A B D E F G H I K Ł M N O P R S T U W Z

Pa Pe Pi Pl Pł Po Pr

Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania

Analiza plastyczna przekrojów prętów stalowych w złożonym stanie naprężenia jest obecnie powszechnie wykorzystywana w związku z zaleceniami norm Eurokod, a zwłaszcza [1] i [2]. Z problemem wyznaczenia wysokości strefy ściskanej oraz położeniem osi obojętnej w granicznym stanie plastycznym przekrojów obciążonych jednoczesnym ściskaniem i dwukierunkowym zginaniem spotykamy się już przy wyznaczeniu klasy przekroju stalowego. W niniejszym artykule omówimy problem na użytek wyznaczania klasy dwuteowego przekroju stalowego poprzez adaptację klasycznych wyników uzyskanych przez [3].

W niniejszym artykule przedstawimy rozwiązania wynikające z podejścia statycznego do zadania teorii nośności granicznej (plastycznej), to znaczy uzyskane rozwiązania stanowią oszacowania rozwiązania od góry . Uzyskane wyniki są wystarczająco dokładne w praktyce inżynierskiej. W pracy [3] zaprezentowano oszacowania od dołu, wynikające z podejścia kinematycznego. Na wielu przykładach wykazano, że z podejścia statycznego najczęściej uzyskuje się rozwiązanie identyczne do rozwiązań kinematycznych, a w skrajnych przypadkach różniące się o max 1%.

Elementarny przekrój prostokątny

Przed rozwiązaniem zadania dla przekroju dwuteowego przedstawimy elementarne rozwiązanie dla przekroju prostokątnego. Na rys.1. pokazano przekrój prostokątny z hipotetyczną osią obojętną o równaniu z=g(y). Oś obojętna oddziela część rozciąganą przekroju (+)) od części ściskanej (-).

Rys.1 Hipotetyczna oś obojętna g(y) przekroju prostokątnego hxb w stanie plastycznym. f_y – granica plastyczności

Załóżmy, że na przekrój działa siła osiowa N oraz momenty zginające M_y oraz M_z. Siły przekrojowe są znakowane zgodnie z zasadami mechaniki , więc są dodatnie jeśli ich wektory działąją zgodnie ze zwrotem osi współrzędnych. W praktyce oznacza to, że są dodatnie, jeśli wywołują naprężenia rozciągające w pierwszym kwadrancie układu współrzędnych (y-z). Zwracamy uwagę, że w EC3 [1], przyjęto, że dodatnie są naprężenia ściskające, a nie rozciągające.

Założona na rys.1. bryła naprężeń daje następujące siły przekrojowe [3]:

$N=- \int \limits_{-b/2}^{+b/2} 2 \cdot f_y \cdot g(y) dy$

(1)

$M_y= \int \limits_{-b/2}^{+b/2} [ \dfrac {h^2} {4}-g^2(y)] \cdot f_ydy$

(2)

$M_z= \int \limits_{-b/2}^{+b/2} 2 \cdot f_y \cdot y\,\cdot g(y)dy$

(3)

gdzie g(y) jest jeszcze nieznaną funkcją. Problem poszukiwania osi obojętnej – funkcji g(y), rozwiążemy w taki sposób, że znajdziemy maksymalną wartość M_y możliwą przy ustalonych pozostałych siłach przekrojowych: N, M_z. Przeprowadzimy ekstremalizację funkcjonału $\int F dA$ , gdzie:

$F= 2 \cdot f_y \cdot \left[ 1/2 \cdot [\dfrac {h^2} {4}-g^2(y)] -\lambda_1 \cdot y \cdot g(y)-\lambda_2 \cdot g(y)\right]$

(4)

λ₁ i λ₂są z mnożnikami Lagrange’a poszukiwanymi zadania.

Równanie Eulera stowarzyszone z funkcjonałem $\int F dA$ można zapisać w postaci

$\dfrac{\partial F}{\partial g(y)}-\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac {\partial F} {\partial g^{’}(y)} =0$

(5)

skąd wynika:

$g(y)= – \lambda_1 \cdot y- \lambda_2$

(6)

czyli że oś obojętna jest linią prostą o współczynniku kierunkowym λ₁=tg θ, gdzie θ jest kątem nachylenia osi obojętnej do osi głównej y-y oraz współczynniku translacyjnym λ₁=z_N,który jest przesunięciem osi obojętnej przekroju w stosunku do osi y-y.

Po wykonaniu przypisanych całkowań siły przekrojowe można zapisać w postaci:

$N= 2 \cdot f_y \cdot b \cdot \lambda_2$

(7)

$M_y= 2 \cdot f_y \cdot \left [ \dfrac {bh^2} {8}- \dfrac {\lambda_1^2}{3} \cdot \left (\dfrac {b}{2} \right)^3- \lambda_2^2 \cdot \dfrac{b}{2}\right ]$

(8)

$M_z= \dfrac {1} {6} \cdot f_y \cdot b^3 \cdot \lambda_1$

(9)

Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ₁ i λ₂, otrzymamy proste równanie interakcji sił przekrojowych:

$n^2+m_y+ \dfrac {3}{4}m_z^2=1$

(10)

ważne dla:

$m_z \le \dfrac {2}{3}(1-n) \le m_y$

(11)

gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: $n=N/N_{pl} \ , m_y=M_y/M_{y,pl} \ , m_z= M_z /M_{z.pl}$ , a nośności plastyczne przekroju: $N_{pl}=A \cdot f_y\ , M_{y,pl}=W_{y.pl}\cdot f_y \ , M_{z,pl}=W_{z,pl} \cdot f_y$ ; $A=b \cdot h \ , W_{y.pl}= \dfrac {b \cdot h^2}{4} \ , W_{z.pl}= \dfrac{h\cdot b^2}{4}$ .

Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a:

$\lambda_1=(tg\theta)= \dfrac { 6 M_Z} {f_y \cdot b^3}$

(12)

$\lambda_2=(z_N)= \dfrac {N} {2 \cdot f_y \cdot b}$

(13)

co pozwala wyznaczyć położenie osi obojętnej.

W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab.1. sytuacje o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.

Tab.1. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju prostokątnego
(opracowano na podstawie [3])

Oś Obojętna	Równanie interakcji	Zakres ważności

Przekrój dwuteowy

Na rys.2. pokazano przekrój dwuteowy z hipotetyczną, dowolną osią obojętną o równaniu z=g(y).
Rys.2 Hipotetyczna oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym. f_y – granica plastyczności

Postępując podobnie jak w w pkt 1. można pokazać, że hipotetycznie założona oś obojętna g(y) musi być linią prostą o równaniu

$z=g(x)= -c\dfrac {y}{\lambda_3}-z_N$

(14)

gdzie

$z_N= \dfrac {\lambda_4} {\lambda_3}$

(15)

Mnożniki Lagrange’a zależą od relacji wartości sił przekrojowych. Siły te można zapisać w postaci:

$N=f_y \cdot z_N \cdot [ 4\cdot t_f\cdot\lambda_3 +2\cdot t_w]$

(16)

$M_y= \dfrac {4} {3} \cdot f_y \cdot [(h/2)^3-(h/2-t_f)^3] \cdot \lambda_3+f_y \cdot [(h/2-t_f)^2- z_N^2]$

(17)

$M_z=2 \cdot f_y \cdot \left[ b^2/4 \cdot t_f – \lambda_3^2/3 \cdot [ h^2/8 – (h/2-t_f)^3]-( \lambda_3\ \cdot z_N)^2 \cdot t_f \right]$

(18)

Znając wartości sił przekrojowych z tego układu równań można wyznaczyć mnożniki Lagrange’a, a następnie położenie osi obojętnej oraz równania interakcji.

Rys.3 Prostoliniowa oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym w złożonym stanie naprężenia.

Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ₁ , λ₂, λ_{3 i}λ₄ otrzymamy proste równania interakcji sił przekrojowych:

$n=\dfrac {z_N}{A}[2 \cdot t_f \cdot \lambda_3 + t_w ]$

(19)

$m_y=\dfrac {1}{W_{pl,y}} \left \{ \dfrac {4}{3} \left [h^3/8 – (h/2 -t_f)^3)] \cdot \lambda_3 + t_w \cdot[(h/2-t_f)^2-y_N^2] \right ]\right \}$

(20)

$m_z=\dfrac {2}{W_{pl,z}} \left\{ [b^2/4 \cdot t_f -\dfrac {1}{3}[(h/2)^3 -(h/2 -t_f)^3)] \cdot \lambda_3^2- t_f\cdot (\lambda_3 \cdot z_N)^2 \right \}$

(21)

ważne dla:

$0 \le z_N \le h/2-t_f$

(22)

$\dfrac {t_w/2}{z_n+h/2-t_f} \le \lambda_3 \leq \dfrac {h/2}{d/2+z_N}$

(23)

gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: $n=\dfrac{N}{N_{pl}}$ , $m_y= \dfrac{M_y}{M_{y.pl}}$ , $m_z= \dfrac{M_z}{M_{z.pl}}$ , a nośności plastyczne przekroju: wynoszą

$N_{pl}=A \cdot f_y \ , M_{y,pl}=W_{y.pl}\cdot f_y \ , M_{z,pl}=W_{z,pl} \cdot f_y$

(24)

$A=b \cdot h \ , W_{y.pl}=b \cdot t_f \cdot (h-t_f)+t_w \cdot (h/2-t_f)^2\ , W_{z.pl}=\dfrac {t_f \cdot b^2}{2}+\dfrac {t_w^2 \cdot(h-2 \cdot t_f)}{4}$

(25)

Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a i położenie osi obojętnej.

W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab. 2 osiem sytuacji o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.

Parametry linii osi obojętnej: z_N, Θ=arctg λ₃wyznacza się z nieliniowego układu równań interakcji.

Tab.2. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju dwuteowego
(opracowano na podstawie [3])

Oś Obojętna	Równanie interakcji	Zakres ważności

Przykład rachunkowy

Określić położenie osi obojętnej oraz współczynnik wysokości strefy ściskanej α, potrzebny do wyznaczenia klasy przekroju belki- słupa HEA300 pokazanego na rys. 4, obciążonego siłą ściskającą N_Ed= 500 kN oraz dwukierunkowym zginaniem momentami zginającymi: M_yEd=200 kNm, M_zEd=50 kNm.

Rys.1. Belka-słup poddana jednoczesnemu ściskaniu i zginaniu dwuosiowemu

W tab. 3 zestawiono charakterystyki geometryczne przekroju HEA300-S355, własności mechaniczne f_y, ε oraz nośności plastyczne przekroju: N_pl,Rd , M_pl,zRd, M_pl,yRd.

Tab.3. Charakterystyki geometryczne oraz materiałowe HEA300-S355

Względne wartości sił działających w przekroju wynoszą:

$n= \dfrac {N_{Ed}}{N_{pl,Rd}}=\dfrac {-500} {3994}=-0,125$ ,

$m_y= \dfrac {M_{y Ed}}{M_{pl,yRd}}=\dfrac {200} {491}=0,407$ ,

$m_z= \dfrac {M_{z Ed}}{M_{pl,zRd}}=\dfrac {50} {227,6}=0,220$ .

Siła ściskająca siłą n jest ujemna.

Zwróćmy uwagę, że charakterystyki geometryczne przekroju HEA300 wyliczone z formuł przybliżonych, podanych w dolnym wierszu tab.2, wynoszą: A=106,3 cm²,W_pl,y=1305,1 cm³,W_pl,z=634,7 cm^3,co stanowi dobre przybliżenie (ponad 95%) na użytek wyznaczenia położenia osi obojętnej.

Współczynniki pomocnicze wynoszą:
$n_2=(29/2)^2-(29/2-1,4)^2=38,6 \ , cm^2$ ,
$n_3=(29/2)^3-(29/2-1,4)^3=800,5 \, cm^3$ .

W celu rozwiązania nieliniowych układów równań z tab.2. dla znanych sił przekrojowych z warunku z_N oraz λ₃zastosowano podstawowe procedury arkusza kalkulacyjnego z wykorzystaniem modułu Solver. W wyniku rozwiązania problemu dla położenia osi obojętnej w pierwszym wierszu tab.2 otrzymano:

$z_N=0 \,cm$ ; $\lambda_3=0,40$ , czyli $\theta=arctg(\lambda_3)=19,8 \, deg$ .

Literatura

PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
PN-EN 1993-1-5:2008, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice
Santathadaporn S., Chen W.-F. (1968). Interaction Curves for sections under com-bined biaxial bending and axial force (Report No 331.3; Space Frames with Biaxial Loading in Columns). Fritz ENgineering Laboratory, [ http://digital.lib.lehigh.edu/fritz/pdf/331_3.pdf ]

________________________________

10 lis 15

By : Leszek Chodor

Comments : 0

O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.