­
Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania ⋆ Chodor-Projekt ⋆ Architekci i Inżynierowie. Encyklopedia PiWiki
Processing math: 100%
A B D E F G H I K Ł M N O P R S T U W Z

Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania

Analiza plastyczna przekrojów prętów stalowych w złożonym stanie naprężenia jest obecnie powszechnie wykorzystywana w związku z zaleceniami norm Eurokod, a zwłaszcza  [1] i [2]. Z problemem wyznaczenia wysokości strefy ściskanej oraz położeniem osi obojętnej w granicznym stanie plastycznym przekrojów obciążonych jednoczesnym ściskaniem i dwukierunkowym zginaniem spotykamy się już przy wyznaczeniu klasy przekroju stalowego. W niniejszym artykule omówimy problem na użytek wyznaczania klasy dwuteowego przekroju stalowego poprzez adaptację klasycznych wyników uzyskanych przez [3].

W niniejszym artykule przedstawimy rozwiązania wynikające z podejścia statycznego do zadania teorii nośności granicznej (plastycznej), to znaczy uzyskane rozwiązania stanowią oszacowania rozwiązania od góry . Uzyskane wyniki są wystarczająco dokładne w praktyce inżynierskiej. W pracy [3] zaprezentowano oszacowania od dołu, wynikające z podejścia kinematycznego. Na wielu przykładach wykazano, że z podejścia statycznego najczęściej uzyskuje się rozwiązanie identyczne do rozwiązań kinematycznych, a w skrajnych przypadkach różniące się o max 1%.

Elementarny przekrój prostokątny

Przed rozwiązaniem zadania dla przekroju dwuteowego przedstawimy elementarne rozwiązanie dla przekroju prostokątnego. Na rys.1. pokazano przekrój prostokątny z hipotetyczną osią obojętną o równaniu z=g(y). Oś obojętna oddziela część rozciąganą przekroju (+)) od części ściskanej (-).

Os-zalo-PRO
Rys.1 Hipotetyczna oś obojętna g(y) przekroju prostokątnego hxb w stanie plastycznym. fy – granica plastyczności

Załóżmy, że na przekrój działa siła osiowa N oraz momenty zginające My oraz Mz. Siły przekrojowe  są znakowane zgodnie z zasadami mechaniki , więc są dodatnie jeśli ich wektory działąją zgodnie ze zwrotem osi współrzędnych. W praktyce oznacza to, że są dodatnie, jeśli wywołują naprężenia rozciągające   w pierwszym kwadrancie układu współrzędnych (y-z). Zwracamy uwagę, że w EC3 [1], przyjęto, że dodatnie są naprężenia ściskające, a nie rozciągające.

Założona na rys.1. bryła naprężeń daje następujące siły przekrojowe [3]:

N=+b/2b/22fyg(y)dy  (1)
My=+b/2b/2[h24g2(y)]fydy  (2)
Mz=+b/2b/22fyyg(y)dy  (3)

gdzie g(y) jest jeszcze nieznaną funkcją. Problem poszukiwania osi obojętnej – funkcji g(y), rozwiążemy w taki sposób, że znajdziemy maksymalną wartość My  możliwą  przy ustalonych pozostałych siłach przekrojowych: N, Mz. Przeprowadzimy ekstremalizację  funkcjonału FdA, gdzie:

F=2fy[1/2[h24g2(y)]λ1yg(y)λ2g(y)]  (4)

λ1 i λ2 są z mnożnikami Lagrange’a poszukiwanymi zadania.

Równanie Eulera stowarzyszone z funkcjonałem  FdA można zapisać w postaci

Fg(y)ddyFg(y)=0  (5)

skąd wynika:

g(y)=λ1yλ2  (6)

czyli  że oś obojętna jest linią prostą o współczynniku kierunkowym λ1=tg θ, gdzie θ jest kątem nachylenia osi obojętnej do osi głównej y-y oraz współczynniku translacyjnym λ1=zN, który jest przesunięciem osi obojętnej przekroju w stosunku do osi y-y.

Po wykonaniu przypisanych całkowań siły przekrojowe można zapisać w postaci:

N=2fybλ2  (7)
My=2fy[bh28λ213(b2)3λ22b2]  (8)
Mz=16fyb3λ1  (9)

Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ1 i λ2,  otrzymamy proste równanie interakcji sił przekrojowych:

n2+my+34m2z=1  (10)

ważne dla:

mz23(1n)my  (11)

gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: n=N/Npl ,my=My/My,pl ,mz=Mz/Mz.pl , a nośności plastyczne przekroju: Npl=Afy ,My,pl=Wy.plfy ,Mz,pl=Wz,plfyA=bh ,Wy.pl=bh24 ,Wz.pl=hb24 .

Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a:

λ1=(tgθ)=6MZfyb3  (12)
λ2=(zN)=N2fyb  (13)

co pozwala wyznaczyć położenie osi obojętnej.

W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab.1.  sytuacje o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.

Tab.1. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju prostokątnego
(opracowano na podstawie [3])

Oś ObojętnaRównanie interakcjiZakres ważności
P_1PW_1PW_1w
P_2PW_2PW_2w
P_3PW_3PW_3w

Przekrój dwuteowy

 Na rys.2. pokazano przekrój dwuteowy z hipotetyczną, dowolną osią obojętną o równaniu z=g(y).
Os zalo HRys.2 Hipotetyczna oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym. fy – granica plastyczności

Postępując podobnie jak w w pkt 1. można pokazać, że hipotetycznie założona oś obojętna g(y) musi być linią prostą o równaniu

z=g(x)=cyλ3zN  (14)

gdzie

zN=λ4λ3  (15)

Mnożniki Lagrange’a zależą od relacji wartości sił przekrojowych. Siły te można zapisać w postaci:

N=fyzN[4tfλ3+2tw]  (16)
My=43fy[(h/2)3(h/2tf)3]λ3+fy[(h/2tf)2z2N]  (17)
Mz=2fy[b2/4tfλ23/3[h2/8(h/2tf)3](λ3 zN)2tf]  (18)

Znając wartości sił przekrojowych z tego układu równań można wyznaczyć mnożniki Lagrange’a, a następnie położenie osi obojętnej oraz równania interakcji.

Os-prosta-HRys.3 Prostoliniowa oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym w złożonym stanie naprężenia.

Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ1 , λ2, λ3 i λ4 otrzymamy proste równania interakcji sił przekrojowych:

n=zNA[2tfλ3+tw]  (19)
my=1Wpl,y{43[h3/8(h/2tf)3)]λ3+tw[(h/2tf)2y2N]]}  (20)
mz=2Wpl,z{[b2/4tf13[(h/2)3(h/2tf)3)]λ23tf(λ3zN)2}  (21)

ważne dla:

0zNh/2tf  (22)
tw/2zn+h/2tfλ3h/2d/2+zN  (23)

gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: n=NNpl , my=MyMy.pl, mz=MzMz.pl, a nośności plastyczne przekroju:  wynoszą

Npl=Afy ,My,pl=Wy.plfy ,Mz,pl=Wz,plfy  (24)
A=bh ,Wy.pl=btf(htf)+tw(h/2tf)2 ,Wz.pl=tfb22+t2w(h2tf)4  (25)

Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a i położenie osi obojętnej.

W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab. 2 osiem sytuacji o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.

Parametry linii osi obojętnej:  zN, Θ=arctg λwyznacza się z nieliniowego układu równań interakcji.

Tab.2. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju dwuteowego
(opracowano na podstawie [3])

Oś ObojętnaRównanie interakcjiZakres ważności
H_1WH_1WH_1w
H_2WH_2WH_2w
H_3WH_3WH_3w
H_4WH_4WH_4w
H_5WH_5WH_5

WH_5w
H_6WH_5

WH_5w

WH_5b
WH_5

WH_5w

WH_5b

WH_5bw
H_7WH_5WH_5w
H_8WH_5bWH_5bw
NotesNotes2Notes2

Przykład rachunkowy

Określić położenie osi obojętnej oraz  współczynnik wysokości strefy ściskanej α, potrzebny do wyznaczenia klasy przekroju belki- słupa  HEA300 pokazanego na rys. 4, obciążonego siłą ściskającą  NEd= 500 kN oraz dwukierunkowym zginaniem momentami zginającymi:  MyEd=200 kNm, MzEd=50 kNm.

Schamat belki N-My-Mz

Rys.1. Belka-słup poddana jednoczesnemu ściskaniu i zginaniu dwuosiowemu

W tab. 3 zestawiono charakterystyki geometryczne przekroju HEA300-S355, własności mechaniczne fy, ε oraz  nośności plastyczne przekroju: Npl,Rd , Mpl,zRd, Mpl,yRd.

Tab.3. Charakterystyki geometryczne oraz materiałowe HEA300-S355
geom HEA320
Względne wartości sił działających w przekroju wynoszą:

n=NEdNpl,Rd=5003994=0,125,

my=MyEdMpl,yRd=200491=0,407,

mz=MzEdMpl,zRd=50227,6=0,220.

Siła ściskająca siłą n jest ujemna.

Zwróćmy uwagę, że charakterystyki geometryczne przekroju HEA300 wyliczone z formuł przybliżonych, podanych w dolnym wierszu tab.2, wynoszą: A=106,3 cm2,Wpl,y=1305,1 cm3,Wpl,z=634,7 cm3, co stanowi dobre przybliżenie (ponad 95%) na użytek wyznaczenia położenia osi obojętnej.

Współczynniki pomocnicze wynoszą:
n2=(29/2)2(29/21,4)2=38,6 ,cm2,
n3=(29/2)3(29/21,4)3=800,5cm3.

W celu rozwiązania nieliniowych układów równań z tab.2. dla znanych sił przekrojowych z warunku zN oraz λ3 zastosowano podstawowe procedury arkusza kalkulacyjnego z wykorzystaniem modułu Solver. W wyniku rozwiązania problemu dla położenia osi obojętnej w pierwszym wierszu tab.2 otrzymano:

zN=0cm ; λ3=0,40 , czyli θ=arctg(λ3)=19,8deg.

 

Literatura

  1. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
  2. PN-EN 1993-1-5:2008, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice
  3. Santathadaporn S., Chen W.-F. (1968). Interaction Curves for sections under com-bined biaxial bending and axial force (Report No 331.3; Space Frames with Biaxial Loading in Columns). Fritz ENgineering Laboratory, [ http://digital.lib.lehigh.edu/fritz/pdf/331_3.pdf ]

________________________________

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »