Jednym z głównych problemów w konstrukcjach żelbetowych jest ścinanie ich przekrojów. Ponieważ elementy żelbetowe są krępe, a często są tarczami , a nie prętami, to problemem dla inżynierów jest poprawne  zbrojenie takich elementów jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek, belki – ściany itd. Faktycznie zaś  elementy, których smukłość, liczona jako stosunek długości L do wysokości H jest mniejsza od L/H< 3 należy rozwiązać jako tarczę i normalnie zbroić. Klasyczny mechanizm kratownicowy Mōrscha [1] ( wg normy [2] mechanizm S-T) jest pomocniczy i tylko przybliżony, co wobec powszechnie stosowanej metody elementów skończonych ma już ograniczone znaczenie (tylko porównawcze).

Mechanizm zniszczenia przez ścinanie

Mechanizm zniszczenia belek

Na rys.1. pokazano mechanizm ścinania , obserwowany w belkach żelbetowych. Belka niszczy się na skutek powstania ukośnych rys., które są scalane przeciętym zbrojeniem podłużnym (siły $X_i$ oraz skierowane poprzecznie siły $Y_i$, nazywane siłami klockującymi , które mogą być przejęte przez zbrojenie pionowe w formie strzemion. Problemem podstawowym w mechanizmie zniszczenia jest wyznaczenie kąta pochylenia rys. W tradycyjnej analogii kratownicowej Mōrscha kąt pochylenia rys (i krzyżulców) przyjmowało się $\Theta=45^0$.  W procedurze wymiarowania Eurokodu 2 [2]- wzór (6.7N) zaleca się, by ten kąt przyjmować w granicach:

$$\begin{equation} 1,0<ctg \Theta \le 2,5 \label{Theta} \end{equation}$$

czyli  $ 45^0 < \Theta \le 68,2^0$

Rys.1. Mechanizm ścinania belki żelbetowej

Rysy powstają poprzecznie do trajektorii naprężeń głównych rozciągających, które dla belki wolnopodpartej, obciążonej równomiernie, pokazano na rys.2 [3],- rys. 7 .7.

Rys.2 Przykład trajektorii naprężeń głównych w belce (zmodyfikowany rys. [4])

Idea hybrydowego projektowania żelbetu

Mechanizm zniszczenia poprzez ścinanie jeszcze bardziej niejednoznaczny przy analizie takich elementów jak: krótkie wsporniki, podcięcia belek i płyt, połączenia i przeguby i ogólnie obszary nieciągłości rozumiane jako połączenie obszarów tarczowych z belkowymi lub płytowymi. Generalnie do tej pory nie sformułowano jednego wiarygodnego podejścia do analizy tych zagadnień projektowych. Metoda kratownicowa ST umożliwia proste rozwiązania, ale  też nie jest uniwersalna i prowadzi do zbyt zgrubnych oszacowań, podczas gdy wymagamy projektowania bezpiecznego, ale również oszczędnego.

We współczesnej dobie informatyzacji można połączyć oba warunki dobrego projektu poprzez stosowanie projektowania hybrydowego:

• Etap I: wybrane miejsca konstrukcji analizujemy za pomocą oprogramowania inżynierskiego, najczęściej  z użyciem elementów tarczowych
• Etap II: dla rozpoznanego mechanizmu zniszczenia i przebiegu naprężeń głównych konstruujemy zbrojenie (rozkład, kierunek prętów i ich liczbę) i sprawdzamy je rozciąganie.

Podobny sposób projektowania jest wdrożony w inżynierskim programie IDEA StatiCA [5] i został już uznany jako poprawny.

Regiony konstrukcji typu B i D

Region konstrukcji typu B (od ang. Beam) jest to taki obszar, we którym zachowana jest zasada płaskich przekrojów (Bernoulliego-Naviera) w takich obszarach można stosować teorię belkową

Region typu D (od ang. Discontuity), czyli obszar nieciągłości (lub zaburzeń) jest regionem, w którym nie stosuje się zasadę Bernoulliego i nie można używać wzorów prętowych (belkowych).

Występowanie regionów B i D w typowej konstrukcji ramowej pokazano na rys. 3a. Obszary D są to: naroża ram, obszary wokół znacznych sił skupionych, krótkie wsporniki słupów, wsporniki belek, obciążenie siłami skupionymi blisko podpór, nagłą zmiana przekroju, otwory itp. Obszary D wystąpią również w belkach (ścianach) – rys.3b.

Rys.3. Obszary belkowe B oraz nieciągłości D: a) w ramie płaskiej, b) w belce ścianie (cały obszar)

[5]

Krótki wspornik słupa

Za krótki wspornik słupa żelbetowego uważa się wspornik, którego wysięg (liczony od lica słupa do osi obciążenia pionowego $a_c$ jest co najwyżej rzędu wysokości wspornika $h_c$ w licu słupa , co w modelu ST według normy  [2] przekłada się na warunek $a_c z_0$, gdzie |$z_0 < h_c$ może być wyznaczone dopiero po zbudowaniu kratownicowego modelu ST (rys. 4).

Rys.4 Model ST krótki wspornik żelbetowy [6] -Fig 3 (z drobną modyfikacją)

Budowa modelu ST jest  wymaga przeprowadzenia dodatkowych analiz, a dokładność jego jest ograniczona, wobec czego autor artykułu sugeruje by w każdym przypadku , gdy

$$\begin{equation} h_c> 1,5  \cdot a_c \end{equation}$$

od razu przystąpić do budowy rozwiązania zadania pomocniczego tarczy i na podstawie uzyskanych kierunków głównych oraz naprężeń głównych zbroić wspornik standardowymi metodami.

Ponieważ uzyskane wyniki zależą od wielu czynników ( stosunku i wielkości obciążeń, stosunków wymiarowych słupa i wspornika, warunków brzegowych- w tym sprężystego zamocowania wspornika w słupie oraz sztywności słupa w części nad i pod-wspornikowej) , więc formułowanie ogólnych zaleceń nie jest możliwe ani wskazane. Poniżej podano przykład analizy dla znanego zadania z publikacji [7] -przykład 21.4 oraz [8].

Przykład 1 krótki wspornik żelbetowy

Zaprojektować zbrojenie wspornika, pokazanego na rys. 5.o szerokości b=400 mm

Rys. 5 Krótki wspornik do przykładu 1

Rozwiązanie tarczy-wspornika bez wzmocnienia naroży

W celu ustalenia pola naprężeń we wsporniku pokazanym na rys. 1, rozwiązano zadanie pomocnicze i wyniki przedstawiono na rys. 6 (naprężenia $\sigma_x, sigma_y, \tau_{xy}$). oraz 7 (kierunki naprężeń głównych$\sigma_1, \sigma_2$.

Rys.6 . Napręźenia proste wew sporniku żelbetowym

Rys.7 Kierunki główne i naprężenia główne we wsporniku żelbetowym

Obserwuje się dużą koncentrację naprężeń  głównych w narożach wklęsłych wspornika:

w narożu górnym $\sigma_1=12,65 \, MPa$ ( max – rozciągające)

w narożu dolnym $\sigma_2= -10,22 \, MPa$ (min -ściskające)

W związku z tym wzmocniono naroża niewielkimi skosami  $4 cm – 45^0$

Rozwiązanie tarczy-wspornika z niewielkimi  wzmocnieniami naroży

Na rys. 8  przedstawiono pole naprężeń głównych we wsporniku po wzmocnieniu naroży

Rys.. 8 Pole naprężeń głownych po zasklepieniu naroży

Wskutek wzmocnienia naroży istotnie spadły naprężenia główne wewnątrz wspornika i zostały skoncentrowane w elementach wzmocnień. Pole głównych naprężeń rozciągających przyjmuje małe wartości $\sigma_1< 4 \, MPa$ praktycznie w całym obszarze wspornika z wyłączeniem naroża i obszaru przy górnej powierzchni. Jest to naprężenie nico tylko większe od wytrzymałości betonu na rozciąganie, ale  jednak powoduje, że beton należy zbroić strzemionami pionowymi i poziomymi.

Obserwuje się również ścieżkę wędrówki naprężeń ściskających od powierzchni przyłożenia (podkładka) do słupa o szerokości poprzez pas (słup wspornika) o szerokości szacunkowo takiej, jak szerokość podkładki ( c=140 mm) i nachylonego p[od kątem ok. $\theta \approx 45^0$.  Naprężenia w przekrojach pośrednich słupa nie przekraczają naprężeń pod podkładka $\sigma_1=6,7 \, MPa$, przy czym są one w przybliżeniu naprężeniami docisku podkładki do betonu

$\sigma_y= V_{Ed}/ A_{podkładka}=400/ (14\cdot 34) \cdot 10^1= 8,4 \, MPa$

Z kierunku naprężeń głównych wynika , że rozwarstwiają one naroże prostopadle do przekątnej. Wobec tego można zastosować standardowe zbrojenie naroża.

Idea zbrojenia wspornika żelbetowego

Rys. 9 Idea zbrojenia wspornika metodą hybrydową

Konstruowanie zbrojenia

Układ i detale zbrojenia w tym jego zakotwienie  przyjmuje się w sposób standardowy. Na rys. 9 pokazano wyłącznie ideę układu zbrojeniowego, a nie kompletny przykład.

Przykład wymiarowanie zbrojenia krótkiego wspornika

Pręt [1] (pętla)

Pręty [1]  należy konstruować jako poziome pętle pionowo zakotwione w słupie, a pod płytką najczęściej mechanicznie (spawaniem do płytki lub kątownika narożnego, w sposób pokazany na rys. 9.

Wymiarowanie zbrojenia przeprowadzamy przy założeniu, że  pręty rozciągane  [1]  są nieskrępowane wskutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego przekrój prętów [1]   można obliczyć wprost z naprężeń głównych $\sigma_1$:

$A_{s,[1]}= \dfrac{\sigma_1 \cdot b\cdot c_t}{ f_{yd}}$,

gdzie $c_t$ – wysokość strefy rozciąganej wokół pręta [1] – w przypadku rys. 8  $c_t= 2 \cdot40=80  \, mm $ (gdzie 40 mm -rozmiar elementu skończonego), $b=400 \, mm$ – szerokość wspornika.

Dla  $ \sigma_1=7,2 \, MPa$ (rys. 8)  i stali B500  $f_{yd}=500/1,15=435 \, MPa$ mamy

$A_{s,1 } = 7,2 /435 \cdot 40 \cdot 8= 5,30 cm^2$. Przyjęto $ 3 \# 16 (A=6,0 \, cm^2 )$ (rozstaw poziomy 400/2=200 mm)

W przypadku prowadzenia analizy poza modelem tarczowym najczęściej przyjmuje się $c_t \approx 0,3 \cdot h_c$ , gdzie h_c – wysokość wspornika.

Pręty [2] (ukośne) 

Stosować jak standardowe zbrojenie  na spiętrzenie naprężeń naroża

Pręt [3] (zbrojenie dołem) 

W przypadku pręta [3] otoczonego betonem ściskanym redukujemy naprężenia w pręcie ściskanym  o naprężenia w betonie wynikające z odkształceń stali, co można zapisać w postaci:

$\sigma_{s,c}= \sigma_s \cdot (1- E_c/E_s)$

Stosunek modułów sprężystości stali i betonu zależy od rodzaju betonu, a dla betonu C30/37, wynosi $33/200=0,165$, czyli $\sigma_s= \sigma_2 \cdot (1-0,165)=0,935\cdot  \sigma_2$

Stąd $ A_{s,2}= \dfrac { 0,935 \cdot \sigma_2 \cdot b\cdot c_c}{ f_{yd}}$,

gdzie  $c_c$ – wysokość strefy ściskanej wokół pręta [2] – $c_c\approx 8 cm$, $b=400 \, mm$ – szerokość wspornika

Dla  $ \sigma_2=7,1  \, MPa$ (rys. 8)   mamy:

$A_{s,2}= \dfrac { 0,935 \cdot 7,1 \cdot 40  \cdot 8} { 435} = 4,9 \, cm^2$. Przyjęto $ 3 \# 16 (A=6,0 \, cm^2 )$.

Siły w strzemionach [4] i [5]

Zaleca się, [7], by rozstaw strzemion numer [4] nie przekraczał $0,35 h_c$  i $150 \, mm$.

Siła rozciągająca beton pochodząca od naprężeń $\sigma_1$, wynosi  $N_1 \approx \sigma_1\cdot  b = 4 \cdot 0,4 \cdot 10^3= 1600 kN/m $.  Siła $N_1$ powoduje  w przekroju pionowym wspornika – rozciąganie strzemion pionowych  siła $N_v$ i ściskanie strzemion poziomych siłą $N_h$ o wartości

$N_v=-N_h=N_1 \cdot cos\Theta=1600 \cdot cos 45^0=1131 \, kN/m$

Pręty [4] (strzemiona pionowe) 

Potrzebne pole przekroju strzemion pionowych $A_{v,link}=N_v /f_{yd}=1131/ 435 \cdot 10^1=2,6\, cm^/ m$, Przyjęto strzemiona #8, co 150 mm, ($A_{v, link}=0,50/0,15=\, 3,3 cm^2 /m$, czyli na długości wspornika $l_c=370 \, mm$ – $370/150 +1=3$ strzemiona

Strzemiona pionowe stosujemy wówczas gdy  $a_c >  0,5 \cdot h_c$.

Pręty [5] (strzemiona poziome) 

Strzemion poziomych możemy przyjąć mniej, ponieważ są ściskane i współpracują  z betonem ściskanym (p. wyżej) i wówczas $A_{h,link} =0,935 \cdot A_{v,link} =0,935 \cdot 2,6= 2,4 \, cm^2/m$ . Przyjęto 2 strzemiona #8 , czyli w rozstawie $400-2\cdot 30=340/(2+1)=113 \, mm$  ( $A_{h,link} =2 \cdot 0,50/0,34=2,6  \, cm^2/m$

Strzemiona poziome  stosujemy wówczas gdy  $a_c  \le 0,5 \cdot h_c$.

Naprężenia dociskowe do betonu w węźle (pod płytką)

Z rys. 8 odczytujemy, że naprężenia dociskowe $\sigma_y$ pod płytką wynoszą $\sigma_y= 6,7 \, MPa$

Zgodnie z [2] – kl. 6.5.4. (4) wytrzymałość betonu w wężle wynosi:

$$\begin{equation} \sigma_{Rd,max} =0,85\cdot \nu ^{,}  f_{cd} \label{smax_c} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation} \nu^{,} =1-f{ck}/250   \label{ni_prim} \end{equation}$$

Stąd dla C30/37 mamy:

$f_{cd}=30/1,4= 21,4  MPa$,

$\nu ^{,}=1-30/250= 0,88$,
$\sigma_{Rd,max} =0,85 \cdot 0,88 \cdot 21,4=16,0 \, MPa> \sigma_y=6,7 \, MPa$.

Naprężenia w betonie słupa wspornika

$\sigma_2= 6,7 \le f_{cd}=30/1,4=21,4  \, MPa$

Porównanie z wynikami z pracy [7]

W takim samym przykładzie, w pracy [7]- przykład 21.4 przyjęto:

$A_{s,1}=9,87 \, cm^2$ ( w niniejszym artykule $ 5,3 \, cm^2$),

$A_{v,link}=4,598 \, cm^2$   ( w niniejszym artykule $2,6 \, cm^2$).

W pracy [7] – przykład 21.4 nie przyjęto natomiast zbrojenia $A_{s,2}$, ani tez nie zalecono osłabienia karbu w narożach wklęsłych wspornika.

Wspornik (podcięcie belki)

Podcięcia belek mogą mieć bardzo różny kształt [9], że  przybliżoną metodę ST można stosować dla  podcięć spełniających warunki (oznaczenia wg rys. 10) :  $l_k \le h_k$ oraz $0,3h \le h_k \le 0,7 h$. Ryorystyczne stosowanie takiej geometrii podcięć, ograniczałoby  bezzasadnie możliwości kształtowania stref  podporowych belek , często wymuszonych konkretną sytuacją projektową. Z tego powodu zarówno norma [2] jak i inne wytyczne nie zawierają szczegółowych wytycznych do projektowania całej klasy podcięć.

W metodzie ST  rozważa się  dwa mechanizmy zniszczenia (na rys.10 linie zniszczenia zaznaczono linią falistą) i stowarzyszone z nimi kratownice zgodnie [2]- kl. 10.9.4.6.

Rys.10 Wspornik (podcięcie) belki. Oznaczenia

[7]- rys.21.5

Ograniczone zastosowanie mają liczne badania eksperymentalne i numeryczne , bo dotyczą wybranych typów węzłów i nie da się ich rozszerzyć na dowolne geometrie podcięć.

W celu zaprojektowania zbrojenia dowolnego kształtu podcięcia szerokie zastosowanie powinna znaleźć prezentowana metoda hybrydowa. W przykładzie 2 pokazano zastosowanie tej metody do podcięcia analizowanego w pracy ((ECP ASBL. (2008). Eurocode 2. Worked Examples (rev A 31-03-2017), European Concrete Platform. http://www.europeanconcrete.eu/publications/eurocodes)-Example 6.11.

Przykład 2  Wspornik (podcięcie) belki

Zaprojektować zbrojenia wspornika (podcięcia ) belki  (rys.10) dla danych:  $h=1400 \, mm$ , $ b=800 \, mm$ $h_k=675  \, mm$, $l_k=500 \, mm$, $a_V=120 \, mm$,. długość belki  $l_{eff}=8000 \, mm$,, szerokość podkładki centrującej 200 mm, beton C25/30, stal B450C.

Obciążenia:  $Q_d= 250 \, kN/m$ , $V_{Ed}=250\cdot 8 /2=1000 \, kN$. Model belki (do osi symetrii) z podziałem na elementy skończone pokazano na rys.11, a na rys. 12 mapy naprężeń głównych: $\sigma_1$ z zaznaczonym prętem rozciąganym oraz $\sigma_2$ ze słupem ściskanym

Rys.11 Model belki-tarczy z podcięciem

Rys. 12 Mapy naprężeń głównych

Układ zbrojenia wynikąjący z analiz hybrydowych pokazano na  rys.13

Rys.13 Idea zbrojenia podcięcia z przykładu 2

Konstruowanie zbrojenia

Pręty zbrojenia [3] są standardowym zbrojeniem belki na zginanie. Podstawowym zbrojeniem odcięcia jest pręt [1], który może być ułożony pod różnym kątem w zależności od geometrii podcięcia i innych warunków brzegowych. W rozważanym przykładzie jest to kąt ok $\Theta \approx 45^0$. Pręt [2] (poziomy i pionowy domykają zbrojenie (są zbrojeniem wiążącym – podwieszającym)  i mogłyby by stanowić zbrojenie podstawowe, równoważne do pręta [1] (ale mniej ekonomicznym). Strzemiona 4 stosuje się w celu powiązania zbrojenia górengo i diolnego. Ważne jest prawidłowe zakotwienie pręta [1] . W pokazanym układzie zastosowano kotwiącą płytkę oporową.

Na rys. 13 pokazano wyłącznie ideę układu zbrojeniowego, a nie kompletny przykład.

Wymiarowanie zbrojenia

Wymiarowanie zbrojenia przeprowadzamy przy założeniu, że  pręty rozciągane  [1]  są nieskrępowane wskutek zarysowań betonu rozciąganego.  Wobec tego przekrój prętów [1]   można obliczyć wprost z naprężeń głównych $\sigma_1$:

$A_{s,[1]}= \dfrac{\sigma_1 \cdot b\cdot c_t}{ f_{yd}}$,

gdzie $c_t$ – wysokość strefy rozciąganej wokół pręta [1] – w przypadku rys. 8  $c_t= 150  \, mm $ $b=800 \, mm$ – szerokość belki

Dla  średniego $\sigma_1=8 \, MPa$ (rys. 8)  i stali B450 ($f_{yd}=450/1,15=391 \, MPa$ mamy

$A_{s,1 } = 8 /435 \cdot 80 \cdot 15= 22,1 cm^2$. Przyjęto $ 8 \# 20 (A=25,1 \, cm^2 )$

Naprężenia dociskowe do betonu w węźle (pod płytką)

Z rys. 13 odczytujemy, że naprężenia dociskowe $\sigma_y$ pod płytką wynoszą $\sigma_y= 6,2 \, MPa$

Wytrzymałość betonu w wężle dla C25/30 ($f_{cd}=25/1,4= 17,9  MPa$),

$\nu ^{,}=1-25/250= 0,90$,
$\sigma_{Rd,max} =0,85\cdot 0,90 \cdot 17,9=16,1 \, MPa> \sigma_y=6,2 \, MPa$.

Naprężenia w betonie słupa wspornika

$\sigma_2= 6,2 \le f_{cd}=17,9  \, MPa$

Strzemiona

Stosujemy konstrukcyjnie #8 w maksymalnym rozstawie co 150 mm.

1. Morsch E. (1929). Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung. Verlag K. Wittwer
2. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
3. Knauff M. i in., (2006), Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne
4. Pyrak S. (2012), Konstrukcje z betonu (VII, Tom 5). WSiP
5. Navratil, J., Ševcik, P., & Michalcík, L. (2017). A solution for walls and details of con-crete structures. 24. Czech Concrete Days (2017). https://resources.ideastatica.com/Content/03_Concrete/Verifications/Articles/A_solution_for_walls_and_details_of_concrete_structures_US.pdf
6. Krówczyński M. M. (2014). Innovative analysis methods of reinforced concrete struc-tures: the strut and tie method. Czasopismo Techniczne. Budownictwo, 5-B/2014, 143–148
7. Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
8. Urban T. (2005). Przykłady projektowania żelbetowych wsporników. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
9. Knauff M. i in., (2006), Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne)-kl. 3.7.2, choć generalnie przyjmuje się ((Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN