W większości praktycznych przypadków deplanacja przekrojów pręta skręcanego nie może rozwijać się swobodnie. Taki stan określamy skręcaniem nieswobodnym lub skrępowanym.
Przykładem skręcanie skrępowanego jest zwykłe utwierdzenie końca pręta lub specyficzny, symetryczny sposób przyłożenia momentów skręcających, wymuszający płaskość przekroju leżącego w płaszczyżnie symetrii.
W technicznej teorii nieswobodnego skręcania przyjmuje się, że słuszne są zależności wyprowadzone dla czystego skręcania. Jednostkowy kąt skręcenia defniuje się jako [1]:
| $\Theta= \frac {M_v}{GI_v} $ | (1) |
gdzie $M_v$ kest momentem skręcającym przekrój, $G$ – modułem odkształcalności poprzecznej (Kirchoffa), a $I_v$ – momentem bezwładności przekroju przeciw skręcaniu. Przemieszczenie podłużne przekroju pręta jest proprcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju ze współczynnikiem proporcjonalności $\Theta$:
| $u(x.y.x)=-\Theta (x) \cdot \omega $ | (2) |
gdzie współrzędna wycinkowa jest specyficzną współrzędną, określającą położenie punktu $M$ w przekroju i jest podwojonym polem zakreślonym przez promień wodzący od pewnego punktu początkowego punktu $A$ przekroju (rys.1).
Rys.1 Współrzędna wycinkowa przekroju cienkościennego [1]
Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe
| $\sigma_\omega=E \frac {du} {dx}=-E \frac {d^2\varphi} {dx^2} $ | (3) |
gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga), a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju. Zachodzi
$\Theta=\frac{d\varphi}{dx}$.
Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci [2]:
| $\sigma_{\omega}=\frac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega $ | (4) |
gdzie $I_\omega$ jest wycinkowym bezwładności przekroju. Bimoment $B_\omega$ jest wyznaczany analogicznie do momentu zginającego w pręcie. Oprócz bimomentu definiuje się siłę przekrojową – moment giętno-skrętny $M_\omega$, który jest pochodną bimomentu po długości pręta [3]:
| $M_\omega=\frac {dB_\omega}{dx} $ | (5) |
Z tradycyjnej algebry wektorów, wynika że bimoment z definicji jest liczbą (Piechnik, 2007), której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt. Bimoment podobnie jak siła poprzeczna jest pojęciem fikcyjnym. ( np. [4], [5],[6]). Podejście bardziej ogólne, polega na zastosowaniu algebry geometrycznej Clifforda (np. [4], [5],[6]). W ramach tej teorii bimoment jest składową „biwektor” pseudowektora siły przekrojowej , to znaczy trójki obiektów [skalar, wektor, biwektor] i posiada wszystkie cechy tradycyjnego wektora (wartość, kierunek i zwrot) a ponadto umożliwia w elegancki sposób rozpatrywać zagadnienie dużych obrotów.
Całkowity moment skręcający przekrój $M_x$ jest sumą momentu giętno-skrętnego $M_\omega$ oraz momentu czystego skręcania $M_v$ (momentu Saint-Venanta).
| $M_x= M_\upsilon +M_\omega $ | (6) |
Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:
| $\tau_\omega= \frac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} $ | (7) |
gdzie: $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju.
Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru [7]:
| $\tau_\upsilon= \frac {M_\upsilon }{W_\upsilon} $ | (8) |
gdzie:
| $W_\upsilon= \frac {I_\upsilon }{max \{t_i \}}$ | (9) |
jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie., równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.
Dla przekroju cienkościennego złożonego z $n$ ścianek, których długość $l_i$ jest znacznie większa od grubości $t_i$ wynosi
| $I_\upsilon= \frac{1}{3} \cdot \sum \limits_{i=1} \limits^{n} t_i^3 \cdot l_i $ | (10) |
gdzie $I_v$ jest momentem czystego skręcania przekroju cienkościennego otwartego, złożonego z $n$ cienkich ścianek o grubości $t_i$ i długości $l_i$ każda. Uzasadnienie powyższej formuły i granice jej stosowania przedstawiono pod hasłem: skręcanie swobodne pręta o przekroju cienkościennym.
W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi
| $W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \}$ | (11) |
gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.
Z przedstawionych formuł wynikają dwa ważne wnioski:
1. sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.
2. w zagadnieniu skręcania nieswobodnego prętów występują nowe, nieznane w klasycznej teorii zginania prętów, charakterystyki geometryczne przekroju $I_\omega$, $S_\omega$, oraz siły przekrojowe $B_\omega$, $M_\omega$
Literatura
- Piechnik S. (1980), Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. PWN
- Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyż-szych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej
- Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations
- Jancewicz, B., & Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634.
- Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
- Gull, S., Lasenby, A., & Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Ge-ometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201
- Brzoska, Z. (1965). Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych (Wyd. II). PWN
________________________________
