Leszek Chodor, 7 września 2016

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 9 Czytelników

Blachownica jest dźwigarem o przekroju poprzecznym zespawanym z blach. W przypadku belek najczęściej stosuje się blachownice z przekrojem dwuteowym (rys. 3a), żebrowane (rys. 3b) i o zmiennej sztywności po długości (rys.4). Sprawdzanie nośności blachownic jest dość żmudne w podejściu ręcznym, dlatego należy założyć, że obliczenia sprawdzające projekt blachownic dokonywane są z użyciem programów lub arkuszy obliczeniowych. W artykule przedstawiono najważniejsze zagadnienia związane z projektowaniem i weryfikacją blachownic, które powinny być zaimplementowane w  oprogramowaniu inżynierskim.

Wprowadzenie

Systemy hal pełnościennych

Hale z ryglami i/lub słupami pełnościennymi są szeroko stosowane we współczesnym budownictwie. Zużycie stali na na przekrycie hal z ryglami pełnościennymi jest nieco większe od hal z ryglami kratowymi (patrz rys.1  w artykule „Przekrycia hal i galerii”]). W przypadku układów poprzecznych pełnościennych  możliwa jest pełna automatyzacja procesu wytwórczego, co zmniejsza koszty oraz czas produkcji hal i staja się one ekonomicznie konkurencyjne.

Na rys.1. pokazano system hal blachownicowych w systemie Astron (obecnie Lindab), złożoną z wieloprzęsłowych rygli i słupów- blachownic.

Rys.1. Hala blachownicowa w systemie ASTRON (LINDAB) [1]

W artykule [2]– str,41 przedstawiono główne systemy hal z ryglami pełnościennymi:

•  system hal ASTRON – rys.14 (str.41),
• system hal BUTLER – rys. 15 (str.42),
• system hal Zeman HDF – rys. 16 ( z pofalowanym środnikiem) (str.42).

Na rys. 17 tego artykułu pokazano bardzo ekonomiczny system hal z dżwigarami o pofalowanym środniku, ze słupami żelbetowymi.

Coraz częściej hale, w których nie ma wymagań pożarowych (kategoria odporności ogniowej E) wykonuje się  z kształtowników giętych na zimno (rozdz. 3.4.3. [2] -str.43.

Dla optymalnego rozstawu ram poprzecznych 6m, przekrycie wykonane z kształtowników z-g (zimno-giętych) jest ok ¼  lżejsze od przekrycia wykonanego z kształtowników g-w (gorąco-walcowanych). Na rys.2 w nawiasie podano strefy obciążeń klimatycznych, np (1w/1ś) oznacza 1 strefę obciążenia wiatrem i 1-szą  obciążenia śniegiem.

Rys.2. Porównanie mas przekycia hali referencyjnej z kształtowników giętych na zimno i profili gorąco-walcowanych [3]

Szeroką analizę ekonomiczną hal z kształtowników giętych na zimno  w stosunku do hal wykonanych  z profili walcowanych na gorąco przeprowadzono w pracy [3].

Konstrukcja blachownic

Blachownice są zdolne do przenoszenia większych obciążeń od standardowych kształtowników walcowanych , przede wszystkim ze względu na optymalne  wysokości oraz żebrowania smukłych środników i są zwykle stosowane jako podciągi dużej rozpiętości w stropach budynków, dźwigary mostowe i w konstrukcjach przemysłowych. Najbardziej imponujące są nowoczesne zastopowania o rozpiętości ponad 200 m, o wysokości  5-10 m. Takie dźwigary charakteryzuje duża smukłość środników  i podatność na lokalnego wyboczenia, oraz praca w zakresie pozakrytycznym, to znaczy uwzględnienie faktu, że po utracie stateczności środnika, cały dźwigar spełnia jeszcze warunki nośności. Charakterystyczna jest również  zmienność przekroju po długości belki (rys.4), częste stosowanie przekrojów hybrydowych (pasy i środnik z innych stali), a także belek zespolonych z płytą żelbetową ( rys.5a ) oraz stosunkowo łatwe otworowanie wzmocnionego żebrami  środnika w celu umieszczenia instalacji ( rys.5d ).

Rys.3a.  Typowa blachownica o przekroju dwuteowym

Rys.3b. Elementy blachownic spawanych: a) bez żeberek, b) z żebrami poprzecznymi: Ż1- podporowe, Ż2- pod siłą skupioną, Ż3 – pośrednie , c) z żebrami poprzecznymi Ż4 i podłużnymi Ż5 (zmodyfikowane [4])

Rys.4.  Zmiana przekroju blachownicy: a) poprzez zmianę wysokości środnika, b) poprzez zmianę grubości pasów (zmodyfikowane (zmodyfikowane [4])

Rys.5. Typy blachownic: a) do zespolenia z płytą żelbetową, b) belki podsuwnicowe, c) rozmaite pasy górne, d) otwory na instalacje w środniku (zmodyfikowane [4])

Projektowanie blachownic

Wprowadzenie

Projektowanie belek blachownicach   jest klasycznym  przykładem  optymalizacji   wielokryterialnej (kryterium  minimum  zużycia   stali,   minimum   liczby różnych elementów,  minimum  robocizny)  i   wieloczynnikowej   ( parametrami   projektowania   są   nie   tylko    wymiary przekrojów, ale również skokowy rozkład  tych przekrojów na  długości belki oraz rodzaj materiału).   Ograniczenia optymalizacji blachownic często nie  dają się  ująć  jednoznacznie,  ponieważ   muszą uwzględniać topologię i wymiary konstrukcji przylegających (np. belek stropowych), a także  ograniczenia  geometryczne  obiektu. Występowanie takich ograniczeń i ich  wartości  ustala  sie indywidualnie dla każdego obiektu.

W sytuacji wielowariantowości  projektu blachownicy najskuteczniejszy okazuje się tradycyjny  sposób  optymalizacji  polegający  na  iteracyjnym doborze  jednego  z  parametrów  projektowania,   aż   do spełnienia ograniczeń konstrukcyjnych  oraz   wytrzymałościowych. Pod obciążeniami statycznymi krytycznym elementem blachownicy jest środnik i jego smukłość, w tym w konieczności zapewnienia stateczności podczas montażu.

Pod doborze wymiarów blachownic należy przeprowadzić dopasowanie ich nośności do przebiegu sił przekrojowych. Zmianę nośności blachownicy uzyskuje się poprzez zmianę wymiarów przekroju po jej długości. Można różnicować wiele parametrów przekrojów: wymiary pasa lub wymiary środnika lub pas i środnik jednocześnie. W rezultacie można uzyska optymalny projekt belki.
Tok projektowania spawanych blachownic o zmiennych przekrojach można zawrzeć w następujących krokach:
1) dobór schematu statycznego blachownicy,
2) zestawienie obciążeń i dobór schematu obciążeń i obliczenia statyczne,
3) wstępny dobór przekrojów blachownicy,
4) dobór punktów zmiany przekroju blachownicy,
5) sprawdzenie warunków wytrzymałościowych,
6) sprawdzenie przemieszczeń,
7) sprawdzenie stateczności belki i jej elementów,
8) projekt żebrowania środnika,
9) projekt połączeń technologicznych i montażowych,
10) projekt naroży i innych elementów.

Schemat statyczny i obciążeń blachownicy. Obliczenia statyczne

Długości obliczeniowe przęseł belki blachownicowej wyznaczamy biorąc pod uwagę punkty podparcia (miejsca podpór). Punkty
podparcia przyjmujemy w następujący sposób:
1) jeśli belka oparta jest na podłożu (lub slupie) za pośrednictwem płytki lub łożyska centrującego – w punkcie wycentrowania,
2) jeśli belka oparta jest bezpośrednio na murze lub na wieńcu żelbetowym 2.5% odległości w świetle murów w głąb muru.
Blachownice są zwykle podparte na murze za pośrednictwem łożysk (obecnie elastomerowych) , a na głowicy slupów za pośrednictwem płytki centrującej.

W zestawieniu obciążeń należy wziąć pod uwagę wartości obciążeń stałych i zmiennych ze stosownymi współczynnikami obciążeń oraz redukcyjnymi. Obciążenia stałe, to najczęściej ciężar własny stropu. Obciążenia zmienne, to najczęściej ciężar ludzi maszyn i sprzętu na stropach. Obciążenie użytkowe stropu $Q$ oraz obciążenie stale $G$ przekazują się na blachownice w większości w postaci sil skupionych z belek stropowych. Natomiast ciężar własny blachownicy jest obciążeniem rozłożonym. Rozsądnie jest przyjąć, ze całe obciążenie oprócz ciężaru własnego składa się z sił skupionych przyłożonych w miejscu połączenia z belkami stropowymi. Założenie takie może prowadzić do niewielkiego przeszacowania sil przekrojowych w stosunku do sił wywołanych rzeczywistymi obciążeniami. Ciężar własny $ g \, [kN/m]$ jednego metra blachownicy o długości L [m] najdłuższego przęsła można wstępnie oszacować z zależności $(\ref{1})$, ustalonej na podstawie projektów wielu zrealizowanych blachownic:

$$ \begin{equation} g=0,85(0,7 +0,1\cdot L) \label{1} \end{equation}$$

Obciążenie stale G działa na wszystkie przęsła, a obciążenie zmienne Q może działać tylko na niektórych przęsłach(np na rys. 5b pokazano obciązenie Q na 1-szym przęśle.

W przypadku belki n-przęsłowej liczba wszystkich możliwych schematów obciążeń $n_{schemat}$ wynosi:

$$ \begin{equation} n_{schemat}=2^n \label{2} \end{equation}$$

Na przykład dla belki 2-przęsłowej, pokazanej na rys. 5 mamy $2^2=4$ schematy= { 0 , 1 , 2 , 1+2}.

Spośród możliwych schematów obciążeń można wybrać do obliczeń tylko niektóre maksymalizujące siły przekrojowe w wybranych miejscach belki. W przypadku stosowania programów obliczeniowych wymagane są sprawdzenia wyrywkowe dla najbardziej niekorzystnych schematów oraz miejsc na blachownicy – inżynier nie powinien zdawać się w pełni na rozwiązania maszyny.

Zalecenia konstrukcyjne

Zalecenia konstrukcyjne dotyczą proporcji wymiarowych przekroju blachownicy, których zachowanie najczęściej zapewnia optymalne zużycie stali.

Wymiary środnika

Najczęściej przyjmuje się stałe po długości wymiary środnika $h_w$ i $t_w$.

Z doświadczenia wynika, że dla belek o długości maksymalnego przęsła $L$, w których ograniczono  ugięcia do $\cfrac{L}{250}$ wysokość środnika $h_w$ można wstępnie oszacować z warunków :

$$\begin{equation} h_w =  \begin {cases}
\left( \cfrac{1}{10} \div \cfrac{1}{20} \right ) \cdot L  & \textrm { dla belki wolnopodpartej} \\
\left( \cfrac{1}{16} \div \cfrac{1}{30}) \right) \cdot L & \textrm { dla belki ciągłej} \\
\end {cases} \label{3}\end{equation}$$

Z zadania minimalizacji masy przekroju otrzymujemy warunek:

$$\begin{equation} h_w \approx \alpha \cdot \sqrt{ \cfrac{M_{Ed,max}} { f_y / \gamma_{M0} \cdot  t_w} } \label{4} \end{equation}$$

gdzie:
$M_{Ed,max}$ – maksymalny po długości belki moment zginający przekrój. wywołany obciążeniami obliczeniowymi ,
$f_y $ – granica plastyczności stali (dla przekrojów hybrydowych dla pasów),  $\gamma_{M0}=1.0 $ – współczynnik materiałowy stosowany przy sprawdzaniu nośności przekroju.

$\alpha$- współczynnik  $=1,1$ dla belek o stałym przekroju w przęśle , $= 1,0$ dla belek o zmiennym przekroju.

Do wstępnych szacunków najczęściej przyjmuje się $ t_w \approx\cfrac {h_w}{100}$ lub $t_w \approx 7+ \cfrac{3 \cdot h_w}{1000}$.

Grubość środnika $t_w$ przyjmuje się wstępnie z warunków:

$$\begin{equation} t_w \begin {cases}
= \left( \cfrac{1}{90} \div \cfrac{1}{160} \right) \cdot h_w \\
\ge 7 \, mm & \textrm{ dla belek narażonych na wpływy atmosferyczne} \\
\ge 6 \,mm  & \textrm{ dla belek nie narażonych na wpływy atmosferyczne} \\
\le 40 (30) \, mm  & \textrm{ ze względu na ciągliwość  międzywarstwową –  stal S235 (S355) } \\
\end {cases} \label{5} \end{equation}$$

Dla znanych  długości efektywnych przęseł belki $L_{ei}$ , to znaczy odległości pomiędzy punktami zerowania się momentów zginających, wysokośc blachownicy sprawdza się z warunku $(\ref{3})$ dla  $L= max \{ L_{ei} \}$. W przypadku rygorystycznych wymogów dla granicznych ugięć należy przyjmować górne granice wysokości środnika.

Wymiary pasa

Szerokości pasów $b_f$ przyjmuje się w proporcjach

$$\begin{equation} b_f \begin {cases}
= \left( \cfrac {1}{3} \div \cfrac {1}{5} \right) \cdot h_w \approx \cfrac{1}{4} h_w \\
\ge 80 \, mm \\
\end {cases} \label{6} \end{equation}$$

Grubość pasów $t_f$:

$$\begin{equation} \begin {cases}
t_w+1 < t_f < 3,5 t_w \\
t_f \le 30 \, mm & \textrm { dla stali S355} \\
$t_f \le40 \, mm & \textrm {dla stali S235}
\end {cases} \label{7} \end{equation}$$

Pole przekroju pasa $A_f=b_f \cdot t_f$ można wyznaczyć z przybliżonej zależności wytrzymałościowej:

$$\begin{equation} A_f \ge \cfrac {M_{Ed}}{\chi \cdot f_{yt}(h_w-t_f) \gamma_{M0}} \label{8} \end{equation}$$

gdzie współczynnik wyboczenia bocznego $\chi=1,0$ dla belek zabezpieczonych przed zwichrzeniem.

Formułę $(\ref{9})$ uzyskano po potraktowaniu przekroju blachownicy jako przekroju dwupunktowego (przekrój sandwich złożony z dwóch pasów bez środnika (rys.5)

Rys.6. Blachownica o przekroju sandwich

Dla przekroju blachownicy (rys.6) z hybrydowymi pasami  mamy nośność:

$$\begin{equation} M_{f,Rd} = min \left [h_f \cdot A_{f1}\cdot \cfrac{f_{y1}}{\gamma_{M0}}, h_f \cdot A_{f2}\cdot \cfrac{f_{y2}}{\gamma_{M0}} \right ]\label{9} \end{equation}$$

Pas powinien spełniać warunki dla ścianki klasy 3 zgodnie z tabl. 5.2. [5], czyli tak aby ścianka pasa nie uległa utracie stateczności miejscowej:

$$\begin{equation} \lambda_f= \cfrac{c_f}{t_f}\le 14 \varepsilon \label{10} \end{equation}$$

gdzie: wysięg ścianki pasa $c_f= \cfrac{b_f-t_w-2 a_s}{2}$; $ a_s $ – grubość spoiny pasowej; $\varepsilon = \sqrt { \frac{235}{f_y}}$.

Przesunięcie $c$ praktycznego punktu zmiany sztywności i odsunięcie od żeber

Odsunięcie praktycznego punktu zmiany sztywności blachownicy w stosunku do punktu teoretycznego w kierunku mniejszego
wytężenia (zmniejszających się sił przekrojowych) przyjmuje się:

$$\begin{equation} c \ge \cfrac {b_f}{2} \label{11} \end{equation}$$

Ze względów technologiczno-konstrukcyjnych punkt zmiany sztywności powinien być odsunięty od żeber lub podpór o $c$

$$\begin{equation} c \ge \label{12} \begin {cases}
1 \, m & \text{od podpory}\\
200 \, mm \, i \, 20 \cdot t_w & \text{ od lica żeberka}
\end {cases} \end{equation}$$

W przypadku styku spawanego pasa o różnych grubościach, należy go sytuować blisko żebra w odległości

$$\begin{equation} c \ge \begin {cases}
200 \, mm\\
\cfrac {b_0}{2} \text{ od osi żebra poprzecznego}
\end {cases} \label{13} \end{equation}$$

gdzie $b_0$ jest odległością między żebrami podłużnymi, które w blachownicy bez  żeber podłużnych $b_o=h_w$.

Długości  $l_1$  odcinków blachownicy i liczba różnych przekroi

Ze względów technologiczno-ekonomicznych oraz konieczności typizacji przyjmuje się następujące ograniczenia:

Minimalna długość elementu blachownicy i nakładki na pas $l_1$

$$\begin{equation} l_1 \ge  2 \, m  \label{14}  \end{equation}$$

Liczba różnych przekroi na całej belce $n_b$ i w przęśle $n_1$

$$\begin{equation}  \begin {cases}
n_b \le 6 \\
n_1 \le 4
\end {cases} \label{15} \end{equation}$$

Kształtowanie blachownicy po długości

Zmianę przekrojów blachownicy dokonujemy z warunku dostosowania nośności belki do obwiedni sił przekrojowych. Zmianę sztywności blachownicy można uzyskać przez zmianę wymiarów środnika i/lub zmianę wymiarów pasów. W konstrukcjach budowlanych najczęściej dokonuje się zmiany grubości pasa t przy stałych wymiarach $h_w, t_w, b_f$.
Nad podporami środkowymi zwiększa się w niektórych przypadkach wysokość środnika (rys.4a). Ten zabieg należy skonfrontować z wymogami stateczności miejscowej.

Zmiany tylko grubości $t_f$ przy stałej szerokości pasa umożliwiają zastosowanie belek stropowych jednego typu. Przy pominięciu sił poprzecznych, teoretyczne punkty zmiany przekroju można wyznaczyć, jako punkty przecięcia obwiedni momentów zginających z obwiednią nośności. Obliczeniową nośność przekroju i-tego $M_{Ri}$ mierzoną  czystym momentem zginającym można wyznaczyć ze wzoru:

$$\begin{equation} M_{Ri}=W_i \cdot \frac {f_y}{\gamma_{m0}}  \label{16}  \end{equation}$$

gdzie: wskaźnik wytrzymałości przekroju $W_i= \cfrac {I_i}{(\frac {h_w}{2}+t_f)}$,
$ I_i$ – moment bezładności przekroju i-tego względem osi $y$, $f_y$ – granica plastyczności stali, $\gamma_{m0}=1$ – częściowy współczynnik bezpieczeństwa (materiałowy) przyjmowany przy sprawdzaniu nośności przekroju.

Rys.7. Graficzne kształtowanie blachownicy po długości: a) jednoprzęsłowej, b) ciągłej, dwuprzęsłowej: Wi – elementy (odcinki blachownicy) o nośności MRi (zmodyfikowane [6])

Nad podporą pośrednią nad belką (rys 8a) lub słupem (rys. 8b) o skończonej, rzeczywistej szerokości $b$ następuje ścięcie „ząbka” teoretycznego momentu zginającego $M$, co szacujemy w sposób pokazany na rys. 7c.  z następującej zależności:

$$\begin{equation} p=\cfrac{V}{b} \to \Delta M= p \cdot \cfrac {b}{2}\cdot \cfrac{b}{4}=p \cfrac{b^2}{8}= \cfrac{V b}{8} \label{17}  \end{equation}$$

Rys.8. Ścięcie $\Delta M$ momentu zginającego $M$ nad podporą pośrednią [7]-str. 724

Wstępny dobór punktów zmiany przekroju blachownicy możemy dokonać graficznie poprzez dopasowanie obwiedni nośności $M_{Rd}$ do obwiedni momentów zginających $M_{Ed}$.

W przypadku belki wolnopodpartej kształtowanie blachownicy przedstawiono na rys. 7a. Podstawowy przekrój blachownicy W1  ma nośność (9) $M_{R1}$ i przecina wykres momentów zginających $M_{Ed}$ w punkcie $1$ oraz $1’$. Punkty te są teoretycznymi punktami zmiany przekroju, w których należy zwiększyć przekrój do W2 do  nośności $M_{R2}$ na przykład poprze zmianę grubości pasa $t_{f2} > t_{f1}$.

W praktyce zmianę przekroju należy dokonać w pewnej odległości $c$ od punktu teoretycznego w kierunku mniejszych momentów zginających. Przesunięcie to należy wyznaczyć uwzględniając działanie sił poprzecznych oraz osłabienie przekroju łącznikami. Zaleca się, aby przesuniecie $c \approx \frac{b_f}{2}$.

W przypadku belek ciągłych dobór zmiany przekrojów po długości powinien uwzględniać obwiednie momentów zginających: momenty minimalne $M_{Ed, min}$ oraz maksymalne $M_{Ed,max} $ (rys, 6b) dla wszystkich możliwych schematów obciążeń. Przekrój podstawowy W1 można teoretycznie zastosować do punktu $1’$, a dalej aż do punktu $2’$  dajemy przekrój W2. Na odcinku maksymalnych momentów zginających stosujemy przekrój W3. Przy tym wstępny dobór przekroju W3 powinien przewidywać to, że nad podporą działają znaczne siły poprzeczne i przekrój blachownicy powinien mieć rezerwy – zalecamy, by wstępnie  powiększyć nośność czystego zginania o ok 20%.

Liczbę zmian przekrojów blachownicy przyjmuje się w taki sposób, aby na całej długości blachownicy nie było zbyt wiele róznych przekrojów (zwykle max 6), a także, aby długości poszczególnych odcinków pasów nie były mniejsze od ustalonej wartości, którą zwykle przyjmuje się równą 2 m. Punkty zmian przekroju nie powinny być przyjmowane zbyt blisko podpór (orientacyjnie dalej niż 1 m od podpory) i nie powinny wypadać zbyt blisko żeber (orientacyjnie dalej niż i 30 cm od żeberka). Na długości jednego prześlą liczba zmian przekroju nie powinna przekraczać 4, a liczba różnych przekrojów na całej belce nie powinna być większa od 6.

Na rys. 9a pokazano linie naprężeń w pasie górnym wykonanym z grubej blachy. Ze względu na niekorzystną pracę gubych blach zaleca się , by w potrzebie stosowania grubych pasów , wykonywać je z pakietu blach , w sposób pokazany na rys. 9b do e).

Rys. 9. Sposoby łączenia pakietu blach pasa [7]-str. 720

Spoiny łączące pakiet powinny być dobrej jakości, co łatwiej uzyskać w przypadku 9b) (spoiny podolne) niż 9c). Dla przypadku 9d) należy stosować brzegi blach do ułożenia spoin rowkowych.

W celu oszacowania odcinka pasa $l_0$ na którym można zastosować przekrój o nośności $M_R=M_0$ można skorzystać z zależności $(\ref{18})$:

$$\begin{equation}l_0=l \cdot \sqrt{1 – \cfrac{M_0}{M}} \label{18}  \end{equation}$$

gdzie: L- jest odległością pomiędzy miejscami zerowymi wykresu momentów zginających przęsła belki obciążonej zastępczym obciążeniem równomiernym z maksymalną, wywołującym maksymalny moment zginającym $M$. Dla belki swobodnie podpartej zobrazowano to na rys.10. Długość $L=L_e$ zgodnie z rys. 11.

Rys.10 Szacowanie długości pasa (nakałdki) [7]-str. 720

Weryfikacja projektu blachownicy

Blachownica zaprojektowana zgodnie z zasadami opisanymi w pk1.1.  powinna zostać zobrazowana na rysunkach ze szczególnym uwzględnieniem współdziałania z elementami dochodzącymi oraz spełnienia funkcji do jakiej jest przeznaczona.  Taki projekt zasadniczy podlega weryfikacji pod względem spełnienia wymogów szczegółowych.

W zakresie konstrukcyjnym należy dokonać weryfikacji obliczeniowej, przy czym należy odróżnić projekt od obliczeń statyczno- wytrzymałościowych, które stanowią czynności pomocnicze do wykonania projektu zasadniczego, a po jego zakończeniu  służą wyłącznie do weryfikacji przyjętych rozwiązań i powinny w zasadzie potwierdzać przyjętą koncepcję i projekt. Jeśli weryfikacja wykaże konieczność istotnych modyfikacji, to będzie to oznaczało, że projekt zasadniczy nie został wykonany poprawnie i nie najlepiej świadczy o inżynierze, który go wykonał. Drobne modyfikacje są natomiast normalne i przebiegają w procesie iteracyjnym aż do momentu, by wszystkie uwarunkowania w tym trwałość i niezawodność elementów została osiągnięta.

Ze względu na złożone formuły analityczne sprawdzenie projektu dokonuje się za pomocą programów lub Arkuszów obliczeniowych. W kolejnych punktach wypisano najważniejsze formuły i przybliżono rys teoretyczny w celu zilustrowania problemu, ale bez zakładania , że inżynier będzie te formuły wykorzystywał w obliczeniach ręcznych.

Projekt podstawowy powinien zostać uzupełniony o rozwiązania szczegółowe połączeń z otaczającymi elementami budowlanymi (np. podłączenia belek stropowych, łożyska), a także pomiędzy elementami wysyłkowymi blachownicy (połączenia technologiczne – montażowe). Współcześnie w związku z wyraźnymi rozdzieleniem roli Projektanta i Wykonawcy, dokumentację podziału na elementy wysyłkowe oraz połączeń technologicznych (styków montażowych) opracowuje Wykonawca i przestawia Projektantowi do zatwierdzenia.

Efekt szerokiego pasa

W przypadku zastosowania  szerokich pasów blachownic $b_f$ wystąpi  w nich nierównomierny rozkład naprężeń normalnych, co zgodnie z [8] może zajść dla szerokości wystającej części pasa blachownicy (rys.1) $b_o= \cfrac{b_f-t_w}{2}$ przy warunku:

$$\begin{equation} b_0 > \cfrac{L_e} {50} \label{19}  \end{equation}$$

Z analizy zrealizowanych obiektów wynika, że optymalne projekty blachownic uzyskuje się wówczas, gdy efekt szerokiego pasa nie wystąpi.

W celu oceny warunku (10a) należy określić długość efektywną belki $L_e$, która  jest odległością pomiędzy punktami zerowego momentu zginającego. W przypadku, gdy długość przęseł nie różnią się więcej niż o 50%, a ewentualny wspornik nie przekracza połowy przęsła sąsiedniego, to można korzystać z rys. 10a. W przypadku belki o równych długościach przęseł $L$, mamy: dla przęsła skrajnego $L_e=0,85L$, dla przęsła pośredniego $L_e=0,70 L$, nad podporą $L_e=0,25(L+L)=0,5 L$.

Rys. 11. Sposób wyznaczania efektu szerokiego pasa: a) długości efektywne, b) współczynniki szerokości efektywnej  [8] – rys.3.1.

Dla $L_e=0,85L$ z $(\ref{19})$ otrzymujemy wartość graniczną:

$$\begin{equation} b_{lim} \approx \cfrac{L}{30} \label{20}  \end{equation}$$

W przypadku zaprojektowania przekroju zgodnie z zaleceniami ($b_f= \frac{1}{4} h_w$ –  nawet dla $h_w=\frac{L}{10}$ mamy $b_f =\frac{L}{40}$, czyli pas jest węższy od wartości granicznej i wówczas efekt szerokiego pasa można pominąć.

Jeśli warunek $( \ref{20})$ nie jest spełniony w danym przęśle, to efekt szerokiego pasa należy uwzględnić w tym przęśle po spełnieniu warunków zgodnie z kl. 3 [8],  a w szczególności zmęczenie i stan graniczny użytkowalności należy sprawdzać zgodnie z kl. 3.2.1 i 3 i 3.2.3, a stan graniczny nośności z  postanowieniami kl. 3.3. [8].

W niniejszym artykule zajmujemy się optymalnymi blachownicami, w których nie wystąpi efekt szerokiego pasa.

Nośność przekroju blachownicy winna być sprawdzona w przekrojach krytycznych: 1) w miejscu skoku sił : pod każdą silą siłą skupioną ( w tym nad podporami), 2) w punktach ekstremów  lokalnych sił przekrojowych (M, V, N), 3) w punktach zmiany sztywności blachownicy (zmiany przekroju).

Proste zginanie

Nośność przekroju w licu żeber powinna być sprawdzona z podstawowego warunku prostego zginania [8]:

$$\begin{equation} M_{Ri} \le M_{Edi} \label{21}  \end{equation}$$

gdzie:
$M_{Edi}$ – obliczeniowy  moment zginający przekrój i-ty,
$M_{Ri}=M_{pl,Rd}$ – obliczeniowa nośność przy zginaniu, traktowana jako nośność plastyczna przekroju złożonego z efektywnych części pasów oraz w pełni efektywnego środnika, niezależnie od jego klasy przekroju (7.1 (1) [8]).

Sprawdzenie  (12)  należy traktować jako wstępne sprawdzenie nośności tylko na dominującą siłę przekrojową. Przekroje w odległości $\frac{h_w}{2}$ od podpór i w odległości $15 t_w$ od innych żeber lub w miejscach dużych sił poprzecznych poza obszarem stosowania żeber należy sprawdzić na współdziałanie zginania i ścinania zgodnie z pkt. 2.2.2.

Proste ścinanie

Warunek nośności przekroju ścinanego siłą $V_{Ed}$ ma postać ( przekształcone (5.10)[8]):

$$\begin{equation} V_{Ed} \le V_{b,Rd} \label{22}  \end{equation}$$

gdzie nośność przekroju na ścinanie  $V_{b,Rd}$ wyznacza się jako sumę nośności środnika $V_{bw,Rd}$ i pasów $V_{bf,Rd}$ z ograniczeniem do $V_{b,Rd,lim}$:

$$\begin{equation} V_{b,Rd}=V_{bw,Rd}+ V_{bf,Rd} \le V_{b,Rd,lim} \label{23}  \end{equation}$$

Udział  pasów w nośności przekroju na ścinanie uwzględnia się tylko wówczas, gdy pas ma zapasy nośności  przy zginaniu, tzn gdy:

$$\begin{equation} M_{f,Rd}>M_{Ed} \label{24}  \end{equation}$$

gdzie: $M_{f,RD}$ – obliczeniowa nośność przy zginaniu przekroju złożonego wyłącznie z efektywnych pasów (przekrój sandwich), którą należy wyznaczać z formuły $(\ref{25})$.

Dla dwuteownika bisymetrycznego ($A_{f1}=A_{f2}$) i pasów klasy 3, wykonanych z takiej samej stali ($f_{y1}=f_{y2}=f_{yf}$), mamy:

$$\begin{equation} M_{f,Rd} = b_f \cdot t_f \cdot h_f\cdot f_{yf} \label{25}  \end{equation}$$

gdzie: $h_f=h_w+t_f$

Ograniczenie górne nośności na ścinanie wynosi:

$$\begin{equation} V_{b,Rd,lim}= \cfrac{\eta f_{yw} h_w t_w}{\sqrt {3} \gamma_{M1}} \label{26}  \end{equation}$$

Parametr $\eta$ przyjmuje wartości:

$$\begin{equation} \eta= \begin {cases}
1,20 & \text{ dla stali gatunków nie lepszych od S460} \\
1,00 & \text { dla stali gatunków powyżej S460}
\end {cases} \label{27} \end{equation}$$

gdzie:
$f_{yw}$ – granica plastyczności stali środnika,
$\gamma_{M1}=1,0$ – współczynnik materiałowy przy sprawdzaniu elementów przekroju.

Udział pasów w nośności na ścinanie , wyznaczony z teorii nośności granicznej (pokazano to  w pkt.2.3.3) można wyznaczyć ze wzoru

$$\begin{equation} V_{b,f,Rd}= \cfrac{b_ft_f^2 f_{yf}}{c\gamma_{M1}} \left [ 1- \left (\cfrac{M_{Ed}}{M_{f,Rd}} \right)^2 \right] \label{28}  \end{equation}$$

gdzie: $b_f$ i $t_f$ – wymiary pasa o mniejszej nośności na rozciąganie, przy czym $b_f$ jest szerokością efektywną pasa, ograniczoną z każdej strony środnika do wartości $15\varepsilon t_f$,
$ c= a \cdot \left ( 0,25+\cfrac{1,6 b_f t_f^2 f_{yf}}{t_w h_w^2f_{yw}}\right ) $ – odległość przegubu plastycznego w pasie od żebra, $a$ -szerokość pola miedzy żebrami poprzecznymi.

Udział środnika w nośności obliczeniowej na ścinanie wynosi:

$$\begin{equation} V_{bw,Rd}=\cfrac{\chi_w f_{yw}h_w t_w}{\sqrt{3} \gamma_{M1}} \label{29}  \end{equation}$$

Współczynnik niestateczności przy ścinaniu środnika $\chi_w$ w przypadku środników użebrowanych przynajmniej na podporach można przyjmować wg rys. 8 dla smukłości względnej środnika

$$\begin{equation} \overline \lambda_w= 0,76 \sqrt{\frac{f_{yw}}{\tau_{cr}}} \label{30}  \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation} \tau_{cr}= k_\tau \cdot \sigma_E \label{31}  \end{equation}$$

$$\begin{equation} \sigma_E= \cfrac{\pi^2 Et_w^2}{12(\nu h_w^2}=190000(\cfrac{t_w}{h_2})^2 [MPa]\label{32}  \end{equation}$$

$k_\tau$ – minimalny parametr niestateczności panelu środnika przy ścinaniu, zależny od sposobu użebrowaniu środnika. Procedura wyznaczenia $min k_\tau$ jest złożona i opisana w (3), (4) 5.3 [8].

Gdy żebra poprzeczne występują wyłącznie na podporach, to (wzór 5.5  [8]):

$$\begin{equation} \overline \lambda_w=\cfrac{h_w}{86,4 t_w \varepsilon} \label{33}  \end{equation}$$

Gdy oprócz żeber na podporach występują żebra pośrednie – poprzeczne, podłużne lub obu rodzajów, to (wzór 5.6  [8])

$$\begin{equation} \overline\lambda_w=\cfrac{h_w}{37,4 t_w \varepsilon} \sqrt{k_\tau} \label{34}  \end{equation}$$

Rys.12. Współczynnik niestateczności środnika  (zmodyfikowany rys. 5.2. [8]

Formuły analityczne na współczynniki niestateczności przy ścinaniu środników zobrazowane na rys.11, są następujące:

$$\begin{equation} \chi_w=\begin {cases}
\eta & \text{ dla  $ \overline \lambda_w < \cfrac{0,83}{\eta} $} \\
\cfrac{0,83}{\overline \lambda_w} & \text{ dla $ \cfrac{0,83}{\eta} \le \overline \lambda_w <1,08 $}\\
\cfrac {1,37}{0,7+\overline \lambda_w}  & \text{ dla sztywnego żebra podporowego  i  $\overline \lambda_w \ge 1,08$}\\
\cfrac{0,83}{\overline \lambda_w} & \text{ dla podatnego  żebra podporowego  i  $\overline \lambda_w\ge 1,08$}\\
\end {cases} \label{35} \end{equation}$$

gdzie $\eta$ wg $(\ref{27})$.

Nośność środnika pod siłą skupioną

Warunek nośności środnika przy obciążeniu poprzeczną siłą skupioną ma postać:

$$\begin{equation} \cfrac{F_{Ed}}{F_{b,Rd}} \le 1,0\label{36}  \end{equation}$$

gdzie: $F_{Ed}$ – obliczeniowa siła skupiona, $F_{b,Rd}$ – obliczeniowa nośność pod siłą skupioną.

Nośność środnika pod siłą skupioną $F_{b,Rd}$ wyznacza się przy założeniu, ze pas ściskany (najczęściej górny) jest stężony w kierunku bocznym, czyli w sytuacji, gdy blachownica nie ulegnie zwichrzeniu (tab.1, poz. 2).  Na rys. 13 przedstawiono rozpatrywane typy obciążenia:

• obciążenie przyłożone do pasa przenoszone prze siły poprzeczne w środniku ( typ a),
• obciążenie samozrównoważone – obustronne ściskanie środnika ( typ b),
• obciążenie pasa przy nieużebrowanym końcu elementu wspornikowego ( typ c).

Rys. 13 Parametry niestateczności dla różnych typów obciążenia [8]

Obliczeniową nośność środnika z żebrem lub bez żeber, ze względu na niestateczność pod siłą skupioną,  wyznacza się z formuły:

$$\begin{equation} F_{b,Rd}= \cfrac{{f_yw }L_{eff} t_w}{\gamma_{M1}} \label{37}  \end{equation}$$

gdzie:
efektywna długość środnika przy obciążeniu skupionym $L_{eff}=\chi_F \lambda_y$,
współczynnik wyboczenia przy obciażeniu skupionym$\chi_F= \cfrac {0,5}{\overline \lambda_F}<1.0 $,
smukłość względna środnika przy obciążeniu skupionym $\overline\lambda_F= \sqrt{\cfrac{\lambda_y t_w f_{yw}}{F_{cr}}},
siła krytyczna skupiona $F_{cr}=0,9 \cdot k_F \cdot E \cfrac{t_w^3}{h_w},
parametr niestateczności $k_F$ wg rys.10,.

Parametr $\lambda_y$  wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} \lambda_y= \begin {cases}
s_s+2t_f (1+\sqrt{m_1+m_2}) \le a & \text{przy obciążeniu typu a) i b)/ } \\
\lambda_e +t_f \cdot min \{ \sqrt{\frac{m_1}{2}+(\frac{\lambda_e}{t_f})^2+m_2}; \sqrt{m_1+m_2} \} & \text{przy obciążeniu typu c)/ }
\end {cases} \label{38} \end{equation}$$

gdzie $\lambda_e=\cfrac{k_F \cdot E t_w^2}{2 f_{yw}h_w}\le s_s+c$

Interakcja zginania i ścinania

Zgodnie z 7.1 (2) [8] warunek interakcji zginania i ścinania należy sprawdzać  w przekrojach, znajdujących się w odległości nie mniejszej niż $\frac{h_w}{2}$ od podpory z żebrami pionowymi. Spośród tych przekroi należy wyselekcjonować te,  w których działa duża obliczeniowa siła poprzeczna $V_{Ed}$ przekraczająca 50%  nośności plastycznej środnika przy ścinaniu $V_{bw}$ (krzywa A-C na rys.9). Tylko w tych przekrojach wymagane jest sprawdzenie interakcji zginania i ścinania,  które dokonuje się z warunku (przekształcone (7.1) [8]):

$$\begin{equation} M_{Ed} \le M_{f,Rd}+ (M_{pl,Rd} – M_{f,Rd} ) \left [ 1-\left ( \cfrac{2V_{Ed}}{V_{bw,Rd}}-1 \right )^2 \right ] \label{39}  \end{equation}$$

gdzie:  $V_{bw,Rd}$,
$ M_{f,Rd}$ – obliczeniowa nośność przekroju złożonego wyłącznie z pasów (przekrój sandwich).  Określa ona górną granicę zakresu w punkcie B na rys. 14. W przypadku, gdy pas nie jest stężony, to należy uwzględnić stosowny współczynnik niestateczności, a w przypadku, gdy pas moze utracić stateczność miejscową (np efekt szerokiego pasa), to należy uwzględnić szerokość efektywną ( z pominięciem obszarów wyboczonych) w klasyczny sposób.
$ M_{pl,Rd}=M_{f,Rd}+M_{pl,w,Rd}=b_f \cdot t_f \cdot (h_w+t_f)\cdot f_{yf}+\cfrac{t_w h_w^2}{4}\cdot f_{yw}$ – nośność plastyczna całego przekroju liczona z pominięciem efektu  klasy ścianek (jak dla klasy 1).

W obszarze małych momentów zginających ( krzywa A-B na rys. 14), definiowanego dla wartości momentu zginającego $ M_{Ed} \le M_{f,Rd}$ siła poprzeczna $ V_{Ed}$ jest ograniczona do wartości  „tylko środnik”, tj do $V_bw,Rd$.

Rys. 14 Interakcja nośności na ścinanie i zginanie [4] (Interakcja w metodzie kratownicowej (pola ciągnień)

Stateczność blachownicy

Typy niestateczności blachownicy

W tab.1 zestawiono typy niestateczności (wyboczenia) blachownicy. Dotychczas omówiliśmy zagadnienie niestateczności środnika (poz 1  w tab.1 )

Tab.1. Typy niestateczności (wyboczenia) blachownicy [4]

Rys. 15 Typy niestateczności środnika: a) od ściskania, b) od ścinania, c) od docisku, d) interakcja  [7]-str. 408

Poszczególne typy niestateczności panelu środnika charakteryzuje specyficzna forma wyboczenia płyty (rys. 15): a) wyboczenie pod wpływem ściskania powodują poziome wybrzuszenia na w poziomej osi obciążenie, b) wyboczenie pod wpływem ścinania powodują ukośne wybrzuszenia, c) wyboczenie pod wpływem ściskania powoduje pojawienie się poziomych wybrzuszeń pod obciążeniem. Działanie jednoczesne ściskania$\sigma_x$, ścinania $ \tau$ oraz docisku $\sigma_y$ podlega interakcji, pokazanej na rys. 15 d).

Nośność nadkrytyczna i metoda przekroju efektywnego

Płaska ścianka płytowa wykazuje nośność znacznie przewyższającą klasyczną nośnością krytyczną, wynikającą z teorii wyboczenia sprężystego (teorii bifurkacyjnej lub Eulera). Zjawisko to nazywane jest nośnością nadkrytyczną. Inżynierska teoria nośności nadkrytycznej w uproszczeniu zakłada, że z całego przekroju płyty wyłącza się części środkowe(rys. 16a), a do pozostałych  części, przylegających do krawędzi usztywnień przykłada się w sposób równomierny naprężenie pozostające w równowadze z całkowitym obciążeniem. Prowadzi to do zadania wyznaczenia przekroju efektywnego, złożonego z części płyty o szerokościach $b_{eff}$ (rys.16b).

Rys. 16. Nosność nadkrytyczna płyty: a) model rzeczywisty, b) model efektywny (ścianki współpracujące)

Niestateczność typu płytowego

Redukcja przekroju złożonego z płyt ściskanych do przekroju efektywnego, powinna być prowadzona iteracyjnie, wychodząc z rozkładu naprężeń dla przekroju oryginalnego (niezredukowanego).  W normie [8] podano przybliżone formuły  do wyznaczenia szerokości efektywnych (współpracujących ścianek płyt wspornikowych (Typ W) zestawiono w tab.2, a ścianek płyt przęsłowych (Typ P – panele podparte na dwóch krawędziach) w tab.3.

Tab.2. Szerokość efektywna ścianek wspornikowych płyt (Typ W) [8]

Tab.3. Szerokość efektywna ścianek przęsłowych płyt (Typ P) [8]

Szerokość efektywną (współpracującą) ścianki $b_{eff}$ zgodnie z [8] wyznaczamy z prostej formuły:

$$\begin{equation} b_{eff}=\rho \overline b \label{41}  \end{equation}$$

gdzie szerokość miarodajna ścianki $\overline b$ jest równa   wysokości środnika w świetle spoin $ h_w-2\cdot a_s$, lub szerokości wspornikowej części pasa $c=\frac{1}{2}(b_f-t_w)-a_s$  ($a_s$ – grubbość spoiny pasowej.

Wyznaczenie  współczynnika redukcyjnego niestateczności ścianki $\rho$  jest dosć żmudne i dokonuje się w zależnosci od względnej smukłości płytowej ścianki  $\lambda_p$, która zgodnie z zasadą dla naprężenia krytycznego płytowego $\sigma_{cr,p}$, wynosi  :

$$\begin{equation} \overline \lambda_p=\sqrt{\cfrac{N_R}{N_{cr}}}\sqrt{\cfrac{A_c f_y}{A_c \sigma_{cr,p}}}=\sqrt{\cfrac{f_y}{\rho\sigma_{cr} }} \label{42}  \end{equation}$$

Po uwzględnieniu tego, że sprężyste naprężenia krytyczne płytowe $\sigma_{cr,p}$ wynoszą

$\sigma_{cr,p}=k_\sigma \cdot \sigma_E= k_\sigma \cfrac{\pi^2 E}{12 (1-\nu^2)} (\frac{t}{\overline b})^2$

gdzie $k_\sigma$ jest współczynnikiem wyboczenia,obliczanym na podstawie tab  2 i 3.

Dla  $E= 210 GPa$, $\nu=0,3$ i współczynnika materiałowego $\varepsilon= \sqrt{ \frac{235}{f_y}}$   otrzymujemy:

Dla $\overline \lambda_p \le \overline \lambda_{p,lim}$ współczynnik redukcyjny $\rho=1,0 $

a dla większych smukłości ścianki wyznacza się z zależności:

gdzie $\overline \lambda_{p.lim}$  oraz $A_p$ zależy od typu panelu (Typ W lub P wg tab 2 i 3):

dla typu P  $A_p=0,055(3+\psi) \ge 0$, $\overline \lambda_{p.lim}=0,673 $

dla typu W $A_p = 0,188 $ , $\overline \lambda_{p.lim}=0,748 $

Rzeczywista niestateczność panela płyty najczęściej jest typu mieszanego typu płytowo-prętowego, czyli znaduje się pomiędzy dwoma ekstremalnymi sytuacjami opisanymi w pkt 3.2.1. i 3.2.2.  Rczeczxywisty współczynnik redukcyjnyc $\rho_c$ znajudje się pomiędzy wspólczynnikiem redukcyjne (wyboczenia): typu płytowego $\rho$ oraz słupowego $\chi_c$ : $\chi_c \le \rho_c < \rho$ i może być interpolowane gosnie  rys.18 z zalezności:

Rys. 18.Interpolacja pomiędzy niestatecznością typu płytowego i prętowego

Pola ciągnień i nośność nadkrytyczna

Podstawową współczesną teorią nośności smukłych środników blachownic: jest teoria pola ciągnień i nośności pokrytycznej środnika.

Zjawisko to zostało przedstawione w Polsce w pracy [10], poprzedzającej rozprawę habilitacyjną [11]. Rys historyczny i wybrane wyniki badań zmierzające do określenia nachylenia zastępczych krzyżulców (pola ciągnień),  przedstawiono na rys.19.

Rys. 19 Wybrane badania pola ciągnień: a) kryterium płynięcia Misesa, b) kryterium płynięcia Treski, c) dwa alternatywne pola ciągnień, d) blachownica aluminiowa, s) belka jednoprzęsłowa, f) belka zabezpieczona przed obrotem, s)f) sprężyste stężenia [12]

Badania prowadzone w latach 1961-1971, doprowadziły do ujęcia metody w rozdz. 5.2. [8] i sformułowania formuł obliczeniowych

Panele środnika blachownic  po utracie stateczności  są w stanie wytrzymać obciążenia znacznie przekraczające początkowe obciążenie krytyczne. W panelu dźwigara ograniczonym żeberkami po wyboczeniu tworzą się  tak zwane ” pola ciągnień”, pokazane na rys. 20.

Rys. 20 Pola ciągnień w stanie pokrytycznym środnika [4]

Pole ciągnień wywołuje zmiany mechanizmu pracy dźwigara upadabniając jego pracę do pracy kratownicy zastępczej.  Pasy kratownicy zastępczej to pasy blachownicy, słupki kratownicy to żeberka, a krzyżulce to właśnie utworzone w środniku blachownicy pola (pasy) ciągnień. Kratownicę zastępczą pokazano na rys.21.

Rys. 21 Analogia kratownicowa nośności blachownicy: a) pole (pas) ciągnień; b) zastępcza kratownica Pratta lub typu N [4]

Rys. 22. Mechanizm zniszczenia środnika blachownicy: a) stan przedwyboczeniowy, b) stan pokrytyczny, c) mechanizm zniszczenia pasów [4]

Nośność blachownicy mierzona siłą poprzeczną  $V_{b,Rd}$  jest sumą  nośności środnika $V_{bw,Rd}$ (rys. 16a+b) i pasów $V_{bf,Rd}$ (rys. 16c).

Nośność środnika $V_{bw,Rd}$ w formie zgodnej z normą [8]  może być zapisana w postaci [4] poprzez sumę sprężystej nośności krytycznej (rys. 14a) $V_{b,Rd,cr}$ i nośnosci pokrytycznej $V_{b,Rd,pcr}$ , wynikającej z pasa ciągnień (rys. 14b):

$V_{bw,Rd}=V_{bw,Rd,cr}+V_{bw,Rd,pcr}$ $V_{bw,Rd,cr}= \cfrac {h_w \cdot t_w \cdot \tau_{bb}} {\gamma_{M1}}$ $V_{bw,Rd,pcr}= 0,9 \cdot g \cdot t_w \cdot \cfrac{\sigma_{bb}} {\gamma_{M0}} sin \varphi $,

(36)

gdzie zgodnie z  rys. 14b: $g = h_w cos \varphi – (a – s_c – s_t) sin \varphi$, a $s_c$ i $ s_t$  określają położenie przegubów plastycznych w pasach.  Położenie przegubów jest wyznaczane jako położenie maksymalnego momentu zginającego belkę , to znaczy dla punktu zerowego ścinania, jak następuje[13]:

$S= \frac{2}{sin \Phi} \sqrt{\frac {M_{f,Rk}}{t_w} \sigma_{bb}} \le a$,

(37)

gdzie $M_{f,Rk}$ jest nośnością charakterystyczną pasów.

Pole ciągnień (rys. 14b) jest rozwijane przy nachyleniu $\Theta$ do poziomu.  Dalszy wzrost obciążenia prowadzi do uplastycznienia pasów przez naprężenia $\sigma_{bb}$, określone z hipotezy Hubera-Misesa [13]:

$ \sigma_{bb}=\frac{1}{2}\sqrt {f_{yw}^2-3\tau_{bb}^2+\Phi^2}-\Phi $,

(38)

gdzie wprowadzono parametr pomocniczy $\Phi=1,5 \tau_{bb} sin 2 \varphi$

Na rys. 16a zilustrowano sytuację przedwyboczeniową, którą reprezentuje pierwszy człon w równaniu (24). Sprężyste naprężenia krytyczne $\tau_{bb}$ (20) są wyznaczane wg sprężystej teorii wyboczenia , w sposób przedstawiony na rys.23.

Rys.23 Sprężyste naprężenia krytyczne w panelu środnika [4]

dla  $\overline \lambda_w <0,8$  $ \to \tau_{bb}=\cfrac{f_{yw}}{\sqrt{3}}$  (krępy środnik na odcinku A-B), dla  $ 0,8 < \overline \lambda_w < 1,25 $ $\to \tau_{bb}= [1 – 0,8 ( \overline \lambda_w – 0,8)] \cdot \cfrac {f_{yw}}{\sqrt{3}}$ (średni środnik na odcinku B-C), dla  $\overline \lambda_w \le 1,25 $  $ \to \tau_{bb}=\cfrac {1} {\overline \lambda_w^2} \cfrac {f_{yw}}{\sqrt{3}}$  (smukły środnik na odcinku C-D).

(39 a,b,c)

gdzie:
$f_{yw}$ – granica plastyczności stali środnika $ (w)$,
$\overline \lambda_w= \cfrac{\lambda_w} {\lambda_1} $ – smukłość względna środnika, będąca stosunkiem smukłości $\lambda_w= \frac{h_w}{t_w}$ oraz smukłości względnej $\lambda_1 $ zależnej od wytrzymałości stali środnika wg [5].
Smukłość porównawczą wyznacza się w sposób klasyczny,  analogicznie jak w przypadku innych postaci wyboczenia.

Wszystkie zmienne wymagane przy do oszacowania nośności środnika (17) łącznie z kątem $\varphi$ nie są znane. Kąt $\varphi$ nie może być wyznaczony bezpośrednio, tylko w procedurze iteracyjnej, powtarzanej dopóty, dopóki nie uzyskamy $\varphi$ zapewniającego maksymalną nośność na ścinanie $ V_{bb,Rd}$. Zbieżność procesu nie jest szybka. Prawidłowa wartość $\varphi$ zawiera się pomiędzy $\frac {\Phi}{2}$ (minimum – rys. 24a), a $\Phi$ (maksimum- rys 24b). Studium przeprowadzone przez [5] dla zwykłych proporcji blachownic wskazuje, że maksymalna nośność na ścinanie jest uzyskiwana dla:

$\varphi \approx \frac{\Phi}{1,5}$

Przyjęcie takiej wartości $\varphi$ może dać prawidłowe oszacowanie nośności$ V_{bb,Rd}$, a w każdym razie oszacowanie bezpieczne i jest dobrą wartością startową do iteracji.

Rys. 24. Graniczne przypadki kąta $\varphi$: a) minimum – ciągnięcia „tylko w środniku” , b) maksimum – ciągnięcia „całego panela”[4]

Zwichrzenie blachownicy

Wyboczenie boczne nazywane w polskiej literaturze zwichrzeniem zostało zobrazowane w wierszu  2 tab 1.  Zwichrzenie jet przedmiotem pkt 6.3.2 normy [5] i podstawową  wielkoscią umożliwiająca klasyczną analizę jest moment krytyczny $M_{cr}$, który wraz z pwoszechnym dostępem do szybkich programów na licencji free należy wyznaczać numerycznie. Tradycyjne analizy i wzory straciły na znaczeniu. Do analizy wyboczenia bocznego belek stosuje się  program LTBEAM (licencja free), a do znalizy ram program Consteel (komercyjnyc).

Żebrowanie środnika

Środnik blachownic można żebrować poprzecznie żebrami pionowymi 1, 3 lub podłużnie żebrami poziomymi 2 (rys.25). Najczęściej stosuje się żebra poprzeczne, standardowo pod każda siła skupioną , w tym nad podporami. żebra podłużne są stosowane w ściskanej strefie środnika w przypadku potrzeby podwyższenia nośności środnika – powodują one jednak wzrost pracochłonności wykonania środnika, dlatego w takich przypadkach najczęściej zwiększa się nieco (np o 1 mm) grubość środnika bez żebrowania podłużnego.

Rys. 25 Typy żeber środnika blachownicy: 1,3 -poprzeczne, 2- podłużne (zmodyfikowany rys. 5.3. [8]

Rozróżnia się żebra podporowe (nad podporą) lub pośrednie (pomiędzy podporami). Ważnym pojęciem są żebra sztywne oraz żebra podatne. Nie podano jednoznacznie granicy dla której żebro podatne staje się sztywnym. Można jednak wnosić, że kryterium takim jest kryterium konstrukcyjne (wymiarów żebra).

 Do pasa ściskanego żebro usztywniające mocuje się bezpośrednio spoinami pachwinowymi. Połączenie z pasem rozciąganym należy konstruować w sposób pokazany na rys.27.

Rys.26 Połączenie żeber rozciąganych w strefie rozciągania [14]-str. 365

Rys.27 Kształtowanie żeber przy pasie rozciąganym: ścięcia proste ok 3 $a_s$, b) ścięcie podłużne z podkąłdką, c) ścięcie podłużne ze szparą 2 mm, d) krótkie zebra [7]-str. 722

Żebra podłużne

Żebrowanie podłużne blachownicy (np żebro 2 na rys. 18) może być wykonane w sposób pokazany na rys. 30.

Rys. 30 Pole przekroju współpracującego zginanej, użebrowanej podłużnie ścianki [8]

Sprawdzanie nośności żeber podporowych

Żebra podporowe podatne

Na rys. 31 pokazano typowe podporowe żebro nad podporą pośrednią blachownicy. Zgodnie z rys. 29 efektywna część środnika wynosi $b_{ws}=15\varepsilon t_w$,  gdzie współczynnik klasy stali $ \varepsilon= \sqrt{ \frac{235}{f_y}}$.

Rys. 31 Żebro nad podporą pośrednią [15]

Cechy geometryczne efektywnego przekroju żebra wynoszą:

Stateczność żebra przy wyboczeniu giętnym z płaszczyzny środnika sprawdza się w sposób klasyczny.

Długość wyboczeniowa żebra $L_{cr}$ i smukłość względna $\overline \lambda_z$, gdy oba pasy są stężone w kierunku bocznym wynoszą:

Współczynnik wyboczeniowy $\chi_z$ wyznacza się z ogólnych zależności dla smukłości (24d). Smukłość (24d) często jest $\overline \lambda_z <0,2$, a wówczas$\chi_z=1,0$.

Nośność na wyboczenie żebra sprawdza się z klasycznej zależności:

Sprawdzeniu podlega wyboczenie skrętne żebra w sytuacji, gdy pracuje tylko jeden płaskownik żebra ( zjednej strony środnika) z warunku:

Nośnośc żebra na docisk wyznacza się dla powierzchni żebra $A_b=2t_s\cdot (b_s-a_s)$z uwzględnieniem (pominięciem) ich ścięcia $a_s$ w styku pasa ze środnikiem. Przyjmuje się, że żebra przenoszą częśc obciążeń poprzecznych wynikjacą z ich nośności przez docisk:

Pozostała część przenoszona jest przez środnik. Zredukowane obciążenie poprzeczne środnika wynosi:

gdzie V_{Ed} jest reakcją podpory.

Sprawdzenie nośności środnika na interakcję momentu zginajacego i siły poprzecznej sprawdza się wg () dla zredukwoanej siły (27).

Sprawdzanie nośności żebra pośredniego

Żebro poprzeczne pośrednie wymiaruje się jako ściskany i zginany pręt z wstępną imperfekcją geometryczną zgodnie z ogólnymi zasadami przedstawionymi na trys. rys.32. Różnica w stosunku do sprawdzania nośności żeber skrajnych zawiera się głównie w tym, że żeber skrajnych nie obciąża się siłami imperfekcji.

Rys.32 Model obliczeniowy żebra pośredniego kratownicy: a) schemat statyczny, b) obciążenie od pola ciagnień 

Zalecaną metodą ogólną jest metoda imperfekcyjna [2], to znaczy wyznaczenie sił w procedurze II rzędu po obciążeniu pręta obciążeniami równoważnymi od imperfekcji i sprawdzenie naprężeń wywołanych siłami drugiego rzędu bez wyznaczania współczynników wyboczeniowych ( w tym skrętnych i bocznych – zwichrzenia). Sprawdzenia maksymalnych naprężeń normalnych w przekroju żebra $\sigma_{z, max}$ i ugięć dokonuje się z zależności (24)

W przedkrytycznej fazie pracy blachownicy  naprężenie $\sigma_z$ są efektem działania obciążenia rozłożonego od imperfekcji, działającego poprzecznie na słupek kratownicy zastępczej (żebro):

gdzie $w_0$ – strzałka wygięcia wstępnego (imperfekcja) pręta; $w_{el}$ – strzałka ugięcia żebra, która zwykle przyjmuje się jako maksymalną dopuszczalną $w_{el}=\frac{b}{300}$,
$\sigma_{cr,c}$ – sprężyste naprężenie krytyczne ścianki nieużebrowanej przy niestateczności typu prętowego,

$\sigma_{cr,p}$ – sprężyste naprężenie krytyczne ścianki nieużebrowanej przy niestateczności typu płytowego.

Po przejściu kratownicy do stanu nadkrytycznego w żebrze, stanowiącym słupek kratownicy zastępczej uaktywnia się siła podłużna $N_{st}$ (rys.19b). Siłę $N_{st}$ wyznacza się

Żebra w załamaniach pasów

W załamaniach pasów należy umieszczać żebra i dobierać je na siły, stanowiące wypadkową nośności zbiegających się pasów w sposób pokazany na rys. 33.

Rys.33 Kształtowanie i obliczanie żeber w załamaniach pasów [7]-str. 724

Sprawdzenie przemieszczeń blachownicy

Sprawdzenie stanu granicznego  użytkowania  w  belkach stropowych polega  na  sprawdzeniu,  czy  jest  zachowany warunek

gdzie  \delta  strzałka  ugięcia  belki wywołana obciążeniami charakterystycznymi ,  \delta_{dop} akceptowana strzałka ugięcia.

Oryginalna norma  EN 1993-1-1 nie określa granicznych wartości ugięć i przemieszczeń elementów. Zamiast tego zawarto zalecenie, że kryteria stanu granicznego użytkowalności, w tym graniczne wartości ugięć i przemieszczeń powinny zostać uzgodnione z inwestorem. Ponadto kryteria dotyczące granicznych wartości ugięć i przemieszczeń7powinny być tak dobrane, żeby zapewniały komfort użytkowania obiektu, funkcjonalność itp.  Co prawda w załączniku krajowym do normy [5] zdefiniowano graniczne ugięcia normowe, ale są to tylko zalecenia, a nie bezwzględne wymogi:

Często graniczne ugięcia powinny być jeszcze mniejsze. Na przykład zgodnie ze „starą” normą PN/B-03200 obowiązywały ograniczenia:
dla  stropów i pomostów obciążonych maszynami $\delta_{dop}= \frac {L}{450}$,
dla  stropów obciążonych kolejkami  $\delta_{dop}= \frac {L}{350}$,
dla podciągów, belek stropowych i pomostowych od obciążenia użytkowego w stropach otynkowanych $\delta_{dop}= \frac {L}{360}$

W każdym przypadku  ugięcia graniczne określa Projektant na podstawie wymogów użytkowych ustalanych indywidualnie dla konkretnej sytuacji projektowej.

Połączenie belek poprzecznych z blachownicą

Na rys. 34 pokazano typowe , przegubowe poąłczenia belek stropowych z blachownicą. W połączeniu 34c) i d)  z żebrem blacjhownicy zastosowano podcięcia pasów i środnika blachownicy. Na rys. 34 f1) pokazano, że brak wyokraglernia skutkuje karbem, w którym wsytąpi pęknięcie. Można temu zaradzić poprzez wyokraglenie podcięcia w sposób pojakazany na rys 34 f), lecz częściej stosuje s wiercenie otworów (rys. f3), które prowadzą do wyokrągleń pokazanych na rys. f4).

Rys. 34 Połaczenie đrubowe belek stropowych z blachownicą: a)a kątownikami, b) czołowe, c), d) zakładkowe z żbrem, e) poprzez blachę boczną, f1-4) potrzeba wyokragleń podcięć[7]-str. 743

Połączenie belek stropowych z żebrami blachownicy często wykonuje się jako śrubowe zakładkowe rys. 34d). Poniżej pokazano sposób sprawdzania wytężenia takiego połączenia (rys.35).

Rys.35 Połączenie śrubowe belek stropowych IPE z żebrami blachownicy

Siła poprzeczna jest przenoszona przez środnik blachownicy w płaszczyżnie jej osi symetrii na mimośrodzie $e$ w stosunku do linii osi śrub M d kl. X.Y.

W  osi grupy śrub ( w tym przypadku w śrubie środkowej) działają więc siły:

W śrubach działają następujące siły:

gdzie: n- liczba s rub (na rys. n=3), $r_i$ – promień – odległość i-tej śruby od środka grupy śrub. Przy oznaczeniu śrub od góry:1,2,3, mamy: $r_1=c_2$, $r_2=0$, $r_3=c_2$.

Maksymalna siła działa w śrubie 1 lub 3 o wartości $F_{Ed}=V_{Ed} \sqrt{(\frac{1}{3})^2+ \cfrac {e \cdot c_2}{2\cdot c_2^2}}$

Nośność śruby wyznacza sie zgodnie z zasadami jako minimum z nośności na ścinanie $F_{v,Rd}$ i  docisk $F_{b,Rd}$, przy czym należy zwrócić uwagę na to, że nośność śrub na docisk jest inna w kierunku poprzecznym do osi belki oraz w kierunku osi belki ze względu na inne odległości otworów od krawędzi.

Warunek nośności śruby można zapisać w postaci

Ponadto powinien być spełniony warunek nośności na rozerwanie blokowe:

gdzie obliczeniowa nośność na rozerwanie blokowe wynosi

W (31):
$A_{nt}=t_p(c_3-\frac{d_0}{2})$ – przekrój netto na rozciąganie ($t_p$ – grubość środnika belki, $c_3$ – wg rys.24, $d_o=d+2$ – średnica otworu pod śrubę o średnicy $d$),
$A_{nv}= t_p(c_1+c+2+c_2-d_0-d_0-\frac{d_0}{2})$ – przekrój netto na rozciąganie ($c_1, \,c_2$) – wg rys.24,
$\gamma_{M2}=1,25$ – współczynnik bezpieczeństwa (materiałowy) dla śrub.

W przypadku zaprojektowania belek stropowych ciągłych ich połączeniz blachownicą oraz uciąglenie można wykonać w sposób pokazany na rys. 36

Rys. 36 Uciąglenie belek stropowych na przejściu przez blachownicę [7]-str. 740

Połączenia warsztatowe środnika i pasów

Połączenia warsztatowe wykonywane są jako spawane i służ a przede wszystkim do zmian przekrojów pasów lub połączeń technologicznych odcinków blach. Na rys. 37 przedstawiono zalecane sposoby łączenia spoinami: a) pasów o takiej samej grubości,  o różnicy grubości $<10 mm$, i o większej różnicy grubości z wyrównaniem dolnej płaszczyzny, b) symetryczne połączenie środnika o różnej grubości. Na rys. 38 pokazano sposoby przygotowania do spawania krawędzi pakietów  pasów z rys.8. Czasami potrzebne jest połączenie blach środnika i pasów jednocześnie. Wówczas można stosować rozwiązania pokazane na rys. 39. Nad stykiem rozciąganego pasa należy wykonać w styku środnika, wypadającego w miejscu styku pasów.

Rys.37 Szwy spawane pasów i środnika blachownic: a) pasów, b) środnika [7]-str. 729

Rys.38 Ukosowanie pakietu blach pasów: a) spoina K lub V b) spoina K i zukosowanie pasa górnego, c) spoina K i zukosowanie obu pasów [7]-str. 729

Rys.39 Spawane styki blachownicy:a) ukośny lub łamy styk środnika, przesunięte styki pasów, b) styk w jedenj linii, c) poprzeczny styk środnika[7]-str. 727

Połączenia montażowe belek i ram blachownicowych

Połączenia montażowe elementów blachownicy najczęściej wykonuje się jako doczołowe sprężane śrubami wysokiej wytrzymałości. Połączenia doczołowe na śruby zwykłe i sprężane omówiono w rozdz. 4 artykułu  Połączenia śrubowe.

Na rys. 40 pokazano przykłady połączeń montażowych rygla ze słupem zastosowaniem śrub zwykłych, to znaczy połączeń, które nie są sprężane. Śruby w nich najczęściej są wstępnie sprężone na 50% pełnego momentu sprężającego, co ma zabezpieczyć śruby przed odkręceniem.

Rys.40 Przykłady połączeń montażowych rygla ze słupem [7]-str. 756

Nacisk żebra $D$ dla przypadku z rys. 40e  można wyznaczyć z zależności

Siły w śrubach czołowego połączenia zwykłego wyznaczamy w sposób pokazany w artykule Połączenia śrubowe.

Naroża ram pełnościennych

Rodzaje naroży ram -pełnościennych

Szczególnym elementem ram blachownicowych są naroża, najczęściej  połączenia słupów z ryglami. Na rys. 41 pokazano miejsca wsystępowania rozmiatych naroży dżwigarów blachownicowych.

Rys.41 Typy ram blachownicowych i odpowiadające naroża ram [7]

Rys.42 Przykłady konstrukcji naroży ram [7]-str. 750

Naroża pokazane na rys. 42a)-d) są wzmocnione od dołu elementem blachownicowym i użebrowane poprzecznie na ryglu i słupie. środnik w narożu 42e) posiada żebro ukośne. Naroże 42f) łączy słup z blachownica o zmiennej wysokości. Naroże 45g) jest wyokrąglone i stosownie użebrtowane. Na rys. 42h) wskazano na punkt krytyczny naroża, w którym łączy się szereg rozciąganych blach.

Ważnym zagadnieniem naroży jest statecznośc środnika i zastosowanie usztywnień w sposób opisany w artykule Usztynienia naroży ram.

Żebrowanie naroży

Ze względu na możliwość rozwarstwienia rozrywanych blach (rys. 43a) zaleca się stosowanie rozwiązań rys. 43b). W celu uniknięcia spiętrzenia naprężeń spawalniczych zaleca się stosowanie wycięć  wyokrąglonych wycięć, np. pokazanych na rys. 44.

Rys.43 Konstruowanie naroża ze względu na rozwarstwienie [7]-str. 751

Rys.44 Konstruowanie wycięć  w narożach ram [7]-str. 751

Rozmaite przykłady żebrowania poprzecznego naroży pokazano na rys. 45.

Rys.45 Przykłady żebrowania poprzecznego naroży ram  [7]-str. 752

Sposób wyznaczania sił w żebrach pokazano na przykładzie naroża rys.46.

Rys.46 Przykład wyznaczania sił w żebrach (opis w tekście)  [7]-str. 752

Rozpatrzmy naroże, pokazane na rys. 46. W ryglu działa siła osiowa $D$ oraz moment zginający $M$. W przekroju $I-I$ w pasie dolnym działa sila $G$, którą można oszacować z klasycznej zależności:

gdzie $h_G$ jest wysokością rygla w osiach pasów. Kąt pochylenia pochyłych części naroża wynosi $\alpha$. Wobec tego siła działająca na żebro umieszczone w narożu wynosi:

Rys.47 Wyznaczania sił w narożu wyokrąglonym (opis w tekście)  [7]-str. 752

W przypadku naroża wyokrąglonego, pokazanego na rys. 47 mamy:

Wobec czego

Tutaj $\overline \alpha_R$ jest obszarem wpływu żebra. Dla $\alpha_R=45 ^{\circ}$ jest $\overline \alpha_R=\frac{\pi}{4}$.
Wówczas $A= G \cfrac{\pi}{4}$.

Literatura

1. Skalski, (2016). Hale stalowe system blachownicowy, [http://www.skalski.com.pl/pl/49/hale-stalowe-system-blachownicowy ]
2. Chodor L., (2016). Przekrycia hal i galerii. Materiały XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji, Tom I, ss. 25–202, [ https://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf]
3. Kudła, A., Kuśmierczyk, M. (2016), Hala z kształtowników giętych na zimno. Analizy porównawcze z konstrukcją konwencjonalną. Politechnika Świetokrzyka w Kielcach
4. Stiemer, S. F. (2016). Advanced Structural Steel Design. Plate Girders. Lecture CIVL432 The University of Britsch Columbia
5. PN-EN 1993-1-1+A1:2006, Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
6. Medwadowski J. (Ed.). (1980). Konstrukcje metalowe i stalowe, PWN
7. Petersen C. (2013), Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten (4 Wydanie- überarb. und aktualisierte Aufl). Springer Vieweg
8. PN-EN 1993-1-5:2008, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice
9. PN-EN 1993-1-10:2005, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-10: Dobór stali ze względu na odporność na kruche pękanie i ciągliwość międzywar-stwową
10. Kowal, Z. (1962), Dzwigary o cienkościennym srodniku, pracujące w stanie pozakry-tycznym. Inżynieria i Budownictwo, 10, 377–382
11. Kowal Z. (1964). Dzwigary dachowe z żebrowaniem pionowym i przekątnym, Praca Habilitacyjna No. 97; Budowncitwo XXI). Politechnika Wrocławska
12. Höglund, T. (1981), Design of thin plate I-girders in shear and bending with special reference to web buckling (Bulletin of the Division of Building Statics and Structural Engineering No. 94). The Royal Institute of Technology, Stockholm
13. Narayanan R. (Ed.). (1983). Plated Structures;. Stability and Strength. Applied Sci-ence Publishers
14. Bródka J., Broniewicz M. (2013). Projektowanie konstrukcji stalowych według Euro-kodów. Podręcznik inżyniera. Polskie Wydawnictwo Techniczne
15. Goczek J., Supeł Ł., Gajdzicki, M. (2011). Przykłady obliczeń konstrukcji stalowych: Eurokod 3-1-1, Eurokod 3-1-3, Eurokod 3-1-5, Eurokod 3-1-8. Wydawnictwo Poli-techniki Łódzkiej

________________________________