Część 3-3

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało  6 Czytelników
Uwagi i recenzje podręcznika  przesyłać na adres wydawnictwa:wydawnictwo@chodor-projekt.net
spis treści prodręcznika: [ Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji ]
Nawigacja:  [ 3-2: Imperfekcje konstrukcji stalowych ]  ⇐  ⊗  ⇒ [ 3-4: Imperfekcje konstrukcji zespolonych i aluminiowych ] 

Opis imperfekcji systemowych w ujęciu Eurokod2 [1] jest spójny z opisem przedstawionym w normie Eurokod 3  z dokładnością do oznaczeń oraz pominięcia imperfekcji łukowych, a także wyraźniejszego sformułowania fundamentalnej zasady:

„Metoda MWE ( Wydzielonych Elementów) może być stosowana  wyłącznie  dla elementarnych przypadków, wówczas i tylko wówczas gdy w sposób wiarygodny możemy wydzielić element i określić jego długość efektywną (wyboczeniową). Ponadto może dotyczyć tylko elementów o prostym przekroju poprzecznym (prostokątny, okrągły) oraz ma zastosowanie tylko do słupów lub ścian„

Imperfekcje przechyłowe

Imperfekcja przechyłowa konstrukcji żelbetowych jest  opisana wzorem (3-2.4) takim jak w normie Eurokod 3; analogiczne są również współczynniki korekcyjne $\alpha_h$  (3-2.2) i $\alpha_m$ (3-2.3) ale z innymi oznaczeniami.

W podręczniku konsekwentnie używać będziemy oznaczenia  $\Phi$ zamiast $\Theta_i$, a także  $h$ zamiast  $l$  i

$L_{cr}$ zamiast $l_0$ (długośc wyboczeniowa, długość efektywna),

to znaczy oznaczenia stosowane w Eurokod 3 w miejsce używanych w Eurokod2 [1] .

Wartość podstawowa imperfekcji jest  zgodna z ustaleniami Eurokod 3 (3-2.1) i wynosi  $n_{\Phi,0}=200$.

Wpływ imperfekcji przechyłowych na wydzielone elementy można uwzględnić na dwa sposoby (rys..1):

a) poprzez zastosowanie zastępczego mimośrodu $e_i$  o wartości [1],(5.2) :

$$\begin{equation} e_i =\Phi_i/2  \cdot L_{cr}  \label {3-3.1} \end{equation}$$

Dla ścian i słupów wydzielonych dopuszcza się zastosowanie współczynnika  (3-2.2) $\alpha_h=1$ , czyli

$e_i=\cfrac{L_{cr}}{400} \to  n_G=400$ (dla elementów  o długości efektywnej równej długości teoretycznej.

Uwaga:

• W rozdziale „Zastępczy mimośród przyłożenia siły” pokazano, że zastępowanie imperfekcji łukowej przez mimośrodowe przyłożenie obciążenia w głowicy słupa jest błędne  i nie powinno być stosowane. Zastępowanie imperfekcji przechyłowej przez mimośród siły ściskającej jest również błędne, ponieważ dotyczy innych obszarów mechaniki konstrukcji. Właściwy do uwzględnienia imperfekcji przechyłowych  jest sposób opisany w pkt b)
• Metoda obciążeniowa IMH jest możliwa do zastosowania w celu uwzględnienia imperfekcji łukowych, choć szacunek obciążenie poprzecznego  podany w [1],(5.3) dotyczy wyłącznie imperfekcji przechyłowych i nie może dotyczyć imperfekcji łukowych oraz sił przyłożonych na długości elementu (prawy rys 3.5b), a tylko przyłożonych w głowicy lub stopie słupa (w węzłach końcowych),

b) poprzez zastosowanie zastępczej siły poprzecznej $H_i$ od imperfekcji [1],(5.3) wg wzoru:

$$\begin{equation} H_i =k_i \Phi_i  \cdot N  \label {3-3.2} \end{equation}$$

We wzorze ($\ref{3-3.2}$) wprowadzono oznaczenia:

$\Phi_i$ imperfekcją przechyłową   elementu „i” (kąt przechyłu),
$k_i$  współczynnik zależny od stopnia zamocowania końców elementu:
$k_i=1$  dla elementów nieusztywnionych (np wspornik lub z głowicą przesuwną);
$k_i=2$  dla elementów usztywnionych (np. słup z nieprzesuwnie podpartymi głowicą i stopą),
$N$ – siła osiowa działająca w elemencie.

Sposób ($\ref{3-3.2}$) (obciążeniowy) jest ogólniejszy od ($\ref{3-3.1}$) (zastępczy mimośród przyłożenia siły), bo może być zastosowany w układach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych,a  fikcyjna siła od imperfekcji może być zastąpiona inną równoważną siła poprzeczną.  Nie określono jednak metody  wyznaczania równoważności układów sił fikcyjnych.Zdaniem autora metody a) – zastępczych mimośrodów nie powinno stosować się. Uzyskiwane wyniki są błędne, co pokażemy w przykładach w dalszej części podręcznika

Rys.3-3.1 Imperfekcje geometryczne konstrukcji żelbetowych działające na wydzielony element: a)  w systemie nieusztywnionym, b) w systemie usztywnionym (część rys.5.1 EC2)

Imperfekcje łukowe

W normie  [1] w istocie nie odniesiono się do imperfekcji łukowych prętów konstrukcji żelbetowych, a pośrednie zasady (np prawy rys. 3.5 b są błędne).

W niniejszym podręczniku zaleca się , by impefekcje łukowe elementów konstrukcji żelbetowych wyznaczać na podstawie tolerancji wykonawczych. Tolerancje wykonawcze odchyłek łukowych podano w Tab. 2.2. W ostatniej kolumnie tej tabeli przedstawiono propozycję szacowania imperfekcji projektowej na podstawie tolerancji wykonawczych.  Dalsze uogólnienie zaprezentowano w rozdziale 4 podręcznika ust. (4.3.6).

Sztywności żelbetu podczas obliczeń II rzędu

Przekroje żelbetowe są kompozytem betonu i prętów zbrojeniowych. Analiza ścisła powinna polegać na  badaniu konstrukcji złożonej z elementów skończonych betonowych współpracujących z prętami stalowymi. Do celów analizy inżynierskiej użyteczny jest integralny model kompozytu, umożliwiających jego analizę jak przekroju jednorodnego o zastępczych charakterystykach mechanicznych, zmieniających się w procesie pracy konstrukcji w zależności od stopnia pełzania betonu, udziału betonu i stali orz innych czynników.
W normie  [1] zaprezentowano dwie uproszczone metody do uwzględniania efektów drugiego rzędu w konstrukcjach żelbetowych z zastosowaniem ogólnych algorytmów mechaniki konstrukcji: metodę nominalnej sztywności (MNS) [1], kl. 5.8.7.  oraz nominalnej krzywizny  (MNK) [1], kl. 5.8.8.

Zaprezentujemy obie metody, choć do zastosowań praktycznych z użyciem komputera zalecamy tylko jedną z nich, a mianowicie  metoda MNS. Po jej zastosowaniu analiza konstrukcji żelbetowych może być dokonana standardowymi algorytmami opracowanymi dla konstrukcji stalowych, aluminiowych i zespolonych.

Metoda nominalnej krzywizny jest przybliżoną metodą uwzględniania momentów drugiego rzędu dla prostych przypadków wydzielonych elementów żelbetowych i w tym podręczniku przedstawimy ją w skrócie w zakresie potrzebnym do przedstawienia przykładów rachunkowych w podręczniku.

Metoda nominalnej sztywności MNS

Metoda MNS umożliwia analizę elementów żelbetowych włączonych do systemów statycznie niewyznaczalnych.

Sztywność nominalną (efektywną, sprowadzoną) przekroju żelbetowego można oszacować, jako sumę sztywności betonu i zbrojenia, ważonych współczynnikami  $K_c$ i $K_s$, zależnymi odpowiednio do zarysowania i pełzania betonu oraz od udziału zbrojenia [1],(5.21)

$$\begin{equation}EI=K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s  \label {3-3.3} \end{equation}$$

Dla stopnia zbrojenia $\rho =\cfrac{A_s}{A_c}>2$‰  można przyjąć  $K_s=1$ (w praktyce stopień zbrojenia słupów spełnia podany warunek, bo jest to zbrojenie minimalne).

Współczynnik wpływu betonu

$$\begin{equation} K_c=\cfrac {k_1 \cdot k_2} {1+\varphi_{ef}}  \label {3-3.4} \end{equation}$$

gdzie pomocnicze współczynniki wynoszą:

$$\begin{equation}  k_1=\sqrt{\cfrac{f_{ck}}{20}}\label {3-3.5} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  k_2=\min{ \left[ \cfrac{n \cdot \lambda}{170} ; \quad 0,20\right ]} \label {3-3.6} \end{equation}$$

gdzie:
$ n=\cfrac {N_{Ed}} {N_{Rc}}$  – względna siła osiowa odniesiona do nośności betonu $N_{Rc}=A_c \cdot f_{ck}$
$\lambda=\cfrac {l_0}{i}$-smukłość elementu  o długości wyboczeniowej (efektywnej) $l_0=L_{cr}$ , i – promień bezwładności przekroju niezarysowanego dla przekroju prostokątnego bxh – $i=h/\sqrt{12}$.

Niekorzystne wpływy zarysowania, czyli częściowe zarysowanie i współpracę betonu na odcinkach między rysami elementów przylegających tych elementów, można uwzględniać poprzez stosowanie efektywnego modułu sprężystości betonu zgodnie ze wzorem:

$$\begin{equation} E_{cd,eff}= \cfrac{E_{cd}}{1+\varphi_{eff}}\label {3-3.7} \end{equation}$$

w którym $E_{cd}=E_{cm}/1,2$ jest obliczeniową wartością modułu sprężystości według normy, a  $\varphi_{eff}$ jest efektywnym współczynnikiem pełzania szacowanym z zależności:

$$\begin{equation} \varphi_{eff}= \varphi_0  \cdot k_{qp} \label {3-3.8} \end{equation}$$

Współczynnik pełzania $ \varphi_0 = \varphi(\infty, t_0)$ jest końcowym współczynnikiem pełzania w okresie od wieku betonu przy pierwszym obciążeniu $t_0$  (najczęściej 48 dni) do końca życia budowli ( $\infty$).

Współczynnik $ \varphi_0$  ustala się z PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, rys. 3.1 wg zasad podanych w  artykule  Belki żelbetowe (tab.1 i tab 11) i zależy od klasy betonu rodzaju cementu (S,N,R) oraz efektywnego wymiaru przekroju $h_0=\cfrac {2A_c}{U}$,  gdzie: $A_c$ -pole przekroju betonu (szalunku), $U$-obwód przekroju – np.  dla przekroju kwadratowego $h_0 = \cfrac{h^2}{2h}=h/2$.

Często stosowaną w obliczeniach wstępnych wartością współczynnika pełzania jest

$ \varphi_0 \approx 2$.

który odpowiada sytuacji:  $t_0 = 48 $ dni , cement  N (normalnie twardniejącego), beton  C30/37 i $h_0=400 \, mm$

Wpływ pełzania można pominąć (tzn. $\varphi_{eff}=0$), jeżeli spełnione są łącznie 3. warunki:
1) $\varphi_0 \le 2,0$;
2) $\lambda <7,5$ ;
3) $e_{N,0}=\cfrac{M_{0,Ed}}{N_{0,Ed}} > h$,

to znaczy wyłącznie dla krępych elementów z dużym mimośrodem w  konfiguracji „0” (1 rzędu – bez uwzględnienia wpływu przemieszczeń na siły),  w tym przy braku siły ściskającej.

Współczynnik udziału obciążeń quasi-stałych jest zdefiniowany następująco:

$k_{qp}=\cfrac{M_{0,Eqp}}{M_{0,Ed}}$,

gdzie $M_{0,d}$ obliczeniowy moment zginający w stanie granicznym nośności SGN w konfiguracji „0”,  $M_{0,Eqp}$ -moment zginający od obciążeń quasi-stałych, wyznaczony jak dla stanu użytkowalności (SGU).

Współczynnik $k_{qp} jest stosunkiem momentów zginających z analizy 1 rzędu dla SGU do SGN. W praktyce dla elementów o ustalonym schemacie statycznym i konfiguracji obciążenia współczynnik ten szacuje się na podstawie obciążeń

$k_{qp}=\cfrac { G_k+\sum Q_k \cdot \psi_2 } {\max {\left \{ \gamma_G \cdot G_k+\sum \gamma_Q \cdot Q_k\cdot \psi_0 \right \} } }$

gdzie max oznacza maksymalizację  mnożnika obciążeń z wszystkich kombinacji.

Na przykład w sytuacji przeważającego wpływu ciężaru własnego (żelbet w 60% niesie sam siebie) oraz pomijalnego wpływu obciążeń klimatycznych (śnieg i wiatr) dla budynku mieszkalno-biurowego ($\psi_0=0,7$ , $\psi_2=0,3$ ) mamy

$k_{qp}=\cfrac{1,0\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4}{1,35 \cdot 0,6+1,5\cdot 0,4}=0,7$ , czyli $\varphi_{eff}=2,0\cdot 0,7=1,4$ .

W sytuacji większego wpływu obciążeń zmiennych współczynnik zbliży się do wartości 0,5, czyli $\varphi_{eff}=2,0\cdot 0,5=1,0$.

Oszacowanie nominalnej sztywności elementu żelbetowego umożliwia zwiększenie momentu zginającego w stanie 2 rzędu współczynnikiem amplifikacji w postaci [1],kl.5.8.7.3

$$\begin{equation}  M_{Ed}=M_{Ed,0} \cdot (1+a_B) \label {3-3.9} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}   a_B= \cfrac{\beta}{\tfrac{N_B}{N_{Ed}}-1}\label {3-3.10} \end{equation}$$

Siła krytyczna $N_B=N_{cr}$ (wzór (1.4) – rozdział 1)  jest obliczona dla pręta o sztywności nominalnej EI i długości krytycznej (efektywnej) $L_{cr}=l_0$. Należy zwrócić uwagę, że dla $\beta=1$ zachodzi ( wzór (1.9) – rozdział 1), a ($\ref{3-3.9}$) może być zapisane w klasycznej postaci  $M_{Ed} = M_{Ed,0} \cdot a_N$.

Współczynnik korelacji ściskania i zginania $\beta$ najczęściej szacuje  się jak dla elementów o stałym przekroju i stałej sile podłużnej:

$$\begin{equation}  \beta=\cfrac{ \pi^2}{c_0} \label {3-3.11} \end{equation}$$

gdzie współczynnik rozkładu momentu zginającego, wynosi:  $c_0=8$ , gdy moment 1 rzędu jest stały wzdłuż elementu,  $c_0=9,6$ , gdy ma rozkład paraboliczny), $c_0=12$, gdy ma symetryczny rozkład trójkątny). W przypadku momentu liniowo zmiennego od $M_{01}$ do $M_{02}$, przyjmuje się zastępczy stały moment  $M_0= ( 0,6 \cdot M_{02}- 0,4 \cdot M_{01} \ge 0,4 M_{02}) $  i  $c_0=8$ .

Podejście uproszczone ($\ref{3-3.9}$) traci na znaczeniu przy prowadzeniu analizy 2 rzędu konstrukcji żelbetowych w sposób analogiczny do obliczeń konstrukcji innych typów. W takiej analizie stosuje się nominalne (efektywne) sztywności przekroju żelbetowego ($\ref{3-3.3}$) dla dowolnej zmienności przekrojów i sił po długości pręta.  Współczesny program [2] ,  pierwotnie opublikowany do obliczania konstrukcji stalowych, od wersji 10.0 ma możliwość analizy konstrukcji żelbetowych z płytami-ścianami oraz prętami o przekroju prostokątnym, kołowym, teowym, zbrojonych w wielu rzędach z zastosowaniem efektywnego modułu sprężystości ($\ref{3-3.7}$) (domyślnie $\varphi_{eff}=2,0$, z możliwością modyfikacji) i w procedurze doboru sztywności nominalnej ($\ref{3-3.3}$) z zastosowaniem współczynników $K_c$ i $K_s$ (domyślnie  $K_c=0,5$ i $K_s=1,0$, z możliwością modyfikacji).

Metoda nominalnej krzywizny MNK

Metoda nominalne krzywizny MNK została przedstawiona w [1],kl. 5.8.8   jako metoda alternatywna do MNS w zastosowaniu do elementów wydzielonych z sytemu, czyli w  zasadzie do zastosowań tradycyjnych z ery przedkomputerowej.

Przekrojowy moment zginający $M_{Ed}$ działający w elemencie wyznacza się jako sumę momentu pierwszego rzędu $M_{Ed,0}$ oraz dodatkowego momentu od efektów drugiego rzędu $M_{Ed,II}$.

Przy założeniu, że przekrojowa siła osiowa $N_{Ed}$ w elemencie jest niezerowa i prawie stała na etapach analizy, po oznaczeniu:
$e_a$ – niezmierzony mimośród zdefiniowany w $(\ref{3.24})$;
$e_{N,0}=\cfrac{M_{Ed,0}}{N_{Ed}}$ – mimośród od sił zewnętrznych w stanie „0” (I rzędu);
$e_{N,II}= \cfrac{\Delta M_{Ed,II}}{N_{Ed}}$ – mimośród dodatkowy od  przyrostu sił zewnętrznych na przemieszczeniach (II rzędu),

otrzymujemy zasadę sumowania mimośrodów w mimośród całkowity $e_{tot}$:

$$\begin{equation}  e_{tot}= e_a+ e_{N,0}+e_{N,II}  \label {3-3.11a} \end{equation}$$

Niezamierzony mimosród od imperfekcji systemowych $e_a$ jest powodowany przechyłem słupa i nieosiowym przyłożeniem siły i dla slupów należy go przyjmować z zależności :

$$\begin{equation}  e_a= \max{ \left [ \cfrac{1}{200}\cdot L_{cr}/2; \quad \cfrac{h}{30}; \quad 20 \, mm \right] }\label {3.24} \end{equation}$$

gdzie
$L_{cr}=l_o$ – długość efektywna elementu,
$h$ – wysokość przekroju

Mimośród II rzędu można oszacować z formuły

$$\begin{equation}  e_{N,II} = \cfrac{L_{cr}^2}{c} \cdot \left (\cfrac{1}{r} \right ) \label {3-3.12} \end{equation}$$

Współczynnik c dla elementu o stałym przekroju wynosi

$$\begin{equation}  c=\pi^2 \approx 10 \label {3-3.13} \end{equation}$$

Efektywna krzywizna (1/r) wynosi

$$\begin{equation}  \left (\cfrac{1}{r} \right )= \left ( \cfrac{1}{r} \right )_0 \cdot K_r \cdot K_{\varphi} \label {3-3.14} \end{equation}$$

Krzywizna 1 rzędu $(1/r)_0$ wynosi:

$$\begin{equation}   \left ( \cfrac{1}{r}\right)_0 =\cfrac {\varepsilon_{yd}} {0,45 d} \label {3-3.15} \end{equation}$$

Odkształcenie plastyczne stali

$$\begin{equation}  \varepsilon_{yd}=\cfrac{f_y}{E_s} \label {3-3.16} \end{equation}$$

jest wyznaczane przy naprężeniach równych granicy plastyczności $f_y$ i dla modułu stali $E_s= 200 \, GPa$.

Wysokość efektywna przekroju $d$ jest zdefiniowana standardowo $d = h – (c+∅/2) $, gdzie:  $h$- wysokość przekroju, $c$ – otulenie zbrojenia o średnicy ∅

Współczynnik wpływu stopnia zbrojenia

$$\begin{equation}  K_r=\cfrac{n_u-n}{n_u-n_{bal}} \label {3-3.17} \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  n_u=1+\omega  \label {3-3.18} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  \omega= \cfrac {N_{Rs}} {N_{Rc}}= \cfrac {A_s \cdot f_{yd}} {A_c \cdot f_{cd}} \label {3.28_2} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  n_{bal}=0,4  \label {3-3.19} \end{equation}$$

( $n_{bal}jest względną siłą podłużną , dla której osiąga się maksymalny moment graniczny).

Współczynnik, uwzględniający pełzanie

$$\begin{equation}  K_{\varphi} =\beta \cdot\varphi_{eff}  \label {3-3.20}  \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  \beta = 0,35+\cfrac{f_{ck}}{200}+\cfrac{\lambda}{150}  \label {3-3.21} \end{equation}$$

$\varphi_{eff}$ – efektywny współczynnik pełzania ($\ref{3-3.8}$).

Całkowity moment zginający przekrój właściwy do jego wymiarowania wynosi

$$\begin{equation}  M_{Ed}=N_{Ed} \cdot e_{tot} \label {3-3.22} \end{equation}$$

gdzie  $e_{tot}$ ($\ref {3-3.11a}$).

Przykłady rachunkowe

Przykład 1 [Żelbetowa rama portalowa – imperfekcje]

Oszacować przechyłowe oraz łukowe imperfekcje geometryczne oraz mimośrody, a także zastępcze obciążenia poziome dla ramy portalowej, pokazanej na rys. 3.5 (konstrukcja stalowa) . w wersji wykonania słupów i rygla ramy z prętów betonowych zbrojonych.

Geometria konstrukcji

Przekrój słupa $h x b = 600 x 300\,mm$:

pole przekroju $A_c=60 \cdot 30= 1800 \, cm^2$,
moment bezwładności $I_c=60^3 \cdot 30/12= 540000 \, cm^4$,
promień bezwładności $ i =\sqrt { 540000/1800}= 60/ \sqrt{12}= 17,32 \, cm$,
ciężar jednostkowy $g=25 \cdot 0,6 \cdot 0,3=4,5 \, kN/m $

Geometria układu jest taka jak w przykładzie 3.1.

Wysokość fizyczna (teoretyczna) słupa $L= 5 \, m$,

Słup hali jest usztywniony ścianami w kierunku mniejszej sztywności i nie jest usztywniony w kierunku większej i w tym kierunku pracuje jako wspornik (jest utwierdzony w stopie fundamentowej).

Długość efektywna (wyboczeniowa) wspornika  $L_{cr}=l_0=2\cdot 5= 10 \, m$,

Smukłość słupa  $\lambda=1000/17,32=57,7$,

Imperfekcje geometryczne przechyłowe

Takie same jak w przypadku konstrukcji stalowej są  geometryczne imperfekcje przechyłowe:

(3-2.1)  $\to \Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 $
{3-2.2) $\to \alpha_h= \cfrac{2} {\sqrt{4,5}}= 0,943 $
{3-2.3) $\to \alpha_m =\sqrt{\cfrac{2+1} {2 \cdot 2}}= 0,866$
{3-2.4) $\to \Phi=1/200 \cdot 0,943 \cdot 0,866=0,00408 = 1/245$
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 0,866}= 245$.

Przykład 2  [Porównanie metod  MNS i MNK]

Wiarygodność i dopuszczalność oszacowań sił przekrojowych II rzędu elementów żelbetowych metodą MNS i MNK sprawdzimy na przykładzie słupa hali  z [3], Przykład 13.4 .

Smukłość graniczna  $\lambda_{lim}= \cfrac{ 20 \cdot 0,7 \cdot 11\cdot 0,7}{\sqrt{0,529}}=14,8$

Ponieważ $\lambda=457,7 > 14,8$, więc zgodnie z  [1]   $\to$ efekty II rzędu  należy uwzględnić

Przechyły i mimośrody słupa

Liczba słupów uczestniczących w przechyle wynosi $m=2$,a wysokość słupa  $L=5,0 \,m$, więc:

{3-2.2) $\to \alpha_h= \cfrac{2}{\sqrt{5,0}} =0,894$,

{3-2.3) \to$) $\alpha_m= \sqrt{0,5 (1+1/2)}=0,866$,

Imperfekcja przechyłowa $n_G=200/(0,866\cdot 0,894)=258$,

$\ref{3-3.1}$) $\to$ mimośród od przechyłu  $e_i= \cdot (1/258) /2 \cdot 10 =0,0194 \, m =19,4 \, mm$.

Uwaga. Powyżej wyjątkowo zastosowano procedurę zastąpienia imperfekcji przechyłowej mimośrodem przyłożenia obciążenia, w celu wykazania, że jest ona błędna.

Mimośród całkowity $e_0=160+19,4= 179,4 \, mm$

Beton, zbrojenie

Beton  C25/30: $f_{cd}= 25/1,4 = 17,9 \, MPa$, $E_{cm}= 31 \, GPa$, $E_{cd}= 31/1,2=25,8 \, GPa$,

Zbrojenie ze stali B500: $f_{yd}=500/1,15=435 \, MPa$, $E_z= 200 \, GPa$, $\varepsilon_{yd} =435/(2 \cdot 10^5)= 2,175$ ‰.,

Zbrojenia dołem $A_{s1}$ i górą  $A_{s2}$ po $ 15 \, cm^2$, więc sumaryczne zbrojenie $(A_{s1}+A_{s2})=15+15=30 \, cm^2$,

Otulenie  osiowe zbrojenia $a=c+ø/2= 50 \, mm$ . Wysokość efektywna przekroju $d= 600-50=550 \, mm$.

Siły przekrojowe i nośność przekroju

Słup jest ściskany obliczeniową siłą $ N_{Ed}= 1768 \, kN$ na mimośrodzie $e_0=160 \, mm$

Obliczeniowy moment zginający 1 rzędu w głowicy wynosi $M_{Ed,0}= 1768 \cdot 0,16=282,9 \, kNm$

Z obliczeń prowadzonych poza przykładem uzyskano informację, że moment zginający, wywołany quasi-stałą kombinacją obciążeń wynosi $ M_{0.Eqp} =190,4 \, kNm$,

zatem współczynnik udziału obciążeń quasi-stałych wynosi $k_{qp}=190,4/282,9= 0,67$.

Nośność przekroju betonowego $N_{Rc}= 1800 \cdot 17,9 \cdot 10^{-1}= 3222 \, kN$, zatem względna siła normalna $ n=1768/3222=0,55$

Nominalna sztywność słupa

W odrębnej procedurze wyznaczono współczynnik pełzania $ \varphi_0=\varphi (t_0, \infty)=2,5$.

Efektywny współczynnik pełzania ($\ref{3-3.8}$) $\varphi_{eff}= 2,5 \cdot 0,67= 1,675$.

Współczynniki pomocnicze:

$(\ref{3-3.5}) \to$ $k_1=\sqrt{\cfrac{25}{20}}= 1,12$

$(\ref{3-3.6}) \to$ $k_2= \min { \left[ \cfrac{0,55\cdot 57,7}{170}; \quad 0,20 \right ]}= 0,187$

Współczynnik wpływu betonu

$(\ref{3-3.4}) \to$ = $K_c= \cfrac{1,12 \cdot 0,187}{1+1,675}=0,0783$

Sztywność betonu – pierwszy składnik w ($\ref{3-3.3}$):

$K_c E_{cd} I_c= 0,0783 \cdot 25,83 \cdot 10^6 \cdot 540000 \cdot 10^{-8}= 10921 \, kNm^2$

Współczynnik wpływu stali  $K_s=1,0$

Dla sumarycznego zbrojenia $(A_{s1}+A_{s2})= 30 \, cm^2$, moment bezwładności zbrojenia szacunkowo  (tylko człon Steinera)
$I_s \approx (A_{s1}+A_{s2}) \cdot (h/2-a)^2= 30\cdot (60/2-5)^2= 18750 \, cm^4$

Sztywność stali – drugi składnik w ($\ref{3-3.3}$):

$K_s E_{s} I_s= 1,0 \cdot 200 \cdot 10^6 \cdot 18750 \cdot 10^{-8}= 37500 \, kNm^2$

Nominalna sztywność przekroju żelbetowego ($\ref{3-3.3}$) wynosi:

$EI= 10921+37500=48421 \, kNm^2$.

Moment II rzędu  MNS

Siła krytyczna Eulera – wzór (1-2.5):

$N_B=N_{cr}=\cfrac{\pi^2 \cdot 48421}{10^2}=4779 \, kN$

Moment zginający 1 rzędu jest stały po wysokości słupa, więc współczynnik amplifikacji momentu:

$( \ref {3-3.11}) \to $  $\beta=\cfrac{pi^2}{8}=1,234$

Współczynnik amplifikacji

$( \ref {3-3.10}) \to$  $a_B=\cfrac{1,234}{4779/1768-1}=0,7246$,

Moment zginający amplifikowany

$( \ref {3-3.9}) \to$  $M_{Ed}= 1768 \cdot 0,1794 \cdot (1+0,7246)=547 \, kNm$.

Moment II rzędu  MNK

Mimośród niezamierzony

$( \ref {3.24}) \to$ $ e_a=\max \left[ 1/200 \cdot 10000/2; \quad 600/30; \quad 20\right]= 25 \, mm$

Dla sumarycznego  zbrojenia $\Sigma A_s=30 \, cm^2$, stosunek sztywności stali i betonu mamy:

$( \ref {3-3.18}) \to$  $n_u=1+0,405=1,405$.

$( \ref {3.28_2}) \to$   $\omega= \cfrac{30\cdot 435}{30\cdot 60 \cdot 17,9}=0,405$,

$( \ref {3-3.19}) \to$   $n_{bal}=0,4$,

Współczynnik wpływu stopnia zbrojenia

($\ref{3-3.8}$) $\varphi_{eff}= 2,5 \cdot 0,67= 1,675$ (jak wyżej),

$(\ref{3-3.17}) \to$  $ K_r=\cfrac{1,405-0,55}{1,405-0,4}=0,858$,

Współczynnik wpływu pełzania

$( \ref {3-3.21}) \to$ $\beta=0,35+25/200-57,7/150=0,090$,

$(\ref{3-3.20}) \to$  $ K_{\varphi}=1+0,090 \cdot 1,675=1,151$,

Krzywizna 1 rzędu

$(\ref{3-3.15}) \to$ $\left( \cfrac{1}{r}\right)_0=\cfrac {0,00217}{0,45 \cdot 0,55}=0,0088 \, m^{-1}$,

Krzywizna

$(\ref{3-3.14}) \to$ $\left( \cfrac{1}{r}\right)= 0,0088 \cdot 0,858 \cdot 1,151=0,0087  \, m^{-1}$

Mimośród drugiego rzędu

$(\ref{3-3.12}) \to$ $e_{N,II} = 10000^2 /10 \cdot 0,0087 =87 mm$

Całkowity mimośród

$(\ref{3-3.11a}) \to$ $e_{tot}=160+25+87=272 \, mm$

Moment zginający amplifikowany
$( \ref {3-3.22}) \to$  $M_{Ed}= 1768 \cdot 0,272= 481 \, kNm$

Wnioski z przykładu 2

1. Różnice pomiędzy momentami amplifikowanymi, uzyskane metodami nominalnej sztywności oraz nominalnej krzywizny  wyznaczone zgodnie z zależnościami normowymi w przykładzie 3.1 wynoszą   (547/481)-1=14% .
   Rożnica jest zbyt duża , by była akceptowalna w praktyce.
   Można bowiem pokazać, że taka różnica w sile przekrojowej przełoży się na stosunek zbrojenia
   $[4ø22+4ø24] / [(4+4)ø22]=( 33,3 \, cm^2)/ (30,4 \, cm^2)=1,10$,
   czyli  10% różnicy pola przekroju zbrojenia.
2.  W dalszej części podręcznika:

a) normowe rozwiązania przybliżone porównamy z rozwiązaniem dokładnym, uzyskanym numerycznie i pokażemy, że rzeczywiste rozwiązanie  jest położone pomiędzy MNS i MNK i będzie zbieżne przy zagęszczeniu podziału słupa na elementy skończone,

b) wykażemy, że zastąpienie  imperfekcji przechyłowej mimośrodem przyłożenia obciążenia doprowadziło do sytuacji, w której oba rozwiązania MNS i MNK są błędne .

⇒ [następne: Imperfekcje konstrukcji zespolonych i aluminiowych ]

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ https://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(2019-04-19, 30)  Wersja 1.0 

 Literatura

1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. Consteel Software, (2019), ConSteel 13 Manual, [ https://consteelsoftware.com/downloads/ ]
3. Knauff, M., Golubińska, A., Knyziak P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN, Warszawa

________________________________