Zginanie pręta: czyste, proste, poprzeczne, ukośne

W literaturze można znaleźć liczne definicje pojęcia rodzajów zginanie: czyste, proste, poprzeczne, ukośne. Często pojęcia te są jednak nieścisłe i wzajemnie niespójne.  Poniżej przytaczamy spójne definicje rodzajów zginania pręta.

Zginanie jest definiowane następująco:

• wg słownika języka polskiego [1] : nadawanie czemuś trwałej krzywizny, kabłąkowatego, półkolistego kształtu
• wg innego słownika języka polskiego [2]: jeśli coś zostało zgięte lub jeśli zgięło się, to gnąc się zmieniło chwilowo lub na stałe swój kształt.
• wg [3] stan deformacji, przy którym prosty w stanie niezdeformowanym pręt, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę).  Zginanie jest dominującym sposobem pracy prętów,  nazywanych belkami.

Ścisłe definicje rodzajów zginania pręta pryzmatycznego opracowano na użytek Teorii Sprężystości [4]. Definicje przytaczamy dla przypadku zginania pręta pryzmatycznego.

Pręt pryzmatyczny to taki pręt, którego podstawy (ścianki poprzeczne) leżą w płaszczyznach równoległych do siebie, a ścianki boczne są powierzchniami, zbudowanymi z pęku prostych , łączących odpowiadające punkty obu podstaw. W ogólności pręt pryzmatyczny nie musi mieć prostoliniowej osi lub stałego przekroju.

Dla pręta pryzmatycznego prostoliniowego i o stałym przekroju możemy zdefiniować:

Rys.1. Czyste zginanie [4]

Czyste zginanie: zginanie pręta pryzmatycznego, obciążonego na zewnętrznych ściankach poprzecznych (podstawach) siłami o
gęstości q_vz=-+kz, gdzie k jest dowolną stałą, z współrzędną pionową punktów przekroju o wartości z=0 w osi pręta. W rozwiązaniu ścisłym teorii sprężystości można pokazać, że k jest nachyleniem płaszczyzny gęstości obciążenia ścianki poprzecznej do jego płaszczyzny.

Przypadek czystego zginania zdefiniowano na rys. 1. Charakteryzuje się on tym, że ścianki czołowe pręta obciążone są bryłami  obciążeń, a nie siłami przekrojowymi.

Można pokazać, że zagadnienie czystego zginania możemy rozwiązać w  sposób ścisły, korzystając jedynie z podstawowych równań teorii  sprężystości.

Założenie płaskich przekrojów Bernoulliego będzie prostym  wnioskiem z rozwiązania teorii sprężystości. W tym sensie założenie Bernoulliego nie jest pierwotne (nie jest założeniem w sensie matematycznym), a jedynie wnioskiem z rozwiązania ścisłego. W wyniku rozwiązania ścisłego zagadnienia „czystego” zginania uzyskujemy również równanie różniczkowe przemieszczeń osi pręta zginanego [5].

Rys.2 Proste zginanie [4]

Proste zginanie jest takim przypadkiem obciążenie pręta, że w  poprzecznym przekroju pręta działa moment zginający tylko w jednej z  głównych płaszczyzn [5] . W żadnym przekroju pręta nie działają siły  poprzeczne (tnące).

 Oznacza to taki stan pręta, w którym momenty zginające są stałe po długości pręta, to znaczy obciążenie zewnętrzne działa tylko na podstawy i może być sprowadzone do zewnętrznych momentów zginających o takiej samej wartości, lecz przeciwnych zwrotach (kierunkach).

 Przypadek prostego zginania zdefiniowano na rys.2. Na podstawy pręta  działa moment zginający M, który jest statycznie równoważny,  obciążeniom powierzchniowym q_vz, przedstawionym na rys.1. Obciążenia te związane są zależnością:

q_vz = – M /I_y · z,

 gdzie I_y jest momentem bezwładności przekroju pręta względem osi poziomej y.

Rys.3. Poprzeczne zginanie [4]

 Poprzeczne zginanie  (rys.3) jest to działanie takiego obciążenie na nieswobodny  (podparty) pręt pryzmatyczny, o przekroju poprzecznym symetrycznym  względem osi z, które jest przyłożone symetrycznie względem osi z, na  powierzchni A pobocznicy i ściankach poprzecznych i ma gęstość q_v=-  q(x). Znak minus  oznacza, że obciążenie ma znak przeciwny do kierunku osi z (jest skierowane pionowo w dół).

Znalezienie ścisłego rozwiązanie zagadnienia poprzecznego zginania jest w ogólnym przypadku bardzo trudne, ponieważ zależy od kształtu przekroju poprzecznego, a nawet w przypadku najprostszego przekroju prostokątnego nie są spełnione równania nierozdzielności odkształceń. Znane rozwiązania techniczne (wytrzymałości materiałów) są  tylko pewnym przybliżeniem rozwiązania dokładnego.

Ukośne zginanie jest przypadkiem obciążenia pręta jednocześnie zginaniem w płaszczyźnie xz  (na rys.2  M=M_y) jak i w płaszczyźnie xy momentem M_z.  Zgodnie z zasadą  superpozycji w stanie sprężystym rozwiązanie w złożonym stanie jest sumą rozwiązań od poszczególnych prostych obciążeń.

Obciążenie momentem M_x  w płaszczyźnie yz nazywa się skręcaniem i jest jakościowo innym od zginania przypadkiem obciążenia i wytężenia.

Literatura

1. Szymczyk, M. (1981). Słownik języka polskiego. PWN
2. Bańko, M. (Ed.). (2000). Inny słownik języka polskiego. PWN
3. Wikipedia. (2013). Zginanie,[ https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Zginanie&oldid=37876761]
4. Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN
5. Birger, I. A., & Panowko, J. G. (1968). Procnost, ustojcivost, kolebanija, Spravocnik (Vol. 1). Mosinostroejnije

________________________________