Ściskane pręty stalowe

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 37 Czytelników

Podstawowymi elementami konstrukcji stalowych są  belki i słupy. Belki są elementami zginanymi, a słupy ściskanymi Elementy te przed osiągnięciem pełnej nośności przekroju (plastycznej dla klasy 1-szej przekroju , lub 2-giej, sprężystej dla klasy 3-ciej lub pozakrytycznej dla klasy 4-tej)  mogą utracić stateczność globalną elementu: słupy wybaczają się, a belki wichrzą i w związku z tym zasadniczo mają mniejszą nośność od przekroju pręta,  z którego są wykonane. Pokazano, że siła krytyczna nie jest wartością własną pręta, ale zależy od sztywności całego systemu i od poziomu wytężenia pręta.

W artykule przedstawiono klasyczne, normowe  zasady wymiarowania belek konstrukcji stalowych, a w tym kontekście wybrane problemy szacowania współczynnika długości wyboczeniowej. Rozszerzenie tematu można znaleźć w artykule Współczynnik wyboczeniowy. Geneza i mit, w pracy (Chodor, 2016) oraz podręczniku  Imperfekcyjna metoda projektowania.

Zaprezentowane zasady w istocie są już historyczne. Nie zaleca się ich stosowania w pofesjonalnym,  projektowaniu,
choć nadal ( dziś  mamy 2019 rok) są nauczane na Uczelniach jako podstawowa metoda projektowania prętów ściskanych.

Elementy ściskane osiowo

W najprostszym przypadku słup może być ściskany osiowo siłą  stałą po jego długości.

Wyboczenia pręta idealnego i rzeczywistego

Zadanie wyboczenia słupów ściskanych osiowo zostało rozwiązane już w XVIII w. przez Eulera (1707-1783) i znane jest pod nazwą teorii wyboczenia giętnego. Euler pokazał, że idealnie prosty i ściskany osiowo pręt sprężysty może mieć dwie postacie równowagi: pozostaje prostoliniowy w zakresie siły ?ściskającej $0<N\le N_{cr}$, a po pewnej krytycznej wartości $N_{cr}$ ulega nagłemu wygięciu (rys.1). Właśnie to zjawisko nazywa się wyboczeniem giętnym.

 Wyboczenie słupa idealnego

Rys.1. Wyboczenie słupa idealnego

(Simoes, 2014)

Z elementarnego rozwiązania równania zginania i ściskania pręta idealnego (idealnie prostego i obciążonego idealnie osiowo, idealnie stałą siłą po długości), wynika że siła krytyczna $N_{cr}$  przy wyboczeniu w płaszczyźnie zawierającej oś $\bullet$, można zapisać formułą

$$\begin {equation} N_{cr \bullet}= \cfrac {\pi^2 \cdot EI_{\perp \bullet}}{L^2_{cr \bullet}}\label {1} \end {equation}$$

gdzie: E- moduł  Younga materiału (dla stali E=210 GPa), $I_\bullet$- moment bezwładności przekroju pręta względem głównej, centralnej osi bezwładności przekroju $\bullet$, prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia (np. przy wyboczeniu w płaszczyźnie $\bullet=y$, $I_{\perp \bullet}=I_z$.

$L_{cr}$ jest długością wyboczeniową pręta, zależna od długości teoretycznej $L$ oraz warunków podparcia. Zwykle zapisuje się

$$\begin {equation} L_{cr}=\mu \cdot L \label {2} \end {equation}$$

gdzie $\mu$ jest współczynnikiem długości wyboczeniowej. Można pokazać, że $\mu$ przyjmuje wartości z przedziału:

$$\begin {equation}\mu=0,5 \, do \, \infty \label {3} \end {equation}$$

gdzie $\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta utwierdzono-utwierdzonego ( o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania), a $\mu= \infty$ odpowiada prętowi swobodnie zawieszonemu w przestrzeni (konstrukcja kinematycznie zmienna)

W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej. My NIE będziemy tego robić, albowiem NIE ma to większego znaczenia w analizach rzeczywistych konstrukcji, a może wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez przekonanie o tym, żę  maksymalna wartość współczynnika  $\mu$ wynosi 2,0 (jak dla wspornika). Jest to oczywiście szkodliwa wiedza, bowiem współczynnik długości wyboczeniowej może być wielokrotnie większy od 2,0. Wprowadzenie do teorii współczynników długości wyboczeniowych dokonamy dopiero w pkt 3 niniejszego artykułu, w celu wykazania okoliczności jak w zdaniach poprzednich.

Następnie należy z całą mocą podkreślić, że rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:

  • oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta (wygięcia,
  • słup nie jest pionowy, lecz ma imperfekcje przechyłowe,
  • przekrój pręta nie jest stały pod długości, ze względu na imperfekcje charakterystyk przekroju,
  • siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co gorsza ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy stupa -pręt w zasadzie od początku pracy jest obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.

W związku z tymi niedoskonałościami wzór (1) również NIE ma większego znaczenia praktycznego. Jest bowiem słuszny wyłącznie dla pręta idealnego. Ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważny przykład w teorii katastrof (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności w naukach podstawowych, (w tym przypadku matematyce, fizyce oraz mechanice).

Pręt rzeczywisty nie ulegnie wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany i ściskany, więc właściwa dla niego jest analiza drugiego rzędu, w której uwzględnia się wpływ przemieszczeń na siły przekrojowe.

W przypadku obciążenia pręta jednoczesnym zginaniem i ściskaniem stosowany przez inżynierów wzór wytrzymałościowy na naprężenia normalne zwykle zapisuje się w postaci:

$$\begin {equation}\sigma=\sigma_M+\sigma_N=\cfrac{M}{I} \cdot z +\cfrac{N}{\chi \cdot A} \le f_y \label {4} \end {equation}$$

lub w przestrzeni sił przekrojowych w postaci:

$$\begin {equation} \cfrac{M}{M_R} +\cfrac{N}{\chi \cdot N_R} \le 1 \label {5} \end {equation}$$

gdzie: $(M,N)$ – moment zginający i siła osiowa w przekroju krytycznym pręta, $M_R=W f_y$, $N_R=A f_y$, $I$- moment bezwładności pręta, $z$- odległość punktu przekroju od osi obojętnej, $A$- pole przekroju pręta, $W$- wskaźnik wytrzymałości przekroju,  $f_y$ – granica plastyczności oraz $\chi$ współczynnik wyboczeniowy,

NIE ma to przekonywującego (są teoretycy, którzy używają określenia „ŻADNEGO”) uzasadnienia teoretycznego.

Przyczyny takiego stanu rzeczy wyjaśniliśmy dalej, a teraz dodamy, że:

1) sumowanie naprężeń od zginania $\sigma_M$ z naprężeniami od ściskania $\sigma_N$ jest nieprawidłowe z powodu nieobowiązywania zasady superpozycji w obszarach nieliniowych,

2) wyznaczanie współczynnika wyboczenia w złożonym stanie naprężenia jest nieprawidłowe, bo pręt zginany nie może ulec wyboczeniu,

Tym niemniej w praktyce inżynierowie chętnie stosowali i niestety nadal chętnie stosują, aproksymację ($\ref{4}$) lub ($\ref{4}$) ze względu na: a) trudności obliczeniowe w erze przedinformatyzacyjnej, oraz b) wystarczające dla praktyki przybliżenia uzyskiwane z tych  wzorów.

Wymiarowanie pręta ściskanego według Eurokodu 3

Podstawy normowe

Formuły (4) w prostym przypadku obciążenia, ściskania pręta, można zapisać w przestrzeni sił+przekrojowych w sposób (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):

$$\begin {equation} \cfrac{N_{Ed}} {N_{b,Rd}}\le 1\label {6} \end {equation}$$

gdzie: $N_{Ed}$ – obliczeniowa siła ściskająca, $N_{b,Rd}$- nośność na wyboczenie elementu ściskanego

Nośność na wyboczenie elementu ściskanego należy obliczać z zależności (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.46)):

$$\begin {equation} N_{b,Rd} \le  \cfrac{\chi A_k f_y}{\gamma_{M1}} \label {7} \end {equation}$$

gdzie: $A_k$ pole przekroju pręta zależne  od klasy przekroju: $A_k =A$  dla 1,2 i 3 klasy oraz $A_k = A_{eff}$ dla klasy 4-tej. Współczynnik materiałowy dla elementu rzy sprawdzaniu warunkó stateczności $\gamma_{M1}=1,1$.

Współczynnik wyboczeniowy $\chi$ zależy od smukłości względnej pręta

$$\begin {equation} \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{A_k f_y}{N_{cr}}} \label {8} \end {equation}$$

i jest wyznaczany z formuły (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.49)):

$$ \begin {equation}  \chi=\cfrac{1}{\phi+\sqrt{\phi^2 -\overline \lambda^2}} \, le 1,0 \label {9} \end {equation}$$

$$ \begin {equation} \phi=0,5\left [ 1+\alpha \cdot (\overline \lambda-0,2)+\overline \lambda^2\right] \label {10} \end {equation}$$

W przypadku elementów o smukłości $\overline \lambda <0,2$ warunek stateczności elementu sprowadza się do sprawdzenia nośności przekroju.

Parametr klasy imperfekcji  $\alpha$  przyjmuje się w zależności od klasy imperfekcji ( rodzaju krzywej wyboczeniowej), przypisanej do kształtu przekroju, na podstawie tab.1 i tab.2

Tab.1. Parametry imperfekcji $\alpha$ krzywych wyboczeniowych
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. )
Parametr wyboczenia

Tab.2. Przyporządkowanie krzywych wyboczenia do rodzaju przekroju stalowego
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.2)

Przyporządkowwanie wyboczenia

Wykres zależności współczynnika wyboczenia ($\ref{9}$) od smukłości względnej ($\ref{8}$) uzyskany z powyższych formuł zobrazowano na rys.2.

Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów

Rys.2. Krzywe wyboczenia stalowych prętów

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. )

Po podstawieniu eulerowskiej siły krytycznej ($\ref{2}$) w zapisie $N_{cr}=\cfrac{ \pi^2 \cdot EI} { {L_{cr}}^2}$ do (8) otrzymamy wyrażenie na smukłość względną w postaci (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)-(6.51)):

$$ \begin {equation}  \overline \lambda=\sqrt{\cfrac {A_k \cdot f_y}{N_{cr}}}=\cfrac{L_{cr}}{i} \cfrac {1}{\lambda_1} \label {11} \end {equation}$$

promień bezwładności przekroju $i=( {\frac{I}{A}})^{1/2} $.

Smukłość porównawcza $\lambda_1= \pi (E/f_y)^{1/2}=93,9 \varepsilon$.
Współczynnik gatunku stali $\varepsilon=(235/f_y)^{1/2}$, ($f_y$ w [MPa]).

Współczynnik $\varepsilon $ dla poszczególnych stali wynosi
S235   1,00
S275   0,924
S355   0,814

Formuły (7) i (10) są tożsame, to znaczy wyznaczenie $N_{cr}$ ze wzoru Eulera i podstawienie do (7) nie może dać innego rezultatu od wartości, uzyskanej bezpośrednio z (10). W celu uzyskania lepszego wyniku należy wyznaczyć siłę krytyczną pręta w inny sposób niż z wzoru Eulera – polecane są współczesne programy obliczeniowe, np. LTBeam lub Consteel.

Wyznaczanie siły krytycznej ze wzoru Eulera jest obarczone dużą niepewnością, wynikającą z tego, że zależy od poprawnego przyjęcia długości wyboczeniowej $L_{cr}$, a to w praktycznych przypadkach rzeczywistych konstrukcji nie jest zadaniem banalnym. Większość ram stalowych jest przesuwna, a więzy są odkształcalne (nie są w pełni przegubowe, czy też sztywne). W takiej sytuacji szacowanie długości wyboczeniowych na podstawie prostych schematów statycznych znanych z mechaniki, prowadzi do bardzo istotnych błędów. Błąd ten wzmacnia się przy wyznaczaniu współczynnika wyboczenia, który jest silnie nieliniową funkcją długości wyboczeniowej.

Dlatego należy sformułować wniosek:

Wyznaczanie współczynnika wyboczenia z formuły (10) NIE ma większego znaczenia praktycznego w analizach rzeczywistych konstrukcji. Smukłość słupa osiowo ściskanego wyznaczamy bezpośrednio z formuły (7), a siłę krytyczną $N_{cr}$ należy przyjąć z rozwiązania pomocniczego zadania mechaniki – problemu wyboczenia z wykorzystaniem numerycznych procedur MES dla całego systemu konstrukcyjnego, do którego przynależy słup.

Przykład numeryczny

(Simoes, 2014)

Sprawdzić wytrzymałość słupa wykonanego z kształtownika HEB340- S355 ściskanego osiowo.

heb340-1Charakterystyki geometryczne HEB340: h=300 mm, b=340 mm, tw=12 mm, tf=21,5 mm, A=170,9 cm2, iy=14,65 cm, iz=7,53 cm.

Parametry stali S355: fy = 355 MPa, $\varepsilon=\sqrt{235/355}=0,814$

Z rozwiązania układu konstrukcyjnego i po wyliczeniu kombinacji uzyskano obliczeniową siłę ściskającą słup

$N_{Ed}=3326,0 \, kN$.

Zarówno w głowicy jak i w stopie wykonstruowano przestrzenne przeguby.
Taki słup jest wyjątkowym przypadkiem i jest nazywany wahaczem.
Długości wyboczeniowe w obu płaszczyznach są takie same i są równe długości teoretycznej  $L_{cr, y} =L_{cr, z}=L$

Odległość między przegubami jest wysokością kondygnacji budynku i wynosi 4335 mm.  Długość wyboczeniowa jest taka sama w obu płaszczyznach: w płaszczyźnie ramy (x-y) – wyboczenie wokół osi z  i z płaszczyzny ramy (x-z) – wyboczenie wokół osi y:  $L{cr,z}=L{cr,y}=435 cm$.

Master plan słup

Rys.3. Plan główny konstrukcji z oznaczonym słupem do przykładu

(Simoes, 2014)

Klasa przekroju

W przykładzie 4.2 artykułu klasa przekroju, pokazano, że środnik, pas i cały przekrój HEB340-S355, jest klasy 1 .

Sprawdzenie nośności przekroju

$N_{Ed}=3326,0 \ kN \le N_{Rd}= \cfrac {A f_y}{\gamma_{M0}}=\cfrac {170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,0}=6067,0 \ kN $

Współczynnik wyboczeniowy [analitycznie]

$\lambda_1=93,9 \cdot 0,814=76,41$,

Ponieważ $h/b=340/300=1,13 \le 1,2$ oraz $t_f=21,5 < 100 \,mm \to$ (tab.2),
to mamy krzywe wyboczeniowe:
przy wyboczeniu wokół osi (y) –  „b” ($\alpha=0,34 $),
przy wyboczeniu  wokół osi (z) –  „c” ($\alpha=0,49 $).

Wyboczenie z płaszczyzny (wokół osi y)
$\lambda_y=\cfrac{433,5}{14,65}=29,59$, $\overline \lambda_y=\cfrac{29,7}{76,41}=0,39$,

$\phi_y=0,5+[1+0,34\times(0,39-0,2)+0,39^2)]=0,61 $
$\chi_y= \cfrac {1} {0,61+ \sqrt {0,61^2-0,39^2}}=0,93 $

Wyboczenie w płaszczyźnie (wokół osi z)
$\lambda_z=\cfrac{433,5}{7,53}=57,57$,  $\overline \lambda_z=\cfrac{57,57}{76,41}=0,75$
„c” $\to \alpha=049 $,
$\phi_z=0,5+[1+0,49\times(0,75-0,2)+0,75^2)]=0,92 $
$\chi_z= \cfrac {1} {0,92+ \sqrt {0,92^2-0,75^2}}=0,69 $

$\chi= \min \{ 0,93 ; 0,69 \}= 0,69$.

Współczynniki wyboczeniowy  [z wykresu]

Rys.4 . Wyzznaczenie współczynnika wyboczeniowego z wykresu

Rys.4 . Wyznaczenie współczynnika wyboczenia z wykresu

(Simoes, 2014)

Sprawdzenie nośności elementu

$3326,0 \ kN \le \cfrac {0,69 \cdot 170,9 \cdot 10^{-4}\cdot 355 \cdot 10^{3}}{1,1}= 3805,64 \ kN $

Elementy ściskane i zginane

Elementy ściskane i zginane są najczęściej spotykanymi elementami stalowymi. W zasadzie (p. pkt.1) wszystkie rzeczywiste elementy ściskane  są jednocześnie zginane. Poniżej zamieszczono krótkie wprowadzenie do zagadnienia. Rozwinięcie zagadnienia zawiera artykuł Stalowe słupy hal, w którym zdefiniowano element  belka-słup.

Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62))warunki nośności elementów zginanych i ściskanych są następujące:

$$\begin{equation}  \cfrac{N_{Ed}}{\chi_y \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{yy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y, Rd}} + \cfrac{ k_{yz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \\
\cfrac{N_{Ed}}{\chi_z \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{zy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y,Rd}} + \cfrac{ k_{zz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \label {12} \end{equation}$$

gdzie:
$N_{Ed}$, $M_{y,Ed}$, $M_{z,Ed}$- obliczeniowa siła osiowa, maksymalny na belce moment zginający względem osi y oraz maksymalny moment zginający względem osi z,

$\Delta M_{y,Ed}$ i $\Delta M_{z,Ed}$ – ewentualne dodatkowe momenty, spowodowane przesunięciem środka ciężkości przekroju klasy 4 na skutek zredukowania jego przekroju do przekroju efektywnego wg tab 5.

$N_{Rd}=N_{Rk} / \gamma_{M1}$ , $M_{y,Rd}=M_{y,Rk} / \gamma_{M1}$, $M_{z,Rd}=M_{z,Rk}/ \gamma_{M1}$, $B_{Rd}=B_{Rk}/ \gamma_{M1}$

$\chi_y$ , $\chi_z$ −współczynniki wyboczenia giętnego względem stosownych osi,
$\chi_{LT}$ – współczynnik zwichrzenia,
kyy, kyz, kzy, kzz– współczynniki interakcji, które można obliczać każdą naukowo i technicznie uzasadnioną metodą (wybór w zasadzie zależy od inżyniera -projektanta) W normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61)-(6.62)) podano przykładowo dwie metody: metoda 1 (załącznik A) i metoda 2 (Załącznik B).

Tab.3. Definicje charakterystyk geometrycznych prętów z przekrojami różnych klas
(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab 6.7)

Chrakterystyki geometryczne PN-EN

Długości wyboczeniowe prętów w systemie

Geometryczna interpretacja długości wyboczeniowej

Na rys. 5 zestawiono klasyczne, standardowe przypadki I do VI prętów i stosowne współczynniki długości wyboczeniowych $\mu$ do formuły (2).

wsp-dl-euler-1

Rys.5. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla podstawowych przypadków Eulera

(Petersen, 2013, Rys.50)

Standardowe przypadki Eulera w praktyce nie wystąpią , przede wszystkim dlatego, że sztywności węzłów nie są idealne. Konsekwencje pokażemy w kolejnych punktach.

Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypasdków złożonych i sens geometryczny

Rys.6. Teoretyczne współczynniki długości wyboczeniowej dla przypadków złożonych i sens geometryczny

(Petersen, 2013, Rys. 113)

W bardziej złożonych przypadkach użyteczna jest interpretacja geometryczna długości wyboczeniowej. Na tej podstawie można skutecznie określić długośc wyboczeniową w złożonym przypadku pręta. Oceny dokonujemy po oszacowaniu osi wygiętego pręta jako długość cięciwy prostopadłej do łuku odkształconej osi. Ilustruje to rys. 6 (1). Wynikające z takiego podejścia współczynniki długości wyboczeniowej oszacowano dla 7-miu szczególnych przypadków.

Długość wyboczeniowa zależy od sztywności całej konstrukcji

Rozpatrzmy przykład prostej ramy, złożonej ze słupa i rygla w sposób pokazany na rys.7.

Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długosci wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu

Rys.7 Przykład ramy do wyznaczenia długości wyboczeniowej słupa: a) przed odkształceniem, b) po obciążeniu

(Petersen, 2013, Rys.20)

W pracy (Petersen, 2013) pokazano ścisłe rozwiązanie problemu wg teorii II rzędu, które dla $H=0$ (dla zagadnienia wyboczenia) zależne od parametru

$$\begin{equation} \kappa=\cfrac{EI_S}{EI_R}\cdot\frac{l_R}{l_S} \label {13} \end{equation}$$

Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7

Rys.8 Graficzne rozwiązanie problemu wyboczenia słupa ramy z rys.7

(Petersen, 2013, Rys.24)

Rozwiązanie graficzne, pokazane na rys. 8 przedstawia zmienną $y_1=tan (\varepsilon_S)$ w funkcji parametru $\kappa$ (11).

Wartość rzędnej $\varepsilon_S =l_S \sqrt {\frac{A}{EI_S}}$ (A jest reakcją 2-rzędu stopy słupa). Dla $\kappa=1$ – z rys.8 odczytujemy rozwiązanie zagadnienia  poprzez rzutowanie punktu przecięcia $y_1$ z $\kappa$. Dla $\kappa=1$ otrzymamy  $\varepsilon_S=2,45$.

Z porównania $\cfrac{\pi^2 EI_S}{(\mu\cdot l_S)^2}=2,45^2 \cdot \cfrac{EI_S}{l_S^2}$ uzyskujemy $\mu=\cfrac{\pi}{2,45}=1,28$.

Pokazaliśmy, że w przypadku słupa idealnie utwierdzonego w podłożu i w głowicy współczynnik długości wyboczeniowej  jest znacznie większy od 0,5 lub 1 i dla identycznych belkowych sztywności rygla i słupa może wynosić 1,28 .

Rozważania dla innych przypadków było przedmiotem wielu prac. W kolejnym punkcie podamy praktycznie użyteczne aproksymacje długości wyboczeniowych słupów ram w układach wielokondygnacyjnych.

Nomogramy do wyznaczania długości wyboczeniowych

wg (PN-90/B-03200, 1990, Z1-3)

Na rys. 9 pokazano nomogram do wyznaczania długości wyboczeniowych słupów układów przesuwnych (ang unbraced).

Rts.2 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów przesuwnych

Rys 9 Nomogram współczynnika wyboczenia dla układów przesuwnych

[zmodyfikowane (PN-90/B-03200, 1990, Z1-3)]

Osie współrzędnych nomogramu są podatnościami węzłów dolnego $k_1$ i górnego $k_2$ słupa ( w przypadku belek-słupów będzie to odpowiednio koniec lewy i prawy).

W praktyce rzadziej stosuje się układy o węzłach nieprzesuwnych dla których nomogram jest istotnie inny, jak pokazano na rys. 10.

Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczeniowego dla układów nieprzesuwnych

Rys 10 Nomogram współczynnika wyboczenia dla układów nieprzesuwnych

[zmodyfikowane (PN-90/B-03200, 1990, Z1-3)]

Stopień podatności węzłów wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} k_i= \cfrac{\overline K_S}{\overline K_S+\overline K_R} \, \ge 0,3 \label {14} \end{equation}$$

w której:
$\overline K_S=\cfrac{I_S}{l_S}$ – względna sztywność słupa (w stosunku do modułu Younga E)
$\overline K_R=\sum \limits_{(i)} \left( \eta \cfrac {I_R}{l_R}\right)$ – względna sztywność rygli,

przy czym:

$ \sum \limits_{(i)}$ – sumowanie obejmuje elementy (bez słupa)  leżące w płaszczyźnie wyboczenia i sztywno połączone ze słupem w rozpatrywanym węźle (i=1, 2),
$\eta$ – współczynnik uwzględniający warunki podparcia na drugim końcu belki-rygla. W przypadku układu o węzłach przesuwnych (w nawiasie nieprzesuwnych):
$\eta=1,5 (0,5)$  przy podparciu przegubowym,
$\eta=2,0 (1,0)$ przy sztywnym utwierdzeniu:
Dla stopy sztywnej (przenoszącej ściskanie ze zginaniem) można przyjmować $  K_F = K_S $, a w pozostałych przypadkach $ \overline K_F = 0,1 \cdot \overline K_S $. W formule ($\ref{14}$) dla węzła podporowego $\overline K_F$ traktuje się jako $ \overline K_R$ .

Długości wyboczeniowe zależą od obciążenia (stopnia wytężenia) pręta

W wielu pracach pokazano, że sztywność wyodrębnionego z systemu pręta ściskanego (lub rozciąganego)  zależy od wielkości obciążenia. Na rys.11 pokazano zależność sztywności pręta (ściskanego lub rozciąganego) z głowicą przesuną o $\Delta$  od stopnia obciążenia. Przy braku obciążenia sztywność jest zerowa, dla  $N=N_{cr,L}$, czyli przy obciążeniu silą ściskającą Eulera odpowiadającą $\mu=1$ sztywność jest nieskończenie duża, co wynika z formuł ścisłych, ale też formuły aproksymacyjnej (zmieniono oryginalne oznaczenie sztywności $\alpha$ na $K$):

$$\begin{equation} K=-\cfrac{2EI}{L} \cfrac{(\pi^2/4)(N/N_{cr})}{1- N/N_{cr}} \label {15} \end{equation}$$

Ry.11

Ry.11. Sztywność pręta przesuwnego w funkcji obciążenia: a) schemat pręta z głowica przesuwną o $\Delta$, b) wykres sztywności $K$ : formuły ścisłe i aproksymacja

(Trahair, Bradford, 2008, rys.3.18)

Rys.12 Słup w systemie prętów

W przypadku  systemu prętów, pokazanego na rys.12 o węzłach 1 i 2 , słup (1-2) ma sztywność (13), natomiast sztywności zamocowania w węzłach zależą od sztywności prętów (rygli  bez słupa)  zbiegających się w węźle zgodnie z formułą (Trahair, Bradford, 2008, (3.47)):

$$\begin{equation}\gamma_i=\frac{K_S}{\sum \limits_i K_R} \quad (i=1,2)  \label {16} \end{equation}$$

gdzie:
$K_S=(6 EI/L)_S$
$K_R$ wg formuł podanych na rys..13 zależnie od rodzaju elementu.
Na przykład dla 3-ciego elementu nieprzesuwnego jest $K_R=\frac{6EI}{L}\left(1-\frac{N}{4 N_{cr},L} \right)$

Rys.13 . Sztywności elementów prętowych

Rys.13 . Sztywności elementów prętowych (aproksymacja)

Współczynnik dlugości wyboczeniowej $\mu=\cfrac{L_{cr}}{L}$ jest pierwiastkiem równania

$$\begin{equation} \cfrac{\gamma_1 \cdot \gamma_2(\pi/\mu)^2 -36}{6(\gamma_1+\gamma_2)}=\frac{\pi}{\mu} \cdot ctg \frac{\pi}{\mu} \label {17} \end{equation}$$

Rozwiązanie równania (15) można przedstawić w formie nomogramu ( to jest właśnie rys. 9), przy czym współczynniki podatności wynoszą (Petersen, 2013)

W pracy (Petersen, 2013) przeanalizowano ramy jednokondygnacyjne o kształcie pokazanym na rys. 14 a – c, przy czym słup może być przegubowo oparty na fundamencie lub w nim zamocowany.

Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana

Rys.14 Ramy portalowe: a) o poziomym rygle, b) pochyły , c) łukowy, d) stopa przegubowa, e) stopa zamocowana

(Petersen, 2013, rys. 116)

Stopa przegubowa realizuje się w sposób pokazany na rys. 15a, a utwierdzenie 15 b) lub c).

Rys.15

Rys.15. Stopa słupa stalowego: a) przegubowa, b,c)- utwierdzona

(Petersen, 2013, rys. 115)

W przypadku równych sił w slupach ramy portalowej współczynniki długości wyboczeniowej słupów można dobierać z nomogramów pokazanych na rys. 16

Rys.16

Rys. 16. Współczynniki długości wyboczeniowych słupów ram portalowych $\mu$ w funkcji współczynnika stosunku sztywności $k_{S-R}$

Współczynnik stosunku sztywności słupa i rygla  $k_{S-R}$ należy przyjmować z zależności zestawionych na rys. 16. Podstawową wartość opisuje formuła:

$$\begin{equation} k_{S-R}=\frac{EI_S/l_S}{K_R} \label {19} \end{equation}$$

gdzie sztywność rygla wynosi:
dla rygla prostego (rys. 14a) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}$,
dla rygla pochyłego (rys. 14b) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot cos\alpha$,
dla rygla łukowego (rys. 14c) $K_R=\frac{6EI_R}{l_R}\cdot\frac{1}{2\left( \cfrac{r}{l \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha – \alpha}\right)}$.

W przypadku różnych sił działających w słupach należy wyznaczyć spodziewany stosunek

$$\begin{equation} m=\cfrac{ min F}{max F}=\cfrac{F_1}{F_2} \label {20} \end{equation}$$

a następnie współczynniki korekcyjne dla słupa 1 i 2:

$$\begin{equation} \alpha_1 \sqrt{0,5(1+m)} \le 1,0$, $\alpha_2=\alpha_1 \cdot \sqrt{m} \label {21} \end{equation}$$

Ostatecznie współczynnik długości wyboczeniowej dla słupa 1 wynosi:

$$\begin{equation} \mu_1=\mu \cdot \alpha_1 \label {22} \end{equation}$$

Przykład liczbowy

Rys.17 Rama portalowa do przykładu

Wyznaczyć długość wyboczeniową słupa ramy pokazanej na rys. 17 dla danych:

Rygiel HEA 260 ($I_R=10455 cm^4 $),

Słupy HEB200 ($I_S=5696 cm^4$),

Stosunek obciążenia .$m=\cfrac {F_1}{F_2}=0,75$.

Długość wyboczeniowa wg (PN-90/B-03200, 1990, Z1-3)

Rama jest układem o węzłach przesuwnych w płaszczyźnie.  W (PN-90/B-03200, 1990) nie uwzględnia się poziomu obciążenia , ani różnicy obciążeń słupów.

Sztywność rygla $\overline K_R= \cfrac{10445}{800}=130,6 cm^3$

Sztywność słupa $\overline K_S= \cfrac{5696}{400}= 14,2 cm^3$

Sztywność zamocowania  $\overline K_F= 0,1 \cdot 14,2=1,4 cm^3$ (stopa jest przegubowa)

Współczynnik podatności węzła dolnego $k_1= \cfrac{14,2}{14,2+1,4}=0,91$

Współczynnik podatności węzła górnego $k_2=\cfrac{14,2}{14,2+130,6}= 0,1$.

Z nomogramu rys. 9 po interpolacji liniowej odczytujemy $\mu=1,97$

Długość wyboczeniowa słupa $L_{cr}=1,97 \cdot 400=788 cm$.

Długość wyboczeniowa wg (Trahair, Bradford, 2008)

Wyznaczymy długość wyboczeniową słupa ramy dla dwóch różnych poziomów obciążenia:

dla F1=20% i 80% $N_{cr,L}$

Długość wyboczeniowa wg  (Petersen, 2013)

Współczynnik stosunku sztywności słupów i rygla wynosi $k_{S-R}=\cfrac{1}{6}\cfrac{EI_S}{EI_R} \cfrac{l_R}{l_S}=\cfrac{1\cdot5696\cdot8,0}{6\cdot 10455\cdot 4,0}=0,182$.

Z nomogramu rys. 16 dla ramy ze stopami przegubowymi odczytujemy i równych sił w słupach odczytujemy $\to \mu=2,34$.

Ponieważ siły w słupach mogą się różnić ($m=\cfrac{F_1}{F_2}=0,75$), więc współczynnik korekcyjny wynosi $\alpha_m=\sqrt{0,5(1+0,75)}=0,935$.

Ostatecznie:
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 1: $\mu_1=0,935 \cdot 2,234=2,20$,
Współczynnik długości wyboczeniowej słupa 2 $ \mu_2=\cfrac{2,20}{\sqrt{0,75}}=1,91$
długość wyboczeniowa słupa 1: $L_{cr,1}=2,20\cdot 400=880 cm$,
długość wyboczenia słupa 2: $L_{cr ,2}=1,91 \cdot 400= 762 cm$

Wnioski z przykładu

Z przeprowadzonych obliczeń porównawczych metodami nomogramowymi oraz numerycznymi, stwierdzono:

  1. Metody nomogramowe prowadzą do znacznych błędów w oszacowaniu długości wyboczeniowych i w zasadzie nie powinny być stosowane w praktycznych obliczeniach inżynierskich,
  2. Długości wyboczeniowe słupów ram istotnie zależą od poziomu wytężenia słupa oraz od imperfekcji geometrycznych ( przechyłowych i łukowych).  W tym świetle rzeczywiste siły krytyczne, a więc i smukłości pręta  w istocie nie są wartościami własnymi idealnego systemu konstrukcyjnego. Stopień korelacji jest słaby.
  3. Uzasadnioną metodą wymiarowania prętów ściskanych są metody imperfekcyjne. Metody są prostsze do zastosowań od klasycznej metody inżynierskiej i nie wymagają wyznaczania długości wyboczeniowych, a nawet współczynników wyboczeniowych.

Metody imperfekcyjne są przedmiotem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania.

Literatura

Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25–202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
Dinnik, A. N. (1935). Ustojcivost  uprugich system (Objedinnoje Naucno-Techniceskoje izdatelstwo NKTP SSSR). Moskva-Leningrad. Retrieved from http://dwg.ru/lib/800
PN-90/B-03200. Konstrukcje stalowe - Obliczenia statyczne i projektowanie (1990). Warszawa: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Petersen, C. (2013). Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten (4., vollst. überarb. und aktualisierte Aufl). Wiesbaden: Springer Vieweg.
Simoes, R. (2014). Eurocodes - Design of steel buildings with worked examples. Design of Members. Brusels Belgium: ECCS.
Thom, R., Giorello, G., Morini, S., & Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morinii. Warszawa: Państ. Instytut Wydawniczy.
Trahair, N. S., & Bradford, M. A. (2008). The Behaviour and Design of Steel Structures to EC3 (4th ed.). Retrieved from http://library.magistersipil.janabadra.ac.id/wp-content/uploads/2015/05/The-Behaviour-And-Design-Of-Steel-Structures-To-EC3-4th-EDITION.pdf

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »