Proces stochastyczny imperfekcji systemowych [R4-3]

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 0 Czytelników
[imperfekcje systemowe, a efekt P-Delta ] [poprzednie R4-2][następne R4-4] [Uogólniona, alternatywna imperfekcja ]


Oba typy imperfekcji systemowych łukowe oraz przechyłowe są polami losowymi, przy czym:

1)  imperekcje łukowe  są procesem stochastycznym z nielosowym parametrem współrzędnej długości pręta,

2) imperfekcje przechyłowe są dyskretnym polem losowym indeksowanym numerem (indeksem) słupa,

Imperfekcje łukowe

Imperfekcja łukowa pręta jest oczywiście losowa, przy czym losowe są nie tylko amplitudy, ale również kształt i kierunek. Ze względu na złożoność zagadnienia, sformułowanie precyzyjnych kryteriów imperfekcyjnych w praktycznych wytycznych projektowania, które byłyby uzasadnione (projektowo lub ekonomicznie) jest niemożliwe do zrealizowania, a to uzasadnia uproszczenie problemu, poprzez uwzględnienie wyłącznie jego cech pierwszorzędnych, a pomijanie cech mało istotnych probabilistycznie z punktu widzenia niezawodności konstrukcji rzeczywistych, a także uzasadnia metodologię określania imperfekcji projektowych,

W rozdziale Model imperfekcji łukowych pokazano, że w analizie deterministycznej najczęściej kształt imperfekcji łukowych przyjmuje się w postaci fali sinusoidy lub rzadziej szeregu trygonometryczmego. W pracy (Piątkowski, 2017) zastosowano symulację Monte Carlo ograniczoną do 10-ciu symulacji z wykorzystaniem rozwinięcia imperfekcji w szereg sinusoidalny o 4-ch wyrazach.  W pracy (Shayan, Rasmussen, Zhang, 2014) po przeprowadzeniu  wielu badań statystycznych oraz zaawansowanych analizach numerycznych stwierdzono, wszystkie początkowe niedoskonałości są losowe, a racjonalne modelowanie niedoskonałości można osiągnąć tylko przy użyciu metod probabilistycznych. Zastosowanie metod probabilistycznych do oceny niezawodności ram w zakresie identyfikacji charakterystyk statystycznych początkowych niedoskonałości geometrycznych jest nowym zagadnieniem inżynierskim.

Imperfekcja w postaci wstępnego wygięcia pręta $w_0(x) $ jest procesem stochastycznym w funkcji nielosowej współrzędnej  $x$ po osi pręta o długości $L$.

Na podstawie  znajomości zbioru n-realizacji  procesu

$$\begin {equation}  w_{0,i} (x) \, (i=1,2, .., n) \label {4-3.1} \end {equation}$$

można wyznaczyć wartość oczekiwaną  procesu wstępnego wygięcia jako wartość średnią realizacji:

$$\begin {equation}  E [ w_0 (x)]  \approx  \cfrac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n  w_{0,i} (x)  \label {4-3.2} \end {equation}$$

Wygięcie  wstępne pręta przyjmowane jest powszechnie w postaci funkcji trygonometrycznej, co  można zapisać wyrażeniem:

$$\begin {equation}  {w_0} (x) =  A \cos {\omega x }+ B \sin {\omega x  } , \quad x \in L   \label {4-3.3} \end {equation}$$

gdzie amplitudy A i B są  zmiennymi losowymi, a częstotliwość  $\omega=\dfrac {2\pi}{L}$ przyjmuje się jako nielosowy parametr.

Model ($\ref{4-3.3}$) na potrzeby analizy losowej  uogólniamy do dowolnej funkcji wygięcia wstępnego $w_0(x)$ aproksymowanej szeregiem Fouriera:

$$\begin{equation}  w_{0} ( \Delta x ) = \sum \limits_ {i=1}^n  [A_i \cos { \omega_i \Delta x } + B_i \sin { \omega_i \Delta x} ] \label {4-3.4} \end{equation}$$

gdzie $\Delta x$ jest odległością pomiędzy punktami pręta (długością odcinka pręta).

Założenie o ergodyczności procesu stochastycznego imperfekcji łukowych

Przyjmiemy założenie ergodyczności procesu stochastycznego imperfekcji łukowych. Własność ergodyczności procesów losowych wyczerpująco opisuja podreczniki matematyki, np zotpressInText item=”{9FX69JRW}”].

Z własności ergodycznosci wynika,  że zamiast analizy zbioru realizacji ($\ref{4-3.1}$) funkcji ($\ref{4-3.3}$) można analizować  jedną realizację pręta ($\ref{4-3.4}$), rozpatrując imperfekcje po długości tego pręta w funkcji odległości pomiędzy różnymi odcinkami $\Delta x$ tego pręta.

Ponieważ proces ergodyczny jest stacjonarny, więc  wynika stąd, że imperfekcje łukowe są jednorodnym procesem stochastycznym w funkcji nielosowej rzędnej położenia puntu po długości pręta $x$.

Proces jest stacjonarny (w szerszym sensie), gdy ma stałą wartość oczekiwaną, a jego funkcja korelacyjna zależy wyłącznie od różnicy argumentów $\Delta x$ (długości analizowanego odcinka pręta). Proces  ($\ref{4-3.3}$) lub ($\ref{4-3.4}$) będzie miał stałą wartość oczekiwaną wtedy i tylko wtedy, gdy będzie miał zerowe amplitudy $E[A]=E[B]=0$, czyli  $E[A_i]=E[B_i]=0$ (i-numer wyrazu szeregu w rozwinięciu w szereg Fouriera)

Fundamentalne założenie o ergodyczności (i w konsekwencji stacjonarności)  losowych imperfekcji łukowych należy interpretować w ten sposób, że:

  • oczekiwany kształt pręta prostego jest prosty,
  • odchylenia losowe  od kształtu oczekiwanego są szumem losowym (np (Box, Jenkins, Herer, 1983)), to znaczy odchylenia losowo oscylują wokół oczekiwanego kształtu pręta prostego.

W dodatku B do niniejszego podręcznika w rozdziale Dyskretyzacja procesu trygonometrycznego pokazano sposób dyskretyzacji ciągłego, stochastycznego procesu trygonometrycznego ($\ref {4-3.4}$) na elementy skończone.

Proces  ($\ref {4-3.4}$) jest definiowany przez:

  • ciąg nieskorelowanych losowych amplitud $A_i$  , $B_i$ ze średnią zero: $E[ A_i A_j ]=E[A_i B_j ]=E[B_i B_j ]=E[ A_i]=E [ B_i ]=0$
    oraz z jednorodną wariancją $Var[A_i]=E[A_i^2] =E[B_i^2] =\sigma_i^2$,
  • deterministyczne częstotliwości $\omega_i$.

Trend $M_{[e]}$ i funkcja korelacji $R_{[e][e]}$ procesu ($\ref {4-3.4}$) na pręcie $[e]$, a w konsekwencji na zbiorze prętów wynosi:

$$\begin{equation}  M_{[e]} =0 \\
R_{[e][e]} =  \sum \limits_{(i)}  \sigma_i ^2 \cdot \cos {(\omega_i \Delta x) } \label {4-3.5} \end{equation}$$

Funkcja korelacji ($\ref{4-3.5}$)jest  stacjonarna, więc wariancje i kowariancje pomiędzy lokalnymi średnimi w elementach pręta można wyznaczyć z Twierdzenia 3. w Dodatku B.

Imperfekcje przechyłowe

Imperfekcje przechyłowe w ciągach poziomych

W rozdziale Model imperfekcji globalnych  opisano źródła imperfekcji przechyłowych oraz koncepcję obliczeniową zastępczych, obejmujących łącznie: a)  odchylenie elementu od pionu, b) mimośrody wykonawcze w głowicy i stopie słupa, c) wmontowaniem elementu krótszego od idealnego. Imperfekcja zastępcza jest  kątem odchylenia konstrukcji od pionu. Czasami do imperfekcji zastępczej włącza się również błędy montażu w stykach elementów pomiędzy węzłami końcowymi, choć przeważa pogląd, że tego typu imperfekcje są imperfekcjami lokalnymi  i mogę być włączone do imperfekcji globalnych wyłącznie w przypadku, gdy węzeł elementu ( np stopa lub głowica słupa) będzie przyjęty w miejscu styku wewnętrznego.

Imperfekcje przchyłowe w ciągach poziomych dotyczą słupów na tej samej kondygnacji i oczywiście różnią się losowo.

W wielu pracach pokazano, że statystycznie nieistotna jest korelacja pomiędzy przechyłami, a także korelacja z innymi początkowymi imperfekcjami słupów na tych samych kondygnacjach. Takie korelacje będziemy więc traktowali jako statystycznie niezależne.

Do wyznaczenia losowych parametrów imperfekcji przechyłowej  poziomego ciągu słupów  (na tej samej kondygnacji) skorzystamy z przytoczonych w  Dodatku B twierdzeń o dyskretyzacji konstrukcji na stochastyczne elementy skończone.

Przyjmijmy, że ciąg poziomy ma liczebność $m$ słupów. Z punktu widzenia rozpatrywanego zagadnienia nie jest istotne ułożenie słupów: czy są w jednej linii, kilku liniach równoległych, czy też są rozłożone na kondygnacji w inny sposób.

Najpierw założymy, że pole losowe przechyłów słupów jest jednorodne z funkcją korelacji klasy wykładniczej w postaci :

$$\begin {equation}  C(\Delta m) = \exp {(-A |\Delta m| ) }  \label {4-3.6} \end {equation}$$

gdzie: $\Delta m$ -różnica numerów słupów (odległość slupów), współczynnik  skali $A$ zostanie dalej określony na podstawie uwarunkowań fizycznych procesu.

Wariancja imperfekcji przechyłowej $X_i$ wynosi

$$\begin {equation}  Var [X_i]= \cfrac {2} { {A_m}^2} \cdot [ A_m – 1 + \exp{ (-A_m )]} \label {4-3.7} \end {equation}$$

gdzie $A_m=2 \cdot A\cdot m$ – wykładnik potęgi – parametr procesu imperfekcji przechyłowych

Imperfekcje przechyłowe w ciągach pionowych

Imperfekcje przechyłowe w ciągach pionowych (po wysokości budynku – na poszczególnych kondygnacjach) oczywiście różnią się losowo.

Autor nie znalazł w literaturze uprawdopodobnienia nawet tezy (podejrzenia), że istnieje zależność pomiędzy impefekcjami przechyłowymi słupów na różnych kondygnacjach zarówno na odcinku obejmującymi dwie kondygnacje jak i wiele kondygnacji lub cały budynek. W podręczniku przyjmujemy więc założenie, że imperfekcje przechyłowe w ciągach pionowych są losowo niezależne. Ponieważ to samo dotyczy imperfekcji w ciągach poziomych, więc

W trakcie edycji 

Rozkład łączny i rozkłady brzegowe imperfekcji geometrycznych

Systemowe imperfekcje geometryczne są z natury losowe, a w szczególności losowy charakter ma współwystąpienie (jednoczesność wystąpienia) rozmaitych form imperfekcji:

  • sprężystych  $\eta_{el}$  i plastycznych $\eta_{pl}$ ,
  • globalnych $ \eta_G$ (zastępczych przechyłowych układu ) i lokalnych  $\eta_G$ (zastępczych łukowych elementu).

Stopień sprzężenia form imperfekcji należy rozpatrywać również metodami probabilistycznymi.

W ogólnym przypadku wzajemną korelację zmiennych losowych można wyznaczyć z łącznej dystrybuanty

$$\begin {equation}  F( \eta_{el} \, ,\, \eta_{pl} \, , \, \eta_G \, , \, \eta_L)  \label {4-3.8} \end {equation}$$

gdzie $F()$ jest funkcją dystrybuanty zmiennej losowej.

Hipoteza niezależności imperfekcji

Przyjmijmy hipotezę, że imperfekcje systemowe  (w szczególności łukowe i przechyłowe), czyli zmienne losowe  $\eta_{el} \, ,\, eta_{pl} \, , \, \eta_G \, , \, \eta_L$  są losowo niezależne.

Hipotezę zapiszemy formułą:

$$\begin {equation}  F( \eta_{el} \, ,\, eta_{pl} \, , \, eta_G \, , \, \eta_L)= [1-F( \eta_{el})] \cdot  [1-F(\eta_{pl})] \cdot  [1-F(\eta_G)] \cdot  [1-F(\eta_L)] \label {4-3.9} \end {equation}$$

Należy przy tym rozróżnić statystyczną korelację od losowej zależności. Losowa niezależność pociąga brak korelacji statystycznej. Jeśli natomiast z pomiarów wynika zerowa korelacja, to nie oznacza jeszcze niezależności zmiennych losowych. imperfekcji.

Niezależność imperfekcji przechyłowych i łukowych może wynikać z faktu, że  są one generowane w różnych miejscach (huta, warsztat, budowa) pod różnymi technologiami (walcowanie,  prostowanie na warsztacie, montaż na budowie) itd.

Weryfikację hipotezy niezależnosci imperfekcji można przeprowadzić z użyciem procedury IndepedenceTest() pakietu Mathematica (Wolfram, MathWorld, 2019) na podstawie dostępnych danych. Niestety nie natrafiono na serie danych pomiarów imperfekcji łukowych osi prętów, nadające się do weryfikacji statystycznej. Badania prętów ściskanych były prowadzone w dużej liczbie, ale mierzono w nich siłę niszczącą i ewentualnie stowarzyszone z nią ugięcia prętów. Zastępczą strzałkę imperfekcji można z tych badań wyznaczyć metodą Southwela. Weryfikacja  hipotezy niezależności imperfekcji będzie przedmiotem odrębnej publikacji.

Do czasu weryfikacji hipotezy nie można jej odrzucić, i w niniejszym podręczniku zakładamy jej prawdziwość.

Hipoteza rozkładu Gumbela maksimów rozkładów  imperfekcji

Przyjmijmy hipotezę, że  niezależne losowe zmienne imperfekcji  mają rozkład Gumbela maksimów

Hipotezę zapiszemy formułą:

$$\begin {equation}  F( \eta_{r})= G_r() \label {4-3.10} \end {equation}$$

gdzie G() – dystrybuanty brzegowe rozkładu Gumbela maksimów w postaci (A.24), które można zapisać formułą

$$\begin {equation}  G_{X}( \zeta)= \exp{[-\exp{(-\zeta)}]} \quad \text {gdzie } \zeta=\cfrac{x-\alpha}{\beta} \quad ; – \infty <  x < \infty  \label {4-3.11} \end {equation}$$

Weryfikację hipotezy niezależnosci imperfekcji można przeprowadzić z użyciem procedury PearsonChiSquareTest() pakietu Mathematica (Wolfram, MathWorld, 2019) na podstawie dostępnych danych.  Weryfikacja  hipotezy niezalezności imperfekcji będzie przedmiotem odrębnej publikacji.

Do czasu weryfikacji hipotezy nie można jej odrzucić, i w niniejszym podręczniku zakładamy jej prawdziwość,

Utrata nośności systemu konstrukcyjnego może nastąpić wskutek utworzenia się mechanizmu plastycznego lub wyboczenia sprężystego. Mechanizmy zniszczenia plastycznego oraz sprężyste mogłyby być sprzężone funkcjonalnie. Na skutek wyboczenia elementu systemu wzmaga się prawdopodobieństwo utraty nośności plastycznej na skutek ukształtowania przegubu plastycznego w miejscu największej krzywizny elementu.

Definicja imperfekcji plastycznej i sprężystej

Imperfekcja plastyczna, to takie wstępne wygięcia pręta, przechylenia lub mimośrody układu, które prowadzą do mechanizmu zniszczenia plastycznego bez poprzedzającego sprężystego wyboczenia systemu.

Imperfekcje sprężyste to takie, które prowadzą do sprężystej utraty stateczności systemu bez przejścia przez mechanizm plastyczny.

Analizę mechanizmu plastycznego można dokonać bez potrzeby uwzględniania cech sprężystych (dla konstrukcji sztywno-plastycznej), skąd wynika, że znajomość postaci wyboczonej nie daje żadnej informacji o mechanizmie plastycznym. Jednym słowem niezależne są oba mechanizmy zniszczenia oraz stowarzyszone z nimi imperfekcje.

Współczynniki kombinacyjne obciążenia imperfekcjami

w trakcie edycji

Imperfekcje geometryczne są wymuszeniami nałożonymi na konstrukcję, które mogą być równoważnie rozpatrywane jako fikcyjne obciążenia. Można więc stosować do nich ogólne zasady ogólne zasady kombinacyjne przyjęte w normie (PN-ISO 2394, 2000).

Niestety w normach podawane są już wartości obliczeniowe imperfekcji i ogólnych zasad nie można stosować wprost.  Wskazane jest jednak zachowanie ogólnych zasad kombinacyjnych również w odniesieniu do imperfekcji. W tym celu należy przeprowadzić procedurę złożoną z dwóch kroków:

1) obliczeniowe wymuszenia imperfekcjami podawane w normach $\eta_d$ sprowadzić do charakterystycznych $\eta_k$. poprzez  pomniejszenie w stosunku do współczynnika obciążeń

$$\begin {equation}  \eta_k =\cfrac {\eta_d}{\gamma_d \cdot \psi_0} \label {4-3.12} \end {equation}$$

2) w stosunku do imperfekcji $\eta_k$ stosujemy  ogólne zasady kombinacyjne normy (PN-ISO 2394, 2000) w odmianie stosowanej w normie zotpressInText item=”{FPIRSR5F}”] jak dla stanu STR, zestaw A

Do przeprowadzenia tej procedury potrzebna jest znajomość współczynnik obciążeń dla imperfekcji $ \gamma_{f,I}$ oraz współczynników redukcyjnych : kombinacyjnego $\psi_{0,I}$ , wartości częstej $\psi_{1,I}$ i wartości prawie stałej $ \psi_{2,I}$

Ponieważ obciążenia imperfekcyjne są wynikiem działania obciążeń grawitacyjnych o różnej naturze , to również imperfekcje należy podzielić ze względu na pochodzenie i stosować współczynniki obciążeń:

$\gamma_{f,GI}=1,35$ dla imperfekcji stowarzyszonych z obciązeniami stałymi $G$,

$\gamma_{f,QI}=1,5$ dla imperfekcji stowarzyszonych z obciążeniami zmiennymi $Q$.

W ogólnym przypadku jednoczesne wystąpienie najniekorzystniejszych imperfekcji systemowych oraz lokalnych jest oczywiście losowe.

Należy zwrócić uwagę, że wykluczone jest jednoczesne wystąpienie imperfekcji opowiadających różnym postaciom odkształcenia (mod wyboczeniowych – postaci własnych) . Zdefiniowanie imperfekcji wykluczających jest łatwiejsze po wstępnym przeprowadzeniu analizy wyboczeniowej systemu (analizy LBA). Zasady kombinacyjne wymuszeń od imperfekcji zarówno w postaci geometrycznej jak i równoważnych sił od imperfekcji powinny zawierać pojęcie imperfekcji wykluczających się, tak by nie zestawić ze sobą kombinacji niemożliwych do urzeczywistnienia. Na przykład w przykładzie dwugałęziowego słupa kratowego (rozdział 6) nie można zestawiać ze sobą (sumować) imperfekcji przechyłowej, odpowiadającej postaci odkształcenia w płaszczyźnie słupa z globalną imperfekcją łukową, odpowiadającej postaci odkształcenia słupa z płaszczyzny.


Niniejszy artykuł jest  częścią 3 rozdziału 4 podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]


Historia edycji:
(2019-06, 01) Wersja 1.0 
Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na adres  wydawnictwa biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w rozdziale

Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Herer, W. (1983). Analiza szeregów czasowych: prognozowanie i sterowanie. Warszawa: Państwowe Wydaw. Naukowe.
PN-ISO 2394. Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych (2000). UE: PKN.
Piątkowski, M. (2017). Metody uwzględniania imperfekcji geometrycznych w kratownicach stalowych. Czasopismo Inżynierii Lądowej, Środowiska i Architektury Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, XXXIV(z. 64 (4/I/17)), 229–243.
Shayan, S., Rasmussen, K. J. R., & Zhang, H. (2014). On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research, (98), 167–177.
Wolfram, MathWorld. (2019). Mathematica. Extreme Value DIstribution. Retrieved from http://mathworld.wolfram.com/ExtremeValueDistribution.html
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »