Ściskane pręty stalowe

Podstawowymi elementami konstrukcji stalowych są  belki i słupy. Belki są elementami zginanymi, a słupy ściskanymi Elementy te przed osiągnięciem pełnej nośności przekroju (plastycznej dla klasy 1-szej przekroju , lub 2-giej, sprężystej dla klasy 3-ciej lub pozakrytycznej dla klasy 4-tej)  mogą utracić stateczność globalną elementu: słupy wybaczają się, a belki wichrzą i w związku z tym zasadniczo mają mniejszą nośność od przekroju pręta,  z którego są wykonane.

W artykule przedstawiono klasyczne, normowe  zasady wymiarowania belek konstrukcji stalowych, a w tym kontekście wybrane problemy szacowania współczynnika długości wyboczeniowej. Rozszerzenie tematu można znaleźć w artykule Współczynnik wyboczeniowy. Geneza i mit  oraz w pracy (Chodor, 2016).

Elementy ściskane osiowo

W najprostszym przypadku słup może być ściskany osiowo siłą  stałą po jego długości.

Wyboczenia pręta idealnego i rzeczywistego

Zadanie wyboczenia słupów ściskanych osiowo zostało rozwiązane już w XVIII w. przez Eulera (1707-1783) i znane jest pod nazwą teorii wyboczenia giętnego. Euler pokazał, że idealnie prosty i ściskany osiowo pręt sprężysty może mieć dwie postacie równowagi: pozostaje prostoliniowy w zakresie siły ?ściskającej $0<N\le N_{cr}$, a po pewnej krytycznej wartości $N_{cr}$ ulega nagłemu wygięciu (rys.1). Właśnie to zjawisko nazywa się wyboczeniem giętnym.

 Wyboczenie słupa idealnego

Rys.1. Wyboczenie słupa idealnego

(Simoes, 2014)

Z elementarnego rozwiązania równania zginania i ściskania pręta idealnego (idealnie prostego i obciążonego idealnie osiowo, idealnie stałą siłą po długości), wynika że siła krytyczna $N_{cr}$  przy wyboczeniu w płaszczyźnie zawierającej oś $\bullet$, można zapisać formułą

$ N_{cr \bullet}= \cfrac {\pi^2 \cdot EI_{\perp \bullet}}{L^2_{cr \bullet}}$  (1)

gdzie: E- moduł  Younga materiału (dla stali E=210 GPa), $I_\bullet$- moment bezwładności przekroju pręta względem głównej, centralnej osi bezwładności przekroju $\bullet$, prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia (np. przy wyboczeniu w płaszczyźnie $\bullet=y$, $I_{\perp \bullet}=I_z$.

$L_{cr}$ jest długością wyboczeniową pręta, zależna od długości teoretycznej $L$ oraz warunków podparcia. Zwykle zapisuje się

$ L_{cr}=\mu \cdot L$  (2)

gdzie $\mu$ jest współczynnikiem długości wyboczeniowej. Można pokazać, że $\mu$ przyjmuje wartości z przedziału:

$ \mu=0,5 \, do \, \infty$  (3)

gdzie $\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta utwierdzono-utwierdzonego ( o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania), a $\mu= \infty$ odpowiada prętowi swobodnie zawieszonemu w przestrzeni (konstrukcja kinematycznie zmienna)

W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej. My NIE będziemy tego robić, albowiem NIE ma to większego znaczenia w analizach rzeczywistych konstrukcji, a może wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez przekonanie o tym, żę  maksymalna wartość współczynnika  $\mu$ wynosi 2,0 (jak dla wspornika). Jest to oczywiście szkodliwa wiedza, bowiem współczynnik długości wyboczeniowej może być wielokrotnie większy od 2,0. Wprowadzenie do teorii współczynników długości wyboczeniowych dokonamy dopiero w pkt 3 niniejszego artykułu, w celu wykazania okoliczności jak w zdaniach poprzednich.

Następnie należy z całą mocą podkreślić, że rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:

  • oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta (wygięcia,
  • słup nie jest pionowy, lecz ma imperfekcje przechyłowe,
  • przekrój pręta nie jest stały pod długości, ze względu na imperfekcje charakterystyk przekroju,
  • siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co gorsza ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy stupa -pręt w zasadzie od początku pracy jest obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.

W związku z tymi niedoskonałościami wzór (1) również NIE ma większego znaczenia praktycznego. Jest bowiem słuszny wyłącznie dla pręta idealnego. Ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważny przykład w teorii katastrof (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności w naukach podstawowych, (w tym przypadku matematyce, fizyce oraz mechanice).

Pręt rzeczywisty nie ulegnie wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany i ściskany, więc właściwa dla niego jest analiza drugiego rzędu, w której uwzględnia się wpływ przemieszczeń na siły przekrojowe.

W przypadku obciążenia pręta jednoczesnym zginaniem i ściskaniem stosowany przez inżynierów wzór wytrzymałościowy na naprężenia normalne zwykle zapisuje się w postaci:

$\sigma=\sigma_M+\sigma_N=\cfrac{M}{I} \cdot z +\cfrac{N}{\chi \cdot A} \le f_y$  (4a)

lub w przestrzeni si przekrojowych w postaci:

$\cfrac{M}{M_R} +\cfrac{N}{\chi \cdot N_R} \le 1$  (4b)

gdzie: $(M,N)$ – moment zginający i siła osiowa w przekroju krytycznym pręta, $M_R=W f_y$, $N_R=A f_y$, $I$- moment bezwładności pręta, $z$- odległość punktu przekroju od osi obojętnej, $A$- pole przekroju pręta, $W$- wskaźnik wytrzymałości przekroju,  $f_y$ – granica plastyczności oraz $\chi$ współczynnik wyboczeniowy,

NIE ma to przekonywującego (są teoretycy, którzy używają określenia „ŻADNEGO”) uzasadnienia teoretycznego.

Przyczyny takiego stanu rzeczy wyjaśniliśmy dalej, a teraz dodamy, że:

1) sumowanie naprężeń od zginania $\sigma_M$ z naprężeniami od ściskania $\sigma_N$ jest nieprawidłowe z powodu nieobowiązywania zasady superpozycji w obszarach nieliniowych,

2) wyznaczanie współczynnika wyboczeniowego w złożonym stanie naprężenia jest nieprawidłowe, bo pręt zginany nie może ulec wyboczeniu,

Tym niemniej w praktyce inżynierowie chętnie stosowali i niestety nadal chętnie stosują, aproksymację (4a) lub (4b) ze względu na: a) trudności obliczeniowe w erze przedinformatyzacyjnej, oraz b) wystarczające dla praktyki przybliżenia uzyskiwane ze wzorów (4).

Wymiarowanie pręta ściskanego według Eurokodu 3

Podstawy normowe

Formuły (4) w prostym przypadku obciążenia, ściskania pręta, można zapisać w przestrzeni sił+przekrojowych w sposób (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):

$\cfrac{N_{Ed}} {N_{b,Rd}}\le 1$  (5)

gdzie: $N_{Ed}$ – obliczeniowa siła ściskająca, $N_{b,Rd}$- nośność na wyboczenie elementu ściskanego

Nośność na wyboczenie elementu ściskanego należy obliczać z zależności (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):

$N_{b,Rd}- \cfrac{\chi A_k f_y}{\gamma_{M1}}$  (6)

gdzie: $A_k$ pole przekroju pręta zależne  od klasy przekroju: $A_k =A$  dla 1,2 i 3 klasy oraz $A_k = A_{eff}$ dla klasy 4-tej. Współczynnik materiałowy dla elementu $\gamma_{M1}=1,0$.

Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ zależy od smukłości względnej pręta

$ \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{A_k f_y}{N_{cr}}}$  (7)

i jest wyznaczany z formuły (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.49)):

$\chi=\cfrac{1}{\phi-\sqrt{\phi^2 -\overline \lambda^2}}$,  lecz  $\chi \le 1,0$, gdzie  (8)
$\phi=0,5\left [ 1+\alpha(\overline \lambda-0,2)-\overline \lambda^2\right]$  (9)

W przypadku elementów o smukłości $\overline \lambda <0,2$ warunek stateczności elementu sprowadza się do sprawdzenia nośności przekroju.

Parametr imperfekcji  $\alpha$  przyjmuje się w zależności od rodzaju krzywej wyboczeniowej, przypisanej do kształtu przekroju, na podstawie tab.1 i tab.2

Tab.1. Parametry imperfekcji $\alpha$ krzywych wyboczeniowych
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. )
Parametr wyboczenia

Tab.2. Przyporządkowanie krzywych wyboczenia do rodzaju przekroju stalowego
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.2)

Przyporządkowwanie wyboczenia

Wykres zależności współczynnika wyboczeniowego (8) od smukłości względnej (7) uzyskany z powyższych formuł zobrazowano na rys.2.

Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów

Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. )

Po podstawieniu eulerowskiej siły krytycznej (1) w zapisie $N_{cr}=\cfrac{\pi^2\cdot EI}{L^2_{cr}}$ do (7), otrzymamy wyrażenie na smukłość względną w postaci (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)-(6.51)):

$\overline \lambda=\sqrt{\cfrac{A_k \cdot f_y}{N_{cr}}}=\cfrac{L_{cr}}{i} \cfrac {1}{\lambda_1}$, gdzie: (10)

promień bezwładności przekroju $i=( {\frac{I}{A}})^{1/2} $.

Smukłość porównawcza $\lambda_1= \pi (E/f_y)^{1/2}=93,9 \varepsilon$.
Współczynnik gatunku stali $\varepsilon=(235/f_y)^{1/2}$, ($f_y$ w [MPa]).

Współczynnik $\varepsilon $ dla poszczególnych stali wynosi
S235   1,00
S275   0,924
S355   0,814

Formuły (7) i (10) są tożsame, to znaczy wyznaczenie $N_{cr}$ ze wzoru Eulera i podstawienie do (7) nie może dać innego rezultatu od wartości, uzyskanej bezpośrednio z (10). W celu uzyskania lepszego wyniku należy wyznaczyć siłę krytyczną pręta w inny sposób niż z wzoru Eulera – polecane są współczesne programy obliczeniowe, np. Consteeel.

Wyznaczanie siły krytycznej ze wzoru Eulera jest obarczone dużą niepewnością, wynikającą z tego, że zależy od poprawnego przyjęcia długości wyboczeniowej $L_{cr}$, a to w praktycznych przypadkach rzeczywistych konstrukcji nie jest zadaniem banalnym. Większość ram stalowych jest przesuwna, a więzy są odkształcalne (nie są w pełni przegubowe, czy też sztywne). W takiej sytuacji szacowanie długości wyboczeniowych na podstawie prostych schematów statycznych znanych z mechaniki, prowadzi do bardzo istotnych błędów. Błąd ten wzmacnia się przy wyznaczaniu współczynnika wyboczeniowego, który jest silnie nieliniową funkcją długości wyboczeniowej.

Dlatego należy sformułować wniosek:

Wyznaczanie współczynnika wyboczeniowego z formuły (10) NIE ma większego znaczenia praktycznego w analizach rzeczywistych konstrukcji. Smukłość słupa osiowo ściskanego wyznaczamy bezpośrednio z formuły (7), a siłę krytyczną $N_{cr}$ należy przyjąć z rozwiązania pomocniczego zadania mechaniki – problemu wyboczeniowego z wykorzystaniem numerycznych procedur MES dla całego systemu konstrukcyjnego, do którego przynależy słup.

Przykład numeryczny
(Simoes, 2014)

Sprawdzić wytrzymałość słupa wykonanego z kształtownika HEB340- S355 ściskanego osiowo.

heb340-1Charakterystyki geometryczne HEB340: h=300 mm, b=340 mm, tw=12 mm, tf=21,5 mm, A=170,9 cm2, iy=14,65 cm, iz=7,53 cm.

Parametry stali S355: fy = 355 MPa, $\varepsilon=\sqrt{235/355}=0,814$

Z rozwiązania układu konstrukcyjnego i po wyliczeniu kombinacji uzyskano obliczeniową siłę ściskającą słup

$N_{Ed}=3326,0 \, kN$.

Zarówno w głowicy jak i w stopie wykonstruowano przestrzenne przeguby.
Taki słup jest wyjątkowym przypadkiem i jest nazywany wahaczem.
Długości wyboczeniowe w obu płaszczyznach są takie same i są równe długości teoretycznej  $L_{cr, y} =L_{cr, z}=L$

Odległość między przegubami jest wysokością kondygnacji budynku i wynosi 4335 mm.  Długość wyboczeniowa jest taka sama w obu płaszczyznach: w płaszczyźnie ramy (x-y) – wyboczenie wokół osi z  i z płaszczyzny ramy (x-z) – wyboczenie wokół osi y:  $L{cr,z}=L{cr,y}=435 cm$.

Master plan słup

Rys.3. Plan główny konstrukcji z oznaczonym słupem do przykładu

(Simoes, 2014)

Klasa przekroju

W przykładzie 4.2 artykułu klasa przekroju, pokazano, że środnik, pas i cały przekrój HEB340-S355, jest klasy 1 .

Sprawdzenie nośności przekroju

$N_{Ed}=3326,0 \ kN \le N_{Rd}= \cfrac {A f_y}{\gamma_{M0}}=\cfrac {170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,0}=6067,0 \ kN $

Współczynnik wyboczeniowy [analitycznie]

$\lambda_1=93,9 \cdot 0,814=76,41$,

Ponieważ $h/b=340/300=1,13 \le 1,2$ oraz $t_f=21,5 < 100 \,mm \to$ (tab.2),
to mamy krzywe wyboczeniowe:
przy wyboczeniu wokół osi (y) –  „b” ($\alpha=0,34 $),
przy wyboczeniu  wokół osi (z) –  „c” ($\alpha=0,49 $).

Wyboczenie z płaszczyzny (wokół osi y)
$\lambda_y=\cfrac{433,5}{14,65}=29,59$, $\overline \lambda_y=\cfrac{29,7}{76,41}=0,39$,

$\phi_y=0,5+[1+0,34\times(0,39-0,2)+0,39^2)]=0,61 $
$\chi_y= \cfrac {1} {0,61+ \sqrt {0,61^2-0,39^2}}=0,93 $

Wyboczenie w płaszczyźnie (wokół osi z)
$\lambda_z=\cfrac{433,5}{7,53}=57,57$,  $\overline \lambda_z=\cfrac{57,57}{76,41}=0,75$
„c” $\to \alpha=049 $,
$\phi_z=0,5+[1+0,49\times(0,75-0,2)+0,75^2)]=0,92 $
$\chi_z= \cfrac {1} {0,92+ \sqrt {0,92^2-0,75^2}}=0,69 $

$\chi= \min \{ 0,93 ; 0,69 \}= 0,69$.

Współczynniki wyboczeniowy  [z wykresu]

Rys.4 . Wyzznaczenie współczynnika wyboczeniowego z wykresu

Rys.4 . Wyznaczenie współczynnika wyboczeniowego z wykresu

(Simoes, 2014)

Sprawdzenie nośności elementu

$3326,0 \ kN \le \cfrac {0,69 \cdot 170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,0}=4186,2 \ kN $

Elementy ściskane i zginane

Elementy ściskane i zginane są najczęściej spotykanymi elementami stalowymi. W zasadzie (p. pkt.1) wszystkie rzeczywiste elementy ściskane  są jednocześnie zginane. Poniżej zamieszczono krótkie wprowadzenie do zagadnienia. Rozwinięcie zagadnienia zawiera artykuł Stalowe słupy hal, w którym zdefiniowano element  belka-słup.

Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62))warunki nośności elementów zginanych i ściskanych są następujące:

Wzór M_Ngdzie:
$N_{Ed}$, $M_{y,Ed}$, $M_{z,Ed}$- obliczeniowa siła osiowa, maksymalny na belce moment zginający względem osi y oraz maksymalny moment zginający względem osi z,

$\Delta M_{y,Ed}$ i $\Delta M_{z,Ed}$ – ewentualne dodatkowe momenty, spowodowane przesunięciem środka ciężkości przekroju klasy 4 na skutek zredukowania jego przekroju do przekroju efektywnego wg tab 5.

$\chi_y$ , $\chi_z$ −współczynniki wyboczenia giętnego względem stosownych osi,
$\chi_{LT}$ – współczynnik zwichrzenia,
kyy, kyz, kzy, kzz– współczynniki interakcji, które można obliczać każdą naukowo i technicznie uzasadnioną metodą (wybór w zasadzie zależy od inżyniera -projektanta) W normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62)) podano przykładowo dwie metody: metoda 1 (załącznik A) i metoda 2 (Załącznik B).

Tab.3. Definicje charakterystyk geometrycznych prętów z przekrojami różnych klas
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab 6.7)

Chrakterystyki geometryczne PN-EN

Długości wyboczeniowe prętów w systemie

Geometryczna interpretacja długości wyboczeniowej

Na rys. 5 zestawiono klasyczne, standardowe przypadki I do VI prętów i stosowne współczynniki długości wyboczeniowych $\mu$ do formuły (2).

wsp-dl-euler-1

Rys.5. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla podstawowych przypadków Eulera

(Petersen, 2013, Rys.50)

Standardowe przypadki Eulera w praktyce nie wystąpią , przede wszystkim dlatego, że sztywności węzłów nie są idealne. Konsekwencje pokażemy w kolejnych punktach.

Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypasdków złożonych i sens geometryczny

Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypadków złożonych i sens geometryczny

(Petersen, 2013, Rys. 113)

W bardziej złożonych przypadkach użyteczna jest interpretacja geometryczna długości wyboczeniowej. Na tej podstawie można skutecznie określić długośc wyboczeniową w złożonym przypadku pręta. Oceny dokonujemy po oszacowaniu osi wygiętego pręta jako długość cięciwy prostopadłej do łuku odkształconej osi. Ilustruje to rys. 6 (1). Wynikające z takiego podejścia współczynniki długości wyboczeniowej oszacowano dla 7-miu szczególnych przypadków.

Długość wyboczeniowa zależy od sztywności całej konstrukcji

Rozpatrzmy przykład prostej ramy, złożonej ze słupa i rygla w sposób pokazany na rys.7.

Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długosci wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu

Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długości wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu

(Petersen, 2013, Rys.20)

W pracy (Petersen, 2013) pokazano ścisłe rozwiązanie problemu wg teorii II rzędu, które dla $H=0$ (dla zagadnienia wyboczenia) zależy od parametru

$\kappa=\cfrac{EI_S}{EI_R}\cdot\frac{l_R}{l_S}$ (11)
Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7

Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7

(Petersen, 2013, Rys.24)

Rozwiązanie graficzne, pokazane na rys. 8 przedstawia zmienną $y_1=tan (\varepsilon_S)$ w funkcji parametru $\kappa$ (11).

Wartość rzędnej $\varepsilon_S =l_S \sqrt {\frac{A}{EI_S}}$ (A jest reakcją 2-rzędu stopy słupa). Dla $\kappa=1$ – z rys.8 odczytujemy rozwiązanie zagadnienia  poprzez rzutowanie punktu przecięcia $y_1$ z $\kappa$. Dla $\kappa=1$ otrzymamy  $\varepsilon_S=2,45$.

Z porównania $\cfrac{\pi^2 EI_S}{(\mu\cdot l_S)^2}=2,45^2 \cdot \cfrac{EI_S}{l_S^2}$ uzyskujemy $\mu=\cfrac{\pi}{2,45}=1,28$.

Pokazaliśmy, że w przypadku słupa idealnie utwierdzonego w podłożu i w głowicy współczynnik długości wyboczeniowej  jest znacznie większy od 0,5 lub 1 i dla identycznych belkowych sztywności rygla i słupa może wynosić 1,28 .

Rozważania dla innych przypadków było przedmiotem wielu prac. W kolejnym prunkcie podamy praktycznie użyteczne aproksymacje długości wyboczeniowych słupów ram i układów wielokondygnacyjnych.

Nomogramy do wyznaczania długości wyboczeniowych

wg (PN-90-B-03200, 1990)

Na rys. 9 pokazano nomogram do wyznaczania długości wyboczeniowych słupów układów przesuwnych (ang unbraced).

Rts.2 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów przesuwnych

Rys 9 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów przesuwnych

[zmodyfikowane (PN-90-B-03200, 1990, (Z1-3))]

Osie współrzędnych nomogramu są podatnościami węzłów dolnego $k_1$ i górnego $k_2$ słupa ( w przypadku belek-słupów będzie to odpowiednio koniec lewy i prawy).

W praktyce rzadziej stosuje się układy o węzłach nieprzesuwnych dla których nomogram jest istotnie inny, jak pokazano na rys. 10.

Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów nieprzesuwnych

Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów nieprzesuwnych

[zmodyfikowane (PN-90-B-03200, 1990, (Z1-3))]

Stopień podatności węzłów wyznacza się z zależności:

$k_i= \cfrac{\overline K_S}{\overline K_S+\overline K_R}$, lecz $k_i \ge 0,3$, (12)

w której:
$\overline K_S=\cfrac{I_S}{l_S}$ – względna sztywność słupa (w stosunku do modułu Younga E)
$\overline K_R=\sum \limits_{(i)} \left( \eta \cfrac {I_R}{l_R}\right)$ – względna sztywność rygli,

przy czym:

$ \sum \limits_{(i)}$ – sumowanie obejmuje elementy (bez słupa)  leżące w płaszczyźnie wyboczenia i sztywno połączone ze słupem w rozpatrywanym węźle (i=1, 2),
$\eta$ – współczynnik uwzględniający warunki podparcia na drugim końcu belki-rygla. W przypadku układu o węzłach przesuwnych (w nawiasie nieprzesuwnych):
$\eta=1,5 (0,5)$  przy podparciu przegubowym,
$\eta=2,0 (1,0)$ przy sztywnym utwierdzeniu:
Dla stopy sztywnej (przenoszącej ściskanie ze zginaniem) można przyjmować $\overline K_R = \overline K_S$, a w pozostałych przypadkach $\overline K_R = 0,1 \overline K_S$

 

Długości wyboczeniowe zależą od obciążenia (stopnia wytężenia) pręta

W wielu pracach pokazano, że sztywność wyodrębnionego z systemu pręta ściskanego (lub rozciąganego)  zależy od wielkości obciążenia. Na rys.11 pokazano zależność sztywności pręta (ściskanego lub rozciąganego) z głowicą przesuną o $\Delta$  od stopnia obciążenia. Przy braku obciążenia sztywność jest zerowa, dla  $N=N_{cr,L}$, czyli przy obciążeniu silą ściskającą Eulera odpowiadającą $\mu=1$ sztywność jest nieskończenie duża, co wynika z formuł ścisłych, ale też formuły aproksymacyjnej (zmieniono oryginalne oznaczenie sztywności $\alpha$ na $K$):

$K=-\cfrac{2EI}{L} \cfrac{(\pi^2/4)(N/N_{cr})}{1- N/N_{cr}}$, (13)
Ry.11

Ry.11. Sztywność pręta przesuwnego w funkcji obciążenia: a) schemat pręta z głowica przesuwną o $\Delta$, b) wykres sztywności $K$ : formuły ścisłe i aproksymacja

(Trahair, Bradford, 2008, rys.3.18)

Rys.12 Słup w systemie prętów

W przypadku  systemu prętów, pokazanego na rys.12 o węzłach 1 i 2 , słup (1-2) ma sztywność (13), natomiast sztywności zamocowania w węzłach zależą od sztywności prętów (rygli  bez słupa)  zbiegających się w węźle zgodnie z formułą (Trahair, Bradford, 2008, (3.47)):

$ \gamma_i=\frac{K_S}{\sum \limits_i K_R}$ (i=1,2)  (14)

gdzie:
$K_S=(6 EI/L)_S$
$K_R$ wg formuł podanych na rys..13 zależnie od rodzaju elementu.
Na przykład dla 3-ciego elementu nieprzesuwnego jest $K_R=\frac{6EI}{L}\left(1-\frac{N}{4 N_cr,L} \right)$

Rys.13 . Sztywności elementów prętowych

Rys.13 . Sztywności elementów prętowych (aproksymacja)

Współczynnik dlugości wyboczeniowej $\mu=\cfrac{L_{cr}}{L}$ jest pierwiastkiem równania

$\frac{\gamma_1 \cdot \gamma_2(\pi/\mu)^2 -36}{6(\gamma_1+\gamma_2)}=\frac{\pi}{\mu} \cdot ctg \frac{\pi}{\mu}$ (15)

Rozwiązanie równania (15) można przedstawić w formie nomogramu ( dokładnie rys.9), przy czym współczynniki podatności wynoszą (Petersen, 2013)

W pracy (Petersen, 2013) przeanalizowano ramy jednokondygnacyjne o kształcie pokazanym na rys. 14 a – c, przy czym słup może być przegubowo oparty na fundamencie lub w nim zamocowany.

Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana

Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana

(Petersen, 2013,  rys. 116)

Stopa przegubowa realizuje się w sposób pokazany na rys. 15a, a utwierdzenie 15 b) lub c).

Rys.15

Rys.15. Stopa słupa stalowego: a) przegubowa, b,c)- utwierdzona

(Petersen, 2013,  rys. 115)

W przypadku równych sił w slupach ramy portalowej współczynniki długości wyboczeniowej słupów można dobierać z nomogramów pokazanych na rys. 16

Rys.16

Rys. 16. Współczynniki długości wyboczeniowych słupów ram portalowych $\mu$ w funkcji współczynnika stosunku sztywności $k_{S-R}$

Współczynnik stosunku sztywności słupa i rygla  $k_{S-R}$ należy przyjmować z zależności zestawionych na rys. 16. Podstawową wartość opisuje formuła:

$k_{S-R}=\frac{EI_S/l_S}{K_R}$  (19)

gdzie sztywność rygla wynosi:
dla rygla prostego (rys. 14a) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}$,
dla rygla pochyłego (rys. 14b) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot cos\alpha$,
dla rygla łukowego (rys. 14c) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot\frac{1}{2\left( \frac{r}{l \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha – \alpha}\right)}$.

W przypadku różnych sił działających w słupach należy wyznaczyć spodziewany stosunek

$m=\cfrac{ min F}{max F}=\cfrac{F_1}{F_2}$, (20)

a następnie współczynniki korekcyjne dla słupa 1 i 2:

$\alpha_1 \sqrt{0,5(1+m)} \le 1,0$, $\alpha_2=\alpha_1 \cdot \sqrt{m}$ (21)

Ostatecznie współczynnik długości wyboczeniowej dla słupa 1 wynosi:

$\mu_1=\mu \cdot \alpha_1$ (22a)

Przykład liczbowy

Rys.17 Rama portalowa do przykładu 3.6

Wyznaczyć długość wyboczeniową słupa ramy pokazanej na rys. 17 dla danych:

Rygiel HEA 260 ($I_R=10455 cm^4 $,),

Słupy HEB200 ($I_S=5696 cm^4$),

Stosunek obciążenia .$m=\cfrac {F_1}{F_2}=0,75$.

Długość wyboczeniowa wg (PN-90-B-03200, 1990)

Rama jest układem o węzłach przesuwnych w płaszczyźnie.  W (PN-90-B-03200, 1990) nie uwzględnia się poziomu obciążenia , ani różnicy obciążeń słupów.

Sztywność rygla $K_R= \cfrac{10445}{800}=130,6 cm^3$

Sztywność słupa $K_S= \cfrac{5696}{400}= 14,2 cm^3$

Sztywność zamocowania  $K_F= 0,1\cdot 14,2=1,4 cm^3$ (stopa jest przegubowa)

Współczynnik podatności węzła dolnego $k_1= \cfrac{14,2}{14,2+1,4}=0,91$

Współczynnik podatności węzła górnego k2=0,05.

Z nomogramu rys. 9 po interpolacji liniowej odczytujemy $\mu=1,7$

Długość wyboczeniowa słupa $L_{cr}=1,7 \cdot 400=680 cm$.

Długość wyboczeniowa wg (Trahair, Bradford, 2008)

Wyznaczymy długość wyboczeniową słupa ramy dla dwóch różnych poziomów obciążenia:

dla F1=20% i 80% $N_{cr,L}$

Długość wyboczeniowa wg  (Petersen, 2013)

Współczynnik stosunku sztywności słupów i rygla wynosi $k_{S-R}=\cfrac{1}{6}\cfrac{EI_S}{EI_R} \cfrac{l_R}{l_S}=\cfrac{1\cdot5696\cdot8,0}{6\cdot 10455\cdot 4,0=0,182}$.

Z nomogramu rys. 16 dla ramy ze stopami przegubowymi odczytujemy i równych sił w słupach odczytujemy $\to \mu=2,34$.

Ponieważ siły w słupach mogą się różnić ($m=\cfrac{F_1}{F_2}=0,75$), więc współczynnik korekcyjny wynosi $\alpha_m=\sqrt{0,5(1+0,75)}=0,935$.

Ostatecznie:
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 1: $\mu_1=0,935 \cdot 2,234=2,20$,
Współczynnik długości wyboczeniowe słupa 2 $ \mu_2=\cfrac{2,20}{\sqrt{0,75}}=1,91$
długość wyboczeniowa słupa 1: $L_{cr,1}=2,20\cdot 400=880 cm$,

długość wyboczenia słupa 2: $L_{cr ,2}=1,91 \cdot 400= 762 cm$

Długość wyboczeniowa wg  obliczeń numerycznych (program Consteel)

Wobec stwierdzenia istotnej różnicy długości wyboczeniowych , uzyskanych w poprzednich punktach przeprowadzono obliczenia numeryczne za pomocą programu Consteel.

 

Wnioski z przykładu

Z przeprowadzonych obliczeń porównawczych metodami nomogramowymi oraz numerycznymi, stwierdzono:

  1. Metody nomogramowe prowadzą do znacznych błędów w oszacowaniu długości wyboczeniowych i w zasadzie nie powinny być stosowane w praktycznych obliczeniach inżynierskich,
  2. Długości wyboczeniowe słupów ram istotnie zależą od poziomu wytężenia słupa oraz od imperfekcji geometrycznych ( przechyłowych i łukowych).  W tym świetle rzeczywiste siły krytyczne, a więc i smukłości pręta  w istocie nie są wartościami własnymi idealnego systemu konstrukcyjnego. Stopień korelacji jest słaby.
  3.  Uzasadnioną metodą wymiarowania prętów ściskanych jest wyłącznie metoda impefekcyjna (metoda A). Metoda jest prostsza do zastosowań od klasycznej metody inżynierskiej i nie wymaga wyznaczania długości wyboczeniowych, a nawet współczynników wyboczeniowych. Wprowadzenie do metody imperfekcyjnej podano w pkt 4.

 

Wprowadzenie do metody imperfekcyjnej

Analiza konstrukcji powinna uwzględniać wpływ imperfekcji obejmujących naprężenia własne oraz odchyłki geometryczne, takie jak: brak prostopadłości, brak prostości, brak płaskości, brak przylegania oraz wszelkie niewielkie mimośrody montażowe występujące w węzłach konstrukcji.

Zaleca się stosować zastępcze imperfekcje geometryczne, patrz o wartościach odzwierciedlających wszelkie możliwe wpływy imperfekcji różnych typów, chyba że wpływy te zostały uwzględnione w kryteriach nośności elementów

W analizie konstrukcji należy uwzględniać:

  • imperfekcje globalne układów ramowych i stężeń (przechyłowe – rys. 18a)
  • imperfekcje lokalne pojedynczych elementów (łukowe – rys. 18b)

 

Rys.5. Zastępcze imperfekcje łukowe i przechyłowe

Rys.18.   imperfekcje przechyłowe i łukowe

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)

Zgodnie z zaleceniami normy (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) w analizie globalnej służącej  wyznaczeniu sił wewnętrznych i momentów, niezbędnych przy sprawdzeniu nośności elementów, lokalne imperfekcje łukowe mogą być pomijane, ale w analizie ram wrażliwych na efekty drugiego rzędu, oprócz globalnych imperfekcji przechyłowych  dodatkowo zaleca się wprowadzić lokalne imperfekcje łukowe w przypadku elementów ściskanych, gdy zachodzą następujące okoliczności:

  • co najmniej jeden węzeł  elementu przenosi moment,
  • względna smukłość elementu , szacowana jak dla elementu przegubowo-przegubowego spełnia warunek
$\overline \lambda > 0,5 \sqrt { \cfrac {A \cdot f_y}{N_{Ed}}}$ (23)

Lokalne imperfekcje łukowe są uwzględnione w formułach nośności elementów poprzez współczynnik wyboczeniowy oraz współczynnik zwichrzenia. W przypadku wymiarowania według teorii 2-rzędu bez współczynników niestateczności – lokalne imperfekcje łukowe należy uwzględnić poprzez obciążenie elementu zastępczymi siłami poprzecznymi (rys. 18b).


Wstępne imperfekcje przechyłowe charakteryzowane są kątem przechyłu $Phi$, którego wartość maksymalna (podstawowa) wynosi

$\Phi_o=\cfrac{1}{200}$ (24)

Kąt przechyłu (18) może zostać zredukowany przy dużych wysokościach h słupów oraz liczbie m słupów w rzędzie

$\Phi=\alpha_h \cdot \alpha_m\cdot \Phi_o$, gdzie: (25)
  • współczynnik redukcyjny ze względu na wysokość obiektu
$\alpha_h= \cfrac{2}{\sqrt{h}}$, lecz  $\cfrac{2}{3}\le \alpha_h \le 1,0$ (26)
  • współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę słupów
$\alpha_m= \sqrt{0,5 (1+1/m)}$ (27)

gdzie: h- wysokość konstrukcji w metrach, m-liczba słupów w rzędzie, które przenoszą nie mniej niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyżnie poziomej.

 Wstępne imperfekcje łukowe charakteryzowane są strzałką wygięcia $e_{0,d}$. W tab 4 podano względne mimośrody $e_{0,d}/L$, które odpowiadają sytuacji, opisanej krzywą wyboczeniową „a0” do „d”, to znaczy sytuacji wg tab.2.

Tab.4. Względne mimośrody obliczeniowe $ \frac{e_{0,d}}{L}$ (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)
mimośród imperfekcji

 

Analiza nośności słupa ze względu na wyboczenie w zalecanej procedurze 2-rzędu z uwzględnieniem imperfekcji, ale już bez współczynnika wyboczeniowego nie jest przedmiotem niniejszego artykułu, ale jest omówione w innych artykułach encyklopedii $\pi Wiki$.

Wstępne analizy przeprowadzone w pracy (Chodor, 2016)  są przedmiotem dalszych badań w toku pracy nad monografią (Chodor, 2018).

Literatura

Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25–202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
Chodor, L. (2018). Metoda imperfekcyjna projektowania konstrukcji. Warszawa: Polskie Wydanictwo Naukowe.
PN-90-B-03200. Konstrukcje stalowe - Obliczenia statyczne i projektowanie (1990). Warszawa: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Petersen, C. (2013). Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten (4., vollst. überarb. und aktualisierte Aufl). Wiesbaden: Springer Vieweg.
Simoes, R. (2014). Eurocodes - Design of steel buildings with worked examples. Design of Members. Brusels Belgium: ECCS.
Thom, R., Giorello, G., Morini, S., & Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morinii. Warszawa: Państ. Instytut Wydawniczy.
Trahair, N. S., & Bradford, M. A. (2008). The Behaviour and Design of Steel Structures to EC3 (4th ed.). Retrieved from http://library.magistersipil.janabadra.ac.id/wp-content/uploads/2015/05/The-Behaviour-And-Design-Of-Steel-Structures-To-EC3-4th-EDITION.pdf

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

*

Translate »