Imperfekcje w postanowieniach normowych [R3-1]

Spis treści

 R2-3  ⇐   [R3-1]   ⇒ R3-2

Niniejszy artykuł jest 3 rozdziałem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(2019-04-19)  Rozdział 3: Imperfekcje w postanowieniach normowych 
(2019-04-30) Wersja 1.0 
(2019-05-05) Wersja 1.1 dodano opis metody alternatywnej
(2019-05-06) Wersja 1.2 dodano ustęp „Analiza układów usztywniających”
(2019-05-07) Wersja 1.3 dodano ustęp „(2019-05-06) Wersja 1.2 dodano ustęp „Analiza układów usztywniających”, poprawiono powołania literaturowe

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na adres  wydawnictwa biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor

Wprowadzenie

Stosowanie metod imperfekcyjnych we współczesnych normach  projektowych pokażemy na przykładzie podstawowych rodzajów konstrukcji: żelbetowych Eurokod 2 (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008), metalowych Eurokod 3 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006), zespolonych Eurokod 4 (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008),  drewnianych  Eurokod 5 (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010), murowych  Eurokod 6 (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013), a także aluminiowych Eurokod 9 (PN-EN 1999-1-1, 2010).

Wszystkie te normy zgodnie stwierdzają, że konstrukcje należy projektować według ogólnych zasad, podanych w normie podstawowej Eurokod (PN-EN 1990, 2004). Zasady te można uważać za spełnione, jeśli w projektowaniu zastosowano metodę stanów granicznych i częściowych współczynników bezpieczeństwa, a kombinacje obciążeń przyjęto zgodnie z tą normą oraz oddziaływania według zespołu norm Eurokod 1.  Pozostałe, szczegółowe zasady projektowania konstrukcji w tym z wykorzystaniem współczynników wyboczeniowych jest zgodnie z ogólną zasadą dobrowolne do stosowania przez Projektanta (p.  artykuł Kombinacje obciązeń w Eurokodach ).
Nic nie stoi więc na przeszkodzie, by w miejsce skomplikowanego zespołu współczynników redukcyjnych, złożonego  z systemu skomplikowanych współczynników niestateczności sprzężonych (skorelowanych)  z licznymi postaciami wyboczenia oraz wytężenia stosować imperfekcyjne metody projektowania, które są wolne do tego skomplikowanego zespołu.

Przed sformułowaniem nowoczesnych zasad imperfekcyjnej metody projektowania dokonamy przeglądu postanowień normowych w zakresie uwzględniania odchyleń konstrukcji i obciążeń rzeczywistych od stanu idealnego, to znaczy uwzględnienia oczywistej losowości systemu konstrukcyjnego.

Postanowienia norm Eurokod  zostały skonstruowane przy przyjęciu następujących założeń:

  1. Procesy losowe obciążeń są uwzględnione w systemie współczynników obciążeń $\gamma_F$ , stosowanym jednocześnie ze współczynnikami kombinacyjnymi (redukcyjnymi),
  2. Losowość cech materiałów (np. granicy plastyczności $f_y$ stali lub wytrzymałości betonu $f_c$) jest uwzględniona poprzez stosowanie w obliczeniach kwantyli tych losowych zmiennych, czyli wartości obliczeniowych, np. $f_{*d} =\cfrac{f_{*k}}{\gamma_M}$, gdzie –  $f_{*k}$ wytrzymałość charakterystyczna, – $\gamma_M$ współczynniki materiałowe
  3. Wpływ odchyłek wymiarów przekrojów jest zwykle uwzględniony w systemie materiałowych współczynników bezpieczeństwa. System materiałowych współczynników bezpieczeństwa jest zwykle rozbudowany i w zależności od konstrukcji i sytuacji obliczeniowej dotyczy i integruje w sobie rozmaite natury rozproszenia cech.
  4.  W systemie współczynników bezpieczeństwa nie są ujęte imperfekcje systemowe, czyli przesunięcia węzłów systemu od położenia projektowanego, a także wstępne ugięcia i skręcenia elementów (prętów, powłok i brył) wyodrębnionych z systemu konstrukcyjnego. Uwzględnienie tych zjawisk wymaga  wprowadzenia do procesu projektowego metodami innymi niż częściowe współczynniki bezpieczeństwa.

Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa

Zgodnie z normą projektowania konstrukcji żelbetowych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) mamy system współczynników bezpieczeństwa:

$\gamma_M$  – częściowy do właściwości materiału, określony z uwzględnieniem niepewności, co do samej właściwości materiału, co do odchyleń geometrycznych i co do zastosowanego modelu obliczeniowego,
$\gamma_m$do właściwości materiału, określony z uwzględnieniem wyłącznie niepewności właściwości materiału,
$\gamma_s$do stali zbrojeniowej lub sprężającej,

Zgodnie z normami do projektowania konstrukcji  stalowych  (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) i (PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC, 2006) mamy system współczynników bezpieczeństwa:
$\gamma_{M0} $ przy sprawdzaniu nośności przekroju poprzecznego,
$\gamma_{M1} $przy sprawdzaniu stateczności elementów,
$\gamma_{M2} $ do właściwości śrub, nitów, sworzni, spoin, nośności na rozerwanie,
$\gamma_{M3} $ do nośności na poślizg,
$\gamma_{M4} $ do nośności na docisk śrub z iniekcją,
$\gamma_{M5} $ do nośności węzłów kratownic z kształtowników rurowych,
$\gamma_{M6 ser} $ do nośności sworzni w stanie granicznym użytkowalności,
$\gamma_{M7} $ do sprężania śrub wysokiej wytrzymałości,
$\gamma_{c} $ do betonu

Zgodnie z normą do projektowania konstrukcji zespolonych (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) system współczynników bezpieczeństwa obejmuje:
$\gamma_{M}$  ogólnie do właściwości materiałów, uwzględniający również niepewność geometrii i odchyłki wymiarowe,
$\gamma_{M0}$ do stali konstrukcyjnej,
$\gamma_{s}$ do zbrojenia stalowego,
$\gamma_{Mf}$ do wytrzymałości zmęczeniowej,
$\gamma_{Mfs}$ do wytrzymałości zmęczeniowej łączników ścinanych,
$\gamma_{V}$ do wytrzymałości zmęczeniowej łączników ze łbami,
$\gamma_{Vs}$ dla płyt zespolonych.

Norma do projektowania konstrukcji aluminiowych (PN-EN 1999-1-1, 2010) przewiduje następujący system współczynników bezpieczeństwa:

$\gamma_{M1}$  dotyczący nośności przekroju bez względu na jego klasę
$\gamma_{M1}$ stosowany przy sprawdzaniu stateczności elementu,
$\gamma_{M2}$ stosowany przy sprawdzaniu nośności przekroju ze względu na rozerwanie,
$\gamma_{Mf}$  dotyczący zmęczenia,
$\gamma_{M3}- \gamma{M7}$  stosowane do połączeń,
$\gamma_{Mw}$  do połączeń spawanych,
$\gamma_{Mp}$  do połączeń sworzniowych,
$\gamma_{Ma}$ dotyczący połączeń klejowych,
$\gamma_{Mser}$ dotyczący stanu granicznego użytkowalności,

Zgodnie z normą do projektowania konstrukcji drewnianych (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010), mamy:

$\gamma_{M}$ do właściwości materiału, uwzględniający także niedoskonałości modelowania i odchyłki wymiarowe

Zgodnie z normą do projektowania konstrukcji murowych  (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013), mamy:

$\gamma_{M}$  współczynnik częściowy  dla właściwości materiałów, uwzględniający również niepewność modelu i odchyłki wymiarowe,

Zjawiska opisane współczynnikami wymienionymi wyżej  nie powinny być dodatkowo włączane do analizy konstrukcji i nie będziemy się nimi zajmować w tej pracy.

Nie wszystkie imperfekcje konstrukcji da się zamknąć w częściowych współczynnikach bezpieczeństwa. Takie imperfekcje zajmują szczególne miejsce w wytycznych normalizacyjnych. Są to systemowe imperfekcje geometryczne, uwzględniające następujące zjawiska:

  • odchyłki geometryczne osi lub płaszczyzn elementów od położenia oczekiwanego, wynikające z tolerancji wykonawczych, określone w normach wyrobów i normach wykonania;
  • odchyłki konstrukcji, wytwórcze i montażowe , to znaczy odchylenia od zaplanowanego kształtu w tym zmiany położenia obciążeń, takich jak odchyłki pionowości, prostoliniowości, płaskości lub dopasowania oraz obecność nieuniknionych mimośrodów w węzłach nieobciążonej konstrukcji ;
  • naprężenia własne w elementach stalowych.

Systemowe imperfekcje geometryczne nie zawierają imperfekcji przekrojów elementów, które są ujęte w systemie częściowych współczynników bezpieczeństwa.

Podstawowe normy zgodnie stwierdzają również, że przy obliczaniu stateczności i wytrzymałości konstrukcji należy brać pod uwagę efekty drugiego rzędu, w tym naprężenia własne, imperfekcje geometryczne, miejscową niestateczność, zarysowanie, skurcz i pełzanie betonu oraz uplastycznienie stali konstrukcyjnej i zbrojenia. Konstrukcja powinna być tak zaprojektowana by zapewnić stateczność konstrukcji i wytrzymałość przekrojów w najbardziej niekorzystnych kombinacji oddziaływań w stanach granicznych nośności,. Efekty drugiego rzędu należy uwzględniać w każdym kierunku, w którym może nastąpić zniszczenie, jeśli wpływają znacząco na stateczność konstrukcji.

Jednocześnie zaleca się aby: przyjmowany w obliczeniach kształt globalnych i lokalnych imperfekcji można określić na podstawie postaci wyboczenia sprężystego układu w rozpatrywanej płaszczyźnie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006). Przewidywane imperfekcje powinny być uwzględniane w sprężystej postaci wyboczenia konstrukcji lub elementu w rozpatrywanej płaszczyźnie wyboczenia, w najbardziej niekorzystnych kierunkach i kształcie (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008).

Jest to oczywista niespójność zasad, szczególnie wobec szerokich badań (Godoy, 1998) i innych (np. (Abel, 2012)), w których wykazano, że sprężyste postacie wyboczenia praktycznie nie realizują się w rzeczywistych konstrukcjach. Podejście zgodne z tą ideą prezentuje norma żelbetowa (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008), poprzez wskazanie, że „czyste wyboczenie” nie jest stanem granicznym, który mógłby nastąpić w rzeczywistej konstrukcji, obarczonej imperfekcjami i na którą działają obciążenia poprzeczne. Tym niemniej do czasu powszechnego wdrożenia w projektowaniu procedur geometrycznie i materiałowo nieliniowych, należy przyjmować przybliżenie, poprzez przyjecie, że utrata stateczności następuje w zakresie sprężystym.

W postanowieniach norm konstrukcyjnych: żelbetowych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008), stalowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) , aluminiowych (PN-EN 1999-1-1, 2010) i zespolonych (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) wprowadzono następujące typy systemowych imperfekcji geometrycznych konstrukcji:

  • imperfekcje globalne przechyłowe, które oznaczamy symbolicznie (IGP) oraz stosujemy indeks G.
  • imperfekcje lokalne (łukowe), które oznaczamy symbolicznie (IL) oraz stosujemy indeks L.

Oba te typy zaszeregujemy do geometrycznych imperfekcji systemowych, celem odróżnienia od innych imperfekcji geometrycznych, w tym imperfekcji charakterystyk geometrycznych przekrojów prętów i powłok, które są ujęte w materiałowych częściowych współczynnikach bezpieczeństwa.

W pkt 4.2.1 (rozdział 4)  pracy, systematykę tę rozbudujemy poprzez zdefiniowanie imperfekcji globalnych przechyłowych (IGP –indeks GP ), globalnych łukowych (IGL – indeks GL) oraz lokalnych łukowych (ILL – indeks LL), a także lokalnych powłokowych (ILP – indeks LP) . Imperfekcje powłokowe obejmują wszystkie elementy powierzchniowe, w tym płyty i tarcze.

Imperfekcje konstrukcji stalowych w Eurokod 3 (2006)

W normie do projektowania konstrukcji stalowych Eurokod 3 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zdefiniowano oryginale zasady, stanowiące podstawę metod imperfekcyjnych. W normie tej dopuszczono jeszcze stosowanie historycznych metod wyboczeniowych, a zasady metody imperfekcyjnej były udoskonalane w normach publikowanych w kolejnych latach dla innych konstrukcji.

Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.3(3)), w celu uwzględnienia systemowych imperfekcji geometrycznych konstrukcji stalowych wrażliwych na efekty drugiego rzędu (w tym ram przechyłowych) można stosować uproszczoną metodę zastępczych imperfekcji geometrycznych przechyłowych i łukowych. Za dokładniejszą uznaje się metodę alternatywną, przedstawioną w pkt. 3.6 (rozdział 3), zgodnie, z którą imperfekcje określane są ze zintegrowanej postaci wyboczenia sprężystego. Wśród postaci wyboczenia sprężystego można wydzielić postać przechyłową lub łukową, symetryczną lub niesymetryczną, giętną lub skrętną itd., choć w ogólności jest to trudne ze względu na sprzężenie postaci wyboczenia i najczęściej niepotrzebne.

Zaczniemy od przedstawienia zasad oryginalnych i w kolejnych punktach będziemy przedstawiali udoskonalenia metody, tak by w konkluzjach wskazać na syntezę zasad, które stanowią punkt wyjścia do uogólnień wprowadzanych w niniejszym podręczniku.

Imperfekcje przechyłowe

Na Rys. 3.1 pokazano model przyjmowany w Eurokod 3 do analizy globalnych imperfekcji systemów konstrukcyjnych. W modelu zakłada się, że na skutek niezamierzonych odchyłek, budowla o wysokości h pochyli się w kierunku poprzecznym o kąt , ale też pochyli się o taki kąt w kierunku podłużnym – w płaszczyźnie rzędu słupów.

Rys.3.1 Imperfekcje przechyłowe IGP

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, rys. 5.2.)

Podstawowa  i jednocześnie największa możliwa wartość pochylenia wynosi:

$$\begin{equation}\Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 \label {3.1} \end{equation}$$

Przechył ($\ref{3.1}$) może być zredukowany współczynnikami redukcyjnymi $\alpha_h$ oraz $\alpha_m$:

$$\begin{equation}  \alpha_h = \cfrac{2}{\sqrt{h}},  \quad  \text{lecz  } \, 2/3 \le \alpha_h \le \, 1  \label {3.2} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{m+1}{2m}}   \label {3.3} \end{equation}$$

gdzie:
$h$ – wysokość budowli lub długość elementu,
$m$ – liczba słupów w rzędzie, które przenoszą obciążenie $N_{Ed}$  nie mniejsze niż 50% przeciętnego obciążenia słupa w rozpatrywanej płaszczyźnie pionowej.

Współczynnik  $\alpha_m$ powinien być obliczony dla liczby słupów stabilizowanych w kilku rzędach, a nie tylko w jednej ścianie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. (5.5)), (Ravindra, Galambos, 1972). Współczynniki redukcyjne przyjmują maksymalne możliwe wartości 1,0 odpowiednio dla h= 4 metry i dla m = 1.

Zredukowany przechył wynosi

$$\begin{equation}  \Phi=\Phi_0 \cdot \alpha_h \cdot \alpha_m  \to n_{\Phi} =n_{\Phi,0}/ (\alpha_h \cdot\alpha_m) \label {3.4} \end{equation}$$

Na skutek geometrycznej imperfekcji przechyłowej na głowice i stopy słupów (Rys. 3.2b) i stropy między kondygnacyjne (Rys. 3.2a) działają równoważne siły imperfekcji

$$\begin{equation}  H_{Ed} =\Phi \cdot N_{Ed}  \label {3.5} \end{equation}$$

Ry.s. 3.2 Równoważne, poziome siły fikcyjne od imperfekcji przechyłowych: a) na stropy międzykondygnacyjne, b) na głowice i stopy słupów

Siła $N_{Ed}$ jest unormowaną osiową siłą przekrojową w danym słupie. Zwykle przyjmuje się, że jest to maksymalna siła ściskająca z długości słupa. W przypadkach uzasadnionych dużym wpływem sił $H_{Ed}$  na stan przemieszczeń i naprężeń, jako normę przyjmuje się średnią ważoną, proporcjonalną do odcinków długości słupa (w granicy, jako całkę po długości pręta, podzieloną przez jego długość h).  Jeśli zewnętrzna siła pozioma przekracza 15% całkowitej siły pionowej, to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{3.5}$), wynikające z modelu Rys. 3.1.

W przypadku linii słupów spiętych belką wezgłowiową do głowicy najczęściej pierwszego słupa przykłada się sumaryczną siłę od imperfekcji wszystkich słupów w szeregu $\sum H_{Ed}= \Phi \sum N_{Ed}$. Taki zabieg uogólnia się na całą kondygnację budynku wielokondygnacyjnego w przypadku baterii słupów spiętych tarczą stropową, ponieważ w praktycznie spotykanych przypadkach wpływ sił imperfekcji na zwiększenie wytężenia początkowego nie jest zbyt istotny, a siły imperfekcji spełniają pożyteczną, obliczeniową rolę, bo prowadzą do wytrącenia systemu z idealnego położenia, więc w celu uproszczenia procedur dla zwykłych przypadków przyjmuje się zwykle najniekorzystniejszą wartość ($\ref{3.1}$) (bez redukcji).

Przechyły $\Phi$ układu na danej wysokości układu mogą powodować zwykłą translację (Rys. 3.3a) o odcinek $\Phi \cdot x$  (x- wysokość rozpatrywanego punktu nad poziom zerowy), albo obrót (Rys. 3.3b ) $\Phi\cdot b/2 \cdot x/h$ (b, h – szerokość i wysokość budowli). Wartość translacji lub obrotów zmienia się po wysokości od zera (dla x=0) do maksymalnej wartości ($\ref{3.4}$) (dla x=h).

Rys.3.3. Przechyły układu: a) translacyjne Λ , b) skrętne Λφ

Zasada ($\ref{3.5}$) dotyczy wszystkich obciążeń grawitacyjnych, również rozłożonych (liniowych lub powierzchniowych), co można zapisać formułą:

$$\begin{equation} g_x= g_y = \Phi \cdot g_z  \label {3.6} \end{equation}$$

Imperfekcje łukowe

Zastępcze imperfekcje łukowe elementów modelowane są wstępnym wygięciem elementu o amplitudzie (strzałce wygięcia)  $e_0$ w sposób pokazany na Rys. 3.2b. Mimośrody $e_0$ są proporcjonalne do długości elementu oraz zależą od rodzaju prowadzonej analizy (sprężysta, plastyczna). W poprawce do polskiej wersji (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) zaleca się, by względną imperfekcję łukową dla wszystkich rodzajów analiz przyjmować wg kol. (2) Tab. 3.1 (jak dla analizy sprężystej). Typ krzywej wyboczeniowej zależy od rodzaju profilu i dobiera się  go z tab. 3.1a.

Tab.3.1. Wartości obliczeniowe wstępnych imperfekcji łukowych e0/L (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 5.1.)

Tab 3.2 Kryteria wyboru krzywych wyboczeniowych
( kopia (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.2.)

W przypadku belek, istotne mogą być lokalne imperfekcje w postaci wstępnych skręceń. Równoważne siły imperfekcji, będą równomiernie rozłożonymi po długości belki, momentami skręcającymi . Postępując analogicznie do procedury szacowania równoważnych sił ($\ref{3.9}$), otrzymamy następujące wyrażenie na równoważne momenty skręcające od imperfekcji skrętnych:

$$\begin{equation} m_T= M_{Ed} \cdot \cfrac{8 \varphi_0}{L_T}  \label {3.7} \end{equation}$$

gdzie: $M_{Ed}$  – obliczeniowy moment zginający,  $L_T$ – efektywna długość belki, miarodajna do szacowania zwichrzenia elementu.

Występujący w ($\ref{3.7}$)  kąt wstępnego skręcenia  $\varphi_0$ oszacujemy przy założeniu, że wstępne wygięcia łukowe $e_0$ , pokazane na Rys. 3.4b dotyczą pasa górnego (1) i dolnego (2) belki o wysokości H, ale są wygięte w przeciwne strony o wartość, stanowiącą 50% imperfekcji łukowego wygięcia, tzn.: $e_{0(1)}=-e_{0(2)}= e_0 / 2$.  Tutaj $e_0$ jest strzałką wygięcia wstępnego, określoną jak dla pręta ściskanego wg Tab. 3.1, zależnie od krzywej wyboczeniowej a do d belki zginanej, przyporządkowanej do typu przekroju zgodnie z Tab. 1.1. Mamy stąd oszacowanie:

$$\begin{equation} \varphi_0 =\cfrac{e_0/2}{H/2}=\cfrac{e_0}{H}  \label {3.8} \end{equation}$$

gdzie: H – wysokość belki.

Obciążenie równoważne od imperfekcji lokalnych (elementu) przyjmuje się zgodnie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.3.2.(6)), rys. 3.3b i zależnością:

$$\begin{equation}q_d=\cfrac{8 N_{Ed} \cdot e_0}{l^2} = \cfrac{8N_{Ed}}{n_L \cdot L} \label {3.9} \end{equation}$$

gdzie $e_0$ – obliczeniowa imperfekcja łukowa. Oznaczenie imperfekcji jest zgodne z nomenklaturą normy (PN-EN 1999-1-1, 2010), gdzie pominięto indeks „d”, który jest stosowany w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) ( tzn. $e_0=e_{0d}$).Względną imperfekcję łukową należy przyjmować z Tab. 3.1. Siła jest obliczeniową siłą osiową działającą w elemencie o długości L, którą należy szacować, uwzględniając uwagi pod formułą ($\ref{3.5}$).

Rys. 3.3. Zastąpienie wstępnych imperfekcji równoważnymi siłami poziomymi rys. 5.4. EC3: a) imperfekcje przechyłowe (globalne), b) imperfekcje łukowe (lokalne)

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, rys. 5.3.)

Uwaga

W dalszej części pracy pokazano, że bezkrytyczne stosowanie fikcyjnych sił dla każdego schematu statycznego prętów zgodnie z formułą ($\ref{3.9}$), może prowadzić do grubych błędów. Formuła jest słuszna wyłącznie dla pręta przegubowo-przegubowego.

Równoważność imperfekcji od obciążeń i sił przekrojowych

Fikcyjne siły imperfekcji $(\ref{3.5})$ są uzależnione od osiowych sił przekrojowych $N_{Rd}$ występujących w danym elemencie. Na użytek szacowania sił imperfekcji można prrzyjąć, że w układzie konstrukcyjnym, siły przekrojowe są proporcjonalne do mnożnika obciążeń zewntrznych $\Lambda$ i wówczas formuła $(\ref{3.5})$ przyjmie równoważną postać

$$\begin{equation}   H = \Phi \cdot \Lambda V \label {3.8a} \end{equation}$$

gdzie V oznacza obciążenie grawitacyjne (pionowe) w ustalonej konfiguracji, złożone z obciążeń konstrukcji (skupionych, rozłożonych liniowo lub powierzchniowo) .

W tym ujęciu siły fikcyjne siły od imperfekcji są poziomymi obciążeniami od imperfekcji stowarzyszonymi z każdym obciążeniem grawitacyjnym, niezależnie od miejsca jego przyłożenia.

Przykład 3.1 [Stalowa rama portalowa ]

Oszacować przechyłowe oraz łukowe imperfekcje geometryczne oraz zastępcze obciążenia poziome dla ramy portalowej, pokazanej na rys. 3.3a. Rama portalowa
o rozpiętości
$L= 6 \,m$
oraz wysokości
h=4,5 \, m
wykonana jest z profili: rygiel [2] – IPE 270, słup lewy [1] – HEA 260, słup prawy [3] – HEB 300. Pręty obciążone są obciążeniami równomiernie rozłożonymi:  rygiel  $q_{z,[2]}= – 15 kN/m$; słupy  $q_{x, [1] , [3]} = 6 \, kN/m$.

Rys.3.3.a Schemat ramy do przykładu 3.1.

Imperfekcje geometryczne przechyłowe

Podstawowa imperfekcja przechyłowa
$( \ref{3.1} )  \to$  $ \Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 $

Współczynniki redukcyjne:
wysokości  $(\ref{3.2}) \to$  $ \alpha_h= \cfrac{2} {\sqrt{4,5}}= 0,943 \quad ( 2/3 \le 0,943 \le 1) $
liczby słupów dla $m=2$ , $(\ref{3.3}) \to $ $\alpha_m =\sqrt{\cfrac{2+1} {2 \cdot 2}}= 0,866$

Imperfekcja przechyłowa
$(\ref{3.4}) \to$ $ \Phi=1/200 \cdot 0,943 \cdot 0,866=0,00408 = 1/245$
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 0,866}= 245$.

Po sporządzeniu wykresu sił przekrojowych (rys. 3.3.b) okazuje się, że:

Suma sił osiowych w słupach wynosi $\Sigma N_{Ed}=24,75+65,25=90 \, kN$, więc siła w słupie [1] $ N_{Ed, [1]} =24,75 \, kN $  < 50% $ \Sigma N_{Ed} / m = 90/2 = 45 \, kN $.
Zgodnie z zaleceniem normowym [1]  powinno wykluczyć się z liczby słupów $m$ w wyrażeniu ($\ref{3.3}$), czyli :
$m=1 \to  \alpha_m =\sqrt{\cfrac{1+1} {2 \cdot 1}}= 1,00 $.
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 1,00}= 212 $.

Wnioski:

(a) wymóg ograniczenia liczby słupów uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych do celów wyliczenia współczynnika redukcyjnego $\alpha_h$, komplikuje obliczenia, bo wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie uczestniczących w przenoszeniu obciążeń pionowych
(b) ograniczenie liczby słupów (a) prowadzi do zwiększenia  imperfekcji przechyłowej konstrukcyjnego,w stopniu nieistotnym statystycznie wobec niepewnej i arbitralnie przyjętej wartości imperfekcji przechylowej.

W związku z wnioskiem (a) i (b) postuluje się , by w obliczeniach praktycznych nie redukować liczby $m$

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla $n_{\Phi} = 245$

Fikcyjne siły poziome od imperfekcji przechyłowych

Wynik sił osiowych w słupach zgodnie z  ($\ref{3.5}$).

Na rys. 3.3.b sporządzono wykres sił osiowych w prętach systemu

Rys. 3.3. b. Wykres sił osiowych w prętach systemu z rys. 3.3.a

Fikcyjne siły poziome:

$H_{Ed[1]} = 24,75/245= 0,1010 kN$

$H_{Ed[2]} = 65,25/245= 0,266 kN$

$\Sigma H_{Ed}= 0,010+0,266=90/245= 0,367 \ , kN$

Zewnętrzna siła pozioma $H_{Ed[1]} =6 \cdot 4,5= 27 kN > 15 \text {% } \cdot 24,75 =3,71 \, kN; \quad \text {oraz } >15 \text {% } \cdot 65,25= 9,78 \, kN$, wiec zgodnie z zaleceniami normowymi , to można pominąć siły od imperfekcji ($\ref{3.5}$).

Wnioski:
(c) umożliwienie ograniczenia obliczeń imperfekcyjnych w przypadku, gdy zewnętrzne siły poziome przekraczają 15% obciążeń pionowych pozornie tylko upraszczają obliczenia, bowiem sprawdzenie tego warunku wymaga wcześniejszego wyznaczenia rozkładu sił osiowych w słupach potencjalnie oraz wyznaczenie segregowanie obciążeń poziomych.

W związku z wnioskiem (c) postuluje się , by w obliczeniach praktycznych nie sprawdzać warunku „N<15%H” i procedurę wyznaczania sił imperfekcji prowadzić w każdym przypadku.

Dalsze obliczenia w przykładzie prowadzi się dla wyznaczonych wyżej sił fikcyjnych

Wynik obciążeń grawitacyjnych 

$\Sigma V_{Ed}= 6 \cdot 15=90 \, kN$

{$\ref{3.8a}$ to \Sigma H_{Ed} = 90/245= 0,367 \ , kN$

Wniosek

(d) wyznaczanie fikcyjnych sił poziomych od imperfekcji przechyłowych z obciążęń grawitacyjnych jest równoważne wyznaczeniu sił fikcyjnych z sił osiowych w słupach.

Imperfekcje geometryczne łukowe

Strzałki impefekcji łukowych przyjęto z tab 3.1. i 3.2 i zestawiono w tab.3.3

Tab.3.3. Parametry geometrycznych
imperfekcji łukowych do przykładu 3.1.

Fikcyjne obciążenia od imperfekcji łukowych

W kolumnie (7) tab.3.3. podano wartości fikcyjnych obciążęń od imperfekcji łukowych $q_d$ wyliczone z formuły normowej ($\ref{3.9}$).

W rozdziale 4 przeprowadzono dyskusję formuły ($\ref{3.9}$) i wykazano, ze obowiązuje ona wyłącznie dla prętów przegubowo-przegubowych. Pokazano metodę plastyczną i kinematyczną, umożliwiające uzyskanie poprawnych aproksymacji.

Wnioski:

(a) Geometryczne imperfekcje przechyłowe można w posty sposób zastąpić fikcyjnymi siłami poziomymi od obciążeń grawitacyjnych,

(b) Zastąpienie fikcyjnym  obciążeniem poziomym geometrycznych imperfekcji łukowych jest złożone i nie poddaje się prostym uniwersalnym algorytmom. Dlatego współczesne programy obliczeniowe imperfekcje łukowe zadają w sposób geometryczny

Imperfekcje konstrukcji żelbetowych w Eurokod 2 (2008)

Opis imperfekcji systemowych w ujęciu Eurokod2 (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) jest spójny z opisem przedstawionym w normie Eurokod 3 (ust. 3 ) z dokładnością do oznaczeń oraz pominięcia imperfekcji łukowych, a także wyrażniejszego sformułowania fundamentalnej zasady:

„Metoda MWE ( Wydzielonych Elementów) może być stosowana  wyłącznie  dla elementarnych przypadków, wówczas i tylko wówczas gdy w sposób wiarygodny możemy wydzielić element i określić jego długość efektywną (wyboczeniową). Ponadto może dotyczyć tylko elementów o prostym przekroju poprzecznym (prostokątny, okrągły) oraz ma zastosowanie tylko do słupów lub ścian”

Imperfekcje przechyłowe

Imperfekcja przechyłowa konstrukcji żelbetowych jest  opisana wzorem ($\ref{3.4}$) takim jak w normie Eurokod 3; analogiczne są również współczynniki korekcyjne $\alpha_h$  ($\ref{3.2}$) i $\alpha_m$ ($\ref{3.3}$) ale z innymi oznaczeniami.

W niniejszym opracowaniu konsekwentnie używać będziemy oznaczenia  $\Phi$ zamiast $\Theta_i$, a także  $h$ zamiast  $l$  i $L_{cr}$ zamiast $l_0$, to znaczy oznaczeń stosowanych w Eurokod 3 w miejsce używanych w Eurokod2 (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008).

Wartość podstawowa imperfekcji jest również zgodna z ustaleniami Eurokod 3 ($\ref{3.1}$) i wynosi  $n_{\Phi,0}=200$.

Wpływ imperfekcji przechyłowych na wydzielone elementy można uwzględnić na dwa sposoby (rys.3.5.):

a) poprzez zastosowanie mimośrodu (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (5.2)), co zaliczamy do metod IMGN lub IMH (gdy mimośród jest zastępowany obciążeniem)

$$\begin{equation} H_i =k_i \Phi_i  \cdot N  \label {3.14} \end{equation}$$

gdzie: –  $\Phi_i$ kąt przechyłu elementu „i”, – $L_{cr}$ -długość krytyczna (Eulera) nazywana w (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) długością  efektywną elementu ściskanego.

b) poprzez zastosowanie zastępczej siły poprzecznej od imperfekcji (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (5.3)), co zaliczamy do metod IMF:

$$\begin{equation} e_i =\Phi_i/2  \cdot L_{cr}  \label {3.13} \end{equation}$$

gdzie:  $k_i=1$ dla elementów nieusztywnionych;  $k_i=2$ dla elementów usztywnionych,  $N$ jest siła osiową działającą w elemencie.

Sposób ($\ref{3.14}$) jest ogólniejszy od ($\ref{3.13}$), bo może być zastosowany w układach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych, a nadto siła  może być zastąpiona inną równoważną siła poprzeczną.

Rys.3.5. Imperfekcje geometryczne konstrukcji żelbetowych działające na wydzielony element: a)  w systemie nieusztywnionym, b) w systemie usztywnionym (część rys.5.1 EC2)

Imperfekcje łukowe

W normie  (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) zalecono, by w uproszczeniu (bez stosowania dalszych współczynników korygujących) do uwzględniania imperfekcji, powstających przy normalnych odchyłkach wykonania, do ścian i oddzielnych słupów w systemach usztywnionych stosować mimośród

$$\begin{equation} e_0=L/400 \to \quad n_L = 400  \label {3.14_1} \end{equation}$$

Tolerancje wykonawcze odchyłek łukowych podano w Tab. 2.2–  ostatniej kolumnie tej tabeli przedstawiono propozycję szacowania imperfekcji projektowej na podstawie tolerancji wykonawczych.  Dalsze uogólnienie zaprezentowano w rozdziale 4 podręcznika ust. (4.3.6).

Przykład 3.2 [Żelbetowa rama portalowa ]

Oszacować przechyłowe oraz łukowe imperfekcje geometryczne oraz mimośrody, a także zastępcze obciążenia poziome dla ramy portalowej, pokazanej na rys. 3.3a. w wersji wykonania słupów i rygla ramy z prętów betonowych zbrojonych.

Imperfekcje geometryczne przechyłowe

Geometria układu jest taka jak w przykładzie 3.1

Takie same jak w przypadku konstrukcji stalowej są również

geometryczne imperfekcje przechyłowe:

$( \ref{3.1} )  \to$  $ \Phi_0=\cfrac{1}{200} \to n_{\Phi,0}=200 $
$(\ref{3.2}) \to$  $ \alpha_h= \cfrac{2} {\sqrt{4,5}}= 0,943 $
$(\ref{3.3}) \to $ $\alpha_m =\sqrt{\cfrac{2+1} {2 \cdot 2}}= 0,866$
$(\ref{3.4}) \to$ $ \Phi=1/200 \cdot 0,943 \cdot 0,866=0,00408 = 1/245$
$n_{\Phi} = \cfrac{ 200 }{0,943 \cdot 0,866}= 245$.

Sztywności żelbetu podczas obliczeń II rzędu

Przekroje żelbetowe są kompozytem betonu i prętów zbrojeniowych. Analiza ścisła powinna polegać na  badaniu konstrukcji złożonej z elementów skończonych betonowych współpracujących z prętami stalowymi. Do celów analizy inżynierskiej użyteczny jest integralny model kompozytu, umożliwiających jego analizę jak przekroju jednorodnego o zastępczych charakterystykach mechanicznych, zmieniających się w procesie pracy konstrukcji w zależności od stopnia pełzania betonu, udziału betonu i stali orz innych czynników.
W normie  (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) zaprezentowano dwie uproszczone metody do uwzględniania efektów drugiego rzędu w konstrukcjach żelbetowych z zastosowaniem ogólnych algorytmów mechaniki konstrukcji: metodę nominalnej sztywności (MIS) (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, kl. 5.8.7.) oraz nominalnej krzywizny  (MIK) (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, kl. 5.8.8.).

Zaprezentujemy obie metody, choć do zastosowań praktycznych z użyciem komputera zalecamy tylko jedną z nich, a mianowicie  metoda MIS. Po jej zastosowaniu analiza konstrukcji żelbetowych może być dokonana standardowymi algorytmami opracowanymi dla konstrukcji stalowych, aluminiowych i zespolonych.

Metoda nominalnej krzywizny jest przybliżoną metodą uwzględniania momentów drugiego rzędu dla prostych przypadków wydzielonych elementów żelbetowych i w tym podręczniku przedstawimy ją w skrócie w zakresie potrzebnym do przedstawienia przykładów rachunkowych w podręczniku.

Metoda nominalnej sztywności MNS

Metoda MNS umożliwia analizę elementów żelbetowych włączonych do systemów statycznie niewyznaczalnych.

Sztywność nominalną (efektywną, sprowadzoną) przekroju żelbetowego można oszacować, jako sumę sztywności betonu i zbrojenia, ważonych współczynnikami  $K_c$ i $K_s$, zależnymi odpowiednio do zarysowania i pełzania betonu oraz od udziału zbrojenia (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, (5.21))

$$\begin{equation}EI=K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s  \label {3.15} \end{equation}$$

Dla stopnia zbrojenia $\rho =\cfrac{A_s}{A_c}>2$‰  można przyjąć  $K_s=1$ (w praktyce stopień zbrojenia słupów spełnia podany warunek, bo jest to zbrojenie minimalne).

Współczynnik wpływu betonu

$$\begin{equation} K_s=\cfrac {k_1 \cdot k_2} {1+\varphi_{ef}}  \label {3.16} \end{equation}$$

gdzie pomocnicze współczynniki wynoszą:

$$\begin{equation}  k_1=\sqrt{\cfrac{f_{ck}}{20}}\label {3.17_1} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  k_2=\min{ \left[ \cfrac{n \cdot \lambda}{170} ; \quad 0,20\right ]} \label {3.17_2} \end{equation}$$

gdzie:
$ n=\cfrac {N_{Ed}} {N_{Rc}}$  – względna siła osiowa odniesiona do nośności betonu $N_{Rc}=A_c \cdot f_{ck}$
$\lambda=\cfrac {l_0}{i}$-smukłość elementu  o długości wyboczeniowej (efektywnej) $l_0=L_{cr}$ , i – promień bezwładności przekroju niezarysowanego dla przekroju prostokątnego bxh – $i=h/\sqrt{12}$.

Niekorzystne wpływy zarysowania, czyli częściowe zarysowanie i współpracę betonu na odcinkach między rysami elementów przylegających tych elementów, można uwzględniać poprzez stosowanie efektywnego modułu sprężystości betonu zgodnie ze wzorem:

$$\begin{equation} E_{cd,eff}= \cfrac{E_{cd}}{1+\varphi_{eff}}\label {3.19} \end{equation}$$

w którym $E_{cd}=E_{cm}/1,2$ jest obliczeniową wartością modułu sprężystości według normy, a  $\varphi_{eff}$ jest efektywnym współczynnikiem pełzania szacowanym z zależności:

$$\begin{equation} \varphi_{eff}= \varphi_0  \cdot k_{qp} \label {3.20} \end{equation}$$

Współczynnik pełzania $ \varphi_0 = \varphi(\infty, t_0)$ jest końcowym współczynnikiem pełzania w okresie od wieku betonu przy pierwszym obciążeniu $t_0$  (najczęściej 48 dni) do końca życia budowli ( $\infty$).

Współczynnik $ \varphi_0$  ustala się z (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008, rys. 3.1) wg zasad podanych w  artykule  Belki żelbetowe (tab.1 i tab 11) i zależy od klasy betonu rodzaju cementu (S,N,R) oraz efektywnego wymiaru przekroju $h_0=\cfrac {2A_c}{U}$,  gdzie: $A_c$ -pole przekroju betonu (szalunku), $U$-obwód przekroju – np.  dla przekroju kwadratowego $h_0 = \cfrac{h^2}{2h}=h/2$.

Często stosowaną w obliczeniach wstępnych wartością współczynnika pełzania jest

$ \varphi_0 \approx 2$.

który odpowiada sytuacji:  $t_0 = 48 $ dni , cement  N (normalnie twardniejącego), beton  C30/37 i $h_0=400 \, mm$

Wpływ pełzania można pominąć (tzn. $\varphi_{eff}=0$), jeżeli spełnione są łącznie 3. warunki: 1) $\varphi_0 \le 2,0$; 2) $\lambda <7,5$ ; 3) $e_{N,0}=\cfrac{M_{0,Ed}}{N_{0,Ed}} > h$, to znaczy wyłącznie dla krępych elementów z dużym mimośrodem w  konfiguracji „0” (1 rzędu – bez uwzględnienia wpływu przemieszczeń na siły),  w tym przy braku siły ściskającej.

Współczynnik udziału obciążeń quasi-stałych jest zdefiniowany następująco:

$k_{qp}=\cfrac{M_{0,Eqp}}{M_{0,Ed}}$,

gdzie $M_{0,d}$ obliczeniowy moment zginający w stanie granicznym nośności SGN w konfiguracji „0”,  $M_{0,Eqp}$ -moment zginający od obciążeń quasi-stałych, wyznaczony jak dla stanu użytkowalności (SGU).

Współczynnik $k_{qp} jest stosunkiem momentów zginających z analizy 1 rzędu dla SGU do SGN. W praktyce dla elementów o ustalonym schemacie statycznym i konfiguracji obciążenia współczynnik ten szacuje się na podstawie obciążeń

$k_{qp}=\cfrac { G_k+\sum Q_k \cdot \psi_2 } {\max {\left \{ \gamma_G \cdot G_k+\sum \gamma_Q \cdot Q_k\cdot \psi_0 \right \} } }$

gdzie max oznacza maksymalizację  mnożnika obciążeń z wszystkich kombinacji.

Na przykład w sytuacji przeważającego wpływu ciężaru własnego (żelbet w 60% niesie sam siebie) oraz pomijalnego wpływu obciążeń klimatycznych (śnieg i wiatr) dla budynku mieszkalno-biurowego ($\psi_0=0,7$ , $\psi_2=0,3$ ) mamy $k_{qp}=\cfrac{1,0\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4}{1,35 \cdot 0,6+1,5\cdot 0,4}=0,7$ , czyli $\varphi_{eff}=2,0\cdot 0,7=1,4$ . W sytuacji większego wpływu obciążeń zmiennych współczynnik zbliży się do wartości 0,5, czyli $\varphi_{eff}=2,0\cdot 0,5=1,0$.

Oszacowanie nominalnej sztywności elementu żelbetowego umożliwia zwiększenie momentu zginającego w stanie 2 rzędu współczynnikiem amplifikacji w postaci (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, kl.5.8.7.3)

$$\begin{equation}  M_{Ed}=M_{Ed,0} \cdot (1+a_B) \label {3.21} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}   a_B= \cfrac{\beta}{\tfrac{N_B}{N_{Ed}}-1}\label {3.21_1} \end{equation}$$

Siła krytyczna $N_B=N_{cr}$ (wzór (1.4) – rozdział 1)  jest obliczona dla pręta o sztywności nominalnej EI i długości krytycznej (efektywnej) $L_{cr}=l_0$. Należy zwrócić uwagę, że dla $\beta=1$ zachodzi ( wzór (1.9) – rozdział 1), a ($\ref{3.21}$) może być zapisane w klasycznej postaci  $M_{Ed} = M_{Ed,0} \cdot a_N$.

Współczynnik korelacji ściskania i zginania $\beta$ najczęściej szacuje  się jak dla elementów o stałym przekroju i stałej sile podłużnej:

$$\begin{equation}  \beta=\cfrac{ \pi^2}{c_0} \label {3.22} \end{equation}$$

gdzie współczynnik rozkładu momentu zginającego, wynosi:  $c_0=8$ , gdy moment 1 rzędu jest stały wzdłuż elementu,  $c_0=9,6$ , gdy ma rozkład paraboliczny), $c_0=12$, gdy ma symetryczny rozkład trójkątny). W przypadku momentu liniowo zmiennego od $M_{01}$ do $M_{02}$, przyjmuje się zastępczy stały moment  $M_0= ( 0,6 \cdot M_{02}- 0,4 \cdot M_{01} \ge 0,4 M_{02}) $  i  $c_0=8$ .

Podejście uproszczone ($\ref{3.21}$) traci na znaczeniu przy prowadzeniu analizy 2 rzędu konstrukcji żelbetowych w sposób analogiczny do obliczeń konstrukcji innych typów. W takiej analizie stosuje się nominalne (efektywne) sztywności przekroju żelbetowego ($\ref{3.15}$) dla dowolnej zmienności przekrojów i sił po długości pręta.  Współczesny program (Consteel Software, 2019),  pierwotnie opublikowany do obliczania konstrukcji stalowych, od wersji 10.0 ma możliwość analizy konstrukcji żelbetowych z płytami-ścianami oraz prętami o przekroju prostokątnym, kołowym, teowym, zbrojonych w wielu rzędach z zastosowaniem efektywnego modułu sprężystości ($\ref{3.19}$) (domyślnie $\varphi_{eff}=2,0$, z możliwością modyfikacji) i w procedurze doboru sztywności nominalnej ($\ref{3.15}$) z zastosowaniem współczynników $K_c$ i $K_s$ (domyślnie  $K_c=0,5$ i $K_s=1,0$, z możliwością modyfikacji).

Metoda nominalnej krzywizny MNK

Metoda nominalne krzywizny MNK została przedstawiona w (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, kl. 5.8.8)  jako metoda alternatywna do MNS w zastosowaniu do elementów wydzielonych z sytemu, czyli w  zasadzie do zastosowań tradycyjnych z ery przedkomputerowej.

Przekrojowy moment zginający $M_{Ed}$ działający w elemencie wyznacza się jako sumę momentu pierwszego rzędu $M_{Ed,0}$ oraz dodatkowego momentu od efektów drugiego rzędu $M_{Ed,II}$.

Przy założeniu, że przekrojowa siła osiowa $N_{Ed}$ w elemencie jest niezerowa i prawie stała na etapach analizy, po oznaczeniu:
$e_a$ – niezmierzony mimośród zdefiniowany w $(\ref{3.24})$;
$e_{N,0}=\cfrac{M_{Ed,0}}{N_{Ed}}$ – mimośród od sił zewnętrznych w stanie „0” (I rzędu);
$e_{N,II}= \cfrac{\Delta M_{Ed,II}}{N_{Ed}}$ – mimośród dodatkowy od  przyrostu sił zewnętrznych na przemieszczeniach (II rzędu),

otrzymujemy zasadę sumowania mimośrodów w mimośród całkowity $e_{tot}$:

$$\begin{equation}  e_{tot}= e_a+ e_{N,0}+e_{N,II}  \label {3.23} \end{equation}$$

Niezamierzony mimosród od imperfekcji systemowych $e_a$ jest powodowany przechyłem słupa i nieosiowym przyłożeniem siły i dla slupów należy go przyjmować z zależności :

$$\begin{equation}  e_a= \max{ \left [ \cfrac{1}{200}\cdot L_{cr}/2; \quad \cfrac{h}{30}; \quad 20 \, mm \right] }\label {3.24} \end{equation}$$

gdzie
$L_{cr}=l_o$ – długość efektywna elementu,
$h$ – wysokość przekroju

Mimośród II rzędu można oszacować z formuły

$$\begin{equation}  e_{N,II} = \cfrac{L_{cr}^2}{c} \cdot \left (\cfrac{1}{r} \right ) \label {3.25} \end{equation}$$

Współczynnik c dla elementu o stałym przekroju wynosi

$$\begin{equation}  c=\pi^2 \approx 10 \label {3.25_1} \end{equation}$$

Efektywna krzywizna (1/r) wynosi

$$\begin{equation}  \left (\cfrac{1}{r} \right )= \left ( \cfrac{1}{r} \right )_0 \cdot K_r \cdot K_{\varphi} \label {3.26} \end{equation}$$

Krzywizna 1 rzędu $(1/r)_0$ wynosi:

$$\begin{equation}   \left ( \cfrac{1}{r}\right)_0 =\cfrac {\varepsilon_{yd}}{0,45 d} \label {3.27} \end{equation}$$

Odkształcenie plastyczne stali

$$\begin{equation}  \varepsilon_{yd}=\cfrac{f_y}{E_s} \label {3.27_1} \end{equation}$$

jest wyznaczane przy naprężeniach równych granicy plastyczności $f_y$ i dla modułu stali $E_s= 200 \, GPa$.

Wysokość efektywna przekroju $d$ jest zdefiniowana standardowo $d = h – (c+∅/2) $, gdzie:  $h$- wysokość przekroju, $c$ – otulenie zbrojenia o średnicy ∅

Współczynnik wpływu stopnia zbrojenia

$$\begin{equation}  K_r=\cfrac{n_u-n}{n_u-n_{bal}} \label {3.28} \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  n_u=1+\omega  \label {3.28_1} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  \omega= \cfrac {N_{Rs}} {N_{Rc}}= \cfrac {A_s \cdot f_{yd}} {A_c \cdot f_{cd}} \label {3.28_2} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  n_{bal}=0,4  \label {3.28_3} \end{equation}$$

( $n_{bal}jest względną siłą podłużną , dla której osiąga się maksymalny moment graniczny).

Współczynnik, uwzględniający pełzanie

$$\begin{equation}  K_{\varphi} =\beta \cdot\varphi_{eff}  \label {3.29}  \end{equation}$$

gdzie:

$$\begin{equation}  \beta = 0,35+\cfrac{f_{ck}}{200}+\cfrac{\lambda}{150}  \label {3.29_1} \end{equation}$$

$\varphi_{eff}$ – efektywny współczynnik pełzania ($\ref{3.20}$).

Całkowity moment zginający przekrój właściwy do jego wymiarowania wynosi

$$\begin{equation}  M_{Ed}=N_{Ed} \cdot e_{tot} \label {3.29_2} \end{equation}$$

gdzie  $e_{tot}$ ($\ref {3.23}$).

Przykład 3.2.  [Porównanie metod  MNS i MNK]

[na podstawie (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, Prz. 13.4)

Wiarygodność i dopuszczalność oszacowań sił przekrojowych II rzędu element ów żelbetowych metodą MNS i MNK sprawdzimy na przykładzie słupa hali  z (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, Prz. 13.4).  Słup hali jest usztywniony ścianami w kierunku mniejszej sztywności i nie jest usztywniony w kierunku większej i w tym kierunku pracuje jako wspornik (jest utwierdzony w stopie fundamentowej).

Dane:

Przekrój słupa $h x b = 600 x 300\,mm$:
pole przekroju $A_c=60 \cdot 30= 1800 \, cm^2$,
moment bezwładności $I_c=60^3 \cdot 30/12= 540000 \, cm^4$,
promień bezwładności $ i =\sqrt { 540000/1800}= 60/ \sqrt{12}= 17,32 \, cm$,
ciężar jednostkowy $g=25 \cdot 0,6 \cdot 0,3=4,5 \, kN/m $

Wysokość fizyczna słupa $L= 5 \, m$,
Długość efektywna (wyboczeniowa) wspornika  $L_{cr}=l_0=2\cdot 5= 10 \, m$
Smukłość słupa  $\lambda=1000/17,32=57,7$,

Smukłość graniczna  $\lambda_{lim}= \cfrac{ 20 \cdot 0,7 \cdot 11\cdot 0,7}{\sqrt{0,529}}=14,8$

Ponieważ $\lambda=457,7 > 14,8$, więc zgodnie z  (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008)  $\to$ efekty II rzędu  należy uwzględnić

Beton  C25/30: $f_{cd}= 25/1,4 = 17,9 \, MPa$, $E_{cm}= 31 \, GPa$, $E_{cd}= 31/1,2=25,8 \, GPa$,
Zbrojenie ze stali B500: $f_{yd}=500/1,15=435 \, MPa$, $E_z= 200 \, GPa$, $\varepsilon_{yd} =435/(2 \cdot 10^5)= 2,175$ ‰.,
Zbrojenia dołem $A_{s1}$ i górą  $A_{s2}$ po $ 15 \, cm^2$, więc sumaryczne zbrojenie $(A_{s1}+A_{s2})=15+15=30 \, cm^2$,
Otulenie  osiowe zbrojenia $a=c+ø/2= 50 \, mm$ . Wysokość efektywna przekroju $d= 600-50=550 \, mm$.

Słup jest ściskany obliczeniową siłą $ N_{Ed}= 1768 \, kN$ na mimośrodzie $e_0=160 \, mm$

Obliczeniowy moment zginający 1 rzędu w głowicy wynosi $M_{Ed,0}= 1768 \cdot 0,16=282,9 \, kNm$

Z obliczeń uzyskano też informację, że moment zginający, wywołany quasi-stałą kombinacją obciążeń wynosi $ M_{0.Eqp} =190,4 \, kNm$, zatem
współczynnik udziału obciążeń quasi-stałych wynosi $k_{qp}=190,4/282,9= 0,67$.

Nośność przekroju betonowego $N_{Rc}= 1800 \cdot 17,9 \cdot 10^{-1}= 3222 \, kN$, zatem względna siła normalna $ n=1768/3222=0,55$.

Przechyły i mimośrody słupa

Liczba słupów uczestniczących w przechyle wynosi $m=2$,a wysokość słupa  $L=5,0 \,m$, więc:

$(\ref{3.2}) \to$) $\alpha_h= 2 \cdot \sqrt{5,0}=0,894$,

$(\ref{3.3}) \to$) $\alpha_m= \sqrt{0,5 (1+1/2)}=0,866$,

Przechył $n_G=200/(0,866\cdot 0,894)=258$,

Mimośród od przechyłu ($\ref{3.13}$)  $e_i= \cdot (1/258) /2 \cdot 10 =0,0194 \, m =19,4 \, mm$,

Mimośród całkowity $e_0=160+19,4= 179,4 \, mm$

Nominalna sztywność słupa

W odrębnej procedurze wyznaczono współczynnik pełzania $ \varphi_0=\varphi (t_0, \infty)=2,5$.

Efektywny współczynnik pełzania ($\ref{3.20}$) $\varphi_{eff}= 2,5 \cdot 0,67= 1,675$.

Współczynniki pomocnicze:

$(\ref{3.17_1}) \to$ $k_1=\sqrt{\cfrac{25}{20}}= 1,12$

$(\ref{3.17_2}) \to$ $k_2= \min { \left[ \cfrac{0,55\cdot 57,7}{170}; \quad 0,20 \right ]}= 0,187$

Współczynnik wpływu betonu

$(\ref{3.16}) \to$ = $K_c= \cfrac{1,12 \cdot 0,187}{1+1,675}=0,0783$

Sztywność betonu – pierwszy składnik w ($\ref{3.15}$):

$K_c E_{cd} I_c= 0,0783 \cdot 25,83 \cdot 10^6 \cdot 540000 \cdot 10^{-8}= 10921 \, kNm^2$

Współczynnik wpływu stali  K_s=1,0$

Dla sumarycznego zbrojenia $(A_{s1}+A_{s2})= 30 \, cm^2$, moment bezwładności zbrojenia szacunkowo  (tylko człon Steinera)
$I_s \approx (A_{s1}+A_{s2}) \cdot (h/2-a)^2= 30\cdot (60/2-5)^2= 18750 \, cm^4$

Sztywność stali – drugi składnik w ($\ref{3.15}$):

$K_s E_{s} I_s= 1,0 \cdot 200 \cdot 10^6 \cdot 18750 \cdot 10^{-8}= 37500 \, kNm^2$

Nominalna sztywność przekroju żelbetowego ($\ref{3.15}$) wynosi:

$EI= 10921+37500=48421 \, kNm^2$.

Moment II rzędu  MNS

Siła krytyczna Eulera (wzór (1.4) – rozdział 1)

$N_B=N_{cr}=\cfrac{\pi^2 \cdot 48421}{10^2}=4779 \, kN$

Moment zginający 1 rzędu jest stały po wysokości słupa, więc współczynnik amplifikacji momentu:

$( \ref {3.22}) \to $  $\beta=\cfrac{pi^2}{8}=1,234$

Współczynnik amplifikacji

$( \ref {3.21_1}) \to$  $a_B=\cfrac{1,234}{4779/1768-1}=0,7246$,

Moment zginający amplifikowany
$( \ref {3.21}) \to$  $M_{Ed}= 1768 \cdot 0,1794 \cdot (1+0,7246)=547 \, kNm$.

Moment II rzędu  MNK

Mimośród niezamierzony

$( \ref {3.24}) \to$ $ e_a=\max \left[ 1/200 \cdot 10000/2; \quad 600/30; \quad 20\right]= 25 \, mm$

Dla sumarycznego  zbrojenia $\Sigma A_s=30 \, cm^2$, stosunek sztywności stali i betonu mamy:

$( \ref {3.28_1}) \to$  $n_u=1+0,405=1,405$.

$( \ref {3.28_2}) \to$   $\omega= \cfrac{30\cdot 435}{30\cdot 60 \cdot 17,9}=0,405$,

$( \ref {3.28_3}) \to$   $n_{bal}=0,4$,

Współczynnik wpływu stopnia zbrojenia

($\ref{3.20}$) $\varphi_{eff}= 2,5 \cdot 0,67= 1,675$ (jak wyżej),

$(\ref{3.28}) \to$  $ K_r=\cfrac{1,405-0,55}{1,405-0,4}=0,858$,

Współczynnik wpływu pełzania

$( \ref {3.29_1}) \to$ $\beta=0,35+25/200-57,7/150=0,090$,

$(\ref{3.29}) \to$  $ K_{\varphi}=1+0,090 \cdot 1,675=1,151$,

Krzywizna 1 rzędu

$(\ref{3.27}) \to$ $\left( \cfrac{1}{r}\right)_0=\cfrac {0,00217}{0,45 \cfrac 0,55}=0,0088 \, m^{-1}$,

Krzywizna

$(\ref{3.26}) \to$ $\left( \cfrac{1}{r}\right)= 0,0088 \cdot 0,858 \cdot 1,151=0,0087  \, m^{-1}$

Mimośród drugiego rzędu

$(\ref{3.25}) \to$ $e_{N,II} = 10000^2 /10 \cdot 0,0087 =87 mm$

Całkowity mimośród

$(\ref{3.23}) \to$ $e_{tot}=160+25+87=272 \, mm$

Moment zginający amplifikowany
$( \ref {3.29_2}) \to$  $M_{Ed}= 1768 \cdot 0,272= 481 \, kNm$

Wnioski z przykładu 3.2.

  1. Różnice pomiędzy momentami amplifikowanymi, uzyskane metodami nominalnej sztywności oraz nominalnej krzywizny  wyznaczone zgodnie z zależnościami normowymi w przykładzie 3.1 wynoszą   (547/481)-1=14% .
    Rożnica jest zbyt duża , by była akceptowalna w praktyce. Można bowiem pokazać, że taka różnica w sile przekrojowej przełoży się zbrojenie $[4ø22+4ø24] / [(4+4)ø22]=( 33,3 \, cm^2)/ (30,4 \, cm^2)=1,10$, co daje  10% różnicę pola przekroju zbrojenia, ale przede wszystkim na zbyt
  2.  Uproszczone metody wydzielonego elementu konstrukcji żelbetowej mogą prowadzić do jakościowo innych projektów, co nie powinno być akceptowane w praktyce projektowania
  3.  W dalszej części podręcznika normowe rozwiązania przybliżone porównamy z rozwiązaniem dokładnym, uzyskanym numerycznie i pokażemy, że rzeczywiste rozwiązanie  jest położone pomiędzy MNS i MNK i będzie zbieżne przy zagęszczeniu podziału słupa na elementy skończone

Imperfekcje konstrukcji zespolonych w Eurokod 4 (2008)

Przy obliczaniu stateczności konstrukcji zespolonych należy brać pod uwagę efekty drugiego rzędu, w tym naprężenia własne, imperfekcje geometryczne, miejscową niestateczność, zarysowanie, skurcz i pełzanie betonu oraz uplastycznienie stali konstrukcyjnej i zbrojenia. Siły wewnętrzne należy określać na podstawie analizy sprężysto-plastycznej.

Zgodnie z (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008, kl. 3.2.) obliczanie elementów zespolonych podatnych na imperfekcje (elementów ściskanych lub smukłych belek) należy prowadzić zgodnie z ogólnymi zasadami podanymi dla konstrukcji stalowych, przy czym wartości imperfekcji podstawowych należy przyjmować zgodnie z ( $\ref{3.2}$) i zasadami podanymi wyżej dla konstrukcji stalowych podano.

Imperfekcje konstrukcji aluminiowych w Eurokod 9 (2010)

Zasady ogólne

Zasady Eurokod 9 przykrywają zasady Eurokod 3

Postanowienia normy Eurokod 9

PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
do projektowania konstrukcji aluminiowych są w istocie poprawioną i uogólnioną wersją postanowień normy Eurokod 3 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006). Dlatego uznajemy, że zasady podane a normie
PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
mają pierwszeństwo przed(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)

Imperfekcje przechyłowe

Globalne imperfekcje przechyłowe uwzględnia się przechyłem $\Phi$ (Rys. 3.4a) zgodnie z formułą ($\ref{3.4}$) również z wartością podstawową $Phi_0=1/200$. Imperfekcje przechyłowe można zastąpić fikcyjnymi siłami poziomymi zgodnie z Rys. 3.2a. Wstępne imperfekcje przechyłowe uwzględnia się osobno w każdym z rozpatrywanych kierunków przechyłu W przypadku wielokondygnacyjnych szkieletów słupowo-belkowych budynków siły zastępcze przykłada się na wszystkich poziomach stropów i dachu.

Przechyły konstrukcji mogą powodować translacje lub obroty przekroju budynku (Rys. 3.3).

Rys.3 .4.  Utrata stateczności ram aluminiowych: a) imperfekcje przechyłowe SGI , b) zastosowanie metody hybrydowej HIM

Ograniczenie liczby krzywych wyboczeniowych

Zgodnie z

PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
lokalne imperfekcje łukowe oraz równoważne obciążenie od imperfekcji przyjmuje się zgodnie z Rys. 3.2b Wskazujemy od razu, ze zastosowanie sił fikcyjnych zgodnie z tą formułą nie zawsze jest właściwe (p. uwaga pod koniec pkt. 3.2)

Wprowadzono dwie klasy wyboczenia konstrukcji aluminiowych A i B ((PN-EN 1999-1-1, 2010, tab.3.2), które są zależne od rodzaju stopu aluminium, ale niezależne od kształtu przekroju kształtownika W zależności od klasy wyboczenia, przyjmowane są względne strzałki imperfekcji:

  • klasa A
    $e_0/L= 1/300$ ($n_L=300$) w analizie sprężystej ; $e_0/L= 1/250)$ ($n_L= 250$)  w analizie plastycznej,
  • klasa B
    $e_0/L= 1/200$ ($n_L=200$) w analizie sprężystej ; $e_0/L= 1/150)$ ($n_L= 150$)  w analizie plastycznej.

Przy tej okazji należy wskazać, że znaczne ograniczenie liczby krzywych wyboczeniowych również dla konstrukcji stalowych postuluje norma japońska JRA (Fukumoto, 1982). Zaleca bowiem jedną krzywą wyboczeniową położoną pomiędzy europejskim typem „b” i „c” , dla której $n_L \approx 200$ niezależnie od kształtu przekroju i typu analizy.  Pokazano, że mnożenie typów krzywych wyboczeniowych nie jest statystycznie istotne, wieźć w praktyce nie jest potrzebne.

Postulat ograniczenia liczby krzywych wyboczeniowych konstrukcji stalowych

W niniejszej pracy stawiamy postulat, by imperfekcje łukowe konstrukcji stalowych i aluminiowych przyjmować o wartości:

$$\begin{equation} e_{0,zmod}=\cfrac {L} {200}  \to  n_L =200  \quad \text { dla każdego przekroju i rodzaju analizy} \label {n_Lzmod} \end{equation}$$

Hipoteza ($\ref{n_Lzmod}$) może być zweryfikowana poprzez przeprowadzenie testów statystycznych na akceptowalnym poziomie ufności, który zdaniem autora należy przyjąć o wartości 95%.

Oddziaływania poziome od imperfekcji przechyłowych na stropy i podpory budynku szkieletowego przyjmuje się zgodnie z Rys. 3.6 (analogicznie jak w konstrukcjach stalowych lub żelbetowych).

Zasady dodatkowe

Wymóg modelowania imperfekcji łukowych

Zgodnie z (PN-EN 1999-1-1, 2010) (podobnie jak (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) ) – imperfekcje łukowe generalnie mogą być pomijane (są uwzględniane przez współczynniki wyboczeniowe), ale powinny być obecne w modelu konstrukcji wrażliwych na efekty 2 rzędu, gdy co najmniej jeden węzeł końcowy elementu jest sztywny, a element jest smukły o smukłości liczonej dla pręta przegubowo-przgubowego $\overline \lambda > 0,5 \cdot\sqrt { \cfrac{A f_y}{N_{Ed}}} ( $f_y$ -granica plastyczności).

Zastosowanie metody hybrydowej

Ze względu na trudności w uwzględnieniu w modelu globalnym imperfekcji łukowych elementów oraz rozpowszechnioną metodę wyboczeniową, zaleca się, by w przypadku niepełnego uwzględnienia imperfekcji łukowych w analizie globalnej zastosować metodę HIM, zilustrowaną na Rys. 3.4b. (p. też pkt 1.3 – rozdział 1). Podobne zalecenie zawiera norma do projektowania konstrukcji stalowych  (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006).

Imperfekcje skrętne

Jeśli analiza drugiego rzędu ma uwzględniać zwichrzenie elementów zginanych, to zastępcze imperfekcje tych elementów można przyjmować w płaszczyźnie najmniejszej bezwładności przekroju o strzałce równej $k e_0$, gdzie strzałka $e_0$ jest ustalona jak dla elementu ściskanego. Zaleca się $k=0,5$.
Specjalne uwzględnienie  imperfekcji skrętnych na ogół nie jest konieczne, ponieważ w konsekwencji wygięcia bocznego uzyskuje się imperfekcję skrętną zgodnie z formułą ($\ref{3.8}$).

Imperfekcje konstrukcji drewnianych w Eurokod 5 (2010)

Imperfekcje łuków oraz ram drewnianych określono w  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, kl. 5.4.4.(2))

Imperfekcje przechyłowe

Podstawowa imperfekcja przechyłowa zgodnie z  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (5.1)) powinna wynosić

$$\begin{equation} \text {co najmniej  } \Phi_0=1/200 \to n_L=200  \label {3.5-1} \end{equation}$$

czyli tak jak w przypadku konstrukcji stalowych  ( $/ref{3.1}$), ale dopuszcza się przyjęcie wartości większych.

Imperfekcja podstawowa może być zredukowana współczynnikiem wysokości

$$\begin{equation} \alpha_h = \sqrt {\cfrac{5} {h}}  \label {3.5-2} \end{equation}$$

czyli o 12% wiecej niże w przypadku konstrukcji stalowych ( $/ref{3.2}$)

Norma (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010) nie przewiduje współczynników redukcyjnych $\alpha_m$ ( $/ref{3.3}$) uwzgledniających liczbę słupów $m$ na danej kondygnacji.

Imperfekcje łukowe

Imperfekcja łukowa  zgodnie z  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, (5.2)) wynosi

$$\begin{equation} \text { co najmniej  } e_0=1/400 \cdot l \to n_L=400 \label {3.5-3} \end{equation}$$

czyli są dwukrotnie mniejsze od  zalecanych dla konstrukcji stalowych  ( $/ref{3.1}$) i zgodne z zaleceniami dla konstrukcji żelbetowych $(\ref{3.14_1})$.

Klasyczne krzywe wyboczeniowe w EC5

W klauzuli (PN-EN 1995-1-2+NA+AC, 2008, kl. 5.4.4(1) i (2)) (EC5) dopuszczono możliwość uwzględniania imperfekcji przechyłowych $(\ref{3.5-1})$ oraz łukowych $(\ref{3.5-3})$ prowadząc analizę liniową drugiego rzędu,

ale już w rozdz. 6, poświęconym stateczności elementów nakazuje się sprawdzać stateczność słupów i belek  historyczną metodą HWEM  i stosuje formułę Perry-Robertson na współczynnik wyboczeniowy  pod specyficznymi symbolami:

współczynnik wyboczeniowy  $k_c $ w miejsce $\chi$
smukłość względna $\lambda_{rel}$ w miejsce  $ \overline \lambda$ (1.3)
parametr imperfekcji $\beta_c$ w miejsce $\alpha_*$
moduł Younga $E_{0,05}$ w miejsce $ E $  (przez domniemanie też kwantyl 95%)
itd.

Specyficzne parametry do wyznaczenia krzywych wyboczeniowych konstrukcji drewnianych wg normy EC5 są też parametry krzywych:

smukłość graniczna $\lambda_0=0,3$ ( bez oznaczenia w EC5),

parametr imperfekcji $\alpha \quad ( \beta_c) =$
0,2 drewno lite
0,3 drewno klejone warstwowo i LVL

Również krzywe wyboczenia bocznego (zwichrzenia) są zaczerpnięte z zależności klasycznych i można je sprowadzić do krzywych zwichrzenia podanych dla konstrukcji stalowych z zastosowaniem specyficznych parametrów.

Z przeglądu sposobu uwzględnienia wpływu przemieszczeń na siły przekrojowe konstrukcji drewnianych, wynika, że należy poszukiwać metody wprowadzenia zastępczego materiału stalowego w miejsce drewnianego, tak, aby można było skorzystać z oprogramowania dedykowanego dla konstrukcji stalowych do analiz stateczności i wyznaczania sił przekrojowych w konstrukcjach złożonych z prętów drewnianych lub hybrydowych (drewniano-stalowych). taka propozycję zawierają przykłady w rozdziale 5. podręcznika. W tym ujęciu nie jest potrzebne  stosowanie krzywych wyboczeniowych i wyznaczenie sił lub momentów krytycznych elementów drewnianych.

Imperfekcje konstrukcji murowych w Eurokod 6 (2013)

Ze względu na znaczne im perfekcje konstrukcji murowych uwzględnia się to przede wszystkim poprzez stosowanie stosunkowo dużych, specyficznych dla konstrukcji murowych częściowych, materiałowych współczynników bezpieczeństwa $\gamma_M$ zgodnie z tabelą zamieszczoną w (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, tab 3.6 NA2). Wartości $\gamma_M$ dla murów w zależności od klasy wykonania i rodzaju zastosowanej zaprawy wynoszą:

dla klasy wykonania A:
1,7 gdy stosuje się zaprawę zaprojektowaną; 2,0 dla zaprawy przepisanej i 2,2 dla zaprawy dowolnej,
dla klasy wykonania B:
2,0 gdy stosuje się zaprawę zaprojektowaną; 2,2 dla zaprawy przepisanej i 2,5 dla zaprawy dowolnej.

Klasę wykonania przyjmuje się w zależności od potencjalnej dokładności wykonania muru:

klasa A wykonania robót – gdy roboty murarskie wykonuje należycie wyszkolony zespół pod nadzorem mistrza murarskiego, stosuje się zaprawy produkowane fabrycznie, a jeżeli zaprawy wytwarzane są na budowie, kontroluje się dozowanie składników, a także wytrzymałość zaprawy, a jakość robót kontroluje inspektor nadzoru inwestorskiego;
klasa B wykonania robót – gdy warunki określające klasę A nie są spełnione.

Imperfekcje przechyłowe

W normie  (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, kl. 5.3(1)P i (2)) wprowadzono zasadę, że należy uwzględnić imperfekcje przevchyłowe konstrukcji murowych., które określono jako przechylenie muru o kąt:

$$\begin{equation} \upsilon = \cfrac{1} { 100 \cdot \sqrt {h_{tot} } } \label {3.6a} \end{equation}$$

gdzie $h_{tot}$ – całkowita wysokość konstrukcji w metrach

Imperfekcje łukowe

Wygięcie wstępne ściany uwzględnia się w postaci mimośrodu początkowego (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, kl. 5.5.1.1(4)) :

$$\begin{equation} e_{init} =h_{ef}/450  \label {3.6b} \end{equation}$$

gdzie $h_{ef}$ jest efektywną wysokością muru określaną zgodnie z (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, kl. 5.5.1.2) w zależności od warunków poparcia końców ściany. Dla ścian podpartych na górnym i dolnym końcu na tropach zachowawczo można przyjać $l_{ef}=h$, gdzie $h$ 4jst wysokością kondygnacji

Współczynniki wyboczeniowe w EC6

Oprócz wymogu uwzględnienia imperfekcji przechyłowych ($\ref{3.6a}$) wprowadzono specyficzne współczynniki redukcyjne ( wyboczeniowe)  $\Phi$ w celu  uwzględnienia imperfekcji łukowych w przypadku, gdy mur jest smukły zgodnie z kryterium smukłości:

$$\begin{equation}   h_{tot} \cdot \sqrt { \cfrac {N_{Ed}} { \sum EI} } \le \begin{cases}
0, 6   & \text{ dla } n \ge 4 \\
0, 3+0,1 \cdot n  & \text{ dla } 1 \le n \le 4  \\
\end{cases} \label {3.7a} \end{equation}$$

Oprócz kryterium $(\ref{3.7a}$) wymaga się , by efektywna smukłość ścian murowych $\lambda_{ef}$  (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, kl. 5.5.1.4) oraz elementów obciążonych pionowo (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013, kl. 5.5.2.1.)spełniała warunek

$$\begin{equation}
\lambda_{ef}=\cfrac{h_{ef}}{t_{ef}} \le 27
\label {3.7b} \end{equation}$$

Dla ścian murowych obciążonych przeważnie pionowo warunek nośności przyjmuje postać

$$\begin{equation} N_{Ed} \le ( N_{Rd}= \Phi \cdot t \cdot f_d )  \end{equation}$$

gdzie:
t- grubość ściany; $f_d$ wytrzymałość obliczeniowa muru.

Współczynniki redukcyjny (wyboczenia) $\Phi$, wynosi

$$\begin{equation} \Phi= 1 -2 \cfrac{e_i}{t} \label {3.7c} \end{equation}$$

gdzie $e_i$ jest całkowitym mimośrodem siły:

$$\begin{equation} e_i=\cfrac {M_{id}}{n_{id}}+e_{he} + e_{init} \le 0,05 t \label {3.7d} \end{equation}$$

gdzie $e_he$ jest zastępczym mimośrodem od zewnętrznych sił poziomych.

Z przedstawionych wyrażeń wynika, że metody uwzględnienia imperfekcji postulowane przez normę do projektowania konstrukcji murowych są dość zgrubnymi przybliżeniami, w których wymieszono imperfekcje systemowe $e_{init}$ z efektami działania sił zewnętrznych.

Wzór ($\ref{3.7c}$)   jest przybliżeniem rozwiązania następującego zadania:

Zadanie:
Dla ściany o grubości $t$  obciążonej siłą $N_{Ed}$  na mimośrodzie $e_i$ podać warunek wytrzymałościowy.

Ścisły warunek wytrzymałościowy dla przekroju prostokatnego o wymiarach $1xt$, czyli o przekroju $A=t$ i wskaźniku wytrzymałości $W=1\cdot t^2/6$ można zapisać w postaci

$$\begin{equation}  \sigma= \cfrac {N_{Ed}} {A} + \cfrac {N_{Ed}\cdot e_i}{W} = \cfrac {N_{Ed}}{t} \cdot \left  (1+ \cfrac {6 \cdot e_i }{t} \right ) \label {3.7e} \end{equation}$$

Po przekształceniach uzyskujemy ścisłe wyrażenie na współczynnik redukcyjny $(\ref{3.7c}$):

$$\begin{equation}  \Phi= \left( 1+ \cfrac{6 \cdot e_i }{t} \right )^{-1}  \label {3.7f} \end{equation}$$

Można pokazać , że formuła przybliżona $(\ref{3.7c}$)  jest zgodna z dokładną  $(\ref{3.7f}$) tylko dla $e_i=t/3$.

W dalszej części podręcznika pokażemy, że projektowanie metodą imperfekcyjną upraszcza projektowanie również konstrukcji murowych bez potrzeby stosowania wyrażeń przybliżonych zarówno w przypadku murów ściskanych jak i zginanych wysokich belek.

Imperfekcje łukowe łuków

Imperfekcjami łukowymi mogą być również obarczone pręty z nominalną krzywizną, czyli łuki. W tab. 3.4.  zamieszczono imperfekcje projektowe łuków zalecane przez (PN-EN 1993-2, 2010), które można przyjąć w przypadku prowadzenia analizy uproszczonej, to znaczy wówczas gdy nie stosuje się metody alternatywnej ( p. pkt 3.6 ). W przypadku łuków poprzez odwrócenie korelacji ($ref{2.2}$) można określić dopuszczalne tolerancje wykonania łuków $n_w =n_p \cdot \gamma_i \approx 2 \cdot n_p$. Tolerancją wykonania łuku jest odchylenie wykonanej osi łuku od przebiegu projektowanego.

Tab. 3.4. Kształt i amplitudy imperfekcji projektowych łuków $n_p=\tfrac{L}{e_0}$ (PN-EN 1993-2, 2010)

Alternatywny sposób uwzględniania zintegrowanych imperfekcji

W postanowieniach normowych w klauzuli normowej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.3.2(11)) dopuszczono do stosowania alternatywny sposób uwzględniania zintegrowanych imperfekcji konstrukcji, który w rozdziale 1 (punkt Klasyfikacja metod)  i na rys. 1.2 nazwaliśmy metodą AIM (Alternatywną metoda imperfekcyjną).

Nazwa metoda alternatywna przyjęła się w polskiej praktyce, a wywodzi się z normowego zapisu (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.3.2(11)): „ (11) Alternatywnie do reguł (3) (metoda uproszczona, imperfekcji zastępczych) i (6) (metoda ogólna smukłości systemu) można przyjąć, że kształt uogólnionej, zintegrowanej imperfekcji układu (…)” . Polega ona na doborze równoważnej, początkowej zintegrowanej geometrycznej imperfekcji układu podobnej do sprawczej postaci wyboczenia sprężystego. Metodę dopuszczono na przypadek wyboczenia giętnego ram przechyłowych. W literaturze zagranicznej jest znana pod nazwą UGLI (Unique Global and Local Initial imperfection) (Balaz, Kolekova, 2012) lub EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial imperfection) (Sedlacek, Eisel, Hensen, Kühn, Paschen, 2004).

Metoda AIM nie jest zalecana w postanowieniu krajowym (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, NA.11), ale mimo to w praktyce inżynierskiej staje się coraz częstszym sposobem wyznaczania amplitudy imperfekcji ze względu na swoją uniwersalność i możliwość zautomatyzowania w programach komputerowych, np. w programie Consteel (Consteel Software, 2019).

Tutaj przytoczymy tylko podstawowe cechy metody w ujęciu normy Eurokod 9 (PN-EN 1999-1-1, 2010), tak, by bezpośrednio nawiązać do zależności przedstawionych pkt.  Skalowanie ., gdzie omówiono główne założenia teorii metody AIM.

Podstawowym założeniem (hipotezą Chladný) metody AIM, jest przyjęcie, że kształt uogólnionej, zintegrowanej imperfekcji układu odpowiada postaci wyboczenia sprężystego $\eta_{cr}(x)$, a kształt (funkcję) imperfekcji $\eta_{ini}(x)$można wyznaczać przez przeskalowanie tej funkcji ze wzoru:

$$\begin{equation}   \eta_{ini}(x) = A_m \cdot \eta_{cr}(x) \label {AIM1} \end{equation}$$

gdzie czynnik skalujący $A_m$  dla przekroju krytycznego (sprawczego) $m$ w którym krzywizna $\eta_{cr}^{ii}$ osiąga maksimum wynosi

$$\begin{equation}   A_m =e_0 \cdot \cfrac{N_{cr,m}}{EI_m | \eta_{cr}^{ii} | }_m \label {AIM2} \end{equation}$$

Mimośród  statyczny  $e_0$ wyznacza się z zależności

$$\begin{equation}   e_0= \alpha \cdot ( \overline \lambda_m – \overline \lambda_0) \cdot \cfrac{M_{Rk,m}}{N_{Rk,m}} \cdot k_\lambda \label {AIM3} \end{equation}$$

gdzie współczynnik pomocniczy $k_\lambda=\cfrac{1- \chi^{ \overline \lambda_m^2 / \gamma_{M1}} }{1- \chi^{{ \overline \lambda_m^2}}}$

Smukłość względna układu (całej konstrukcji)  $\overline \lambda_m > \overline\lambda_0$, wyznacza się z zależności

$$\begin{equation} \overline \lambda_m= \sqrt{\cfrac{N_{Rk,m}}{N_{cr,m}}}  \label {AIM4} \end{equation}$$

W wyrazeniach powyżej zastosowano oznaczenia:

$N_{Rk,m}$, $M_{Rk,m}$ – charakterystyczna nośność przekroju  przy ściskaniu, lub przy zginaniu określona stosowanie do klasy przekroju,

$N_{cr,m}=\alpha_{cr} \cdot M_{Ed}$ – siła podłużna w przekroju  w stanie krytycznym,

$\alpha_{cr}$ – minimalny mnożnik obciążenia, w stosunku do obliczeniowych sił podłużnych w ustroju obciążonym w stanie krytycznym określony  w analizie LBA,

$M_{cr,m}=EI+m |\eta_{cr}^{ii}|_m$ – moment zginający w przekroju sprawczym  ( $\eta_{cr}^{ii} jest drugą pochodną funkcji postaci wyboczeniowej, czyli krzywizną pręta w punkcie m)

$\overline \lambda_0$ – graniczna smukłość względna zależna od rodzaju konstrukcji (np.  dla konstrukcji stalowych wynosi 0,2 , a dla konstrukcji aluminiowych przyjmuje się wg (PN-EN 1999-1-1, 2010, tab.6.6).

$\alpha$, $\xi$ – parametr imperfekcji i współczynnik wyboczenia odpowiednio, przynależny do krzywej wyboczenia właściwej dla typu przekroju elementu (np dla konstrukcji aluminiowych wg (PN-EN 1999-1-1, 2010, tab.6.6 i (6.3.1.2)) lub dla konstrukcji stalowych wg (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab. 6.1. i 6.2).

Obliczając mnożniki można przyjąć, że elementy układu są obciążone tylko siłami podłużnymi uzyskanymi z analizy sprężystej pierwszego rzędu, przy obciążeniach obliczeniowych.

Alternatywne imperfekcje  obejmują zarówno lokalne (łukowe) jak i globalne (przechyłowe) typy imperfekcji dla całej konstrukcji (Dallemule, 2015). Jest to bardzo zachęcająca cecha metody AIM, ponieważ jednym z trudniejszych zagadnień standardowych metod imperfekcyjnych jest poszukiwanie korelacji (jednoczesności) imperfekcji lokalnych i globalnych, w wydzielonych elementach konstrukcji i ich zespołach. Strzałka  występuje w tym miejscu konstrukcji, gdzie obserwuje się największą krzywiznę elementu, to znaczy największy moment zginający z uwzględnieniem efektów niedoskonałości i efektów drugiego rzędu. W celu wyznaczenia przekrojów krytycznych (sprawczych) konstrukcji należy przeprowadzić analizę iteracyjną z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznych (efektu P- duże Δ i małe δ).

Przekroje sprawcze są zlokalizowane tam, gdzie ekstremalny jest efekt działania wszystkich sił przekrojowych obliczany zgodnie z zasadami wytrzymałości materiałów na poziomie przekroju

Wyznaczenie amplitudy imperfekcji z formuły ($\ref{AIM1}$) jest trudne do przeprowadzenia w ręcznych obliczeniach, ale w obliczeniach numerycznych pozwala na zautomatyzowanie procesu i zastosowanie uniwersalnej procedury do dowolnej klasy konstrukcji. To stanowi siłę metody, podobnie jak powszechne stosowanie w obliczeniach statycznych metody elementów skończonych w odmianie przemieszczeniowej, a nie elementów brzegowych lub odmianie naprężeniowej.

Program tpressInText item=”{8UQ4SM73}”] udostępnia podręczny kalkulator, w którym inżynier dla wskazanego myszką elementu podaje długość efektywną elementu, wartość wstępnej amplitudy zgodnie z Tab. 3.1 oraz oś względem, której ocenia amplitudę. Na podstawie wcześniej przeprowadzonej analizy wyboczeniowej (LBA) program odczytuje dla ocenianego elementu: siłę osiową , nośności przekroju elementu i , mnożnik krytyczny , smukłość elementu , parametr imperfekcji (krzywą wyboczeniową), odpowiadający współczynnik wyboczeniowy , a także moment drugiego rzędu , stowarzyszony z postacią wyboczenia , a w końcu poszukiwaną amplitudę imperfekcji łukowej (3.10) o wartości maksymalnej .

W przykładach przytaczanych w niniejszej pracy taki sposób wyznaczania amplitudy imperfekcji łukowej będziemy stosowali w celach porównawczych. W konkluzjach zalecimy tę metodę do powszechnego stosowania w wersji uogólnionej w pracy, ze względu na swoją uniwersalność przede wszystkim ze względu na zintegrowane ujęcie imperfekcji globalnych i lokalnych, a także wszystkich form utraty stateczności konstrukcji, niezależnie od stopnia ich sprzężenia, a przy tym łatwą implementację numeryczną.

Kryterium „dziesięć procent” wrażliwości konstrukcji

Wszystkie systemy konstrukcyjne są obarczone losowymi imperfekcjami i nie da się tego uniknąć.

Podatność konstrukcji na nieliniowe efekty geometryczne oraz na imperfekcje może być kontrolowana przez projektanta w drodze doboru rodzaju systemu, prawidłowego układu elementów i poprzez dobór sztywności poszczególnych elementów. Najważniejszy przy tym jest system powiązań elementów miedzy sobą oraz wyposażenie układu we właściwie ulokowane elementy usztywniające (stężenia).

Poprawność projektu konstrukcji ocenia się kryterium 10%, zgodnie, z którym projekt jest uznany za wykonany prawidłowo, jeśli sprawcze efekty (przemieszczenia lub naprężenia, które decydują o niezawodności obiektu) ocenione wg teorii geometrycznie nieliniowej są większe, co najwyżej o 10% od efektów tej samej konstrukcji, wyznaczonych wg teorii 1. rzędu. Jeśli wpływ efektów nieliniowych jest większy, to prawdopodobnie projekt zawiera wady, najczęściej wskutek niewystarczającego stężenia układami usztywniającymi. W takim przypadku proste zwiększanie przekrojów i elementów krytycznych nie daje zadowalających rezultatów, a prowadzi do nieuzasadnionego zwiększenia zużycia materiału na konstrukcję.

Sformułowane wyżej kryterium 10%  łączy się pośrednio z warunkiem, dotyczącym dopuszczalności stosowania analizy pierwszego rzędu w konstrukcjach stalowych ((PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (5.1)):

$$\begin{equation}  \alpha_{cr} = \cfrac{F_{cr}}{F_{Ed}} \ge \begin{cases}
10   & \text{ w przypadku analizy sprężystej }  \\
15   & \text{ w przypadku analizy  plastycznej }  \\
\end{cases} \label {UST5} \end{equation}$$

gdzie:  $\alpha_{cr}$- mnożnik obciążenia krytycznego (1.10), odpowiadający obciążeniu F{cr} powodującemu globalną formę początkową niestateczności sprężystej układu. przy konfiguracji obciążenia obliczeniowego F_{Ed} działającego na konstrukcję.

Należy zwrócić uwagę, że współczynnik ($\ref{UST5}$) jest odwrotnością mnożnika obciążenia (1.12).

Nazwa kryterium „10%” wywodzi się z wymogu dla analizy sprężystej, choć podczas prowadzenia  analizie plastycznej można poprzestać man obliczeniach pierwszego rzędu wówczas, gdy mnożnik obciążenia krytycznego  nie przekracza $100/15=6,7%$

Kryterium „10%” łączy się też pośrednio z warunkiem pominięcia efektów 2. rzędu w konstrukcjach żelbetowych, , W normie (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) podano mianowicie ogólną zasadę, że efekty drugiego rzędu można pominąć w konstrukcji żelbetowej, jeśli wynoszą mniej niż 10% odpowiednich efektów pierwszego rzędu.

W celu weryfikacji poprawności projektu z kryterium 10% wrażliwości konstrukcji należy przeprowadzić testowe obliczenia nieliniowe wstępnego modelu całej konstrukcji i obserwować zbieżność procesu iteracji do rozwiązania stabilnego. Brak zbieżności lub wolna zbieżność oznacza wady projektu, najczęściej braki w układach stężeń lub innych usztywniających, albo nieprawidłowe stosunki sztywności elementów – w systemie elementów, występują elementy zbyt sztywne, np. zbyt krótkie, lub za wiotkie. Po takim sygnale inżynier lokalizuje problem, a w tym celu bada pole odkształceń konstrukcji w stanie liniowym lub w stanie krytycznym (wg teorii LBA – liniowej analizy wyboczeniowej.  poprawić go i przystąpić do kolejnego testu nieliniowego.
Dopiero po uzyskaniu modelu konstrukcji poprawnego z punktu widzenia wrażliwości na efekty nieliniowe, można przystąpić do wymiarowania poszczególnych elementów, w tym do doboru zbrojenia betonu.

Należy podkreślić, że kryterium „10%” nie jest bezwzględnie obowiązujące, bo może doprowadzić do zablokowania stosowania rozwiązań innowacyjnych konstrukcji inżynierskich. W przypadku wdrażania takich konstrukcji należy przeprowadzić  bardziej wnikliwą analizę najczęściej z potrzebą wspomagania badaniami eksperymentalnymi.

Analiza układów usztywniających

Zasady przedstawione wyżej w tym rozdziale dotyczą analizy głównych układów konstrukcyjnych, w tym elementów nośnych wydzielonych z układu nośnego. Stabilność pionowego układu nośnego jest utrzymywana przez system powiązań elementów pomiędzy sobą, w którym występują układy usztywniające, zwane też stężeniami. Układy usztywniające są szczególnie istotne w konstrukcjach obarczonych systemowymi imperfekcjami geometrycznymi, bowiem przejmują siły wywołane tymi imperfekcjami i stabilizują układ konstrukcyjne, części układu i każdy z elementów z osobna, w tym pręty ściskane. Analiza oddziaływania konstrukcji na układy usztywniające jest przedstawiona w podobny sposób w normie konstrukcji stalowych, aluminiowych, zespolonych oraz betonowych. Zbiorcze zestawienie tych zasad przedstawiono na Rys. 3.6.

Na schemacie Rys. 3.6a wyróżniono kondygnacje k=(a, b, c, d)= (parter,1,2 piętro, dach); stropy s=(0, 1, 2, 3)=(fundament,1 kondygnacja , …), oraz słupy (A, B, C, D), przy czym blok D jest trzonem usztywniającym, którego poziome obciążenia $H_i$ od imperfekcji przechyłowej $\Phi$ są przedmiotem rozważań. Sumaryczne obciążenie grawitacyjne (pionowe) s-tego stropu oznaczono przez $V_s$. Obciążenia zewnętrzne  $V_s$ wywołują w słupach kondygnacji k sumaryczne siły osiowe $N_k$ , przy czym zwroty sił przywęzłowych (reakcji słupów na stropy) są przeciwnych zwrotów w głowicy i stopie słupa. Siły w słupach kolejnych kondygnacji zwiększają się o obciążenia stropu $\Delta N=V_s$. Ten przyrost siły w słupach obarczonych zgodną imperfekcją przechyłową $\Phi$ (Rys. 3.6a) lub imperfekcją jednej kondygnacji $\Phi_k$ wywołuje oddziaływanie poziome na trzon usztywniający lub na tarcze stropowe pomiędzy którymi jest rozparty słup (Rys. 3.6 c, e):

$$\begin{equation} H_s=\sin{\Phi}\cdot (N_{k-1} – N_k) \approx \Phi \cdot\Delta N_s = \Phi V_s  \label {UST1} \end{equation}$$

Na fundament przekazywana jest suma tych sił  $H_0=\sum \limits_{s=1}^N  H_s =\Phi \sum  \limits_{s=1}^N V_s$ (z przeciwnym zwrotem).

Rys. 3.6. Oddziaływania konstrukcji z imperfekcjami przechyłowymi na układy usztywniające, opracowano na podstawie rysunków w normach: a) schemat ogólny- wg rys.5.1 EC2 (norma „zelbetowa”); b), c), wg rys.5.1 EC2 ; f), g) na tarcze stropowe wg rys.5.3 EC3 (norma „stalowa”)) oraz wg rys.5.2 EC9(norma „aluminiowa”); f) w miejscach styków słupa wg rys.5.7  EC3(norma „stalowa”)

Nie jest do końca zrozumiałe, dlaczego w sytuacji (b, d) imperfekcję słupów przyjęto o wartości $\Phi/2$, podczas gdy w pozostałych sytuacjach, w tym (f) imperfekcja wynosi $\Phi$.

Stwarza to wrażenie odmiennych sytuacji, a ponadto nie jest wyjaśnione, czy imperfekcję pochyłową należy ustalać dla jednej kondygnacji, czy dla dwóch, czy też dla całego budynku –  w związku z różnymi współczynnikami redukcyjnymi ($\ref{3.2}$) inne będą wartości ($\ref{3.4}$) $\Phi$. Bardziej znaczące byłoby konstruowanie łożysk i przegubowego oparcia na fundamencie słupów najniższej kondygnacji, szczególnie najbardziej oddalonych od trzonu usztywniającego.

Poprzez zwiększenie zdolności słupa do odkształceń poprzecznych, istotnie można zmniejszyć momenty zginające w głowicy słupów przy podobnych imperfekcjach przechyłowych, co pokazano na Rys. 3.7. Bardziej znaczące byłoby konstruowanie łożysk i przegubowego oparcia na fundamencie słupów najniższej kondygnacji, szczególnie najbardziej oddalonych od trzonu usztywniającego. Poprzez zwiększenie zdolności słupa do odkształceń poprzecznych, istotnie można zmniejszyć momenty zginające w głowicy słupów przy podobnych imperfekcjach przechyłowych, co pokazano na Rys. 3.7.

Rys. 3.7. Zmniejszenie momentów węzłowych w budynku przy takich samych imperfekcjach, wskutek wprowadzenia łożysk i przegubów: a) bez zmian y schematu – największy moment zginający, b) wprowadzenie przegubów w głowicy i stopie słupów skrajnych, c) wstawienie łożyska przesuwnego

(opracowano na podstawie (Bachmann, Steinle, 2011)).

Zdaniem autora we wszystkich sytuacjach powinno się przyjmować imperfekcję przechyłową, będącą statystyką tolerancji wykonania. Sytuacja (b, d), tym różni się od pozostałych, że imperfekcje przechyłowe słupów dwóch sąsiednich kondygnacji są niezgodne (mają inny zwrot), ale takie same wartości  $ |\Phi_a| = |\Phi_b|=\Phi $, oddziaływanie na strop pośredni lub układ stężający wynosi

$$\begin{equation} H_s=\Phi\cdot (N_{k-1} – N_k) =  2 \cdot Phi \cdot V_s  \label {UST2} \end{equation}$$

Szerszą analizę zagadnienia przedstawiono w pkt. 4.4, gdzie pokazano, że przypadek niezgodnych kierunków niezamierzonych przechyłów słupów sąsiednich kondygnacji można uwzględnić poprzez probabilistycznie uzasadnione współczynniki $\alpha_h$. W przypadku uznania formuły normowej ($\ref{3.2}$) stosunek imperfekcji słupa przebiegającego przez dwie kondygnacje  $\Phi_2$ wynosiłaby $\Phi_2=\Phi_1/ \sqrt{2h/h}=\Phi_1 / 1,41$, gdzie $\Phi_1$ jest imperfekcją słupa jednej kondygnacji.

W zwykłych sytuacjach należy przyjmować model ($\ref{UST1}$), pokazany na Rys. 3.6a, do którego w istocie sprowadza się teoretyczny przypadek Rys. 3.6b,d. Model ($\ref{UST2}$) Rys. 3.6f. należy przyjmować przy uwzględnieniu efektów lokalnych, wywołanych losowym załamaniem słupa pomiędzy węzłami, np. w styku montażowym .Tego typu model należy traktować jako przekształcenie imperfekcji łukowych w przechyłowe (zgodnie z koncepcją przedstawioną w pkt. 4.3.1).

Z modelu ($\ref{UST2}$) wynika, że ekstremalna lokalna siła imperfekcji potrzebna do ustabilizowania pojedynczego elementu wynosi :

$$\begin{equation} H_1=2 \Phi_N=(dla \Phi=1/200)= 2\cdot 1/200 \cdot N= N/100 \label {UST3} \end{equation}$$

Pojedynczy pręt stężenia powinien przenieść 1/100 siły ściskającej element stabilizowany, a  w grupie m-prętów, każdy z prętów stężeń z nich powinien przenieść  siłę (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.3.3(4)):

$$\begin{equation} H_L= \alpha_m \cdot N/100 \label {UST4} \end{equation}$$

gdzie, współczynnik redukcyjny wg formuły ($\ref{3.3}$).

W kolejnych punktach przedstawiono podejście normowe do projektowania układów stabilizujących i porównano je ze współczesną metodą analizy nieliniowej systemu przestrzennego. Rozpatrzono kilka typowych układów konstrukcyjnych: halę stalową, pokazaną na Rys. 3.8, budynek żelbetowy, pokazany na Rys. 3.9 oraz most stalowo-betonowy, pokazany na Rys. 3.10.

Rys.3.8. Schemat konstrukcji klasycznej hali ze stężeniami prętowymi: T1- połaciowymi poprzecznymi, T2-połaciowymi podłużnymi, T3 – pionowymi między wiązarami, T4 – pionowymi w linii ścian bocznych

(opracowano na podstawie (Biegus, 2012))

Rys. 3.9. Schemat żelbetowego budynku wielokondygnacyjnego z trzonem usztywniającym TU , płytą fundamentową PF oraz elementami usztywnianymi: słupami SŁ i płytami stropowymi PS (opracowanie własne)

Rys. 3.10. Most płytowo łukowy. Płyta jezdna żelbetowa, łuki stalowe (opracowanie własne)

W analizie układów usztywniających, zapewniających stateczność boczną elementów lub układów konstrukcyjnych (najczęściej belek lub ściskanych elementów), należy uwzględnić imperfekcje geometryczne elementów stężanych, czyli głównej konstrukcji nośnej.

Stężenia konstrukcji stalowych

W przypadku konstrukcji stalowych, klasyczne, uproszczone zasady lokalizacji systemów stężeń, zapewniających stabilność konstrukcji, dotyczą rozmieszczania stężeń prętowych lub równoważnych stężeń powłokowych (tarczowych).

W klasycznej konstrukcji stalowej, pokazanej na Rys. 3.8. można wydzielić kilka układów spełniających określone funkcje:

  • Układ poprzeczny hali [słupy, wiązar] w płaszczyźnie pionowej poprzecznej. Układ przenosi podstawowe obciążenia pionowe i obciążenie wiatrem z kierunku bocznego (parcie na jeden słup i ssanie na drugi), a także wymuszenia od imperfekcji geometrycznych w płaszczyźnie układu poprzecznego.
  • Układ połaciowy [wiązary-płatwie, stężenia połaciowe T1, T2] w płaszczyźnie poziomej wraz ze stężeniami T3, sprzęgającymi wiązary w bikonstrukcje. Układ przenosi działanie wiatru na ściany szczytowe oraz niezamierzone imperfekcje geometryczne systemu w płaszczyźnie dachu w obu kierunkach. Sprzężenie sąsiednich wiązarów w bikonstrukcje, zwiększa niezawodność konstrukcji.
  • Układ podłużny [słupy, wiązary stężenia międzysłupowe T4] Układ przenosi działanie wiatru na ściany szczytowe oraz niezamierzone imperfekcje geometryczne systemu w kierunku podłużnym hali
  • Ściany szczytowej [ściana ze stężeniami T6] w płaszczyźnie pionowej poprzecznej. Ściana szczytowa najczęściej jest ustawiona przed skrajną ramą poprzeczną.

Każdy z tych układów odrębnie powinien być stateczny i wytrzymały na obciążenia zewnętrzne i wymuszenia spowodowane geometrycznymi imperfekcjami systemowymi. Współcześnie obliczenia są dokonywane na modelu przestrzennym bez potrzeby wyodrębniania podukładów. Analiza wyodrębnionych układów płaskich ma tę podstawową zaletę, że umożliwia jasne rozdzielenie funkcji poszczególnych układów konstrukcyjnych, wstępne zbadanie stateczności konstrukcji oraz daje podstawowe informacje o zamodelowaniu równoważnych sił od imperfekcji, potrzebnych do obliczeń na modelu przestrzennym.

Uproszczona analiza stężeń prętowych polega na rozpatrzeniu płaskich schematów stężeń, pokazanych na Rys. 3.11, obciążonych równoważnymi siłami imperfekcji oraz obciążeniami zewnętrznymi (najczęściej wiatru na ścianę szczytową) a także siłami wstępnego naciągu (sprężenia) prętów stężeń.

Równoważne siły imperfekcji wyznacza się przy założeniu, że rygle głównych układów poprzecznych są wykonane z niezamierzonymi wygięciami, w sposób pokazany na Rys. 3.12. Wygięcie wstępne (imperfekcje)  można oszacować z formuły (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (5.12)):

Podsumowanie. Imperfekcje w normach światowych

W europejskich normach konstrukcyjnych Eurokod wprowadzono spójny system imperfekcji, w zasadzie niezależny od typu konstrukcji. Imperfekcje związane z pracą konstrukcji w stanach granicznych niestateczności skupiono w imperfekcjach geometrycznych systemowych (globalnych) i elementów (lokalnych). Pozostałe imperfekcje (materiałowe, geometrii i niedoskonałości modelu oraz losowych obciążeń) uwzględniono w częściowych współczynnikach bezpieczeństwa. Imperfekcje geometryczne zaleca się zastępować równoważnymi obciążeniami w postaci zastępczych sił poziomych, będących ułamkiem obciążeń grawitacyjnych (pionowych). Imperfekcja powinna być sprawdzona w każdym kierunku, aby znaleźć najbardziej niekorzystny skutek, co łatwiej wykonać poprzez przyłożenie obciążenia, bez modyfikowania geometrii konstrukcji. W ten sposób omijamy problemy ze zmianą długości i poziomów podstaw słupów, które występowałyby podczas pochylania słupów budynków.

Podobny, ale nie jednakowy sposób opisu imperfekcji przechyłowych (ang. sway imperfection) oraz łukowych (ang. bow imperfection) przyjęto w normach światowych. W (2.3) zestawiono postanowienia wybranych norm. Imperfekcje przechyłowe przyjmowane są w granicach od , a imperfekcje elementu (łukowe) w granicach od , przy czym największe odchyłki od kształtu idealnego dopuszczają aktualne normy Eurokod. Zależności dla fikcyjnych sił równoważnych imperfekcjom są bardziej złożone.

Literatura cytowana w rozdziale

Abel, M. (2012). P-Delta effect - Technical Knowledge Base - Computers and Structures, Inc. - Technical Knowledge Base. Retrieved May 3, 2019, from https://wiki.csiamerica.com/display/kb/P-Delta+effect
Bachmann, H., & Steinle, A. (2011). Precast concrete structures. Berlin: Ernst & Sohn : John Wiley & Sons, Inc.
Balaz, I., & Kolekova, Y. (2012). Structures with UGLI imperfections  (in Slovak). In Proceedings (pp. 61–86). Svratka,- Bratislava, Czech  Republic.
Biegus, A. (2012). Projektowanie stężeń stalowych budynków halowych (Wykład). Wrocław: Politechnika Wrocławska. Retrieved from http://www.kkm.pwr.wroc.pl/KONSTRUKCJE%%20METALOWE%%20ELEMENTY,%%20HALE,%%20OBIEKTY%%20-%%20WYKLAD/02_A.Biegus%%20-%%20Projektowanie%%20stezen.pdf
Consteel Software. (2019). ConSteel 12 Manual. Retrieved from http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents
Dallemule, M. (2015). Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9–15.
Fukumoto, Y. (1982). Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures. Der Stahlbau, (1).
Godoy, L. A. (1998). Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin Walled Structures, 32, 181–206.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2:  Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC. Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-8: Projektowanie węzłów (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-2. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 2: Mosty stalowe (2010). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-2+NA+AC. Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-2: Postanowienia ogólne - Projektowanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2. Eurokod 6 - Projektowanie konstrukcji murowych - Część 1-1: Reguły ogólne dla zbrojonych i niezbrojonych konstrukcji murowych (2013). UE: PKN.
PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
Ravindra, M. K., & Galambos, T. V. (1972). Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters”  by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215.
Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., & Paschen, M. (2004). Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ernst & Sohn, A Wiley.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »