Uogólniona alternatywna imperfekcja [R4-4]

[Proces stochastyczny imperfekcji systemowych] [poprzednie R4-3][następne R5-1] [Imperfekcje. Przykład rachunkowy pręta prostego ]


Zaprezentowano  pojęcie uogólnionej, alternatywnej imperfekcji, będącej alternatywą klasycznej, sprężystej imperfekcji alternatywnej, to jest przeskalowanej postaci wyboczenia sprężystego. Przedstawiono też pojęcie imperfekcji plastycznej.

Klasyczna, alternatywna imperfekcja

Wprowadzenie do klasycznej metody alternatywnej  przedstawiono w pkt. 2-3 , a sposób wprowadzenia jej do norm w rozdz 3-8.

W niniejszym punkcie zaprezentujemy uogólnienie klasycznej metody alternatywnej AIM i zalecimy ją jako współczesną metodę projektowania konstrukcji metalowych (stalowych i aluminiowych) oraz zespolonych, a także konstrukcji żelbetowych podatnych na efekty drugiego rzędu.

Przekrój sprawczy „m”

„Sprawczy (krytyczny) przekrój „m” znajdziemy, analizując wytężenie przekrojów konstrukcji. Będzie on miał wytężenie większe od innych przekrojów w obrębie elementu, i konstrukcji. Położenie przekroju sprawczego zależy od schematu konstrukcji i konfiguracji jej obciążeń. Jeśli konstrukcja może być poddana kilku konfiguracjom wykluczających się obciążeń, to dla każdej z nich inny przekrój konstrukcji będzie przekrojem sprawczym. To samo dotyczy zmian schematu konstrukcji, na przykład w procesie kolejnego tworzenia się przegubów plastycznych.

Wytężenie przekroju sprawczego „m”, dla ustalonego schematu konstrukcji i konfiguracji jej obciążeń wynosi:

$$\begin{equation} w_S= w_N + w_{M_y} + w_{M_z} + w_B \label{4-4.1} \end {equation}$$

$$\begin{equation} w_N= n^{II}_S=\cfrac{N^{II}_{Ed,S}}{N_{R,S}} \label{4-4.2} \end {equation}$$

$$\begin{equation} w_{M,y} = m^{II}_{y,S}=\cfrac{M ^{II}_{Edy,S}}{M_{Ry,S}} \quad ; \quad w_{M_z} =  m^{II}_{z,S}=\cfrac{M ^{II}_{Edz,S}}{M_{Rz,S}}  \label{4-4.3}  \end {equation}$$

$$\begin{equation} w_N= b^{II}_S=\cfrac{B^{II}_{Ed,S}}{B_{R,S}} \label{4-4.4} \end {equation}$$

Indeksem górnym II oznaczono siły przekrojowe: osiową N, momenty zginające $M_y$ oraz $M_z$ oraz bimoment B, uzyskane z analizy drugiego rzędu. W dalszym ciągu indeks górny (II) będziemy pomijać, przyjmując, że siły przekrojowe przez domniemanie uzyskiwane są z analizy drugiego rzędu. W wyjątkowych przypadkach dopuszczamy stosowanie sił z analizy pierwszego rzędu, co będziemy specjalnie wskazywać. Również stosowany w ($\ref{4-4.1}$) indeks dolny (S), oznaczający przekrój sprawczy S będziemy w dalszym ciągu pomijać, przyjmując przez domniemanie, że rozważania prowadzimy dla przekroju sprawczego S konstrukcji.

Zwróćmy uwagę na to, że formuła ($\ref{4-4.1}$) jest formalnie poprawna na poziomie przekroju i ścisła, a nazywanie jej konserwatywną nie jest odpowiednie. Formuła ta wynika z fundamentalnej, ścisłej i teoretycznie uzasadnionej zasady sumowania naprężeń normalnych $\sigma_x$ w kierunku x (osi pręta)  w punkcie przekroju sprawczego  S o współrzędnych ($(x,y,\omega)$ (j$\omega $est współrzędną wycinkową):

$$\begin{equation} \sigma= \sigma_N + \sigma_{M_y} + \sigma_{M_z} + \sigma_B \label{4-4.5} \end {equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation} \sigma_N=\cfrac{N_{Ed}} {A}  \label{4-4.6} \end {equation}$$

$$\begin{equation} \sigma_{M_y}= \cfrac{M_{Ed,y}}{I_y} \cdot z \quad  ; \quad  \sigma_{M_z}= \cfrac{M_{Ed,z}}{I_z} \cdot y \label{4-4.7} \end {equation}$$

$$\begin{equation} \sigma_{B}= \cfrac{B}{I_\omega} \cdot \omega\label{4-4.8} \end {equation}$$

gdzie $I_y$, $I_z$, $I_\omega$ – momenty bezwładności przekroju: wokół osi y, z i giętno-skrętny.

W punkcie przekroju najdalej oddalonym od osi obojętnej, wystąpią maksymalne składowe naprężenia i dla tego punktu definiowane  są wskaźniki wytrzymałości przekroju

$$\begin{equation} W_y=\cfrac{I_y}{z_{max}} \quad ; \quad W_z=\cfrac{I_z}{y_{max}}  \quad ; \quad W_\omega=\cfrac{I_\omega}{\omega_{max}}\label{4-4.9} \end {equation}$$

Iloczyn pola lub wskaźnika wytrzymałości przekroju i wytrzymałości materiału jest nośnością przekroju mierzoną odpowiadającą siłą przekrojową:

$$\begin{equation}  N_{Rd}= A\cdot f_y \quad ; \quad M_{Rd,y}= W_y \cdot f_y  \quad ; \quad M_{Rd,z}= W_z \cdot f_y \quad ; \quad M_{Rd,\omega}= W_\omega \cdot f_y\label{4-4.10} \end {equation}$$

które można zapisać jedną formułą,

$$\begin{equation}  F_{Rd}= W_F \cdot f_y \label{4-4.11} \end {equation}$$

to znaczy nośności przekroju są wytrzymałością materiału skalowaną odpowiadającymi wskaźnikami wytrzymałości. Uwzględniając tą proporcjonalność z równania ($\ref{4-4.1}$) uzyskujemy zasadę sumowania wytężeń

$$\begin{equation} w= \sum w_i \label{4-4.12} \end {equation}$$

gdzie i jest rodzajem siły przekrojowej .( $i=N, M_y,M-Z, B$).

Formuła ($\ref{4-4.1}$) jest postacią szczególną ($\ref{4-4.11}$).

Zasada ($\ref{4-4.11}$) dotyczy zakresu sprężystej pracy przekroju. Jednakże postulujemy, by zachować ją również dla prętów o innej niż 3-cia klasa przekroju. Postulat jest zgodny z sugestiami innych badaczy. (Giżejowski, Szczerba, Gajewski, Stachura, 2016) na podstawie szerokich badań numerycznych postulują, by amplitudę równoważnych imperfekcji geometrycznych wyznaczać dla pręta na sprężystych cechach przekroju zamiast na cechach przekroju zależnych od jego klasy.

Lokalizacja przekroju sprawczego w konstrukcji

Analizujemy pręt o stałym przekroju i z ustalonymi siłami przekrojowymi z wyjątkiem siły podlegającej amplifikacji przez efekty 2 rzędu.

Rozważmy  przypadek, gdy  ustalone mamy ($N,, M_z,B$)  a zmienny jest moment zginający $M_y$.

W takiej sytuacji przekrój sprawczy będzie zlokalizowany tam gdzie $M_y=EI_y\cdot \eta^{„}$ jest maksymalny, to znaczy w miejscu największej krzywizny $\eta^{„} pręta to jest drugiej pochodnej ugięcia po współrzędnej x. Krzywiznę pręta najczęściej szacuje się metodami numerycznymi w procesie rozwiązania. Przy tym można zastosować metodę ustalenia funkcji kształtu metodami korelacyjnymi, to znaczy założoną postać funkcji (np. wielomian lub sinusoidę) dopasowujemy do znalezionych przemieszczeń węzłowych metodami regresji średniokwadratowej.

Do podobnego wniosku można dojść po uzmiennieniu innych sił przekrojowych.

W rezultacie można wykazać, że przekrojem sprawczym w konstrukcji jest ten przekrój, w którym podczas analizy LBA  uzyskamy najmniejszy mnożnik krytyczny.

Alternatywna sprężysta amplituda imperfekcji

Głównym problemem metody UAIM jest określenie amplitudy alternatywnej imperfekcji  $\eta_{ini}$ przy znajomości imperfekcji normowej $e_0$ , którą możemy wyznaczyć z tolerancji wykonawczych w sposób przedstawiony w rozdz. 2-2.

Wartości  $\eta_{ini}$ i $e_0$ nie są tożsame.

Wymuszenia imperfekcjami wstępnymi traktujemy, jako obciążenia i przyjmiemy, że obowiązuje dla nich zasada Rankine-Marchanta (2.48) uogólniona na obszar funkcji ugięcia w stanie plastycznym $w_{pl}$ i krytycznym, sprężystym $w_{cr}$$.

Amplituda plastycznego ugięcia przed zniszczeniem plastycznym

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »