Analiza plastyczna przekrojów prętów stalowych w złożonym stanie naprężenia jest obecnie powszechnie wykorzystywana w związku z zaleceniami norm Eurokod, a zwłaszcza [1] i [2]. Z problemem wyznaczenia wysokości strefy ściskanej oraz położeniem osi obojętnej w granicznym stanie plastycznym przekrojów obciążonych jednoczesnym ściskaniem i dwukierunkowym zginaniem spotykamy się już przy wyznaczeniu klasy przekroju stalowego. W niniejszym artykule omówimy problem na użytek wyznaczania klasy dwuteowego przekroju stalowego poprzez adaptację klasycznych wyników uzyskanych przez [3].
W niniejszym artykule przedstawimy rozwiązania wynikające z podejścia statycznego do zadania teorii nośności granicznej (plastycznej), to znaczy uzyskane rozwiązania stanowią oszacowania rozwiązania od góry . Uzyskane wyniki są wystarczająco dokładne w praktyce inżynierskiej. W pracy [3] zaprezentowano oszacowania od dołu, wynikające z podejścia kinematycznego. Na wielu przykładach wykazano, że z podejścia statycznego najczęściej uzyskuje się rozwiązanie identyczne do rozwiązań kinematycznych, a w skrajnych przypadkach różniące się o max 1%.
Elementarny przekrój prostokątny
Przed rozwiązaniem zadania dla przekroju dwuteowego przedstawimy elementarne rozwiązanie dla przekroju prostokątnego. Na rys.1. pokazano przekrój prostokątny z hipotetyczną osią obojętną o równaniu z=g(y). Oś obojętna oddziela część rozciąganą przekroju (+)) od części ściskanej (-).
Rys.1 Hipotetyczna oś obojętna g(y) przekroju prostokątnego hxb w stanie plastycznym. fy – granica plastyczności
Załóżmy, że na przekrój działa siła osiowa N oraz momenty zginające My oraz Mz. Siły przekrojowe są znakowane zgodnie z zasadami mechaniki , więc są dodatnie jeśli ich wektory działąją zgodnie ze zwrotem osi współrzędnych. W praktyce oznacza to, że są dodatnie, jeśli wywołują naprężenia rozciągające w pierwszym kwadrancie układu współrzędnych (y-z). Zwracamy uwagę, że w EC3 [1], przyjęto, że dodatnie są naprężenia ściskające, a nie rozciągające.
Założona na rys.1. bryła naprężeń daje następujące siły przekrojowe [3]:
N=−+b/2∫−b/22⋅fy⋅g(y)dy | (1) |
My=+b/2∫−b/2[h24−g2(y)]⋅fydy | (2) |
Mz=+b/2∫−b/22⋅fy⋅y⋅g(y)dy | (3) |
gdzie g(y) jest jeszcze nieznaną funkcją. Problem poszukiwania osi obojętnej – funkcji g(y), rozwiążemy w taki sposób, że znajdziemy maksymalną wartość My możliwą przy ustalonych pozostałych siłach przekrojowych: N, Mz. Przeprowadzimy ekstremalizację funkcjonału ∫FdA, gdzie:
F=2⋅fy⋅[1/2⋅[h24−g2(y)]−λ1⋅y⋅g(y)−λ2⋅g(y)] | (4) |
λ1 i λ2 są z mnożnikami Lagrange’a poszukiwanymi zadania.
Równanie Eulera stowarzyszone z funkcjonałem ∫FdA można zapisać w postaci
∂F∂g(y)−ddy⋅∂F∂g′(y)=0 | (5) |
skąd wynika:
g(y)=–λ1⋅y−λ2 | (6) |
czyli że oś obojętna jest linią prostą o współczynniku kierunkowym λ1=tg θ, gdzie θ jest kątem nachylenia osi obojętnej do osi głównej y-y oraz współczynniku translacyjnym λ1=zN, który jest przesunięciem osi obojętnej przekroju w stosunku do osi y-y.
Po wykonaniu przypisanych całkowań siły przekrojowe można zapisać w postaci:
N=2⋅fy⋅b⋅λ2 | (7) |
My=2⋅fy⋅[bh28−λ213⋅(b2)3−λ22⋅b2] | (8) |
Mz=16⋅fy⋅b3⋅λ1 | (9) |
Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ1 i λ2, otrzymamy proste równanie interakcji sił przekrojowych:
n2+my+34m2z=1 | (10) |
ważne dla:
mz≤23(1−n)≤my | (11) |
gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: n=N/Npl ,my=My/My,pl ,mz=Mz/Mz.pl , a nośności plastyczne przekroju: Npl=A⋅fy ,My,pl=Wy.pl⋅fy ,Mz,pl=Wz,pl⋅fy ; A=b⋅h ,Wy.pl=b⋅h24 ,Wz.pl=h⋅b24 .
Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a:
λ1=(tgθ)=6MZfy⋅b3 | (12) |
λ2=(zN)=N2⋅fy⋅b | (13) |
co pozwala wyznaczyć położenie osi obojętnej.
W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab.1. sytuacje o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.
Tab.1. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju prostokątnego
(opracowano na podstawie [3])
Oś Obojętna | Równanie interakcji | Zakres ważności |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Przekrój dwuteowy
Na rys.2. pokazano przekrój dwuteowy z hipotetyczną, dowolną osią obojętną o równaniu z=g(y).
Rys.2 Hipotetyczna oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym. fy – granica plastyczności
Postępując podobnie jak w w pkt 1. można pokazać, że hipotetycznie założona oś obojętna g(y) musi być linią prostą o równaniu
z=g(x)=−cyλ3−zN | (14) |
gdzie
zN=λ4λ3 | (15) |
Mnożniki Lagrange’a zależą od relacji wartości sił przekrojowych. Siły te można zapisać w postaci:
N=fy⋅zN⋅[4⋅tf⋅λ3+2⋅tw] | (16) |
My=43⋅fy⋅[(h/2)3−(h/2−tf)3]⋅λ3+fy⋅[(h/2−tf)2−z2N] | (17) |
Mz=2⋅fy⋅[b2/4⋅tf–λ23/3⋅[h2/8–(h/2−tf)3]−(λ3 ⋅zN)2⋅tf] | (18) |
Znając wartości sił przekrojowych z tego układu równań można wyznaczyć mnożniki Lagrange’a, a następnie położenie osi obojętnej oraz równania interakcji.
Rys.3 Prostoliniowa oś obojętna przekroju dwuteowego w stanie plastycznym w złożonym stanie naprężenia.
Po wyeliminowaniu z tych równań mnożników λ1 , λ2, λ3 i λ4 otrzymamy proste równania interakcji sił przekrojowych:
n=zNA[2⋅tf⋅λ3+tw] | (19) |
my=1Wpl,y{43[h3/8–(h/2−tf)3)]⋅λ3+tw⋅[(h/2−tf)2−y2N]]} | (20) |
mz=2Wpl,z{[b2/4⋅tf−13[(h/2)3−(h/2−tf)3)]⋅λ23−tf⋅(λ3⋅zN)2} | (21) |
ważne dla:
0≤zN≤h/2−tf | (22) |
tw/2zn+h/2−tf≤λ3≤h/2d/2+zN | (23) |
gdzie względne siły przekrojowe wynoszą: n=NNpl , my=MyMy.pl, mz=MzMz.pl, a nośności plastyczne przekroju: wynoszą
Npl=A⋅fy ,My,pl=Wy.pl⋅fy ,Mz,pl=Wz,pl⋅fy | (24) |
A=b⋅h ,Wy.pl=b⋅tf⋅(h−tf)+tw⋅(h/2−tf)2 ,Wz.pl=tf⋅b22+t2w⋅(h−2⋅tf)4 | (25) |
Przy znajomości sił przekrojowych z powyższych równań możemy wyznaczyć mnożniki Lagrange’a i położenie osi obojętnej.
W zależności od wzajemnych stosunków sił przekrojowych można ustalić, zestawione w tab. 2 osiem sytuacji o różnym układzie osi obojętnej oraz różnych równaniach interakcji.
Parametry linii osi obojętnej: zN, Θ=arctg λ3 wyznacza się z nieliniowego układu równań interakcji.
Tab.2. Położenie osi obojętnej i krzywe interakcji dla przekroju dwuteowego
(opracowano na podstawie [3])
Oś Obojętna | Równanie interakcji | Zakres ważności |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() ![]() |
![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Przykład rachunkowy
Określić położenie osi obojętnej oraz współczynnik wysokości strefy ściskanej α, potrzebny do wyznaczenia klasy przekroju belki- słupa HEA300 pokazanego na rys. 4, obciążonego siłą ściskającą NEd= 500 kN oraz dwukierunkowym zginaniem momentami zginającymi: MyEd=200 kNm, MzEd=50 kNm.
Rys.1. Belka-słup poddana jednoczesnemu ściskaniu i zginaniu dwuosiowemu
W tab. 3 zestawiono charakterystyki geometryczne przekroju HEA300-S355, własności mechaniczne fy, ε oraz nośności plastyczne przekroju: Npl,Rd , Mpl,zRd, Mpl,yRd.
Tab.3. Charakterystyki geometryczne oraz materiałowe HEA300-S355
Względne wartości sił działających w przekroju wynoszą:
n=NEdNpl,Rd=−5003994=−0,125,
my=MyEdMpl,yRd=200491=0,407,
mz=MzEdMpl,zRd=50227,6=0,220.
Siła ściskająca siłą n jest ujemna.
Zwróćmy uwagę, że charakterystyki geometryczne przekroju HEA300 wyliczone z formuł przybliżonych, podanych w dolnym wierszu tab.2, wynoszą: A=106,3 cm2,Wpl,y=1305,1 cm3,Wpl,z=634,7 cm3, co stanowi dobre przybliżenie (ponad 95%) na użytek wyznaczenia położenia osi obojętnej.
Współczynniki pomocnicze wynoszą:
n2=(29/2)2−(29/2−1,4)2=38,6 ,cm2,
n3=(29/2)3−(29/2−1,4)3=800,5cm3.
W celu rozwiązania nieliniowych układów równań z tab.2. dla znanych sił przekrojowych z warunku zN oraz λ3 zastosowano podstawowe procedury arkusza kalkulacyjnego z wykorzystaniem modułu Solver. W wyniku rozwiązania problemu dla położenia osi obojętnej w pierwszym wierszu tab.2 otrzymano:
zN=0cm ; λ3=0,40 , czyli θ=arctg(λ3)=19,8deg.
Literatura
- PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
- PN-EN 1993-1-5:2008, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice
- Santathadaporn S., Chen W.-F. (1968). Interaction Curves for sections under com-bined biaxial bending and axial force (Report No 331.3; Space Frames with Biaxial Loading in Columns). Fritz ENgineering Laboratory, [ http://digital.lib.lehigh.edu/fritz/pdf/331_3.pdf ]
________________________________