Podstawowymi elementami konstrukcji stalowych są belki i słupy. Belki są elementami zginanymi, a słupy ściskanymi Elementy te przed osiągnięciem pełnej nośności przekroju (plastycznej dla klasy 1-szej przekroju , lub 2-giej, sprężystej dla klasy 3-ciej lub pozakrytycznej dla klasy 4-tej) mogą utracić stateczność globalną elementu: słupy wybaczają się, a belki wichrzą i w związku z tym zasadniczo mają mniejszą nośność od przekroju pręta, z którego są wykonane.
W artykule przedstawiono klasyczne, normowe zasady wymiarowania belek konstrukcji stalowych, a w tym kontekście wybrane problemy szacowania współczynnika długości wyboczeniowej. Rozszerzenie tematu można znaleźć w artykule Współczynnik wyboczeniowy. Geneza i mit oraz w pracy (Chodor, 2016).
Spis treści
- 1 Elementy ściskane osiowo
- 2 Elementy ściskane i zginane
- 3 Długości wyboczeniowe prętów systemie
- 4 Wprowadzenie do metody imperfekcyjnej (A)
- 5 Literatura
Elementy ściskane osiowo
W najprostszym przypadku słup może być ściskany osiowo siłą stałą po jego długości.
Wyboczenia pręta idealnego i rzeczywistego
Zadanie wyboczenia słupów ściskanych osiowo zostało rozwiązane już w XVIII w. przez Eulera (1707-1783) i znane jest pod nazwą teorii wyboczenia giętnego. Euler pokazał, że idealnie prosty i ?ciskany osiowo pręt sprężysty może mieć dwie postacie równowagi: pozostaje prostoliniowy w zakresie siły ?ściskającej $0<N\le N_{cr}$, a po pewnej krytycznej wartości $N_{cr}$ ulega nagłemu wygięciu (rys.1). Właśnie to zjawisko nazywa się wyboczeniem giętnym.
Rys.1. Wyboczenie słupa idealnego
(Simoes, 2014)
Z elementarnego rozwiązania równania zginania i ściskania pręta idealnego (idealnie prostego i obciążonego idealnie osiowo, idealnie stałą siłą po długości), wynika że siła krytyczna $N_{cr}$ przy wyboczeniu w płaszczyźnie zawierającej oś $\bullet$, można zapisać formułą
| $ N_{cr \bullet}= \cfrac {\pi^2 \cdot EI_{\perp \bullet}}{L^2_{cr \bullet}}$ | (1) |
gdzie: E- moduł Younga materiału (dla stali E=210 GPa), $I_\bullet$- moment bezwładności przekroju pręta względem głównej, centralnej osi bezwładności przekroju $\bullet$, prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia (np. przy wyboczeniu w płaszczyźnie $\bullet=y$, $I_{\perp \bullet}=I_z$.
$L_{cr}$ jest długością wyboczeniową pręta, zależna od długości teoretycznej $L$ oraz warunków podparcia. Zwykle zapisuje się
| $ L_{cr}=\mu \cdot L$ | (2) |
gdzie $\mu$ jest współczynnikiem długości wyboczeniowej. Można pokazać, że $\mu$ przyjmuje wartości z przedziału:
| $ \mu=0,5 \, do \, \infty$ | (3) |
gdzie $\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta utwierdzono-utwierdzonego ( o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania), a $\mu= \infty$ odpowiada prętowi swobodnie zawieszonemu w przestrzeni (konstrukcja kinematycznie zmienna)
W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej. My NIE będziemy tego robić, albowiem NIE ma to większego znaczenia w analizach rzeczywistych konstrukcji, a może wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez przekonanie o tym, żę maksymalna wartość współczynnika $\mu$ wynosi 2,0 (jak dla wspornika). Jest to oczywiście szkodliwa wiedza, bowiem współczynnik długości wyboczeniowej może być wielokrotnie większy od 2,0. Wprowadzenie do teorii współczynników długości wyboczeniowych dokonamy dopiero w pkt 3 niniejszego artykułu, w celu wykazania okoliczności jak w zdaniach poprzednich.
Następnie należy z całą mocą podkreślić, że rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:
- oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta (wygięcia,
- słup nie jest pionowy, lecz ma imperfekcje przechyłowe,
- przekrój pręta nie jest stały pod długości, ze względu na imperfekcje charakterystyk przekroju,
- siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co gorsza ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy stupa -pręt w zasadzie od początku pracy jest obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.
W związku z tymi niedoskonałościami wzór (1) również NIE ma większego znaczenia praktycznego. Jest bowiem słuszny wyłącznie dla pręta idealnego. Ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważny przykład w teorii katastrof (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności w naukach podstawowych, (w tym przypadku matematyce, fizyce oraz mechanice).
Pręt rzeczywisty nie ulegnie wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany i ściskany, więc właściwa dla niego jest analiza drugiego rzędu, w której uwzględnia się wpływ przemieszczeń na siły przekrojowe.
W przypadku obciążenia pręta jednoczesnym zginaniem i ściskaniem stosowany przez inżynierów wzór wytrzymałościowy na naprężenia normalne zwykle zapisuje się w postaci:
| $\sigma=\sigma_M+\sigma_N=\cfrac{M}{I} \cdot z +\cfrac{N}{\chi \cdot A} \le f_y$ | (4a) |
lub w przestrzeni si przekrojowych w postaci:
| $\cfrac{M}{M_R} +\cfrac{N}{\chi \cdot N_R} \le 1$ | (4b) |
gdzie: $(M,N)$ – moment zginający i siła osiowa w przekroju krytycznym pręta, $M_R=W f_y$, $N_R=A f_y$, $I$- moment bezwładności pręta, $z$- odległość punktu przekroju od osi obojętnej, $A$- pole przekroju pręta, $W$- wskaźnik wytrzymałości przekroju, $f_y$ – granica plastyczności oraz $\chi$ współczynnik wyboczeniowy,
NIE ma to przekonywującego (są teoretycy, którzy używają określenia „ŻADNEGO”) uzasadnienia teoretycznego.
Przyczyny takiego stanu rzeczy wyjaśniliśmy dalej, a teraz dodamy, że:
1) sumowanie naprężeń od zginania $\sigma_M$ z naprężeniami od ściskania $\sigma_N$ jest nieprawidłowe z powodu nieobowiązywania zasady superpozycji w obszarach nieliniowych,
2) wyznaczanie współczynnika wyboczeniowego w złożonym stanie naprężenia jest nieprawidłowe, bo pręt zginany nie może ulec wyboczeniu,
Tym niemniej w praktyce inżynierowie chętnie stosowali i niestety nadal chętnie stosują, aproksymację (4a) lub (4b) ze względu na: a) trudności obliczeniowe w erze przedinformatyzacyjnej, oraz b) wystarczające dla praktyki przybliżenia uzyskiwane ze wzorów (4).
Wymiarowanie pręta ściskanego według Eurokodu 3
Podstawy normowe
Formuły (4) w prostym przypadku obciążenia, ściskania pręta, można zapisać w przestrzeni sił+przekrojowych w sposób (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):
| $\cfrac{N_{Ed}} {N_{b,Rd}}\le 1$ | (5) |
gdzie: $N_{Ed}$ – obliczeniowa siła ściskająca, $N_{b,Rd}$- nośność na wyboczenie elementu ściskanego
Nośność na wyboczenie elementu ściskanego należy obliczać z zależności (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):
| $N_{b,Rd}- \cfrac{\chi A_k f_y}{\gamma_{M1}}$ | (6) |
gdzie: $A_k$ pole przekroju pręta zależne od klasy przekroju: $A_k =A$ dla 1,2 i 3 klasy oraz $A_k = A_{eff}$ dla klasy 4-tej. Współczynnik materiałowy dla elementu $\gamma_{M1}=1,0$.
Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ zależy od smukłości względnej pręta
| $ \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{A_k f_y}{N_{cr}}}$ | (7) |
i jest wyznaczany z formuły (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.49)):
| $\chi=\cfrac{1}{\phi-\sqrt{\phi^2 -\overline \lambda^2}}$, lecz $\chi \le 1,0$, gdzie | (8) |
| $\phi=0,5\left [ 1+\alpha(\overline \lambda-0,2)-\overline \lambda^2\right]$ | (9) |
W przypadku elementów o smukłości $\overline \lambda <0,2$ warunek stateczności elementu sprowadza się do sprawdzenia nośności przekroju.
Parametr imperfekcji $\alpha$ przyjmuje się w zależności od rodzaju krzywej wyboczeniowej, przypisanej do kształtu przekroju, na podstawie tab.1 i tab.2
Tab.1. Parametry imperfekcji $\alpha$ krzywych wyboczeniowych
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. )
Tab.2. Przyporządkowanie krzywych wyboczenia do rodzaju przekroju stalowego
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.2)
Wykres zależności współczynnika wyboczeniowego (8) od smukłości względnej (7) uzyskany z powyższych formuł zobrazowano na rys.2.
Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów
Po podstawieniu eulerowskiej siły krytycznej (1) w zapisie $N_{cr}=\cfrac{\pi^2\cdot EI}{L^2_{cr}}$ do (7), otrzymamy wyrażenie na smukłość względną w postaci (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)-(6.51)):
| $\overline \lambda=\sqrt{\cfrac{A_k \cdot f_y}{N_{cr}}}=\cfrac{L_{cr}}{i} \cfrac {1}{\lambda_1}$, gdzie: | (10) |
promień bezwładności przekroju $i=( {\frac{I}{A}})^{1/2} $.
Smukłość porównawcza $\lambda_1= \pi (E/f_y)^{1/2}=93,9 \varepsilon$.
Współczynnik gatunku stali $\varepsilon=(235/f_y)^{1/2}$, ($f_y$ w [MPa]).
Współczynnik $\varepsilon $ dla poszczególnych stali wynosi
S235 1,00
S275 0,924
S355 0,814
Formuły (7) i (10) są tożsame, to znaczy wyznaczenie $N_{cr}$ ze wzoru Eulera i podstawienie do (7) nie może dać innego rezultatu od wartości, uzyskanej bezpośrednio z (10). W celu uzyskania lepszego wyniku należy wyznaczyć siłę krytyczną pręta w inny sposób niż z wzoru Eulera – polecane są współczesne programy obliczeniowe, np. Consteeel.
Wyznaczanie siły krytycznej ze wzoru Eulera jest obarczone dużą niepewnością, wynikającą z tego, że zależy od poprawnego przyjęcia długości wyboczeniowej $L_{cr}$, a to w praktycznych przypadkach rzeczywistych konstrukcji nie jest zadaniem banalnym. Większość ram stalowych jest przesuwna, a więzy są odkształcalne (nie są w pełni przegubowe, czy też sztywne). W takiej sytuacji szacowanie długości wyboczeniowych na podstawie prostych schematów statycznych znanych z mechaniki, prowadzi do bardzo istotnych błędów. Błąd ten wzmacnia się przy wyznaczaniu współczynnika wyboczeniowego, który jest silnie nieliniową funkcją długości wyboczeniowej.
Dlatego należy sformułować wniosek:
Wyznaczanie współczynnika wyboczeniowego z formuły (10) NIE ma większego znaczenia praktycznego w analizach rzeczywistych konstrukcji. Smukłość słupa osiowo ściskanego wyznaczamy bezpośrednio z formuły (7), a siłę krytyczną $N_{cr}$ należy przyjąć z rozwiązania pomocniczego zadania mechaniki – problemu wyboczeniowego z wykorzystaniem numerycznych procedur MES dla całego systemu konstrukcyjnego, do którego przynależy słup.
Przykład numeryczny
(Simoes, 2014)
Sprawdzić wytrzymałość słupa wykonanego z kształtownika HEB340- S355 ściskanego osiowo.
Charakterystyki geometryczne HEB340: h=300 mm, b=340 mm, tw=12 mm, tf=21,5 mm, A=170,9 cm2, iy=14,65 cm, iz=7,53 cm.
Parametry stali S355: fy = 355 MPa, $\varepsilon=\sqrt{235/355}=0,814$
Z rozwiązania układu konstrukcyjnego i po wyliczeniu kombinacji uzyskano obliczeniową siłę ściskającą słup
$N_{Ed}=3326,0 \, kN$.
Zarówno w głowicy jak i w stopie wykonstruowano przestrzenne przeguby.
Taki słup jest wyjątkowym przypadkiem i jest nazywany wahaczem.
Długości wyboczeniowe w obu płaszczyznach są takie same i są równe długości teoretycznej $L_{cr, y} =L_{cr, z}=L$
Odległość między przegubami jest wysokością kondygnacji budynku i wynosi 4335 mm. Długość wyboczeniowa jest taka sama w obu płaszczyznach: w płaszczyźnie ramy (x-y) – wyboczenie wokół osi z i z płaszczyzny ramy (x-z) – wyboczenie wokół osi y: $L{cr,z}=L{cr,y}=435 cm$.
Rys.3. Plan główny konstrukcji z oznaczonym słupem do przykładu
(Simoes, 2014)
Klasa przekroju
W przykładzie 4.2 artykułu klasa przekroju, pokazano, że środnik, pas i cały przekrój HEB340-S355, jest klasy 1 .
Sprawdzenie nośności przekroju
$N_{Ed}=3326,0 \ kN \le N_{Rd}= \cfrac {A f_y}{\gamma_{M0}}=\cfrac {170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,0}=6067,0 \ kN $
Współczynnik wyboczeniowy [analitycznie]
$\lambda_1=93,9 \cdot 0,814=76,41$,
Ponieważ $h/b=340/300=1,13 \le 1,2$ oraz $t_f=21,5 < 100 \,mm \to$ (tab.2),
to mamy krzywe wyboczeniowe:
przy wyboczeniu wokół osi (y) – „b” ($\alpha=0,34 $),
przy wyboczeniu wokół osi (z) – „c” ($\alpha=0,49 $).
Wyboczenie z płaszczyzny (wokół osi y)
$\lambda_y=\cfrac{433,5}{14,65}=29,59$, $\overline \lambda_y=\cfrac{29,7}{76,41}=0,39$,
$\phi_y=0,5+[1+0,34\times(0,39-0,2)+0,39^2)]=0,61 $
$\chi_y= \cfrac {1} {0,61+ \sqrt {0,61^2-0,39^2}}=0,93 $
Wyboczenie w płaszczyźnie (wokół osi z)
$\lambda_z=\cfrac{433,5}{7,53}=57,57$, $\overline \lambda_z=\cfrac{57,57}{76,41}=0,75$
„c” $\to \alpha=049 $,
$\phi_z=0,5+[1+0,49\times(0,75-0,2)+0,75^2)]=0,92 $
$\chi_z= \cfrac {1} {0,92+ \sqrt {0,92^2-0,75^2}}=0,69 $
$\chi= \min \{ 0,93 ; 0,69 \}= 0,69$.
Współczynniki wyboczeniowy [z wykresu]
Rys.4 . Wyznaczenie współczynnika wyboczeniowego z wykresu
(Simoes, 2014)
Sprawdzenie nośności elementu
$3326,0 \ kN \le \cfrac {0,69 \cdot 170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,0}=4186,2 \ kN $
Elementy ściskane i zginane
Elementy ściskane i zginane są najczęściej spotykanymi elementami stalowymi. W zasadzie (p. pkt.1) wszystkie rzeczywiste elementy ściskane są jednocześnie zginane. Poniżej zamieszczono krótkie wprowadzenie do zagadnienia. Rozwinięcie zagadnienia zawiera artykuł Stalowe słupy hal, w którym zdefiniowano element belka-słup.
Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62))warunki nośności elementów zginanych i ściskanych są następujące:
gdzie:
$N_{Ed}$, $M_{y,Ed}$, $M_{z,Ed}$- obliczeniowa siła osiowa, maksymalny na belce moment zginający względem osi y oraz maksymalny moment zginający względem osi z,
$\Delta M_{y,Ed}$ i $\Delta M_{z,Ed}$ – ewentualne dodatkowe momenty, spowodowane przesunięciem środka ciężkości przekroju klasy 4 na skutek zredukowania jego przekroju do przekroju efektywnego wg tab 5.
$\chi_y$ , $\chi_z$ −współczynniki wyboczenia giętnego względem stosownych osi,
$\chi_{LT}$ – współczynnik zwichrzenia,
kyy, kyz, kzy, kzz– współczynniki interakcji, które można obliczać każdą naukowo i technicznie uzasadnioną metodą (wybór w zasadzie zależy od inżyniera -projektanta) W normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62)) podano przykładowo dwie metody: metoda 1 (załącznik A) i metoda 2 (Załącznik B).
Tab.3. Definicje charakterystyk geometrycznych prętów z przekrojami różnych klas
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab 6.7)
Długości wyboczeniowe prętów systemie
Geometryczny interpretacja długości wyboczeniowej
Na rys. 5 zestawiono klasyczne, standardowe przypadki I do VI prętów i stosowne współczynniki długości wyboczeniowych $\mu$ do formuły (2).
Rys.5. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla podstawowych przypadków Eulera
Standardowe przypadki Eulera w praktyce nie wystąpią , przede wszystkim dlatego, że sztywności węzłów nie są idealne. Konsekwencje pokażemy w kolejnych punktach.
Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypadków złożonych i sens geometryczny
W bardziej złożonych przypadkach użyteczna jest interpretacja geometryczna długości wyboczeniowej. Na tej podstawie można skutecznie określić długośc wyboczeniową w złożonym przypadku pręta. Oceny dokonujemy po oszacowaniu osi wygiętego pręta jako długość cięciwy prostopadłej do łuku odkształconej osi. Ilustruje to rys. 6 (1). Wynikające z takiego podejścia współczynniki długości wyboczeniowej oszacowano dla 7-miu szczególnych przypadków.
Długość wyboczeniowa zależy od sztywności całej konstrukcji
Rozpatrzmy przykład prostej ramy, złożonej ze słupa i rygla w sposób pokazany na rys.7.
Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długości wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu
W pracy (Petersen, 2013) pokazano ścisłe rozwiązanie problemu wg teorii II rzędu, które dla $H=0$ (dla zagadnienia wyboczenia) zależy od parametru
| $\kappa=\cfrac{EI_S}{EI_R}\cdot\frac{l_R}{l_S}$ | (11) |
Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7
Rozwiązanie graficzne, pokazane na rys. 8 przedstawia zmienną $y_1=tan (\varepsilon_S)$ w funkcji parametru $\kappa$ (11).
Wartość rzędnej $\varepsilon_S =l_S \sqrt {\frac{A}{EI_S}}$ (A jest reakcją 2-rzędu stopy słupa). Dla $\kappa=1$ – z rys.8 odczytujemy rozwiązanie zagadnienia poprzez rzutowanie punktu przecięcia $y_1$ z $\kappa$. Dla $\kappa=1$ otrzymamy $\varepsilon_S=2,45$.
Z porównania $\cfrac{\pi^2 EI_S}{(\mu\cdot l_S)^2}=2,45^2 \cdot \cfrac{EI_S}{l_S^2}$ uzyskujemy $\mu=\cfrac{\pi}{2,45}=1,28$.
Pokazaliśmy, że w przypadku słupa idealnie utwierdzonego w podłożu i w głowicy współczynnik długości wyboczeniowej jest znacznie większy od 0,5 lub 1 i dla identycznych belkowych sztywności rygla i słupa może wynosić 1,28 .
Rozważania dla innych przypadków było przedmiotem wielu prac. W kolejnym prunkcie podamy praktycznie użyteczne aproksymacje długości wyboczeniowych słupów ram i układów wielokondygnacyjnych.
Nomogramy do wyznaczania długości wyboczeniowych
Na rys. 9 pokazano nomogram do wyznaczania długości wyboczeniowych słupów układów przesuwnych (ang unbraced).
Rys 9 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów przesuwnych
[zmodyfikowane (PN-90/B-03200, 1990, (Z1-3))]
Osie współrzędnych nomogramu są podatnościami węzłów dolnego $k_1$ i górnego $k_2$ słupa ( w przypadku belek-słupów będzie to odpowiednio koniec lewy i prawy).
W praktyce rzadziej stosuje się układy o węzłach nieprzesuwnych dla których nomogram jest istotnie inny, jak pokazano na rys. 10.
Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów nieprzesuwnych
[zmodyfikowane (PN-90/B-03200, 1990, (Z1-3))]
Stopień podatności węzłów wyznacza się z zależności:
| $k_i= \cfrac{\overline K_S}{\overline K_S+\overline K_R}$, lecz $k_i \ge 0,3$, | (12) |
w której:
$\overline K_S=\cfrac{I_S}{l_S}$ – względna sztywność słupa (w stosunku do modułu Younga E)
$\overline K_R=\sum \limits_{(i)} \left( \eta \cfrac {I_R}{l_R}\right)$ – względna sztywność rygli,
przy czym:
$ \sum \limits_{(i)}$ – sumowanie obejmuje elementy (bez słupa) leżące w płaszczyźnie wyboczenia i sztywno połączone ze słupem w rozpatrywanym węźle (i=1, 2),
$\eta$ – współczynnik uwzględniający warunki podparcia na drugim końcu belki-rygla. W przypadku układu o węzłach przesuwnych (w nawiasie nieprzesuwnych):
$\eta=1,5 (0,5)$ przy podparciu przegubowym,
$\eta=2,0 (1,0)$ przy sztywnym utwierdzeniu:
Dla stopy sztywnej (przenoszącej ściskanie ze zginaniem) można przyjmować $\overline K_R = \overline K_S$, a w pozostałych przypadkach $\overline K_R = 0,1 \overline K_S$
Długości wyboczeniowe zależą od obciążenia (stopnia wytężenia) pręta
W wielu pracach pokazano, że sztywność wyodrębnionego z systemu pręta ściskanego (lub rozciąganego) zależy od wielkości obciążenia. Na rys.11 pokazano zależność sztywności pręta (ściskanego lub rozciąganego) z głowicą przesuną o $\Delta$ od stopnia obciążenia. Przy braku obciążenia sztywność jest zerowa, dla $N=N_{cr,L}$, czyli przy obciążeniu silą ściskającą Eulera odpowiadającą $\mu=1$ sztywność jest nieskończenie duża, co wynika z formuł ścisłych, ale też formuły aproksymacyjnej (zmieniono oryginalne oznaczenie sztywności $\alpha$ na $K$):
| $K=-\cfrac{2EI}{L} \cfrac{(\pi^2/4)(N/N_{cr})}{1- N/N_{cr}}$, | (13) |
Ry.11. Sztywność pręta przesuwnego w funkcji obciążenia: a) schemat pręta z głowica przesuwną o $\Delta$, b) wykres sztywności $K$ : formuły ścisłe i aproksymacja
(Trahair, Bradford, 2008, rys.3.18)
Rys.12 Słup w systemie prętów
W przypadku systemu prętów, pokazanego na rys.12 o węzłach 1 i 2 , słup (1-2) ma sztywność (13), natomiast sztywności zamocowania w węzłach zależą od sztywności prętów (rygli bez słupa) zbiegających się w węźle zgodnie z formułą (Trahair, Bradford, 2008, (3.47)):
| $ \gamma_i=\frac{K_S}{\sum \limits_i K_R}$ (i=1,2) | (14) |
gdzie:
$K_S=(6 EI/L)_S$
$K_R$ wg formuł podanych na rys..13 zależnie od rodzaju elementu.
Na przykład dla 3-ciego elementu nieprzesuwnego jest $K_R=\frac{6EI}{L}\left(1-\frac{N}{4 N_cr,L} \right)$
Rys.13 . Sztywności elementów prętowych (aproksymacja)
Współczynnik dlugości wyboczeniowej $\mu=\cfrac{L_{cr}}{L}$ jest pierwiastkiem równania
| $\frac{\gamma_1 \cdot \gamma_2(\pi/\mu)^2 -36}{6(\gamma_1+\gamma_2)}=\frac{\pi}{\mu} \cdot ctg \frac{\pi}{\mu}$ | (15) |
Rozwiązanie równania (15) można przedstawić w formie nomogramu ( dokładnie rys.9), przy czym współczynniki podatności wynoszą (Petersen, 2013)
W pracy (Petersen, 2013) przeanalizowano ramy jednokondygnacyjne o kształcie pokazanym na rys. 14 a – c, przy czym słup może być przegubowo oparty na fundamencie lub w nim zamocowany.
Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana
(Petersen, 2013, rys. 116)
Stopa przegubowa realizuje się w sposób pokazany na rys. 15a, a utwierdzenie 15 b) lub c).
Rys.15. Stopa słupa stalowego: a) przegubowa, b,c)- utwierdzona
(Petersen, 2013, rys. 115)
W przypadku równych sił w slupach ramy portalowej współczynniki długości wyboczeniowej słupów można dobierać z nomogramów pokazanych na rys. 16
Rys. 16. Współczynniki długości wyboczeniowych słupów ram portalowych $\mu$ w funkcji współczynnika stosunku sztywności $k_{S-R}$
Współczynnik stosunku sztywności słupa i rygla $k_{S-R}$ należy przyjmować z zależności zestawionych na rys. 16. Podstawową wartość opisuje formuła:
| $k_{S-R}=\frac{EI_S/l_S}{K_R}$ | (19) |
gdzie sztywność rygla wynosi:
dla rygla prostego (rys. 14a) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}$,
dla rygla pochyłego (rys. 14b) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot cos\alpha$,
dla rygla łukowego (rys. 14c) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot\frac{1}{2\left( \frac{r}{l \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha – \alpha}\right)}$.
W przypadku różnych sił działających w słupach należy wyznaczyć spodziewany stosunek
| $m=\cfrac{ min F}{max F}=\cfrac{F_1}{F_2}$, | (20) |
a następnie współczynniki korekcyjne dla słupa 1 i 2:
| $\alpha_1 \sqrt{0,5(1+m)} \le 1,0$, $\alpha_2=\alpha_1 \cdot \sqrt{m}$ | (21) |
Ostatecznie współczynnik długości wyboczeniowej dla słupa 1 wynosi:
| $\mu_1=\mu \cdot \alpha_1$ | (22a) |
Przykład liczbowy
Rys.17 Rama portalowa do przykładu 3.6
Wyznaczyć długość wyboczeniową słupa ramy pokazanej na rys. 17 dla danych:
Rygiel HEA 260 ($I_R=10455 cm^4 $,),
Słupy HEB200 ($I_S=5696 cm^4$),
Stosunek obciążenia .$m=\cfrac {F_1}{F_2}=0,75$.
Długość wyboczeniowa wg (PN-90/B-03200, 1990)
Rama jest układem o węzłach przesuwnych w płaszczyźnie. W (PN-90/B-03200, 1990) nie uwzględnia się poziomu obciążenia , ani różnicy obciążeń słupów.
Sztywność rygla $K_R= \cfrac{10445}{800}=130,6 cm^3$
Sztywność słupa $K_S= \cfrac{5696}{400}= 14,2 cm^3$
Sztywność zamocowania $K_F= 0,1\cdot 14,2=1,4 cm^3$ (stopa jest przegubowa)
Współczynnik podatności węzła dolnego $k_1= \cfrac{14,2}{14,2+1,4}=0,91$
Współczynnik podatności węzła górnego k2=0,05.
Z nomogramu rys. 9 po interpolacji liniowej odczytujemy $\mu=1,7$
Długość wyboczeniowa słupa $L_{cr}=1,7 \cdot 400=680 cm$.
Długość wyboczeniowa wg (Trahair, Bradford, 2008)
Wyznaczymy długość wyboczeniową słupa ramy dla dwóch różnych poziomów obciążenia:
dla F1=20% i 80% $N_{cr,L}$
Długość wyboczeniowa wg (Petersen, 2013)
Współczynnik stosunku sztywności słupów i rygla wynosi $k_{S-R}=\cfrac{1}{6}\cfrac{EI_S}{EI_R} \cfrac{l_R}{l_S}=\cfrac{1\cdot5696\cdot8,0}{6\cdot 10455\cdot 4,0=0,182}$.
Z nomogramu rys. 16 dla ramy ze stopami przegubowymi odczytujemy i równych sił w słupach odczytujemy $\to \mu=2,34$.
Ponieważ siły w słupach mogą się różnić ($m=\cfrac{F_1}{F_2}=0,75$), więc współczynnik korekcyjny wynosi $\alpha_m=\sqrt{0,5(1+0,75)}=0,935$.
Ostatecznie:
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 1: $\mu_1=0,935 \cdot 2,234=2,20$,
Współczynnik długości wyboczeniowe słupa 2 $ \mu_2=\cfrac{2,20}{\sqrt{0,75}}=1,91$
długość wyboczeniowa słupa 1: $L_{cr,1}=2,20\cdot 400=880 cm$,
długość wyboczenia słupa 2: $L_{cr ,2}=1,91 \cdot 400= 762 cm$
Długość wyboczeniowa wg obliczeń numerycznych (program Consteel)
Wobec stwierdzenia istotnej różnicy długości wyboczeniowych , uzyskanych w poprzednich punktach przeprowadzono obliczenia numeryczne za pomocą programu Consteel.
Wnioski z przykładu
Z przeprowadzonych obliczeń porównawczych metodami nomogramowymi oraz numerycznymi, stwierdzono:
- Metody nomogramowe prowadzą do znacznych błędów w oszacowaniu długości wyboczeniowych i w zasadzie nie powinny być stosowane w praktycznych obliczeniach inżynierskich,
- Długości wyboczeniowe słupów ram istotnie zależą od poziomu wytężenia słupa. W przypadku siły w pręcie równej sile krytycznej $N_{cr}$ z (7) uzyskujemy $\overline \lambda=1,0$
- Z wniosku 2, wynika, że współczynnik wyboczeniowy $\chi$ wyznaczony dla każdego pręta przy $\overline \lambda=1,0$, zależy wyłącznie od stopnia imperfekcji, to znaczy od wstępnych wygięć (tab.4).
- W świetle powyższych analiz nie ma uzasadnienia szacowanie długości wyboczeniowych i zależnych od nich współczynników wyboczeniowych, a w konsekwencji wymiarowanie prętów ściskanych (również zginanych – zwichrzenie) metodami klasycznymi, powszechnie stosowanymi przez inżynierów.
- Uzasadnioną metodą wymiarowania prętów ściskanych jest wyłącznie metoda impefekcyjna (metoda A). Metoda jest prostsza do zastosowań iod klasycznej metody inżynierskiej i nie wymaga wyznaczania długości wyboczeniowych, a nawet współczynników wyboczeniowych. Wprowadzenie do metody A podano w pkt 4.
Wprowadzenie do metody imperfekcyjnej (A)
Konstrukcje z imperfekcjami
Analiza konstrukcji powinna uwzględniać wpływ imperfekcji obejmujących naprężenia własne oraz odchyłki geometryczne, takie jak: brak prostopadłości, brak prostości, brak płaskości, brak przylegania oraz wszelkie niewielkie mimośrody montażowe występujące w węzłach konstrukcji.
Zaleca się stosować zastępcze imperfekcje geometryczne, patrz o wartościach odzwierciedlających wszelkie możliwe wpływy imperfekcji różnych typów, chyba że wpływy te zostały uwzględnione w kryteriach nośności elementów
W analizie konstrukcji należy uwzględniać:
- imperfekcje globalne układów ramowych i stężeń,
- imperfekcje lokalne pojedynczych elementów.
Imperfekcje elementów
Zgodnie z zaleceniami normy (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) w analizie globalnej służącej wyznaczeniu sił wewnętrznych i momentów, niezbędnych przy sprawdzeniu nośności elementów, lokalne imperfekcje łukowe mogą być pomijane. Jednak w analizie ram wrażliwych na efekty drugiego rzędu, oprócz globalnych imperfekcji przechyłowych dodatkowo zaleca się wpowadzenie lokalnych imperfekcji łukowe w przypadku elementów ściskanych, gdy zachodzą następujące okoliczności:
- co najmniej jeden węzeł elementu przenosi moment,
- względna smukłość elementu , szacowana jak dla elementu przegubowo-przegubowego spełnia warunek
| $\overline \lambda > 0,5 \sqrt { \cfrac {A \cdot f_y}{N_{Ed}}}$ | (23) |
Lokalne imperfekcje łukowe są uwzględnione w formułach nośności elementów poprzez współczynnik wyboczeniowy oraz współczynnik zwichrzenia. W przypadku wymiarowania według teorii 2-rzędu bez współczynników niestateczności lokalne imperfekcje łukowe należy uwzględnić poprzez obciążenie elementu zastępczymi siłami poprzecznymi.
Wstępne imperfekcje przechyłowe i lokalne imperfekcje łukowe można zastąpić układami równoważnych sił poziomych działających na poszczególne słupy, zgodnie z rys.18.
Rys.18. Zastępcze imperfekcje łukowe i przechyłowe
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)
Wstępne imperfekcje przechyłowe charakteryzowane są kątem przechyłu $Phi$, którego wartość maksymalna (podstawowa) wynosi
| $\Phi_o=\cfrac{1}{200}$ | (24) |
Kąt przechyłu (18) może zostać zredukowany przy dużych wysokościach h słupów oraz liczbie m słupów w rzędzie
| $\Phi=\alpha_h \cdot \alpha_m\cdot \Phi_o$, gdzie: | (25) |
- współczynnik redukcyjny ze względu na wysokość obiektu
| $\alpha_h= \cfrac{2}{\sqrt{h}}$, lecz $\cfrac{2}{3}\le \alpha_h \le 1,0$ | (26) |
- współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę słupów
| $\alpha_m= \sqrt{0,5 (1+1/m)}$ | (27) |
gdzie: h- wysokość konstrukcji w metrach, m-liczba słupów w rzędzie, które przenoszą nie mniej niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyżnie poziomej.
Wstępne imperfekcje łukowe charakteryzowane są strzałką wygięcia $e_{0,d}$. W tab 4 podano względne mimośrody $e_{0,d}/L$, które odpowiadają sytuacji, opisanej krzywą wyboczeniową „a0” do „d”, to znaczy sytuacji wg tab.2.
Tab.4. Względne mimośrody obliczeniowe $ \frac{e_{0,d}}{L}$ (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)
Analiza nośności słupa ze względu na wyboczenie w zalecanej procedurze 2-rzędu z uwzględnieniem imperfekcji, ale już bez współczynnika wyboczeniowego nie jest przedmiotem niniejszego artykułu, ale jest omówione w innych artykułach encyklopedii $\pi Wiki$.
Wstępne analizy zostały przeprowadzone w pracy (Chodor, 2016) i są przedmiotem dalszych badań w toku pracy nad monografią Imperfekcyjna teoria niezawodności konstrukcji (Chodor, 2017).
Literatura
