Statyka cięgna

Statyka pojedynczego cięgna była przedmiotem badań od czasów Galileusza (Galileusz, 1638). Krótką notkę historyczną zamieszczono w  artykule Krzywa łańcuchowa. W niniejszym artykule przedstawiono zagadnienie statyki cięgna w ujęciu , w tym wyprowadzono równania katenoidy (krzywej łańcuchowej).

Równanie równowagi cięgna

Na rys. 1 pokazano pojedyncze cięgno zawieszone w punktach A i B (rys.1a) , zwisające pod obciążeniem $q_1$ w rzucie i $q_2= \dfrac{q_1}{cos \alpha}$ po długości cięgna. Odcinek cięgna o długości $ds$, a w rzucie $dx=ds cos \alpha$ jest rozciągany siłą S na lewym i $S+dS$ na prawym końcu. Składowe sił $S$, to: pozioma $H=S cos \alpha$ i pionowa $T=S sin \alpha$.

Rys. Schemat pojedynczego cięgna

 

Warunki równowagi sił, działających na element $dS$ cięgna można zapisać w postaci:

$ \sum H=0: H-(H+dH)=0 \to dH=0 \to H=const $
$\sum M=0: T dx – H dy=0 \to T=H y^{‚} \to T^{‚}=H y^{„} $
$\sum T (q_1)=0 \to T-(T+dT)+ q_1 dx =0 \to T^{‚} = q_1(x) $
$\sum T (q_2)=0 \to T-(T+dT)+ q_2 ds =0 \to T^{‚} = q_2(x) \dfrac{ds}{dx} $
 (1a-d)

Z porównania (1b) z (1c) mamy

$ H y^”=q_1(x) $  (2)

Ponieważ  $ ds= \sqrt{dx^2 + dy^2}=dx \sqrt{1+{y^{‚}}^2}$, więc po złożeniu (1b), (1d), mamy:

$ H y^”=q_2(x) \sqrt{1+{y^{‚}}^2} $  (3)

Długość odcinka liny wynosi

$ L= \int \limits_l \sqrt{1+{y^{‚}}^2}$  (4)

Równanie różniczkowe (2) lub (3) ma dwie stałe całkowania $C_1$ i $C_2$ , które wyznaczamy z warunków brzegowych. Zależności pomiędzy siłami $T(x)$ , $H(x)$ i siła w linie $S(x)$ po uwzględnieniu zależności geometrycznych (rys.1) można zapisać w postaci:

$ T(x)=H \cdot tan \varphi= H \cdot y^{‚}(x)$
$S(x)= \sqrt{H^2+T^2(x)}=Hv \sqrt{1+{y^{‚}}^2(x)}=H \sqrt{1+tan^2 \varphi}= \dfrac{H}{cos \varphi}$
 (5a.b)

gdzie $\varphi$ jest lokalnym kątem nachylenia cięgna.

Krzywa łańcuchowa

Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego (3) dla obciążenia $q_2(x)=g= const$, na przykład pod ciężarem własnym cięgna $g$. Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej $u=y^{‚}$ równanie (3) można zapisać w postaci:

$ H u^{‚} =g \sqrt {1+u^2} \to \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\dfrac{g}{H} \cdot dx $  (6)

Całką ogólną równania różniczkowego (6) jest

$ ln \left ( u + \sqrt{1+u^2}\right)= \dfrac{q}{H}\cdot x +C_1 \to u+ \sqrt {1+u^2}= e^{\left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} \to y^{‚}+ \sqrt {1+{y^{‚}}^2}= e^{ \left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} $  (7)

Ponieważ  $\dfrac{d (lnx)}{dx}=\dfrac{1}{x}$, wiec (7)  można zapisać w postaci:

$ \dfrac{1}{y^{‚} + \sqrt {1+{y^{‚}}^2}}=e^{- \left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} $  (8)

Odejmując stronami (7) i (9) uzyskamy

$ 2y^{‚}=e^{\left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} \to y^{‚}= \dfrac{1}{2} \left [ e^{\left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} \right]$  (9)

Rozwiązanie zagadnienia cięgna uzyskamy po przecałkowaniu równania (9) w postaci:

$ y= \dfrac{H}{2g} \left [ e^{\left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)}-e^{- \left( \dfrac{g}{H}x+C_1\right)} \right] + C_2$  (10)

Stałe całkowania $C_1$ , $C_2$ oraz stałą $H$ należy określać dla konkretnych warunków brzegowych.

Cięgno układa się w krzywą łańcuchową (katenoidę)

Cięgno w układzie podstawowym układa się w krzywą łańcuchową

Rys.2. Cięgno w układzie podstawowym układa się w krzywą łańcuchową pod ciężarem własnym

W układzie  współrzędnych przyjętym zgodnie z rys. 2, z początkiem zaczepionym poniżej  najniższego punktu cięgna, tak by ten punkt miał wspólrzędne

$C(0, \dfrac{H}{g})$

stałe całkownia zerują się:  $C_1=0$ i $C_2=0$.

W przyjętym układzie punkty zaczepienia cięgna mają współrzędne: $A(-\dfrac{l}{2}, f+\dfrac{H}{g})$, $B(\dfrac{l}{2}, f+\dfrac{H}{g})$, a ugięcie cięgna wynosi  $\delta (x)= y-(f +\dfrac{H}{g})$.

W tym układzie współrzędnych rozwiązanie (10) przyjmuje kształt krzywej łańcuchowej (katenoidy) (11):

$ y= \dfrac{H}{2g} \left [ e^{\dfrac{x}{ H/g}}+ e^{-\dfrac{x}{ H/g}} \right] = \dfrac{H}{g} cosh\dfrac{x}{H/g}$  (11)

Aproksymacja krzywej łańcuchowej parabolą

Po rozłożeniu kosinusa hiperbolicznego w szereg potęgowy – krzywą łańcuchową  (11) można zapisać w postaci

$ y= \dfrac{H}{g} \left ( 1+ \dfrac{x^2}{2!(H/g)^2}+\dfrac{x^4}{4! (H/g)^4}+ …\right) \approx \dfrac{H}{g}+\dfrac{g}{2H}\cdot x^2$  (12)

Strzałka zwisu cięgna $f$ (rys.2) wynosi:

$ f=y(\dfrac{l}{2})-\dfrac{H}{g}= \dfrac{H}{g}\left( cosh \dfrac{l/2}{H/g}-1\right) \approx \dfrac{gl^2}{8H}+ \dfrac{g^3 l^4}{384 H^3}+ \dfrac{g^5l^6}{46080 H^5}+ … $  (13)

Kąt nachylenia linii cięgna określa pochodna $y^{‚}$ funkcji (12):

$ f=y^{‚}=sinh \dfrac{x}{H/g} \approx \dfrac{x}{H/g}+ \dfrac{x^3}{3!(H/g)^3}+ … $  (14)

Po wprowadzeniu oznaczeń

$m=\dfrac{h/g}{l/2}= \dfrac{2H}{gl}$
$n_f=\dfrac{f}{l}$
$n_L=\dfrac{L}{l}$
 (15a-c)

otrzymamy:

dla krzywej łańcuchowej: $n_f= \dfrac{m}{2}\left ( cosh \dfrac{1}{m}-1\right)$ ;  $n_L=m \cdot sinh \dfrac{1}{m}$,
dla paraboli  $n_f=\dfrac{1}{4m}$ ; $n_L=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+(1/m)^2}+\dfrac{m}{2}\cdot ln \left({\dfrac{1}{m}+ \sqrt{1+(1/m)^2}} \right) $
 (16a,b)

Na rys.3 graficznie pokazano różnice między ścisłymi zależnościami (dla krzywej łańcuchowej) i aproksymacji parabolą. Dokładność aproksymacji jest zadawalająca dla płaskich cięgien, o strzałce zwisu $f/l<0,12$, co odpowiada współczynnikowi obciążeń $m=\dfrac{2H}{gl}>2$.

 Dokładność aproksymacji linii łańcuchowej cięgna parabolą.

Rys.3. Dokładność aproksymacji linii cięgna parabolą. Współczynnik obciazeń $m$ w funkcji: a) $n_f$, b) $n_L$

Siły i długość cięgna

Po podstawieniu wyrażenia na linię cięgna (13) do  (5a,b) , można uzyskać następujące wyrażenia na siły w cięgnie:

$ T(x)=H \cdot sinh \dfrac{x}{H/g}$,
$S(x)=H \cdot cosh \dfrac{x}{H/g}=g \cdot y$
 (17a,b)

W sposób ścisły uzyskano ważny rezultat: Siła w cięgnie S(x) jest równa iloczynowi obciążenia liniowego cięgna ( np. ciężaru własnego) oraz rzędnej linii cięgna w danym punkcie po jego długości. Zależność (17b) jest prawdziwa wyłącznie w układzie współrzędnych z rys. 2.

Siła działajaca na podporę wynosi  $S(l/2)= q \cdot (H/g+f)$, a reakcja pionowa podpory $ A= T(l/2)= H \cdot sinh \dfrac{l/2}{H/g} = g \dfrac{l}{2}$

Z równania (4) można uzyskać długość cięgna po rozciągnięciu:

$L= \int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{1+{y^{‚}}^2}dx =\int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{1+sinh^2 \dfrac{x}{H/g}} dx= \int \limits_{-l/2}^{l/2} \sqrt{cosh \dfrac{x}{H/g}} dx= \dfrac{H}{g}\cdot sinh \dfrac{x}{H/g} |_{-l/2}^{l/2}$
$ \to L=2 \dfrac {H}{g} \cdot sinh \dfrac{l/2}{H/g} \approx l \cdot \left ( 1+\dfrac{g^2l^2}{24h^2}+\dfrac {g^4 l^4}{1920 H^4} \right)$
 (18)

Podpory na różnych wysokościach

Pojedyncze ciegno zawieszone na różnych wysokościach

Rys.4 Pojedyncze ciegno zawieszone na różnych wysokościach

W przypadku cięgna pokazanego na rys. 4, zawieszonego na podporach o różnych wysokościach, ułoży się ono również wg krzywej łańcuchowej (11), przy czym punkt symetrii jest przeniesiony do punktu B’, oddalonego o $a$ od osi rzędnych $y$.

Róznica wysokosci podpór $c$ wynosi

$ c= \dfrac{H}{g} \cdot \left( cosh \dfrac{b}{H/g}- cosh \dfrac{a}{H/g}\right) $  (19)

gdzie $a$ i $b$ są odległościami poziomymi podpór od osi $y$. Zachodzą związki geometryczne: $l=2a+d \to a=\dfrac{l-d}{2}$ ; $l=2b-d \to b=\dfrac{l+d}{2}$.

Długość krzywej , wyznaczona z (18) w granicach [a,b], wynosi

$L=L_{AC}+L_{CB}= \dfrac{H}{g}\cdot \left ( sinh \dfrac{a}{H/g}+ sinh \dfrac{b}{H/g}\right) = \sqrt {c^2 + \left ( 2 \cdot c\dfrac{H}{g}\cdot sinh \dfrac{l}{2H/g}\right)^2 } $  (20)

 Pozostaje słuszna zależność (127b) $S=g \cdot y$, natomiast reakcje pionowe podpór wynoszą:

$A=H \cdot sinh \dfrac{a}{H/g}$
$B=H \cdot sinh \dfrac{b}{H/g}$
 (21)

Styczna do linii cięgna w punkcie $C$ jest rónoległa do cięciwy krzywej (rys 5a).

Rys.5. Własności liny zawieszonej na różnych wysokościach: a) z dużym zwisem, b) z małym zwisem

Ponieważ punkt $C$ leży w odległości $a$ od podpory, to $y^{‚}= sinh \dfrac{ \overline x-a}{H/g}=0 \to \overline x=a$.

W celu wyznaczenia odleglości $\overline {\overline x} $ należy skorzystać z równania $ y^{‚}= sinh \dfrac{\overline {\overline x}-a}{H/g}=\dfrac{c}{l}$. Po wyznaczeniu $\overline {\overline x} $  można obliczyć strzałkę ugięcia z formuły

$f= \dfrac{c}{l}\cdot \overline {\overline x}- \dfrac{H}{g} \left ( cosh \dfrac{\overline {\overline x}-a}{H/g}-cosh \dfrac{a}{H/g}\right)$  (22)

Wielokąt trasy pod obciążeniami skupionymi

 W przypadku obciążenia cięgna siłami skupionymi linię cięgna wyznaczamy  z wielokątu trasy cięgna przy założeniu nieodkształcalności osiowej cięgna $EA=\infty $ w sposób pokazany na rys. 6.

Wielokąt sił\tras w cięgnie

Rys.6 Wielokąt sił\tras w cięgnie :a) schemat obciążeń, b) kierunki tras, c) układ cięgien

Wynzaczenie tras cięgien w przypadku obciązenia siłami skupionymi zwykle prowadzi do procedur iteracyjnych. W prostym przypadku tok postępowania naszkicowano na rys. 7.

Wyznaczanie trasy cięgien pod obciążeniem skupionym

Rys.7 Szkic do wyznaczanie tras cięgien pod obciążeniem skupionym

 W pierwszym przybliżeniu rozwiązania iteracyjnego przxyjmuje się, że siła pozioma $H$ oraz siła w cięgnie $S$ wynoszą

$ H=\dfrac{Fl}{4f}$ ; $S=\dfrac{F}{2 sin \alpha}$  (23)

Dla przypadku $EA=\infty$ mamy następujące zależności geometryczne:

$tan \beta= \dfrac {f+\Delta f}{l/2} \to f+ \Delta f= \dfrac{l}{2}tan \beta$ ; $sin \beta= \dfrac {f+\Delta f}{\left( 1+\dfrac{S}{EA} \right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}}$  (24)

W wyrażeniu (24) uwzględniono sprężystą odkształcalność cięgna. W takim razie  (23) należy poprawić w drugiej iteracji  (25)

$ H=\dfrac{Fl}{4(f+ \Delta f)}=\dfrac{F}{2 sin \alpha}$ ; $S=\dfrac{F}{2 sin \beta}=\dfrac {\left( 1+\dfrac{S}{EA} \right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}}{2(f+ \Delta f)} \cdot F $  (25)

Pomiędzy stanem odkształconym, a pierwotnym wystąpiło przemieszczenie jak anstępuje:

$ \sqrt{(f+\Delta f)^2+(l/2)^2}- \sqrt{f^2+(l/2)^2}= \dfrac{S}{EA}\cdot \sqrt{f^2+(l/2)^2}$  (26)

W równaniach (26) i (27) wsytępują dwie nieznane wielkości $S$ i $\Delta f$, które można wyznaczyć z ukłądu równań (28) przekształconych z zapisu wyżej:

$ 2 \cdot \dfrac{S}{F}\cdot (f+\Delta f) – \left( 1+ \dfrac{S}{EA}\right)\cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}=0$
$\sqrt{(f+\Delta f)^2 =(l/2)^2}-\left( 1 + \dfrac{S}{EA}\right)\cdot \sqrt{f^2 + (l/2)^2}=0$
 (27)

Układ równań (28) można sprawadzić do jednego równania nieliniowego do wyznaczania $S$:

$\sqrt{\left[ \dfrac{F}{2S}\cdot \left ( 1+ \dfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}\right]^2 +(l/2)^2}- \left ( 1+ \dfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}=0$  (28)

Teraz można wyznaczyć $\Delta f $ z zależności

$ \Delta f = \dfrac{F}{2S}\cdot \left ( 1+ \dfrac{S}{EA}\right ) \cdot \sqrt{f^2 +(l/2)^2}-f $
 (29)

Przykład rachunkowy (rys.7):

Wyznaczanie tras cięgna pod obciążeniem skupionym

Rys. 7 Przykład rachunkowy wyznaczenia tras cięgna pod obciążeniem skupionym: a) schemat, b) tabela iteracyjna, c) wykres porównawczy

Na rys. 7a pokazano schemat cięgna o przekroju $A=0,5 cm^2 $, wykonanego ze stali o module Younga $E=16 000 kN/cm^2 \to EA=8000 kN $. W tabeli rys. 7b) podano wyniki obliczeń iteracyjnych przeprowadzonych zgodnie z podanymi wyżej zależnościami. Na rys. 7c) pokazano wykres porównawczy siły we cięgnie wywołanej siła skupioną $F=$ 0 do 20 kN dla iteracji pierwszej ($EA= \infty$) i dla drugiej ($EA=8000 kN$). W przykładzie pokazano, że błąd oszacowania zwiększa się wraz ze zwiększaniem się wartości siły $F$ i wynosi 15% dla $F=20 kN $, to znaczy jest istotny i obliczenia nieliniowe są wymagane.

W przypadkach bardziej złożonych obciążeń , a także dla siatek cięgnowych zalecane jest stosowanie specjalistycznego oprogramowania, np (Sofistic AG, 2008) .

Równanie stanu napiętej liny

Podstawowe równanie stanu

Ze względu na silne nieliniowości geometryczne w przypadku cięgien nie obowiązuje zasada superpozycji.

Rozpatrzmy cięgna w dwóch stanach, pokazanych na rys. 8. W pierwszym cięgno o długości $l$, obciązone jest liniowo $q_1$ i temperatureą$t_1, skutek czego wystąpi rozciąg $H_1$ i strzałka zwisu $f_1$ Siła w cięgnie $S_1 \approx H_1$. W drugim stanie tego samego cięgna iospowiednie wielkości oznaczono indeksem „2”. Składową obciążenia $q$ jest ciężar własny $g$.

 Dwa stany obciążenia cięgna

Rys.8. Dwa stany obciążenia cięgna: a) stan $q_1, t_1$, b) stan $q_2, t_2$

 

Przy aproksymacji linii cięgna parabolą otrzymamy naciągi:

$ H_1= \dfrac{q_1 l^2}{8f_1} \approx S_1$,
$ H_2= \dfrac{q_2 l^2}{8f_2} \approx S_2$,
 (30a,b)

a także długości napiętego cięgna

$ L_1= l \cdot \left [ 1+\dfrac{8}{3}\cdot (\dfrac{f_1}{l})^2\right] = l \cdot \left[ 1+ \dfrac{q_1^2 l^2}{24 H_1^2}\right]$,
$ L_2= l \cdot \left [ 1+\dfrac{8}{3}\cdot (\dfrac{f_2}{l})^2\right] = l \cdot \left[ 1+ \dfrac{q_2^2 l^2}{24 H_2^2}\right]$,
 (31a,b)

Różnica długości cięgna w obu stanach wynosi:

$ \Delta L= L_2-L-1= \dfrac{l^3}{24}\cdot \left [ (\dfrac{q_2}{H_2})^2- (\dfrac{q_1}{H_1})^2\right] = \dfrac{l^3}{24}\left [ (\dfrac{\gamma_2}{\sigma_2})^2- (\dfrac{\gamma_1}{\sigma_1})^2\right] $,  (32)

gdzie wprowadzono oznaczenia:

$ \gamma=\dfrac{q}{A_m}$ , $\sigma=\dfrac{H}{A_m}=\dfrac{S}{A_m}$
$A_m$ – pole przekroju metalicznego (stalowego) rdzeń cięgna.
 (33)

Z drugiej strony na podstawie prawa fizycznego Hooka mamy :

$ \Delta L = \left [ \dfrac{\sigma_2-\sigma_1}{E}+\alpha_t \cdot (t_2-t_1)\right] $,  (34)

Po przekształceniach równanie (33)=(35) można zapisać w postaci

$ \left( \dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^3=\left [ \dfrac{E \gamma_1^2 l^2}{24 \sigma_1^3}+\dfrac{E}{\sigma_1} \cdot \alpha_t\cdot (t_2-t_1)-1\right] \cdot \left( \dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^2 -\dfrac{E\gamma_2^2 l^2}{24 \sigma_1^3}=0$,  (35)

Równanie (36) nazywane jest równaniem stanu naciągniętego cięgna. Równanie jest nieliniowe- stopnia trzeciego wzgledem $\sigma_2$. Może być rozwiązane dowolną metodą. Najczęściej stosuje się podejście iteracyjne.

Równanie stanu dla obciążenia rzutowanego

W przypadku, gdy na cięgno działają obciążenie grawitacyjne liczone na rzut pokrycia, to do równania stanu (36) nalezy wprowadzić modyfikację.

Rozpatrzmy cięgno o długości w rzucie $l$ , wysokości $h$, rozpięte pod kątem $\alpha$ i zwisem $\overline f $ . Długość początkowa cięgna wynosi

$ s=\sqrt{l^2+h^2}$,  (36)

Obciażenie $q$ (rys.9a) należy rozłożyć na:

$\overline q = q \cdot cos\alpha$ oraz $\overline{\overline q}= q\cdot sin \alpha$  (37)
Obciążenie rzutowane cięgna

Rys.9. Obciążenie rzutowane cięgna

Zmodyfikowane równanie stanu (36) uzyskuje się po zastąpieniu długości $ l$ przez $s$ oraz $\gamma$ przez $\overline \gamma$:

$\overline \gamma_1 = \dfrac{\overline q_1}{A_m}$ ;  $\overline \gamma_2 = \dfrac{\overline q_2}{A_m}$  (38)

W rezultacie uzyskujemy zmodyfikowane równanie stanu cięgna

$ \left( \dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^3=\left [ \dfrac{E \overline \gamma_1^2 s^2}{24 \sigma_1^3}+\dfrac{E}{\sigma_1} \cdot \alpha_t\cdot (t_2-t_1)-1\right] \cdot \left( \dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)^2 -\dfrac{E\overline \gamma_2^2 s^2}{24 \sigma_1^3}=0$,  (39)

Cięgno rozpięte na kosnstrukcji odkształcalnej

W przypadku rozpięcia cięgna na konstrukcji odkształcalnej można wyznaczyć zastępczą stałą sprężystości poziomej konstrukcji i rozpatrzyć schemat ze sprężystą podporą o stałęj $C$, pokazany na rys.10. Nalezy przy tym ropatrzyć różniće dwóch stanów obciążeń: podczas montaxcu $q_1$ (rys..10a) , w którym powstaje naciąg $H_1$ i stanu ekploatacyjnego $q_2$ (rys.10b), w którym powstaje naciąg $H_2$.

$ \Delta l =\dfrac{H_2-H_1}{C}=\dfrac{A_m}{C}(\sigma_2-sigma_1)$,  (40)

W równaniu  (32b) należy zamienić $l$ na $l-\Delta l$. W rezulatcie wystąpią też stosowne zmiany w równaniu stanu (40).

Dwa stany ciągna rozpiętego na sprężystej konstrukcji.

Rys. 10 Dwa stany ciągna rozpiętego na sprężystej konstrukcji

Literatura

Galileusz. (1638). Dialogi o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym. Lejda.
Sofistic AG. (2008). SOFiSTiK Online User Maual Version 2010. Retrieved from http://www.strenco.pl/filemanager/userfiles/PDF/ConSteel_7%%200_Manual_PL_EC.pdf

 

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »