Imperfekcje i geneza metod imperfekcyjnych

Spis treści

Niniejszy artykuł jest 2 rozdziałem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Cykl artykułów jest w trakcie edycji i będzie publikowany  odcinkami,począwszy od 2 kwietnia 2019 w cyklach tygodniowych

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(start 2019-04-02)   1 rozdział : Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji  – Wersja 1.0 (2019-04-07) ZAKOŃCZONE 
(2019-04-08)   2 rozdział: Imperfekcje i geneza metod imperfekcyjnychWersja 1.0 (2019-04-15) ZAKOŃCZONE
(2019-04-16)  Dodatek A : Teoria losowych wartości ekstremalnychW TRAKCIE.

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na adres  wydawnictwa biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Omówiono żródła i klasyfikację imperfekcji konstrukcji oraz wprowadzono koncepcję współczynnika imperfekcji.
Przedstawiono klasyczną teorię imperfekcyjną prętów ściskanych i  zginanych, w której wprowadza się zastępczą miarę imperfekcji pręta w postaci współczynnika wyboczeniowego. To klasyczne podejście stanowi punkt wyjścia do imperfekcyjnej teorii  projektowania, która jest stosowana wraz z nieliniową analizą geometryczną (uwzględnieniem efektów P-Δ), co jest możliwe i proste we współczesnej dobie informatyzacji.

Imperfekcje i ich źródła. Klasyfikacja imperfekcji

Klasyfikacja imperfekcji

Niedoskonałości systemu konstrukcyjnego i jego elementów, czyli odstępstwa od stanu idealnego, są nazywane imperfekcjami i mają swoje źródło w niedoskonałej technologii przygotowania materiału, wykonania prefabrykatów na warsztacie przeprowadzenia montażu a także niedoskonałego użytkowania oraz zużycia.

Klasyfikację imperfekcji konstrukcji zaprezentowano na Rys. 2.1.

Rys.2.1. Klasyfikacja imperfekcji konstrukcji

Imperfekcje konstrukcji można rozpatrywać na poziomie: punktu materialnego (imperfekcje punktu PI), poziomie przekroju (imperfekcja:przekroju AI) rozumianego jako zbiór punktów w przekroju ciała, poziomie elementu konstrukcji (EI) rozumianego jako oś na której ułożono przekroje, oraz na poziomie systemu -układu elementów (SI), rozumianego jako system węzłów w przestrzeni pomiędzy którymi rozpięte są elementy.

Imperfekcje mogą być materiałowe, w związku ze zmiennością cech materiałowych punktu PMI, – granicy wytrzymałości stali (granicy plastyczności) betonu lub innych materiałów, modułów odkształcalności itd. Imperfekcje materiałowe na poziomie przekroju AMI obejmują losowy rozkład charakterystyk punktów na powierzchni przekroju, a imperfekcje materiałowe na poziomie elementu obejmują losowy rozkład cech materiału po długości (osi pręta) lub powierzchni (środkowej płyty, tarczy, powłoki). Imperfekcje technologiczne na poziomie przekroju ATI są związane z na prężeniami własnymi walcowniczymi lub spawalniczymi, odkształceniami skurczowymi betonu i innymi imperfekcjami wynikającymi z jakości procesu spawalniczego lub betonowania, karbami technologicznymi itd. Losowy rozkład tych imperfekcji pod długości, powierzchni lub objętości elementu jest objęty imperfekcjami ETI.

Geometryczne imperfekcje przekroju, objawiają się odchyleniami rzeczywistych wymiarów od wymiarów nominalnych i w konsekwencji odchyleniami charakterystyk geometrycznych AGI: pola przekroju, momentów statycznych oraz bezwładności. W pracy nie zajmujemy się imperfekcjami materiałowymi technologicznymi na dowolnym poziomie analizy oraz imperfekcjami geometrycznymi przekroju. W sposób wystarczający dla praktyki imperfekcje te są uwzględniane przez system częściowych, materiałowych współczynników bezpieczeństwa, który opisano w pkt. 3.1. (3 rozdział)

Zajmiemy się geometrycznymi imperfekcjami systemowymi, czyli lokalnymi imperfekcjami elementu oraz imperfekcjami globalnymi układu elementów (systemu). Geometryczne imperfekcje systemowe mają swoje źródło w wytwórczych i montażowych,

odchyłkach położenia osi elementów i węzłów konstrukcji od idealnego kształtu projektowanego wstępne wygięcia i skręcenia, a także spaczenia elementów pomiędzy węzłami. Na poziomie systemu są to niewielkie mimośrody montażowe, występujące w węzłach konstrukcji nieobciążonej: przesunięcia osi płaszczyzn belek słupów i innych elementów w poziomie, pionie oraz skręcenia, objawiające się niedoskonałościami położenia elementów w stosunku do siebie: brak prostopadłości, prostoliniowości płaskości przylegania, itd.

Pozostając w zgodzie z podziałem wprowadzonym w normach do projektowania konstrukcji, systemowe imperfekcje geometryczne zgrupowano w dwa typy:

  • SGI – imperfekcjesystemu (globalne), które mają charakter przechyłowy SPI, czasami zastępowany niezamierzonym mimośrodem SEI. Cały system (układ elementów) może być obarczony wygięciem łukowym SŁI lub skręceniem STI,
  • EGI – imperfekcjeelementu (lokalne) wygięcia łukowe EŁI lub skręcenia ETI

Losowe imperfekcje pręta

Imperfekcja pręta jest naturalnie losowa, przy czym losowe są nie tylko amplitudy, ale również kształt i kierunek. Ze względu na złożoność zagadnienia, sformułowanie precyzyjnych kryteriów imperfekcyjnych w praktycznych wytycznych projektowania, które byłyby uzasadnione (projektowo lub ekonomicznie) jest niemożliwe do zrealizowania a to uzasadnia uproszczenie problemu, poprzez uwzględnienie wyłącznie jego cech pierwszorzędnych, a pomijanie cech mało istotnych probabilistycznie z punktu widzenia niezawodności konstrukcji rzeczywistych, a także uzasadnia metodologię określania imperfekcji projektowych, opisanych w kolejnym rozdziale.

Normy  Eurokod 2, 3, 4 i 9  uporządkowały bazę danych o imperfekcjach i wskazały na konkretne aproksymacje, które można stosować w praktycznym projektowaniu.

Model  imperfekcji łukowych

Najczęściej kształt imperfekcji łukowej przyjmuje się w postaci sinusoidy (np. (Alveranga, Silveira, 2009) [4], (Beck, Doria, 2008) [15], (Buonopane, 2008) [28], (Chebl, Neale, 1984) [31], (Hajjar, 1997) [71], (Gwóźdź, 1997) [73],(Kala, 2003) [83], (Kim, Lee, 2002)[88], (Kounadis, Economou, 1984) [94], (Smith-Pardo, Aristizabal - Ochoa, 1999) [137], (Xu, Wang, 2008) [147], choć nie jest to w sposób wiarygodny potwierdzone statystycznymi metodami na podstawie pomiarów elementów i konstrukcji rzeczywistych (Singer, Arbocz, Weller, 1998) [133]. Mimo intensywnych badań nad problemem imperfekcji prowadzonych od lat 50-tych poprzedniego wieku (m.in. (Babcock, 1974) [9], (Degenhard, i in., 2007) [54], (Elishakoff, Arbocz, 1985) [60], (Hajjar, 1997) [75],(Koiter, 1945) [92], (Thom, 1972) [142]), określenie zależności pomiędzy podejściem normowym, teorią konstrukcji, pomiarem imperfekcji, a wartościami obciążenia prowadzącego do utraty stateczności lub wytrzymałości jest nadal niekompletne.

Imperfekcja pręta – proces stochastyczny

Imperfekcja w postaci wstępnego wygięcia pręta $w_0(x) $ jest procesem stochastycznym w funkcji nielosowej współrzędnej  $x$ po osi pręta o długości $L$.

Na podstawie  znajomości zbioru n-realizacji  procesu $w_{0,i} (x) \, (i=1,2..n)$ można wyznaczyć wartość oczekiwaną  jako ich wartość średnią:

$$\begin {equation}  \mu_{w_0} (x) = E [ w_0 (x)]  \approx  \cfrac { \sum \limits_{i=1}^n  w_{0,i} (x)} {n}  \label {IS.1} \end {equation}$$

Załóżmy, że   losowe ugięcie wstępne jest opisane  procesem trygonometrycznym:

$$\begin {equation}  mu_{w_0} (x) =\{A \cos {\omega x}+ B \sin {\omega x } x \in L  [ \label {IS.2} \end {equation}$$

gdzie amplitudy A i B są zmiennymi losowymi a, częstotliwość $\omega=\dfrac {2\pi}{L}$ jest parametrem nielosowym.

Analiza procesu stochastycznego ($\ref{IS.2}$) będzie łatwiejsza, jeżeli sprowadzimy go procesu stacjonarnego. Proces jest stacjonarny w szerszym sensie, gdy ma stałą wartość oczekiwaną, a jego funkcja korelacyjna zależy wyłącznie od różnicy argumentów $\Delta x$ (długości analizowanego odcinka pręta).

Na to żeby wartość oczekiwana procesu ($\ref{IS.2}$)

$$ \begin {equation} E[w_0(x)]= E[A] \cos { \omega x} + E[B] \sin { \omega x}  \label {IS.3} \end {equation}$$

była stała  (niezależna od x) potrzeba i wystarcza, by $E[A]=E[B]=0$, skąd wynika $E[ \mu_{w_0} (x)]=0$ dla $x \in L$.

Funkcja korelacyjna procesu ($\ref{IS.2}$)  wynosi

$$ \begin {equation} K(x, x+\Delta x)=E[w_0 (x+\Delta x) \cdot w_0 (x)]= \label {IS.4} \end {equation}$$

Zestaw imperfekcji konstrukcji jest trudny do przewidzenia. Zastosowanie zaawansowanego aparatu teorii niezawodności jest zbyt kosztowne i złożone, przy wielkiej liczbie stopni swobody (wymiarze losowych pól imperfekcji). Możliwe imperfekcje geometryczne cechuje znaczne zróżnicowanie pod względem ich kształtu, zasięgu (wielkości), ilości, rozkładu oraz amplitudy. Ponadto trudno jednoznacznie ustalić poziom niebezpieczny tychże imperfekcji, jako że dla różnych typów obciążenia konstrukcji, różne imperfekcje mogą być mniej lub bardziej niebezpieczne dla funkcjonowania ogółu budowli.

W takiej sytuacji zaleca się analizować model konstrukcyjny z maksymalnie ograniczoną liczbą zmiennych losowych istotnych poprzez włączenie w te zmienne istotne, rozproszenia innych, mniej ważnych zmiennych.

W analizowanym zagadnieniu losową zmienną istotną są systemowe imperfekcje geometryczne i takiego doboru dokonano w normach Eurokod. Systemowe imperfekcje geometryczne są traktowane szczególnie, bowiem swoim zaistnieniem w konstrukcji mogą wywołać efekty niemożliwe do opisania i przewidzenia nawet przy dokładnie wykalibrowanych współczynnikach bezpieczeństwa materiału i obciążenia. Systemowa

imperfekcja geometryczna jest zastępczą zmienną losową, która integruje wszystkie odchylenia geometryczne i część materiałowych (np. naprężenia własne) oraz niedokładności modelu konstrukcji.

Wśród wielu czynników geometrycznych, które mają wpływ na stateczność i wytrzymałość konstrukcji pod obciążeniem, najważniejszym jest, jakość prefabrykacji elementów oraz jakość wznoszenia i montażu konstrukcji, a także zdarzenia zaistniałe podczas użytkowania obiektu, losowe w czasie i przestrzeni, w tym poprzez proces zużycia, i korozji lub nagłe zdarzenia.

Dopuszczalne odchyłki wykonania konstrukcji

W tej tabeli i dalszej treści książki imperfekcje wyraża się bezwymiarowo

$$\begin {equation} n_\Delta= \cfrac{L}{\Delta} \label {2.1} \end {equation}$$

gdzie $n_\Delta$  jest ogólnie wartością tolerancji wykonawczej lub amplitudą imperfekcji wstępnego wygięcia lub mimośrodu [mm] lub wychylenia , a jest bazą, do której odnosi się tolerancję lub imperfekcję. Baza jest najczęściej długością pręta lub wysokością budowli. W celu wyróżnienia rodzaju imperfekcji często stosuje się odpowiedni indeks wskaźnika (2.1), a mianowicie: imperfekcje przechyłowe  , imperfekcje łukowe , globalne  , lokalne  . Stosowane są też indeksy mieszane, np. – imperfekcja globalna łukowa. Niżej w tabelach porównawczych, imperfekcje stosowane w projektowaniu oznaczono symbolem , a symbolem tolerancje wykonawcze. Wartość wskaźnika imperfekcji (2.1) oscyluje wokół liczby 200. W normach i innych przepisach często przedstawia się odwrotność tego wskaźnika, wskazując, że imperfekcja przechyłowa wynosi np. $\Phi=1/200$. Konwencja operowania podzielnikiem jest często stosowana w programach komputerowych i upraszcza zapis.

Odchyłki wykonania konstrukcji stalowych

Dopuszczalne odchyłki wykonania  (tolerancje wykonania) stalowych systemów i elementów konstrukcyjnych podano w (PN-EN 1090-2+A1, 2012) [N13]. Porównując wartości projektowych imperfekcji zalecanych przez (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) N20] z granicznymi tolerancjami mamy obraz zawarty w Tab. 2.1.

Zestawienia Tab. 2.1 do Tab. 2.3 wykonano dla 1 klasy tolerancji. Klasę tolerancji 1 przyjmuje się przez domniemanie i określa się ją, jako normalną. Funkcjonuje również klasa 2 tolerancji, która dotyczy elementów wrażliwych na odchyłki, np. fragmentów konstrukcji, z którą łączy się elewację szklaną. Dla klasy 2 dopuszczalne tolerancje są szacunkowo dwukrotnie mniejsze (ostrzejsze wymogi).

Tab. 2.1. Porównanie imperfekcji projektowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) [N20]
z wybranymi dopuszczalnymi tolerancjami konstrukcji stalowych (PN-EN 1090-2+A1, 2012)  [N13]

Obliczeniowe mimośrody wstępne, przyjmowane do obliczania sił imperfekcji są większe od tolerancji wykonania dla elementów i budowli, co oznacza, że w normowych zaleceniach uwzględniono, naprężenia resztkowe (walcownicze i spawalnicze), a także to, że element może być faktycznie wbudowany w konstrukcję z odchyłkami większymi od tolerancji granicznych a także to, że w trakcie eksploatacji obiektu mogą nastąpić zmiany imperfekcji na skutek zużywania się obiektu. Zastosowano współczynnik bezpieczeństwa dla imperfekcji konstrukcji $\gamma_{i,s} >1$, którego ideę przedstawiono w kolejnym rozdziale w odniesieniu do imperfekcji przechyłowych.

Odchyłki wykonania konstrukcji żelbetowych

Dopuszczalne odchyłki $\Delta$ wykonania elementów i konstrukcji żelbetowych zawiera norma (PN-EN 13670, 2011) [N14]. Zalecane w projektowaniu konstrukcji żelbetowych niezamierzone mimośrody podano w normie (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008) [N18].

W Tab.2.2 porównano najważniejsze projektowe imperfekcje przechyłowe i mimośrody konstrukcji żelbetowych, z dopuszczalnymi tolerancjami $\Delta$ .

Tab. 2.2. Porównanie dopuszczalnych tolerancji wykonawczych elementów żelbetowych $n_w$
z imperfekcjami projektowymi $n_p$
([N14] (PN-EN 13670, 2011), [N18] (PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2, 2008))

Ważną klasą konstrukcji z imperfekcjami są belki podsuwnicowe, wyposażone w tory jezdne dźwignic. Wybrane tolerancje montażu belek podsuwnicowych zestawiono w Tab.2.3, sporządzonej na podstawie (PN-EN 1090-2+A1, 2012, tab. D.2.21) [N13]. W przypadku suwnic mostowych podpartych, odchyłki położenia szyny powinny być regulowane podczas użytkowania konstrukcji wsporczej, a odchyłki z wiersza 1 i 4 będą dotyczyły belki konstrukcji. W przypadku suwnic mostowych podwieszonych belka jest jednocześnie torem jezdnym i dotyczą ją dodatkowo imperfekcje określone w wierszu 5.Tab. 2.3. Dopuszczalne tolerancje montażu belek podsuwnicowych i szacunkowe imperfekcje projektowe.

Dopuszczalne tolerancje belek podsuwnicowych

Tab. 2.3. Dopuszczalne tolerancje montażu belek podsuwnicowych i szacunkowe imperfekcje projektowe

Korelacja pomiędzy odchyłkami wykonawczymi, a imperfekcjami projekowymi

Dopuszczalne tolerancje konstrukcji, są odwzorowane na wartości imperfekcji projektowych. Ścisłą korelację zauważono w komentarzu do (Jacobs, 2010; PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) [80], co przedstawiono na Rys. 2.2. Porównano projektowe imperfekcje przechyłowe zalecane przez (Jacobs, 2010; PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008)[N18] z tolerancjami konstrukcji żelbetowych w 1 klasie wykonania 13670(samokontrola lub inspekcja z procedurami jednostki bez specjalnych procedur odbiorczych). Przyjęto, że wartość podstawowej imperfekcji pochylenia wynosi 1/300 wyznaczono jako średnią z 1/200 dla konstrukcji wrażliwych i 1/400 dla niewrażliwych na efekty drugiego rzędu). Z porównania wynika, że istnieje ścisła korelacja tolerancji wykonania (Jacobs, 2010; PN-EN 13670, 2011) [N14] z imperfekcjami projektowymi , zalecanymi przez (Jacobs, 2010; PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) [N18].

Rys. 2.2. Porównanie imperfekcji przechyłowych wg 5.1. [N18] i tolerancji konstrukcji żelbetowych wg [N14]. Tolerancje naniesione linią ciągłą dotyczą słupa kondygnacji, a linią przerywaną całkowitego nachylenia konstrukcji

(opracowano na podstawie (Jacobs, 2010) [80])

Z analizy zestawień w Tab. 2.1 do Tab. 2.3 wynika, że dopuszczalne tolerancje konstrukcji, są odwzorowane na wartości imperfekcji projektowych wg formuły:

$$\begin {equation} n_p= \cfrac{n_w}{\gamma_i}  \label{2.2} \end {equation}$$

gdzie wprowadzono pojęcie częściowego współczynnika bezpieczeństwa dla imperfekcji $\gamma_i>1$, który został oszacowany w kolejnym rozdziale. Przy braku wystarczających danych, bez szczególnych zaleceń odnośnie wykonania i odbioru budowli, można przyjąć $\gamma_i \approx 2$.

Po przyjęciu właśnie takiej wartości współczynnika częściowego dla imperfekcji, otrzymano formuły na imperfekcje projektowe zamieszczone w kol. (7) tab. 2.1, tab. 2.2 oraz kol. (4) tab. 2.3. Oszacowane wartości imperfekcji projektowych umożliwiają analizę szeregu przypadków konstrukcji z imperfekcjami, dla których w normach nie podano zalecanych wartości, a także umożliwiają rozróżnianie imperfekcji dla poszczególnych typów konstrukcji, dla których definiowane inne dopuszczalne tolerancje.

W większości sytuacji utrzymanie normalnych tolerancji jest wystarczające. Jednakże często ze względów konieczności prawidłowego pasowania części budynku tolerancje należy zaostrzyć. Jak pokazaliśmy zaostrzenie wymogów tolerancji wykonawczych prowadzi również do zmniejszenia imperfekcji projektowych, a w konsekwencji do wykonania projektu budynku o mniejszej materiałochłonności. W rezultacie teoretycznie możemy osiągnąć oszczędności materiałowe kosztem zwiększenia wymogów wykonawczych. W tym kontekście imperfekcje projektowe zalecane w normach projektowania nie są bezwzględne i mogą być świadomie ulepszone przez Projektanta w
porozumieniu z Inwestorem zgodnie z koncepcją, przedstawioną w kolejnym punkcie.

Imperfekcje projektowe z tolerancji wykonawczych

Źródłem geometrycznych imperfekcji systemowych są odchyłki wytwarzania elementów i wznoszenia konstrukcji. Dopuszczalne tolerancje wykonawcze są ustalone w przepisach odbiorowych, a w szczególności normach [N13] dla konstrukcji stalowych oraz [N14] dla konstrukcji żelbetowych, a także w dokumentacji projektowej. Podstawowym składnikiem projektu wykonawczego jest specyfikacja wykonania i odbioru konstrukcji, w której mogą być utrzymane dopuszczalne tolerancje określone w normach, albo podane są indywidualne warunki wykonania i odbioru, wynikające ze specyficznych wymagań projektowych. Dopuszczalne tolerancje wykonania, warunki odbioru i  statystycznej kontroli jakości wraz z kryteriami akceptacji ostatecznie określa Projektant. W konsekwencji tego, że tolerancje wykonawcze wraz ze sposobem ich kontroli i odbioru elementów są określone w projekcie, jest to, że również wartości geometrycznych imperfekcji projektowych powinny być przyjęte przez Projektanta na podstawie wyspecyfikowanych tolerancji wykonawczych oraz metodologii statystycznej kontroli tych tolerancji. Prawidłowy opis wymagań dotyczących statystycznej kontroli jakości i odbioru konstrukcji, jest ważnym elementem projektu, który w istocie decyduje o wartościach geometrycznych imperfekcji systemowych.
Tolerancje ustanowione w przepisach dotyczą odchyłek, wymagających normalnej staranności od Wykonawcy. Jeśli potrzebne są większe wymagania, to odpowiednie zalecenia powinny być przedstawione w specyfikacji wykonania i odbioru, opracowanej przez Projektanta. Należy zwrócić uwagę, że nadmierne zwiększenie wymagań nie jest  ekonomicznie uzasadnione, bowiem zwykle prowadzi do nieproporcjonalnego zwiększenia kosztów. Na Rys. 2.3 pokazano przyrost kosztu budowy wygenerowany koniecznością dotrzymania tolerancji  [mm] konstrukcji żelbetowej budynku na długości bazy L [m] . Bazę można interpretować, jako wysokość budynku, a tolerancję Δ jako dopuszczalne  odchylenie od pionu przed obciążeniem. Dla porównania zgodnie z (PN-ISO 4463-1, 2012) [N11] normalne tolerancje dla bazy L [m] w konstrukcji określono na $\Delta= \pm 4 \sqrt{L} \,mm$.

Rys. 2.3. Przyrost kosztu wykonania budynku w zależności od wymaganych tolerancji wychyleń budynku na bazie pomiarowej

(opracowano na podstawie[(Tiltman, 1977)143])

Konstrukcje budowlane są naprawialne, więc w celu ustalenia optymalnych wartości tolerancji należy wziąć pod uwagę nie tylko koszty inwestycyjne $\Delta K_I$ zwiększenia jakości budowli poprzez zawężenie tolerancji jej wykonania, ale również koszty awarii $\Delta K_A$ związanych z postojami, serwisem, utrzymywaniem gotowości gwarancyjnej, a także kosztami konsekwencji awarii (w tym życia i zdrowia użytkowników obiektu). Wyznaczenie punktu optimum niezawodności $R_{opt}$  systemu  z warunku sumarycznych kosztów inwestycyjnych $\Delta K_I \approx \Delta K_R$ oraz eksploatacji $\Delta K_N$ jest możliwe w drodze pogłębionej analizy systemu konstrukcyjnego w całym okresie jego życia. Krytyczne wartości niezawodności  $R_{cr}$ wynikają z wymogów bezwzględnych: $R_{cr}’$   – minimalna
wartość niezawodności, akceptowana społecznie, najczęściej wpisana do norm: $R_{cr}”$  – maksymalna wartość niezawodności wykraczająca poza potrzeby społeczności, regionu i państwa , wynikająca z polityki gospodarczej i społecznej.

(opracowano

opracowano na podstawie

 

 

Rys. 2.4. Zależność kosztów od niezawodności R: – koszt eksploatacyjny zwiększenia niezawodności,

(opracowano na podstawie (Migdalski, 1982) [108])

Od obiektów budowlanych wymaga się jednocześnie dużej niezawodności i dużej trwałości. Trwałość jest podstawową miarą jakości obiektu. Jakość obiektu jest większa, jeśli przez dłuższy okres zachowuje założone właściwości. Korelacja pomiędzy projektowym okresem użytkowania p T , zdefiniowanym w (PN-EN 1990, 2004) [N15], a trwałością obiektu $R_T$ mierzoną w latach jest dodatnia , to znaczy trwałość obiektu rośnie wraz ze zwiększaniem $T_R$. Na  przykład średnia trwałość budynków wiejskich (rolniczych) wynosi $T_R= 70 \, lat$ (Migdalski, 1982) [108], a projektowy okres użytkowania (okres powrotu dla obciążeń okresowo zmiennych) wynosi $T_P$  15 do 30 lat (PN-EN 1990, 2004) [N15], a średnia trwałość kamienic mieszkalnych wynosi $T_R \approx 100 \, lat$ podczas , gdy $T_P = 50 \, lat$.

Dodatnia korelacja zachodzi również pomiędzy niezawodnością $R=1-p_f$, a trwałością, gdzie $f_p$ jest prawdopodobieństwem awarii (nie zachowania wymaganych właściwości) w okresie eksploatacji $t_p$. Generalnie konstrukcje budowlane są wieloelementowymi oraz wielokryterialnymi, monotonicznymi systemami z punktu widzenia niezawodności (p. również Dodatek C).

Inżynierowie, a w ślad za ich potrzebami również przepisy normowe zamierzają do zdefiniowania imperfekcji dla wydzielonych elementów konstrukcyjnych (przede wszystkim słupów i prętów).

Koncepcja współczynnika imperfekcji

Kontrola jakości konstrukcji i jej zgodności z tolerancjami wykonawczymi prowadzona jest w ramach samokontroli i kontroli służbami Wykonawcy, a ostatecznie przez nadzór budowlany, reprezentowany przez inspektora nadzoru inwestorskiego oraz ewentualnie inspektora nadzoru projektowego.

Podczas odbioru konstrukcji nadzór budowlany dokonuje ciągu pomiarów imperfekcji (odchyłki od wartości nominalnej) $\Delta$  oraz bazy pomiarowej L . Liczebność tych pomiarów zwykle nie jest duża i nie przekracza kilku. W zależności od sposobu wyrażenia dopuszczalnej tolerancji:

$\Delta_{dop}$, $(\Delta/L)_{dop}$ lub $(n_{\Delta})_{dop}=(\tfrac{\Delta}{L})_{dop}$.

zostaje wyznaczona stosowna statystyka z pomiarów. Załóżmy, że zgodnie z przyjętym w tej pracy założeniem ($\ref{2.1}$) oraz sposobu przedstawienia dopuszczalnych tolerancji w Tab. 2.1 do Tab. 2.4 przez określenie $(n_{\Delta})_{dop}$.

W tym przypadku wielkości pomiarowe (i=1..n) można ułożyć w szereg od wartości najmniejszej do największej: . Statystyką pomiarów jest średnia z pomiarów

$$\begin {equation} m_{n\Delta} =(n_{\Delta_1} +n_{\Delta_2}+… +n_{\Delta_n})/n \label{2.3} \end {equation}$$

lub minimum z pomiarów

$$\begin {equation} m_{n\Delta} = min[ (n_{\Delta_1} \, , \, n_{\Delta_2}, \, , … , \,  n_{\Delta_n} ] \label{2.4} \end {equation}$$

Ocena statystyki odchyłki   $m_{n \Delta}$ jest obarczona niepewnością związaną z mała liczebności próby, a także zależną od metodyki odbioru i dokładności pomiaru, od kategorii nadzoru budowlanego, a także od innych czynników takich jak błędy ludzkie, kategoria użytkowania konstrukcji oraz zdarzeń wyjątkowych. Nie są znane inne parametry losowe populacji, z której pochodzi próba. W szczególności nie jest znany współczynnik zmienności  $V_{n\Delta}$ nawet, jeśli zostanie estymowany z doraźnej próby. Analizę wyznaczenia imperfekcji projektowej z tolerancji wykonawczej należy prowadzić dla nieznanej wartości $V_{n\Delta}$.

W projektowaniu należy przyjmować wartości charakterystyczne cech obiektu, które należy wyznaczać tak, by reprezentowały 5% kwantyl przy nieskończonej liczbie prób.

Taka odpowiedniość dla cechy X rozłożonej normalnie opisana jest zasadą normową dla sytuacji projektowania wspomaganego badaniami (PN-EN 1990, 2004, kl. D7.2(1)) [N15]:

$$\begin {equation} X_{k(n)}= m_X\cdot (1-k_n V_X)  \label{2.5} \end {equation}$$

gdzie:
$X__{k(n)}$ – wartość charakterystyczna cechy $X$ , stanowiąca kwantyl wyznaczony na podstawie pomiarów o liczebności n. Wartość średnia z próby i współczynnik zmienności    populacji jest estymowany z losowo pobranej próby n-elementów i za pomocą współczynnika tolerancji zależnego od liczebności próby. Estymatorem  średniej jest średnia arytmetyczna, a w sytuacji małej liczebności pomiarów współczynnik $V_X$  nie jest znany.

Przyjmujemy zasadę, że imperfekcje projektowe  $n_p$ można oszacować z tolerancji wykonawczych $n_w$  z formuły

$$\begin {equation} n_p=\cfrac{n_w} {\gamma_i} \label{2.6} \end {equation}$$

gdzie $\gamma_i$ współczynnik imperfekcji, który wyznaczono poniżej dla dwóch statystyk ($\ref{2.3}$) i ($\ref{2.4}$).

Przy założeniu, że zmienna X i Y są zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych $N(m_X, \sigma_X)$ i  $N(m_Y, \sigma_Y)$ odpowiednio i o współczynniku korelacji $\rho_{XY}$, to ich iloraz X/Y jest zmienną losową o rozkładzie Cauchyego (Wolfram, MathWorld, 2019) [P9], dla której w ogólności nie istnieją momenty statystyczne. Dokonamy aproksymacji rozkładu X/Y zgodnie z wynikami pracy  (Marsaglia, 2006) [106], gdzie pokazano, że jeśli Y może przyjmować tylko wartości dodatnie, to iloraz X/Y ma rozkład w przybliżeniu normalny z dystrybuantą:

$$\begin {equation} F_{XY}(t)= Pr (x/y <t) = \Phi \left \{  \cfrac{t \cdot m_Y- m_X}{\sqrt{\sigma_X^2 – 2\cdot t \cdot \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y + (t  \cdot \sigma _Y)^2}}\right \}  \label{2.7} \end {equation}$$

Jeśli założymy, że $n_w$ i $n_p$ ($\ref{2.6}$) są nieskorelowane i mają takie same współczynniki zmienności $\sigma_{n_p} / m_{n_p}=\sigma_{n_w} / m_{n_w}=V_{n_\Delta}$ , oraz średnie $m_{n_p}=m_{n_w}= m_{n \Delta}$ to z ($ \ref {2.7}$) otrzymamy

$$\begin {equation} F_{ \gamma_i} (t) = Pr ( \gamma_i < t ) = \Phi \left \{  \cfrac { t m_{n_p} – m_{n_w} } { V_{n \Delta} \cdot \sqrt{ m_{n_w}^2 + (t m_{n_p})^2} } \right \} =\Phi \left \{ \cfrac{t-1}{V_{n \Delta} \cdot \sqrt{1+t^2} } \right\} \label{2.8} \end {equation}$$

Z równania $F_{\gamma_i}(t)=\alpha$ można wyznaczyć wartość charakterystyczną współczynnika imperfekcji jako kwantyl na poziomie $\alpha$.  Kwantyl 5% standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi 1,64.

Imperfekcja projektowa w sytuacji oceny wartości średniej ($\ref{2.3}$)

W przypadku oceny średniej $m_{n \Delta}$ odchyłki $n_{\Delta}$ ,współczynnik tolerancji $V_{\Delta}$ w formule ($\ref{2.1}$) można odczytać z (PN-EN 1990, 2004, tab D.1)v[N15]. Przy nieznanym współczynniku $V_{ \Delta} $ mamy:

$$ \begin {equation}   k_n = \begin {cases}
3,37 & \text {dla n=3} \\
1,64 & \text {dla n $\to \infty$ } \\
\end {cases} \label {2.9} \end {equation}$$

Powyższe wnioskowanie i wartości współczynników tolerancji ($\ref{2.9}$) są związane z  rozkładem t-Studenta na $s=n-1$ stopniach swobody, który dla $n \to \infty$  zmierza do rozkładu normalnego.

Stosunek $\gamma_i$ wartości $n_{\Delta_k}$ estymowanej z próby o ograniczonej liczebności (dla $k_n= 3,37$ ) do wartości projektowej (dla $k_n=1,64 $ ) wynosi:

$$\begin {equation} \gamma_i=\cfrac{1/V_{n \Delta}- 3,37}{1/V_{n \Delta}- 1,64} \label{2.10} \end {equation}$$

i ma dwie charakterystyczne granice:

$$ \begin {equation}   lim \gamma_i = \begin {cases}
1& \text {dla n $\to$ 0 } \\
\sim 2 & \text {dla n $\to \infty$ } \\
\end {cases} \label {2.11} \end {equation}$$

$\gamma_i=1$  jest trywialne, bowiem dotyczy sytuacji deterministycznej, przy czym taka granica jest lokalna, a krzywa posiada asymptotę globalną $lim \, \gamma_i= \infty$.  Na podstawie ($\ref{2.11}$) dla wartości średniej można przyjąć

$$\begin {equation} \gamma_i\approx 2,0 \label{2.12} \end {equation}$$

Oznacza to, że w projektowaniu należy rozpatrywać sytuację 2-krotnie gorszą od  wynikającej z dopuszczalnych tolerancji wykonawczych. Z zaprezentowanej idei wynika, że zaostrzenie procedur odbioru konstrukcji, lub (w mniejszym stopniu) zawężenie tolerancji wykonawczych prowadzi do łagodniejszego współczynnika imperfekcji (2.10). Przykładowo przy zwiększeniu liczebności pomiarów do n=5 wskaźnik tolerancji rozkładu t-Studenta wynosi $t_4=2,776$ i współczynnik imperfekcji wyniesie $\gamma_i =1,7$

Imperfekcja projektowa w sytuacji oceny wartości ekstremalnej ($\ref{2.4}$)

W przypadku oceny ekstremalnej odchyłki n m (2.4) kwantyl statystyki wyznacza się z innej niż ($\ref{2.5}$) formuły. Ponieważ liczebność n statystyki porządkowej jest mała, więc zastosowanie asymptotycznych rozkładów wartości ekstremalnych z Dodatku A nie będzie odpowiednie.
Struktura typu „minimum” jest systemem szeregowym z punktu widzenia niezawodności, więc zachodzi zasada iloczynu niezawodności, który dla losowo niezależnych pomiarów można zapisać w postaci (Migdalski, 1982) [108]:

$$\begin {equation} p_R= \prod \limits _{i=1} ^n  p_{Ri} \label{2.13} \end {equation}$$

gdzie prawdopodobieństwo sukcesu (niezawodność) wynosi  $p_{R_i}= Pr \{ n_{\Delta_i }  > n_{\Delta_{dop}} \} $

Dystrybuanta zmiennej ($\ref{2.4}$) wynosi więc

$$\begin {equation}F_i (n_{\Delta} )=1- \prod \left [ 1-F_i (n_{\Delta} ) \right ] \label{2.14} \end {equation}$$

Kwantyl na poziomie $\alpha$ można wyznaczyć z równania

$$\begin {equation} n_{\Delta_k} =F^{-1} (1-\alpha) \label{2.15} \end {equation}$$

Na przykład dla trzech pomiarów n=3 i przy poziomie wiarygodności (dokładności)  każdego pomiaru 95%, mamy $ \alpha=1-0,95^3=0,86$

Współczynnik imperfekcji w sytuacji kilku kryteriów tolerancji

W przypadku kilku kryteriów na imperfekcję określonego rodzaju wynikających z różnych warunków, na przykład dla imperfekcji przechyłowej $n_\Phi$ z warunków: tolerancji wykonawczej przechyłu słupa jednej kondygnacji $n_{w,1}$ oraz z warunku tolerancji przechyłu budynku wielokondygnacyjnego $n_{w,2}$ , a także różnych warunków zaleconych w normach do projektowania – dla danego typu konstrukcji lub dla typów, pozostających na styku zaprojektowanego układu (np. ramy stalowo-betonowej) $n_{p,1}$ i $n_{p,2}$ najczęściej wybiera się warunek najostrzejszy i on stanowi podstawę do odbioru konstrukcji. Typowym przypadkiem jest powszechnie przyjmowane założenie, że imperfekcja przechyłowa słupów kondygnacji i całego budynku zachodzi zgodnie w tym samym kierunku, a jako kryterium odbioru wybiera się ostrzejszy z warunków dla całego budynku lub dla słupa jednej kondygnacji.
Ocena wartości ekstremalnej ($\ref{2.4}$) rozbuduje się w ten sposób, że będzie zawierało zmieszane warunki cząstkowe.

Przykłady wyznaczenia imperfekcji projektowych z tolerancji wykonawczych

Na przykładzie budynku żelbetowego oraz stalowego słupa dwugałęziowego zilustrowano sposób wyznaczenia imperfekcji projektowych z imperfekcji wykonawczych. Porównanie wyznaczonych imperfekcji z zaleceniami norm projektowania zamieszczono w dalszej części pracy. W przykładach nie zajmowano się współczynnikami redukcyjnymi, związanymi ze statystycznym efektem skali oraz probabilistyczną jednoczesnością imperfekcji.

P r z y k ł a d 2.1 [Wyznaczenie imperfekcji projektowych z tolerancji wykonawczych konstrukcji żelbetowej] – Tab. 2.5.

Dla budynku żelbetowego pokazanego na Rys. 3.9, na podstawie tolerancji wykonawczych ustalić projektową imperfekcję przechyłową SPI, łukową EŁI oraz SŁI, a także niezamierzony mimośród SEI.

Tab 2.5 Obliczenia do przykładu 2.5

Imperfekcje projektowe wyznaczone zgodnie z zaleceniami normy  projektowania konstrukcji żelbetowych [N18] ustalono w pkt. 3.9.3.3 (Przykład 3.3).

P r z y k ł a d 2.2 [Wyznaczenie imperfekcji projektowych z tolerancji wykonawczych konstrukcji stalowej] – Tab. 2.6.

Dla hali stalowej, pokazanej na Rys. 3.8, na podstawie tolerancji wykonawczych ustalić projektową imperfekcję przechyłową SPI oraz łukową EŁI.

Tab. 2.6. Przykład wyznaczenia imperfekcji projektowych z tolerancji wykonawczych konstrukcji stalowej

Imperfekcje projektowe wyznaczone zgodnie z zaleceniami normy projektowania konstrukcji stalowych [N20] ustalono w pkt. 3.9.2.4 (Przykład 3.2).

Imperfekcje łukowe łuków

Imperfekcjami łukowymi mogą być również obarczone pręty z nominalną krzywizną, czyli łuki. W tab. 2.4  zamieszczono imperfekcje projektowe łuków zalecane przez (PN-EN 1993-2, 2010) [N27], które można przyjąć w przypadku prowadzenia analizy uproszczonej, to znaczy wówczas gdy nie stosuje się metody alternatywnej ( p. pkt 3.6 ). W przypadku łuków poprzez odwrócenie korelacji ($ref{2.2}$) można określić dopuszczalne tolerancje wykonania łuków $n_w =n_p \cdot \gamma_i \approx 2 \cdot n_p$. Tolerancją wykonania łuku jest odchylenie wykonanej osi łuku od przebiegu projektowanego.

Tab. 2.4. Kształt i amplitudy imperfekcji projektowych łuków $n_p=\tfrac{L}{e_0}$ (PN-EN 1993-2, 2010)[N27]

Geneza metod imperfekcyjnych

Geneza metod imperfekcyjnych nieodłącznie jest związana z klasyczną metodą projektowania pręta ściskanego i zginanego z użyciem współczynnika wyboczeniowego.

Historia współczynnika wyboczeniowego rozpoczyna się już w IX wieku pracą Ayrton i Perry (Ayrton, Perry, 1886) [8]. Teoria sformułowana w tej pracy została podstawą praktyki normalizacyjnej w wielu krajach. Podejście (Robertson, 1925) [125] jest podstawą brytyjskich norm od prawie 100 lat (w odmianie (Godfrey, 1962) [68]). (Dutheil, 1950) [57] przedstawił wersję używaną we Francji. Teoria Ayrton-Perry jest podstawą współczesnej formacji współczynników wyboczeniowych w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) [N20] i in. norm Eurokod. W niniejszym rozdziale pokażemy, że teoria współczynników wyboczeniowych Ayrton-Perry jest hipotezą, wspomaganą badaniami eksperymentalnymi. Wobec tego hipotezą podlegającą weryfikacji, jest również powszechnie wykorzystywany wzór na naprężenia w pręcie zginanym momentem M i ściskanym siłą osiową N:

$$\begin {equation} \sigma= \cfrac{M}{W} + \cfrac{N}{\chi \cdot A} \label{2.16} \end {equation}$$

gdzie: $\chi$  – współczynnik wyboczeniowy, A- pole przekroju, W – wskaźnik wytrzymałości,

Sumowanie naprężeń normalnych od zginania oraz ściskania w sposób określony powyższą formułą nie ma ścisłych podstaw teoretycznych i należy go traktować jedynie, jako użyteczną, inżynierską aproksymację, umożliwiającą projektowanie konstrukcji prętowych w dobie przed-informatyzacyjnej. Obecnie, wraz z powszechnym stosowaniem obliczeń numerycznych w projektowaniu konstrukcji oraz stosowaniem nowych zaawansowanych technologii i programów obliczeniowych – era współczynnika wyboczeniowego jest schyłkowa i wchodzimy w erę metody imperfekcyjnej (Chodor, 2016) [42], która ma już pełne uzasadnienie teoretyczne.

Klasyczna teoria współczynnika wyboczeniowego Ayrton-Perry

Równanie Ayrton-Perry

W roku 1886 eksperci z dziedziny elektryczności i magnetyzmu William Ayrton i John Perry przedstawili jedną z najdłużej stosowanych teorii w wymiarowaniu konstrukcji budowlanych – teorię ściskania słupa z imperfekcjami. Teoria Perry-Robertson jest dzisiaj podstawą obliczania współczynników wyboczeniowych (Dwight, 1975) [59] w postaci zaprezentowanej w roku 1920 przez  (Robertson, 1925) [125] na naprężenia   $\sigma_{imp} w ściskanym pręcie obarczonym imperfekcją:

$$ \begin {equation} \sigma_{imp} =1/2 \cdot  \left \{ f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)-\sqrt{[f_y+ \sigma_{cr} (1+\Theta)]^2 – 4 f_y \sigma_{cr} }  \right \} \label{2.17} \end {equation}$$

gdzie parametr imperfekcji:

$$ \begin {equation} \Theta=\cfrac { \delta_0 \cdot z_{max}}{i^2} \label{2.18} \end {equation}$$

$\delta_0$ jest amplitudą początkowego wygięcia pręta,  $i^2$  kwadratem promienia bezwładności przekroju, a – $z_{max}$ maksymalną odległością włókna przekroju od osi obojętnej.

Na Rys. 2.5 pokazano model pręta analizowany przez Ayrton i Perry. W połowie rozpiętości pręta założono amplitudy wygięcia : początkową (imperfekcję pręta) $\delta_0=w_0(L/2)$, a po obciążeniu (ugięciu) $\delta=w(L/2)$.

Rys. 2.5. Model pręta Rys.2.5. Rys. 2.5. Model pręta Ayrton-Perry

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005) [27])

Teorię Ayrton-Perry przedstawimy w ujęciu klasycznym. Analizę problemu belki-słupa z imperfekcją łukową według teorii wyższych rzędów przedstawiono w pracach, (Frish-Fay, 1962) [63], (Godoy, Mook, 1996) [70], (Shaw, 1972) [129] i in.

Moment zginający przekrój o współrzędnej  wynosi: w stanie początkowym $M_0 (x)=P\cdot w_0 (x)$, a po obciążeniu pręta

$$ \begin {equation} M(x)=P\cdot[w_0(x)+w(x)] \label{2.19} \end {equation}$$

Moment zginający jest jednocześnie przeskalowaną krzywizną pręta zgodnie z zależnością:

$$ \begin {equation} M(x)=-EI \cfrac{d^2 w(x)}{dx}l \label {2.20} \end {equation}$$

Układ równań ($\ref{2.19}$) i ($\ref{2.20}$) można sprowadzić do jednego równania różniczkowego zagadnienia

$$ \begin {equation} M(x)=-EI w”(x) +Pw(x) = -Pw_0 (x) \label {2.21} \end {equation}$$

Przyjmijmy, że wygięcia wstępne są dowolną funkcją, spełniającą warunki brzegowe $w_0(0)=w_0 (L)=0$, $w_0 (L/2)=\delta_0$ . Po rozwinięciu tej funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera i zachowaniu pierwszego wyrazu, otrzymamy

$$ \begin {equation} w_0 (x) =\delta_0 \sin{\cfrac{\pi x}{L}} \label {2.22} \end {equation}$$

Z rozwiązania Eulera wynika, że kształt taki odpowiada pierwszej postaci wyboczonej idealnego pręta przegubowo-przegubowego. Po podstawieniu ($\ref{2.22}$) do ($\ref{2.21}$) i wprowadzeniu oznaczenia

$$ \begin {equation} \alpha^2 =\cfrac {P}{EI} \label {2.23} \end {equation}$$

otrzymamy równanie różniczkowe ściskania pręta z imperfekcjami:

$$ \begin {equation} w” +\alpha^2 \cdot w = -\alpha^2 \cdot \delta_0 \cdot \sin{ \cfrac{\pi x}{L}}\label {2.24} \end {equation}$$

Całką ogólną tego równania jest:

$$ \begin {equation} w_o (x) = A \sin{ \alpha x} + B \cos { \alpha x}  \label {2.25} \end {equation}$$

a całką szczególną:

$$ \begin {equation} w_s (x)= C \sin{ \cfrac{\pi x}{L}} \label {2.26} \end {equation}$$

Po wykonaniu różniczkowania ($\ref{2.26}$) i podstawieniu do ($\ref{2.24}$), otrzymamy wyrażenie na stałą C w postaci:

$$ \begin {equation} C= \cfrac{\delta_0 \cdot ( \alpha L)^2}{\pi^2 -( \alpha L)^2}=\cfrac{\delta_0}{ (\tfrac{\pi} {\alpha L})^2-1}= \cfrac{\delta_0}{\tfrac{P}{P_{cr}} -1} \label {2.27} \end {equation}$$

gdzie uwzględniono tożsamość:

$$ \begin {equation} \left (\cfrac{\pi} {\alpha L} \right )^2= \left (\cfrac{\pi^2 EI} {L^2} \right ) / (EI \alpha^2) =\cfrac {P_{cr}}{P} \label {Toż} \end {equation}$$

gdzie $P_{cr}$ zdefiniowane w  rozdziale  1 wzór (4) jest obliczane dla $L_{cr}=L$ , a $P=EI \alpha^2$  z definicji ($\ref{2.24}$).

Rozwiązanie równania ($\ref{2.21}$) jest sumą całki ogólnej ($\ref{2.25}$) i szczególnej ($\ref {2.26}$), które po uwzględnieniu ($\ref{2.27}$), wynosi:

$$ \begin {equation} w(x)=A \sin{\alpha x}+B \cos{\alpha x}+\cfrac{\delta_0}{\tfrac{P_{cr}}{P}-1}\cdot \sin{\pi x/L}   \label {2.28} \end {equation}$$

Warunki brzegowe zapiszemy w postaci:

$$ \begin {equation}  w(0)=0 \to =0 \, ; \quad w(L)=0 \to A\cdot \sin{kL}=0  \label {2.29} \end {equation}$$

Jeśli $A \neq 0$ , to $kL = n \pi$  i mamy zbiór rozwiązań, prowadzących do klasycznego wyniku Eulera, a kolejne obciążenia krytyczne wynoszą:

$$ \begin {equation}  P_{cr,1}=\cfrac{\pi^2 EI}{L^2} \, ; \quad P_{cr,2}=\cfrac {4\pi^2 EI}{L^2} \, \quad itd \label{2.30} \end {equation}$$

W rozważanym przypadku interesuje nas obciążenie $P_{cr,1}$ , co zachodzi dla $A =0$ , skąd po uwzględnieniu  ($\ref{Toż}$) otrzymujemy:

$$\begin {equation} w(x)= \cfrac { \delta_0 \sin {\pi x/L} } { \tfrac{P_{cr}}{P} -1}=\cfrac{w_0} { \tfrac{1}{\Lambda_{cr}} -1} \label {2.31} \end {equation}$$

gdzie $\Lambda_{cr}$ – mnożnik obciążenia krytycznego zdefiniowany w rozdziale 1 wzór (12).

Z przekształcenia ($\ref{2.31}$ ) można uzyskać znane  klasyczne wyrażenie na całkowite ugięcie belki z imperfekcjami:

$$\begin {equation} w= w(x)+w_0 (x)= w_0 (x) \cdot \left ( 1+ \cfrac{1} { \tfrac{1}{\Lambda_{cr}} -1} \right ) = \cfrac {w_0 (x)}{1-\Lambda_{cr}}=a_{ \Lambda} \cdot w_0 (x) \label {2.32} \end {equation}$$

gdzie współczynnik amplifikacji $a_{\Lambda}$ zdefiniowano w  (1.13) – rozdział 1.

Amplituda całkowitego ugięcie wynosi:

$$\begin {equation} \delta_{max}=a_{\Lambda} \cdot \delta_0 \label {2.33} \end {equation}$$

Ponieważ w najbardziej wytężonym (środkowym) przekroju pręta siły przekrojowe  wynoszą: siła osiowa $N=P$, moment zginający $M_{max} = P \cdot \delta_max= P\cdot a_{\Delta} \cdot delta_0$, więc naprężenia w środkowym przekroju pręta wynoszą

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\cdot {N}{A}+ a_{\Lambda} \cfrac{P\cdot \delta_0\cdot z_{max}}{I} \label {2.34} \end {equation}$$

Po wprowadzeniu parametru ($\ref{2.18}$) i oznaczeniu $\sigma=N/A$, zależność ($\ref{2.34}$) można zapisać w
postaci:

$$\begin {equation}\sigma_{max}=\sigma \cdot (1 – \Theta \cdot a_{\Lambda})= \sigma \cdot \left [ 1+ \Theta \cdot \left ( 1- \cfrac{P}{P_{cr}} \right ) \right ] = \sigma \cdot  \left [ 1+ \Theta \cdot \left ( 1- \cfrac{\sigma}{\sigma_{cr}} \right ) \right ]  \label {2.35} \end {equation}$$

Stąd po uporządkowaniu, w granicznym stanie plastycznym (dla $\sigma_{max}= f_y$ ) otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na naprężenie w pręcie $\sigma$

$$\begin {equation} \sigma^2- \sigma [f_y + \sigma_{cr} (\Theta +1) ] + f_y \cdot \sigma_{cr}=0 \label {2.36} \end {equation}$$

Po rozwiązaniu algebraicznego równania ($\ref{2.36}$) jako pierwistek $\sigma_{imp}$ uzyskujemy formułę Ayrton-Perry ($\ref{2.17}$).

Efekt P-δ

Formuła (${2.32}$) wyraża prawo amplifikacji ugięcia przy ściskaniu, to znaczy zwiększanie przemieszczenia poprzecznego przez ściskanie, który jest często nazywany efektem P-δ (lub P-„małe delta”).

$$\begin {equation} w(x)=a_{\Lambda}  \cdot w_o(x) \label {2.38} \end {equation}$$

gdzie  w formule $(\ref{2.38}$) $w_0(x)$ jest ugięciem pod obciążeniem oszacowanymi wg teorii 1. rzędu, to znaczy  nie muszą być imperfekcjami lecz ugięciem przed „zadziałaniem siły osiowej”. Zależność ($\ref {2.38}$) pokazano na Rys. 2.6b dla $ \delta=w(L/2)$

Rys. 2.6 Oznaczenia, b) Wykres P-δ, c) Wykres Southwella

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005) [27])

 Wykres Southwella

Ciekawe zastosowanie ma wykres, pokazany na Rys. 2.6c. Przedstawia on zależność uzyskaną z ($\ref {2.33}$),  przekształconą do postaci parametrycznej, jak następuje:

$$\begin {equation} \delta = \left [ a \cdot \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) \right ] \quad \to \quad \left [\delta \left ( \cfrac{P_{cr}}{P}-1 \right) -\delta =a \right ]   \quad \to \quad \left [  \left ( \cfrac{P_{cr}}{P} \right ) = \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \cdot \delta + \left ( \cfrac{1}{P_{cr}} \right ) \right ] \label {2.39} \end {equation}$$

Wykres znany, jako wykres Southwella pozwala wyznaczyć siłę krytyczną  na podstawie serii pomiarów siły obciążającej pręt P i odpowiadających ugięć δ przed utratą stateczności, czyli bez doprowadzania pręta do wyboczenia.

W pkt. 4.3.5 (czwarty rozdział) pokażemy, że podejście Southwella może służyć do oszacowania zastępczej imperfekcji pręta.

Formuła Robertson

(Robertson, 1925) [125] zaproponował, aby wstępne imperfekcje w formule Perry ($\ref{2.17}$ ) przyjmować o wartości:

$$\begin {equation} \Theta=0,003 \lambda \label {2.40} \end {equation}$$

gdzie smukłość pręta $\lambda$ jest długością krytyczną (Eulera) pręta zależną od warunków brzegowych (zamocowania końców) pręta.

Propozycja ($\ref{2.40}$) jest arbitralna. W rzeczywistości zależy od szeregu czynników, takich jak: typ przekroju (spawany, walcowany, itp.), ustawienie osi przekroju, symetrii przekroju, dokładność wytwórczych, naprężenia resztkowe, itd. W kolejnych latach w dużej liczbie prowadzonych pomiarów lepsze dopasowanie do wyników uzyskiwano dla:

$$\begin {equation} \Theta=0,0003 \lambda^2  \label {2.41} \end {equation}$$

Formuła ($\ref {2.17}$) z hipotezą ($\ref{2.41}$) jest podstawą zastosowania współczynnika wyboczeniowego we współczesnych normach konstrukcyjnych [N20] w postaci analogicznej do pokazanej na Rys. 2.7.

Współczynnik wyboczeniowy i krzywe wyboczeniowe

Po podzieleniu obu stron ($\ref{2.17}$) przez granicę plastyczności $f_y$  , otrzymamy krzywe wyboczeniowe ($\ref{2.42}$), tzn. zależność względnej nośności krytycznej $n_{cr}=\cfrac{N_{cr}}{N_R}pręta od smukłości pręta . Względna nośność krytyczna jest właśnie współczynnikiem wyboczeniowym, który wyznaczamy z formuły:

$$\begin {equation} \chi= n_{cr}=1/2 \cdot \left \{ 1+ n_{cr} \cdot (1+\Theta) – \sqrt{ [1+n_{cr} \cdot (1+\Theta)^2 -4 f_y\cdot n_{cr}] } \right \}  \label {2.42} \end {equation}$$

Zależność ($\ref{2.42}$) jest uwikłana. Można ją rozwikłać w dowolny sposób i przedstawić w postaci wykresu. Na Rys. 2.7 pokazano przykładowo dwie krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson, obie dla słupa ściskanego siłą , z przekrojem o takiej o nośności $P_R$ , wykonanego ze stali $ f_y=300 \, Mpa$ , ale dla różniących się parametrów imperfekcji: $\Theta= 0,00002 \lambda^2$ lub $\theta=0,0004 \lambda^2$ . Zwróćmy uwagę, że niewielka różnica parametru imperfekcji prowadzi do znacznych różnic między krzywymi wyboczeniowym

Rys. 2.7. Krzywe wyboczeniowe Perry-Robertson

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005) [27])

Teoria Perry-Robertsona oprócz hipotecznego doboru parametru imperfekcji jest obarczona większą wadą: dotyczy prętów sprężystych, a rzeczywiste słupy mają smukłości tak małe, że teoria Eulera, a w ślad za nią również teoria Perry-Robertsona – nie obowiązuje.

Krzywe wyboczeniowe w normach światowych na tle eksperymentów

Krzywe wyboczeniowe zarówno prętów ściskanych (wyboczenie gietne) jak i belek (wyboczenie boczne – zwichrzenie) były przedmiotem licznych badań dobrej jakości  i są gromadzone w międzynarodowych bazach danych. Na Rys. 2.8 pokazano przykładowe wyniki badań doświadczalnych stalowych słupów (a) i belek (b), zgromadzone w japońskiej bazie danych (Fukumoto, 1982) [64], opracowane na podstawie  447 eksperymentów na słupach oraz 418 na belkach o przekroju HE oraz IPE walcowanych i spawanych. Zaczernione kółka oznaczają eksperymentalną wartość średnią  współczynnik wyboczenia giętnego  lub współczynnika zwichrzenia  zebranych z szerokości podstawy strzałki, czyli przedziału smukłości względnej . Rozrzut obserwowanych współczynników wynoczeniowych oznaczono słupkiem. Podstawa strzałki sięga do wartości charakterystycznej współczynnika wyboczeniowego, obliczonej jako kwantyl rozkładu normalnego , gdzie jest odchyleniem standardowym pomiarów w klasie (współczynniki zmienności współczynnika wyboczeniowego wynosiły od kilku do 15%.

Rys. 2.8. Normowe krzywe yboczeniowe na tle danych doświadczalnych:a) wyboczenie giętne słupów, b) wyboczenie boczne (zwichrzenie) belek

(opracowano z wykorzystaniem danych z pracy (Fukumoto, 1982) [64] )

Na tle wyników badań wrysowano europejskie krzywe wyboczeniowe EC3 [N20] oraz japońską krzywą wyboczenia giętnego JRA [N12]. W każdym przypadku krzywe wyboczeniowe są bezpiecznym, dolnym oszacowaniem współczynnika wyboczeniowego.

Nie obserwuje się statystycznie istotnej potrzeby różnicowania na typy krzywych wyboczeniowych, a wystraczająca wydaje się być krzywa JRA położona pomiędzy europejskim typem „b” i „c”.

Na Rys. 2.9 porównano krzywe wyboczenia bocznego (zwichrzenia)  prezentowane w innych normach światowych: amerykańskiej (AISC, 1993) [N1], australijskiej(AS4100, 2004) [N3] oraz kanadyjskiej [N5] na tle normy europejskiej EC3 [N20],  Różnice pomiędzy nimi występują szczególnie w zakresie prętów o smukłości . W tym  niesprężystym obszarze pracuje większość rzeczywistych prętów. Na przykład dla  różnica między normą europejską EC3 a amerykańską AISC wynosi 28%. W przypadku pręta ściskanego (wyboczenia giętnego) różnice między wytycznymi norm świata są mniejsze (Galambos, Surovek, 2008) [65], choć przekraczają wymaganą dokładność obliczeń wytrzymałościowych, która zwyczajowo wynosi 2%.

Z analizy zagadnienia wynika, że złożoność zjawiska utraty stateczności wymaga dokładniejszych metod od dostarczanych przez normowe formacje współczynników wyboczeniowych. Współczesne metody powinny być zgodne z fizyką zjawiska, a mniej z zaleceniami norm, które z natury rzeczy są kompromisem bezpieczeństwa, uniwersalności i prostoty wytycznych. Metoda współczynników wyboczeniowych jest obecnie zastępowana bezpośrednimi metodami imperfekcyjnymi, opisanymi w niniejszej pracy.

Rys.2.9 Porównanie normowych, światowych krzywych wyboczeniowych przy zwichrzeniu

(opracowano na podstawie (Galambos, Surovek, 2008) [65])

Pręt poprzecznie zginany i ściskany

W praktyce mamy do czynienia z prętami poprzecznie zginanymi i ściskanymi (lub rozciąganymi). Przewaga takich prętów nad tylko ściskanymi zwiększyła się potężnie wraz z komputerową analizą modeli, w których eliminuje się przeguby fizyczne w konstrukcji, a połączenia między prętami traktuje, jako sztywne lub podatne. W takim modelu praktycznie nie wystąpią pręty tylko ściskane, choć w konstrukcji, w której: 1) obciążenia są przyłożone tylko do węzłów, 2) pręty łączą się osiowo (bez mimośrodów węzłowych), tworzą się przeguby logiczne o niewielkich momentach zginających.

Klasyczna koncepcja osiowego zginania wydzielonego pręta

W klasycznej koncepcji zagadnienia pręta zginanego i ściskanego przyjmuje się, że siła ściskająca N wywołuje moment zginający , gdzie  jest poszukiwanym ugięciem pręta. Najpierw rozważmy słup pokazany na Rys. 2.10, w którym obciążenie N działa na mimośrodzie , co skutkuje zginaniem słupa stałym momentem zginającym $M=N\cdot e$.

Rys. 2.10. Słup mimośrodowo ściskany

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005) [27])

Równanie różniczkowe zginania ($\ref{2.21}$ ) można w tym przypadku zapisać w postaci:

$$\begin {equation} EI_y w” = – M(x)=- N(e+w) \label {2.43} \end {equation}$$

Rozwiązaniem równanie ($\ref{2.43}$) jest:

$$\begin {equation} w=e\cdot \left ( \cos kx +\cfrac{1- \cos kL}{\sin kL} \right ) \sin kx -1 \label {2.44} \end {equation}$$

Po przekształceniach ugięcie ($\ref{2.44}$ ) w środku pręta (dla x=L/2) można zapisać w postaci

$$\begin {equation} \delta = e \cdot \left ( \cfrac { \sec{kL}}{2} -1 \right ) = e \cdot    \sec{ \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}} \right )} \label {2.45} \end {equation}$$

Ugięcie  silnie nieliniowo zwiększa się wraz ze zbliżaniem się siły osiowej $N$ do $N_{cr}$.

Całkowite naprężenie  w środku słupa wynosi:

$$\begin {equation}  \sigma_{max} = \sigma_N+ \sigma_M = \cfrac{N}{A}+ \cfrac{N\cdot \delta}{I_y} \cdot z_{max} = \sigma_N \cdot \cfrac{e \cdot z_{max}}{ \cos { \left ( \cfrac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}} \right )} \cdot i_y^2}\label {2.46} \end {equation}$$

Porównanie ścisłej formuły ($\ref{2.46}$) z inżynierską formuła projektową ($\ref{2.17}$) wskazuje na różnice, które dla wartości liczbowych wskazują, że formuła inżynierska jest tylko przybliżeniem rozwiązania dokładnego. Dokładność przybliżenia przez wiele lat była wystarczająca w obliczeniach inżynierskich, prowadzonych metodami „ręcznymi”. Uogólnienie zagadnienia na przypadek jednoczesnego zginania poprzecznego ( zginania z udziałem sił poprzecznych) i ściskania pręta nic nie zmieni z punktu widzenia formalizmu matematycznego, a prowadzi do jeszcze większych rozbieżności.

W dobie informatycznej jest szansa na stosowanie rozwiązań poprawnych matematycznie na gruncie teorii geometrycznie nieliniowej NLG. Obliczenia nieliniowe 2 rzędu są standardem współczesnych programów komputerowych. W ten właśnie sposób przechodzimy do przedmiotu niniejszej pracy, czyli teorii imperfekcyjnej,  ideowo omówionej w pracy (Chodor, 2016) [42].

Osiowe zginanie pręta w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej

Rozkład sztywności w statycznie niewyznaczalnych konstrukcjach wpływa na rozdział sił praktycznie we wszystkich rzeczywistych systemach. Dotyczy to również kratownic, które konstruuje się i współcześnie oblicza jak system prętów sztywno połączonych w węzłach.

Załóżmy, że w dowolnej, statycznie niewyznaczalnej konstrukcji pręt [e] uległ wyboczeniu podczas wzrostu obciążenia całej konstrukcji. Ponieważ wskutek wyboczenia sztywność osiowa elementu [e] zmniejsza się, to również siła przekrojowa ulega zmniejszeniu. Wobec tego nowa siła może być niewystarczającą do tego, by utrzymywać pręt w stanie wyboczenia. Taką sytuację nazwiemy „ucieczką” pręta przed wyboczeniem. W numerycznych procedurach geometrycznie nieliniowych opisane zjawisko można w prosty sposób poprawnie uwzględnić. W obliczeniach klasycznych i normowych zjawisko „ucieczki pręta przed wyboczeniem” jest pomijane. Można wykazać, że w niektórych przypadkach podejście takie jest zbyt konserwatywne (prowadzi do nieuzasadnionego przewymiarowania pręta).

Osiowe zginanie niesprężystych konstrukcji

Zakres ważności teorii Eulera i Perry-Robertson

W 1845 roku belgijski inżynier (Lamarle, 1845) [95] pokazał, że teoria Eulera wyboczenia prętów dotyczy przypadków, które dość rzadko występują w praktyce. Słupy rzeczywiste mają smukłość mniejszą od 100, a dla nich wzór Eulera zawodzi (Rys. 2.12) i wobec tego Lamarle zaproponował po prostu, aby krytyczne naprężenie rzeczywistych prętów przyjmować równe granicy plastyczności .

W ślad za pracą Lamarle, teoria Eulera była badana doświadczalnie przez J. Bauschingera i L. von Tetmajera. Bauschinger [14] przeprowadził pierwsze wiarygodne testy na słupach. (Tetmajer, 1890) [141] przeprowadził badania stateczności prętów o różnych przekrojach. Bardziej wszechstronny materiał został opracowany w pracy (Jasiński, 1895) [81] oraz (Tetmajer, 1890) [141], którzy zaproponowali empiryczny wzór liniowy do obliczenia naprężeń krytycznych. Na Rys. 2.11 pokazano prostą Tetmajera oraz zalecenia normowe DIN z 1952 roku.

Rys. 2.11. Ograniczenie ważności formuły Eulera (na przykładzie stali S235)

(opracowano na podstawie (Herzog, 2010)[78])

Punkt przecięcia krzywej Eulera z wytrzymałością materiału $f_ty$ ma współrzędną $\lambda_{lim}=\pi \aqrt{\tfrac{E}{f_y}} i przykładowo dla stali S355 (E=210 GPa, fy=355 MPa) wynosi$\lambda_{lim}=76,4.

Hipotezy przejścia z krzywej Eulera w prostą fy

W rzeczywistości przejście z krzywej Eulera na prostą fy nie jest ostre i w obszarze „przejściowym” jest aproksymowane arbitralnie przyjętą, gładką krzywą pokazaną na Rys. 2.12.

Rys. 2.12. Teoria Eulera jest prawdziwa tylko dla smukłych słupów

(opracowano na podstawie (Butterworth, 2005) [27])

Sprężysto-plastyczne zginanie osiowe

Klasyczne koncepcje Engesser-Karman

Do opisu sprężysto-plastycznego mimośrodowego ściskania pręta (zginania osiowego) (Engesser, 1895) [62] zaproponował metodę modułu stycznego, polegającą na zamianie w formułach Eulera moduł Younga  przez moduł styczny $E_*=\cxfrac{\Delta \sigma}{ \Delta \varepsilon}, przy czym pierwotna propozycja dotyczyła dla całego przekroju.

W dalszych pracach wskazano na błędne założenie, że moduł styczny dotyczy całego przekroju. Faktycznie część przekroju odciąża się i tam powinno być zachowane klasyczne prawo Hooka i zasada płaskich przekrojów (Rys. 2.13). (Karman von, 1910) [87] w miejsce $E_*$ wprowadził moduł zastępczy (zredukowany) $E_{**}= \nu E(1+\nu)$, gdzie $\nu$ – współczynnik modułu zastępczego.

Rys. 2.13. Zmiana odkształceń i naprężeń wg Engessera: a) wykres σ-ε, b) zmiana odkształceń, c) zmiana naprężeń

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) [115])

Hipoteza Rankine-Merchant

Prostą formułę na krzywą „przejściową” podali Rankine i Merchant (Merchant, 1954) [107]. Na podstawie badań eksperymentalnych, stwierdzili, że dobrą zgodność uzyskuje się przy przyjęciu interakcji:

$$ \begin {equation}  \cfrac{1}{ \sigma_{cr}}= \cfrac {1} {f_y} + \cfrac {1} { \sigma_E} \label {2.48} \end {equation}$$

Próby teoretycznego i eksperymentalnego rozwiązania problemu stateczności prętów ściskanych są nadal kontynuowane, a zasady wprowadzone do norm projektowania nie są jedyne.

Koncepcja Shanley

Współczesne koncepcje wyboczenia słupów pojawiły się wraz z opublikowaniem prac  (Shanley, 1946)[131],(Shanley, 1947) [132], który wskazał, że przy wyprowadzeniu teorii zastępczego modułu Engessera-Karmana dokonano założeń, które nie mogą być utrzymane. W szczególności nie jest słuszne założenie, że słup pozostaje prosty podczas zwiększania siły osiowej aż do wartości siły krytycznej – dopiero po przekroczeniu, której słup wygina się. Uwzględnienie wyginania słupa od początku procesu prowadzi do mniejszych i bardziej realistycznych obciążeń krytycznych niż wynikające z klasycznej teorii modułu stycznego lub zastępczego.

Rys. 2.14. Wpływ zmiany modułu odciążenia: a) biliniowa krzywa deformacji, b) krzywe Shanley’a

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) [115])

Na Rys. 2.14 pokazano analizę ścieżki równowagi pręta ściskanego siłą N, wykonanego ze sprężysto-plastycznego materiału o biliniowej charakterystyce; w jest bocznym przemieszczeniem sprawczym. Siła  wynika z teorii zastępczego modułu (Engessera-Karmana) i jest asymptotą obciążenia krytycznego pręta. Siła odpowiada sile krytycznej wg teorii modułu stycznego Engessera. Na skutek zmiany modułu sprężystości w punktach przekroju podczas zmiany dociążania na odciążenie (pkt A na Rys. 2.14a) uzyskujemy siłę krytyczną Shanleya ( punkty na linii ciągłej Rys. 2.14 i Rys. 2.15). Siłą krytyczną pręta ściskanego osiowo nie jest ani siła , ani , dlatego, że po osiągnięciu przez obciążenie siły Engessera  następuje wychylenie pręta ze stanu prostoliniowego i jest to stan stateczny, który utrzymuje się przy dalszym zwiększaniu obciążenia, a zwiększanie obciążenia prowadzi do zwiększania przemieszczenia.

Rys. 2.15. Ścieżki równowagi prostego wspornika ściskanego osiowo: – najmniejsza siła, przy której możliwe jest stan równowagi wygiętego pręta

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) [115])

Koncepcja Shanleya (Shanley, 1947) [132] dobrze koresponduje z niezależnie ogłoszoną teorią, w której pokazano, że przyczyna szeregu niepowodzeń konstrukcyjnych oraz wielokrotnie stwierdzanych „błędów” eksperymentalnych tkwi w niedocenianiu wagi problematyki stanów pokrytycznych, to znaczy utrzymywania się statecznej ścieżki równowagi), po przekroczeniu pewnego poziomu obciążeń, który nie wyczerpuje jeszcze nośności pręta.

Teoria Shanleya pokazuje, że nie można mówić o ścisłej wartości siły krytycznej (granicznej). W zależności od okoliczności można przyjąć za siłę krytyczną obciążenie z przedziału , ale . Wskazuje również, że w problemie stateczności należy mówić o „ścieżce równowagi słupa” i zakończyć pytania o utratę stateczności i siłę krytyczną, nawet w przypadku pręta prostego, osiowo ściskanego!

Wagę koncepcji Shanleya dobrze widać w zadaniu mimośrodowego ściskania, które prowadzi do rozwiązań, schematycznie przedstawionych na Rys. 2.16 i z których wynikają następujące wnioski:

  1. Powyżej krzywej Shanleya 1 nie są możliwe stany równowagi. Krzywa Shanleya stanowi ograniczenie od góry wszystkich ścieżek równowagi prętów rzeczywistych z mimośrodami i imperfekcjami
  2.  Wygięcia boczne pręta rzeczywistego (mimośrodowo ściskanego lub z imperfekcjami) przebiegają od początku ścieżki równowagi, a nie od momentu osiągnięcia siły krytycznej zgodnie z teorią modułu stycznego. Poszukiwanie klasycznej siły krytycznej nie jest potrzebne przy analizie rzeczywistych prętów. Wymagana jest analiza konstrukcji obarczonej imperfekcjami wg teorii geometrycznie nieliniowej – dla systemów nie przechyłowych wystarcza analiza 2 rzędu (P-Δ). Na podstawie tej analizy uzyskujemy nośności ułożone na krzywej 2

Rys. 2.16. Ścieżki równowagi ściskanego pręta: 1 – pręt osiowo ściskany (Shanleya), 2 – pręt mimośrodowo ściskany

(opracowano na podstawie (Panovko, Gubanova, 1967) [115])

Koncepcja Shanleya jest krytyką idei siły krytycznej, klasycznie rozumianej, jako obciążenie bifurkacyjne prostego pręta ściskanego.

Koncepcja Hutchinson

W pracach (Hutchinson, 1974) [76], (Hutchinson, Koiter, 1971) 77]  pokazano, że w odniesieniu do plastycznej utraty stateczności konstrukcji obarczonych imperfekcjami, można stosować oszacowania asymptotyczne, uzyskiwane w duchu teorii(Koiter, 1945) [92] układów sprężystych.

Rys. 2.17. Porównanie teorii Shanleya i Hutchinsona: a) klasyczny model Shanley, b), model przy dużych nieliniowościach c) teoria Hutchinsona – punkt bifurkacji symetryczny, d) teoria Hutchinsona – punkt bifurkacji niesymetryczny.

(opracowano na podstawie (Hutchinson, 1974) [76])

Na Rys. 2.17a, b linią przerywaną oznaczono linię nośności  $n^{**}$ wg teorii zredukowanego modułu, a symbolami $∧$ oznaczono punkty na ścieżce równowagi odpowiadające zapoczątkowaniu odciążenia sprężystego, Liniami ciągłymi oznaczono ścieżki równowagi $P- \delta$, wynikające z teorii Shanleya dla pręta bez imperfekcji ($\Theta=0$ ) i z imperfekcjami ($\Theta>0 ).

Rys. 2.17 c, d przedstawiono ścieżki równowagi $\lambda – \delta$ przy zniszczenia elementu w zakresie plastycznym na skutek utworzenie przegubów plastycznych po utracie stateczności w zakresie sprężystym, analizowane przez Hutchinsona w pracach  (Hutchinson, 1974) [76], (Hutchinson, Koiter, 1971) [77].

 Zmienna  jest mnożnikiem obciążenia zewnętrznego, proporcjonalnie, do którego rośnie obciążenie P. Do celów porównawczych teorii Shanley i Hutchinson można przyjąć  $\lambda=N$, – $\lambda_E$ – klasyczny mnożnik obciążenia Eulera, $\lambda_{cr}$ – mnożnik obciążenia bifurkacyjnego przy symetrycznym punkcie bifurkacji (Rys. 2.17 c) i przy niesymetrycznym punkcie bifurkacji (Rys. 2.17 d). Liniami ciągłymi oznaczono fragment sprężystej ścieżki równowagi, obserwowany do momentu utworzenia przegubu plastycznego (lub przegubów), który oznaczono kreską poprzeczną na styku z plastycznym fragmentem ścieżki równowagi, (linia przerywana). Praca elementu po utworzeniu mechanizmu plastycznego następuje na silnie opadającej ścieżce równowagi, to znaczy nawet przy zmniejszającym się obciążeniu następuje przyrost przemieszczeń $\delta$.

Nośność graniczna, czyli maksimum ścieżki równowagi może wystąpić (zależnie od rodzaju punktu bifurkacyjnego) na sprężystej lub plastycznej części ścieżki równowagi.

Nośność graniczna jest dość dobrze przewidywana, gdy maksymalne obciążenie zachodzi bardzo blisko punktu bifurkacji sprężystej, choć amplituda postaci wyboczenia jest słabo określona. Jeśli natomiast maksymalne obciążenie znacznie przekracza obciążenie bifurkacji to dokładność oszacowania nośności gwałtownie pogarsza się.

Proces tworzenia się przegubów plastycznych konstrukcji obarczonych imperfekcjami geometrycznymi w analizie GMNIA badano w pracy (Alveranga, Silveira, 2009) [4], gdzie pokazano, że krytyczne (prowadzące do zniszczenia plastycznego) imperfekcje geometryczne występują z udziałem naprężeń resztkowych i trwałych, wstępnych imperfekcji geometrycznych

Alternatywna amplituda imperfekcji

Skalowanie pierwszej postaci wyboczenia sprężystego

Wielu badaczy (Gu, Chan, 2005) [71],(Kim, Lee, 2002) [88], (Mahendran, 2007)[105],(Hajjar, 1997) [75] przyjmuje, imperfekcje w kształcie pierwszej formy wyboczenia sprężystego. W tym celu najpierw jest prowadzona klasyczna analiza LBA na idealnym modelu konstrukcji (w konfiguracji nieodkształconej i niezaburzonej imperfekcjami), a następnie odbywa się skalowanie kształtu wyboczenia otrzymanego dla pierwszej wartości krytycznej, tak, aby utworzyć początkową imperfekcję. Koncepcja tej teorii wynika z hipotezy, że najniekorzystniejsza geometria imperfekcji jest najbliższa pierwszej postaci krytycznej, ponieważ wymaga najmniejszej energii odkształcania i najkrótszą drogą prowadzi do ostatecznego zniszczenia.

W większości przypadków pierwsza postać wyboczenia może reprezentować kształt zniszczenia i imperfekcje zgodne z tym kształtem wspomagają zniszczenie. Jednakże są też pewne systemy, dla których postać zniszczenia różni się od pierwszej formy wyboczenia. Ponadto szerokie badania statystyczne wskazują, że rzeczywiste kształty imperfekcji prawie zawsze różnią się od krzywych wynikających ze sprężystych postaci wyboczenia, czyli w uproszczeniu od kształtu sinusoidy (np. (Bjerhovde, 1972; Bjerhovde, Tall, 1971) [22]).

Wskazuje się, że taka metoda nie jest wiarygodna we wszystkich przypadkach, ponieważ na poprawność modelu nie przeprowadzono niebudzącego wątpliwości dowodu. Nie pokazano, że na dającym się zaakceptować poziomie prawdopodobieństwa zniszczenia metoda skalowania pierwszej postaci wyboczenia, będzie prowadziła do poprawnego oszacowania obliczeniowej nośności konstrukcji.

(Alveranga, Silveira, 2009) [4] zaproponowali, by kształt imperfekcji łukowej określać z uwzględnieniem zachowania konstrukcji w zakresie plastycznym ze względu na istotny wpływ naprężeń resztkowych i faktyczne zniszczenie plastyczne, zapoczątkowane wyboczeniem sprężystym (p. pkt 2.6.4). W tym ujęciu sprawczy kształt imperfekcji jest wyznaczany w trakcie rozwiązania problemu, a krytyczny kształt sprężysty jest tylko pierwszą iteracją. W istocie rozróżnia się, więc dwa pojęciowo różne rodzaje wstępnych imperfekcji konstrukcji:

  • rzeczywiste, wyznaczone w drodze pomiarów
  • obliczeniowe, to znaczy takie zastępcze imperfekcjenierzeczywiste, które są przyjmowane w obliczeniach, i które sprawiają, że wyznaczona nośność graniczna konstrukcji przybliża się do nośności rzeczywistej. Imperfekcje sprężyste zgodne z postacią wyboczenia mogą być wstępnym punktem startu w analizie nieliniowej, podczas której przekształcą się w inny kształt, odpowiadający mechanizmowi zniszczenia sprężysto-plastycznego.

 

Hipoteza Chladný

Eugen Chladný w pracy doktorskiej (Chladny, 1958) [32] i habilitacyjnej [33] opracował podstawy Alternatywnej Metody Imperfekcji Geometrycznych (AIM) i w 2000 roku zaproponował tę metodę w bardziej ogólnej formie do zastosowania w normie Eurokod 3. Metoda została zaakceptowana w projekcie prEN1993-1-1 (czerwiec 2002) i wprowadzona w pkt 5.3.2 (11) do oficjalnej wersji EN1993-1-1 (2005) (p. [N20]). Rozszerzona wersja metody AIM  jest stosowana w narodowej normie słowackiej STN EN 1993-1-1 /NA (2007) [N32], a także w pkt. 5.3.2 (11) normy europejskiej do projektowania konstrukcji aluminiowych [N30].

Metoda jest wyczerpująco opisana w pracach (Balaz, Aroch, Chladny, Kmet, Vican, 2007)  [11], (Beck, Doria, 2008) [15], (Sedlacek, Eisel, Hensen, Kühn, Paschen, 2004) [130], a także w normach [N20], [N30].

W literaturze można spotkać się z nazwą metody UGLI (Unique Global and Local Initial imperfection)  (Balaz, Kolekova, 2012) [12] lub EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial imperfection”) (Sedlacek et al., 2004)[130].  Metoda pierwotnie opracowana na przypadek elementów o stałym przekrojów, ściskanych stałą siła osiową, jest stopniowo uogólniana na:

  • elementy o zmiennym przekroju i sile osiowej po długości (Balaz, Kolekova, 2012) [12],
  • łuki trójpunktowe (basket handle arch type) w słowackim aneksie normy [N33],
  • klasę 4-tą przekroju elementu Brodniansky J., Rudolf Ároch R. , (2014), Unique global and local initial imperfection in the shape of the elastic buckling mode (Application of “UGLI” imperfection method for frames with class 4 cross-sections), IASS-SLTE Symposium 2014: Shells, Membranes and Spatial Structures, Brasilia, Brazil, Sep 2014 [26],

W podejściu AIM przyjmuje się hipotezy Chladný AIM 1 i AIM 2:

AIM 1 Kształt wstępnych imperfekcji  $\eta_{ini}$ jest proporcjonalny do postaci wyboczenia sprężystego systemu $\eta_{cr}$:

$$ \begin {equation}  \eta_{ini} (x) = A_m \eta_{cr} (x) \label {2.49}  \end {equation}$$

gdzie  $A_m$ jest zastępczą (równoważną, alternatywną) amplitudą imperfekcji, podczas gdy $\eta_{cr}(x)$  jest funkcją postaci wyboczenia elementu unormowaną w taki sposób, że jej amplituda jest jednostkowa $|\eta_{cr,max}|=1$ . Z wielu postaci wyboczenia systemu należy stosować najniekorzystniejszą, którą najczęściej jest pierwsza postać wyboczenia (Balaz, Kolekova, 2012) [12], (Dallemule, 2015) [55].

AIM 2 Imperfekcje alternatywne (2.49) opisują łącznie lokalne i globalne (zintegrowane) imperfekcje.

Wbrew temu co postulują prace (Shayan, Rasmussen, Zhang, 2014) [128], (Giżejowski, Szczerba, Gajewski, Stachura, 2016) [67],  przyjmujemy że jednocześnie nie wystąpią różne formy wyboczenia konstrukcji i nie należy tych postaci kombinować. Zasadę można uzasadnić w sposób niebudzący wątpliwości w języku prawdopodobieństwa zdarzeń wykluczających.

Alternatywna amplituda imperfekcji  $A_m$ jest taką zastępczą (równoważną rzeczywistej) amplitudą imperfekcji, która stanowi mnożnik (skalę) dla funkcji sprężystej postaci wyboczenia elementu.

Ideę metody AIM przedstawiono na przykładzie pręta utwierdzono-przegubowego o długości L i stałych po długości charakterystykach $A, \, I_y, \, E$  , ściskanego stałą siłą osiową $N_{Ed} $ . Na Rys. 2.18 zilustrowano zasadnicze pojęcia metody alternatywnej w odniesieniu do м-tego przekroju sprawczego o współrzędnej $x_m$.

Rys. 2.18. Metoda alternatywna AIM: a) schemat pręta, b) postać wyboczenia , c) imperfekcje alternatywne , d) wykres momentów zginających . Linia przerywana (podstawa efektywna) łączy punkty przegięcia , czyli określa długość efektywną elementu . Imperfekcja (normowa, statystyczna) jest przyrównywana do rzędnej ugięcia w przekroju sprawczym м nad podstawą efektywną

(opracowano na podstawie (Dallemule, 2015) [55])

Na Rys. 2.18b wykreślono funkcję$ \eta_{cr}(x)$ , która jest unormowaną funkcją postaci sprawczej wyboczenia sprężystego układu (pręta lub systemu prętów). Postacią sprawczą jest podstawowa (pierwsza) postać wyboczenia, którą obserwuje się przy najmniejszym krytycznym mnożniku konfiguracji obciążenia. Inna postać wyboczenia, (ale również pierwsza) może dotyczyć innej konfiguracji obciążenia (lub innego schematu pręta, np. po utworzeniu przegubu plastycznego). Unormowanie funkcji polega na takim przeskalowaniu funkcji, by amplituda

Na Rys. 2.18c wykreślono funkcję , która jest alternatywną (zastępczą, równoważną) zintegrowaną (łącznie globalną i lokalną) funkcją imperfekcji układu o amplitudzie . Linią przerywaną oznaczono podstawę efektywną, łączącą punkty przegięcia funkcji imperfekcji, czyli punkty zerowe momentu zginającego , odpowiadające tej linii ugięcia. Z warunku proporcjonalności (2.49) wynika, że punkty przegięcia sprawczej funkcji wyboczenia występują dla tych samych rzędnych i długość efektywną można oszacować na podstawie

Normowa (statystycznie określona) amplituda imperfekcji jest strzałką linii ugięcia , liczoną, jako odległość od podstawy efektywnej do linii ugięcia.

Na Rys. 2.18d, wykreślono funkcję momentu zginającego , odpowiadającą kształtowi wyboczenia . Wartość bezwzględna momentu w przekroju m jest wartością ekstremalną . Z tego warunku wyznacza się położenie punktu м. Oczywiście odpowiada ono również ekstremum momentu wynikającego z krzywej postaci wyboczenia: .

Metoda AIM uwzględniania geometrycznych imperfekcji konstrukcji jest metodą alternatywna w stosunku do stosowania współczynników wyboczeniowych oraz tak zwanej metody ogólnej [N20] i staje się podstawową metodą w projektowaniu konstrukcji, dlatego jej idee są ważne dla projektantów.  W metodzie AIM imperfekcje geometryczne (globalne i lokalne) odpowiadają skalowanej formie sprężystego wyboczenia, stowarzyszonego z wektorem własnym uzyskanym z liniowej analizy wyboczeniowej (LBA) całego układu konstrukcyjnego. Metoda alternatywna AIM bazuje więc na omówionej w punkcie 2.7.1 metodzie  skalowania pierwszej postaci wyboczenia sprężystego.

Analiza LBA (rozwiązania problemu własnego) zaimplementowana we wszystkich pakietach numerycznych jest efektywna (mało kosztowna) i może być zastosowana do dowolnie złożonej konstrukcji. Analiza całego układu bez wydzielania elementów pozwala ujawnić wszystkie możliwe postacie wyboczenia, a w szczególności postacie globalne (przechyłowe lub przeskok) i lokalne (łukowe) w tym ich fizycznie możliwe kombinacje. W zależności od typu elementów skończonych ujawnia też rozmaite rodzaje utraty stateczności (wyboczenie giętne, boczne (zwichrzenia), skrętne, płytowe, powłokowe, itd.) oraz ich fizycznie możliwe kombinacje (interakcję). W istocie postacie i rodzaje utraty stateczności są sprzężone i nie należy dążyć do ich rozprzężenia często tylko po to, by nazwać je, a następnie zastosować uproszczone, normowe zasady interakcyjne.

Hipoteza Papp dla zwichrzenia pręta

(Papp, 2016) [117] wyznaczył równoważną amplitudę dla postaci wyboczenia bocznego (zwichrzenia) poprzez uogólnienie podejścia (Ayrton, Perry, 1886) [8] na sprzężony problem (ang. coupled) utraty stateczności pręta, tzn. wyboczenia giętnego sprzężonego z wyboczeniem skrętnym i wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem). Matematycznie nie jest ściśle możliwe i praktycznie nie jest potrzebne rozdzielenie postaci wyboczenia giętnego, skrętnego oraz bocznego.

Rozwiązanie bazuje na fundamentalnym rozwiązaniu zagadnienia dla wyboczenia giętnego [34], [35] i uogólnia je na przypadek zwichrzenia. (Papp, 2016) założył mianowicie, że imperfekcje boczne belki są proporcjonalne do funkcji bocznego wyboczenia sprężystego odpowiadającej postaci bocznego wyboczenia sprężystego $\nu_{cr} (x)$.

Zależność na równoważne wstępne wygięcie boczne preta (imperfekcję boczną)  $\nu_0(x)$ w funkcji obliczeniowej amplitudy bocznego wygięcia wstępnego (imperfekcji) $\delta_{0,z}$  oraz siły krytycznej (Eulera) dla przypadku wyboczenia z płaszczyzny pręta $N_{cr,z}$  zapisano w postaci:

$$ \begin {equation}  \nu_0(x) =\delta_{0,z} \cdot  \cfrac{N_{cr,z}}{EI_z \cdot {\nu^”}_{cr,max} } \cdot \nu_{cr} (x) \label {2.50a}  \end {equation}$$

Równoważne wstępne skręcenie wstępne (imperfekcja skręcenia) wynosi

$$ \begin {equation}  \varphi_0 (x)=  \cfrac{N_{cr,z} }{M_{cr}} \cdot \nu_0(x) \label {2.50b}  \end {equation}$$

Formuła ($\ref{2.50a}$) stanowi uogólnienie normowego wyrażenia (5.9) [N20] na przypadek wyboczenia bocznego (zwichrzenia). Na Rys. 2.19 zilustrowano podstawowe zmienne modelu Pappa: – imperfekcje pręta: wygięcie boczne i kąt skręcenia odpowiednio; – wygięcie boczne i kąt skręcenia pręta po obciążeniu (w stosunku do kształtu z imperfekcjami).

W dobie powszechnej komputeryzacji, szczególnie interesujące jest zaproponowane iteracyjne ujęcie numeryczne zagadnienia.

Rys. 2.19. Model pręta Pappa w stanie zwichrzenia

(opracowano na podstawie (Papp, 2016) [117])

Probabilistyczna podejście do stateczności konstrukcji

Już w roku 1950 Dutheil (Dutheil, 1950)[57] wskazał na konieczność opisu stateczności słupów w języku probabilistycznym, ale efektywne rozwiązanie problemu probabilistycznego napotykało na przeszkodę związaną z brakiem zamkniętego deterministycznego opisu problemu sprężysto-plastycznej utraty stateczności (Bolotin, 1968) [25], a zastosowanie metody Monte-Carlo spotykało się z przeszkodą w postaci małej mocy komputerów.

Jedną z pierwszych prób probabilistycznego opisu problemu stateczności niesprężystego słupa były prace (Chung, 1969) [52], (Chung, Lee, 1971) [53] w których jako zmienne losowe traktowano styczny moduł sprężystości, co prowadziło do złożonej, wielokrotnej całki. W pracy (Ravindra, Galambos, 1972) [124] zaproponowano rozwiązanie tej całki aproksymacyjną metodą FORM (First-Order Reliability Method). Podejście sugerowane przez  (Dutheil, 1950) [57], (Dutheil, 1952) [58] zastosowano w pracy (Augusti, Barattta, 1971) [7]. Przyjęto, że zmiennymi losowymi są wstępne wygięcia (imperfekcje), granica plastyczności i smukłość pręta. Wspólną cechą wspomnianych rozwiązań było założenie o losowej niezależności losowych zmiennych, co jest w ogólności nieprawdziwe.

Szerokie badania problemu prowadził Elishakoff, zarówno metodą Monte-Carlo, jak i metodami analitycznymi (Elishakoff, 2016) [61]. Szeroko stosowaną obecnie ((Kala, 2003) [83], (Kala, 2007) [84]) metodą modelowania losowych modelowania imperfekcji jest metoda zbiorów rozmytych rozmyte, w której zakłada się, że zarówno kształt jak wielkość imperfekcji, jako przypadkowe.

W analizach losowych imperfekcji najczęściej (np. (Marek, Krivy, 2006) [104], (Omishore, 2010) [113],  (Omishore, Kala, 2009) [114]) tylko amplituda jest uważana za zmienną losową i to o rozkładzie normalnym lub lognormalnym, a jej przebieg na długości pręta przyjmuje się w kształcie sinusoidy. Parametry rozkładu dobiera się tak, by z prawdopodobieństwem 95% imperfekcja pozostawała w przedziale określonym tolerancją normową.

Koncepcja Bj¢rhovde

(Bjerhovde, 1972) [23] przyjmuje, że losowa amplituda imperfekcji  ma rozkład prawdopodobieństwa Gumbela I typu dla najmniejszych wartości (p. Załącznik A). Przyjęty rozkład ma dystrybuantę (A.33) i funkcję gęstości (A.34) ze standaryzowaną zmienną:

$ y=\cfrac{e_0 -\alpha}{\beta}$

gdzie  $\alpha$ i $\beta$ są parametrami rokładu, które Bj¢rhovde wyznaczył z warunków brzegowych problemu. Przyjął mianowicie, że maksymalna dopuszczalna strzałka wstępnego wygięcia  $\delta_{max}=e_0=L/1000$  może wystąpić z prawdopodobieństwem 2,5%, co jest zgodne z wytycznymi norm światowych (AISC, 1993) [N1], (AS4100, 2004)[N3], [N5] i co było zgodne z dawną propozycją europejską [N8]. (Obecnie Eurokod [N20] przyjmuje $e_0 \approx L/300$.

Z zależności (A.36) dla standaryzowanego rozkładu Gumbela ($\alpha=beta=0$) mamy kwantyl $t_{max}=0+1\cdot ln [-ln(0,025)]=1,3$, który jest poziomem tolerancji dla przekroczenia maksymalnej amplitudy imperfekcji  $\delta_{max} = e_0$. Zatem

$$ \begin {equation}  e_0=\alpha+1,3 \cdot \beta \label {2.51}  \end {equation}$$

Ponadto przyjęto, że minimalna strzałka wstępnego wygięcia wynosi $\delta_{min}=0$ (dla idealnego pręta) oraz założono, że może ona nie być utrzymana z prawdopodobieństwem 1%, co odpowiada współczynnikowi tolerancji $t_{min} =ln [ -ln (1-0,01)]=-4,6 , czyli

$$ \begin {equation}  \delta_{min}=0 =\alpha -4,6 \cdot \beta \label {2.52}  \end {equation}$$

Z układu równań ($\ref{2.51}$) i ($\ref{2.52}$) otrzymano:

$\beta=\cfrac{e_0}{5,9}$ ,   $\alpha= 0,78 \cdot e_0$,

Uzyskany rozkład prawdopodobieństwa pokazano na rys. 2.20

Rys. 2.20. Ilustracja założeń i wyników pracy Bj¢rhovde (1972) [23]

(opracowano na podstawie (Shanley, 1947) [134 ])

Na podstawie  formuł (A.35) i (A.28) wartość średnia $\overline e_0$ i odchylenie standardowe $\sigma_{e_0}$ amplitudy imperfekcji wynosi:

$$ \begin {equation} \overline e_0 = (0,78-0,5772/5,9) \cdot e_0 = 0,682 \cdot e_0= L/1470 \quad ; \quad \sigma_{e_0}= 1,283 \beta =1,283/5,9 \cdot e_0 = L/4600 \label {2.53}  \end {equation}$$

Dla parametrów losowej amplitudy imperfekcji (2.53) w pracy (Bjerhovde, 1972) [23] sporządzono krzywe wyboczeniowe i porównano z krzywymi deterministycznymi. Oba typy krzywych są podobne, co świadczy o tym, że spośród wielu zmiennych losowych problemu ( w tym naprężeń resztkowych) imperfekcje łukowe są najbardziej znaczące. Metodą probabilistyczną uzyskano większe o kilka procent nośności krytyczne słupów.

Koncepcja Murzewskiego

Murzewski (Murzewski, 1976) [110], a za nim Gwóźdź (Gwóźdź, 1997) [73] przedstawili interesującą, probabilistyczną interpretację współczynnika wyboczeniowego , wyznaczonego na podstawie losowej nośność granicznej $\Lambda_{lim}$  zdefiniowanej jako minimum z losowej nośności krytycznej  $\Lambda_{cr}$ (wyboczenia sprężystego) oraz losowej nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$ :

$$ \begin {equation} \min {[ \Lambda_{cr} \quad , \Lambda_{pl}]}  \label {2.54}  \end {equation}$$

 

Bibliografia rozdziału

AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed (1993). Chicago: American Institute of Steel Construction.
AS4100. Australian Standard AS4100, Steel Structures. Standards Australia (2004). North Sydney, New South Wales, Australia.
Alveranga, A. R., & Silveira, E. A. (2009). Second-order plastic-zone analysis of steel frames- Part II effects of initial geometric imperfection and resisual stress. Latin American Journal of Solids and  Structures, 6(4), 323–342.
Augusti, G., & Barattta, A. (1971). Theorie probabiliste de la resistnce des barres comprimees. Constructiion Metallique, (2).
Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Babcock, C. D. (1974). Experiments in shell buckling, In: Thin Shell Structures, Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
Balaz, I., Aroch, R., Chladny, E., Kmet, S., & Vican, J. (2007). Design of Steel Structures according o Eurocodes STN-EN 1993-1:2006 a STN-EN-1993-1-8:2007 (in Slovak) (1st, 2nd ed.). Bratislava: Slovak Chmaber of CIvil Engineers (SKS).
Balaz, I., & Kolekova, Y. (2012). Structures with UGLI imperfections  (in Slovak). In Proceedings (pp. 61–86). Svratka,- Bratislava, Czech  Republic.
Beck, A. T., & Doria, A. S. (2008). Reliability Analysis of I-Section Steel Columns designed according to new Brazilian Building Codes. Journal of the Brazilian Society of Mechanical  Sciences and Engineering, 3(2).
Bjerhovde, R. (1972). Deterministic and probabilistic approaches to the strength of steel columns (Ph D. Dissertation No. 1933). Lehigh: Lehigh University.
Bjerhovde, R., & Tall, L. (1971). Maximum column strength and the multiple column curve concept (Fritz Laboratory Reports No. 337.29). Lehigh: , Fritz Engineering Laboratory, Lehigh University.
Bolotin, V. V. (1968). Metody statystyczne w mechanice budowli, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 1968. Warszawa: Arkady.
Buonopane, S. G. (2008). Strenght and Reliability of Steel Frames with Random Properties. Journal of Structural Engineering, ASCE, 134(2), 337–344.
Butterworth, J. W. (2005, August). Column Buckling. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering. Retrieved from http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~jbut030/Courses/CIVIL211/Column_Buckling_Notes.pdf
Chebl, C., & Neale, K. W. (1984). A finite element method for elastic-plastic beams and columns at large deflections. Computers & Structures, 18(2), 255–261.
Chladny, E. Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis (1958). Bratislava: SVŠT (Slovak Technical University of technology).
Chodor, L. (2016). Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25–202). Katowice-Szczyrk. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-i-galerii-WPPK-2016.pdf
Chung, B. T. K. (1969). Random-Parameter Analysis of the Stability of Inelastic Structures, Ph.D. Dissertation. Buffalo, N. Y.: State University of New York.
Chung, B. T. K., & Lee, G. C. (1971). Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters. Journal Structural DIv, ASCE, 97(ST7).
Dallemule, M. (2015). Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9–15.
Degenhard, R., & i in. (2007). Experiments on buckling and postbuckling of thin-walledvCFRP structures using advanced measurements systems. Int. J. Struct., Stability and Dynamics, 07(02), 337–358.
Dutheil, J. (1950). Le Flambement et le Deversement. Bulletin Bimestriel de La Societe Royale Des Ingenieurs et Des Industriels, (3).
Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge.
Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions = Rapports des commissions de travail AIPC = IVBH Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 (1975)). Retrieved from http://dx.doi.org/10.5169/seals-19829
Elishakoff, I. (2016). Probabilistic Methods in the Theory of Structures: Random Strength of Materials, Random Vibration, and Buckling. Singapore: World Scientific.
Elishakoff, I., & Arbocz, J. (1985). Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 1985(52), 122–128.
Engesser, F. R. (1895). Uber Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26.
Frish-Fay, R. (1962). Flexible Bars , Lecturer of Civil Engineering University of New South Wales,. Butterworth & Co (Publisher)  London.
Fukumoto, Y. (1982). Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures. Der Stahlbau, (1).
Galambos, T. V., & Surovek, A. E. (2008). Structural stability of steel: Concepts and Applications for structural engineers. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., Hoboken.
Giżejowski, M. A., Szczerba, R. B., Gajewski, M. D., & Stachura, Z. (2016). Beam-Column In-Plane Resistance Based On The Concept Of Equivalent Geometric Imperfections. Archives of Civil Engineering, LXII(4 (2)), 35–71.
Godfrey, G. B. (1962). The Allowable Stresses in Axially Loaded Steel Struts. The Struct. Engr, 40(3).
Godoy, L. A., & Mook, D. T. (1996). Higher-order sensitivity to imperfections in bifurcation buckling analysis. Int.J.Solid Struct., 33(4), 511–520.
Gu, J. X., & Chan, S. L. (2005). Second-order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 62(5), 601–615.
Gwóźdź, M. Zagadnienia nośności losowej prętów metalowych. Praca doktorska, Pub. L. No. Zeszyt Naukowy 69 (1997). Kraków: Politechnika Krakowska.
Hajjar, J. F. (1997). Effective lenght and Effective length and notional load approaches for assesing frame stability : Implication for American Steel. Technical Report. Reston Va: Task Committee on Effective Length of the Technical  Committee on Load and Resistance Factor Design of the Technical Division of the Structural Engineering Institute of the American Society CIvil Engineers.
Herzog, M. A. M. (2010). Kurze Geschichte der Baustatik und Baudynamik in der Praxis (1. Aufl). Berlin: Bauwerk.
Hutchinson, J. W. (1974). Plastic Buckling (Vol. 14). New York, San Francisco, London: Academic Press Inc.
Hutchinson, J. W., & Koiter, W. T. (1971). Post buckling theory. Applied Mechanics, (24), 1353–1366.
Jacobs, J. P. (Ed.). (2010). Commentary Eurocode 2. Brussels: European Concrete Platform ASBL.
Jasiński, F. (1895). Noch ein Wert zu den Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 25(25), 172–175.
Kala, Z. (2003). The influence of initial curvature of the axis upon the member ultimate strength. Journal of Structural Mechanics, 36(1), 3–14.
Kala, Z. (2007). Stability problems of steel structures in the presence of stochastic and fuzzy uncertainty. Thin-Walled Structures, 45(10–11), 861–865.
Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81).
Kim, S. E., & Lee, D. H. (2002). Second-order distributed plasticity analysis of space steel frames. Journal of Engineering Mechanics, (24), 735–744.
Koiter, W. T. The stabillity od elastic equilibrium, Pub. L. No. PhD Thesis (1945). Amsterdam.
Kounadis, A. N., & Economou, A. F. (1984). The effects  of Initial Curvature and other parameters the nonlinera buckling of simple frames. Journal of Structural Mechanics, 12(1), 27–42.
Lamarle, E. (1845). Memoire sur la flexion du l.elsticite des corps. Ann Trwav, 3, 1–64.
Mahendran, M. (2007). Applications of Finite Element Analysis in Structural Engineering. In Proceedings. Chennai, India.
Marek, P., & Krivy, V. (2006). Probabilistic reliability assessment of a steel frame applying the SBRA method. Presented at the 3rd ASRANet International Colloquium, Glagow , UK.
Marsaglia, G. (2006). Ratios of Normal Variables. Journal Od Staistical Software, 16(4). Retrieved from http://www.jstatsoft.org/
Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
Migdalski, J. (Ed.). (1982). Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne. Warszawa: Wydawnictwa Przemysłu Maszynowego WEMA.
Murzewski, J. (1976). Teoria nońsności losowej konstrukcji prętowych. Warszawa: PWN.
Omishore, A. (2010). Sensitivity analysis of structures, problems and applications. In Proceeding (pp. 120–125). Athens (Greece.
Omishore, A., & Kala, Z. (2009). Reliability Analysis of Steel Structures with Imperfections (pp. 540–545). Presented at the Nordic Steel Construction Conference, Malmo, Sweden.
PN-EN 1090-2+A1. Wykonanie konstrukcji stalowych i aluminiowych - Część 2:  Wymagania techniczne dotyczące konstrukcji stalowych (2012). UE: PKN.
PN-EN 13670. Wykonywanie konstrukcji z betonu (2011). UE: PKN.
PN-EN 1990. Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji (2004). UE: PKN.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1992-2+AC+Ap1+Ap2. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-2:  Reguły ogólne - Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-2. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 2: Mosty stalowe (2010). UE: PKN.
PN-ISO 4463-1. Metody pomiarowe w budownictwie. Tyczenie i pomiar. Część I: Planowanie i organizacja, procedury pomiarowe, kryteria akceptacji. (2012). Warszawa: PKN.
Panovko, J. G., & Gubanova, I. I. (1967). Ustojčivost i kolebnija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i ošibki (4th ed.). Moskva: Nauka.
Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.10.021
Ravindra, M. K., & Galambos, T. V. (1972). Discussion of “Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters”  by B. T. K. Chung and G. C.Lee. Journal, ASCE Str. Div., 98(ST1), 215.
Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers.
Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., & Paschen, M. (2004). Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ernst & Sohn, A Wiley.
Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678.
Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
Shaw, F. S. (1972). Virtual displacements and analysis of structures. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall.
Shayan, S., Rasmussen, K. J. R., & Zhang, H. (2014). On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research, (98), 167–177.
Singer, J., Arbocz, J., & Weller, T. (1998). BUckling Experiments: Experimental Methods in Buckling of Thin-Walled Structures Vol1: Basic Concepts, Columns, Beams and Plates  Vol 2: Shells, Built-Up Structures,Composites , Additional Topics. New York: John Wiley & Sons.
Smith-Pardo, J. P., & Aristizabal - Ochoa, J. D. (1999). Buckling Reversalas of Axially Restarined Imperfect Beam-Column. Journal of Engineering Mechanics, 125(4), 401–409.
Tetmajer, L. von. (1890). Die Gesetze der Knickungs und der Zusammeng-Esetzten Druckfestigkeit der Technisch Wichtigsten Baustoffe (Mitteilung der Material Anstalt auf Schweizer Polytechnikum in Zurich No. Heft k, 1890, Heft 8, I896.). Zurich: Polytechnikum in Zurich.
Thom, R. (1972). Stabilite  Structurelle  et  Morphogenese. New York: Benjamin.
Tiltman, K. O. (1977). Was kostet die Genauigkeitim Betonferitgteilbau ? Baugewerbe, (5), 21–26.
Wolfram, MathWorld. (2019). Mathematica. Extreme Value DIstribution. Retrieved from http://mathworld.wolfram.com/ExtremeValueDistribution.html
Xu, L., & Wang, X. H. (2008). Storey-base column effective lenght faactos with accounting for initial geometric imperfections. Engineering Structures, 30(12), 3434–3444.

Bibliografia całości podręcznika

Książki, Czasopisma, Internet

[1] Abel M., P-Delta Effects, (2012), SAP 2000, SAP2000, CSI Knowledge Base, [źródło:https://wiki.csiamerica.com/display/kb/P-Delta+effect, , dostęp 08-2017],

[2] Abramowitz, M., Stegun I., A., (1964), Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. Vol. 55. Courier Corporation,

[3] Aguero A., Pallares L., Pallares F.(2015), Equivalent geometric imperfection definition in steel structures sensitive to flexural and/or torsional buckling due to compression, Eng. Struct. 2015, 96, s. 60-71,

[4] Alvarenga, A.R., Silveira R.A., (2009), Second‐order plastic‐zone analysis of steel frames – Part II:effects of initial geometric imperfection and residual stress, Latin American Journal of Solids and Structures,2009. 6(4): p. 323 – 342, (R2)

[5] Arcelor-Mittal (2009), Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe. Część 4: Projekt wykonawczy ram portalowych [źródło: http://sections.arcelormittal.com/pl/biblioteka/poradnik-projektanta-konstrukcjestalowe-w-europie.html, dostęp 03-08-2017],

[6] Arcelor-Mittal (2009), Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe. Część 6: Projekt wykonawczy słupów złożonych [źródło: http://sections.arcelormittal.com/fileadmin/redaction/4-Library/4 BE/PL/SSB06_Projekt_wykonawczy_slupow_zlozonych.pdf, dostęp 13-08-2017],

[7] Augusti, G., Baratta, A.,(1971), Theorie probabiliste de la resistance des barres comprimees, Construction Metallique, No.2,1971, (R2)

[8] Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513, (R1, 2)

[9] Babcock C.D., (1974), Experiments in shell buckling. Thin Shell Structures. Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1974), str. 345–369, (R1, 2)

[10] Bachmann H., Steinle A., (2011), Precast Concrete Structure, Ernst&Sohn , A Wiley Company, Berlin,

[11] Baláž, I., Ároch, R., Chladný, E., Kmeť, S., Vičan, J.: (2007, 2010), Design of  Steel Structures According to Eurocodes STN EN 1993-1-1:2006 a STN EN 1993-1-8:2007. Slovak Chamber of Civil Engineers (SKSI) Bratislava, 1st Edition 2007, 2nd Edition 2010. (In Slovak), (R2)

[12] Baláž I., Koleková Y., (2012). Structures with UGLI imperfections. In: Proc. 18th International Conference Engineering Mechanics, pp. 61-86, Svratka, Czech  Republic, May 2012,Bratislava, 1st Edition 2007, 2nd Edition 2010. (In Slovak), (R2)

[13] Barlou R., Proschan F., 1975), Statistical Theory of Reliability and Life testing pobability models, Holt, Reinehart and Wilson Inc, 208

[14] Bauschinger, J. (1887). Zerknickungs-Versuche (Mitteilung an das No. Heft 15, Mitteilung XVII) (p. 11). München: Mechanische -Technologie Laboratorium, München, (R2)

[15] Beck, A.T. , Dória A.S., (2008), Reliability Analysis of I‐Section Steel Columns Designed According to New Brazilian Building Codes. Journal of the Brazilian, Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2008. 3(2).

[16] Beaulieu, D. Adams, P. F., (1978), The Results of a Survey on Structural Out-ofplumbs, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 5, pp. 642-470

[17] Bendat J.S., Piersol A.G., (1986), Random Data. Analysis and Measurement, Procedures, John Wiley and Sohn,

[18] Biegus A., Stalowe budynki halowe. Arkady, Warszawa 2003,

[19] Biegus A., Projektowanie stężeń stalowych budynków halowych, Wykłady.  Politechnika Wrocławska, Wrocław 2012,

[20] Bijak R., Chodor L., Kołodziej G., Kowal Z., (1997), Sensitivity of cross-section shape for nonlinear thin-walled bars, Proc. XIII P. Conference Computer Methods in Mechanics, Poznan, Poland 5-8 May 1997, p. 175-182, NY/Chichester/Brisbone/Toronto/Signapore.

[21] Björnsson T., (2017) Structural Analysis of Columns with Initial Imperfections, Master Thesis, Faculty of Civil and Environmental Engineering School of Engineering and Natural Sciences University of Iceland, Reykjavik, June 2017,

[22] Bj¢rhovde, R. , Tall, L., (1971), Maximum column strength and the multiple column curve concept, Fritz Engineering Laboratory Report No. 337.29, Lehigh University, October 1971,  (R2)

[23] Bj¢rhovde R., (1972) Deterministic and probabilistic approaches to the strength of steel columns, Ph.D. dissertation, Lehigh University, Fritz Laboratory Reports, Paper 1933, (R2)

[24] Bobrowski D., (1980), Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WNT, Warszawa

[25] Bolotin, V. V., Statistical methods in structural mechanics, Holden-Day Series in Mathematical Physics, HoldenDay, Inc., San Francisco. 1969

[26] Brodniansky J., Rudolf Ároch R. , (2014), Unique global and local initial imperfection in the shape of the elastic buckling mode (Application of “UGLI” imperfection method for frames with class 4 cross-sections), IASS-SLTE Symposium 2014: Shells, Membranes and Spatial Structures, Brasilia, Brazil, Sep 2014, (R2)

[27] Butterworth, J. W. (2005). Buckling of Columns. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering, (R2)

[28] Buonopane, S.G., Strength and Reliability of Steel Frames with Random Properties. Journal of structural Engineering, ASCE, 2008. 134(2): p. 337‐344, 209

[29] Calladine C. R., (1973), Inelastic buckling of columns: trhe effect of imperfection, Int. J. Mech. Sci., 15, s. 593-604,

[30] Canadian Journal of Civil Engineering, 1978, Vol. 5, pp. 642-470.

[31] Chebl C. Neale K.W., A finite element method for elastic‐plastic beams and columns at large deflections. Computers & Structures, 1984. 18(2): p. 255‐261, (R1, 2)

[32] Chladný E. (1958) Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis, SVŠT (Slovak Technical University of technology) Bratislava, (R2)

[33] Chladný E. (1974) Vzper pružne podopretých tlačených prútov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis, SVŠT Bratislava1974, (R1, 2)

[34] Chladný E., Stujberova M., (2013) Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode. Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617, (R1, 2)

[35] Chladný E., Stujberova M., (2013) Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode. Part 2. Stahlbau, 83(9),684–694, (R1,2 )

[36] Chodor L., (1986), Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycznych, Raport PRE 68/86, stron 120, Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, [źródło http://chodor-projekt.net/wpcontent/
uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf , dostęp 2017-08], (R1)

[37] Chodor L., (1989), Algorytm szacowania losowych odpowiedzi systemów konstrukcyjnych przy użyciu Stochastycznej Metody Elementów Skończonych, Mat. IX Konf. Naukowej „Metody Komputerowe w Mechanice”, Kraków-Rytro, s. 115-122,

[38] Chodor L., (1991), Discretisation of Structures in the Stochastic Finite Element Method, Proc. of X Sc. Conf. „Computers Methods in Mechanics”, Szczecin-Świnoujście, s. 70-76,

[39] Chodor L., (2014), Belka Timoshenko na sprężystym podłożu, [źródło http://chodor-projekt.net/encyclopedia/belka-timoshenko-sprezyste-podloze ,dostęp 2016-12-20],

[40] Chodor L., (2015a), Kombinacje obciążeń w Eurokodach. [źródło http://chodorprojekt.net/encyclopedia/kombinacje-obciazen-wg-eurokodow/, dostęp 2015-12-08],

[41] Chodor L., (2015b), Szybka metoda Monte Carlo, [źródło http://chodorprojekt.net/encyclopedia/szybka-metoda-monte-carlo/, dostęp 2016-12-20], (R1)

[42] Chodor, L. (2016a), Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25 – 202). Katowice-Szczyrk. [źródło: http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-igalerii-WPPK-2016.pdf , dostęp 2016-05-08], (R2)

[43] Chodor L., (2016b), Interakcja ściskania i dwuosiowego zginania, [źródło: http://chodor-projekt.net/encyclopedia/interakcja-plastyczna-sily-osiowej-idwuosiowego-zginania/ , dostęp 2017-08], (R1)

[44] Chodor L., (2017a), Nośność plastyczna konstrukcji, [źródło: http://chodorprojekt. net/encyclopedia/nosnosc-plastyczna-konstrukcji/ , dostęp 2017-08], (R1)

[45] Chodor L. (2017b), Nieliniowy kalkulator żelbetu M-N, [źródło: http://chodorprojekt. net/encyclopedia/kalkulator-zelbetu-m-n/, dostęp 2017-08-04],

[46] Chodor L., Bijak R., (1997) Sensitivity analysis of initially curved thin-walled bars, Statyba, 3, 11, s. 30-34, [źródło: DOI 10.1080/13921525.1997.10531350]

[47] Chodor L., Bijak R.,(1998), Wrażliwość na imperfekcje prętów cienkościennych z połączeniami podatnymi, Mat. Konferencja Jubileuszowa z okazji 70-lecia prof. Z. Kowala, Szklarska Poręba,

[49] Chodor L., Piechnik St. (1983), Ujęcie macierzowe zagadnienia brzegowego teorii sprężystości, Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej, Budownictwo 14, s. 7-14, Kielce,

[50] Chodor L., Podstawka R. (2009), Analiza Pushover oraz przeguby i załomy nieliniowe w konstrukcjach żelbetowych, Materiały 55 Konferencji KILiW PAN i KN PZITB Krynica 2009, Problemy naukowo-badawcze budownictwa, s.215–221,[źródło: http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/2009-Chodor-Podstawka-Pushover-Krynica.pdf, dostęp 2017-08], (R1)

[51] Cox, D. R., Hinkley, D. V., (1979), Theoretical Statistics, Chapman and Hall, London

[52] Chung, B. T. K.,(1969), Random-Parameter Analysis of the Stability of Inelastic Structures, Ph.D. Dissertation, State University of New York, Buffalo, N. Y., 1969, (R2)

[53] Chung, B. T. K. and Lee, George C.,(1971), Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters, Journal, ASCE Str. Div., Vol. 97, No. ST7, July, 1971 (R2)

[54] Degenhard R., i.in, (2007) Experiments on buckling and postbuckling of thinwalled CFRP structures using advanced measurement systems, Int. J. Struct . Stability and Dynamics 2007 07:02, 337-358, (R2)

[55] Dallemule M., (2015) Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9-15, (R2)

[56] Ditlevsen, O. (1979). Narrow reliability bounds for structural systems. Journal of Structural Mechanics., 7(4), 453–472,

[57] Dutheil, J. (1950)., Le Flambement et le Deversement, Extrait du Bulletin bimestriel de la Societe Royale des Ingenieurs et des Industriels, No.3,July 1950, (R2)

[58] Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge, (R2)

[59] Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions, Rapports des commissions de travail AIPC, IVBH, Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 ,1975, (R2)

[60] Elishakoff I., Arbocz, (1985), Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 52, (1985), str. 122–128, (R1, 2)

[61] Elishakoff I.,(2016), Probabilistic Methods in the Theory of Structures: Random Strength of Materials, Random Vibration, and Buckling, World Scientific, Singapore (R2)

[62] Engesser, F. R. (1895). Über Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26, (R2)

[63] Frish-Fay R.,(1962), Flexible Bars, Lecturer of Civil Engineering University of New South Wales, Butterworth & Co (Publisher) London 1962, (R2)

[64] Fukumoto, Y., (1982) Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures, Der Stahlbau, No 1, 1982, (R2)

[65] Galambos T.V., Surovek A.E. (2008), Structural stability of steel: Concepts and Applications for structural engineers, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, (R2)

[66] Ghanem R., G., P., D. Spanos P., D., (1991), Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach, Springer Verlag, 1991.

[67] Giżejowski, M. A., Szczerba, R. B., Gajewski, M. D., Stachura, Z., (2016), Beam-Column In-Plane Resistance Based On The Concept Of Equivalent Geometric Imperfections, Archives of Civil Engineering, Vol LXII, Issue 4, Part 2, 2016, pp.35-71 (R2)

[68] Godfrey G. B. (1962). The Allowable Stresses in Axially Loaded Steel Struts. TheStruct. Engn, 40 (3), (R2)

[69] Godoy L.A. (1998), Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin-Walled Structures, 32 (1998), str. 181–206, (R1)

[70] Godoy L.A., Mook D. T., (1996), Higher-order sensitivity to imperfections in bifurcation buckling analysis, Int. J. Solid Stru ct, Vol. 33, No 4, pp. 511-520, (R2)

[71] Gu J., X. , S.L. Chan S. ,L., Second‐order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005. 62(5): p. 601–615 (R2),

[72] Gulbrandsen M., & Petersen, R. (2013). Advanced Analysis of Steel Structures. Aalborg University, Master Thesis. Aalborg, Denmark, 2013,

[73] Gwóźdź M., (1997), Zagadnienia nośności losowej prętów metalowych, Praca doktorska, Zeszyt Naukowy 69, Inżynieria Lądowa, Politechnika Krakowska, Kraków (R2)

[74] Gwóźdź M., Machowski A.,(2011), Wybrane badania i obliczenia konstrukcji budowlanych metodami probabilistycznymi, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków,

[75] Hajjar, J.F., Effective length and notional load approaches for assessing frame stability: Implications for American Steel, 1997, Technical Report, Task Committee on Effective Length of the Technical Committee on Load and Resistance Factor Design of the Technical Division of the Structural Engineering Institute of the American Society of Civil Engineers: Reston, Va.,

[76] Hutchinson J.W., (1974), Plastic Buckling, Advances in Applied Mechanics, Vol. 14, Academic Press Inc, New York, San Francisco, London,(R2)

[77]Hutchinson J.W., Koiter W.T.(1971), Post buckling theory . Applied Mechanics, 24 str. 1353–1366, (R2)

[78] Herzog M. A. M. (2010). Kurze Geschichte der Baustatik und Baudynamik in der Praxis (1. Aufl). Berlin: Bauwerk.

[79] Ivčenko G., I., Medvedev J.I.,(2015) VVedenie v matematičeskuju statistiku, Wydawnictwo DKI, Moskva,

[80] Jacobs J., P. (Ed), (2010), Commentary Eurocode 2, European Concrete Platform ASBL, Brussels, (R2)

[81] Jasinski, F. (1895). Noch ein Wert zu den Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 25(25), 172–175, (R2)

[82] Johnston B.G. (1966), Guide to Design Criteria for Metal Compression Members, 2nd Edt, Wiley, New York,

[83] Kala Z., The influence of initial curvature of the axis upon the member ultimate strength, (2003), Journal of Structural Mechanics, 2003. 36(1): p. 3‐14. (R2)

[84] Kala Z., Stability problems of steel structures in the presence of stochastic and fuzzy uncertainty, (2007), Thin‐Walled Structures, 2007. 45(10‐11): p. 861‐865, (R2)

[85] Kala, Z., Sensitivity assessment of steel members under compression, (2009), Engineering Structures, 2009, 31(6) S. 1344‐1348.

[86] Kapur K.,C., Lamberson L., R., (1977), Reliability in Engineering Design , John Wiley, New York,

[87] Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81),

[88] Kim S.E., Lee D.H., (2002), Second‐order distributed plasticity analysis of space steel frames. Engineering Structures, 2002. 24, p. 735–744, (R1)

[89] Der Kiureghian A., Ke J., B., (1988), A Structural reliability under incomplete probability information, I. Engrg. Mech. ASCE, 112(10), s. 85-104

[90] Kucukler M., Cardner L., Macorini L.(2015) , Lateral-torsional buckling assessment of steel beams through a stiffness reduction method. J. Constr., Steel Res. 20152015, 109, s. 87-100, 213

[91] Knauff M., Golubińska A., Knyziak P., (2014) Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, II w., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013, 2014,

[92] Koiter, W.T., (1945), On the Stability of Elastic Equilibrium, Polytechnic Institute Delft, NASA TTF‐10833 (Thesis), (R2)

[93] Korn G.A., Korn T.M., (1983), Matematyka dla pracowników naukowych, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa

[94] Kounadis A.N., Economou A.F., (1984), The Effects of Initial Curvature and other Parameters on the Nonlinear Buckling of Simple Frames. Journal of Structural Mechanics, 1984, 12(1) s. 27‐42, (R2)

[95] Lamarle, E. (1845), Memoire sur la flexion du l.elasticite des corps. Ann Trwav, 3, 1–64, (R2)

[96] Kozłowski A. (red), (2010), Konstrukcje stalowe. Część pierwsza, Wybrane elementy i połączenia, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów,

[97] Kozłowski A. (red), (2015), Konstrukcje stalowe. Część trzecia , Hale i wiaty hale, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów,

[98] Lindner, J. Gietzelt, R., (1984), Evaluation of Imperfections of Support –Elements”, Stahlbau, Vol. 4, pp. 97-98,

[99] Livesley R. K., (1975), Matrix Methods of Structural Analysis , 2nd Edition, Pergamon International Library of Science, Technology, Engineering and Social Studies,

[101] Liu W., K.,Belytschko T., Mani A., (1986), Probabilistic finite elements for non linear structural dynamics, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 56:61–86,

[102] Machowski, A., (2002), Initial Random Out-of-plumbs of Steel Frame Columns, Archives of Civil Engineering, 2002, XLVIII (2), pp. 207-226,

[103] Machowski A, Tylek I., (2012), Random Equivalent initial bow and Tilt in Steeel Frame, Advanced Steel Construction Vol. 8, No. 4, pp. 383-397

[104] Marek P., Křivy V., (2006), Probabilistic reliability assessment of a steel frame applying the SBRA method. 3rd ASRANet International Colloquium Glasgow, U.K., 10‐12 July 2006, (R2)

[105] Mahendran, M. Applications of Finite Element Analysis in Structural Engineering, In Proceedings, International Conference on Computer Aided Engineering. 2007. Chennai, India.

[106] Marsaglia G., (2006), Ratios of Normal Variables, Journal of Statistical Software, Vol. 16, Iss 4., [źródło: http://www.jstatsoft.org/, dostęp 25-10-2017], (R2)

[107] Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190, 214 (R2)

[108] Migdalski (red.), (1982) Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne, Wydawnictwa Przemysłu Maszynowego “WEMA”, Warszawa (R2)

[109] Mrázik A., Škaloud M., Tocháček M.,(1987) Plastic design of steel structures, E. Horwood ; Halsted Press, Chichester [West Sussex] : New York,

[110] Murzewski J., (1976), Teoria nośności losowej konstrukcji prętowych, PWN, Warszawa (R2)

[111] Murzewski J., (1980), Jednolita formuła stateczności sprężysto-plastycznej konstrukcji stalowych , XXVI Konf. Nukowa KILiW PAN i KN PZITB , tom II, Krynica,

[112] Murzewski J., (1989), Niezawodność konstrukcji inżynierskich, Arkady,Warszawa,

[113] Omishore A., (2010), Sensitivity analysis of structures, problems and applications, In: Proceeding of the 6th WSEAS International Conference on Applied and Theoretical Mechanics (MECHANICS ’10), Athens (Greece), 2010: p. 120‐125, (R2)

[114] Omishore, A. and Z. Kala, (2009), Reliability Analysis of Steel Structures with Imperfections, Nordic Steel Construction Conference. Malmo, Švédsko, p. 540‐545. (R2)

[115] Panovko, J. G., Gubanova, I. I. (1967). Ustojchivost i kolebanija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i oshibki (4th ed.). Moskwa, Nauka, (R2)

[116] Papadopoulus V., Soimiris G., Papadrakis M., Buckling analysis of I-section portal frames with stochastic imperfections, Engr. Struct. 47 (2013) s. 54-66,

[117] Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136,

[118] PAN, Polska Akademia Nauk, (2006) Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2006,

[119] Papoulis A., (1965), Probability, Random Variables and Stochastic Process, WNT, Warszawa, tłumaczenie 1965,

[120] PEER/ATC (2010). Modelling and acceptance criteria for seismic design and analysis of tall buildings, PEER/ATC 72-1 Report, Redwood City, CA, Applied Technology Council,

[121] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla Wydziałów Budowlanych (1980), Wyd. II, PWN, Warszawa-Kraków

[122] Powell G.H.,(2010), Modelling for Structural Analysis. Behaviour and Basics, Computers and Structures, Inc., Berkeley, California,

[123] Pugachev V., S., (1984), Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers, Pergamon Press, Oxford, NY ,

[124] Ravindra, M. K. and Galambos, T. V., (1972), Discussion of „Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters” by B. T. K. Chung and G. C.Lee, Journal, ASCE Str. Div., Vol. 98, No. STl, January 1972.215, (R2)

[125] Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers, (R2)

[126] Rossow E.C., Barney G.B., Lee S.L., (1967), Eccentrically Loaded Steel Columns with Initial Curvatures, Journal of the Structural Division, ASCE, 1967. 93(ST2), s. 339‐358. (R1, 2)

[127] Serna, M.A., E. Bayo, and J.R. Ibañez, (2009), Imperfections for Global Analysis of Frames: EC3 Drawbacks and Energy Based Procedure, 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, September 7‐11, 2009.

[128] Shayan S. , Rasmussen K.J.R., Zhang H., (2014), On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis, Journal of Constructional Steel Research, 98, 2014, pp 167-177, (R2)

[129] Shaw F.S., (1972), Virtual Displacement and Analysis of Structures, Prentice-Hall, Inc, Englewood Clifs, New Jersey, (R2)

[130] Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., Paschen, M. (2004), Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ausgabe März 2003. Ernst & Sohn, A Wiley, (R2)

[131] Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678, (R2)

[132] Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268, (R1, 2)

[133] Singer J., J. Arbocz J., Weller T., (1998, 2002), Buckling Experiments: Experimental Methods in Buckling of Thin-Walled Structures: Vol. 1: Basic Concepts, Columns, Beams and Plates, Vol 2: Shells, Built-Up Structures, Composites and dditional Topics, John Wiley &Sons Inc., New York, (R2)

[134] Shayan S., Rasmussen K.Jr., Zhang H., (2012) On the modelling of initial geometric imperfections and residual stress of steel frames, Research Report, School of Civil Engineering, The University of Sydney, (R2)

[135] Shweppe F.C., Układy dynamiczne w warunkach losowych (1978), Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa

[136] Skotny Ł., (2017) Imperfekcje w analizie wyboczenia, Blog FEMAP (Enterfea.com), 30 czerwiec 2017, [źródło https://enterfea.com/imperfekcje-wanalizie-wyboczenia/, dostęp 06-08-2017],

[137] Smith‐Pardo, J.P., Aristizábal‐Ochoa J.D.,(1999), Buckling Reversals of Axially Restrained Imperfect Beam‐Column. Journal of Engineering Mechanics, 1999. 125(4): p. 401‐409. (R2)

[138] Sudret B., Der Kiureghian A.(2000), Stochastic Finite Element and Reliability. A State of the Art. Technical Report, Department of Civil and Environmental Engineering, University of California, Berkeley,

[139] Steelconstruction.info. (2015). Braced frames. W: Encyclopedia for UK steel construction. [źródło http://www.steelconstruction.info/Braced_frames, dostęp 2015-11], 216

[140] Stocki R., (2010), Analiza niezawodności i optymalizacja odpornościowa złożonych konstrukcji i procesów technologicznych, Prace IPPT PAN, 2/2010,Warszawa,

[141] Tetmajer, L., (1890). Die Gesetze der Knickungs und der Zusammeng-Esetzten Druckfestigkeit der Technisch Wichtigsten Baustoffe (Mitteilung der Material Anstalt auf Schweizer Polytechnikum in Zürich No. Heft k, 1890, Heft 8, I896.), Zürich, (R2)

[142] Thom, R., Giorello, G., Morini, S., Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: Rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simona Morini.Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1991, (R1, 2)

[143]Tiltman K., O., (1977) Was kostet die Genauigkeitim Betonferitgteilbau ?, Baugewerbe , No 5, 21-26

[144] Wilde P., (1981), Random Fields Discretization in Engineering Calculations. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa,

[145] Vanmarcke E. H., (1983), Random fields: analuysis anmd synthesis, The MIT Press, Cambridge, Mass,

[146] Vanmarcke E. H., Grigoriu M., (1983), Stochastic finite element analysis of simple beams, J. Engrg., Mech., ASCE., 109(5), s. 1203-1214,

[147] Xu L. , Wang X.H., Storey‐based column effective length factors with accounting for initial geometric imperfections, (2008), Engineering Structures, 2008. 30(12),s. 3434‐3444, (R2)

[148] Zhang, Y., Zhao J., Zhang W., (2008), Parametric Studies on Inter‐Column Brace Forces. Advances in Structural Engineering, 2008. 11(3) s. 293‐303,

[149] Zhu W.Q, Ren Y., J., Wu W., Q., (1992), Stochastic FEM Base. On Local Averages of Random Vector Fields, J. Eng. Mech, Vol. 118, No3 , ASCE, s. 496-509,

[150] Żurański J.A., Gaczek M., Obciążenia środowiskowe według Eurokodów, Materiały XXVI Ogólnopolska Konferencja Warsztat Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk, 9-12 marca 2011, s. 487-516.

[151] Żurański J. A., Sobolewski A., Obciążenie śniegiem w Polsce, Wydawnictwa Instytutu Techniki Budowlanej, Warszawa 2009

[201]Lumpe G. Gensichen V., Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie, Ernst, Berlin, 2014, (R1)

[202] Machowiak, Klasyfikacja i zakres zastosowania Teorii II. rz. Obliczenia wykonane w ConSteel 11 SP3, Raport Constell, 2018, (R1)

[203] Thom R., Stabilite Structurelle et Morphogenese, Benjamin, New York, 1972, (R1)

Normy, instrukcje i wytyczne

[N1] AISC, (1993), AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed.,American Institute of Steel Construction, Chicago 1993,

[N2] ANSI/AISC and 360-5, (2005), Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel Construction, Chicago,

[N3] Australian Standard AS4100, (2004), Steel Structures. Standards Australia, North Sydney, New South Wales, Australia,

[N4] British Standard BS5950-1, (2003), Structural Use of Steelwork in Buildings, Part 1: Code of Practice for Design, British Standards Institution, London,
[N5] Canadian Standards Association CAN/CAS-S16, (2004), S16-01 Limit States Design of Steel Structures, Toronto, Ontario, Canada: Canadian Standards Association,

[N6] DIN18800‐2, (1990), Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken,

[N7] Eurocode, (2003), Design of Steel Structure, Part 1‐1 : General Rules and Rules for Buildings 2003, Commission of European Communities, Brussels,

[N8] ECCS, (1984) Ultimate limit state calculation of sway frames with rigid joints. Technical Committee 8- Structural Stability Technical Working Group 8.2—System. Publication No. 33. European Convention for Constructional Steelwork,

[N9] GB50205 , (2001), Code for Acceptance of Construction Quality of Steel structures , China Planning Press, China,

[N10] HKC, (2005), Code of Practice for the Structural Use of steel 2005, Building Department, The Government of the Hong Kong Special Administrative Region,

[N11] ISO 4463-1, Measurement methods for building. Setting-out and measurement; Part 1: Planning and organization, Measuring procedures, Acceptance criteria, CEN,

[N12] Japan Road Association,(1980), Specification for Highway Bridges,

[N13] PN-EN 1090-2+A1,(2012), Wykonanie konstrukcji stalowych i aluminiowych-Część 2: Wymagania techniczne dotyczące konstrukcji stalowych. CEN, PKN,

[N14] PN-EN 13670, (2011), Wykonywanie konstrukcji z betonu. CEN, PKN,

[N15] PN-EN 1990, (2004), Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji. CEN, PKN,

[N16] PN-EN 1991-3, Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 3:Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami, CEN, PKN,

[N17] PN-EN 1991, Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. CEN, PKN

[N18] PN-EN 1992-1-1, (2008), Eurokod 2, Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. CEN, PKN, (R1)

[N19] PN-EN 1992-1-2, (2008), Eurokod 2 – Projektowanie z betonu. Część 1-2: Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe. CEN, PKN,

[N20] PN-EN 1993-1-1, (2007), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, CEN, PKN, (R1)

[N21] PN-EN 1993-1-2, (2006), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-2: Obliczanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe, CEN, PKN

[N22] PN-EN 1993-1-5, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice. CEN, PKN, (R1)

[N23] PN-EN 1993-1-6, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-6: Wytrzymałość i stateczność konstrukcji powłokowych. CEN, PKN, (R1)

[N24] PN-EN 1993-1-7, (2008), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część1-7: Konstrukcje płytowe. CEN, PKN, (R1)

[N25] PN-EN 1993-1-8, (2006), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część1-8: Projektowanie węzłów, CEN, PKN,

[N26] PN-EN 1993-1-9, (2007), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-9: Zmęczenie. CEN, PKN,

[N27] PN-EN 1993-2, (2010), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 2: Mosty stalowe. CEN, PKN, (R1)

[N28] PN-EN 1993-6, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 6: Konstrukcje wsporcze dźwignic, CEN, PKN, (R1)

[N29] PN-EN 1994-1-1, (2008), Eurokod 4, Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo- betonowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. CEN,PKN, (R1)

[N30] PN-EN 1999-1-1, (2010), Eurokod 9, Projektowanie konstrukcji aluminiowych. Część 1-1: Reguły ogólne, CEN, PKN, (R1)

[N31] PN-ISO 2394, (2000), Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych. CEN, PKN,

[N32] STN-EN 1993-1-1/NA Eurokód 3. Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 1-1: Všeobecné pravidlá a pravidlá pre budowy, CEN. ÚNMS SR,

[N33] STN EN 1993-2/NA Eurokód 3. Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 2: Oceľové mosty, CEN. ÚNMS SR,

Programy komputerowe

[P1] Consteel Software, ConSteel and csJoint, (R1)

[P2] Dlubal, Structural Engineering Software for Analysis and Design, (R1)

[P3] SAP 2000, Integrated Software for Structural Analysis and Design (R1)

[P4] Nemetschek Company, SCIA Engineer (R1)

[P5] Sofistik, (R1)

[P6] KSTAB  FE-STAB: [ http://www.ruhruni-bochum.de/stahlbau/software/software.html.de ]

[P7]  S3D, Program badawczy (R1)

[P8] Simulia, Abaqus, (R1)

[P9] Wolfram MathWorld, Mathematica, ExtremeValueDistributionSzyb

[P10] CTCIM, LTBeamN w. 1.0.3  [ https://www.cticm.com/logiciel/ltbeamn/ ], (R1)

[P11] Matlab

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »