Leszek Chodor, 9 sierpnia 3015

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 1 Czytelników

Kopuła geodezyjna jest współcześnie najbardziej znanym typem kopuł siatkowych. Pierwszą kopułę tego typu wybudowano już w 1923 r.  jako kopułę planetarium w Carl Zeiss Jena (rys.1), Autorem idei kopuł geodezyjnych był inżynier Walther Bauersfeld [1]. Dzięki patentom i realizacjom Buckmister’a Fullera, wynalazcy, który nie ukończył studiów wyższych, ale który za zasługi na polu kopuł geodezyjnych został uznany architektem, inżynierem i doktorem honoris causa prestiżowych Uczelni – kopuły geodezyjne stały się kanonem współczesnej architektury. Najbardziej znana kopuła Fullera została wzniesiona w 1967 roku, na Expo w Montrealu (rys.2). Już pobieżne porównanie wskazuje na uderzająca podobieństwo kopuły Bauersfelda i Fullera. Zróżnicowane są co prawda rozmiary kopuł:  pierwsza ma 16, a druga 76 m średnicy. Potrzeba było aż 44 lat, by wybudować 5-krotnie większą kopułę geodezyjną.

Rys.1. Pierwsza kopuła geodezyjna Carl Zeiss Jena (Bauersfeld, 1923)

Rys,2 Kopuła geodezyjna Montreal Expo o średnica 76 m , pokryta akrylem (Fuller, 1967)

Wprowadzenie

Istotą sukcesu kopuł geodezyjnych i zasługą Fullera jest opracowanie procedur podziału sfery na trójkąty sferyczne. Opis tej procedury na przykładzie dwudziestościanu jako bryły wyjściowej zawiera amerykański patent 2682235 z dnia 29 czerwca 1954  [2]), [3] (rys.3).

Rys.3. Patent R. Fullera nr USA 2682235 z dnia 1954-06-29

Po rozwiązaniu zadania „kwadratury sfery”, zbudowano procedury numeryczne, umożliwiając budowę ekonomicznych, bardzo lekkich przekryć. Ekonomiczność wynika z możliwości aproksymacji najlepszego kształtu natury -„bąbelka” za pomocą prostoliniowych prętów i prostych płaszczyzn o niewielkim zróżnicowaniu długości krawędzi, czyli łatwych do prefabrykacji. W sposób ścisły wykazano przy tym, że w ogólnym przypadku nie jest możliwa aproksymacja sfery prętami o jednakowej długości lub takimi samymi trójkątami – liczba rożnych elementów (prętów, trójkątów, węzłów kątów między krawędziami) zwiększa się wraz ze stopniem aproksymacji sfery.

Rys.4 Podział geodezyjny Fullera[4]

Fuller proponował rozpoczęcie aproksymacji sfery, wychodząc od dwudziestościanu (rys. 4a),  W takim dwudziestościanie występuje 20 równobocznych  trójkątów-  i jest to  maksymalna liczba  identycznych równobocznych trójkątów, które można rozpiąć na sferze. Dalsza procedura polega na podzieleniu każdego trójkąta na sześć (rys. 4b)  poprzez podział każdego boku na dwie części i poprowadzenie „prostej” sferycznej do przeciwległego wierzchołka. W ten sposób na powierzchni kuli tworzy się 15-naście pełnych wielkich kół. Taki podział jet ściśle geodezyjny i od niego zawdzięczamy nazwę „kopuły geodezyjne”.  Niestety ten podział nie jest w praktyce wystarczający, ponieważ generuje mechanizm przenicowania (przeskoku węzłów). Potrzebne są dodatkowe usztywnienia. Można to przeprowadzić poprzez różne rodzaje podziałów modułowych w zależności od docelowej wielkości kopuły.  Warianty podziału pokazano na rys. 4c. Należy podkreślić, że w wyniku takich podziałów trójkąty w ogólności nie są już równoboczne -długości boków utworzonej siatki  nie są już jednakowe , co oczywiście wpływa na wzrost ceny prefabrykacji elementów.  [4].

Zwiększanie zróżnicowania elementów wraz ze wzrostem stopnia podziału  jest jednym z powodów tego, że, kopuły geodezyjne (pomimo ich niewątpliwych zalet) stosuje się chętnie dla mniejszych rozpiętości i są nieco mniej ekonomiczne od innych typów siatek dla większej rozpiętości kopuł. Wyniosłość kopuł siatkowych  zawierać się zwykle w przedziale od  1/7 średnicy (płaskie kopuły) do 3/4 średnicy (wyniosłe kopuły).  Dla kopuł o średnicy większej od 60 m zaleca się powłoki dwuwarstwowe, o grubości (odległości między warstwami)  1/30 do 1/60 rozpiętości, a dla dużych rozpiętości mogą dochodzić do 1/100 średnicy [4].

Podział powierzchni siatkowej kopuły może być w ogólności  przeprowadzany kilkoma  metodami wymienionymi  w tab.4 artykułu Kopuły siatkowe : 1) Schwedlera, 2) trójdrożne (trójkierunkowe), 3) lamella prostoliniowe, 4) lamella zakrzywione   i wreszcie metodą geodezyjną , którą przedstawimy w pkt.2..

Geodezyjny podział trójkąta sferycznego

Podział równobocznego trójkąta sferycznego

Fuller w opisie do swojego patentu [5] podał dwa sposoby podziału równobocznego trójkąta sferycznego, tzn trójkątów o wszystkich bokach równych.

• Sposób 1 Fullera (wg środka boków) – rys 5a : Trójkąt I,II, II dzieli się w ten sposób, że punkty środków boków IV, V, VI łączy się łukami wielkich kół. W wyniku podziału powstają: trójkąt równoboczny IV,V, VI oraz równoramienne trójkąty sferyczne I,IV,VI; II,V,IV; II,VI,V , które można dalej dzielić metodami opisanymi w pkt 2.1. lub  2.2 , zależnie od rodzaju trójkąta.

Rys.5. Podział trójkątów równobocznych metodą Fullera[6]

• Sposób 2 Fullera (wg środka trójkąta) – rys.  5b: Trójkąt I,II,II, dzieli się w ten sposób, ze przez jego środek O prowadzi się łuki wielkich kół, prostopadle do osi symetrii trójkąta (linia kreska-kropka). Daje to w wyniku sześć punktów podziału: Iv, V, VI, VII, VIII, IX. Następnie łukami wielkich kół łączy się ze sobą punkty IV i IX, V i VI, VII i VIII i otrzymuje wewnątrz trójkąta wyjściowego regularny sześciokąt sferyczny IV,V, VI, VII, VIII, IX. Sześciokąt ten składa się z 6-ciu nowych trójkątów równobocznych, które można dalej dzielić  1  lub 2. sposobem Fullera.

Liczba różnych krawędzi pochodnych otrzymanych w podziale metodą Fullera zależy od stopnia podziału n , czyli liczby odcinków na który został podzielony bok podstawowego trójkąta sferycznego  i wynosi:
n/2(n/2+1)    dla n=6k-1 i n=6k-2 (k=1,2,3,…),
(n+1)²/4        dla n=6k-3 i n=6k-4 (k=1,2,3,…),
n(n+3)/6        dla n = 3k (k=1,2,3,…).
Na przykład dla n= 6  = 3·2, różnych krawędzi będzie  9=6(6+3)/6.

Tarnai [7] przedstawił metodę podziału trójkąta sferycznego, pokazaną na rys. 6

Rys.6 Podział trójkąta sferycznego metodą Tarnaia

[6]

Trzy boki 4-4-4 dzieli się na n odcinków (na rys.6 przykładowo na osiem), Łączy się ze sobą jednoimienne punkty podziału (3-3, 2-2 itd)  kołami wielkimi prostopadłymi do symetralnej 4-0 i do przecięcia z tą osią. Procedurę nazywamy podziałem stopnia n-tego. Z podziału metodą Tarnaia otrzymuje się dla n podzielnego przez 3 same trójkąty równoramienne, a dla n niepodzielnego przez 3 otrzymujemy trójkąty równoramienne i jeden centralny trójkąt równoboczny.  Liczba trójkątów pochodnych w podziale stopnia n, wynosi  n², zaś  różnych krawędzi wielościanu jest n.

Podział równoramiennego trójkąta sferycznego

Fuller w patencie [5] podał też metodę podziału równoramiennego trójkąta sferycznego. Istotę metody przedstawia rys. 7.

Rys.7 Podział trójkąta równoramiennego metodą Fullera

[6]

Symetralną ω, zawartą pomiędzy dwoma równymi ramionami trójkąta o długości m, dzieli się na n równych odcinków (rys.7a). Przez punkty podziału prowadzi się łuki wielkich kół , prostopadłe do symetralnej i do przecięcia z ramionami trójkąta.Z miejsc przecięć prowadzi się równoległe do ramion łuki wielkich kół przez wyznaczone w kroku poprzednim punktu podziału symetralnej. Uzyskaliśmy podział trójkąta sferycznego na n² trójkątów sferycznych o różnych długościach boków l_i, rozmieszczonych zgodnie z rys. 7b. Podstawa trójkąta jest podzielona na n/2 różnych odcinków dla parzystego n lub na (n+1)/2 odcinków dla nieparzystych n.

Najbardziej optymalną siatkę z warunku największej liczby jednakowych trójkątnych oczek w siatce otrzymuje się przy podziale bryły typu  (5,5,5)g metodą Fullera. Bryła typu (5,5,5)g, to wielościan,  w każdym wierzchołku którego zbiegają się krawędzie trzech ścian pięciokątnych. Litera g oznacza, że ściany zostały uzupełnione regularnymi piramidami o ścianach trójkątnych i wierzchołku leżącym na powierzchni sfery opisującej wielościan.. Optymalny podział sfery na oczka sześciokątne

Optymalny podział sfery na oczka sześciokątne to znaczy taki podział, w którym otrzymuje się dużą liczbę jednakowych oczek sześciokątnych zaproponowano w pracach [8] i [7]. Na rys. 8 zobrazowano wynik podziału rzędu n=4,6 lub 8 , a także podano kąty sferyczne oraz długości boków sferycznych (też mierzonych w mierze kątowej), potrzebne do obliczeń podziału wg zasad trygonometrii sferycznej. Typy różnych sześciokątów oznaczono literami A,B,C,D. Widoczny jest wzrost liczby typów wraz ze wzrostem stopnia aproksymacji. Dla n=2 mamy dwa różne typy sześciokątów, a dla n=6 , sześć różnych typów na pokazanym fragmencie kopuły.

Rys 8. Podział dwudziestościanu sferycznego na sześciokąty sferyczne dla n=2, i n=4, oaz sferyczne siatki o oczkach sześciokątnych dla n=4,8, 16

 [6]

Kształtowanie kopuł geodezyjnych

Wyjściowy dwudziestościan

W oryginalnej procedurze Fullera kształtowania kopuły geodezyjnej, opisanej w pkt.1. (ry.4. i 8) wyjściową bryłą do kolejnych podziałów jest dwudziestościan foremny.

Na rys.9 zilustrowano  dwudziestościanu wyjściowy (ry.9a)  po podziale każdej krawędzi na 4 równe części  (rys. 9b) – otrzymane na krawędziach punkty podziału generują podział na 16. tójkątów równboczmych.  Po dokonaniu projekcji tej sieci trójkątów na sferę opisaną na dwudziestościanie dostaniemy na jej powierzchni 320 trójkątów sferycznych. W oparciu o nie możemy zbudować tradycyjny wielościan mający 162 wierzchołki, 480 krawędzi i 320 ścian (rys 9c). W Uzyskana aproksymacja prowadzi do pięciu różnych typów trójkątów oznaczonych róznymi kolorami na rys. 9d), a powierzchnię sfery aproksymuje  320-ta trójkątów sferycznych.

Rys. 9 Podział geodezyjny dwudziestościanu a), b) podział ściany na 16 trójkątów, c) projekcja b) na sferę: d) oznaczenie kolorami różnych trójkąty sferyczny [9]

Liczba różnych trójkątów sferycznych zwiększa się wraz ze zwiększaniem stopnia podziału. Na rys. 10a i b  pokazano aproksymacje odpowednio 8-go (a) i 16-go stopnia. Kopuła 16. stopnia składa się z 5120 ścian i odstępstwo od powierzchni kuli jest niemal niezauważalne.

Rys.10 Podział geodezyjny: a) 8. stopnia, b) 16. stopnia. Kolory oznaczają różne trójkąty sferyczne

  [9]

Wyjściowe sześcian i dwunastościan

Za bazę do konstrukcji sfery geodezyjnej mogą posłużyć również inne wielościany. W przypadku użycia wielościanów, których ściany nie są trójkątami, należy dokonać wstępnej triangulacji tych ścian. Jako przykłady mogą posłużyć sfery geodezyjne zbudowane na bazie sześcianu  i dwunastościanu foremnego (rys.10).

Rys.11 Podział geodezyjny na bazie: a) sześcianu,b) dwunastościanu

 [9]

Modyfikacje Wenningera

Matematyk o. (zakonnik benedyktyn)vMagnus Wenninger pokazał, że dokonanie pewnych modyfikacji w konstrukcji sfer geodezyjnych otwiera prowadzi do bardzo atrakcyjnych modeli – np. do pokazanych na rys. 12.

Rys.12 Przykłady modyfikacji Wenningera

 [9]

Magnus Wenninger  dokonał klasyfikacji  wszystkich 75-ciu wielościanów  uniform polyhedra.

Wariacje architektoniczne Wenningera

Po wprowadzeniu skończonej grubości powłoki oraz szerokości linii podziału (tzn fizycznych wymiarów 3D) prętów kopuł geodezyjnych Wenninger uzyskał wiele ciekawych kompozycji, które stanowią źródło inspiracji dla współczesnych architektów.

Zalety i wady kopuł geodezyjnych

Zalety kopuł geodezyjnych

Z punktu widzenia inwestycyjnego kopuły geodezyjne charakteryzują się bardzo małym zużyciem stali na jednostkę powierzchni przekrywanej powierzchni. We wprowadzeniu do swojego wynalazku Fuller podał, że w konwencjonalnych  przekryciach zużywa się często 22 kg/m², a On odkrył, że wystarcza tylko 0,35 kg/m², jeśli tylko przekrycie będzie rozpięte na sferze kulistej, a  główne elementy konstrukcyjne będą połączone na wzór geodezyjny poprzez przybliżenie kół wielkich i utworzenie siatki trójdrożnej (trójkierunkowej). Z dzisiejszej perspektywy tak małe zużycie materiału konstrukcyjnego jest często określane hasłem : „konstrukcja jest lżejsza od powietrza”i jest traktowane jako figura retoryczna. Faktyczne zużycie stali w zrealizowanych kopułach osiąga kilka kg/m² i jest kilka razy mniejsze niż w standardowych przekryciach stalowych.

Kopuły geodezyjne wykonywane z innych materiałów (drewna, a nawet żelbetu) charakteryzują się również bardzo małym zużyciem materiału, praktycznie nieosiągalnym przy innych typach przekryć. Konkurencyjne mogą być tylko przekrycia cięgnowe, ale w przypadku tych przekryć oszczędności w samym przekryciu praktycznie są  zużyte na potężne bloki fundamentowe.

Kolejną zaletą kopuł geodezyjnych jest mała liczba różnych elementów, szczególnie w przypadku małych rozpiętości (pkt.2), co ułatwia prefabrykację i montaż.

Sfera kuli jest powierzchnią minimalną, co w praktyce oznacza, że  kopuła geodezyjna zawiera co najmniej 30 % mniej pola powierzchni, niż w konstrukcji konwencjonalnej.

Praktyka i … wady kopuł geodezyjnych

Opisane w pkt. 3.1. zalety kopuł geodezyjnych, w praktyce niestety nie ziszczają się.  Cięcia trójkątów lub sześciokątów geodezyjnych z arkusza materiału jest bardzo nieekonomiczne i w rezultacie teoretyczny zysk na powierzchni (30%) jest praktycznie zniwelowany stratami technologicznymi.  Jeśli chcemy tego uniknąć, to należy robić staranne i precyzyjne wykroje, oraz utylizować skrawki odpadów. 

Montaż standardowych drzwi i okien w strukturze kopuły jest dużo większym wyzwaniem niż  w  płaskich ścianach klasycznych budynków, tu po prostu nie pasują proste prostokąty wewnątrz trójkątów,  chyba że zastosujemy indywidualnie pasowane okna i drzwi w kształcie dostosowanych do siatki geodezyjnej.  Kopuły kopuły są zasadniczo różne od tradycyjnych budynków i wymagają innych technik budowlanych. Kopuły geodezyjne nie są zalecane do budowy domów lub budynków konwencjonalnych, ale raczej na: szklarnie, szopy, magazyny, altany , obiekty małej architektury, baseny, oranżerie, itp.

Wnętrze kopuły geodezyjnej należy w sposób niestandardowy wentylować, ogrzewać, w szczególności górne partie kopuły, gdzie zbiera się ciepłe i wilgotne powietrze, co prowadzi do problemów z kondensacją wilgoci  i drastycznym pogorszeniem komfortu cieplno-wilgotnościowego wraz z narastaniem procesów gnilnych.

Jeśli ze względów funkcjonalnych należy zmodyfikować optymalny kształt kopuły geodezyjnej, ta najpewniej zostanie utracona większość korzyści z zastosowania rozwiązań geodezyjnych. 

Największe kopuły geodezyjne

Największe kopuły geodezyjne zrealizowane do sierpnia 2015 roku zestawiono w tab.1

Tab. 1 Największe kopuły geodezyjne

Pozycja Wielkość	Nazwa , lokalizacja	Ilustracja
1 216 m	Fukuoka Dome, Fukuoka, Japonia
2 187 m	Nagoya Dome , Nagoya, Japonia
3 180 m	Louvre_Abu_Dhabi, Emiraty Arabskie
4 161 m	Tacoma Dome, Tacoma, Washington, USA
5 160 m	Superior Dome, Northern Michigan University. Marquette, Michigan, USA, [18]
6 140 m	MSC Dome, Bolivia by Geometrica, Inc.
7 133 m	Ruwais dome Abu Dhabi, by Geometrica, Inc.
8 153 m	Walkup Skydome, Northern Arizona University. Flagstaff, Arizona, USA [19]
9 143 m	Poliedro de Caracas, Venezuela TC Howard of Synergetics, Inc and Charter Industries
10 134 m	Round Valley Ensphere Springerville-Eagar, AZ, USA
11 134 m	Former Spruce Goose Hangar, Long Beach, California, USA
12 122 m	Formosa Plastics Storage Facility: Mai Liao, Taiwan
13 70 m	Long Island Residential Long Island, New York,

Perspektywy stosowania kopuł geodezyjnych

Kopuły geodezyjne mają szereg zalet, opisanych wyżej, które wyczerpują się jednak wraz ze zwiększaniem się rozmiarów przekryć. Budowane obecnie bardzo duże kopuły mają z reguły inną konstrukcję niż geodezyjną, Przykładowo największa na świecie (na dzień 10-08-2015) kopuła  Singapore National Stadium  ma 310 m średnicy, a jej konstrukcja jest rusztem złożonym z trójpasowych łuków o  krzywiznach dostosowanych do powierzchni kopuły (rys. 13) [10].

Rys.13 Konstrukcja kopuły Singapore National Stadium

 Literatura

1. Chartrand, M. R. (1973), A Fifty Year Anniversary of a Two Thousand Year Dream [The History of the Planetarium]. Planetarian, Vol 2, #3. [http://www.ips-planetarium.org/?page=a_chartrand1973 ]
2. Geodesic Dome, Patent no. US2682235 A (1954), [ http://www.google.com/patents/US2682235?hl=pl&dq=2682235 ]
3. Wikipedia. (2005). Geodesic dome Patent Fuller 1954. [ https://en.wikipedia.org/wiki/File:Geodesic_dome_patent_fuller_1954.png ]
4. Lan T. T. (2005), Space Frame Structures. In W.-F. Chen & E. M. Lui (Eds.), Handbook of Structural Engineering (2nd ed.). CRC Press
5. Geodesic tent, no. US 2914074 A (1959), [http://www.google.com/patents/US2914074 ]
6. Kowal, Z. (1982). Hale o dużych rozpiętościach. W: Bogucki W. (Ed.), Poradnik pro-jektanta konstrukcji metalowych (1st ed., Vol. 2). Arkady
7. Tarnai T. (1974). Spherical Grids of Triangular Network. Acta Technica Academiae Scientiarum Hungaricae, 76, 307–338
8. Britvec, S., J. (1973). Stability of Elastic Systems. Pergamon
9. matematyka.wroc.pl. (2014). Kopuły geodezyjne i sfery Wenningera. Wrocławski Portal Matematyczny – Matematyka Jest Ciekawa, [ http://www.matematyka.wroc.pl/book/kopuly-geodezyjne-i-sfery-wenningera ]
10. Wikipedia. (2015). National Stadium, Singapore., [ https://en.wikipedia.org/wiki/National_Stadium,_Singapore#Construction ]

________________________________