierdzenia teorii nośności plastycznej:

• o oszacowaniu górnym (kinematyczne) (K),
• o oszacowaniu dolnym (statyczne) (S)
• Nośność rzeczywista zawarta jest pomiędzy oszacowaniem statycznym i kinematycznym. Jeśli oszacowanie kinematyczne będzie równe  oszacowaniu statycznemu, to uzyskujemy oszacowani pełne, czyli faktyczną nośność plastyczną konstrukcji.

Umiejętne zastosowanie twierdzeń ekstremalnych, umożliwia określenie przedziału rozwiązania ścisłego, którego dokładna wartość często nie jest niezbędna a trudna do oszacowania innymi metodami.

Równanie prac wirtualnych dla ciał i ram sztywno-plastycznych

W ciałach sztywno-plastycznych odkształcenia plastyczne koncentruje  się w pewnych obszarach, które w belkach zginanych nazywane są przegubami plastycznymi. Poza obszarami takiej lokalizacji odkształcenia są znacznie mniejsze. Można z wystarczającym przybliżeniem przyjąć, że konstrukcja rzeczywista posiada szereg obszarów nieodkształconych, doznających ruchu jako ciała sztywne. Taka konstrukcja jest łańcuchem ciał sztywnych, połączonych obszarami plastycznymi (przegubami lub załomami), a jej ruch możliwy jest po takim ułożeniu się brył stycznych, że zostanie utworzony mechanizm.

Fundamentalnym twierdzeniem mechaniki konstrukcji jest twierdzenie prac wirtualnych, słuszne zarówno dla ciał sprężystych jak i niesprężystych, ponieważ przy jego wyprowadzeniu nie korzysta się ze związków fizycznych. Twierdzenie prac wirtualnych w ogólnym przypadku brzmi :

Wirtualna praca $\delta L$ sił zewnętrznych $ q_{v}$, przyłożonych na powierzchni $A_u$ ciała,  (na tej częci powierzchni, na której są zadane kinematyczne warunki brzegowe – więzi zenęrtzne) wykonywana na przemieszczeniach wirtualnych $\delta u$  jest równa wirtualnej pracy $\delta W$ sił wewnętrznych $\sigma $ na wirtualnych odkształceniach $ \delta \varepsilon$:

 gdzie $\delta$ jest symbolem przyrostu wirtualnego.

W przypadku ciała sztywno-plastycznego odkształcenia wewnętrzne koncentrują się w skończonej liczbie n- obszarów plastycznych, a poza nimi są zerowe, więc:

gdzie k=(1…n) jest numerem obszaru plastycznego , $M_k$ siłą wewnętrzną działającą w obszarze k ( w tym przypadku moment zginający), a $\eta_k$ – przemieszczeniem stowarzyszonym z siłą przekrojową $M_k$.

W ustroju ramowym, obciążonym siłami skupionymi, pokazanym na rys.13a i wykonanym  z materiału sztywno-plastycznego – odkształcenia plastyczne koncentrują się w przegubach plastycznych oznaczonych zaczernionymi kółkami.  Na rys. 13c w powiększeniu pokazano przegub plastyczny pod siłą skupioną P₁ . W przegubie działają momenty zginające M,  wywołujące kąt obrotu Φ. Moment zginający w przegubie plastycznym wynosi $M= M_{pl} $.  Konfiguracja obciążenia (P_i, P_i+1) (i=1, m) wzrasta proporcjonalnie do mnożnika $\Lambda$.

Rys.13. Moment i obrót w przegubie plastycznym:  a) rama obciążona siłami P=[P₁,P₂] z mnożnikiem $\Lambda $, b) przekrój rygla ramy, c) przegub plastyczny w ryglu, wywołany zginaniem momentem M i stowarzyszony z nim kąt obrotu w przegubie plastycznym Φ.

W granicznym stanie plastycznym obciążenie $\Lambda P$ ukształtuje tyle przegubów plastycznych, ile jest wymaganych do przekształcenia konstrukcji w mechanizm. W tym stanie granicznym (plastycznym) równanie prac wirtualnych (13) można zapisać w postaci (15):

Sumowanie rozciąga się po wszystkich n-przegubach plastycznych i m-obciążeniach.

Znak wariacji $\delta$ można wyciągnąć przed znak całki i w konsekwencji pominąć. Wówczas roenanie prac wirtulanych (15) staje się bilansem prac $L=W$:

Dla znanych momentów w przegubach (równych $M_{pl}$ w granicznym stanie plastycznym przekroju ) i po założeniu pola przemieszczeń $(u, \Phi)$  z równania mechanizmu, z (16) możemy wyznaczyć mnożnik obciążenia $\Lambda$.

Poniżej pokażemy, że ze wszystkich mechnizmów możliwych (czyli spełniających kinematyczne warunki brzegowe)  ten jest rzeczywisty, dla którego uzyska się minimalny monaożnik $\Lambda$, a  wówczas mnożnik obciążenia jest granicznym plastycznym mnożnikiem: $|lambda_{pl}= \min \limits^\Lambda$.

Twierdzenie kinematyczne K (o górnym oszacowaniu)

Twierdzenie K

Oznacza to, że jeżeli dla zrównoważenia istniejącego obciążenia potrzebna jest zamiana konstrukcji w mechanizm, to obciążenie to jest nie mniejsze od granicznego (niszczącego). Obciążenie powodujące powstanie mechanizmu jest więc oszacowaniem od góry.

Twierdzenie K może być również sformułowane następująco:

Mechanizm plastyczny jest to możliwy mechanizm, uruchomiony przy ograniczeniach zadanymi podporami po umieszczeniu w dowolnym miejscu konstrukcji obszarów plastycznych, tj przegubów plastycznych w przypadku prętów, załomów plastycznych w przypadku płyt i tarcz lub obszarów plastycznych w przypadku brył. Wybór lokalizacji oraz liczby obszarów plastycznych jest dowolny, czyli możliwych mechanizmów plastycznych jest nieskończenie wiele. Dla każdego uzyskamy inną wartość oszacowania nośności. Każda jednak będzie większa od nośności rzeczywistej. Spośród wielu oszacowań kinematycznych, najmniejsze z nich będzie najbliższe rzeczywistej nośności. Odpowiadający mechanizm zniszczenia będzie najbliższy rzeczywistemu mechanizmowi. Po to, by uzyskać najlepsze oszacowanie, należy starać się dobrać najbardziej prawdopodobny mechanizm zniszczenia plastycznego.

Dowód twierdzenia  K podano niżej.

Wartości $\overline M_k$ są nośnościami plastycznymi przekroju k-tego $\overline (M_k= \overline M_{pl,k}$), w przegubie k-tym ze znakiem stosownie do znaku obrotu $ \overline\Phi_k$.

Ponieważ rzeczywiste rozwiązanie ($\Lambda_{pl}, M_k$) spełnia warunki równowagi, to spełnia również równanie prac wirtualnych odpowiadajace arbitralnie przyjętemu mechanizmowi realizującemu się w polu  ($\overline u_i, \overline \Phi_k$). Stąd otrzymujemy:

Ponieważ praca  $ \sum P_i \overline u_i$ w obu równaniach (14) i (15) jest taka sama, więc mamy:

Ponieważ

więc

c.b.d.u.

Nierówność (17) oczywiście zachodzi. W dowolnym przegubie  k-tym obrót wirtualny $\overline \Phi_k> 0$, więc $\overline M_k=M_{pl,k}\ge M_k$ i nierówność jest prawdziwa. Jeśli $\overline \Phi_k<0$, to $\overline M_k= – M_{pl,k}\le M_k$ i nierówność też jest prawdziwa. Ponadto, jeśli nierówność jest prawdziwa dla dowolnego przegubu, to jest również prawdziwa dla sumy po przegubach.

Dowód twierdzenia statycznego  S (o dolnej granicy)

Przyjmijmy, że rzeczywisty mechanizm plastyczny jest dany przez pole przemieszczeń $u_i$ i obroty $\Phi_k$ w przegubach plastycznych. Wówczas rzeczywisty mnożnik nośności plastycznej $|Lambda_{pl}$ może być wyznaczony z równania (15) lub (16).

Przyjmijmy teraz dowolne pole sił $\overline M$, które jest w równowadze z obciążeniem $\Lambda_S \cdot F$ i spełnia warunki plastyczności. Ponieważ równania równowagi są spełnione, to praca wirtualna dla rzeczywistego mechanizmu zniszczenia też jest spełniona:

$M_k$ jest momentem plastycznym $M_{k,pl}$ ze znakiem odpowiadającym znakowi obrotu $\Phi_k$.

Przyjmijmy arbitralnie, dowolny mechanizm z polem przemieszczeń $ \overline u_i$ i plastycznym obrotami $ \overline \Phi_k $. Przyjęte pole przemieszczeń daje mnożnik obciążenie $\Lambda_S$:

Ponieważ praca $ \sum P_i \overline u_i$ w obu równaniach (19) i (20) jest taka sama, więc mamy:

Ze związku

wynika teza

c.b.d.u.

Przykłady zastosowania twierdzeń ekstremalnych

Przykład klasyczny: rama portalowa

Wyznaczyć nośność graniczna ramy portalowej pokazanej na rys. 14 metodą kinemtyczną i sprawdzić dokładność oszacowania metodą statyczną

Rys.14 Schemat ramy portalowej do przykładu 3.3.1.

Dla zadanej ramy ustalono trzy mechanizmy zniszczenia: MK1={2,3,4}, MK2={1,2,4}, MK3={1.3.4}, które tworzą różne zbiory elementów krytycznych opisane w nawiasach klamrowych, gdzie numery oznaczają numery przegubów plastycznych w założonych mechanizmach. Mechanizmy te przedstawiono na rys.15 . Mechanizmy plastyczne są cięciami systemu w sensie definicji niezawodnościowej.

Rys.15 Mechanizmy plastyczne: MK1- belkowy, MK2-przechyłowy, MK3-mieszany

Równanie prac  dla mechanizmu MK1 możemy zapisać w postaci

$ \Lambda_1 \cdot(3P) \cdot \alpha L= \alpha M_2+ 2 \alpha M_3+ \alpha M_4$

gdzie :  $M_i$- momenty plastyczne przekroju i-tego, $\Lambda_1$ – mnożnik  obciążenia dla mechanizmu MK1. Obciążenie zewnętrzne $\Lambda_1 (3P)$ pracuje na przemieszczeniu $u=\alpha L$. Moment $M_2$ w przegubie 2 pracuje na kącie obrotu $\Phi= \alpha$. Moment $M_3$ w przegubie 3 pracuje na kącie obrotu $2 \alpha$. Moment $M_4$ w przegubie 4 pracuje na kącie obrotu $\alpha$. W przekroju 1 nie założyliśmy przegubu plastycznego w arbitralnie przyjętym mechanizmie MK1. Natomiast w przekroju 5 mamy przegub fizyczny ($M_5=0$) i praca sił wewnętrznych w tym przekroju byłaby zerowa, nawet wówczas, gdyby wystąpiłby w nim obrót.

 Równanie prac  dla mechanizmu MK2:

$\Lambda_2 \cdot (2P) \cdot \alpha L=\alpha M_1+ \alpha M_2+ \alpha M_4$

gdzie :  $\Lambda_2$ – mnożnik  obciążenia dla mechanizmu MK2.

Równanie prac  dla mechanizmu MK3:

$\Lambda_3 \cdot (2P) \cdot \alpha L+\Lambda_3 \cdot (3P) \cdot \alpha L=\alpha M_1+ 2 \alpha M_3+ 2\alpha M_4$

gdzie :  $\Lambda_3$ – mnożnik  obciążenia dla mechanizmu MK3

Z rozwiązania przedstawionych wyżej równań prac , otrzymujemy mnożniki obciążenia:

$\Lambda_1=\dfrac {1}{3L} (M_2+2M_3+M_4)$,
$\Lambda_2=\dfrac {1}{2L} (M_1+2M_2+M_4)$,
$\Lambda_3=\dfrac {1}{5L} (M_2+2M_3+2M_4)$,
Dla przypadku , gdy przekroje 1,2,3,4 byłyby wykonane z takich samych profili, to znaczy miłay taką samą nośności $M_pl$, minimalny mnożnik otrzymalibyśmy dla mechanizmu MK3, o wartości:

$\Lambda_K=\Lambda_3= \frac {M_{pl}}{L}$.

Na podstawie twierdzenia kinematycznego stwierdzamy, że otrzymaliśmy oszacowanie górne nośności plastycznej, to znaczy rzeczywisty mnożnik na pewno nie będzie większy.

W celu oszacowania dolnego nośności plastycznej należy skorzystać z twierdzenia statycznego. W tym celu sprawdzimy czy rozkład sił przekrojowych spełnia statyczne warunki brzegowe , czyli pozostaje w rówowadze statycznej z obciążeniem $\Lambda_K \cdot $ P. Rozpatrzmy model pokazany na rys.14, ale z przegubami plastycznymi w przekrojach 1, 3 i 4.

Rys. 16 Równowaga sił w mechanizmie MK3

Z warunku równowagi momentów względem punktu (przegubu) 4 ( z prawej strony), mamy:

$H_5\cdot L=M_4 \to H_5=\frac{M_4}{L} $

Z warunku rzutu sił poziomych, mamy:

$H_1-H_5+2\Lambda_S \cdot L=0 \to H_1=\frac{M_4}{L}-\Lambda_S (2L)$

Z warunku równowagi momentów względem punktu (przegubu) 3 (z lewej strony), mamy:

$H_1\cdot L-M_3=0$

Po rozwiązaniu tego układu dla $M_4=M_3=M_{pl}$,  otrzymamy

$\Lambda_S=\frac{M_{pl}}{L}$

 Otrzymaliśmy wynik $\Lambda_S=\Lambda_K$, co oznacza , ze uzyskaliśmy rozwiązanie zupełne – dokładną nośność plastyczną systemu:

$\Lambda_{pl}=\Lambda_K=\Lambda_S= \dfrac {M_{pl}}{L}$.

Literatura

1. Meyboom J. (2003). Limit analysis of reinforced concrete slabs (1. Aufl). vdf, Hoch-sch.-Verl. an der ETH Zürich
2. Vrouwenvelder A. C. W. M. (2003), The plastic behaviour and the calculation of beams and frames subjected to bending [ Lecture Ct 4150 ], Technical University Delft Faculty of Civil Engineering and Geosciences, [ http://homepage.tudelft.nl/p3r3s/contentsbeams.pdf ]
3. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
4. Vellasco P., Lima L. (2012). Plastic Frame idealisation and analysis (Structural De-sign of Steel and Composite II) [Lecture]. Faculdade de Engenharia da UERJ, [ http://www.labciv.eng.uerj.br/pgeciv/files/4_calculo_plastico.pdf ]
5. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
6. Neal B. G. (1985). The plastic methods of structural analysis (3rd ed). Chapman and Hall
7. PN-EN 1990:2004, Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
8. Livesley R. K. (1975), Matrix methods of structural analysis. Pergamon Press, [ http://books.google.com/books?id=tYsoAQAAMAAJ ]
9. Piechnik S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa
10. Mutermilch J., Olszewski E., Łubiński, M. (1954). Wymiarowanie konstrukcji metalo-wych. Nowe metody (I). Wydawnictwo Budownictwo i Architektura., Warszawa
11. Chodor L. (1986), Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycz-nych (Praca doktordka PRE 68/86). Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, [https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf ]

________________________________