Belka w inżynierii. Część IV. Belka skręcana

Przedstawiono klasyczną teorię belki Własowa w postaci stanowiącej punkt wyjścia do dalszego sformułowania nieliniowego elementu belkowego oraz jego uogólnienia na teorię belki Timoshenko Szczególny nacisk położono na fizyczną interpretację zjawisk związanych ze skręcaniem cienkościennych prętów, ponieważ właśnie one stanowią zasadniczą różnicę pomiędzy klasyczną teorią belki Eulera–Bernoulliego a teorią Własowa.
Klasyczna teoria Własowa stanowi podstawę współczesnej analizy cienkościennych konstrukcji stalowych, mostów skrzynkowych, elementów żelbetowych, konstrukcji zespolonych, masztów, wież oraz budynków wysokich. Wykorzystywana jest wszędzie tam, gdzie oprócz zginania i ściskania istotną rolę odgrywa skręcanie przekroju. Jej największą zaletą jest możliwość uwzględnienia skręcania skrępowanego, wyboczenia giętno-skrętnego oraz zwichrzenia, których opis nie jest możliwy w klasycznej teorii skręcania Saint-Venanta. W praktyce niemal każdy pręt konstrukcyjny pracuje w warunkach częściowo skrępowanej deplanacji przekroju, natomiast idealne skręcanie swobodne występuje jedynie w nielicznych przypadkach, na przykład dla wałów o przekroju kołowym podpartych w łożyskach i obciążonych wyłącznie momentem skręcającym.

Element belkowy Własowa jest elementem skończonym przeznaczonym do analizy cienkościennych prętów poddanych jednoczesnemu zginaniu, ściskaniu oraz skręcaniu. W odróżnieniu od klasycznych elementów belkowych posiada dodatkowy stopień swobody opisujący deplanację (spaczenie) przekroju. Dzięki temu możliwe jest modelowanie skręcania skrępowanego oraz sprzężonych zjawisk zginania i skręcania cienkościennych prętów. Podczas skręcania swobodnego w przekroju występują wyłącznie naprężenia styczne. Jeżeli jednak deplanacja przekroju zostanie częściowo lub całkowicie skrępowana, pojawiają się dodatkowe naprężenia normalne wywołane bimomentem $B_\omega$ oraz dodatkowe naprężenia styczne związane ze skręcaniem skrępowanym. Wielkości te stanowią charakterystyczną cechę teorii Własowa i nie występują w klasycznej teorii Saint-Venanta. Rozkład naprężeń zależy ponadto od rodzaju przekroju (otwartego lub zamkniętego), jego geometrii oraz grubości ścianek.

Rozwój teorii cienkościennych prętów był procesem wieloetapowym. Punktem wyjścia stała się klasyczna teoria skręcania Saint-Venanta, rozwinięta następnie przez Prandtla, Marguerre oraz Własowa. Za początek współczesnej teorii skręcania cienkościennych prętów uznaje się pracę Marguerre (1940) [1], natomiast jej pełne sformułowanie zostało przedstawione przez Własowa (1959) [2], który wprowadził pojęcia deplanacji przekroju, bimomentu oraz skręcania skrępowanego, tworząc podstawy współczesnej teorii cienkościennych prętów.

Współczesne analizy wytrzymałościowe i statecznościowe konstrukcji prętowych prowadzone są niemal wyłącznie z wykorzystaniem elementów belkowych opartych na teorii Własowa lub jej uogólnieniach, takich jak Generalized Beam Theory (GBT) [3]. Teoria GBT umożliwia jednoczesny opis globalnych, lokalnych oraz dystorsyjnych postaci odkształcenia cienkościennych prętów przy zachowaniu jednowymiarowego modelu obliczeniowego. Rozwój teorii znalazł również odzwierciedlenie we współczesnych programach komputerowych, takich jak ConSteel [4], [5] oraz LTBeam [6], umożliwiających analizę skręcania skrępowanego, zwichrzenia oraz wyboczenia giętno-skrętnego cienkościennych elementów konstrukcyjnych.

Rozdział rozpoczyna omówienie klasycznej teorii skręcania Saint-Venanta, stanowiącej fundament współczesnej teorii cienkościennych prętów. Następnie przedstawiono podstawowe założenia teorii Własowa, równania opisujące skręcanie skrępowane oraz klasyczny element belkowy. Opracowane zależności stanowią podstawę dalszego sformułowania nieliniowego elementu belki Własowa z uwzględnieniem efektów drugiego rzędu, podatności połączeń oraz teorii belki Timoshenki, przedstawionego w kolejnych częściach niniejszego cyklu.

Tablice projektowe

Charakterystyki przekrojów skręcanych

Tab. IV.1 Charakterystyki skrętne wybranych przekrojów zwartych stosowanych w budownictwie

W przypadku swobodnego skręcania jednostkowy kąt skręcenia $\Theta$ wyznacza się z zależności ($\ref{7}$).

Tab.IV. 2 Współczynniki $\alpha$ wskaźnika wytrzymałości ($\ref{15}$) i $\beta$ momentu bezwładności ($\ref{13}$)na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta (opracowano na podstawie [7] )

Tab. IV3 Współczynniki korekcyjne sztywności $k$ na skręcanie kształtowników stalowych

Współczynniki momentu bezwładności na skręcanie profili stalowych

2) Wyniki badań Foplle przedstawiono w poradniku Birger i in (1998) [7], 3) Niezgodziński (2004) [8]

Charakterystyki przekrojów cienkościennych

Tab.IV.4. Charakterystyki geometryczne przekrojów cienkościennych. Formuły obliczeniowe wspólne dla przekrojów otwartych i zamkniętych

\[ \begin{array}{|c|l|c|c|}
\hline \textbf{Lp.} & \textbf{Charakterystyka} & \textbf{Symbol} & \textbf{Formuła obliczeniowa} \\
\hline 1 & \text{Pole powierzchni} & A & A=\iint_A dA=\int_k t(s)\,ds=\sum_i l_i\,t_i \\
\hline 2 & \text{Moment statyczny względem osi }y & S_Y & S_Y=\iint_A Z\,dA=\int_k Z(s)t(s)\,ds=\sum_i Z_{c,i}\,l_i\,t_i \\
\hline 3 & \text{Moment statyczny względem osi }z & S_Z & S_Z=\iint_A Y\,dA=\int_k Y(s)t(s)\,ds=\sum_i Y_{c,i}\,l_i\,t_i \\
\hline 4 &\text{Współrzędna środka ciężkości} & (Y_C,Z_C) & Y_C=\cfrac{S_Z}{A}, \qquad Z_C=\cfrac{S_Y}{A} \\
\hline 5 & \text{Moment bezwładności względem osi }y_c & I_{yC} & I_{yC} =\iint_A z_c^{\,2}dA =\int_k z_c^{\,2}(s)t(s)\,ds =\sum_i I_{y1,i}^{*} +\sum_i z_{c,i}^{\,2}l_it_i \\
\hline 6 & \text{Moment bezwładności względem osi }z_c & I_{zC} & I_{zC} =\iint_A y_c^{\,2}dA =\int_k y_c^{\,2}(s)t(s)\,ds =\sum_i I_{z1,i}^{*} +\sum_i y_{c,i}^{\,2}l_it_i \\
\hline 7 & \text{Moment odśrodkowy względem osi }y_cz_c & I_{yzC} & I_{yzC} =\iint_A y_cz_c\,dA =\int_k y_c(s)z_c(s)t(s)\,ds =\sum_i y_{c,i}z_{c,i}l_it_i \\
\hline 8 & \text{Kąt nachylenia osi głównych} & \alpha & \alpha=\cfrac{\operatorname{arctg}(T)}{2}, \qquad T=\operatorname{tg}(2\alpha) =\cfrac{I_{yzC}}{I_{yC}-I_{zC}} \\
\hline 9 & \text{Główny moment bezwładności} & I_y & I_y=I_{\max} =I_m+I_\Delta, \qquad I_m=\cfrac{I_{yC}+I_{zC}}{2} \\
\hline 10 & \text{Główny moment bezwładności} & I_z & I_z=I_{\min} =I_m-I_\Delta, \qquad I_\Delta= \sqrt{ \left( \cfrac{I_{yC}-I_{zC}}{2} \right)^2 +I_{yzC}^{\,2}} \\
\hline \end{array} \]

Tab.IV.5. Charakterystyki geometryczne przekrojów cienkościennych. Formuły obliczeniowe dla przekrojów otwartych

Skręcanie prętów. Formuły. Charakterystyki przekrojów cienkościennych otwartych

Współczynnik . „k” w formule na Iv (wrs 1) uwzględnia wpływ wyokrąglę naroży kształtowników walcowanych wg tab. 0

Tab.IV.3 Charakterystyki geometryczne przekrojów cienkościennych. Formuły obliczeniowe dla przekrojów zamkniętych

\[ \begin{array}{|c|l|c|l|}
\hline \textbf{Lp.} & \textbf{Charakterystyka} & \textbf{Symbol} & \textbf{Formuła obliczeniowa} \\
\hline 1 & \text{Pole komórki} & A_0 & A_0=\iint_{A_0} dA \\ \hline 2 & \text{Obwód linii środkowej} & L_k &L_k=\oint_k ds \\
\hline 3 & \text{Całka podatności skrętnej} & \Theta_t & \Theta_t=\oint_k\cfrac{ds}{t(s)} \\
\hline 4 & \text{Stała skręcania Bredta} & I_t & I_t= \cfrac{4A_0^{\,2}} {\displaystyle\oint_k\cfrac{ds}{t(s)}} \\
\hline 5 & \text{Stała skręcania (postać dyskretna)} & I_t & I_t=\cfrac{4A_0^{\,2}} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{l_i}{t_i}}\\
\hline 6 & \text{Strumień ścinania} & q & q=\cfrac{M_t}{2A_0} \\
\hline 7 & \text{Naprężenie styczne} & \tau & \tau(s)=\cfrac{q}{t(s)} \\
\hline 8 & \text{Jednostkowy kąt skręcenia} & \vartheta’ & \vartheta’=\cfrac{M_t}{GI_t} \\
\hline 9 & \text{Sztywność skrętna} & GI_t & GI_t \\
\hline 10 & \text{Energia odkształcenia skrętnego} & U_t & U_t=\cfrac12\int_0^L\cfrac{M_t^{\,2}}{GI_t}\,dx \\
\hline \end{array}\]

Tab.IV.6 Charakterystyki geometryczne wybranych, zamkniętych przekrojów cienkościennych [9]

$A= \cfrac{b\cdot t_2\cdot (t_1\cdot cos 2\alpha+ t_2 \cdot cos \alpha) \cdot tg \alpha}{4 \cdot (t_1 \cdot cos \alpha + t_2)\cdot (t_1+ t_2 \cdot cos \alpha} \quad ; \quad B= \cfrac{b^3}{8} \cdot \cfrac{t_1 \cdot t_2 \cdot sin \alpha }{t_1 + t_2 \cdot cos \alpha}, \\
C= \cfrac{2 \cdot b^2 \cdot h^2 \cdot t_1 \cdot t_2}{b \cdot t_2 + h \cdot t_1} \quad ; \quad D= \cfrac{ b^2 \cdot h^2}{IV.143}\cdot \cfrac{(b\cdot t_2 – h \cdot t_1)^2}{(b\cdot t_2 + h \cdot t_1)^2}\cdot (b\cdot t_1 + h \cdot t_2) $

Tab.IV.7 Charakterystyki geometryczne wybranych, otwartych przekrojów cienkościennych – wg [9]

Sposób wyznaczania współrzędnych wycinkowych dla dwuteownika, ceownika i zetownika pokazano w przykładzie 1

Siły przekrojowe w wybranych schematach belek wg klasycznej teorii Własowa

Tab.IV. 8. Bimomenty $B_ω$, momenty giętno-skrętne $M_ω$, momenty swobodnego skręcania $M_s$ oraz kąty skręcenia $\varphi$ dla prętów cienkościennych [9], tab 1-2

Skręcanie prętów

Skręcanie prętów stanowi jedno z podstawowych zagadnień mechaniki konstrukcji. Współczesne analizy wytrzymałościowe i statecznościowe prowadzone są z wykorzystaniem modeli prętowych uwzględniających jednocześnie zginanie, ściskanie oraz skręcanie. W praktyce inżynierskiej dominującym przypadkiem jest skręcanie skrępowane, w którym swoboda deplanacji przekroju jest częściowo lub całkowicie ograniczona. Klasyczna teoria skręcania skrępowanego Własowa stanowi rozwinięcie teorii skręcania swobodnego Saint-Venanta i wykorzystuje jej podstawowe zależności jako szczególny przypadek.

W celu pełnego zrozumienia teorii Własowa należy rozróżnić cztery podstawowe pojęcia: skręcanie czyste, skręcanie proste, skręcanie swobodne oraz skręcanie nieswobodne (skrępowane). Skręcanie czyste opisuje idealny model obciążenia prowadzący wyłącznie do skręcania pręta. Skręcanie proste odnosi się do technicznego sposobu obciążenia pręta parą momentów skręcających. Skręcanie swobodne określa przypadek, w którym przekrój może ulegać swobodnej deplanacji, natomiast skręcanie nieswobodne występuje wówczas, gdy deplanacja przekroju zostaje częściowo lub całkowicie ograniczona. Rozróżnienie tych pojęć ma podstawowe znaczenie dla dalszego wyprowadzenia równań klasycznej teorii Własowa.

Skręcanie czyste

Skręcanie czyste jest idealnym stanem obciążenia pręta pryzmatycznego, w którym pręt poddany jest wyłącznie działaniu momentu skręcającego. Stan ten realizuje się przez odpowiednio dobrany rozkład obciążenia powierzchniowego

\[ q_v=[\,0,\;q_{vy},\;q_{vz}\,], \tag{IV.0} \label{IV.0} \]

przyłożonego do ścianek czołowych pręta (rys. IV.1a). Rozkład ten nie jest dowolny, lecz wynika z warunków równowagi oraz zgodności odkształceń. Statyczną wypadkową obciążenia powierzchniowego $q_v$ stanowi para momentów skręcających $M_s$ działająca na obu końcach pręta.

Statyczna redukcja obciążenia zewnętrznego do dowolnego przekroju poprzecznego prowadzi do całkowitego momentu skręcającego $M_x$. W ogólnym przypadku moment ten jest sumą momentu skręcania swobodnego Saint-Venanta $M_v$ oraz momentu skręcania skrępowanego $M_\omega$

\[ M_x=M_v+M_\omega. \tag{IV.1} \label{IV.1} \]

Przy skręcaniu swobodnym zachodzi $M_\omega=0$, dlatego całkowity moment skręcający jest równy momentowi Saint-Venanta, czyli $M_x=M_v$. Dopiero ograniczenie swobody deplanacji powoduje pojawienie się dodatkowego momentu skręcania skrępowanego $M_\omega$.

Można wykazać [10], że rozkład obciążenia powierzchniowego prowadzący do czystego skręcania musi mieć postać

\[ q_v= \begin{cases} q_{vx}=0,\\ q_{vy}=\pm\Theta G\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}-z\right),\\ q_{vz}=\pm\Theta G\left(\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}+y\right), \end{cases} \tag{IV.2} \label{IV.2} \]

gdzie $\Theta$ jest nieznanym jeszcze parametrem proporcjonalnym do intensywności skręcania, natomiast $\varphi=\varphi(y,z)$ jest funkcją Prandtla (funkcją skręcania), opisującą rozkład odkształceń w przekroju poprzecznym.

Funkcja $\varphi(y,z)$ jest funkcją harmoniczną i spełnia równanie Laplace’a

\[ \nabla^2\varphi=0. \tag{IV.3} \label{IV.3} \]

Jest ona tak dobrana, aby spełniała statyczne warunki równowagi na pobocznicy pręta oraz kinematyczne warunki brzegowe. W dalszych rozważaniach przyjęto ponadto, że $\varphi=0$ w przekroju utwierdzenia $S$ (rys. IV.1a).\

Skręcanie: a) czyste, b) proste, c) swobodne, d) skrępowane

Rys. IV.1 Rodzaje skręcania prętów: a) skręcanie czyste, b) skręcanie proste, c) skręcanie swobodne, d) skręcanie skrępowane (rysunek opracowano na podstawie ilustracji zamieszczonych w pracy [11]

Skręcanie proste

Skręcanie proste (rys. IV.1b) odpowiada technicznemu sposobowi obciążenia pręta parami momentów skręcających $M_s$ przyłożonych do jego powierzchni czołowych. Momenty te mogą być wywołane dowolnym rozkładem obciążenia powierzchniowego $q_v$, niekoniecznie spełniającym warunek (\ref{IV.2}), pod warunkiem że jest on statycznie równoważny momentowi $M_s$.

Warunek równoważności obciążenia powierzchniowego $q_v$ oraz pary momentów $M_s$ prowadzi do zależności

\[ M_s= \iint_A \left( q_{vz}y-q_{vy}z \right)dA = \Theta G \iint_A \left( \frac{\partial\varphi}{\partial z}y- \frac{\partial\varphi}{\partial y}z+ y^2+z^2 \right)dA = \Theta G I_v. \tag{IV.4} \label{IV.4} \]

Wprowadzono tutaj wielkość

\[ I_v \overset{\mathrm{def}}{=} \iint_A \left( \frac{\partial\varphi}{\partial z}y- \frac{\partial\varphi}{\partial y}z+ y^2+z^2 \right)dA, \tag{IV.5} \label{IV.5} \]

nazywaną stałą skręcania Saint-Venanta (momentem bezwładności przekroju na skręcanie). Wielkość $I_v$ jest parametrem geometrycznym przekroju i stanowi podstawową charakterystykę jego sztywności przy skręcaniu swobodnym.

Skręcanie swobodne

Skręcanie swobodne występuje wówczas, gdy przekroje poprzeczne pręta mogą swobodnie odkształcać się w kierunku jego osi. W wyniku skręcania przekrój poprzeczny zachowuje swój kształt w swojej płaszczyźnie, lecz może ulegać deplanacji (paczeniu). Jeżeli deplanacja nie jest ograniczona warunkami brzegowymi, w przekroju występują wyłącznie naprężenia styczne, a moment skręcający jest momentem Saint-Venanta:
\[ M=M_v,\qquad M_\omega=0. \tag{IV.6} \label{IV.6} \]

W dalszym opisie skręcanie swobodne będzie traktowane jako podstawowy przypadek odniesienia dla konstrukcji teorii skręcania cienkościennego.

Zasada sztywnego konturu i deplanacja

W teorii cienkościennych prętów przyjmuje się, że kontur przekroju nie zmienia swojego kształtu w jego płaszczyźnie, natomiast jego punkty mogą przemieszczać się w kierunku osi pręta. Przekrój może zatem utracić płaskość, zachowując jednocześnie niezmienność własnego konturu, co pokazano na rys. IV.2.
Zjawisko to określa się jako deplanację lub paczenie przekroju. Dla skręcania swobodnego paczenie nie jest ograniczone, dlatego nie powstają naprężenia normalne związane z jego skrępowaniem. Ten przypadek stanowi naturalny punkt wyjścia do późniejszego opisu skręcania nieswobodnego i bimomentu.

Odkształcenia pręta swobodnie skręcanego

Rys. IV.2. Deplanacja przekroju pręta podczas skręcania swobodnego.

Półodwrotna metoda Saint-Venanta

Ścisłe rozwiązanie zagadnienia skręcania swobodnego dla pręta pryzmatycznego opiera się na półodwrotnej metodzie Saint-Venanta. Przyjmuje się w niej postać pola przemieszczeń zawierającą początkowo nieznany parametr $\Theta$:
\[ u=\Theta\,\Phi(y,z),\qquad v=-\Theta xz,\qquad w=\Theta xy.\tag{IV.7} \label{IV.7} \]

Funkcja $\Phi(y,z)$ opisuje paczenie przekroju i zależy wyłącznie od jego geometrii. Na tym etapie $\Theta$ traktujemy jedynie jako parametr występujący w przyjętym polu przemieszczeń. Jego interpretacja fizyczna zostanie określona dopiero po rozwiązaniu zagadnienia.

Z rozwiązania wynika zależność
\[ M_v=GI_v\Theta, \tag{IV.8} \label{IV.8} \]

a więc

\[ \Theta=\frac{M_v}{GI_v}. \tag{IV.9} \label{IV.9} \]

Dopiero teraz można nadać parametrowi $\Theta$ jego znaczenie fizyczne:

\[ \Theta=\frac{d\phi}{dx},\tag{IV.10} \label{IV.10} \]

gdzie $\phi(x)$ oznacza kąt obrotu przekroju wokół osi pręta.

Dla czystego skręcania moment Saint-Venanta jest stały i równy momentowi przyłożonemu:

\[ M_v=M_s. \tag{IV.11} \label{IV.11} \]

Zatem

\[ \frac{d\phi}{dx}=\frac{M_s}{GI_v}. \tag{IV.12} \label{IV.12} \]

Rozwiązania referencyjne

Dla dalszej konstrukcji teorii istotne są dwa klasyczne rozwiązania: dla przekroju kołowego oraz prostokątnego (rys.IV.3) . Dla przekroju kołowego funkcja paczenia zanika $ \Phi(y,z)=0$. Stała skręcania jest wtedy równa biegunowemu momentowi bezwładności:

\[ I_v=\iint_A r^2\,dA=\frac{\pi R^4}{2}=I_0. \tag{IV.13} \label {IV.13} \]

RysI IV.3. Rozkład naprężeń stycznych podczas skręcania swobodnego: a) przekrój kołowy, b) przekrój prostokątny.

Dla przekroju prostokątnego $b\times h$ funkcja paczenia jest niezerowa i może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera:

\[ \Phi(y,z) = yz- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{k_n\cosh(k_nh/2)} \sin(k_ny)\cosh(k_nz), \tag{IV.15} \]

gdzie
\[ k_n=\frac{(2n+1)\pi}{b}, \qquad B_n=(-1)^n\frac{8b}{(2n+1)^2\pi^2}. \tag{IV.14} \label {IV.14} \]

Z rozwiązania otrzymuje się stałą skręcania

\[ I_v=\beta(h/b)b^3h \tag{IV.17} \] oraz wskaźnik wytrzymałości

\[ W_v=\alpha(h/b)b^2h. \tag{IV.18} \]

W konsekwencji
\[ M_v=GI_v\Theta, \qquad \tau_{\max}=\frac{M_v}{W_v}. \tag{IV.15} \label {IV.15} \]

Na tym kończy się klasyczny opis skręcania swobodnego. W dalszej części zostanie on wykorzystany jako rozwiązanie odniesienia dla reformulacji kinematyki w języku rotorów.

Kratowy model skręcania

Dodatkowej interpretacji zjawiska deplanacji dostarcza kratowy model skręcania przedstawiony na rys. IV.3. Model ten jest powszechnie wykorzystywany w analizie skręcania elementów żelbetowych, gdzie rzeczywisty stan naprężenia zastępuje się przestrzennym układem ściskanych krzyżulców betonowych oraz rozciąganych cięgien zbrojenia podłużnego i poprzecznego.

Na rys. IV.3 oznaczono kąt nachylenia krzyżulców symbolem $\gamma$. W teorii konstrukcji żelbetowych odpowiada mu zwykle kąt $\Theta$, określający nachylenie betonowych krzyżulców ściskanych. Zgodnie z Eurokodem 2 przyjmuje się najczęściej zakres

\[ 1.0\le\operatorname{ctg}\Theta\le2.0. \tag{IV.16} \label{IV.16} \]

Należy podkreślić, że symbol $\Theta$ występujący we wzorze (\ref{IV.16}) oznacza kąt nachylenia betonowych krzyżulców modelu kratowego i nie należy go utożsamiać z parametrem $\Theta$ wprowadzonym wcześniej we wzorze (\ref{IV.7}).

Rys.IV,4 Kratowy model skręcania

Model kratowy pozwala również wyjaśnić fizyczny mechanizm deplanacji przekroju. Jeżeli swoboda deplanacji na końcu pręta zostanie ograniczona, w zbrojeniu podłużnym pojawiają się dodatkowe siły rozciągające w pasach górnym i dolnym. Są one bezpośrednim skutkiem wydłużania i skracania włókien podłużnych przekroju podczas skręcania oraz stanowią fizyczny przejaw deplanacji przedstawionej na rys. IV.2.
Mechanizm ten jest analogiczny do powstawania bimomentu w klasycznej teorii Własowa i stanowi jego prostą interpretację mechaniczną. Zależność ta pokazuje, że ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do pojawienia się sił podłużnych, których odpowiednikiem w teorii cienkościennych prętów jest bimoment.

Przybliżona formuła Saint-Venanta dla sztywności skrętnej

W praktyce projektowej często zachodzi potrzeba szybkiego oszacowania sztywności skrętnej przekroju o złożonym kształcie, na przykład podczas doboru wariantu przekroju lub wstępnego wymiarowania elementu konstrukcyjnego. W takich przypadkach można wykorzystać przybliżoną formułę zaproponowaną przez Saint-Venanta

\[ I_v \approx \frac{A^4}{40\,I_0}, \tag{IV.17} \label{IV.17} \]

gdzie

$A$ – pole przekroju zwartego lub pole ograniczone konturem przekroju zamkniętego,
$ I_0=I_y+I_z $ – biegunowy moment bezwładności przekroju równy sumie momentów bezwładności względem osi głównych.

Formuła (\ref{IV.17}) wynika z analizy ścisłego rozwiązania dla przekroju eliptycznego, dla którego stała skręcania wynosi

\[ I_v= \pi \frac{a^3b^3}{a^2+b^2}, \tag{IV.18} \label{IV.18} \]

gdzie $a$ i $b$ oznaczają półosie elipsy.

Pole przekroju eliptycznego jest równe $ A=\pi ab, $ natomiast biegunowy moment bezwładności wynosi $I_0= \frac{\pi ab}{4} \left(a^2+b^2\right). $

Po podstawieniu powyższych zależności do wzoru (\ref{IV.18}) otrzymujemy $I_v= \frac{A^4} {4\pi^2I_0}.$ Ponieważ $ 4\pi^2=39.48\approx40,$ otrzymuje się przybliżoną zależność (\ref{IV.17}).

Przybliżona formuła Saint-Venanta znajduje zastosowanie przede wszystkim do szybkiego szacowania sztywności skrętnej przekrojów zwartych oraz zamkniętych. Nie zastępuje ona jednak ścisłego rozwiązania zagadnienia Neumanna ani wzorów opartych na funkcji Prandtla.

Należy również pamiętać, że dokładność wzoru (\ref{IV.17}) zależy od geometrii przekroju. Dla przekrojów o znacznej smukłości, przekrojów z otworami oraz przekrojów z nacięciami błąd może być znaczny. Przykładowo, dla wału kołowego z podłużnym nacięciem zawyżenie sztywności skrętnej może dochodzić nawet do około 80% [12].

Przedstawione zależności kończą klasyczną teorię skręcania swobodnego Saint-Venanta. W kolejnych podrozdziałach zostaną wykorzystane do wyprowadzenia klasycznej teorii skręcania skrępowanego Własowa, w której ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do powstania bimomentu oraz dodatkowych naprężeń normalnych.

Nowoczesny opis teorii swobodnego skręcania Saint-Venanta

Klasyczne reprezentacje skończonego obrotu

Opis orientacji przekroju pręta wymaga określenia jego położenia względem przyjętej konfiguracji odniesienia. W klasycznej mechanice stosuje się kilka równoważnych reprezentacji skończonego obrotu. Różnią się one przede wszystkim sposobem parametryzacji oraz właściwościami algebraicznymi, a nie opisywaną geometrią (za pomocą wersorów, macierzy obrotu lub parametrów obrotu).

Reprezentacja cosinusów kierunkowych

Najprostszym opisem jest przedstawienie aktualnej bazy przekroju za pomocą trzech wzajemnie prostopadłych wersorów $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$. Jeżeli $(\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3)$ oznacza bazę odniesienia, orientację przekroju można zapisać jako

\[ \mathbf e_i=\mathbf C\,\mathbf E_i, \qquad i=1,2,3, \tag{IV.22} \label{IV.22} \]

gdzie $\mathbf C$ jest macierzą cosinusów kierunkowych. Jej elementy są określone przez

\[ C_{ij}=\mathbf e_i\cdot\mathbf E_j. \tag{IV.23} \label{IV.23} \]

Ponieważ aktualna baza pozostaje ortonormalna, macierz $\mathbf C$ spełnia warunki

\[ \mathbf C^{T}\mathbf C=\mathbf I, \qquad \det\mathbf C=1, \tag{IV.24} \label{IV.24} \]

a więc

\[\mathbf C\in SO(3). \tag{IV.25} \label{IV.25} \]

Macierz $\mathbf C$ daje pełny opis orientacji, lecz jej dziewięć elementów nie jest niezależnych. Warunki ortogonalności wprowadzają więzy pomiędzy składowymi, dlatego macierz obrotu stanowi reprezentację nadmiarową względem rzeczywistej liczby stopni swobody obrotu Shuster (1993), rozdz. 2 [13]. Alternatywnie orientację można opisać za pomocą trzech parametrów obrotu, na przykład kątów Eulera, albo przez wektor obrotu określający oś i kąt obrotu. Parametry takie zmniejszają liczbę zmiennych, lecz ich właściwości zależą od przyjętej parametryzacji i mogą prowadzić do osobliwości reprezentacji Shuster (1993), rozdz. 3 [13].

Reprezentacja jednostkowych kwaternionów

Inną reprezentację stanowią jednostkowe kwaterniony [14].. Obrót można wówczas przedstawić za pomocą czterech parametrów $q_0,q_1,q_2,q_3$ spełniających warunek

\[ q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1. \tag{IV.26} \label{IV.26} \]

Jednostkowy kwaternion może reprezentować skończony obrót w przestrzeni trójwymiarowej; jego postać osiowo-kątowa oraz działanie jako operatora obrotu przedstawiono w [15]. Inną reprezentację stanowią jednostkowe kwaterniony. Obrót można wówczas przedstawić za pomocą czterech parametrów $q_0,q_1,q_2,q_3$ spełniających warunek

\[ q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1. \tag{IV.26} \label{IV.26} \]

Kwaterniony umożliwiają opis skończonych obrotów bez osobliwości charakterystycznych dla wielu trójparametrowych parametryzacji i są szeroko stosowane w opisie orientacji przestrzennej [16].

Z punktu widzenia pracy istotne jest jednak nie tylko to, że kwaterniony pozwalają reprezentować obrót, lecz również ich związek z innymi reprezentacjami geometrycznymi. W szczególności jednostkowy kwaternion i rotor stanowią w przestrzeni trójwymiarowej równoważne reprezentacje skończonego obrotu [17].

Reprezentacja w grupie $SO(3)$ i geometria dokładna pręta

W teoriach geometrycznie dokładnych prętów orientację przekroju reprezentuje się bezpośrednio jako element grupy obrotów $SO(3)$. Pozwala to opisywać skończone obroty bez przyjmowania małych kątów obrotu oraz formułować kinematykę i równania równowagi w konfiguracji aktualnej.

Przykładem jest geometrically exact rod theory rozwijana przez Simo i Vu-Quoca, w której położenie oraz orientacja przekroju stanowią podstawowe składniki konfiguracji pręta [18].

Z punktu widzenia dalszej konstrukcji istotne jest jednak nie samo znalezienie kolejnej parametryzacji macierzy $\mathbf C$. Wszystkie przedstawione wyżej reprezentacje opisują tę samą orientację geometryczną:

\[ \{\mathbf e_i\} \;\Longleftrightarrow\; \mathbf C\in SO(3) \;\Longleftrightarrow\; \text{parametry obrotu} \;\Longleftrightarrow\; \text{kwaternion}. \tag{IV.27} \label{IV.27} \]

Różnica polega na tym, jaki obiekt matematyczny uznajemy za podstawowy oraz jakie operacje wykonujemy bezpośrednio na tym obiekcie.

Nowoczesna reprezentacja rotorami

W dalszej części przyjmiemy inne stanowisko: obrót będzie traktowany jako pierwotna operacja geometryczna, a jego reprezentację zbudujemy za pomocą rotora algebry geometrycznej. Podstawy takiego ujęcia zostały rozwinięte w ramach algebry geometrycznej i rachunku geometrycznego przez Hestenesa i Sobczyka, którzy przedstawili jednolity formalizm obejmujący między innymi algebrę wektorową, kwaternionową i macierzową oraz reprezentacje obrotów [17]. Formalizm algebry geometrycznej został następnie przedstawiony w zastosowaniach do fizyki przez Dorana i Lasenby’ego, ze szczególnym uwzględnieniem rotorów, spinorów i ich zastosowań do opisu geometrii i ruchu [19]. W przypadku przestrzeni trójwymiarowej rotor stanowi równoważną reprezentację skończonego obrotu względem reprezentacji przez jednostkowy kwaternion. Jednocześnie zachowuje bezpośrednią interpretację geometryczną poprzez biwektor określający płaszczyznę obrotu [20]; [21]. Właśnie ta właściwość będzie dla nas istotna przy przejściu od orientacji przekroju do lokalnej miary jego zmiany wzdłuż osi pręta. Rotor nie będzie więc traktowany jako kolejna parametryzacja macierzy obrotu, lecz jako podstawowy obiekt geometryczny opisujący obrót.

Celem nie jest zatem zastąpienie jednej parametryzacji obrotu inną. Chodzi o sprawdzenie, czy wybór rotora jako podstawowego obiektu geometrycznego pozwoli w sposób bardziej naturalny sformułować kinematykę skręcania, a następnie rozszerzyć ją na paczenie przekroju i skręcanie nieswobodne.

Podstawowe równania skręcania Saint-Venanta w opisie rotorowym

Wprowadzenie rotora pozwala opisać orientację przekroju oraz jej zmianę wzdłuż osi pręta bez posługiwania się macierzą cosinusów kierunkowych jako podstawowym obiektem kinematycznym. Nie zmienia to jednak samego rozwiązania zagadnienia Saint-Venanta przedstawionego wcześniej. Niech $R(x)$ oznacza rotor opisujący orientację przekroju pręta względem konfiguracji odniesienia. Jednostkowość rotora wyraża zależność

\[ R\widetilde R=1. \tag{IV.28} \label{IV.28} \]

Aktualne wersory przekroju otrzymuje się przez działanie rotora:

\[ \mathbf e_i(x)=R(x)\mathbf E_i\widetilde R(x), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.29} \label{IV.29} \]

W ten sposób klasyczna orientacja opisana wcześniej za pomocą wersorów i cosinusów kierunkowych $(\ref{IV.22})$–$(\ref{IV.25})$ zostaje zastąpiona jednym obiektem geometrycznym $R(x)$. Dla ciągłej zmiany orientacji przekroju wzdłuż osi pręta naturalną lokalną miarą obrotu jest biwektor

\[ \widehat{\boldsymbol{\kappa}} = 2R'(x)\widetilde R(x). \tag{IV.30} \label{IV.30} \]

Jest on generatorem lokalnej zmiany orientacji rotora [19]. Dla czystego skręcania wokół osi pręta jego płaszczyzna jest stała i odpowiada płaszczyźnie przekroju:

\[ \widehat{\boldsymbol{\kappa}} = \Theta\,\mathbf E_2\mathbf E_3. \tag{IV.31} \label{IV.31} \]

Parametr $\Theta$ nie jest tutaj wprowadzany jako niezależny parametr pola przemieszczeń, lecz wynika z lokalnej zmiany orientacji przekroju. W tym sensie rotorowa kinematyka prowadzi bezpośrednio do parametru, który w klasycznym rozwiązaniu półodwrotnym został zidentyfikowany jako jednostkowy kąt skręcenia $(\ref{IV.10})$.

Dla stałego $\Theta$ rotor spełnia równanie

\[ R'(x) = \frac{1}{2}\Theta\,\mathbf E_2\mathbf E_3R(x), \tag{IV.32} \label{IV.32} \]

którego rozwiązaniem jest

\[ R(x) = \exp\left( \frac{1}{2}\Theta x\,\mathbf E_2\mathbf E_3 \right)R(0). \tag{IV.33} \label{IV.33} \]

Ponieważ $(\mathbf E_2\mathbf E_3)^2=-1$, otrzymujemy

\[ R(x) = \left( \cos\frac{\Theta x}{2} + \mathbf E_2\mathbf E_3\sin\frac{\Theta x}{2} \right)R(0). \tag{IV.34} \label{IV.34} \]

Wynik ten pokazuje, że rzeczywisty obrót przekroju wynosi $\Theta x$, podczas gdy rotor zawiera połowę tego kąta. Jest to konsekwencja dwustronnego działania rotora na wektor.

Na tym kończy się konieczne przekształcenie kinematyczne. Pole paczenia $\Phi(y,z)$, warunki brzegowe na konturze przekroju oraz rozwiązania dla przekrojów kołowego i prostokątnego zostały już przedstawione w ramach klasycznej teorii Saint-Venanta $(\ref{IV.13})$–$(\ref{IV.18})$ i nie wymagają ponownego wyprowadzania.

W szczególności zachowujemy wcześniej otrzymaną zależność

\[ M_v=GI_v\Theta, \tag{IV.35} \label{IV.35} \]

czyli wynik równania $(\ref{IV.8})$, lecz $\Theta$ jest teraz interpretowane jako skalarna część rotorowej miary lokalnej zmiany orientacji.

W konsekwencji rotorowa reformulacja nie tworzy nowego rozwiązania Saint-Venanta. Jej znaczenie polega na zmianie podstawowego opisu kinematycznego: orientacja przekroju oraz jej zmiana są reprezentowane bezpośrednio przez rotor i jego lokalny generator.

Tak zdefiniowany aparat stanowi punkt wyjścia do dalszego rozszerzenia teorii na pręt cienkościenny, w którym oprócz swobodnego obrotu przekroju występuje jego deplanacja oraz możliwość jej ograniczenia.

Prosty przykład: obrót przekroju wokół osi pręta

Rozważmy przekrój pręta, którego bazę odniesienia stanowią wersory $(\mathbf E_1,\mathbf E_2,\mathbf E_3)$, przy czym $\mathbf E_1$ jest równoległy do osi pręta. Załóżmy, że przekrój w punkcie $x=0$ nie jest obrócony, czyli $R(0)=1$, a następnie obraca się wokół osi $\mathbf E_1$ ze stałym jednostkowym kątem skręcenia $\Theta$.

Rotor opisujący tę orientację ma postać

\[ R(x)= \cos\frac{\Theta x}{2} + \mathbf E_2\mathbf E_3 \sin\frac{\Theta x}{2}. \tag{IV.36} \label{IV.36} \]

Rozważmy wersor $\mathbf E_2$. Jego aktualne położenie otrzymujemy bezpośrednio z działania rotora:

\[ \mathbf e_2(x) = R(x)\mathbf E_2\widetilde R(x). \tag{IV.37} \label{IV.37} \]

Po wykonaniu iloczynu otrzymujemy

\[ \mathbf e_2(x) = \cos(\Theta x)\,\mathbf E_2 + \sin(\Theta x)\,\mathbf E_3. \tag{IV.38} \label{IV.38} \]

Analogicznie

\[ \mathbf e_3(x) = -\sin(\Theta x)\,\mathbf E_2 + \cos(\Theta x)\,\mathbf E_3. \tag{IV.39} \label{IV.39} \]

Widzimy zatem, że rotor zawierający połowę kąta $\Theta x$ powoduje rzeczywisty obrót bazy przekroju o kąt $\Theta x$. Nie jest to więc nowy parametr geometryczny, lecz bezpośrednia reprezentacja tego samego obrotu, który w klasycznym opisie można przedstawić za pomocą cosinusów kierunkowych.

Dla dwóch przekrojów oddalonych o $dx$ przyrost kąta obrotu wynosi

\[ d\phi=\Theta\,dx, \tag{IV.120} \label{IV.120} \]

a zatem

\[ \Theta=\frac{d\phi}{dx}. \tag{IV.121} \label{IV.121} \]

Otrzymujemy więc dokładnie tę samą interpretację parametru $\Theta$, która została uzyskana wcześniej w klasycznym rozwiązaniu Saint-Venanta $(\ref{IV.10})$.

Prosty przykład pokazuje zatem zasadniczą cechę przyjętego opisu: rotor nie wprowadza nowej fizyki ani nowej miary skręcenia. Pozwala natomiast opisać skończony obrót całego przekroju za pomocą jednego obiektu geometrycznego, bez rozpisywania jego orientacji na dziewięć cosinusów kierunkowych.

W przypadku skręcania swobodnego przekroju rzeczywistego dochodzi następnie paczenie opisane funkcją $\Phi(y,z)$. Jego rozwiązanie dla przekrojów kołowego i prostokątnego zostało już przedstawione wcześniej. Kolejnym krokiem będzie zatem połączenie rotorowej orientacji przekroju z jego deplanacją.

Rotorowy opis deplanacji przekroju

W przypadku skręcania swobodnego przekrój nie tylko zmienia swoją orientację, lecz może również ulegać deplanacji. W klasycznym opisie zjawisko to zostało przedstawione za pomocą funkcji paczenia $\Phi(y,z)$. Nie ma potrzeby ponownego wyprowadzania tej funkcji — jej rozwiązanie dla przekroju kołowego i prostokątnego zostało już przedstawione w równaniach $(\ref{IV.13})$–$(\ref{IV.18})$. Wprowadźmy położenie punktu przekroju względem jego środka w konfiguracji odniesienia:
\[\mathbf x_\perp=y\mathbf E_2+z\mathbf E_3. \tag{IV.42} \label{IV.42} \]

W klasycznym opisie paczenie oznacza dodatkowe przemieszczenie punktu przekroju w kierunku osi pręta. W opisie rotorowym nie zmieniamy tego znaczenia fizycznego. Zmieniamy jedynie sposób opisu orientacji całego przekroju. Położenie punktu przekroju można zatem zapisać w postaci
\[ \mathbf r(x,y,z) = \mathbf r_0(x) + R(x) \left[ \mathbf x_\perp+ u_\omega(x,y,z)\mathbf E_1 \right], \tag{IV.43} \label{IV.43} \]
gdzie $u_\omega$ oznacza przemieszczenie związane z paczeniem, natomiast $\mathbf r_0(x)$ określa położenie środka przekroju.

Dla skręcania swobodnego paczenie jest związane z jednostkowym kątem skręcenia $\Theta$ oraz funkcją $\Phi(y,z)$. Przyjmujemy zatem
\[ u_\omega(x,y,z)=\Theta\,\Phi(y,z). \tag{IV.44} \label{IV.44} \]

W konsekwencji pole położenia przyjmuje postać
\[ \mathbf r(x,y,z) = \mathbf r_0(x) + R(x) \left[ y\mathbf E_2+z\mathbf E_3+ \Theta\Phi(y,z)\mathbf E_1 \right]. \tag{IV.45} \label{IV.45} \]

Zapis ten ma istotne znaczenie. Rotor $R(x)$ opisuje orientację całego przekroju jako obiektu sztywnego, natomiast funkcja $\Phi(y,z)$ opisuje jego deplanację. Oba zjawiska zostają więc rozdzielone kinematycznie:

\[ \text{orientacja przekroju} \;\longleftrightarrow\; R(x), \qquad \text{deplanacja przekroju}\;\longleftrightarrow\; \Phi(y,z). \tag{IV.46} \label{IV.46}\]

Dla przekroju kołowego $\Phi(y,z)=0$, a więc cała kinematyka skręcania jest opisana przez rotor. Jest to szczególny przypadek skręcania, w którym przekrój nie ulega paczeniu.

Dla przekroju prostokątnego $\Phi(y,z)\neq0$. Paczenie nie jest jednak dodatkowym obrotem przekroju. Jest przestrzennym przemieszczeniem jego punktów wzdłuż osi pręta, którego rozkład po przekroju określa funkcja $\Phi(y,z)$. W skręcaniu swobodnym amplituda paczenia jest związana z lokalną zmianą orientacji przekroju. Dlatego funkcja $\Phi(y,z)$ nie jest niezależną zmienną kinematyczną, lecz charakterystyką geometryczną przekroju. Jej postać wynika z warunków Saint-Venanta, natomiast skala paczenia wynika z wartości $\Theta$.

Otrzymujemy w ten sposób naturalny rozdział dwóch poziomów opisu:

\[ \boxed{ R(x) \quad\text{opisuje ruch i orientację przekroju,} } \]
\[\Phi(y,z) \quad\text{opisuje jego właściwość przekrojową związaną z paczeniem.} \tag{IV.47} \label{IV.47} \]

W przypadku skręcania swobodnego nie występuje ograniczenie tego paczenia. Dlatego nie pojawia się dodatkowy stan naprężenia normalnego związany ze skrępowaniem deplanacji, zgodnie z klasycznym wynikiem przedstawionym wcześniej w $(\ref{IV.6})$.

Tak skonstruowany zapis pozwala zachować klasyczne rozwiązanie Saint-Venanta, a jednocześnie przygotowuje rozdzielenie dwóch zjawisk, które w dalszej teorii będą miały odmienne znaczenie: zmiany orientacji przekroju oraz jego deplanacji. Dopiero ograniczenie tej drugiej prowadzi do skręcania nieswobodnego i pojawienia się bimomentu.

Skręcanie nieswobodne (skrępowane)

Skręcanie nieswobodne (skrępowane) jest przedmiotem klasycznej technicznej teorii cienkościennych prętów Własowa (1959) [2]. W praktyce inżynierskiej jest ono znacznie częstszym przypadkiem niż skręcanie swobodne, ponieważ deplanacja przekrojów pręta jest zwykle częściowo lub całkowicie ograniczona przez warunki podparcia, połączenia z innymi elementami konstrukcji lub sposób przyłożenia obciążenia. Typowym przykładem skręcania skrępowanego jest utwierdzenie końca pręta lub symetryczne przyłożenie momentów skręcających wymuszające zachowanie płaskości przekroju w płaszczyźnie symetrii. Podczas skręcania pręta przekrój poprzeczny ulega deplanacji (spaczeniu), co oznacza, że przekrój płaski przed odkształceniem nie zachowuje swojej płaskości. Zjawisko to występuje zarówno przy skręcaniu swobodnym, jak i nieswobodnym, jednak dopiero ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do powstania nowych sił przekrojowych oraz dodatkowych naprężeń normalnych.

W rezultacie podczas skręcania nie jest spełniona podstawowa hipoteza technicznej teorii zginania Bernoulliego, zgodnie z którą przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu. W teorii Własowa hipotezę tę zastępuje zasada sztywnego konturu, zgodnie z którą kontur cienkościennego przekroju nie ulega odkształceniu w swojej płaszczyźnie, natomiast poszczególne punkty przekroju mogą przemieszczać się wzdłuż osi pręta. W rezultacie przekrój zachowuje swój kształt, lecz ulega deplanacji. Ograniczenie swobody deplanacji powoduje powstanie dodatkowych naprężeń normalnych, które nie występują podczas skręcania swobodnego Saint-Venanta. Naprężenia te tworzą nową siłę przekrojową zwaną bimomentem $B_\omega$, natomiast odpowiadający jej udział w całkowitym momencie skręcającym opisuje moment skręcania skrępowanego $M_\omega$. W konsekwencji całkowity moment skręcający przekrój można przedstawić jako sumę momentu skręcania Saint-Venanta $M_v$ oraz momentu skręcania skrępowanego $M_\omega$, zgodnie ze wzorem (\ref{IV.1}).

W technicznej teorii skręcania nieswobodnego zachowuje się podstawowe zależności wyprowadzone dla skręcania swobodnego. Jednostkowy kąt skręcenia przekroju $\Theta(x)$ jest funkcją położenia przekroju na osi pręta i zależy od zmieniającego się wzdłuż pręta momentu skręcania Saint-Venanta $M_v(x)$, stanowiącego część całkowitego momentu skręcającego $M_x$. Podłużne przemieszczenia punktów przekroju nie są jednakowe i zależą od położenia punktu na konturze przekroju. Przemieszczenia te nazywa się przemieszczeniami paczenia (deplanacji). W teorii Własowa przyjmuje się, że są one proporcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju $\omega$, dzięki czemu można je zapisać w postaci

\[ u(x,y,z)=-\Theta(x)\,\omega. \tag{IV.25} \label{IV.25} \]

Współrzędna wycinkowa $\omega$ jest charakterystyczną współrzędną teorii cienkościennych prętów Własowa. Określa ona położenie punktu na konturze przekroju i zostanie omówiona szczegółowo w dalszej części rozdziału dla przekrojów otwartych i zamkniętych.

Rozkład przemieszczeń opisany zależnością (\ref{IV.33a}) stanowi odejście od klasycznego założenia Bernoulliego o zachowaniu płaskości przekrojów i zastępuje je hipotezą sztywnego konturu ulegającego deplanacji. Z deplanacją przekroju związane jest powstanie nowej siły przekrojowej – bimomentu, który wraz z momentem skręcania skrępowanego stanowi podstawę klasycznej teorii Własowa.

Podstawowe informacje dotyczące praktycznego zastosowania skręcania skrępowanego oraz nieliniowego ujęcia teorii przedstawiono w artykule Belka w inżynierii. Część V. Nieliniowa belka Timoshenko–Własowa

Zasada sztywnego konturu i deplanacja przekroju

Charakterystyczną cechą skręcania prętów jest deplanacja (spaczenie) przekroju poprzecznego. Oznacza to, że przekrój płaski przed odkształceniem nie zachowuje swojej płaskości podczas skręcania. Zjawisko to występuje zarówno przy skręcaniu swobodnym (rys. IV.2), jak i przy skręcaniu nieswobodnym, przy czym w tym drugim przypadku ograniczenie swobody deplanacji prowadzi do powstania dodatkowych naprężeń normalnych oraz nowych sił przekrojowych.

Zasada sztywnego konturu stanowi pierwszą i podstawową hipotezę technicznej teorii cienkościennych prętów Własowa. Dzięki jej przyjęciu możliwe jest opisanie skręcania skrępowanego, powstawania bimomentu oraz sprzężenia pomiędzy zginaniem i skręcaniem cienkościennych elementów konstrukcyjnych.

W technicznej teorii skręcania nieswobodnego zachowuje się podstawowe zależności wyprowadzone dla skręcania swobodnego Saint-Venanta. Jednostkowy kąt skręcenia przekroju $\Theta(x)$ jest funkcją położenia przekroju na osi pręta i zależy od zmieniającego się wzdłuż pręta momentu skręcania Saint-Venanta $M_v(x)$, stanowiącego część całkowitego momentu skręcającego $M_x$ zgodnie ze wzorem (\ref{IV.1}).

Podłużne przemieszczenia punktów przekroju nie są jednakowe i zależą od położenia punktu na konturze przekroju. Przemieszczenia te nazywa się przemieszczeniami paczenia (deplanacji). W teorii Własowa przyjmuje się, że są one proporcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju $\omega$, dzięki czemu można je zapisać w postaci

\[ u(x,y,z)=-\Theta(x)\,\omega. \tag{IV.26}\label{IV.26} \]

Rozkład przemieszczeń opisany zależnością (\ref{IV.33}) stanowi odejście od klasycznego założenia Bernoulliego o zachowaniu płaskości przekrojów na rzecz hipotezy sztywnego konturu ulegającego deplanacji. Z deplanacją przekroju związane jest powstanie nowej siły przekrojowej – bimomentu, który wraz z momentem skręcania skrępowanego stanowi podstawę klasycznej teorii Własowa.

Pręty cienkościenne

Klasyczna teoria skręcania Saint-Venanta znajduje zastosowanie przede wszystkim do prętów o przekrojach zwartych. W przypadku prętów cienkościennych skręcanie przebiega odmiennie, ponieważ przekrój poprzeczny ulega deplanacji, a przy ograniczeniu swobody deplanacji pojawiają się dodatkowe naprężenia normalne oraz nowe siły przekrojowe. Zjawiska te stanowią przedmiot klasycznej teorii cienkościennych prętów Własowa. Rozwinięcie teorii Własowa wymaga wprowadzenia charakterystycznych wielkości geometrycznych przekroju cienkościennego, takich jak współrzędna wycinkowa, sektorowy moment bezwładności, sektorowy wskaźnik wytrzymałości oraz bimoment. Wielkości te zależą od geometrii przekroju, dlatego przed wyprowadzeniem równań teorii konieczne jest zdefiniowanie pręta cienkościennego oraz klasyfikacja przekrojów stosowanych w praktyce inżynierskiej.

Definicja pręta cienkościennego

Prętem nazywa się ciało stałe, którego długość jest znacznie większa od wymiarów przekroju poprzecznego. Jeżeli przekrój poprzeczny zachowuje niezmienny kształt na całej długości elementu, pręt nazywa się pryzmatycznym, natomiast gdy jego oś jest linią prostą – prętem prostym. Pręty mogą mieć przekroje zwarte lub cienkościenne oraz osie proste albo krzywoliniowe. Pręt cienkościenny można geometrycznie traktować jako cienkościenną powłokę cylindryczną lub pryzmatyczną, której trzy charakterystyczne wymiary są różnych rzędów wielkości. Długość pręta $L$ jest o rząd większa od charakterystycznego wymiaru przekroju poprzecznego $l$, natomiast wymiar przekroju $l$ jest o rząd większy od grubości ścianki $t$ [22].

Jak pokazują doświadczenia oraz analiza statyczno-wytrzymałościowa oparta na hipotezach Własowa, pręt można traktować jako cienkościenny, jeżeli spełnione są warunki [2]), [23], [24]

\[ t\le\frac{l}{N_{th}}, \qquad l\le\frac{L}{N_b}, \tag{IV.27}\label{IV.27} \]

gdzie:
$N_{th}=N_b=10$,
$t$ – grubość ścianki,
$l$ – charakterystyczny wymiar przekroju poprzecznego (długość ścianki),
$L$ – długość pręta.

Pierwszy warunek określa cienkościenność przekroju, natomiast drugi jest ogólnym kryterium teorii prętów i wyraża wymóg odpowiedniej smukłości elementu. Elementy o mniejszej smukłości powinny być analizowane jako tarcze lub powłoki. W praktyce projektowej wymaganie to jest często łagodzone, przyjmując $N_b=8$, natomiast w konstrukcjach żelbetowych spotyka się nawet $N_b=4$. Wraz ze zmniejszaniem smukłości ścianek $l/t$ lub smukłości pręta $L/l$ dokładność klasycznej teorii cienkościennej stopniowo maleje.

Ze względu na geometrię przekroju poprzecznego pręty cienkościenne dzieli się na:

przekroje otwarte – których linia środkowa ścianki nie tworzy zamkniętego obwodu (np. dwuteowniki, ceowniki, kątowniki, teowniki),
przekroje zamknięte – których linia środkowa tworzy jeden lub więcej zamkniętych obwodów (np. rury, profile skrzynkowe jedno- i wielokomorowe),
przekroje mieszane – zawierające jednocześnie części otwarte i zamknięte,
przekroje quasi-zamknięte – w których zamknięcie przekroju uzyskuje się dzięki elementom podatnym lub połączeniom nieciągłym.

Przedstawiony podział odpowiada stopniowi złożoności zagadnienia skręcania. W niniejszej monografii teoria zostanie rozwinięta w kolejności od przekrojów zamkniętych jednokomorowych, poprzez przekroje wielokomorowe, aż do przekrojów otwartych. Taki układ różni się od stosowanego w większości podręczników, jednak z punktu widzenia mechaniki jest bardziej naturalny. Teoria prętów o przekrojach otwartych stanowi bowiem szczególny przypadek ogólniejszej teorii przekrojów zamkniętych, w której liczba zamkniętych obwodów ulega redukcji. Ujęcie takie pozwala przedstawić w jednolity sposób charakterystyki geometryczne przekroju, przepływ sił stycznych oraz dalsze wyprowadzenia klasycznej teorii Własowa dla przekrojów jedno- i wielokomorowych.

Przekroje cienkościenne

Klasyczna teoria Własowa obejmuje pręty o przekrojach cienkościennych otwartych, zamkniętych oraz wielokomorowych. Chociaż w większości podręczników analizę rozpoczyna się od przekrojów otwartych, w niniejszej monografii przyjęto odwrotną kolejność. Z punktu widzenia mechaniki bardziej naturalnym punktem wyjścia są przekroje zamknięte, w których w najprostszy sposób można wyjaśnić przepływ naprężeń stycznych, wzór Bredta oraz pojęcie komory przekroju. Teoria przekrojów otwartych zostanie następnie przedstawiona jako szczególny przypadek uogólnionej teorii przekrojów cienkościennych.

Przekroje zamknięte

Przekroje zamknięte charakteryzują się największą sztywnością skrętną spośród wszystkich przekrojów cienkościennych. W praktyce projektowej elementy narażone na znaczne momenty skręcające wykonuje się najczęściej jako profile zamknięte, np. rury lub dźwigary skrzynkowe, zamiast przekrojów otwartych. Podczas swobodnego skręcania przekroju zamkniętego w ściankach występują wyłącznie naprężenia styczne, praktycznie równomiernie rozłożone po grubości ścianki. Wygodnie opisuje się je za pomocą strumienia naprężeń stycznych

\[ q_v=\tau_v\,t, \tag{IV.28}\label{IV.28} \]

który dla przekroju jednokomorowego ma stałą wartość na całym obwodzie przekroju. Strumień naprężeń wyznacza klasyczny wzór Bredta

\[ \tau_v=\frac{M_v}{\Omega\,t}, \tag{IV.29} \label{IV.29} \]

gdzie $\Omega$ oznacza podwojone pole powierzchni ograniczonej linią środkową ścianek przekroju

\[ \Omega=\frac12\oint h\,ds. \tag{IV.30} \label{IV.30} \]

Stała skręcania przekroju zamkniętego wynosi

\[ I_v= \Omega^2 \left( \oint \frac{ds}{t(s)} \right)^{-1} = \Omega^2 \frac{t_0}{\overline{s}_0}, \tag{IV.31} \label{IV.31} \]

gdzie

\[ \overline{s}_0= \oint \frac{t_0}{t(s)}\,ds. \tag{IV.32} \label{IV.32} \]

Dla przekrojów o stałej grubości ścianki $t(s)=t=\mathrm{const}$ zależność upraszcza się do postaci

\[ I_v= \frac{t}{s}\Omega^2. \tag{IV.33} \label{IV.33} \]

Rys. IV.5. Przekrój cienkościenny zamknięty: $S$ – środek ścinania, $s$ – współrzędna bieżąca obwodu, $A$ – pole powierzchni ograniczonej linią środkową, $\Omega$ – podwojone pole środkowe [25]

Przekroje wielokomorowe

Przekroje wielokomorowe stanowią naturalne uogólnienie przekrojów zamkniętych jednokomorowych. Występują powszechnie w mostowych dźwigarach skrzynkowych, konstrukcjach lotniczych, okrętowych oraz cienkościennych konstrukcjach zespolonych. Każda komora przenosi własny strumień naprężeń stycznych, natomiast zgodność odkształceń wymaga jednakowego jednostkowego kąta skręcenia wszystkich komór. Wyznaczenie rozkładu strumieni naprężeń prowadzi do układu równań równowagi i zgodności odkształceń. Przekrój jednokomorowy stanowi szczególny przypadek tego ujęcia, w którym liczba komór jest równa jeden. Szczegółowe wyprowadzenie równań dla przekrojów wielokomorowych zostanie przedstawione w dalszej części monografii.

Przekroje otwarte

Przekroje otwarte są najczęściej stosowanymi przekrojami cienkościennymi w konstrukcjach stalowych. Do tej grupy należą między innymi dwuteowniki, ceowniki, teowniki, kątowniki oraz profile gięte na zimno (rys. IV.8).

Przykłady przekrojów cienkościennych otwartych stosowane w konstrukcjach stalowych :

Rys. IV.6. Przykłady przekrojów cienkościennych otwartych stosowanych w konstrukcjach stalowych: a) dwuteownik walcowany, b) ceownik walcowany, c) teownik, d) ceownik gięty z zagiętymi półkami, e) kątownik gięty, f) przekrój spawany gwiaździsty, g) przekrój gwiaździsty prosty [26].

Rys. IV.7 Przekrój otwarty cienkościenny złożony ze ścianek prostych [11]

Z rys. IV.7 można również odczytać konwencję znakowania momentu skręcającego $M_v$ . Dodatni jest moment lewoskrętny, przy czym oś pręta jest skierowana od płaszczyzny przekroju (kartki) w stronę obserwatora.

Przekrój otwarty można traktować jako układ prostokątnych ścianek cienkościennych spełniających warunek cienkościenności (rys. IV.9). Przyjmuje się dwa podstawowe założenia [10]:

1. jednostkowy kąt skręcenia wszystkich ścianek jest jednakowy,
2. moment skręcający przekroju jest sumą momentów skręcających poszczególnych ścianek.

Z pierwszego założenia otrzymujemy

\[ \Theta= \frac{M_v}{GI_v} = \frac{M_{v,i}}{GI_{v,i}}, \tag{IV.34} \label{IV.34} \]

przy czym dla pojedynczej ścianki prostokątnej

\[ I_{v,i} = \beta_i\,t_i^3\,l_i. \tag{IV.35} \label{IV.35} \]

Po zsumowaniu wkładów wszystkich ścianek otrzymuje się stałą skręcania całego przekroju

\[ I_v = \sum_{i=1}^{n}I_{v,i} = \sum_{i=1}^{n} \beta_i t_i^3l_i \approx \frac{k}{3} \sum_{i=1}^{n} t_i^3l_i. \tag{IV.36} \label{IV.36} \]

Współczynnik korekcyjny $k$ uwzględnia wpływ wyokrągleń naroży oraz pochylenia półek walcowanych profili stalowych.

Maksymalne naprężenia styczne w i-tej ściance wynoszą

\[ \tau_{\max,i} = \pm \frac{M_v}{I_v}\,t_i, \tag{IV.37} \label{IV.37} \]

osiągając wartości maksymalne na przeciwległych krawędziach ścianki.

Zastępczy moduł Younga

Piechnik [23] wykazał, że analizę cienkościennych prętów Własowa nalażey prowadzić z wykorzystaniem zastępczego modułu Younga

\[ \overline{E} = \frac{E}{1-\nu^2}, \tag{IV.38} \label{IV.38} \]

który wiąże naprężenia i odkształcenia podłużne zależnością

\[ \sigma_x=\overline{E}\,\varepsilon_x. \tag{IV.39} \label{IV.39} \]

Wprowadzenie modułu $\overline{E}$ wynika bezpośrednio z uogólnionych równań Hooke’a oraz z hipotez teorii Własowa i pozwala uprościć zapis równań opisujących skręcanie skrępowane cienkościennych prętów.

Model geometryczny pręta cienkościennego

Klasyczna teoria Własowa wykorzystuje uproszczony model geometryczny przekroju cienkościennego.

W modelu tym rzeczywisty przekrój poprzeczny zastępuje się jego liniami środkowymi, którym przypisuje się odpowiednie grubości ścianek. Oznacza to, że każda ścianka przekroju reprezentowana jest przez odcinek linii środkowej o długości $l_i$ i grubości $t_i$, przy zachowaniu rzeczywistej geometrii połączeń między ściankami.

Model taki jest konsekwencją pierwszej hipotezy Własowa i pozwala sprowadzić zagadnienie trójwymiarowe do analizy linii środkowych przekroju. Wszystkie charakterystyki geometryczne przekroju, takie jak pole powierzchni $A$, momenty bezwładności $I_y$, $I_z$, współrzędna wycinkowa $\omega$, sektorowy moment bezwładności $I_\omega$ oraz stała skręcania $I_v$, wyznacza się dla przekroju zredukowanego do linii środkowych ścianek. Otrzymane wartości różnią się od charakterystyk geometrycznych obliczanych dla rzeczywistego przekroju bryłowego, jednak zapewniają wysoką dokładność opisu pracy cienkościennych prętów.

Na rys. IV.7 i IV 9 przedstawiono przykład modelu geometrycznego przekroju cienkościennego, w którym linie środkowe ścianek zaznaczono linią przerywaną. Jednym z charakterystycznych elementów teorii Własowa jest również sposób modelowania warunków podparcia. Oprócz klasycznych podpór przegubowych i utwierdzeń stosuje się podporę widełkową. Podpora taka uniemożliwia obrót przekroju wokół osi pręta, zachowując jednocześnie możliwość jego deplanacji. Dzięki temu nie powoduje powstawania bimomentu i jest często wykorzystywana podczas analizy stateczności cienkościennych prętów.

Na rys. IV.10 pokazano przykład realizacji podpory widełkowej, jej symbol stosowany w schematach obliczeniowych oraz odpowiadające jej warunki brzegowe [27].

Rys. IV.8 Podpora widełkowa pręta cienkościennego: a ) przykład realizacji podpory, b) symbol i warunki brzegowe ( uzupełniony rys. 4.13 (Bródka J., Broniewicz N., Giżejowski M. , Kształtowniki gięte. Poradnik projektanta, PWT, Rzeszów , 2006))),

Operatorowa teoria pręta

Rys historyczny

Klasyczne teorie prętów, obejmujące modele Eulera–Bernoulliego, Timoshenki oraz Własowa, zostały sformułowane przy wykorzystaniu klasycznego aparatu skalarno–wektorowo–tensorowego. Aparat ten pozostaje w pełni wystarczający do opisu podstawowych wielkości mechanicznych, takich jak przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia, siły przekrojowe oraz równania równowagi.

Rozwój współczesnej mechaniki prętów doprowadził jednak do analiz obejmujących zagadnienia stateczności, analizę pokrytyczną, wpływ imperfekcji geometrycznych, duże przemieszczenia oraz skończone obroty przekrojów. W tym zakresie klasyczny aparat matematyczny okazuje się niewystarczająco naturalny do opisu orientacji przekroju. Nie wynika to z ograniczeń mechaniki pręta ani z konieczności modyfikacji jej podstawowych praw, lecz z faktu, że orientacja przekroju stanowi odrębny problem geometryczny wymagający wprowadzenia nowych obiektów matematycznych. Istotnym krokiem w tym kierunku było opracowanie geometrycznie ścisłych teorii prętów, w których orientacja przekroju została potraktowana jako niezależna zmienna kinematyczna należąca do przestrzeni obrotów $SO(3)$. Kierunek ten został zapoczątkowany w pracach Simo i współpracowników, gdzie opis orientacji oddzielono od klasycznego opisu przemieszczeń, natomiast wielkości mechaniczne wyprowadzono z odpowiednich związków geometrycznych oraz równań równowagi [28]; [29]; [30]. Równolegle rozwijały się metody matematycznej reprezentacji orientacji przestrzennej. Obok klasycznych macierzy cosinusów kierunkowych coraz szersze zastosowanie znalazły kwaterniony jednostkowe, parametry Eulera, mapa wykładnicza oraz inne reprezentacje zachowujące własności grupy obrotów $SO(3)$. Szczególnie kwaterniony jednostkowe zapewniają zwarty zapis orientacji, brak osobliwości charakterystycznych dla klasycznych parametrów obrotu oraz korzystne własności numeryczne [31]; [32]; [33]; [34]; [35]; [36]. Szczególne miejsce w rozwoju teorii cienkościennych prętów zajmuje również koncepcja kinematycznej równoważności Stefana Piechnika, która doprowadziła do uogólnienia klasycznej statyki przekroju i uzasadnienia bimomentu jako dodatkowej wielkości statycznej [37]. W przedstawionej pracy przyjęto jednak odmienny punkt wyjścia. Nie rozszerza się klasycznego aparatu mechanicznego teorii prętów, lecz aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju. Dzięki temu zarówno małe, jak i skończone obroty mogą być opisywane w ramach jednego formalizmu geometrycznego, bez zmiany klasycznych podstaw teorii Własowa. W klasycznych teoriach prętów opis ten opiera się na określeniu pola przemieszczeń oraz lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem. W geometrycznie ścisłych teoriach prętów rozwiniętych przez Simo i współpracowników opis ten został uogólniony poprzez traktowanie orientacji przekroju jako niezależnej zmiennej kinematycznej należącej do przestrzeni obrotów $SO(3)$, co umożliwiło jednolite modelowanie małych i skończonych obrotów [28]; [29]; [30].

Na tle przedstawionego rozwoju proponuje się rozszerzenie aparatu matematycznego teorii prętów przy zachowaniu wszystkich klasycznych podstaw mechaniki. Rozszerzenie to nie polega na zastąpieniu dotychczasowych wielkości mechanicznych, lecz na uzupełnieniu klasycznego aparatu skalarno–wektorowo–tensorowego o obiekty opisujące geometrię obrotu, takie jak pseudowektory, biwektory oraz operator orientacji. Obiekty te nie zmieniają interpretacji wielkości mechanicznych, lecz umożliwiają bardziej naturalny, zwarty i jednoznaczny opis orientacji przekroju zarówno w zakresie małych, jak i skończonych obrotów.

Istotą proponowanego podejścia jest rozdzielenie opisu ruchu przekroju na dwie niezależne części: opis jego położenia oraz opis jego orientacji. Klasyczny opis położenia pozostaje niezmieniony i oparty jest na wektorze przemieszczenia. Natomiast orientacja przekroju przestaje być opisywana wyłącznie za pomocą parametrów obrotu i zostaje potraktowana jako samodzielny obiekt geometryczny opisany operatorem orientacji. Operator ten stanowi nowy element aparatu matematycznego teorii prętów, zachowując pełną zgodność z klasycznymi prawami mechaniki. Takie sformułowanie nie prowadzi do powstania nowej mechaniki prętów, lecz do nowego sposobu jej zapisu. Równania równowagi, definicje sił przekrojowych, charakterystyki geometryczne przekrojów, funkcja sektorowa, deplanacja oraz bimoment zachowują swoją klasyczną interpretację. Rozszerzeniu ulega jedynie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju i transformacji związanych z geometrią obrotu. W kolejnych rozdziałach zostanie pokazane, że rozszerzony aparat matematyczny prowadzi do bardziej jednolitego opisu kinematyki pręta, upraszcza transformacje wielkości przekrojowych oraz tworzy naturalną podstawę do uogólnienia klasycznej teorii Własowa na przypadek skończonych obrotów.

Rotorowy opis położenia i orintacji przekrojów pręta

Rotorowy opis położenia i orientacji przekroju prowadzi do jednolitej i zwartej reprezentacjijego ruchu. Położenie punktu odniesienia przekroju pozostaje opisane klasycznymi wektorami położenia i przemieszczenia, natomiast cała informacja o zmianie orientacji jednej triady względem drugiej jest zawarta w jednym obiekcie algebraicznym — rotorze. Rotor nie wymaga zatem niezależnego wyznaczania kolejnych osi, cosinusów kierunkowych ani macierzy transformacji. Wielkości te mogą zostać odtworzone z jednego rotora poprzez jego działanie na triadę odniesienia.

Na rys. IV.9 zilustrowano trzy reprezentacje położenia i orientacji przekroju pręta: klasyczną, naturalną i rotorową. Wszystkie trzy odnoszą się do tego samego ruchu przekroju pomiędzy konfiguracją początkową $\Omega^{(0)}$ i konfiguracją aktualną $\Omega^{(N)}$, lecz różnią się sposobem organizacji informacji opisującej ten ruch. W reprezentacji klasycznej położenie punktu odniesienia przekroju $P_0(s)$ określają wektory wodzące
\[ \mathbf{R}_0(s), \qquad \mathbf{r}_0(s), \]

a ich różnica
\[ \mathbf{u}_0(s)=\mathbf{r}_0(s)-\mathbf{R}_0(s) \]
opisuje jego przemieszczenie. Orientacja przekroju jest natomiast określana za pomocą zestawu wielkości opisujących wzajemne położenie osi lokalnego układu odniesienia, w szczególności kierunków jego osi oraz zależności transformacyjnych między układem początkowym i aktualnym.

Reprezentacja naturalna porządkuje ten opis, rozdzielając położenie punktu odniesienia od orientacji związanej z nim triady. W konfiguracji początkowej orientację przekroju określa triada
\[ (\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3), \]
natomiast w konfiguracji aktualnej triada
\[ (\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3). \]

Zamiast traktować poszczególne kierunki jako niezależne wielkości, naturalny opis ujmuje je jako elementy jednej ortonormalnej triady. Liczba niezależnych informacji potrzebnych do określenia orientacji zostaje w ten sposób ograniczona do trzech parametrów. Reprezentacja rotorowa dokonuje dalszej kondensacji tego opisu. Zmiana orientacji triady
\[ (\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3) \longrightarrow (\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3) \]
zostaje przedstawiona za pomocą jednego obiektu — rotora $R$. Jego konstrukcja wynika z geometrii obrotu: zorientowana płaszczyzna rozpięta na osiach $\boldsymbol{\ell}_2$ i $\boldsymbol{\ell}_3$ oraz kąt skrętu $\varphi_N(s)$ określają rotor opisujący zmianę orientacji przekroju.

Rys. IV.9. Opis położenia: orientacji przekroju pręta: klasyczny, naturalny i rotorem

Rotor $R$ jest więc pojedynczym obiektem algebraicznym reprezentującym zmianę orientacji jednej ortonormalnej triady względem drugiej. W rozpatrywanym przypadku określa go zorientowana płaszczyzna obrotu $\boldsymbol{\ell}_2\wedge\boldsymbol{\ell}_3$ oraz kąt $\varphi_N(s)$, a jego działanie odwzorowuje triadę początkową $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ w triadę aktualną $(\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3)$. Rotor zachowuje długości wektorów, kąty między nimi oraz prawoskrętną orientację triady. Jest zatem kompletnym i zwartym reprezentantem transformacji orientacji przekroju: z jednego obiektu można odtworzyć wszystkie trzy kierunki aktualnej triady, bez niezależnego wyznaczania jej osi ani macierzy transformacji.

Rotor orientacji przekroju

Dla ortonormalnej triady początkowej $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ oraz triady aktualnej $(\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3)$ zmianę orientacji przekroju reprezentuje rotor $R(s)$. Jest to element algebry geometrycznej związany z zorientowaną płaszczyzną obrotu i kątem $\varphi_N(s)$. W rozpatrywanym przypadku płaszczyznę obrotu wyznaczają wektory $\boldsymbol{\ell}_2$ i $\boldsymbol{\ell}_3$, natomiast jej orientację określa oś $\boldsymbol{\ell}_1$. Rotor ma postać
\[ R(s)= \cos\frac{\varphi_N(s)}{2} – \boldsymbol{\ell}_2\wedge\boldsymbol{\ell}_3\, \sin\frac{\varphi_N(s)}{2}, \tag{IV.47a} \label{IV.47a} \]

gdzie $\boldsymbol{\ell}_2\wedge\boldsymbol{\ell}_3$ jest jednostkowym bivectorem zorientowanej płaszczyzny obrotu, a $\varphi_N(s)$ jest kątem obrotu. Równoważnie rotor można zapisać w postaci wykładniczej
\[ R(s)= \exp\left[ -\frac{\varphi_N(s)}{2} \boldsymbol{\ell}_2\wedge\boldsymbol{\ell}_3 \right]. \tag{IV.48} \label{IV.48} \]

Rotor jest elementem jednostkowym, dla którego

\[ R\widetilde{R}=\widetilde{R}R=1, \tag{IV.49} \label{IV.49} \]
a jego odwrotność jest równa sprzężeniu rewersyjnemu:
\[ R^{-1}=\widetilde{R}. \tag{IV.50} \label{IV.50} \]

Transformacja dowolnego wektora $\mathbf a$ przez rotor ma postać
\[ \mathbf a^{\,\prime} = R\,\mathbf a\,\widetilde{R}. \tag{IV.51} \label{IV.51} \]

W szczególności aktualne osie triady wynikają bezpośrednio z działania tego samego rotora na osie triady początkowej:
\[ \boldsymbol{\ell}_i = R\,\mathbf e_i\,\widetilde{R}, \qquad i=1,2,3. \tag{IV.52} \label{IV.52} \]

Własność ta stanowi zasadniczą różnicę w stosunku do reprezentacji opartej na niezależnym wyznaczaniu kierunków poszczególnych osi. Cała transformacja orientacji jest określona przez jeden rotor, a trzy aktualne osie są jego bezpośrednimi obrazami. Zachowane zostają przy tym długości wektorów, kąty między nimi oraz wzajemna orientacja triady.

Mechaniczne podstawy klasycznych teorii prętów pozostają niezmienione. Nie ulegają zmianie równania równowagi, związki konstytutywne, definicje sił przekrojowych, interpretacja funkcji sektorowej, deplanacji i bimomentu ani charakterystyki geometryczne przekroju. Rozszerzeniu ulega wyłącznie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju. Jego celem nie jest wprowadzenie nowej wielkości mechanicznej, lecz uzyskanie jednolitego sposobu reprezentacji zmiany orientacji lokalnego układu odniesienia.
W proponowanym ujęciu orientacja przekroju jest traktowana jako odrębny obiekt geometryczny, niezależny od jego położenia. W konfiguracji początkowej przekrój jest związany z ortonormalną triadą
\[ (\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3), \]
natomiast w konfiguracji aktualnej z triadą
\[ (\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2,\boldsymbol{\ell}_3). \]
Istotą opisu nie są jednak poszczególne wersory tych układów, lecz transformacja prowadząca od jednej triady do drugiej. Transformację tę reprezentuje rotor $R$. Rotor nie jest zbiorem wersorów aktualnego układu ani samą orientacją przekroju, lecz pojedynczym obiektem algebraicznym realizującym zmianę jego orientacji. Aktualne wersory są obrazami wersorów układu początkowego w wyniku działania tego samego rotora:
\[ \boldsymbol{\ell}_i = R\,\mathbf e_i\,\widetilde{R}, \qquad i=1,2,3. \tag{IV.53} \label{IV.53} \]
W ten sposób jeden rotor zastępuje cały zespół wzajemnie powiązanych zależności potrzebnych do wyznaczenia aktualnych kierunków osi. Rotor stanowi zatem obiekt geometryczny opisujący samą transformację orientacji, natomiast jego zapis w określonej postaci algebraicznej jest jedynie reprezentacją tego obiektu. W szczególności równoważnymi sposobami reprezentacji tej samej transformacji są macierz obrotu, kwaternion jednostkowy oraz rotor. Nie opisują one różnych stanów orientacji, lecz ten sam stan za pomocą różnych aparatów matematycznych. Klasyczną reprezentację transformacji stanowi macierz cosinusów kierunkowych
\[ \mathbf C= \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33} \end{bmatrix}, \tag{IV.54} \label{IV.54} \]
spełniająca warunki
\[ \mathbf C^{T}\mathbf C=\mathbf I, \qquad \det\mathbf C=1. \tag{IV.55} \label{IV.55} \]
Macierz ta należy do grupy $SO(3)$ i zapewnia pełny opis orientacji przekroju, lecz posługuje się dziewięcioma współczynnikami związanymi warunkami ortogonalności, spośród których tylko trzy są niezależne. W reprezentacji rotorowej ta sama transformacja zostaje zawarta w jednym obiekcie $R$. Z rotora można odtworzyć macierz obrotu, a następnie kierunki wszystkich osi aktualnej triady. Nie ma więc potrzeby niezależnego wyznaczania poszczególnych cosinusów kierunkowych ani utrzymywania osobnego zespołu więzów zapewniających ortogonalność osi. Rotor jest obiektem jednostkowym, spełniającym warunek
\[ R\widetilde{R}=1, \tag{IV.56} \label{IV.56} \] a zatem \[ R^{-1}=\widetilde{R}. \tag{IV.57} \label{IV.57} \]

Własność ta zapewnia odwracalność transformacji oraz zachowanie metrycznych własności triady. Działanie rotora zachowuje długości wektorów, kąty między nimi i wzajemną orientację osi, dzięki czemu ortonormalna triada początkowa przechodzi w ortonormalną triadę aktualną. Jedną z możliwych reprezentacji algebraicznych rotora jest kwaternion jednostkowy. W zapisie kwaternionowym
\[ R\;\longleftrightarrow\; q= \begin{bmatrix} q_0&q_1&q_2&q_3 \end{bmatrix}^{T}, \tag{IV.58} \label{IV.58} \]
którego składowe spełniają warunek normalizacji
\[ q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1. \tag{IV.59} \label{IV.59} \]
Kwaternion jednostkowy nie stanowi zatem dodatkowej wielkości mechanicznej ani odmiennego operatora orientacji. Jest zwartą reprezentacją tego samego rotora. W szczególności równoważność reprezentacji oznacza, że macierz obrotu, kwaternion jednostkowy i rotor mogą być stosowane zamiennie do opisu tej samej transformacji orientacji, przy zachowaniu właściwych reguł przejścia pomiędzy reprezentacjami. Wybór rotora jako podstawowego obiektu opisu wynika z jego bezpośredniego związku z geometrią obrotu oraz z możliwości reprezentowania całej transformacji za pomocą jednego obiektu, bez rozdzielania jej na niezależne składowe kierunkowe. Tak sformułowany aparat matematyczny nie zmienia mechanicznej treści teorii prętów. Klasyczne wielkości mechaniczne i geometryczne przekroju zachowują swoje dotychczasowe znaczenie. Rotor wprowadza jedynie jednolitą reprezentację zmiany orientacji, która może być stosowana zarówno do opisu małych, jak i skończonych obrotów. Stanowi tym samym wspólny obiekt transformacyjny dla dalszego opisu kinematyki przekroju, skręcania, zginania oraz transformacji wielkości związanych z przekrojem. Strukturę przyjętego aparatu można zatem ująć w postaci:
\[ \text{orientacja geometryczna} \;\longleftrightarrow\; \text{rotor }R \;\longleftrightarrow\;\text{macierz obrotu lub kwaternion} \]
przy czym rotor stanowi obiekt opisujący transformację, natomiast macierz i kwaternion są jego równoważnymi reprezentacjami.

Kinematyczny opis cienkościennego pręta

W pracy zachowano wszystkie mechaniczne założenia klasycznej teorii cienkościennych prętów przedstawione wcześniej przez autora w roku 1996 [38])) oraz rozwijane w kolejnych pracach dotyczących prętów cienkościennych. Zmianie nie ulega sposób definiowania odkształceń, naprężeń, sił przekrojowych ani równań równowagi. Modyfikacji podlega wyłącznie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju.

Punktem wyjścia pozostaje opis ruchu dowolnego punktu cienkościennego pręta. W proponowanym ujęciu ruch ten rozdziela się na dwie całkowicie niezależne transformacje geometryczne:

translację punktu odniesienia przekroju,
zmianę orientacji lokalnego układu współrzędnych przekroju.

Pierwsza z nich opisuje zmianę położenia środka odniesienia przekroju w przestrzeni i jest identyczna z klasycznym opisem mechaniki prętów. Druga opisuje wyłącznie zmianę orientacji przekroju i stanowi niezależny problem geometryczny. Rozdzielenie tych dwóch transformacji przedstawiono schematycznie na rys. rys. IV.9 i stanowi ono podstawową ideę proponowanego formalizmu. W konsekwencji położenie przekroju opisywane jest klasycznym wektorem przemieszczenia, natomiast jego orientacja określana jest przez operator orientacji. Operator ten nie stanowi nowej wielkości mechanicznej, lecz operator geometryczny przekształcający lokalny układ współrzędnych z orientacji początkowej do orientacji aktualnej. Dzięki temu translacja i obrót przekroju stają się dwiema niezależnymi zmiennymi kinematycznymi, które mogą być opisywane oraz analizowane niezależnie od siebie.

Takie rozdzielenie prowadzi do znacznego uporządkowania opisu kinematyki pręta. W klasycznych teoriach orientacja przekroju była utożsamiana z wartościami kątów obrotu lub z macierzą transformacji. W proponowanym ujęciu orientacja stanowi własność geometryczną przekroju, natomiast operator orientacji jest obiektem matematycznym opisującym zmianę tej orientacji. Macierz cosinusów kierunkowych oraz kwaternion jednostkowy nie są zatem samą orientacją, lecz jedynie dwiema równoważnymi reprezentacjami tego samego operatora geometrycznego.

Tak sformułowany opis stanowi bezpośrednie rozwinięcie geometrycznie ścisłej teorii cienkościennych prętów przedstawionej przez autora w pracy z 1996 roku. Zachowane zostają wszystkie klasyczne zależności mechaniczne, natomiast punkt wyjścia zostaje uporządkowany poprzez jednoznaczne rozdzielenie pojęć położenia, orientacji oraz operatora orientacji. Dzięki temu dalsze wyprowadzenia dotyczące pola położenia, gradientu deformacji, odkształceń, krzywizn, deplanacji oraz bimomentu mogą być prowadzone w jednolitym formalizmie geometrycznym obejmującym zarówno małe, jak i skończone obroty przekroju.
W kolejnym podrozdziale zostanie zdefiniowane pole położenia dowolnego punktu cienkościennego pręta. Będzie ono stanowiło punkt wyjścia do wyprowadzenia gradientu deformacji oraz dalszych równań geometrycznie nieliniowej teorii cienkościennych prętów.

Interpretację kinematyczną przedstawiono na rys. IV.9. Rysunek ten nie ilustruje jedynie przejścia pomiędzy konfiguracją początkową i aktualną pręta, lecz przedstawia podstawową strukturę geometryczną proponowanego formalizmu. Pokazuje on, że ruch przekroju można jednoznacznie rozdzielić na dwie wzajemnie niezależne transformacje geometryczne: zmianę położenia punktu odniesienia przekroju oraz zmianę orientacji lokalnego układu współrzędnych. Pierwsza z nich opisuje translację przekroju i określana jest przez klasyczny wektor przemieszczenia. Druga odpowiada wyłącznie zmianie orientacji przekroju i nie zależy od jego położenia w przestrzeni. Oznacza to, że dwa przekroje mogą posiadać identyczne położenie, lecz różną orientację, podobnie jak mogą posiadać tę samą orientację przy różnych położeniach. Rozdzielenie tych dwóch wielkości stanowi podstawową zasadę przyjętego opisu kinematycznego. Lokalny układ współrzędnych związany z przekrojem w orientacji początkowej oznaczono przez $(E_1,E_2,E_3),$ natomiast odpowiadający mu układ w orientacji aktualnej przez $(ell_1,\ell_2,\ell_3).$. Przejście pomiędzy tymi układami nie jest realizowane przez kolejne obroty wokół osi ani przez zmianę wartości kątów obrotu, lecz przez operator orientacji, który należy interpretować jako operator geometryczny przekształcający lokalny układ współrzędnych z orientacji początkowej do orientacji aktualnej. W proponowanym ujęciu operator orientacji nie jest zbiorem wersorów lokalnego układu współrzędnych. Wersory $ (\ell_1,\ell_2,\ell_3) $ stanowią rezultat działania operatora na układ początkowy $ (E_1,E_2,E_3), $, co można zapisać symbolicznie w postaci $ (E_1,E_2,E_3) \;\xrightarrow{\;Q\;} (\ell_1,\ell_2,\ell_3).$. Operator orientacji pełni zatem rolę geometrycznego operatora transformacji, natomiast aktualna orientacja przekroju jest wynikiem jego działania. Rozróżnienie to ma zasadnicze znaczenie dla dalszych wyprowadzeń, ponieważ pozwala oddzielić własność geometryczną przekroju od matematycznego aparatu wykorzystywanego do jej opisu. Dzięki temu lokalny układ współrzędnych, macierz cosinusów kierunkowych oraz kwaternion jednostkowy stają się jedynie różnymi reprezentacjami tego samego procesu transformacji orientacji przekroju.

Pole położenia cienkościennego pręta

Po rozdzieleniu ruchu przekroju na niezależny opis jego położenia oraz orientacji można przystąpić do zdefiniowania pola położenia dowolnego punktu cienkościennego pręta. Pole to stanowi podstawowy obiekt kinematyczny, z którego w dalszej części pracy wyprowadzone zostaną gradient deformacji, miary odkształcenia oraz równania geometrycznie nieliniowej teorii prętów. Zgodnie z interpretacją przedstawioną na rys. IV.9 położenie przekroju opisuje wyłącznie translację punktu odniesienia, natomiast orientacja przekroju określa wzajemne położenie lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem. Obie transformacje są od siebie niezależne i dopiero ich jednoczesne uwzględnienie pozwala jednoznacznie określić położenie dowolnego punktu pręta. Niech punkt odniesienia przekroju będzie opisany wektorem wodzącym
\[ \mathbf{r}_0(s), \tag{IV.19} \label{IV.19} \]

gdzie parametr $s$ oznacza współrzędną łukową osi pręta. Wektor ten określa wyłącznie położenie przekroju w przestrzeni i nie zawiera informacji o jego orientacji.

Położenie dowolnego punktu przekroju zależy od jego współrzędnych lokalnych \[39] .

Znajdziemy rozwiązanie równania ($\ref{IV.39}$) zapisanego w postaci

\[ \varphi^{(iv)} (x) – \alpha^2 \varphi^{(ii)}(x) = \cfrac{m_s(x)}{EI_\omega}\label{IV.120} \]

gdzie

\[ \alpha^2= \cfrac{GI_v}{EI_\omega} \label{IV.121} \]

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego ($\ref{IV.120}$) jest sumą całek: ogólnej równania jednorodnego $\varphi_o (x)$ i szczególnej równania niejednorodnego.$\varphi_s (x)$

\[ \varphi (x)= \varphi_o (x) +\varphi_s (x) \label{IV.42} \]

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukujemy rozwiązania równania jednorodnego

\[ \varphi^{(iii)} (x) – \alpha^2 \varphi^{(i)} (x) = 0 \label{IV.50} \]

w postaci $e^{rx}$. Po podstawieniu przewidywanej postaci rozwiązania uzyskujemy następujące równanie charakterystyczne

\[ r^4- \alpha^2 r^2 = 0 \label{IV.51} \]

które ma cztery pierwiastki

\[ r_1= 0 ; \quad r_2=0 ; \quad r_3=\alpha , \quad r_4 = -\alpha \label{IV.52} \]

Całkę ogólną równania różniczkowego liniowego ($\ref{IV.50}$) można zapisać więc jako kombinację liniową funkcji wykładniczych:

\[ A e^0 + B e^0 + C e^{\alpha x} + D e^{-\alpha x} \label{IV.53} \]

Po zastąpieniu funkcji wykładniczych ich liniową kombinacją funkcji wykładniczych, zdefiniowanych jako funkcje hiperboliczne
$sinh(\alpha x) = \cfrac {e^{\alpha x}- e^{- \alpha x}}{2}$ oraz
$cosh(\alpha x) = \cfrac {e^{k\alpha }+ e^{- k \alpha}}{2}$

\[ \varphi_o(x) = C_1 + C_2 \cdot sinh (\alpha x) + C_3 \cdot cosh (\alpha x) +C_4 \label{IV.54} \]

Całka ogólna metody parametrów początkowych

Całkę ogólną ($\ref{IV.54}$) można przekształcić do postaci dogodnej do obliczeń metodą parametrów początkowych:

\[ \varphi_o(x) = C_1 + C_2 \cfrac{1}{\alpha} sinh (\alpha x) + C_3 \cfrac{1}{\alpha^2 \overline E I_\omega} \left [ 1- cosh (\alpha x) \right] + C_4 \cfrac{1}{ \alpha^3 \overline E I_\omega} \left [ \alpha x – sinh(\alpha x) \right ] \label{47} \]

Całka szczególna $\varphi_s(x)$ zależy od rozkładu momentów skręcających $m_s (x)$ po długości pręta i zwykle przyjmuje się ją metodą przewidywania.

Na przykład w przypadku pręta obciążonego momentem skręcającym $m_s =const$ stałym na całej długości pręta (schemat 1.3.5.7 w tab. 4) całkę szczególną można zapisać w postaci

\[ \varphi (x) = \cfrac{ -m_s}{\alpha^4 \overline E I_\omega} \left [ \cfrac{1}{2} (\alpha x)^2 +1 – cosh (\alpha x) \right ]\label{48} \]

Warunki brzegowe a stałe całkowania

Stałe całkowania $C_1, \, C_2 \, , \, C_3 , \, C_4$ w rozwiązaniu ($\ref{47}$ wyznacza się ze statycznych i kinematycznych warunków brzegowych.

W tab. 4 zapisano warunki dla najczęściej spotykanych schematów belek cienkościennych.

W innych przypadkach dobór warunków brzegowych przebiega z uwzględnieniem zasad:

$C_1$ jest kątem obrotu $\varphi (x=0) $ na początku belki (x=0),
$C_2$ jest pochodną kąta skręcenia $\varphi (x=0),$
$C_3$ jest bimomentem $B_{\varphi}(x=0)$ ,
$C_4$ jest momentem skręcającym $M_x (x=0)$

przy czym:

przy braku obrotu $\varphi=0$ i swobodzie skręcania $M_x=0$, warunek brzegowy; $\varphi^{(iii)} – \alpha^2 \cdot \varphi^{(i)}= 0$
dla swobodnego końca obciążonego momentem $M_s$ warunek; $ \overline E I_\omega \sim \varphi^{(iii)} – \alpha^2 \varphi^{(i)}- M_x$
w przypadku swobodnego paczenia $B_\omega=0$, czyli $\varphi^{(ii)}=0$
przy braku spaczenia końcowego przekroju $u=0$, czyli $\varphi^{(i)}=0$

Analizy prowadzone w pracy [40] pozwalają postawić warunki brzegowe dla bardziej złożonych przypadków z dokładnością pozwalającą uwzględniać pojedyncze więzi składających się na deplanację przekroju.

Pole przemieszczeń liniowych pręta cienkościennego, opisanych formułą ($\ref{30}$), zaprezentowano na rys.10. Znamienna dla prętów cienkościennych deplanacja przekroju objawia się różnicami przemieszczeń podłużnych punktów przekroju $u_1$ do $u_5$z konfiguracji początkowej (przed odkształceniem) $\Omega^{(0)}$ do konfiguracji po odkształceniu $\Omega^{(N)}$. W celu zwiększenia czytelności na rys.9. nie wniesiono oznaczeń kątów obrotu oraz paczenia.
W dalszej części rozdziału, wychodząc od pola przemieszczeń, pola odkształceń, prawa Hooke’a oraz energii odkształcenia pręta, zostanie wykazane, że współczynniki $A$ i $B$ można wyrazić za pomocą odpowiednich charakterystyk geometrycznych przekroju. W ten sposób otrzymane zostanie pełne równanie klasycznej teorii Własowa wraz z naturalnie wynikającymi z wyprowadzenia definicjami wszystkich charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego.

______________

Hipotezy klasycznej teorii Własowa

Klasyczna teoria cienkościennych prętów Własowa jest oparta na trzech podstawowych hipotezach upraszczających. Hipotezy te umożliwiają sprowadzenie trójwymiarowego zagadnienia sprężystości do jednowymiarowej teorii pręta, zachowując jednocześnie możliwość opisu zjawiska deplanacji przekroju oraz skręcania skrępowanego.

Pierwsza hipoteza Własowa (hipoteza sztywnego konturu)

Pierwsza hipoteza Własowa, nazywana hipotezą sztywnego konturu, zakłada, że przekrój poprzeczny pozostaje nieodkształcalny w swojej płaszczyźnie. Oznacza to, że kontur przekroju wyznaczony przez linie środkowe ścianek po odkształceniu zachowuje ten sam kształt co przed odkształceniem, a odległości pomiędzy dowolnymi punktami konturu pozostają niezmienne. Można to interpretować w ten sposób, że w płaszczyźnie każdego przekroju poprzecznego rozpięta jest idealnie sztywna tarcza oparta na liniach środkowych ścianek, natomiast tarcza ta jest całkowicie podatna na przemieszczenia prostopadłe do swojej płaszczyzny. W rzeczywistości podczas skręcania występują niewielkie odkształcenia przekroju również w jego własnej płaszczyźnie. Doświadczenie pokazuje jednak, że dla małych odkształceń ich wpływ na globalną pracę pręta jest pomijalny, dzięki czemu hipoteza sztywnego konturu zapewnia bardzo dobrą zgodność z rozwiązaniami teorii sprężystości.

Druga hipoteza Własowa (hipoteza swobodnej deplanacji)

Druga hipoteza zakłada możliwość swobodnych przemieszczeń podłużnych punktów przekroju podczas skręcania. W rezultacie przekrój może ulegać deplanacji (paczeniu), natomiast odkształcenia postaciowe w powierzchni środkowej są pomijalnie małe

\[ \gamma_{xs}\approx0. \tag{IV.120} \label{IV.120} \]

gdzie $x$ oznacza współrzędną wzdłuż osi pręta, natomiast $s$ jest współrzędną bieżącą linii środkowej przekroju.

Hipoteza ta stanowi podstawę wprowadzenia współrzędnej wycinkowej oraz pola przemieszczeń teorii Własowa.

Trzecia hipoteza Własowa (hipoteza małych naprężeń normalnych)

Trzecia hipoteza zakłada, że naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są pomijalnie małe

\[\sigma_n\approx0. \tag{IV.121} \label{IV.121} \]

Dzięki temu stan naprężenia można opisać wyłącznie naprężeniami podłużnymi oraz stycznymi, co prowadzi do znacznego uproszczenia równań teorii cienkościennych prętów.

Hipotezy teorii Własowa

Pierwsza hipoteza Własowa (sztywnego konturu)

Pierwsza hipoteza Własowa jest często nazywana hipotezą sztywnego konturu. przyjmuje się, ze przekrój poprzeczny pozostaje nieodkształcalny w swojej płaszczyźnie, to znaczy kontur przekroju w liniach środkowych po odkształceniu jest taki sam jak przed odkształceniem, to znaczy odległości między punktami na przekroju pozostają niezmienione. Powierzchnia środkowa zachowuje się tak, jakby w płaszczyżnie każdego przekroju poprzecznego, rozpostarta była sztywna tarcza oparta na liniach środkowych, idealnie jednak wiotka dla deformacji w kierunku prostopadłym do tego przekroju

Spaczenie przekroju na skutek skręcania nie wpływa na kształt przekroju w jego płaszczyźnie. Faktycznie zaś takie odkształcenia powstają, a hipoteza jest do zaakceptowania w przypadku małych skręceń i ta ma zastosowanie głównie w przypadkach, gdy spaczenie przekroju nie jest dominującym efektem, a pręt jest obciążony w sposób, który nie powoduje dużych odkształceń w płaszczyźnie przekroju.
Paczenie przekroju na skutek skręcania nie wpływa na kształt przekroju w jego płaszczyźnie. Faktycznie zaś takie odkształcenia powstają, a

Druga hipoteza Własowa (deplanacji)

Zakłada się, że podczas skręcania swobodnego występuje swoboda odkształceń podłużnych punktów przekroju pręta wzdłuż osi pręta (swoboda deplanacji) . Konsekwencją tego jest przyjęcie, że odkształcenia kątowe w punktach powierzchni środkowej są małe

\[ \gamma_{x,s} \approx 0 \label{IV.122} \]

gdzie x – jest współrzędną osi pręta, a s współrzędną styczną do linii środkowej.

Trzecia hipoteza Wlasowa (małych naprężeń normalnych)

W tej hipotezie zakłada się, że naprężenia normalne $\sigma_n$ do powierzchni równoległych do powierzchni środkowej sa pomijalnie małe w stosunku do dwóch pozostałych $\sigma_x$, $\sigma_n$

\[ \sigma_n \approx 0 \label{IV.123} \]

Bimoment – nowa siła przekrojowa o dyskusyjnej naturze matematycznej

Bimoment jest nową silą przekrojową specyficzną da prętów cienkościennych proporcjonalnyądo drugiej pochodnej kąta skręcenia przekroju podług zależności. ($\ref{IV.130}}$). Bimoment jest analogiem momentu zginajacego stowarzyszoego z krzywizną pręta w zagadneiniu zginania

W tradycyjnej mechanice przyjmuje się, że bimoment jest liczbą (np. [40], [41]), której można przyporządkować nieskończenie wiele bipar (par momentów o przeciwnym zwrocie), a tymi można obciążyć pręt. W pracy [42] przedstawiono twierdzenia dotyczące algebry układów wektorów sił przyłożonych do płaskiej, sztywnej jedynie w swej płaszczyźnie, linii materialnej, to jest przy założeniu sztywnego konturu przekroju pręta cienkościennego. Rozważania prowadzono w ramach klasycznej algebry wektorów, z której można wyciągnąć wniosek , że bimoment jest liczbą (skalarem).

Autor artykułu stoi na stanowisku, że zagadnienie mechaniki prętów cienkościennych oraz algebry sił w tym bimomentu należałoby rozpatrywać w ramach ogólniejszej algebry Clifforda [43]. Zgodnie z tą teorią siła fizyczna jest trójką (skalar, wektor, biwektor), która jest nazywana pseudowektorem (qwaterionem lub auaterionem). Ta trójka obiektów posiada wszystkie cechy tradycyjnego wektora (wartość, kierunek i zwrot), skalara oraz biwekotra. Obiekty takie są analizowane w algebrze geometrycznej Clifforda [44], [45], [46], [47]. Algebra Clifforda jest szczególnie użyteczna w analizie dużych obrotów, a obecnie obserwuje się renesans jej zastosowań.

Bimoment nie jest ani skalarem , ani wektorem – jest obiektem matematycznym o nazwie quaterion (lub pseudowektor).

W podejściu technicznym bimoment często przedstawia ię jako „parą momentów” [48] (rys.8b) lub „momentem momentów”., a nigdy jako skalar, wektor lub para wektorów (moment). Na rys. 8 zilustrowano to podejście na przykładzie dwuteownika (rys. 8) , w którym bimoment $B_\omega$ przyłożony jest jako para momentów $M_{f\omega} = \cfrac{B_\omega}{h_o}$ do pasów dwuteownika, gdzie $h_o$ jest wysokością profilu w liniach środkowych pasów ($h_o=h-t_f$ .

Modelowanie bimomentu jak pary momentów:

Rys.8. Modelowanie bimomentu jako pary momentów: s) przekrój pręta, b) sposób rozkładu bimomentu, c) postać skręcona dwuteownika [48]

Na rys. 8c przedstawiono dwuteownik skręcony o kąt $\varphi$ i transformację przekrojowego momentu zginającego $M_y$ do konfiguracji odkształcownej.

W niniejszym artykule nie zajmujemy się sformalizowana, matematyczną teorią bimomentów oraz z ich transformacją, a dla dalszych rozważań wystarczająca jest techniczna definicja bimomentu jako pary momentów.

Przy zginaniu nieswobodnym powstaje jeszcze jedna nowa siła przekrojowa – moment giętno-skrętny $M_\omega$ ($\ref{IV.131}}$).

Modelowanie pręta cienkościennego

Kontur przekroju cienkościennego jest sprowadzony do linii środkowych ścianek pręta, które są umieszczone w osiach ścianek a cała grubość odcinka skupia się na linii środkowej. To znaczy przekrój składa się z odcinków, o długości $l_i$ którym przypisano grubości $t_i$ Linie środkowe rys. 6 oznaczono linią przerywaną. W takim modelu przekroju cienkościennego charakterystyki geometryczne przekroju (A, I_y, I_z, itd) różnią się od wartości wyliczonych z klasycznych definicji (p. przykład 2).

Specyficznym typem podpory w analizie prętów cienkościennych jest podpora widełkowa, czyli taka w której nie jest możliwy kąt obrotu. Na rys. 9 pokazano jedną z możliwych realizacji podpory widełkowej, a obok pokazano stosowany symbol podpory i warunki brzegowe generowane przez podporę widełkową.

Pole naprężeń

Naprężenia normalne

Naprężenia normalne w punkcie przekroju pręta cienkościennego $P(y^{(P)} , z^{(P)}, \omega^{(P)})$ wyznacza się z podstawowej zależności technicznej teorii prętów

\[ \sigma_x^{(P)} = \cfrac{N}{A} \cfrac{M_y }{I_y} z^{(P)} – \cfrac{M_z}{I_z} y^{(P)} + \cfrac{B_\omega^P }{I_\omega} \omega^{(P)} \label{IV.124} \]

gdzie:
$(x, y, \omega)$- układ współrzędnych przekroju w osiach głównych centralnych (x,y) i głównego bieguna S oraz głównego punktu początkowego (B_\omega);
$N$, $M_y$, $M_z$, B_\omega$ -s siły przekrojowe : siła osiowa moment zginający względem osi y , osi z oraz bimoment
Dwa pierwsze składniki wywołane są zginaniem pręta, a trzeci składnik wywołany jest skręcaniem skrępowanym i jest specyficzny dla prętów cienkościennych

W formule ($ref\{IV.124}$) nie uwzględniono efektów niestateczności pręta i przekroju. Efekty te sa przedmiotem innych artykułów: niestateczność przy ściskaniu , zginaniu pręta, klasie przekroju .

W przykładach pokazano technikę wyznaczania i sumowania naprężeń normalnych.

Naprężenia styczne

Naprężenia styczne wyznacza się z zależności

\[ \tau^{(P)} = \cfrac{V_z\cdot \overline S_y^{(P)}}{I_y \cdot t^{(P)}}+\cfrac{V_y\cdot \overline S_z^{(P)}}{I_z \cdot t^{(P)}} + \cfrac{M_\omega \cdot \overline S_\omega^{(P)} }{I_\omega \cdot t^{(P)}}+ \tau_v \label {IV.125}\]

gdzie:
$V_y$, $V_z$, $M_\omega$ – siły przekrojowe : siła poprzeczna wzdłuż osi y , osi z oraz moment gięto-skrętny.
$I_y,I_z, I_\omega$ – momenty bezwładności jak w (\ref{IV.124}$)
$ \overline S_y$, $\overline S_y$, $\overline S_\omega$ momenty statyczne odciętej części przekroju w punkcie P: giętne względem osi y,z oraz wycinkowy.

Dwa pierwsze składniki ($\ref{IV.125}$) wywołane są ścinaniem pręta podczas zginania, trzeci składnik wywołany jest skręcaniem skrępowanym i jest specyficzny dla prętów cienkościennych.
Ostatni składnik jest wywołany skręcaniem pręta momentem Saint-Venata $M_v$ wyznacza się w odmienny sposób zależnie od stopnia zamknięcia przekroju pręta. W przypadku przekroju otwartego wyznacza się je z zależności ($\ref{24}$) , w przypadku przekroju zamkniętego z zależności ($\ref{26}$) , w przekroju quasi-zamkniętego zgodnie z procedurą opisaną w rozdziale Prety wielogaleziowe

W przykładach pokazano technikę wyznaczania i sumowania naprężeń stycznych.

Siły przekrojowe w skręcanym pręcie cienkościennym

Skręcanie pręta cienkościennego wywołuje siły przekrojowe, które można wyznaczyć po wyznaczeniu funkcji kąta skrecenia pręta $\varphi(x)$ ($\ref{IV.42}$) z zależności różniczkowych:

moment czystego skręcania (Saint Venanta)

\[ M_v(x) = GI_v \varphi ^{i} (x) \label{IV.126} \]

bimoment

\[ B_\omega (x) = – EI_\omega \varphi ^{ii} (x) \label{IV.127} \]

moment giętno- skrętny

\[ M_\omega (x) = – EI_\omega \varphi ^{iii} (x) \label{IV.128} \]

Praktycznie w każdej sytuacji pręty skręcane są jednocześnie zginane i ścinane, Siły przekrojowe od obciążenia zginającego (poprzecznego do pręta w płaszczyżnie i z płaszczyzny zginania określa się w sposób standardowy, znany z podstawowego kursu mechaniki prętów,

Charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego

Przekrój cienkościenny otwarty

Współrzędna wycinkowa

Lokalny krzywoliniowy układ współrzędnych $(x,s,n)$ w dowolnym punkcie powierzchni środkowej pręta (rys. 10) definiujemy w ten sposób, że pierwszą oś układu określamy jako równoległą do osi globalnej $x$, przyjmując dla niej to samo oznaczenie (rys 5a) o wersorze $\overset{\to}{e_x}$. Druga oś $s$ jest styczna do linii środkowej, definiuje wersor $\overset {\to}{e_s}$. Oś trzecia $n$ jest wyznaczona wersorem $\overset {\to}{e_n}= \overset {\to}{e_x} \times \overset{\to}{e_s}$ Początek osi spółrzędnej łukowej $s$ przyjmujemy w ustalonym punkcie $O$ na linii środkowej, zwanym początkiem przekroju. Punkt B jest dowolnie przyjętym biegunem z którego prowadzi się promienie $\rho(s)$ do punktu bieżącego $M(s)$ i promień $ \rho (s+ds)$ do punktu bieżącego po przyroście współrzędnej łukowej s.
Obok zdefiniowanych wyżej współrzędnych w analizie prętów cienkościennych posługujemy się jeszcze współrzędną wycinkową $\omega$. Przy znajomości linii środkowej, położenia punktu początkowego (O) i bieguna (B) – współrzędna wycinkowa w sposób jednoznaczny wyznacza położenie dowolnego punktu (P). Wartość współrzędnej wycinkowej punktu (P) zależy zarówno od położenia bieguna (B) jak i punktu początkowego (O) – najczęściej punktu zerowej współrzędnej wycinkowej.

Rys. 11 Współrzędne przekroju cienkościennego otwartego (s, n, $\omega$), gdzie $\omega$ – współrzędna wycinkowa: a) układ globalny (x,y,z) i lokalny (x,n,s) współrzędnych punktu, b) współrzędna wycinkowa $\omega$ zmodyfikowane [49]

Współrzędne wersorów lokalnego układu, w dowolnym punkcie $P(s)$ odniesione do układu globalnego zapiszemy w postaci macierzy [C]:

\[ [C] = \left[ \begin{array}{cc}
y^{’}(s) \vec{e_x} & z^{’}(s) \vec{e_x} \\
– z^{’}(s) \vec{e_n} & y^{’}(s) \vec{e_n}
\end{array} \right ] \label {IV.129}} \]

gdzie: $ y^{’}(s) = \cfrac{dy(s)}{ds}$, $z^{’}(s) =\cfrac{dz(s)}{ds}$

Na linii środkowej przekroju poprzecznego pręta przyjmiemy dowolny punkt (P) o wektorze wodzącym $\overset {\to}{\rho} (s)$ zaczepionym biegunie B o współrzędnych $B (0 \ , \, y_b \ , \, z_b)$ oraz utworzymy iloczyn skalarny, który oznaczymy przez $ [d \omega_B](s)$:

\[ [d \omega_B] = \vec {\rho}(s) · \vec { e_n}(s) ds \label{IV.130}} \]

Geometryczną interpretacją bezwzględnej wartości $ | d_\omega](s) |$ jest podwojone pole powierzchni zawartej pomiędzy promieniami wodzącymi $\overset{\to}{\rho} (s)$ i $\overset{\to}{\rho}(s+ds)$, bowiem bezwzględna wartość iloczynu skalarnego przedstawia długość rzutu wektora $\rho(s)$ na normalną do krzywej, będącego wysokością wspomnianego trójkąta.

Współrzędną wycinkową względem dowolnego bieguna (B) definiujemy jako :

\[ \omega_B(s) = \int \limits_0^s [ d \omega_B] (s)= \int \limits _0^s \vec{\rho}(s)\cdot \vec{e}_n ds\label{IV.131}} \]

Jeśli współrzędna łukowa przebiega po kilku ściankach (bokach linii środkowej), to wówczas powyższe możemy zapisać jako sumę całek

\[ \omega_B(s)=\int_{0}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds =\sum \limits _{{i=1}}^{j-1}\int \limits_{s_O^{’}}^{s_M^{’}} \vec{\rho}(s) \cdot \vec{e_n} ds+\int \limits_{s_0^j}^{s}\vec{\rho}(s) \cdot \vec{ e_n} ds\label{IV.132}} \]

gdzie: $s_O^{’}$ i $s_P^{’}$ jest wartością współrzędnej łukowej punktu i-tej krawędzi początkowego (O) i końcowego (P) na odcinku linii środkowej odpowiednio,

Bezwzględna wartość każdego i-tego składnika sumy jest równa podwojonemu polu zawartemu pomiędzy wektorem wodzącym punktu $s_O^{’}$, i-tym bokiem linii środkowej oraz wektorem wodzącym punktu $s_P^{’}$.

Zależność ($\ref{IV.131}}$) można zapisać we współrzędnych globalnych (y,z) w postaci;

\[ \omega_B = \int_0^s ( z – z_B) dy – (y – y_B) dz = \int_o^s (z dy – y dz) – z_B \int_0^s dy + y_B \int_0^s dz = \omega_0 (s) – z_B [y(s) – y_0 ] +y_B [z(s) -z_9] \label{IV.133}} \]

gdzie $(y_0 , z_0, \omega_0) $ są wspólrzędnymi środka globalnego układu.

Zapisując to samo dla dowolnego bieguna (B’) innego od (B) i odejmując stronami uzyskujemy twierdzenie o zmianie bieguna:

Jeśłi znane są współrzędne punktu dla bieguna B o współrzędnych $(y_B, z_B, \omega_B)$ w układzie głównych centralnych osi bezwładności, to współrzędną wycinkową punktu przy zmianie bieguna do punktu B’ (y(B'{, z_{B’} można wynaczyć z zależności

\[ \omega_{B’}(s) = \omega_B (s) – (z_{B’}-z_B ) \left [ y(s) – y_0 \right ] +(y_{B’}-y_B ) \left [ z(s)-z_0 \right ]\label{IV.134}} \]

Należy podreślić, że wartość współrzędnej wycinkowej zależy od wyboru bieguna (B) oraz punktu początkowego (O’).
Główne współrzędne wycinkowe wyznaczane są dla bieguna w środku zginania (B=S) oraz głównego punktu początkowego (O’=O).

Środek zginania (ścinania) (S) i główny punkt początkowy (O)

Położenie środka zginania (S) oraz głównego punktu początkowego (O) wyznacza się z układu równań wynikających z samo-równoważenia się naprężeń normalnych $\sigma_\omega = \cfrac{B_\omega^P }{I_\omega} \omega^{(P)}$ ($\ref{IV.124} $), co prowadzi do warunków:

\[ \begin {cases}
S_\omega = \int _A \omega_S dA =0\\
I_{\omega,y} = \int _A \omega_S \cdot y dA =0\\
I_{\omega,z} = \int _A \omega_S \cdot y dA =0\\
\end {cases} \label{IV.135}} \]

gdzie:
$S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny
$I_{\omega,y}$ i $ I_{\omega,z}$ – wycinkowe, odśrodkowe momenty bezwładności.

Środek zginania (S) (w literaturze nazywanym również środkiem ścinania lub skręcania lub głównym biegunem wycinkowym), jest takim biegunem (B), dla którego zerują się wycinkowe momenty odśrodkowe (dewiacji) $I_{\omega,y}$, $I_{\omega,z}$, czyli z zależności ($\ref{IV.135}})^2$ i ($\ref{IV.135}})^3$. Po zastosowaniu formuły transformacji współrzędnej wycinkowej – zamiany bieguna ($\ref{IV.134}}$) do układu głównych centralnych osi bezwładności uzyskujemy praktycznie stosowane wyrażenia na współrzędne środska zginania (S) :

\[ y_S = y_B +\cfrac{I_{\omega^{’}_B, y}}{I_y} \label{IV.136}} \]

\[ z_S = z_B +\cfrac{I_{\omega^{’}_B, z}}{I_z} \label{IV.137}} \]

gdzie $\omega^{’}_B$ jest współrzędną wycinkową punktu (P) wyznaczoną z dowolnego (pomocniczego) bieguua (B) i zliczaną od dowolnego, pomocniczego punktu początkowego (O’).

Położenie głównego punku początkowego (O), określone współrzędną wycinkową $\omega_S(O)$ oblicza się po wyznaczeniu środka zginania (S) z warunku ($\ref{IV.135}})^1$ zapisanego w postaci

\[ \omega_S(O) = \omega_S^{’} – \cfrac{S_{\omega}^{’} }{A}\label{IV.138}} \]

gdzie $S_{\omega}^{’} = \int_A \omega_S^{’}$ jest wycinkowym momentem statycznym wyznaczonym względem środka zginania (S) dla współrzędnej zliczanej od dowolnego pnktu pomocniczego (O’)

Współrzędną pomocniczą $\omega_S^{’}$ względem środka zginania (S) od pomocniczego punktu początkowego (O’) najprościej wyznaczyć z ($\ref{IV.134}}$)po wuzględnieniu, że $y_0=0$, $z_0=0$:

\[ \omega_S^{’}(s) = \omega_B^{’} (s) – ( z_S -z_B ) \cdot y(s) + (y_S – y_B )\cdot z(s) \label{IV.139}} \]

gdzie $(y_s,z_s)$, $(y_B,z_B) – współrzędne środska zginania i pomcnioczego bieguna w układzie si głównych, centralnych.

Przekrój cienkościenny zamknięty

Współrzędna wycinkowa

Zamknięty przekrój cienkościenny jest niewyznaczalny w schemacie rzeczywistym i w celu wyznaczenia głównych współrzędnych wycinkowych i związanych z nimi charakterystyk należy utworzyć schemat podstawowy – przekrój otwarty) przez przecięcie przekroju w dowolnym punkcie (k) – rys. 12 .

Rys. 12. Wyznaczanie głównej współrzędnej wycinkowej przekroju zamkniętego [9]

Uogólniony wycinkowy moment bezwładności dla dowolnego przekroju zamkniętego oblicza się ze wzoru

\[ I_{\overline \omega}=\oint \overline \omega^2 dA \label{IV.140}\]

w którym $\overline \omega$ oznacza uogólnione pole wycinkowe względem środka ścinania $S$ przekroju od głównego punktu początkowego $O$.

W celu wyznaczenia ($\ref{IV.140}$) najpierw oblicza się pomocnicze współrzędne wycinkowe $\overline \omega’_B$ w podstawowym przekroju otwartym (dla obszaru przeciętego w dowolnym punkcie (K) – rys. 13 ) względem przyjętego (tego samego) bieguna pomocniczego (B) od doolnego pomocniczego pubktu począgtkowego (O.)

Pole wycinkowe względem bieguna $B$ od dowolnego punktu początkowego O’ na konturze, oblicza się ze wzoru

\[ \overline \omega’_B= \omega’_B -\cfrac{\overline s}{\overline s_0} \cdot 2 \Omega \label{IV.141}\]

gdzie:

$\overline s= \int \limits_0 \limits^s \dfrac {t_0} {t(s)} ds$ – sprowadzona współrzędna $s$ (długość konturu) liczona od punktu O’.

Środek zginania (ścinania)

Współrzędne środka ścinania (skręcania) (S) przekroju zamkniętego wyznacza się w układzie centralnych , głównych osi bezwładności, (y, z) z następujących wzorów:

\[ y_S = y_B – \cfrac{ I_{\overline \omega, y} }{I_y} \quad ; \quad z_S = z_B + \cfrac{ I_{\overline \omega, z} }{I_z} \label{IV.142}\]

gdzie:
$y_B$, $z_B$ – współrzędne dowolnie przyjętego bieguna $B$, który na ogół przyjmuje się na konturze,
$I_{\overline \omega, y}= \oint \ovyerline \omega_B \cdot z \, dA $ ,
$I_{\overline \omega, z}= \oint \ovyerline \omega_B \cdot y \, dA $,
$I_y$, $I_z$ – główne momenty bezwładności przekroju poprzecznego względem głównej osi poziomej y i pionowej z odpowiednio.

Pręty o przekroju trójkątnym i inne w kształcie wieloboku foremnego, ale o stałej grubości ścianki (t=const) nie ulegają deplanacji i ich charakterystyki wycinkowe $(\varpi , \overline{S}_\varpi, I_\varpi)$ są równe zeru.

Stan naprężeń

Naprężenia

Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe

\[ \sigma_\omega=E \cfrac {du} {dx}=-E \cfrac {d^2\varphi} {dx^2} \label{IV.143} \]

gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga), a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju. Zachodzi

Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci [50]:

\[ \sigma_{\omega}=\cfrac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega \label{IV.144} \]

Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:

\[ \tau_\omega= \cfrac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} \label{IV.145} \]

gdzie: $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju., przy czym

\[ M_x= M_\upsilon + M_\omega \label{IV.146} \]

Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru[51]:

\[ \tau_\upsilon= \cfrac {M_\upsilon }{W_\upsilon} \tag{IV.147} \label{IV.147} \]

gdzie:

\[ W_\upsilon= \cfrac {I_\upsilon }{max \, t_i } \tag{IV.158}\label{IV.148} \]

jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie, równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.

Dla przekroju cienkościennego przekroju cienkościennego otwartego, złożonego moment bezwładności na skręcanie można oszacować z zależności ($\ref{29}$)

W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi

\[ W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \} \tag{IV.149} \label{IV.149} \]

gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.

Sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.

Ze skręcaniem skrępowanym mamy do czynienia w przypadku skrępowania deplanacji przekroju poprzecznego pręta. W wyniku tego w przekroju powstają naprężenia normalne $\sigma_{\overline \omega}$ oraz dodatkowe naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ . Naprężenia te wyznacza się ze wzorów:

\[ \sigma_{\overline \omega}=\cfrac {B_{\overline \omega} \cdot \overline \omega} {I_{\overline \omega}} \tag{IV.150} \label{IV.150} \]

\[ \tau_{\overline \omega}= – \dfrac {M_{\overline \omega} \cdot \overline S_{\overline\omega} } {I_{\overline \omega} \cdot t(s)}\tag{IV.151} \label{IV.151} \]

gdzie:
$\overline \omega$ – główne, uogólnione pole wycinkowe (współrzędna wycinkowa przekroju);
$I_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment bezwładności;
$ \overline S_{\overline \omega}$ – uogólniony wycinkowy moment statyczny przekroju.
Dodatnim naprężeniom $\tau_{\overline \omega}$ odpowiada zwrot zgodny z kierunkiem dodatniego przyrostu współrzędnej s.c
W odróżnieniu od prętów o przekrojów otwartym , giętno skrętne naprężenia styczne $\tau_{\overline \omega}$ stanowią samozrównoważone układy sił i tym samym cały moment skręcający $M_v$ przenoszą naprężenia styczne swobodnego skręcania $\tau_v$.

Całkowite naprężenie styczne w dowolnym punkcie przekroju znajduje się jako sumę $\tau_v+ \tau_{\overline \omega}$.

Charakterystycznym punktem przekroju cienkościennego jest środek zginania (zwany czasami środkiem skręcania lub środkiem ścinania). Jest to punkt położony w przekroju lub poza nim, taki, że obciążenie przechodzące przez ten punkt nie powoduje skręcania pręta, a tylko jego zginanie poprzeczne. W takim przypadku słuszna pozostaje zasada płaskich przekrojów Bernulliego i pręt jest poddany zginaniu bez udziału skręcania.

Przekroje wielokomorowe

Przekroje wielokomorowe analizuje się analogicznie do przekrojów zamkniętych. Z analogii mebranowej, wynika (z dokłądnością do $ (1+ t/l \approx 1)$, że funkcja naprezęń (Prandtla) $U$ zmienia się tylko po grubości ścianki $t$.Po uwzględnieniu warunków brzegowych na funkcję Prandtla $U$ można wykazać, że zależności są prawdziwe dla wszystkich zamkniętych komór przekroju.

w opracowaniu

Technika wyznaczania charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego

Stosowane procedury matematyczne

Całkowanie numeryczne iloczynu dwóch funkcji

Obliczanie charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego jest w praktyce prowadzone skróconymi metodami całkowania $\int f_0^L f(x)\cdot g(x) dx$ iloczynu dwóch funkcji $f(x)$ i $g(x)$ na odcinku ścianki o długości $L$
Wyznaczanie charakterystyk dotyczy przekroju cienkościennego sprowadzonego do konturu złożonego z linii środkowych ścianek ( p. modelowanie pręta cienkościennego).

Oznaczenia do metod calkowania iloczynu dwóćh funkcji

Rys.13 Oznaczenia do metod całkowania iloczynu dwóćh funkcji f(x) i g(x)

Stosuje się następujące metody całkowania, umożliwiające uzyskanie ścisłych wyników:

metodę trapezów MT,
metodę Simpsona MS,
metodę Mohra-Wereszczagina MM-W

W każdej z metod funkcja podcałkowa f(x) (rys.13) jest ciągła i gładka (ma ciągłą pochodną) i co najwyżej liniowa $f(x) = a_f\cdot x + b_f$.

Funkcja podcałkowa $g(x)$ jest ciągła i gładka oraz:

w metodzie MT – najwyżej liniowa $g(x) = a_g \cdot x + b_g$.
w metodzie MS – najwyżej drugiego stopnia $g(x) = a_g \cdot x^2 + b_g\cdot x +c_g$.
w metodzie MM-W – dowolna ale taka, dla której znane jest położenie środka ciężkości (współrzędna $x_{c,g}$)

W przeciwnym razie uzyskany wynik obarczony jest błędem zależnym od tego w jakim stopniu funkcje podcałkowe nie spełniają przedstawionych powyżej warunków. Wzory całkowania w poszczególnych metodach są następujące:

\[ \int_0^L f(x) \cdot g(x) dx =\begin {cases}
\cfrac{L}{6}\cdot \left [ 2\cdot (f_p \cdot g_p + f_k \cdot g_k ) + f_p \cdot g_k + f_k \cdot g_p \right] , & \text { dla metody MT }\\
\cfrac{L}{6}\cdot \left [ f_p \cdot g_p + 4\cdot f_s\cdot g_s + f_k \cdot g_k\right] , & \text { dla metody MS }\\
\Omega_g \cdot f(x_{c,g}) , & \text { dla metody MM-W }\\
\end {cases} \tag{IV.152}\label{IV.152} \]

W przypadku przekrojów złożonych z prostoliniowych ścianek wykresy współrzędnych $y$, $z$ oraz $\omega$ są liniowe i najprościej stosować metodę trapezów MT i fomułę $(\ref{IV.152})^1$

W przypadku ścianek krzywoliniowych najczęściej stosuje się metodę MM-W.

Najprostszym przykładem zastosowania metody MM-W jest do wyznaczanie pola powierzchni przekroju z formuły

\[ A = \sum_i l_i \cdot t_i \cdot 1 \tag{IV.153} \label{IV.153} \]

Wyrażenie ($\ref{IV.153}$) ma następującą interpretację całkowania geometrycznego MM-W:
na odcinku (ściance) „i” o długości $l_i$ ;
funkcja $ g(s) = t_i(s)$, czyli powierzchnia wykresu $\Omega_g = l_i \cdot t_i$; , a środek ciężkości wystąpi pod rzędną $x_{c,g}= l_i/2$
funkcja $f(s)≡1$ na całym odcinku $l_i$, więc: $fl_i/2)=1$.

Transformacja współrzędnych

Charakterystyki geometryczne przekrojów wyznaczane są w kilku układach współrzędnych: układzie globalnym (początkowym (Y,Z), układzie centralnym $($y_c , z_c)$ (przechodzącym przez środek ciężkości , równoległym do osi globalnych lub układzie głównym (z,c) – centralnym, obróconym tak, by moment dewiacji zerował się. Operacje te podlegają matematycznym zasadom transformacji, które dla stosowanego w artykule prawoskrętnego (matematycznego ) układu współrzędnych przedstawiono na rys. 14 .

Rys.14 Transformacja współrzędnych: a) translacja, b) obrót

Charakterystyki wg formuł wspólnych dla otwartego i zamkniętego przekroju cienkościennego

Charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego wyznaczane w celu ustalenie układu osi centralnych, głównych wyznacza się zgodnie z formułami zestAwionymi w tab. 3,, kol. 7 , wrs. 1-10 i obejmują:

pole przekroju A
momenty statyczne przekorju $S_Y$ i $S_Z$ w układzie globalnym (Y,Z),
współrzędne środka ciężkości przekroju (C) $(y_C, z_C)$,
centralne momenty bezwładności w układzie globalnym (Y,Z),
kąt nachylenia osi głównych $\alpha$
główne centralne momenty bezwładności $I_y$, $I_z$

Charakterystyki wycinkowe dla przekroju otwartego

Charakterystyki wycinkowe dla przekroju zamkniętego

Pręty wielogałęziowe oraz kratownice wielopasowe

Pręty (kratownice) wielopasowe można przystosować do przenoszenia momentu skręcającego poprzez stosowny dobór zamykającego skratowania lub przewiązek. Przykładem skręcanych kratownic są galerie przenośnikowe, bramki nad autostradami lub słupy energetyczne. W ścianach takich kratownic powstają siły typowe dla swobodnego skręcania prętów o przekroju zamkniętym [9].

Pręty wielogałęziowe

Na rys.15 pokazano cienkościenny przekrój quasi-zamknięty oraz przykłady prętów o dwu gałęziach, które mogą być łączone skratowaniem lub przewiązkami w sposób często stosowany przy konstruowaniu dwugałęziowych slupów. Przekrój pozornie zamknięty skratowaniem lub przewiązkami można zamodelować zastępczym przekrojem cienkościennym i zastosować analogię prętową.

Rys. r5 Pręty wielogałęziowe: a) przekrój b), c) skratowany, d) z przewiązkami [9]

Sztywność przekroju na czyste skręcanie bez uwzględnienia pozornego zamknięcia wyznacza się standardowo z zależności ($\ref {23}$). Oznaczymy go jako moment bezwładności czystego skręcania przekroju otwartego

\[ I_{v,open} =k/3\sum_i l_i \cdot t_i^3 \tag{IV.154} \label{IV.154} \]

Zwiększenie sztywności przekroju na skutek zamknięcia go skratowaniem lub przewiązkami można oszacować z zależności [9]:

\[ \overline I_{v,close} =\begin {cases}
\cfrac{E}{G}\left ( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2 \cdot \ A_k \cdot \ sin^2\alpha\cos\alpha , & \text { dla skratowania typu N (bezsłupkowe) – rys. 14c }\\
\cfrac{E}{G} \left( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2 \cdot \cfrac {A_s \cdot A_k \cdot \ sin^2\alpha \cdot cos\alpha} {A_s + A_k \ sin^3\alpha}, & \text {dla skratowania typu V – rys. 14b }\\
24 \cfrac{E}{G} \cdot \left ( \cfrac{\Omega}{b} \right )^2\cdot \cfrac{I_f}{a^2}\left ( 1+2\cfrac{b_1\cdot I_f}{a \cdot I_p}+28,8 \cdot \cfrac{E}{G} \cfrac{I_f}{ab_1 A_p} \right )^{-1} , & \text { dla przewiązek – rys. 14d }\\
\end {cases} \tag{IV.155} \label{IV.155} \]

gdzie:
$E, \, G$ – moduł Younga i moduł Kirchoffa materiału;
$\Omega= 2 \cdot b \cdot h$
$b, b_1$- prześwit i odległość osiowa między gałęziami pręta;
$a$- odległość osiowa między przewiązkami lub węzłami skratowania.
$A_k$, $A_s$ , $A_f$ – pole przekroju krzyżulca, słupka, gałęzi;
$I_f$- moment bezwładności giętnej pojedynczej gałęzi

Całkowity moment bezwładności czystego skręcania przekroju quasi-zamkniętego jest szacunkowo sumą powyższych części

\[ I_v = I_{v,open} +I_{V,close} \tag{IV.156} \label{IV.156} \]

Równanie różniczkowe pręta ($\ref{IV.156}$) należy rozwiązać dla całkowitego momentu bezwładności ($\ref{IV.156}$).
W wyniku uzyskujemy siły przekrojowe $B$, $M_\omega$ $M_v$ ($\ref{IV.127}$) do ($\ref{IV.129}}$), przy czym należy uwzględnić, że uzyskany moment $M_v$ odpowiada swobodnemu skręcaniu pręta quasi-zamkniętego o zwiększonej sztywności w stosunku do pręta nie zamkniętego skratowaniem lub przewiązkami. W4

W celu obliczenia naprężeń stycznych swobodnego skręcania należy moment $M_v$ podzielić na część odpowiadającą przekrojowi otwartemu $M_{v,open} = $M_v \cdot \cfrac{{I_{v,open}}{I_v}$ oraz zamkniętemu $ M_{v,close}= M_v- M_{v,open}$. Dla tak obliczonych momentów można stosować wyrażenia odpowiednie dla danego typu przekroju, ro znaczy ($\ref{24}$) dla części odpowioqadajaćej przekorjowi otwartemu i wg zależnosći ($\ref{26}$) dla części odpowiadającej przekrojowi zamkniętemu.

Siły w prętach skratowań zamykających przekrój pręta (rys. 15 b,c) wyznacza się uwzględniając fakt, że są wywołane przez rozłożone obciążenie działające na ściankę o wartości

\[ q_v = \cfrac{I{v,close} }{I_v} \cdot \cfrac{M_v}{\Omega} \tag{IV.157}\label{IV.157} \]

W przypadku stężenia przewiązkami (rys. 14d) należy ponadto uwzględnić wpływ miejscowych momentów zginających

\[ M_1 = \cfrac{1}{4} q_v \cdot a \cdot b_1 \tag{IV.158} \label{IV.158} \]

gdzie $g_v$ wg ($\ref{IV.157}$).

Kratownice wielopasowe

Metoda analogii pręta cienkościennego może by stosowana do wstępnego zaprojektowania skręcanej kratownicy wielopasowej w sposób pokazany na rys. 2.

Do wstępnego wymiarowania prętów kratownic przestrzennych można pomijać zmniejszający wpływ quasi-zamknięcia pręta skratowaniem. Przy takim założeniu dla kratownicy czteropasowej lub trójpasowej pokazanych na rys. 16, kraty płaskie kratownic przestrzennych pokazanych na rys. 2 sa poddane równomiernie rozłożonemu obciążeniu zewnętrznemu Q :

\[ Q=\begin {cases}
\cfrac{M_v\cdot a }{2ab}=\cfrac{M_v }{2b} , & \text { dla kraty pionowej K1 i K2 kratownicy czteropasowej }\\
\cfrac{M_v\cdot b }{2ab}=\cfrac{M_v }{2a} , & \text { dla kraty poziomej K3 i K4 kratownicy czteropasowej }\\
\cfrac{M_v }{a\cdot\sqrt{3}} , & \text { dla krat K1, K2 i K3 kratownicy trójpasowej}\\
\end {cases} \tag{IV.159} \label{IV.159} \]

Rys.16. Typowe przekroje kratownic wielopasowych

Obciążenia poprzeczne $Q$ są przyłożone do wydzielonej kratownicy płaskiej zgodnie z przebiegiem momentu skręcającego $M_v(x) $ po długości pręta x. Siły w prętach kratownicy wyznacza się poprzez rozwiązanie kratownic płaskich pod takim obciążeniem. Należy pamiętać o sumowaniu sił w pasach od poszczególnych kratownic składowych z uwzględnieniem kierunku obciążenia Q, skąd wynika, że w szczególności, że przypadku przekroju kwadratowego a=b siły osiowe w pasach będą zerowe, a całkowity moment skręcający przenosi skratowanie ścian.

Kratownica przestrzenna, przenosząca skręcanie powinna być skratowana na wszystkich płaszczyznach bocznych oraz powinna być wyposażona w poprzeczne przepony w miejscach przyłożenia momentów (w tym w zamocowaniu) oraz nie rzadziej niż co 8-me pole kratownicy. Do wyznaczania przemieszczeń kratownicy od wpływu skręcania należy uwzględniać współczynnik $k_v <1$. Analizując kratownice w modelu zastępczym pręta w złożonym stanie obciążenia (zginanie, ścinanie, skręcanie) należy stosować element Timoshenko.

Przykłady rachunkowe

Przykłady w przygotowaniu

Przykład 1 [Współrzędne wycinkowe dla typowych przekrojów otwartych prętów stalowych; I (H) , C, Z]

Rykaluk (2012) [52].

Wyznaczyć główne współrzędne wycinkowe $\omega$, moment bezwładności na skręcanie $I_v$ oraz główny wycinkowy moment bezwładności $i_\omega$ dla dwuteownika, ceownika i zetownika.

Dwuteownik I (H)

Analizowany jest model cienkościennego przekroju ( złożony z linii środkowych ścianek). Wysokość przekroju wynosi $h$, szerokość stopki $b$, grubość stopek $t_f$, a grubość środnika $t_w$.

Przekrój jest bisymetryczny , więc środek zginania (ścinania) $S$ pokrywa się ze środkiem ciężkości $C$

Główne współrzędne wycinkowe wyznacza się z bieguna, którym jest środek zginania jako podwojone pole zakreślone przez promień wodzący, jak następuje:

punkt $P_0 \to$ $\omega_{P0}= 2\cdot h/2 \cdot 0 = 0$
punkt $2 \to $ : $\omega_2 = + 2 \cdot 1/2 \cdot h/2 \cdot b/2 = + \cfrac{b h }{4}$ (znak + , bo promień wodzący zakreślił w prawo),
punkt $1 \to $ : $\omega_1 = – 2 \cdot 1/2 \cdot h/2 \cdot b/2 = – \cfrac{b h }{4}$ (znak – , bo promień wodzący zakreślił w lewo),
analogiczne rzędne na stopce dolnej 2ynoszą $\omega= +/- bh/4$

Moment bezwładności na skręcanie
$ (\ref{23}) \to I_v = \cfrac{1}{3} \left (2 b t_f^3 + h t_w^3 \right)$

Główny wycinkowy moment bezwładności:
$I_\omega = \cfrac{b}{6} \cdot \left [ \right ] = \cfrac{h^2}{4} \cdot \cfrac{2 t_f b^3}{12}$

Rys P1-1. Współrzędne wycinkowe dla dwuteownika, ceownika i zetownika [52]

Wykresy głównych współrzędnych wycinkowym podsumowano na rys P1-1.

Przykład 2 [Różnica w wyznaczaniu momentu bezwładności przekroju wg tablic, traktowanego jako zwarty lub cienkościenny ]

Różnice w momentach bezwładności przekroju zwartego i cienkościennego pokażemy na na przykładzie dwuteownika szerokostopowego HEA,. dla którego dane z tablic przytoczono w tab. P2-1.

Tab.P2-1. Dane dwuteowników HEA z tablic hutniczych

W tab. P2-2 zestawiono charakterystyki przekroju HEA wyznaczone jak dla przekroju zwartego oraz cienkościennego.

Tab.P2-2. Charakterystyki dwuteowników HEA traktowanych jak przekrój zwarty oraz cienkościenny

Charakterystyki geometryczne jak dla przekroju zwartego wyznaczono z pominięciem wyokrągleń naroży profilu. Przykładowo pole przekroju $A_{zwarty}$ oraz moment bezwładności $I_{y, zwarty}$ wyznaczano podług formuł:

$A_{zwarty} = A_w + 2 \cdot A_f$,

$I_{y, zwarty} = \cfrac{ t_w \cdot h_w^3 }{12}+ 2 \cdot \left [ \cfrac{b \cdot t_f^3}{12} + A_f \cdot (h_c/2)^2 \right ]$

gdzie:
$A_w = h_w \cdot t_w$,
$A_f = b \cdot t_f$,
$h_w= h – 2 \cdot t_f$
$h_c= h – t_f$

Dla przekroju cienkościennego w wyrażeniach na momenty bezwładności pomijamy składniki, w których występuje grubość ścianki podniesiona do trzeciej potęgi, o to dlatego, że cała grubość odcinka skupiona jest na jego linii środkowej., a także różnicę w definicji wysokości przekroju. W rezultacie otrzymujemy

$A_{cienko} = A_w + 2 \cdot A_f$,

$I_{y, cienko} = \cfrac{ t_w \cdot h_w^3 }{12}+ 2 \cdot \left [ A_f \cdot (h_c/2)^2 \right ]$

W tab P2-2 podano współczynniki $k_y$, $k_z$, $k_v$ oraz $k_\omega$, stanowiące stosunki momentu bezwładności $I_y$, $I_z$, skręcania I_v$ oraz wycinkowego $I_\omega$ odczytane z tablic do wyliczonych jak dla przekroju cienkościennego. Współczynniki te wynoszą średnio dla wszystkich profili w typoszeregu HEA:

$k_y = 1,04 $,
$k_z = 1,00 $,
$k_v= 1,26 $
$k_\omega=1,00$

Współczynniki ujmują wpływ wyokrągleń naroży przekroju . W ta. 6 podano, że współczynnik $k_v$ uzyskany w drodze badań eksperymentalnych dla przekrojów typu HE… zawiera się w granicach (1,21 do 1,41). Rezultat wyliczony w tab.P2-2 zawiera się w podanych granicach.

Charakterystyki geometryczne dwuteownika wyliczone jak dla pręta cienkościennego różnią się od wartości dokładnych (tablicowych) w stopniu akceptowanym w obliczeniach inżynierskich.

Przykład 3 [Charakterystyki geometryczne przekroju otwartego ]

Przykład na podstawie opracowania [53]

Wyznaczyć charakterystyki geometryczne $ I_y$, $I_z$, $I_v$, $I_\omega$ , oraz $\overline S_y$, $\overline S_z$, $\overline S_\omega$ odciętej części przekroju w punkcie C wg rys P2-1 . Układ globalny osi (Y,Z) jest prostopadły sdo osi pręta X i zaczepiony w lewym , górnym narożu przekroju (rys P3-1).

Przekrój cienkościenny, otwarty . Przykłąd 2

Rys. P3-1 Przekrój cienkościenny, otwarty wg [53]

Dane

Na rys. P3-1 przekrój w liniach środkowych ścianek oznaczono linią grubą

Węzły przekroju:
(1) $(y_1 = 20 \, ;\, z_1= 0)$ cm,
(2) $(0\, ;\, 0)$ cm,
(3) $(0\, ; , -30)$ cm,

Ścianki przekroju:
[1] =(1)-(2) $l_1= 20 \, cm$, $t_1= 2 \, cm$
[2]=(2)-(3) $l_2= 30 \, cm$, $t_2= 3 \, cm$
[3]=(3)- (4) $l_3= 13 \, cm$ $t_3= 1,3 \, cm$

Środek ciężkości, osie centralne, osie główne

Na rys. P3-2 osie centralne (przechodzące prze środek ciężkości) naniesiono liniami niebieskimi, a osie główne (osie centrale, ale nachylone pod kątem $\alpha$, względem których momenty bezładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacji jest zerowy) oznaczono liniami bordowymi .

Rys.P3-2 Osie centralne i główne przekroju

Pola powierzchni przekroju

$A_1$ = 20\cdot 2 = 40 \, cm^2$
$A_2$ = 30\cdot 3 = 90 \, cm^2$
$A_3$ =13\cdot 1,3 = 16,9 \, cm^2$
tab.3, kol. 7, wrs. 1 , $ \to A= 40 + 90 + 16,9 = 146,9 \, cm^2$

Współrzędne lokalnych środków ciężkości w układzie początkowym (Y, Z)

$y_1 = 20/2 = 10 \, cm$ , $ z_1 = 0 \, cm$,
$y_2 = 0 \, cm$ , $z_2 = – 30/2 = – 15 \,cm$
$y_3 = 13/2 = 6,5 \,cm $ , $ z_3 = – 30 \,cm$

Momenty statyczne w układzie (Y, Z)

tab.3, kol. 7, wrs. 2 , $ \to S_Y = 40 \cdot 0 + 90 \cdot (-15) + 16,9 \cdot (- 30)= – 1 857 \, cm^3$
tab.3, kol. 7, wrs.3 , $ \to S_Z = 40 \cdot 10 + 90 \cdot 0 + 16,9 \cdot 6,5 = 509,9 \, cm^3$

Środek ciężkości przekroju (C)

tab.3, kol. 7, wrs.4 $ \to Y_c = \cfrac{509,9}{146,9}= 3,47 \, cm$

tab.3, kol. 7, wrs.4 $ \to Z_c = \cfrac{-1 857}{146,9}= – 12,64 \, cm$

Współrzędne lokalnych środków ciężkości w układzie osi centralnych $(y_c, z_c)$

$y_{c1} = 10 – 3,47 = 6,53 \, cm$ , $ z_1 = 0 – (-12,64) = 12,64 \,cm$,
$y_{c2} = 0 – 3,47 = – 3,47 \, cm$ , $z_2 = -15 – (-12,64) = – 2,36 \,cm$
$y_{c3} = 6,5 -3,47 = 3,03 \,cm $ , $z_3 = -30 – (-12,64) = -17,36 \,cm$

Centralne momenty bezwładności

tab.3, kol. 7, wrs. 5 $\to I_{yc} = 40 \cdot 12,64 ^2 + 90 \cdot (-2,36) ^2 +16,9 \cdot (- 17,36) ^2 + \left [\cfrac{3,0 \cdot 30^3}{12}+0+0 \right ] = 18735 cm^4$,

tab.3, kol. 7, wrs. 6 $\to I_{zc} = 40 \cdot 6,53^2 + 90 \cdot ( – 3,47)^2 + 16,9 \cdot 3,03 ^2 + \left [ \cfrac{2,0 \cdot 20^3}{12} + \cfrac{1,3 \cdot 13^3}{12} + 0 \right] = 4516 \, cm^4$

tab.3, kol. 7, wrs. 7 $\to I_{yc,zc}= 40 \cdot 6,53 \cdot 12,64 + 90 \cdot (-3,47 \cdot ( – 3,47) \cdot (-2,36) +36,9 \cdot 3,03 \cdot (-17,36) = 3150 \\, cm^4$

Kąt nachylenia osi głównych

tab.3, kol. 7, wrs. 8 $\to tg (2 \alpha) = – \cfrac{ 3150}{18 735-4516}= 0,443$ $\to \alpha = 11,95^0$

$sin (11,95^o) =0,2071$
$cos (11,95^o) =0,9783$

Główne centralne momenty bezwładności

Z podstawowych zależności wytrzymałości materiałów dla przekrojów zwartych:

tab.3, kol. 7, wrs. 9 $\to I_m= \cfrac{I_{yc} + I_{zc}}{2} = \cfrac{ 18735+4516 }{2}= 11625,5\,cm^2$

tab.3, kol. 7, wrs. 9 $\to I_\Delta = \sqrt{\left( \cfrac{I_{yc} – I_{zc}}{2}\right)^2 +I_{yc,zc}^2}= \sqrt{\left( \cfrac{18735 – 4516}{2}\right)^2 +3150^2}= 7776,1 \, cm^4 $

tab.3, kol. 7, wrs. 9 $\to I_y = I_{max}=I_m+I_\Delta = 11625,5+7776,1 = 19402 \, cm^4$

tab.3, kol. 7, wrs. 10 $\to I_z = I_{min}=I_m – I_\Delta = 11625,5- 7776,1 =3849 \, cm^4$

Te same wartości uzyskano metodą mnożenia wykresów.

Współrzędne punktów przekroju w głównym układzie centralnym (y,z)

Na rys. P3-3 przedstawiono wykresy współrzędnych głównych y, z oraz współrzędnej wycinkowej względem dowolnego bieguna pomocniczego (B) oraz początkowego punktu zliczania (O). Biegun pomocniczy (B) przyjęto w górnym lewym narożu przekroju, a punku (O) w dolnym lewym narożu przekroju

Wykresy współrzędnych przekroju cienkośćinnego

Rys. P3-3 Wykresy współrzędnych przekroju

Współrzędne y, z

$y_{(1)} = (20- 3,47) \cdot 0,9783 – [0-(- 12,64)] \cdot 0,2071 = 13,55 \, cm$,
$z_{(1)} = (20- 3,47) \cdot 0,2071 + [0- (-12,64)] \cdot 0,9783 =\, – 15,79 \, cm$,

$y_{(2)} = (0- 3,47) \cdot 0,9783 – [0-(- 12,64)] \cdot 0,2071 =\, – 6,01 \, cm$,
$z_{(2)} = (0- 3,47) \cdot 0,2071 + [0-(- 12,64)]\cdot 0,9783 = 11,65 \, cm$,

$y_{(3)} = (0- 3,47) \cdot 0,9783 – [30-(- 12,64)] \cdot 0,2071 = 0,20 \, cm$,
$z_{(3)} = (0- 3,47) \cdot 0,2071 + (30-12,64) \cdot 0,9783 =\, – 17,7 \, cm$,

$y_{(4)} = (13 – 3,47) \cdot 0,9783 – [30-(- 12,64)] \cdot 0,2071 =\, – 12,92 \, cm$,
$z_{(4)} = (13 – 3,47) \cdot 0,2071 + [30-(- 12,64)] \cdot 0,9783 =\, – 15,01 \, cm$,

Pomocnicze współrzędne wycinkowe $\omega’$

Biegun pomocniczy (B) przyjęto w lewym, górnym narożu profilu (2) . Pomocniczy punkt początkowy (O’) przyjęto w lewym, dolnym narożu przekroju (3).

$\omega^{’}_{(1)} =\omega_{B, (1)} = 0 \cdot 20 =0 \, cm^2$
$\omega^{’}_{(2)}= \omega{B, (2)} = 0 \cdot 0 = 0 \, cm^2$,
$\omega^{’}_{(3)}= \omega_{B.(3)}=0 \cdot 300 = 0 \, cm^2$,
$\omega^{’}_{(4)} = \omega_{B, (4)} = – 2 \cdot 1/2 \cdot 30 \cdot 13 = – 390 \, cm^2$

Moment bezwładności na skręcanie

tab.4, kol. 6, wrs. 1
$\to I_v= \cfrac{1}{3} (20 \cdot 2,0^3+ 30 \cdot 3,0^3 + 13 \cdot 1,4^3 )= 332,9 \, cm^4$

Giętne momenty bezwładności z mnożenia wykresów

tab.4, kol. 6, wrs. 3 $\to$
$I_y =\cfrac{20}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 15,79^2 +1,65^2 \right )+ 2 \cdot 15,79 \cdot 11,65 \right ] \cdot 2,0 + \cfrac{29}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 11,65^2 + (-17,70)^2 \right ) + 2 \cdot 11,65 \cdot (-17,70 ) \right ] \cdot 3,0 +\\ \cfrac{13}{6} \left [ 2 \cdot \left ( (-17,10)^2 + (-15,01)^2 \right ) + 2 \cdot (-17,70 ) \cdot (-15,01) \right ] \cdot 1,3 = 10402 \, cm^4$

tab.4, kol. 6, wrs. 3 $\to$
$I_y = \cfrac{20}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 13,35^2 + (-6.01)^2 \right ) + 2 \cdot 13,35 \cdot (-6,01) \right ] \cdot 2,0 + \cfrac{29}{6} \left [ 2 \cdot \left ( (-6,01) ^2 + (0,20)^2 \right ) + 2 \cdot (-6,01) \cdot 0,20 \right ] \cdot 3,0 + \\ \cfrac{13}{6} \left [ 2 \cdot \left ( 0,20)^2 + 12,92^2 \right ) + 2 \cdot 0,20 \cdot 12,92 \right ] \cdot 1,3 = 3849 \, cm^4$

Te same wartości uzyskano metodą klasyczną (bez mnożenia wykresów), co zwykle jest mniej pracochłonne.

Wycinkowe, odśrodkowe momenty bezwładności

($\ref{IV.135}})^2$ i ($\ref{IV.135}})^3) całkowane metodą trapezów $(\ref{IV.152})^1$:

$I_{ \omega{’},y} = \cfrac {13}{6} \cdot [ (2\cdot (13,55\cdot 0 -6,01 \cdot 0) +13,55 \cdot 0 – 6,01 \cdot 0) \cdot 2,0 + (2\cdot (- 6,01 \cdot 0 0,20 \cdot 0 ) – 6,01 \cdot 0 + 0,20 \cdot 0) \cdot 3,0 +$
$+(2\cdot 0,20 \cdot 0 + 12,92 \cdot (-390) + 0,2\cdot (-390) + 12,92 \cdot 0)\cdot 1,3 ] = – 28594 \, cm^5$

$I_{\omega{’},z} = \cfrac{13}{6}\cdot \left [ 0+0 + 2\cdot (- 17,70 \cdot 0 + (-15,01 ) \cdot (- 390) + (-17,71) \cdot (- 390) + (-15,01) \cdot 0=\right ] \cdot 1,3 = 52422 \, cm^5 $

Środek zginania (ścinania) (S) (główny biegun wycinkowy)

Na rys. P3-4 współrzędne śroska zginania (S) w różnych ukłądach współrzędnych oznaczono różnymi kolorami:

czerwonym (y_S,z_S) w układzie osi głównych centralnych,
niebieskim (y_S,z_S) w układzie osi centralnych (równoległuch do osi początkowych)
czarnym i duzymi literami (Y_S,Z_S) w układzie osi początkowych

Rys. P3-4 Współrzędne środka zginania (S)

Współrzędne środka zginania w układzie osi głównych centralnych

($\ref{IV.142})^1$ $\to$ y_S $= − 6,01 – \cfrac{52 422}{19 402} = = −6,01 − 2,70 = −8,71 \,cm$

($\ref{IV.142})^2 $ $ \to$ z_S $= 11,65 + \cfrac{−28 594} {3 849} = 11,65 – 7,43 = 4,22 \, cm$

Współrzędne środka zginania w układzie osi centralnych równoległych do osi początkowych (Y,Z)

Współrzędne w układzie osi równoległych do osi początkowych (Y,Z) wyznacza się z zależności transformacyjnych (rys.14b):

y_S= $ y_s \cdot cos (-\alpha) – z_s \cdot sin(-\alpha) = – 8,71 \cdot cos (-11,95^o) – 4,22\cdot sin(-11,95^o)= – 7,65 \, cm$
z_S= $y_s \cdot sin (-\alpha) +z_s \cdot cod (-\alpha) = -8,71 \cdot sin (-11,95^o)+ 4,22\cdot cos (-11,95^o)= 5,93 \, cm$

Współrzędne środka zginania w układzie osi początkowych (Y,Z)

(rys.14a)$\to$
$Y_s= y_s + y_c = – 7,65 + 3,47 = -4,18 \, cm$

$Z_s= z_s + z_c = 5,93 – 12,64 = – 6,70 \, cm$

Pomocnicza współrzędna wycinkowa względem środka zginania

Pomocnicza współrzędna wycinkowa $\omega_S^{’}$ względem środka zginania (S) jest zliczana od pomocniczego punktu zliczania (O’)- punkt (3) przkroju, w celu wyznaczenia głónego punktu początkowego (O) i w konsekwencji głównej współrzędnej wycinkowej.

Rys.P3-5. Pomocnicza współrzędna wycinkowa $\omega_S$ zliczana od punktu pomocniczego (o’)

Pomocniczą współrzędną wycinkową względem środka zginania (S) wyliczymy ze współrzędnej wycinkowej względem bieguna pomocniczego (B) z zależności transformacyjnej ($\ref{IV.139}}$)

Współrzędne biegunów (S) i (B) w osiach glównych
$y_S = – 8,71 \, cm$
$z_S = 4,22 \, cm$
$y_B= y_{(2)}= – 6,01 \, cm$
$ z_B = z_{(2)} = 11,65 \, cm$

$(y_S- y_B) = (-8,71 – (-)6,01= -2,70 \, cm$
$(z_S- z_B) = (4,22 – 11,65 = – 7,43\, cm$

$ \omega_S^{’}(3) = 0 $

($\ref{IV.139}}$) $\to$

punkt (2):
$y_{(2)}= -6,01 \, cm$ ; $z_{(2)}= +11,65 \, cm$
$ \omega_S^{’}(2) = 0 -[-7,43] \cdot (-6.01) + [-2,70] \cdot (+11,65) = 13,20 $

\omega_{S,(3)} – |Y_S| \cdot l_2=0 -| – 4,18| \cdot 30 = -125,43 \, cm^3$
$\omega_S^{’} (1)= \omega_{S,(2)} +|Z_S| \cdot l_1 = -125,43 + |-6,70| \cdot 20 = 8,73 \, cm^3$
$\omega_S^{’} (4)= \omega_{S, (3)}-(l_2 -|z_S|)\cdot l_3 = 0 -(30 – |-6,71|)\cdot 13 = -302,80 \, cm^3

Wycinkowy moment statyczny

($\ref{IV.135}})^1$) całkowany metodą trapezów $(\ref{IV.152})^1$:

$S_{\omega S}=\cfrac{8,73-125,43}{2}\cdot 20 \cdot 2 + \cfrac{-125,43+0 }{2}\cdot 30\cdot 3 +\cfrac{0-302,80}{2}\cdot 13 \cdot 1,4 = – 10 537 \, cm^4$

Współrzędna wycinkowa główna

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Przykład 4 [ Charakterystyki geometryczne przekroju zamkniętego]

Rys.6. Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej

Rys.P4-1 Współrzędne wycinkowe oraz wycinkowe momenty statyczne w rurze prostokątnej [9]

Wykresy uogólnionych współrzędnych wycinkowych oraz wycinkowych momentów statycznych dla zamkniętego przekroju prostokątnego o stałej grubości ścianki $t=const$ podano na rys.7.

Dla przekroju prostokątnego o dwóch różnych grubościach ścianek (t₁,t₂) $I_\varpi$ znajduje się wg wzoru w tabeli 1.

Przykład 5 [Siły przekrojowe w pręcie cienkościennym]

Przykład 1-2 z pracy [9]

Znaleźć kąt skręcenia i siły przekrojowe w pręcie o schemacie statycznym podanym w wrs 6. tab.4, ale dla obciążenia skupionym momentem $M_s$ przyłożonego do dowolnego miejsca po długości pręta, jak pokazano na rys. P4-1

Rys. P5-1 Schemat belki do przykładu [9]

Rozwiązanie belki znajdujemy w postaci ($\ref{47}$).

Z warunków brzegowych:
dla x=0 : $\varphi =0$ ; $B_\omega=0$ wynika wprost:
$C_1=0$ ; $C_3=0$,
a stąd kąt obrotu w przedziale (I) ($(0 \le x < a$) opisuje zależność $\varphi_I = C_2 \cfrac{1}{k sinh (kx)} +C_4 \cfrac{1}{k^3 \overline E I_\omega} [kx – sinh (kx)]$

Literatura

Marguerre M. K., *Torsion von voll- und hohlquerschnitten*, Der Bauingenieur, vol. 21, pp. 317–322, 1940
Vlasov, V. Z., Tonkostiennyje uprugije stierzni, Gos. Izd. Fiz. Mat. Literat., Moskva, 1959 / Thin-Walled Elastic Beams, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1961
Sapountzakis E. J., *Bars under Torsional Loading: A Generalized Beam Theory Approach*, ISRN Civil Engineering, 2013, pp. 1–39, [http://dx.doi.org/10.1155/2013/916581]
STRENCO, *ConSteel – Oprogramowanie dla budownictwa*, 2016, 2019, [http://www.strenco.pl/strenco]
Consteel Software, *ConSteel 14 Manual*, 2020, [http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents]
CTICM, *LTBeam Software (1.011)*, 2013, [http://www.cesdb.com/ltbeam.html]
Birger I., A., Panovko J., G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebania, Moschinostrojenie, Moskva 1968
Niezgodziński M., E., Niezgodziński T., Wzory, wykresy i tablice obliczeń wytrzymałościowych , IX Wyd. WNT 2004
Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych – w pracy Bogucki W. (Red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych: praca zbiorowa. Tom I., cz.1.1. Arkady, Warszawa), 1980
Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa–Kraków, 1980
(Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa–Kraków, 1980
Birger I. A., Panovko J. G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebania, Maschinostrojenie, Moskva, 1968
Shuster, M. D. (1993). A Survey of Attitude Representations,The Journal of the Astronautical Sciences, 41(4), 439–517
Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press, Princeton, New Jersey
Kuipers (1999), rozdz. 5 i 8, s. 127–132
Kuipers (1999), rozdz. 4
Hestenes i Sobczyk (1984), rozdz. 1 i 6
Simo i Vu-Quoc (1986), rozdz. 2
Doran i Lasenby (2003), rozdz. 2 i 3
Hestenes i Sobczyk (1984), rozdz. 6
Doran i Lasenby (2003), rozdz. 2
Birger I. A., Panovko J. G., Spravochnik. Prochnost, ustojchivost, kolebanija, Maschinostrojenie, Moskva, 1968
Piechnik S., Pręty cienkościenne otwarte, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2000
Piechnik S., Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007
Niewiadomski Z., Wytrzymałość prętów cienkościennych, w: Bogucki W. (red.), Poradnik projektanta konstrukcji metalowych, Arkady, Warszawa, 1980
Rykaluk K., Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław, 2012
Bródka J., Broniewicz N., Giżejowski M., Kształtowniki gięte. Poradnik projektanta, PWT, Rzeszów, 2006
Simo J.C. (1985). A Finite Strain Beam Formulation. The Three-Dimensional Dynamic Problem. Part I. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 49(1), 55–70
Simo J.C., Vu-Quoc L. (1986). A Three-Dimensional Finite-Strain Rod Model. Part II: Computational Aspects. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 58, 79–116
Simo J.C., Vu-Quoc L. (1988). On the Dynamics in Space of Rods Undergoing Large Motions – A Geometrically Exact Approach. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 66, 125–161
Hamilton W.R. (1866). Elements of Quaternions. Vol. I. Longmans, Green & Co., London
Kuipers J.B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences. Princeton University Press, Princeton
Ibrahimbegović A. (1997). On the Choice of Finite Rotation Parameters. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 149, 49–71
Jelenić G., Crisfield M.A. (1999). Geometrically Exact 3D Beam Theory: Implementation of a Strain-Invariant Finite Element for Statics and Dynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 171, 141–171
Crisfield M.A., Jelenić G. (1999). Objectivity of Strain Measures in the Geometrically Exact Three-Dimensional Beam Theory and Its Finite-Element Implementation. Proceedings of the Royal Society A, 455, 1125–1147
Zupan E., Saje M., Zupan D. (2009). The Quaternion-Based Three-Dimensional Beam Theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, 3944–3956
Piechnik S. (2000). Pręty cienkościenne – otwarte. Politechnika Krakowska, Kraków
Chodor L., Bijak R.,
((Chodor L. (1996) (([12] – Geometrically Nonlinear Theory of Thin-Walled Beams with Deplanation. …
X_1,X_2)\) oraz od aktualnej orientacji lokalnego układu współrzędnych. W proponowanym formalizmie orientacja ta wyznaczana jest przez operator orientacji $Q(s)$, którego działanie prowadzi do transformacji lokalnego układu odniesienia
\[ (E_1,E_2,E_3) \longrightarrow (\ell_1,\ell_2,\ell_3). \tag{IV.20} \label{IV.20} \]

Lokalne wersory
\[ \ell_1,\qquad \ell_2,\qquad \ell_3 \]

nie są zatem niezależnymi zmiennymi kinematycznymi, lecz stanowią rezultat działania operatora orientacji na układ początkowy. W konsekwencji pole położenia dowolnego punktu przekroju można zapisać w postaci

\[ \mathbf r(X_1,X_2,s) = \mathbf r_0(s) + X_1\,\ell_1(s) + X_2\,\ell_2(s) + \omega(X_1,X_2)\,\ell_3(s), \tag{IV.21} \label{IV.21} \]

gdzie funkcja $\omega(X_1,X_2)$ opisuje deplanację przekroju zgodnie z klasyczną teorią cienkościennych prętów. W szczególnym przypadku klasycznych teorii belkowych przyjmuje się $\omega=0$, natomiast w teorii Własowa funkcja ta odpowiada funkcji sektorowej przekroju.\

Równanie (\ref{IV.21}) stanowi uogólnioną postać pola położenia cienkościennego pręta. Pierwszy składnik opisuje translację przekroju, drugi i trzeci określają położenie punktu w płaszczyźnie przekroju, natomiast ostatni uwzględnia deplanację przekroju. Wszystkie te składniki odnoszone są do aktualnej orientacji lokalnego układu współrzędnych wyznaczonej przez operator orientacji.
W odróżnieniu od klasycznych sformułowań, w których lokalna baza współrzędnych stanowiła podstawową zmienną kinematyczną, w proponowanym formalizmie pełni ona rolę pochodną. Podstawową zmienną pozostaje operator orientacji, natomiast lokalny układ współrzędnych jest rezultatem jego działania. Takie uporządkowanie prowadzi do jednoznacznego rozdzielenia pojęć położenia, orientacji oraz transformacji orientacji, stanowiąc punkt wyjścia do wyprowadzenia gradientu deformacji.

Operator orientacji w polu położenia

Pole położenia (\ref{IV.21}) stanowi podstawową zależność opisującą geometrię zdeformowanego pręta. W proponowanym formalizmie wszystkie zmiany orientacji lokalnego układu współrzędnych wynikają z działania operatora orientacji, natomiast lokalne wersory przekroju stanowią jedynie obrazy wersorów układu początkowego. Oznacza to, że operator orientacji jest jedynym obiektem odpowiedzialnym za opis zmian orientacji przekroju wzdłuż osi pręta. Jeżeli z przekrojem w konfiguracji początkowej związany jest ortonormalny układ współrzędnych

\[ (E_1,E_2,E_3), \tag{IV.22} \label{IV.22} \]

to operator orientacji wyznacza odpowiadający mu układ aktualny

\[ (\ell_1,\ell_2,\ell_3), \tag{IV.23} \label{IV.23} \]

zgodnie z zależnością

\[ \ell_i=Q(E_i), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.24} \label{IV.24} \]

Pole położenia dowolnego punktu przekroju można więc zapisać bezpośrednio przez operator orientacji

\[ \boxed{ \mathbf r(X_1,X_2,s)= \mathbf r_0(s) + X_1Q(E_1) + X_2Q(E_2) + \omega(X_1,X_2)\,Q(E_3) } \tag{IV.25} \label{IV.25} \]

Zależność (\ref{IV.25}) stanowi podstawową postać pola położenia w proponowanym formalizmie. W przeciwieństwie do klasycznych sformułowań, w których jako zmienne kinematyczne występowały bezpośrednio lokalne wersory lub macierz transformacji, tutaj jedyną zmienną opisującą orientację jest operator orientacji. Lokalny układ współrzędnych pojawia się dopiero jako rezultat jego działania.

Takie sformułowanie prowadzi do jednoznacznego rozdzielenia trzech pojęć:
- położenia przekroju opisanego wektorem $\mathbf r_0(s)$,
- * orientacji przekroju opisanej aktualnym lokalnym układem współrzędnych $(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$,
- operatora orientacji $Q(s)$ , który realizuje transformację pomiędzy układem początkowym i aktualnym.
Rozdzielenie tych trzech pojęć stanowi zasadniczą różnicę pomiędzy proponowanym formalizmem a klasycznym opisem opartym na macierzy transformacji. Operator orientacji nie jest bowiem ani lokalnym układem współrzędnych, ani jego reprezentacją macierzową. Jest operatorem geometrycznym wyznaczającym orientację przekroju poprzez transformację układu początkowego. Tak zapisane pole położenia stanowi bezpośredni punkt wyjścia do wyznaczenia gradientu deformacji. Ponieważ zarówno położenie środka przekroju, jak i operator orientacji zależą od współrzędnej łukowej $s$, różniczkowanie zależności (\ref{IV.25}) prowadzi w sposób naturalny do wyprowadzenia miar odkształcenia oraz krzywizny cienkościennego pręta.

Pole operatora orientacji

Podobnie jak położenie środka przekroju opisane jest polem wektorowym

\[ \mathbf r_0=\mathbf r_0(s), \]

orientacja przekroju stanowi również pole geometryczne zmieniające się wzdłuż osi pręta. W proponowanym formalizmie pole to opisuje operator orientacji

\[ Q=Q(s), \tag{IV.26} \label{IV.26} \]

który każdemu przekrojowi przyporządkowuje jego aktualną orientację przestrzenną. Operator orientacji należy interpretować jako pole operatorów ortogonalnych zdefiniowane na osi pręta. Każdej wartości parametru łukowego $s$ odpowiada dokładnie jeden operator orientacji określający wzajemne położenie lokalnego i globalnego układu współrzędnych.

Działanie operatora prowadzi do transformacji lokalnego układu odniesienia

\[ (E_1,E_2,E_3) \longrightarrow (\ell_1,\ell_2,\ell_3), \]

przy czym lokalne wersory określone są zależnością

\[ \ell_i(s)=Q(s)E_i, \qquad i=1,2,3. \tag{IV.27} \label{IV.27} \]

Operator orientacji stanowi zatem pierwotną zmienną geometryczną, natomiast lokalny układ współrzędnych jest jedynie wynikiem jego działania.

Pole operatora orientacji jest całkowicie niezależne od pola położenia środka przekroju. Oznacza to, że translacja oraz obrót przekroju opisane są przez dwa niezależne pola geometryczne

\[ \mathbf r_0=\mathbf r_0(s), \qquad Q=Q(s), \tag{IV.28} \label{IV.28} \]

które wspólnie definiują kinematykę cienkościennego pręta. Takie ujęcie prowadzi do naturalnego rozdzielenia dwóch podstawowych zagadnień geometrycznych mechaniki prętów. Pole położenia opisuje trajektorię osi pręta w przestrzeni, natomiast pole operatora orientacji opisuje ewolucję orientacji lokalnego układu współrzędnych wzdłuż tej osi. Wszystkie dalsze wielkości kinematyczne, w szczególności gradient deformacji, odkształcenia oraz krzywizny, będą wyprowadzane z tych dwóch podstawowych pól.

Gradient deformacji

Pole położenia oraz pole operatora orientacji stanowią dwie podstawowe zmienne geometryczne opisujące kinematykę cienkościennego pręta. Wszystkie dalsze wielkości kinematyczne wyprowadzane są z ich zmian wzdłuż osi pręta. Oznacza to, że opis deformacji sprowadza się do wyznaczenia pochodnych dwóch podstawowych pól

\[ \mathbf r_0=\mathbf r_0(s), \qquad Q=Q(s). \tag{IV.29} \label{IV.29} \]

Różniczkując pole położenia środka przekroju względem współrzędnej łukowej otrzymuje się wektor styczny do zdeformowanej osi pręt

\[ \mathbf g_0= \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \tag{IV.30} \label{IV.30} \]

opisujący lokalny kierunek osi pręta po deformacji.

Jednocześnie zmianie ulega orientacja lokalnego układu współrzędnych. Ponieważ lokalne wersory są obrazami operatora orientacji,

\[ \ell_i=Q(E_i), \]

a ich pochodne wynikają bezpośrednio ze zmienności operatora orientacji

\[ \frac{d\ell_i}{ds} = \frac{dQ}{ds}(E_i), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.31} \label{IV.31} \]

Pochodna operatora orientacji opisuje zatem lokalną zmianę orientacji przekroju wzdłuż osi pręta. Wielkość ta stanowi odpowiednik klasycznych krzywizn oraz skręcenia, lecz została sformułowana bez odwoływania się do małych kątów obrotu. Gradient deformacji cienkościennego pręta wynika z jednoczesnej zmiany położenia oraz orientacji przekroju. W proponowanym formalizmie jest on zatem funkcją dwóch niezależnych pól geometrycznych

\[ \nabla\mathbf r = \nabla\mathbf r \!\left( \mathbf r_0, Q \right). \tag{IV.32} \label{IV.32} \]

Takie sformułowanie stanowi uogólnienie klasycznego opisu stosowanego w geometrycznie ścisłych teoriach prętów. W miejsce lokalnej bazy współrzędnych jako podstawowej zmiennej przyjmuje się operator orientacji, natomiast lokalny układ współrzędnych jest wyznaczany jako rezultat jego działania. Dzięki temu cała kinematyka pręta opiera się na dwóch polach geometrycznych: polu położenia oraz polu operatora orientacji.

W dalszej części pracy zostanie wykazane, że z pochodnej operatora orientacji można jednoznacznie wyprowadzić wektor krzywizn, skręcenie, deplanację oraz wszystkie klasyczne miary odkształcenia cienkościennego pręta. Zachowane zostają przy tym wszystkie mechaniczne podstawy klasycznej teorii Własowa, natomiast zmianie ulega jedynie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu orientacji przekroju.

Kinematyka operatorowa cienkościennego pręta

Przyjęte w poprzednich rozdziałach pola położenia oraz operatora orientacji stanowią komplet zmiennych geometrycznych opisujących ruch cienkościennego pręta. Oznacza to, że stan geometryczny każdego przekroju wzdłuż osi pręta jest jednoznacznie określony przez parę pól

\[ \mathbf r_0=\mathbf r_0(s), \qquad Q=Q(s). \tag{IV.29} \label{IV.29} \]

Pole położenia opisuje trajektorię osi pręta w przestrzeni, natomiast operator orientacji określa ewolucję lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem. Oba pola są od siebie niezależne i dopiero ich łączne uwzględnienie pozwala jednoznacznie określić konfigurację geometryczną pręta. Takie ujęcie prowadzi do nowej interpretacji kinematyki pręta. Zamiast opisywać ruch przekroju za pomocą przemieszczeń oraz kątów obrotu, konfiguracja geometryczna pręta przedstawiana jest jako para pól geometrycznych

\[ \boxed{ \mathcal K(s)= \left\{ \mathbf r_0(s), Q(s) \right\}. } \tag{IV.30} \label{IV.30} \]

Pole $\mathbf r_0(s)$ odpowiada za opis translacji osi pręta, natomiast pole $Q(s)$ opisuje zmianę orientacji lokalnego układu współrzędnych. Rozdzielenie tych dwóch pól odpowiada bezpośrednio interpretacji przedstawionej na rys. IV.9, gdzie położenie oraz orientacja przekroju potraktowane zostały jako dwie niezależne wielkości geometryczne.

Lokalny układ współrzędnych nie jest zatem podstawową zmienną teorii, lecz wynikiem działania operatora orientacji

\[ \ell_i(s)=Q(s)E_i. \tag{IV.31} \label{IV.31} \]

Analogicznie pole położenia dowolnego punktu przekroju jest funkcją obu pól geometrycznych i może być zapisane jako

\[ \mathbf r= \mathbf r \left( \mathbf r_0, Q \right). \tag{IV.32} \label{IV.32} \]

Wszystkie dalsze wielkości kinematyczne teorii cienkościennych prętów wyprowadzane będą z lokalnych zmian pól $\mathbf r_0(s)$ oraz $Q(s)$. Dotyczy to w szczególności odkształceń osi pręta, zmian orientacji przekroju, skręcania, zginania, deplanacji oraz bimomentu.

Takie sformułowanie zachowuje pełną zgodność z klasyczną teorią prętów oraz geometrycznie ścisłymi teoriami rozwiniętymi przez Simo i współpracowników, jednocześnie porządkując opis geometryczny poprzez jednoznaczne rozdzielenie pojęć położenia, orientacji oraz operatora orientacji.

Zmienność pól geometrycznych wzdłuż osi pręta

Konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta została opisana przez dwa niezależne pola geometryczne: pole położenia środka przekroju $\mathbf r_0(s)$ oraz pole operatora orientacji $Q(s)$. Wszystkie wielkości kinematyczne teorii wynikają ze zmienności tych pól wzdłuż osi pręta. Zmienność położenia środka przekroju opisuje pochodna względem współrzędnej łukowej

\[ \mathbf g(s)= \frac{d\mathbf r_0(s)}{ds}, \tag{IV.33} \label{IV.33} \]

która wyznacza wektor styczny do osi pręta w konfiguracji aktualnej. Drugim niezależnym polem geometrycznym jest operator orientacji. Jego zmienność opisuje pochodna

\[ \frac{dQ(s)}{ds}, \tag{IV.34} \label{IV.34} \]

określająca lokalną zmianę orientacji przekroju podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami.

Operator $Q(s)$ wyznacza orientację każdego przekroju, natomiast jego pochodna opisuje tempo zmiany tej orientacji wzdłuż osi pręta. Wielkość ta stanowi geometryczną podstawę opisu skręcania oraz zginania i zastępuje klasyczny opis wykorzystujący niezależne kąty obrotu. Ponieważ lokalny układ współrzędnych jest obrazem operatora orientacji,

\[ \ell_i(s)=Q(s)E_i, \]

pochodne lokalnych wersorów wynikają bezpośrednio z pochodnej operatora

\[ \frac{d\ell_i}{ds} = \frac{dQ}{ds}(E_i), \qquad i=1,2,3. \tag{IV.35} \label{IV.35} \]

Oznacza to, że lokalny układ współrzędnych nie stanowi już podstawowej zmiennej kinematycznej, lecz jest wielkością pochodną wyznaczaną przez operator orientacji. W konsekwencji cała geometria przekroju może być analizowana wyłącznie poprzez badanie zmian dwóch podstawowych pól: położenia oraz orientacji. Takie ujęcie prowadzi do istotnego uproszczenia struktury teorii. Zamiast analizować oddzielnie przemieszczenia, kąty obrotu oraz zmiany lokalnych wersorów, wystarczy śledzić ewolucję dwóch pól geometrycznych

\[ \boxed{ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). } \tag{IV.36} \label{IV.36} \]

Dalsze wielkości kinematyczne, takie jak odkształcenia osi pręta, krzywizny, skręcanie, deplanacja oraz bimoment, będą wyprowadzane jako konsekwencja lokalnych zmian tych dwóch pól.

Operator konfiguracji geometrycznej pręta

W poprzednich rozdziałach wykazano, że konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta jest jednoznacznie określona przez dwie niezależne zmienne geometryczne: położenie punktu odniesienia przekroju oraz orientację lokalnego układu współrzędnych. Wielkości te opisane są odpowiednio przez pole wektorowe

\[ \mathbf r_0=\mathbf r_0(s) \]

oraz pole operatora orientacji

\[ Q=Q(s). \]

Para pól

\[ \boxed{ \mathcal C(s)= \left\{ \mathbf r_0(s),\,Q(s) \right\} } \tag{IV.33} \label{IV.33} \]

opisuje zatem pełną konfigurację geometryczną pręta. Pole $\mathbf r_0(s)$ określa położenie osi pręta w przestrzeni, natomiast operator $Q(s)$ wyznacza orientację lokalnego układu współrzędnych związanego z każdym przekrojem. Dopiero łączne uwzględnienie obu pól prowadzi do pełnego opisu konfiguracji geometrycznej pręta. Takie sformułowanie stanowi jednowymiarowy odpowiednik odwzorowania konfiguracji stosowanego w trójwymiarowej mechanice kontinuum. W teorii sprężystości konfiguracja ciała opisywana jest odwzorowaniem

\[ \chi:\Omega_0\rightarrow\Omega, \]

natomiast w teorii prętów rolę tę przejmuje para pól (\ref{IV.33}). Oznacza to, że konfiguracja geometryczna pręta nie jest opisywana wyłącznie przez położenie jego osi, lecz jednocześnie przez ewolucję orientacji wszystkich przekrojów poprzecznych. Naturalną konsekwencją takiego opisu jest wprowadzenie operatora opisującego lokalną zmianę konfiguracji geometrycznej pręta. Operator ten definiuje się jako pochodną konfiguracji względem współrzędnej łukowej

\[ \boxed{ \mathcal K= \frac{d\mathcal C}{ds} } \tag{IV.34} \label{IV.34} \]

co po rozwinięciu prowadzi do zależności

\[ \boxed{ \mathcal K= \left\{ \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \frac{dQ}{ds} \right\}. } \tag{IV.35} \label{IV.35} \]

Operator $\mathcal K$ opisuje lokalną zmianę konfiguracji geometrycznej pręta podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Pierwsza składowa operatora odpowiada za zmianę położenia osi pręta, natomiast druga opisuje zmianę orientacji przekroju. Wspólnie tworzą one kompletny opis geometrycznej ewolucji cienkościennego pręta. Operator konfiguracji geometrycznej nie stanowi nowej wielkości mechanicznej. Jest wyłącznie obiektem matematycznym porządkującym opis kinematyki pręta. Wszystkie klasyczne wielkości mechaniczne, takie jak odkształcenia, krzywizny, skręcanie, deplanacja, naprężenia, siły przekrojowe oraz bimoment, zachowują swoje dotychczasowe znaczenie fizyczne. Zmienia się jedynie sposób ich wyprowadzania, który opiera się na analizie zmian dwóch podstawowych pól geometrycznych: położenia oraz orientacji.

W proponowanym ujęciu operator konfiguracji geometrycznej pełni rolę analogiczną do gradientu deformacji w trójwymiarowej mechanice kontinuum. W mechanice ośrodków ciągłych gradient deformacji opisuje lokalną zmianę konfiguracji materiału. W teorii cienkościennych prętów analogiczną informację zawiera operator (\ref{IV.35}), który opisuje jednocześnie zmiany położenia osi pręta oraz orientacji jego przekrojów. Takie ujęcie prowadzi do uporządkowania całej struktury teorii. Punktem wyjścia nie są już niezależnie definiowane przemieszczenia, kąty obrotu oraz lokalne wersory, lecz dwa podstawowe pola geometryczne opisujące konfigurację pręta. Wszystkie dalsze wielkości kinematyczne i mechaniczne stanowią konsekwencję lokalnych zmian tych pól, dzięki czemu opis zachowuje pełną zgodność z klasyczną mechaniką, uzyskując jednocześnie bardziej jednolitą strukturę matematyczną.

Operator orientacji jako element grupy obrotów

W poprzednich rozdziałach wykazano, że orientacja przekroju stanowi niezależną zmienną geometryczną opisywaną operatorem orientacji $Q(s)$. Operator ten przyporządkowuje każdemu przekrojowi jego aktualną orientację przestrzenną i wyznacza transformację lokalnego układu współrzędnych z orientacji początkowej do orientacji aktualnej. Z matematycznego punktu widzenia operator orientacji nie jest wektorem ani tensorem. Jest elementem przestrzeni wszystkich dopuszczalnych obrotów bryły sztywnej. Przestrzeń tę stanowi specjalna grupa ortogonalna

\[ SO(3), \tag{IV.36} \label{IV.36} \]

obejmująca wszystkie macierze ortogonalne o wyznaczniku równym jedności. Operator orientacji należy zatem interpretować jako punkt przestrzeni $SO(3)$. Nie opisuje on przemieszczenia ani odkształcenia przekroju, lecz wyłącznie jego orientację geometryczną. Ponieważ orientacja zmienia się wzdłuż osi pręta, operator orientacji tworzy pole geometryczne

\[ Q=Q(s), \tag{IV.37} \label{IV.37} \]

którego wartości należą do grupy obrotów $SO(3)$.

Należy podkreślić, że operator orientacji nie jest wielkością mechaniczną. Nie opisuje sił, momentów, odkształceń ani naprężeń. Stanowi wyłącznie obiekt geometryczny określający orientację lokalnego układu współrzędnych przekroju. Zmiany orientacji przekroju nie wynikają z wartości operatora $Q(s)$, lecz z jego zmienności wzdłuż osi pręta. Oznacza to, że podstawową informację kinematyczną zawiera nie sam operator orientacji, lecz jego pochodna względem współrzędnej łukowej. Przejście od pola orientacji do opisu lokalnych zmian orientacji stanowi naturalny odpowiednik przejścia od konfiguracji do gradientu deformacji w mechanice ośrodków ciągłych. W proponowanym formalizmie prowadzi ono do wprowadzenia operatora zmian orientacji, który stanie się podstawowym obiektem wykorzystywanym do opisu skręcania, zginania oraz krzywizn cienkościennego pręta.

Przestrzeń styczna operatora orientacji

Operator orientacji $Q(s)$ opisuje wyłącznie aktualną orientację lokalnego układu współrzędnych przekroju. Sam operator nie zawiera informacji o deformacji ani o zmianach orientacji pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Informacja taka pojawia się dopiero podczas różniczkowania pola operatora orientacji względem współrzędnej łukowej. Ponieważ operator orientacji jest elementem grupy obrotów $SO(3)$, jego pochodna

\[ \frac{dQ}{ds} \tag{IV.38} \label{IV.38} \]

nie należy już do tej samej grupy. Z matematycznego punktu widzenia stanowi ona element przestrzeni stycznej do grupy $SO(3)$ w punkcie odpowiadającym orientacji $Q(s)$.

\[ \frac{dQ}{ds}\in T_QSO(3), \tag{IV.39} \label{IV.39} \]

gdzie $T_QSO(3)$ oznacza przestrzeń styczną do grupy obrotów w punkcie $Q$. Interpretacja geometryczna tej zależności jest bardzo istotna. Operator $Q(s)$ określa aktualną orientację przekroju, natomiast jego pochodna opisuje szybkość zmiany tej orientacji podczas przechodzenia do sąsiedniego przekroju. Wielkość ta nie jest więc kolejną orientacją, lecz lokalnym generatorem zmian orientacji.

Jest to sytuacja całkowicie analogiczna do opisu krzywej przestrzennej. Punkt leżący na krzywej określa jej położenie, natomiast pochodna względem długości łuku wyznacza kierunek lokalnej zmienności tej krzywej. Podobnie operator orientacji określa aktualną orientację przekroju, natomiast jego pochodna opisuje lokalną zmianę tej orientacji. Z tego względu pochodna operatora orientacji stanowi podstawowy obiekt geometryczny wykorzystywany do opisu skręcania oraz zginania cienkościennego pręta. W przeciwieństwie do klasycznych teorii nie jest ona wyrażana przez pochodne kątów obrotu, lecz wynika bezpośrednio ze zmienności pola operatora orientacji. Naturalnym jest zatem wprowadzenie operatora zmian orientacji zdefiniowanego zależnością

\[ \boxed{ \Omega(s)=\frac{dQ(s)}{ds}. } \tag{IV.120} \label{IV.120} \]

Operator $\Omega(s)$ opisuje lokalną zmianę orientacji przekroju podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami osi pręta. Nie jest on operatorem orientacji, lecz operatorem jej zmiany. Wielkość ta stanowi podstawowy obiekt geometryczny dalszych rozważań i będzie wykorzystywana przy wyprowadzaniu krzywizn, skręcania oraz pozostałych miar kinematycznych teorii prętów. Wprowadzenie operatora $\Omega(s)$ nie zmienia mechanicznych podstaw teorii. Zmienia jedynie sposób opisu geometrii ruchu przekroju. Klasyczne wielkości mechaniczne pozostają niezmienione, natomiast ich wyprowadzenie zostaje oparte na analizie zmienności dwóch pól geometrycznych: pola położenia oraz pola orientacji.

Geometryczna interpretacja operatora zmian orientacji

Operator orientacji $Q(s)$ opisuje aktualną orientację przekroju poprzecznego, lecz nie zawiera informacji o sposobie, w jaki orientacja ta zmienia się podczas przechodzenia wzdłuż osi pręta. Informację tę zawiera dopiero operator zmian orientacji, określający lokalną ewolucję pola orientacji. Jeżeli dwa sąsiednie przekroje odpowiadają współrzędnym łukowym $s$ oraz $s+ds$, to ich orientacje opisują operatory $ Q(s) $ oraz $Q(s+ds)$. Zmiana orientacji pomiędzy tymi przekrojami może zostać opisana przez operator $ \Omega(s)#$, który określa lokalną transformację orientacji podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Operator ten nie opisuje orientacji przekroju, lecz wyłącznie jej zmianę. Jest zatem odpowiednikiem pochodnej pola orientacji i pełni analogiczną rolę, jak wektor styczny opisujący zmianę położenia osi pręta. Można powiedzieć, że operator orientacji odpowiada na pytanie ” jak zorientowany jest przekrój?”, natomiast operator zmian orientacji odpowiada na pytanie „$ Rozróżnienie to ma zasadnicze znaczenie dla dalszego rozwoju teorii. Operator orientacji opisuje stan geometryczny przekroju, natomiast operator zmian orientacji opisuje lokalną geometrię tego pola. W proponowanym formalizmie opis geometryczny cienkościennego pręta opiera się zatem na dwóch niezależnych poziomach. Pierwszy poziom stanowi konfiguracja geometryczna

\[ \mathcal C(s)= \left\{ \mathbf r_0(s), Q(s) \right\}, \tag{IV.121} \]

opisująca położenie osi pręta oraz orientację wszystkich jego przekrojów. Drugi poziom stanowi lokalna zmienność tej konfiguracji

\[ \mathcal K(s)= \left\{ \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \Omega(s) \right\}, \tag{IV.42} \]

opisująca sposób zmiany położenia oraz orientacji pomiędzy sąsiednimi przekrojami.

Tak zdefiniowana para operatorów tworzy kompletny opis geometryczny cienkościennego pręta. Pierwszy operator określa aktualny stan geometryczny konstrukcji, natomiast drugi opisuje lokalną ewolucję tego stanu wzdłuż osi pręta. W dalszych rozdziałach zostanie wykazane, że wszystkie klasyczne wielkości kinematyczne teorii prętów, takie jak odkształcenia osi, krzywizny, skręcanie, deplanacja oraz ich sprzężenia, mogą zostać wyprowadzone bezpośrednio z operatora zmian orientacji. Dzięki temu klasyczny opis oparty na pochodnych kątów obrotu zostaje zastąpiony jednolitym opisem operatorowym, zachowującym pełną zgodność z mechaniką klasyczną oraz umożliwiającym naturalne przejście do zagadnień obejmujących skończone obroty przekroju.

Hierarchia obiektów geometrycznych i mechanicznych teorii pręta

Przedstawiony formalizm prowadzi do naturalnego uporządkowania obiektów wykorzystywanych w teorii cienkościennych prętów. Rozróżnienie to ma zasadnicze znaczenie zarówno z punktu widzenia interpretacji fizycznej, jak i dalszych wyprowadzeń matematycznych. Najbardziej podstawowym obiektem jest rzeczywisty przekrój poprzeczny pręta. Każdy przekrój posiada dwa niezależne atrybuty geometryczne: swoje położenie w przestrzeni oraz swoją orientację. Są to własności geometryczne rzeczywistego obiektu fizycznego i nie zależą od sposobu ich matematycznego opisu. Położenie przekroju opisuje pole wektorowe $\mathbf r_0(s),$ natomiast jego orientację opisuje operator orientacji $Q(s)$.

Operator orientacji nie jest reprezentacją orientacji, lecz jej matematycznym opisem jako transformacji pomiędzy orientacją początkową i aktualną. Nie jest również zbiorem wersorów lokalnego układu współrzędnych. Wersory stanowią dopiero rezultat działania operatora orientacji na układ początkowy.

\[ (E_1,E_2,E_3) \stackrel{Q}{\longrightarrow} (\ell_1,\ell_2,\ell_3). \tag{IV.43} \]

Aktualny lokalny układ współrzędnych jest więc obrazem operatora orientacji, a nie samym operatorem. Dopiero na kolejnym poziomie pojawiają się reprezentacje matematyczne operatora orientacji. Najczęściej stosowane są:
- macierz cosinusów kierunkowych,
- kąty Eulera,
- wektor obrotu,
- mapa wykładnicza,
- kwaternion jednostkowy.
Wszystkie te obiekty opisują dokładnie ten sam operator orientacji. Różnią się jedynie sposobem jego matematycznej reprezentacji. W niniejszej pracy jako podstawową reprezentację algebraiczną przyjęto kwaternion jednostkowy. Wybór ten wynika z jego korzystnych własności matematycznych oraz numerycznych. Nie oznacza to jednak, że kwaternion jest nowym obiektem mechanicznym. Stanowi on wyłącznie jedną z możliwych reprezentacji operatora orientacji. Analogicznie operator zmian orientacji opisuje lokalną ewolucję pola orientacji. Także on jest obiektem geometrycznym i nie posiada bezpośredniej interpretacji mechanicznej. Dopiero jego analiza prowadzi do wyznaczenia klasycznych wielkości kinematycznych teorii prętów, takich jak krzywizny, skręcanie oraz odkształcenia. Hierarchię wszystkich obiektów wykorzystywanych w proponowanym formalizmie można przedstawić schematycznie

\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{Przekrój rzeczywisty}\\[1mm] \Downarrow\\ \text{Położenie } \mathbf r_0(s) \qquad \text{Orientacja } Q(s)\\[2mm] \Downarrow\\ \text{Operator zmian orientacji } \Omega(s)\\[2mm]
\Downarrow\\
\text{Krzywizny, skręcanie, deplanacja}\\[2mm] \Downarrow\\ \text{Naprężenia i siły przekrojowe}\\[2mm] \Downarrow\\ \text{Bimoment} \end{array} } \tag{IV.44} \]

Przedstawiona hierarchia pokazuje, że wielkości mechaniczne nie stanowią punktu wyjścia teorii, lecz są konsekwencją geometrii przekroju oraz zmian jego orientacji. Mechaniczne podstawy klasycznej teorii prętów pozostają niezmienione, natomiast uporządkowaniu ulega struktura matematyczna wykorzystywana do ich opisu.

Związek operatora orientacji z klasyczną teorią prętów

Wprowadzenie operatora orientacji nie prowadzi do zmiany mechanicznych podstaw klasycznej teorii prętów. Nie zmieniają się równania równowagi, związki konstytutywne, interpretacja sił przekrojowych ani definicje wielkości wykorzystywanych w teorii cienkościennych prętów. Rozszerzeniu ulega wyłącznie aparat matematyczny służący do opisu geometrii przekroju oraz jego orientacji przestrzennej. W klasycznych teoriach Eulera–Bernoulliego, Timoshenki oraz Własowa orientacja przekroju opisywana była za pomocą niewielkich kątów obrotu lub macierzy cosinusów kierunkowych. Wielkości te stanowiły zmienne pomocnicze umożliwiające wyprowadzenie odkształceń, krzywizn oraz sił przekrojowych. W proponowanym formalizmie rolę tę przejmuje operator orientacji. Operator ten opisuje orientację przekroju w sposób niezależny od wyboru konkretnej reprezentacji matematycznej. Dzięki temu wszystkie dalsze wielkości mechaniczne mogą być wyprowadzane z jednego obiektu geometrycznego opisującego ewolucję lokalnego układu współrzędnych. Schemat zależności pomiędzy geometrią i mechaniką można przedstawić następując

\[ \boxed{ \begin{array}{c} \mathbf r_0(s),\;Q(s)\\[2mm] \Downarrow\\ \text{zmiana konfiguracji geometrycznej}\\[2mm] \Downarrow\\ \text{miary odkształcenia}\\[2mm] \Downarrow\\ \text{naprężenia}\\[2mm]
\Downarrow\\ \text{siły przekrojowe}\\[2mm] \Downarrow\\ \text{bimoment} \end{array} } \tag{IV.45} \]

Z przedstawionego schematu wynika, że operator orientacji nie zastępuje klasycznych wielkości mechanicznych, lecz poprzedza ich wyprowadzenie. Stanowi on element opisu geometrycznego konfiguracji pręta, z którego w sposób naturalny wynikają wszystkie klasyczne wielkości wykorzystywane w mechanice cienkościennych prętów. W szczególności operator orientacji nie zmienia interpretacji funkcji sektorowej, deplanacji ani bimomentu. Wielkości te zachowują swoje klasyczne znaczenie mechaniczne. Zmienia się jedynie sposób opisu orientacji przekroju oraz aparat matematyczny wykorzystywany podczas wyprowadzania zależności kinematycznych. Takie podejście umożliwia zachowanie pełnej zgodności z klasyczną teorią Własowa przy jednoczesnym rozszerzeniu jej zakresu stosowalności na przypadki obejmujące skończone obroty przekroju oraz geometrycznie nieliniowe deformacje konstrukcji. W kolejnych rozdziałach wykazane zostanie, że operatorowy opis orientacji prowadzi do bardziej zwartego zapisu równań kinematycznych oraz upraszcza opis transformacji wielkości przekrojowych. Szczególne znaczenie uzyskuje to w analizie cienkościennych prętów otwartych, gdzie zmiana orientacji przekroju pozostaje w ścisłym związku z opisem skręcania, deplanacji oraz bimomentu.

Miary geometryczne deformacji

W poprzednich rozdziałach wykazano, że konfiguracja cienkościennego pręta opisana jest przez dwa niezależne pola geometryczne: pole położenia osi pręta oraz pole operatora orientacji przekrojów. Sama konfiguracja nie zawiera jednak informacji o deformacji. Informacja taka pojawia się dopiero podczas analizy lokalnych zmian tych pól wzdłuż osi pręta. Miary geometryczne deformacji należy zatem rozumieć jako wielkości opisujące lokalną zmianę konfiguracji geometrycznej pręta. Nie są one jeszcze wielkościami mechanicznymi i nie zależą od właściwości materiału. Stanowią wyłącznie opis geometrii deformacji. Pierwszą grupę stanowią miary związane ze zmianą położenia osi pręta. Opisują one wydłużenie osi oraz ewentualne odkształcenia postaciowe wynikające z przesunięcia przekrojów względem osi odniesienia. Drugą grupę stanowią miary związane ze zmianą orientacji przekrojów. Wynikają one bezpośrednio z lokalnej zmienności operatora orientacji i opisują zginanie oraz skręcanie pręta. W przeciwieństwie do klasycznych teorii nie są definiowane jako pochodne niezależnych kątów obrotu, lecz wynikają z ewolucji pola orientacji. W przypadku cienkościennych prętów otwartych pojawia się dodatkowa miara geometryczna związana z deformacją przekroju poza jego płaszczyzną. Miara ta odpowiada klasycznej deplanacji przekroju i stanowi charakterystyczną cechę teorii Własowa. W proponowanym formalizmie wszystkie geometryczne miary deformacji wyprowadzane są z dwóch podstawowych pól

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). \tag{IV.46} \]

Oznacza to, że opis geometryczny teorii zostaje sprowadzony do analizy zmian położenia oraz zmian orientacji przekroju. Takie ujęcie eliminuje konieczność niezależnego definiowania kolejnych parametrów obrotu i prowadzi do jednolitego opisu wszystkich deformacji cienkościennego pręta. Na tym etapie rozważań wszystkie wprowadzone wielkości mają charakter wyłącznie geometryczny. Ich interpretacja mechaniczna pojawi się dopiero po wprowadzeniu odpowiednich związków konstytutywnych oraz definicji sił przekrojowych. Zachowany zostaje tym samym klasyczny podział mechaniki kontinuum na opis geometryczny oraz opis mechaniczny. Takie uporządkowanie prowadzi do naturalnej hierarchii teorii:

\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{Konfiguracja geometryczna}\\ (\mathbf r_0,Q)\\ \Downarrow\\ \text{Miary geometryczne deformacji}\\ \Downarrow\\ \text{Prawo materiałowe}\\ \Downarrow\\ \text{Naprężenia}\\
\Downarrow\\ \text{Siły przekrojowe}\\ \Downarrow\\ \text{Równania równowagi} \end{array} } \tag{IV.47} \]

Przedstawiona struktura pokazuje, że geometria deformacji poprzedza opis mechaniczny. Dzięki temu mechaniczne podstawy klasycznej teorii cienkościennych prętów pozostają niezmienione, natomiast uporządkowaniu ulega aparat matematyczny wykorzystywany do opisu konfiguracji oraz jej lokalnych zmian.

Podstawowe twierdzenie operatorowej teorii pręta

Dotychczas wykazano, że konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta jest jednoznacznie określona przez dwa niezależne pola geometryczne: pole położenia osi pręta oraz pole operatora orientacji przekroju. Powstaje zatem naturalne pytanie, czy pola te stanowią komplet zmiennych niezbędnych do opisu geometrii pręta. Odpowiedź na to pytanie prowadzi do podstawowego twierdzenia proponowanego formalizmu.

Twierdzenie. Każda dopuszczalna konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta może zostać jednoznacznie opisana przez parę pól

\[ \boxed{ \mathcal C(s)= \left\{ \mathbf r_0(s), Q(s) \right\}. } \tag{IV.48} \]

Pole $\mathbf r_0(s)$ określa położenie punktu odniesienia przekroju, natomiast operator $Q(s)$ wyznacza orientację lokalnego układu współrzędnych związanego z tym przekrojem. Znajomość obu pól pozwala jednoznacznie odtworzyć konfigurację geometryczną dowolnego punktu cienkościennego pręta.

Dowód wynika bezpośrednio z równania pola położenia

\[ \mathbf r= \mathbf r \left( \mathbf r_0, Q \right), \]

w którym położenie dowolnego punktu przekroju określone jest przez translację środka przekroju oraz transformację lokalnego układu współrzędnych realizowaną przez operator orientacji. Ponieważ operator orientacji jednoznacznie wyznacza aktualny lokalny układ współrzędnych, para pól (\ref{IV.48}) całkowicie określa geometrię zdeformowanego pręta. Twierdzenie to ma charakter wyłącznie geometryczny. Nie wykorzystuje praw materiałowych, równań równowagi ani założeń dotyczących rodzaju deformacji. Oznacza to, że jest ono wspólne dla teorii Eulera–Bernoulliego, Timoshenki, Własowa oraz ich geometrycznie nieliniowych uogólnień. Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest fakt, że wszystkie dalsze wielkości wykorzystywane w teorii prętów mogą być wyprowadzane jako funkcje pól $\mathbf r_0(s)$ oraz $Q(s)$. Dotyczy to w szczególności odkształceń, krzywizn, skręcania, deplanacji, naprężeń oraz sił przekrojowych.

W proponowanym formalizmie para pól (\ref{IV.48}) pełni zatem rolę analogiczną do odwzorowania konfiguracji w mechanice ośrodków ciągłych. Stanowi ona podstawowy obiekt geometryczny, z którego wyprowadzana jest cała dalsza teoria cienkościennych prętów..

Sprzężenie geometrii i mechaniki

W poprzednich rozdziałach wykazano, że pełna konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta opisana jest przez dwa niezależne pola

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). \]

Pola te określają odpowiednio położenie osi pręta oraz orientację każdego przekroju poprzecznego. Ich lokalne zmiany prowadzą do geometrycznych miar deformacji, które nie posiadają jeszcze interpretacji mechanicznej. Mechanika rozpoczyna się dopiero w chwili przypisania tym zmianom odpowiednich wielkości energetycznych oraz sił uogólnionych. Oznacza to, że każdej zmianie położenia odpowiada określona reakcja mechaniczna, natomiast każdej zmianie orientacji odpowiada odpowiednia reakcja momentowa. Można to przedstawić schematycznie

\[ \boxed{ \begin{array}{ccc} \textbf{Geometria} && \textbf{Mechanika}\\ \\\delta\mathbf r_0 &\Longleftrightarrow& \mathbf N\\ \\ \delta Q &\Longleftrightarrow& \mathbf M \end{array} } \tag{IV.49} \]

gdzie

\[\mathbf N \]

oznacza uogólniony wektor sił przekrojowych,

natomiast

\[ \mathbf M \]

oznacza uogólniony operator momentów przekrojowych.

Interpretacja ta stanowi naturalne rozszerzenie klasycznej zasady pracy wirtualnej. W proponowanym formalizmie pracę wirtualną wykonują nie tylko przemieszczenia środka przekroju, lecz również zmiany orientacji lokalnego układu współrzędnych. Oznacza to, że operator orientacji nie jest wyłącznie narzędziem geometrycznym. Staje się zmienną uogólnioną, której odpowiada sprzężona wielkość mechaniczna. W klasycznej teorii prętów rolę tę pełniły momenty zginające oraz moment skręcający. W proponowanym formalizmie wszystkie te wielkości zostają ujęte jako reakcja mechaniczna odpowiadająca zmianom operatora orientacji. Takie sformułowanie zachowuje pełną zgodność z klasyczną teorią prętów, jednocześnie przygotowując aparat matematyczny do operatorowego opisu zginania, skręcania, deplanacji oraz bimomentu.

Operatorowa interpretacja teorii cienkościennych prętów

Dotychczas wykazano, że konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta może zostać jednoznacznie opisana przez dwa podstawowe pola geometryczne

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). \]

Pole pierwsze opisuje położenie osi pręta, natomiast drugie określa orientację każdego przekroju poprzecznego.

Takie sformułowanie prowadzi do zasadniczej zmiany sposobu interpretacji klasycznej teorii prętów. W proponowanym ujęciu podstawowym obiektem opisu nie są już przemieszczenia oraz kąty obrotu, lecz konfiguracja geometryczna pręta oraz jej lokalna ewolucja.

Oznacza to, że wszystkie klasyczne wielkości kinematyczne można traktować jako konsekwencję zmian dwóch podstawowych pól geometrycznych. W szczególności opis wydłużenia osi pręta wynika ze zmian pola położenia, natomiast opis zginania, skręcania oraz wzajemnej orientacji przekrojów wynika ze zmian pola operatora orientacji.

Takie uporządkowanie prowadzi do naturalnego rozdzielenia geometrii i mechaniki. Geometria odpowiada za opis konfiguracji pręta, natomiast mechanika opisuje reakcję materiału na zmiany tej konfiguracji. W proponowanym formalizmie klasyczne wielkości mechaniczne nie stanowią zatem zmiennych pierwotnych. Są one wielkościami wtórnymi, wyprowadzanymi z geometrii konfiguracji pręta oraz praw materiałowych. Opis ten pozostaje całkowicie zgodny z klasyczną teorią Eulera–Bernoulliego, teorią Timoshenki oraz teorią Własowa. Zmianie nie ulega interpretacja sił przekrojowych, naprężeń, funkcji sektorowej, deplanacji ani bimomentu. Rozszerzeniu ulega wyłącznie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu konfiguracji geometrycznej przekroju. Najważniejszą konsekwencją proponowanego podejścia jest możliwość traktowania orientacji przekroju jako samodzielnego obiektu geometrycznego. Dzięki temu opis zginania, skręcania oraz ich wzajemnych sprzężeń może zostać sformułowany w jednolity sposób, niezależnie od wielkości obrotów przekroju. Operatorowy opis orientacji nie zastępuje klasycznej teorii cienkościennych prętów. Stanowi jej naturalne rozszerzenie, umożliwiające bardziej przejrzystą organizację aparatu matematycznego oraz przygotowujące teorię do dalszego uogólnienia na przypadek skończonych obrotów i operatorowego opisu wielkości przekrojowych.

Zasada sprzężenia geometryczno-mechanicznego

W poprzednich rozdziałach wykazano, że konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta jest jednoznacznie określona przez dwa podstawowe pola

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). \]

Pole położenia opisuje translację osi pręta, natomiast operator orientacji opisuje orientację każdego przekroju poprzecznego. Wielkości te stanowią pełny opis geometrii pręta i nie zawierają jeszcze informacji o właściwościach materiałowych ani o reakcjach mechanicznych konstrukcji. Mechanika pojawia się dopiero wtedy, gdy zmianom konfiguracji geometrycznej zostaną przyporządkowane odpowiadające im wielkości energetyczne oraz siły uogólnione. Oznacza to, że każda niezależna zmienna geometryczna posiada sprzężoną z nią wielkość mechaniczną wykonującą pracę wirtualną. W proponowanym formalizmie można wyróżnić dwa podstawowe sprzężenia

\[ \delta\mathbf r_0 \Longleftrightarrow \mathbf N, \tag{IV.50} \]

oraz

\[ \delta Q \Longleftrightarrow \mathbf M, \tag{IV.51} \]

gdzie $\mathbf N$ oznacza uogólniony wektor sił przekrojowych, natomiast $\mathbf M$ oznacza operator momentów przekrojowych sprzężony ze zmianą orientacji przekroju.

Opis ten stanowi bezpośrednie uogólnienie klasycznej zasady pracy wirtualnej. Praca wirtualna wykonywana jest nie tylko przez przemieszczenia osi pręta, lecz również przez zmiany orientacji przekroju. Tym samym orientacja staje się pełnoprawną zmienną geometryczną teorii, posiadającą własną wielkość sprzężoną. Zasada ta prowadzi do naturalnego rozdzielenia geometrii i mechaniki. Geometria odpowiada na pytanie, jaka jest konfiguracja pręta oraz jak zmienia się ona wzdłuż osi. Mechanika odpowiada natomiast na pytanie, jaka reakcja materiału odpowiada tym zmianom. Takie ujęcie pozwala zachować wszystkie klasyczne wielkości mechaniczne teorii prętów, jednocześnie porządkując ich miejsce w strukturze teorii. Siły przekrojowe, momenty, naprężenia oraz energia odkształcenia nie stanowią zmiennych pierwotnych, lecz wynikają z odpowiednich sprzężeń pomiędzy geometrią konfiguracji a właściwościami materiałowymi.

Przekrój jako podstawowy obiekt teorii pręta

W klasycznych teoriach prętów podstawowym obiektem opisu są najczęściej przemieszczenia, kąty obrotu, lokalne układy współrzędnych lub ich reprezentacje macierzowe. W proponowanym formalizmie przyjęto odmienny punkt widzenia. Podstawowym obiektem fizycznym teorii nie jest wektor, macierz ani operator matematyczny, lecz rzeczywisty przekrój poprzeczny pręta. Każdy przekrój posiada dwie podstawowe własności geometryczne:

\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{położenie}\\ \mathbf r_0(s) \end{array} \qquad \begin{array}{c} \text{orientacja}\\ Q(s) \end{array} } \tag{IV.52} \]

Położenie określa miejsce przekroju w przestrzeni, natomiast orientacja określa wzajemne położenie lokalnego układu współrzędnych względem układu globalnego. Obie wielkości są od siebie niezależne. Przekrój może zmieniać swoje położenie bez zmiany orientacji, może również zmieniać orientację bez zmiany położenia. Dopiero ich łączne uwzględnienie prowadzi do pełnego opisu konfiguracji geometrycznej przekroju. Operator orientacji nie jest zatem nowym obiektem fizycznym. Jest jedynie operatorem matematycznym opisującym transformację orientacji przekroju. Można to zapisać schematycznie

\[ \boxed{ \text{Przekrój} \Longrightarrow \left\{ \mathbf r_0, Q \right\}. } \tag{IV.53} \]

W proponowanym formalizmie cała geometria cienkościennego pręta budowana jest właśnie od poziomu rzeczywistego przekroju. Wszystkie dalsze obiekty matematyczne opisują jedynie jego własności geometryczne lub zmiany tych własności podczas deformacji konstrukcji.

Podstawowe pola operatorowej teorii pręta

W klasycznej teorii sprężystości podstawowym obiektem opisu jest pole przemieszczeń ciała ciągłego. Z pola tego wyprowadzane są odkształcenia, naprężenia oraz równania równowagi. W proponowanej operatorowej teorii cienkościennego pręta rolę tę przejmują dwa niezależne pola geometryczne

\[ \boxed{ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). } \tag{IV.54} \]

Pierwsze pole opisuje położenie osi pręta, natomiast drugie określa orientację lokalnego układu współrzędnych związanego z każdym przekrojem. Oba pola są od siebie geometrycznie niezależne i wspólnie opisują pełną konfigurację pręta. Pole położenia odpowiada za opis translacji osi konstrukcji, natomiast pole orientacji opisuje obrót przekroju poprzecznego. Ich lokalne zmiany

\[ \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \qquad \frac{dQ}{ds}, \]

stanowią podstawowe miary geometryczne wykorzystywane w dalszych wyprowadzeniach. Dzięki temu cała teoria może zostać sformułowana jako teoria dwóch wzajemnie sprzężonych pól geometrycznych. Wszystkie pozostałe wielkości wykorzystywane w mechanice cienkościennych prętów stanowią funkcje tych pól oraz ich pochodnych.

Stopnie swobody przekroju jako zmienne pierwotne teorii

Klasyczna teoria prętów opisuje deformację konstrukcji poprzez odpowiednio dobrane przemieszczenia i kąty obrotu. W zależności od przyjętego modelu mechanicznego liczba tych zmiennych może być różna, jednak wszystkie pełnią tę samą rolę – opisują aktualny stan geometryczny przekroju. W proponowanym formalizmie punktem wyjścia nie są poszczególne składowe przemieszczeń ani kąty obrotu, lecz sam przekrój jako obiekt geometryczny. Każdy przekrój cienkościennego pręta posiada dwa niezależne stopnie swobody geometryczne:

\[\boxed{ \begin{array}{ll} 1.& \text{położenie przekroju},\\[1mm] 2.& \text{orientację przekroju}. \end{array} } \tag{IV.55} \]

Położenie określa miejsce przekroju w przestrzeni, natomiast orientacja określa wzajemne ustawienie lokalnego układu współrzędnych względem układu globalnego. Obie wielkości są od siebie niezależne i wspólnie jednoznacznie określają konfigurację geometryczną przekroju. Matematycznie odpowiadają im dwa pola

\[ \boxed{ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). } \tag{IV.56} \]

Wszystkie pozostałe wielkości wykorzystywane w teorii prętów mają charakter wtórny i wynikają z lokalnych zmian tych dwóch pól. Takie sformułowanie prowadzi do istotnej zmiany struktury teorii. Zmienne pierwotne nie są już utożsamiane z przemieszczeniami i kątami obrotu, lecz z geometrycznym stanem przekroju. Przemieszczenia, obroty, krzywizny, skręcanie oraz pozostałe miary deformacji stanowią jedynie różne sposoby opisu zmian konfiguracji geometrycznej przekroju.

Włókno materiałowe jako element łączący geometrię i mechanikę

Dotychczas podstawowym obiektem geometrycznym był przekrój poprzeczny pręta. Każdy przekrój opisany został przez dwa niezależne pola geometryczne: pole położenia środka przekroju oraz pole jego orientacji. Takie sformułowanie umożliwia jednoznaczne określenie konfiguracji geometrycznej całego pręta. Mechaniczne właściwości pręta nie wynikają jednak bezpośrednio z geometrii przekroju, lecz z deformacji włókien materiałowych łączących kolejne przekroje. Niech punkt przekroju początkowego opisany będzie współrzędnymi lokalnymi

\[ (X_1,X_2,\omega). \]

Podczas przechodzenia wzdłuż osi pręta punkt ten wyznacza włókno materiałowe, którego położenie określa operator położenia

\[ \mathbf r=\mathbf r(X_1,X_2,\omega,s). \tag{IV.57} \]

Każde włókno materiałowe stanowi zatem trajektorię punktu przekroju wzdłuż osi pręta. Konfiguracja geometryczna włókna zależy wyłącznie od dwóch pól geometrycznych

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s), \]

opisujących odpowiednio położenie oraz orientację przekrojów. Oznacza to, że deformacja całego pręta może być analizowana poprzez deformację wszystkich włókien materiałowych tworzących jego przekrój. W proponowanym formalizmie pole położenia dowolnego włókna stanowi funkcję operatora konfiguracji

\[ \mathbf r= \mathbf r \left( X_1,X_2,\omega, \mathbf r_0, Q \right). \tag{IV.58} \]

Różniczkując zależność (IV.58) względem współrzędnej łukowej otrzymuje się lokalne zmiany długości oraz orientacji włókna materiałowego. Wielkości te stanowią geometryczne źródło wszystkich klasycznych miar odkształcenia wykorzystywanych w teorii cienkościennych prętów. W szczególności wydłużenie osi pręta, zginanie, skręcanie oraz deplanacja odpowiadają różnym sposobom deformacji włókien materiałowych rozmieszczonych w przekroju. Takie ujęcie zachowuje pełną zgodność z klasyczną teorią prętów, jednocześnie porządkując jej strukturę geometryczną. Podstawowym obiektem pozostaje przekrój, natomiast mechaniczne znaczenie uzyskują dopiero deformacje włókien łączących kolejne przekroje.

Kinematyka operatorowa cienkościennego pręta

Dotychczas wykazano, że konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta jest jednoznacznie określona przez dwa niezależne pola geometryczne: pole położenia środka przekroju oraz pole orientacji przekroju. Wielkości te opisują aktualny stan geometryczny konstrukcji i stanowią punkt wyjścia dalszych rozważań. Kinematyka pręta rozpoczyna się od analizy zmian konfiguracji podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Zmiany te dotyczą jednocześnie położenia środka przekroju oraz orientacji lokalnego układu współrzędnych. Niech położenie dowolnego punktu przekroju określone będzie zależnością

\[ \mathbf r= \mathbf r(X_1,X_2,\omega,s). \tag{IV.59} \]

Pole to opisuje położenie wszystkich punktów cienkościennego pręta i stanowi jednowymiarowy odpowiednik odwzorowania konfiguracji wykorzystywanego w trójwymiarowej teorii sprężystości. Zgodnie z przedstawionym wcześniej formalizmem pole położenia można zapisać jako funkcję dwóch podstawowych pól geometrycznych

\[ \boxed{ \mathbf r= \mathbf r \left( \mathbf r_0,Q \right). } \tag{IV.60} \]

Oznacza to, że położenie każdego punktu przekroju jest jednoznacznie określone przez położenie punktu odniesienia przekroju oraz operator orientacji opisujący aktualną orientację lokalnego układu współrzędnych. Podczas przechodzenia wzdłuż osi pręta zmianie ulega zarówno położenie środka przekroju, jak i jego orientacja. Różniczkując pole położenia względem współrzędnej łukowej otrzymuje się

\[ \frac{\partial\mathbf r}{\partial s} = \frac{\partial\mathbf r}{\partial\mathbf r_0} \frac{d\mathbf r_0}{ds} + \frac{\partial\mathbf r}{\partial Q} \frac{dQ}{ds}. \tag{IV.61} \]

Zależność ta stanowi podstawowe równanie operatorowej kinematyki cienkościennego pręta. Pierwszy składnik opisuje wpływ translacji przekroju na zmianę położenia punktów konstrukcji, natomiast drugi opisuje wpływ zmian orientacji przekroju. Klasyczne wielkości kinematyczne teorii prętów wynikają z odpowiednich składowych zależności (IV.61). Wydłużenie osi pręta związane jest ze zmianą pola położenia, natomiast zginanie, skręcanie oraz wzajemna zmiana orientacji przekrojów wynikają ze zmienności operatora orientacji. W proponowanym formalizmie wszystkie miary deformacji wyprowadzane są z jednego równania operatorowego opisującego lokalną zmianę konfiguracji geometrycznej pręta. Dzięki temu znikają sztuczne podziały pomiędzy translacją i obrotem, a geometria deformacji uzyskuje jednolitą strukturę matematyczną.

Element różniczkowy pręta jako nośnik informacji geometrycznej

Dotychczas opis konfiguracji geometrycznej odnosił się do pojedynczego przekroju poprzecznego. Jednak deformacja pręta nie jest własnością pojedynczego przekroju, lecz wynika ze wzajemnego położenia dwóch nieskończenie bliskich przekrojów oddalonych od siebie o element długości $ds$. Podstawowym elementem teorii staje się zatem różniczkowy wycinek pręta ograniczony dwoma sąsiednimi przekrojami

\[ s \qquad\text{oraz}\qquad s+ds. \]

Każdy z tych przekrojów posiada własne położenie

\[ \mathbf r_0(s), \qquad \mathbf r_0(s+ds), \]

oraz własną orientację

\[ Q(s), \qquad Q(s+ds). \]

Deformacja elementu pręta nie wynika z absolutnego położenia ani z absolutnej orientacji przekrojów, lecz wyłącznie z ich wzajemnej zmiany. Informacja geometryczna zawarta w elemencie długości $ds$ obejmuje zatem dwie niezależne części:

\[ d\mathbf r_0, \qquad dQ. \]

Pierwsza opisuje zmianę położenia środka przekroju, druga zmianę jego orientacji. W granicy

\[ ds\rightarrow0 \]

otrzymuje się pola lokalnych zmian

\[ \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \qquad \frac{dQ}{ds}, \]

które stanowią podstawowe miary kinematyczne cienkościennego pręta.

Opis taki jest całkowicie analogiczny do mechaniki ośrodków ciągłych, gdzie deformacja materiału wynika z porównania konfiguracji dwóch nieskończenie bliskich punktów materialnych. W teorii prętów rolę punktu materialnego przejmuje przekrój poprzeczny, natomiast rolę gradientu deformacji przejmuje analiza wzajemnych zmian położenia i orientacji kolejnych przekrojów.

Relacja geometryczna pomiędzy sąsiednimi przekrojami

Dotychczas konfiguracja geometryczna cienkościennego pręta została opisana za pomocą dwóch pól geometrycznych: pola położenia środka przekroju oraz pola jego orientacji. Sama konfiguracja pojedynczego przekroju nie zawiera jednak informacji o deformacji konstrukcji. Deformacja jest bowiem własnością relacyjną i może zostać określona dopiero przez porównanie konfiguracji dwóch sąsiednich przekrojów. Rozważmy dwa przekroje odpowiadające współrzędnym łukowym

\[ s \qquad\text{oraz}\qquad s+ds. \]

Pierwszy z nich opisany jest przez parę

\[ \left( \mathbf r_0(s), Q(s) \right), \]

natomiast drugi przez

\[ \left( \mathbf r_0(s+ds), Q(s+ds) \right). \]

Przejście pomiędzy tymi przekrojami obejmuje jednocześnie zmianę ich położenia oraz zmianę orientacji. Można je zapisać w postaci operatora przejścia

\[ \boxed{ \Delta\mathcal C= \left( \Delta\mathbf r_0, \Delta Q \right), } \tag{IV.62} \]

gdzie

\[ \Delta\mathbf r_0= \mathbf r_0(s+ds)-\mathbf r_0(s), \tag{IV.63} \]

natomiast

\[ \boxed{ \Delta Q= Q(s+ds)\,Q^{-1}(s). } \tag{IV.64} \]

Operator $\Delta Q$ opisuje względną zmianę orientacji pomiędzy dwoma sąsiednimi przekrojami. Nie jest on orientacją żadnego z przekrojów, lecz operatorem transformacji prowadzącym od orientacji pierwszego przekroju do orientacji drugiego. W granicy

\[ ds\rightarrow0 \]

otrzymuje się lokalną zmianę konfiguracji geometrycznej

\[ \boxed{ \frac{\Delta\mathcal C}{ds} = \left( \frac{d\mathbf r_0}{ds}, \Omega \right), } \tag{IV.65} \]

gdzie

\[ \boxed{ \Omega= \lim_{ds\rightarrow0} \frac{\Delta Q-I}{ds}. } \tag{IV.66} \]

Operator $\Omega$ opisuje lokalną zmianę orientacji przekroju podczas przechodzenia wzdłuż osi pręta. Stanowi on odpowiednik gradientu orientacji i zawiera pełną informację o lokalnej geometrii pola orientacji. Tak sformułowana relacja pomiędzy sąsiednimi przekrojami stanowi podstawowy element operatorowej kinematyki cienkościennego pręta. Wszystkie klasyczne miary deformacji, takie jak wydłużenie osi, zginanie, skręcanie oraz deplanacja, wynikają z analizy lokalnych zmian konfiguracji opisanych zależnościami (IV.63)–(IV.66).

Niezmienniki geometryczne operatorowej teorii pręta

Wprowadzenie operatora orientacji prowadzi do zmiany sposobu opisu geometrii przekroju, nie zmienia jednak samej geometrii. Oznacza to, że niezależnie od przyjętej reprezentacji matematycznej istnieją wielkości, które pozostają niezmienne podczas zmiany układu odniesienia oraz wyboru sposobu opisu orientacji. Takie wielkości nazywane będą niezmiennikami geometrycznymi operatorowej teorii pręta. Do podstawowych niezmienników należą:

\[\begin{aligned}
&\text{długość osi pręta},\\
&\text{kształt przekroju},\\
&\text{charakterystyki geometryczne przekroju},\\
&\text{funkcja sektorowa},\\
&\text{pole przekroju},\\
&\text{położenie środka ścinania},\\
&\text{biegun skręcania}.
\end{aligned} \]

Wielkości te nie zależą od sposobu reprezentacji orientacji przekroju. Pozostają identyczne zarówno przy zastosowaniu klasycznej macierzy cosinusów kierunkowych, jak i reprezentacji kwaternionowej. Zmianie ulega jedynie opis transformacji pomiędzy kolejnymi orientacjami przekroju. W proponowanym formalizmie operator orientacji nie zastępuje charakterystyk geometrycznych przekroju. Stanowi on jedynie narzędzie umożliwiające jednoznaczne przenoszenie tych charakterystyk pomiędzy kolejnymi przekrojami podczas deformacji konstrukcji. Z tego względu wszystkie klasyczne wielkości teorii Własowa zachowują swoją interpretację geometryczną i mechaniczną. Operator orientacji opisuje wyłącznie sposób ich przestrzennej transformacji.

Struktura geometryczna operatorowej teorii cienkościennych prętów

W poprzednich rozdziałach wykazano, że podstawowym obiektem fizycznym teorii jest przekrój poprzeczny cienkościennego pręta. Każdy przekrój posiada własną geometrię wewnętrzną, określoną przez jego charakterystyki geometryczne, oraz własną orientację i położenie w przestrzeni. Opis ten prowadzi do naturalnego rozdzielenia dwóch całkowicie odmiennych poziomów geometrii. Pierwszy poziom stanowi geometria wewnętrzna przekroju

\[ \Sigma , \]

obejmująca wszystkie wielkości opisujące sam przekrój poprzeczny, takie jak pole przekroju, momenty bezwładności, funkcję sektorową, współrzędne sektorowe, środek ścinania, biegun skręcania oraz pozostałe charakterystyki geometryczne. Wielkości te nie zależą od położenia przekroju w przestrzeni i pozostają niezmienne podczas jego ruchu jako bryły sztywnej. Drugi poziom stanowi geometria zewnętrzna przekroju opisana przez parę pól

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s), \]

określających odpowiednio położenie środka przekroju oraz orientację lokalnego układu współrzędnych. Oba poziomy geometrii są od siebie niezależne. Geometria wewnętrzna opisuje własności przekroju, natomiast geometria zewnętrzna opisuje sposób jego umieszczenia w przestrzeni. Dopiero ich połączenie prowadzi do pełnego opisu konfiguracji geometrycznej cienkościennego pręta

\[ \boxed{ \mathcal P= \left( \Sigma, \mathbf r_0, Q \right). } \tag{IV.67} \]

Operator położenia dowolnego punktu przekroju można zatem traktować jako odwzorowanie

\[\boxed{ \mathbf r= \mathbf r \left( \Sigma, \mathbf r_0, Q \right), } \tag{IV.68} \]

które jednoznacznie określa położenie wszystkich punktów cienkościennego pręta w przestrzeni. Takie sformułowanie prowadzi do jednoznacznego rozdzielenia geometrii i mechaniki. Geometria określa wyłącznie konfigurację przekrojów oraz ich wzajemne relacje przestrzenne. Mechanika rozpoczyna się dopiero po przypisaniu zmianom tej konfiguracji odpowiednich wielkości energetycznych oraz reakcji materiału. Przyjęty formalizm zachowuje wszystkie klasyczne charakterystyki geometryczne przekroju oraz wszystkie podstawowe prawa mechaniki. Zmianie ulega wyłącznie sposób organizacji aparatu matematycznego wykorzystywanego do opisu geometrii cienkościennego pręta.

<h2>IV.27. Zasady operatorowej teorii cienkościennych prętów</h2>

W poprzednich rozdziałach wykazano, że pełny opis geometryczny cienkościennego pręta można oprzeć na trzech wzajemnie niezależnych poziomach opisu:

\[
\Sigma,
\qquad
\mathbf r_0(s),
\qquad
Q(s).
\]

Pierwszy opisuje geometrię wewnętrzną przekroju, drugi jego położenie w przestrzeni, natomiast trzeci określa orientację lokalnego układu współrzędnych. Wielkości te tworzą komplet informacji geometrycznych niezbędnych do jednoznacznego opisu konfiguracji cienkościennego pręta.

Na tej podstawie można sformułować podstawowe zasady operatorowej teorii cienkościennych prętów.

Zasada I. Pręt jest jednoparametrową rodziną przekrojów.

Pręt nie jest traktowany jako linia ani jako zbiór niezależnych punktów materialnych. Podstawowym obiektem teorii jest przekrój poprzeczny, którego kolejne położenia tworzą jednoparametrową rodzinę opisaną współrzędną łukową

\[
s.
\]

Zasada II. Geometria przekroju jest niezmiennikiem ruchu.

Charakterystyki geometryczne przekroju, takie jak pole przekroju, momenty bezwładności, funkcja sektorowa, środek ścinania oraz biegun skręcania, opisują geometrię wewnętrzną przekroju i nie zależą od jego położenia ani orientacji w przestrzeni.

Konfigurację przekroju opisują dwa niezależne pola geometryczne

Każdy przekrój posiada położenie

\[\mathbf r_0(s), \]

oraz orientację

\[ Q(s). \]

Pola te są geometrycznie niezależne i wspólnie jednoznacznie określają konfigurację przekroju.

<h2>IV.2. Fundamentalne zasady operatorowej teorii cienkościennych prętów</h2>

Klasyczne teorie prętów, począwszy od teorii Eulera–Bernoulliego, poprzez teorię Timoshenki, aż do teorii cienkościennych prętów Własowa, zostały sformułowane w oparciu o klasyczny aparat mechaniki ośrodków ciągłych. W proponowanym ujęciu nie ulegają zmianie mechaniczne podstawy tych teorii ani ich równania równowagi. Zmianie ulega jedynie sposób organizacji opisu geometrycznego.

Punktem wyjścia proponowanego formalizmu są trzy fundamentalne zasady, które określają strukturę geometryczną cienkościennego pręta i stanowią podstawę dalszych wyprowadzeń.

Podstwowe zasady operatorowej teorii prętów

Zasada 1. Przekrój poprzeczny jest podstawowym obiektem teorii

Podstawowym obiektem opisu nie jest punkt materialny ani oś pręta, lecz przekrój poprzeczny. Pręt traktowany jest jako jednoparametrowa rodzina przekrojów

\[ \Sigma(s), \tag{IV.1} \]

uporządkowanych wzdłuż osi pręta współrzędną łukową $s$. Każdy przekrój zachowuje własną geometrię wewnętrzną opisaną przez klasyczne charakterystyki geometryczne, takie jak pole przekroju, momenty bezwładności, funkcję sektorową, środek ścinania oraz biegun skręcania. Wielkości te są własnościami przekroju i nie zależą od jego położenia ani orientacji w przestrzeni.

Zasada 2. Każdy przekrój posiada dwa niezależne atrybuty geometryczne: położenie oraz orientację.

Stan geometryczny pojedynczego przekroju określają dwie niezależne wielkości. Pierwszą z nich jest położenie punktu odniesienia przekroju opisane wektorem

\[ \mathbf r_0(s), \tag{IV.2} \]

drugą natomiast jego orientacja względem globalnego układu odniesienia opisana operatorem orientacji

\[ Q(s). \tag{IV.3} \]

Położenie i orientacja są niezależnymi atrybutami geometrycznymi przekroju. Zmiana położenia nie musi powodować zmiany orientacji, podobnie jak obrót przekroju może zachodzić bez zmiany jego położenia. Rozdzielenie tych dwóch wielkości stanowi podstawową ideę proponowanego formalizmu i prowadzi do jednoznacznego oddzielenia translacji od obrotu.

Zasada 3. Deformacja jest relacją pomiędzy sąsiednimi przekrojami.

Pojedynczy przekrój nie ulega deformacji. Deformacja pojawia się dopiero podczas porównania dwóch nieskończenie bliskich przekrojów odpowiadających współrzędnym $s$ oraz $s+ds$. Dopiero wzajemna zmiana ich położenia oraz orientacji zawiera informację o lokalnej deformacji pręta. W proponowanym formalizmie wszystkie klasyczne miary kinematyczne, takie jak wydłużenie osi, krzywizny, skręcanie oraz deplanacja, będą wyprowadzane z lokalnych zmian położenia i orientacji sąsiednich przekrojów. Tym samym deformacja nie jest własnością pojedynczego przekroju, lecz relacją geometryczną pomiędzy kolejnymi przekrojami tworzącymi pręt.

Przyjęte trzy zasady nie zmieniają mechanicznych podstaw klasycznej teorii prętów. Stanowią jedynie uporządkowanie jej struktury geometrycznej. W dalszych rozdziałach zostanie pokazane, że na ich podstawie można w sposób naturalny zbudować operatorowy opis kinematyki cienkościennych prętów obejmujący zarówno małe, jak i skończone obroty przekrojów. Wszystkie klasyczne wielkości mechaniczne, takie jak odkształcenia, naprężenia, siły przekrojowe, momenty, deplanacja oraz bimoment, zachowują swoją dotychczasową interpretację mechaniczną, natomiast zostają wyprowadzone z bardziej ogólnego opisu geometrycznego.

Zasada IV. Deformacja jest relacją pomiędzy sąsiednimi przekrojami.

Pojedynczy przekrój nie ulega deformacji. Deformacja pojawia się dopiero podczas porównania konfiguracji dwóch sąsiednich przekrojów. Wszystkie miary kinematyczne wynikają z lokalnych zmian położenia oraz orientacji.

Zasada V. Mechanika jest konsekwencją geometrii.

Operatorowy opis geometrii nie zmienia praw mechaniki. Równania równowagi, prawa materiałowe oraz definicje sił przekrojowych pozostają identyczne jak w klasycznej teorii. Zmianie ulega jedynie aparat matematyczny wykorzystywany do opisu konfiguracji oraz jej zmian. Przyjęte zasady prowadzą do jednoznacznego rozdzielenia geometrii i mechaniki. Geometria opisuje konfigurację przekrojów oraz jej ewolucję, natomiast mechanika opisuje reakcję materiału na zmiany tej konfiguracji. Dzięki temu klasyczna teoria Eulera–Bernoulliego, teoria Timoshenki oraz teoria Własowa zachowują pełną ważność i mogą zostać otrzymane jako szczególne przypadki ogólnego operatorowego opisu cienkościennych prętów.

Przekrój jako podstawowy obiekt operatorowej teorii cienkościennych prętów

Przyjęcie przekroju poprzecznego jako podstawowego obiektu teorii nie stanowi nowego założenia mechanicznego. Jest ono naturalną konsekwencją klasycznej metody półodwrotnej stosowanej od początku rozwoju teorii prętów. W trójwymiarowej teorii sprężystości podstawowym obiektem opisu jest punkt materialny ciała, którego przemieszczenie opisuje pole

\[ \mathbf u=\mathbf u(x,y,z). \]

Redukcja zagadnienia trójwymiarowego do modelu jednowymiarowego polega na zastąpieniu opisu każdego punktu niezależnym opisem kolejnych przekrojów poprzecznych rozmieszczonych wzdłuż osi pręta. Od tego momentu podstawowym obiektem geometrycznym przestaje być punkt materialny, a staje się nim przekrój poprzeczny. Każdy przekrój zachowuje własną geometrię wewnętrzną, określoną przez klasyczne charakterystyki geometryczne przekroju. Opis ten pozostaje identyczny jak w klasycznej teorii Własowa i nie ulega żadnym zmianom. Zmianie ulega jedynie sposób opisu ruchu przekroju w przestrzeni. W proponowanym formalizmie każdy przekrój traktowany jest jako sztywna figura geometryczna, której ruch opisują dwa niezależne pola:

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s). \]

Pole położenia określa translację przekroju w przestrzeni, natomiast operator orientacji opisuje obrót lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem. Takie rozdzielenie prowadzi do jednoznacznego oddzielenia geometrii wewnętrznej przekroju od geometrii jego ruchu. Geometria przekroju obejmuje wszystkie klasyczne charakterystyki przekroju wykorzystywane w teorii cienkościennych prętów. Są to między innymi pole przekroju, momenty bezwładności, środek ścinania, biegun skręcania oraz funkcja sektorowa. Wielkości te są własnościami przekroju i nie zależą od jego położenia ani orientacji w przestrzeni. Natomiast położenie oraz orientacja opisują wyłącznie sposób umieszczenia tego samego przekroju w przestrzeni trójwymiarowej. Operator orientacji nie zmienia geometrii przekroju. Opisuje jedynie transformację lokalnego układu współrzędnych z orientacji początkowej do orientacji aktualnej. Takie rozdzielenie geometrii wewnętrznej i geometrii zewnętrznej porządkuje strukturę teorii oraz umożliwia niezależny rozwój opisu kinematyki i opisu mechaniki. Dzięki temu wszystkie klasyczne wielkości geometryczne wykorzystywane w teorii Własowa zachowują swoją interpretację, natomiast opis ruchu przekroju zostaje uogólniony na przypadek skończonych obrotów.

Przekrój jako nośnik informacji geometrycznej i mechanicznej

Przyjęcie przekroju poprzecznego jako podstawowego obiektu teorii prowadzi do naturalnego pytania, jakie informacje są z nim związane. W klasycznej teorii prętów informacje te pojawiają się zwykle w różnych miejscach teorii i opisywane są niezależnie od siebie. W proponowanym formalizmie wszystkie można uporządkować według ich znaczenia geometrycznego i mechanicznego. Każdy przekrój cienkościennego pręta przenosi dwa rodzaje informacji. Pierwszą stanowią informacje geometryczne określające konfigurację przekroju. Obejmują one:

\[\Sigma, \qquad \mathbf r_0(s), \qquad Q(s), \]

gdzie $\Sigma$ oznacza geometrię wewnętrzną przekroju, $\mathbf r_0(s)$ położenie punktu odniesienia przekroju, natomiast $Q(s)$ opisuje jego orientację względem globalnego układu współrzędnych.

Drugą grupę stanowią informacje mechaniczne opisujące stan naprężenia przekroju. Do wielkości tych należą klasyczne siły przekrojowe:

\[ N,\; V_y,\; V_z, \]

momenty przekrojowe

\[ M_y,\; M_z,\; M_t, \]

oraz charakterystyczny dla cienkościennych prętów bimoment

\[ B_\omega. \]

Informacje geometryczne i mechaniczne mają odmienny charakter. Geometria określa aktualną konfigurację przekroju, natomiast wielkości mechaniczne opisują reakcję materiału na zmianę tej konfiguracji.

Opis geometryczny poprzedza zatem opis mechaniczny. Dzięki takiemu uporządkowaniu przekrój można traktować jako element przenoszący jednocześnie informację o swojej geometrii oraz o stanie mechanicznym konstrukcji. W proponowanym formalizmie zależność pomiędzy obiema grupami informacji nie jest postulowana, lecz zostanie wyprowadzona w kolejnych rozdziałach z klasycznych równań mechaniki oraz operatorowego opisu kinematyki przekroju. Takie rozdzielenie geometrii i mechaniki stanowi jedną z podstawowych cech proponowanego formalizmu. Geometria opisuje konfigurację przekroju, natomiast mechanika opisuje reakcję materiału na zmianę tej konfiguracji.

Podstawowe operacje geometryczne wykonywane na przekroju

W poprzednich rozdziałach wykazano, że podstawowym obiektem operatorowej teorii cienkościennych prętów jest przekrój poprzeczny. Każdy przekrój posiada własną geometrię wewnętrzną oraz jednoznacznie określone położenie i orientację w przestrzeni. Z punktu widzenia geometrii ruch przekroju może być opisany za pomocą dwóch podstawowych operacji. Pierwszą z nich jest translacja, polegająca na zmianie położenia przekroju bez zmiany jego orientacji. Operacja ta opisywana jest przez zmianę wektora położenia

\[ \mathbf r_0(s). \tag{IV.4} \]

Drugą operacją jest obrót przekroju, podczas którego zmianie ulega wyłącznie orientacja lokalnego układu współrzędnych, natomiast geometria samego przekroju pozostaje niezmieniona. Operację tę opisuje operator orientacji

\[ Q(s). \tag{IV.5} \]

Obie operacje są od siebie niezależne. Translacja nie powoduje zmiany orientacji przekroju, natomiast obrót nie zmienia jego geometrii wewnętrznej. Dowolny ruch przekroju może zostać przedstawiony jako jednoczesne wykonanie obu operacji. W proponowanym formalizmie wszystkie dalsze wielkości kinematyczne wynikają z lokalnych zmian translacji oraz obrotu podczas przechodzenia pomiędzy kolejnymi przekrojami. Takie ujęcie prowadzi do naturalnego rozdzielenia geometrii ruchu przekroju od geometrii samego przekroju. Geometria wewnętrzna przekroju pozostaje niezmienna, natomiast zmianom podlega jedynie jego położenie oraz orientacja w przestrzeni.

Pole konfiguracji cienkościennego pręta

W klasycznej teorii sprężystości podstawową niewiadomą jest pole przemieszczeń opisujące zmianę położenia każdego punktu materialnego ciała. W teorii prętów, będącej jednowymiarową redukcją zagadnienia trójwymiarowego, podstawowym obiektem opisu nie jest punkt materialny, lecz przekrój poprzeczny. Naturalną konsekwencją tego faktu jest zastąpienie pola przemieszczeń polem konfiguracji przekrojów. Każdemu przekrojowi odpowiada jednoznacznie określone położenie oraz orientacja w przestrzeni. Stan geometryczny przekroju opisuje zatem para pól

\[ \mathbf r_0(s), \qquad Q(s), \tag{IV.6} \]

gdzie $\mathbf r_0(s)$ określa położenie punktu odniesienia przekroju, natomiast $Q(s)$ opisuje orientację lokalnego układu współrzędnych związanego z przekrojem.

Obie wielkości tworzą wspólnie pole konfiguracji cienkościennego pręta

\[ \boxed{ \mathcal C(s)= \left( \mathbf r_0(s), Q(s) \right), } \tag{IV.7} \]

które stanowi podstawową niewiadomą proponowanego formalizmu. Pole konfiguracji opisuje wyłącznie geometrię pręta i nie zawiera jeszcze żadnych informacji mechanicznych. Określa ono jedynie położenie oraz orientację wszystkich przekrojów tworzących konstrukcję. Znajomość pola konfiguracji pozwala jednoznacznie odtworzyć położenie każdego punktu cienkościennego pręta. Oznacza to, że pole położenia dowolnego punktu przekroju

\[ \mathbf r=\mathbf r(X_1,X_2,\omega,s) \]

staje się funkcją pola konfiguracji

\[ \boxed{ \mathbf r = \mathbf r \left( X_1, X_2, \omega, \mathcal C(s) \right). } \tag{IV.8}
\]

Takie sformułowanie zachowuje pełną zgodność z klasyczną metodą półodwrotną. Zmianie ulega jedynie sposób opisu ruchu przekroju. W miejsce niezależnych parametrów przemieszczeń i obrotów wprowadza się jedno pole konfiguracji, z którego wszystkie klasyczne wielkości kinematyczne zostaną wyprowadzone w dalszych rozdziałach.

Pole konfiguracji nie stanowi nowej wielkości mechanicznej. Jest ono wyłącznie obiektem geometrycznym opisującym aktualny stan pręta. Dopiero analiza zmian pola konfiguracji pomiędzy sąsiednimi przekrojami prowadzi do zdefiniowania odkształceń, krzywizn oraz pozostałych miar kinematycznych wykorzystywanych w teorii cienkościennych prętów.

Pole stanu cienkościennego pręta

W poprzednich rozdziałach wykazano, że podstawowym obiektem operatorowej teorii cienkościennych prętów jest przekrój poprzeczny. Każdy przekrój opisany jest przez własną geometrię wewnętrzną oraz dwa niezależne atrybuty geometryczne określające jego aktualny stan w przestrzeni: położenie i orientację. W konsekwencji cały cienkościenny pręt można traktować jako jednoparametrową rodzinę przekrojów

\[ \Sigma(s), \]

których stan geometryczny zmienia się w sposób ciągły wzdłuż osi pręta. Nie opisuje się zatem pojedynczego przekroju, lecz ciągłe pole stanów przekrojów

\[ \boxed{ \Sigma(s) = \left( \Sigma, \mathbf r_0(s), Q(s) \right), } \tag{IV.8} \]

gdzie symbol $\Sigma$ oznacza geometrię przekroju, natomiast wielkości $\mathbf r_0(s)$ oraz $Q(s)$ opisują odpowiednio jego położenie i orientację. Pole to stanowi podstawowy obiekt geometryczny całej teorii. W proponowanym formalizmie wszystkie dalsze wielkości kinematyczne i mechaniczne będą wyprowadzane z analizy zmian pola stanu podczas przechodzenia pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Opis taki zachowuje pełną zgodność z klasyczną metodą półodwrotną. Zmianie ulega jedynie sposób interpretacji geometrii. Zamiast traktować pręt jako zbiór punktów materialnych opisanych polem przemieszczeń, traktuje się go jako uporządkowaną rodzinę przekrojów opisanych polem stanu geometrycznego. Pole stanu nie zawiera jeszcze informacji o odkształceniach ani o siłach wewnętrznych. Opisuje ono wyłącznie aktualną konfigurację geometryczną konstrukcji. Dopiero porównanie stanów dwóch sąsiednich przekrojów prowadzi do zdefiniowania lokalnych miar deformacji, z których następnie wynikają naprężenia, siły przekrojowe oraz pozostałe wielkości mechaniczne.

Ewolucja stanu przekroju wzdłuż osi pręta

Pole stanu przekrojów opisuje aktualną konfigurację geometryczną cienkościennego pręta. Sam opis pojedynczego przekroju nie zawiera jednak informacji o deformacji konstrukcji. Informacja taka pojawia się dopiero podczas porównania stanów dwóch sąsiednich przekrojów. Niech przekroje odpowiadają współrzędnym łukowym

\[ s \qquad\text{oraz}\qquad s+ds. \]

Stan pierwszego przekroju opisuje para

\[ \left( \mathbf r_0(s), Q(s) \right), \]

natomiast stan przekroju sąsiedniego

\[ \left( \mathbf r_0(s+ds), Q(s+ds) \right). \]

Przechodząc od jednego przekroju do drugiego obserwujemy ewolucję stanu geometrycznego pręta. Ewolucja ta obejmuje jednocześnie zmianę położenia oraz zmianę orientacji przekroju. Zmiana położenia określa lokalny przebieg osi pręta, natomiast zmiana orientacji opisuje sposób wzajemnego ustawienia kolejnych przekrojów. W proponowanym formalizmie właśnie ewolucja stanu przekroju stanowi podstawowe źródło informacji kinematycznej. Wszystkie klasyczne miary deformacji wykorzystywane w teorii prętów zostaną wyprowadzone jako konsekwencja lokalnych zmian położenia i orientacji kolejnych przekrojów. Takie sformułowanie prowadzi do jednoznacznego rozdzielenia trzech poziomów opisu. Pierwszy poziom stanowi opis pojedynczego przekroju. Drugi poziom opisuje zmianę stanu pomiędzy sąsiednimi przekrojami. Dopiero trzeci poziom obejmuje interpretację mechaniczną tych zmian w postaci odkształceń, naprężeń oraz sił wewnętrznych. Przyjęta kolejność odpowiada naturalnej strukturze mechaniki. Najpierw określana jest geometria konfiguracji, następnie jej lokalna zmienność, a dopiero w ostatnim etapie reakcja materiału na zmiany tej konfiguracji.

Operator położenia punktu cienkościennego przekroju

W poprzednim rozdziale zdefiniowano podstawowe obiekty geometryczne operatorowej teorii cienkościennych prętów. Wykazano, że stan każdego przekroju opisują dwa niezależne atrybuty geometryczne: jego położenie oraz orientacja. Umożliwia to przejście od opisu pojedynczego przekroju do ścisłego opisu położenia dowolnego punktu cienkościennego pręta. Niech z przekrojem odniesienia związany będzie lokalny układ współrzędnych

\[ (E_1,E_2,E_3), \]

natomiast punkt przekroju opisany będzie współrzędnymi lokalnymi

\[ (X_1,X_2,\omega), \]

gdzie $X_1$ i $X_2$ oznaczają współrzędne punktu w płaszczyźnie przekroju, natomiast $\omega$ oznacza współrzędną sektorową.

Położenie punktu odniesienia przekroju określa wektor

\[ \mathbf r_0(s), \]

natomiast orientację przekroju opisuje operator orientacji

\[ Q(s). \]

Położenie dowolnego punktu cienkościennego przekroju określa zależność

\[
\boxed{
\mathbf r(X_1,X_2,\omega,s)
=
\mathbf r_0(s)
+
Q(s)\,
\mathbf x(X_1,X_2,\omega),
}
\tag{V.1}
\]

gdzie

\[
\mathbf x(X_1,X_2,\omega)
\]

oznacza wektor położenia punktu w lokalnym układzie współrzędnych przekroju.

Równanie (V.1) stanowi podstawowe równanie operatorowej teorii cienkościennych prętów. Łączy ono geometrię przekroju z jego położeniem oraz orientacją w przestrzeni i stanowi punkt wyjścia dalszych wyprowadzeń kinematycznych.

W szczególności cała informacja dotycząca ruchu przekroju zawarta jest wyłącznie w dwóch polach geometrycznych

\[
\mathbf r_0(s),
\qquad
Q(s),
\]

natomiast geometria przekroju

\[
\mathbf x(X_1,X_2,\omega)
\]

pozostaje niezmienna i stanowi własność materiałową przekroju.

Podstawowe równanie różniczkowe teorii skręcania cienkościennych prętów

Celem klasycznej teorii Własowa jest wyprowadzenie jednowymiarowego równania różniczkowego opisującego skręcanie nieswobodne pręta cienkościennego o przekroju otwartym, zamkniętym lub mieszanym. Poszukiwane równanie powinno uwzględniać zarówno klasyczne skręcanie Saint-Venanta, jak i zjawisko deplanacji przekroju, charakterystyczne dla prętów cienkościennych.

Przyjmując, że pręt obciążony jest rozłożonym momentem skręcającym o intensywności $m_s(x)$, poszukujemy liniowego równania różniczkowego postaci

\[ A\,\frac{d^4\varphi}{dx^4} – B\,\frac{d^2\varphi}{dx^2} = m_s(x), \tag{IV.42} \label{IV.42} \]

gdzie:
$\varphi(x)$ – kąt skręcenia przekroju pręta,
$m_s(x)$ – rozłożony moment skręcający,
$A$, $B$ – współczynniki modelu, zależne od właściwości materiałowych oraz geometrii przekroju poprzecznego.

Równanie (\ref{IV.42}) ma strukturę analogiczną do klasycznych równań teorii belek. Człon zawierający czwartą pochodną opisuje wpływ zjawisk związanych z deplanacją przekroju, natomiast człon z drugą pochodną odpowiada klasycznemu skręcaniu Saint-Venanta. Na obecnym etapie współczynniki $A$ i $B$ traktowane są jako nieznane parametry modelu.

Pole przemieszczeń

Podstawową różnicą pomiędzy klasyczną teorią belki Bernoulliego a teorią Własowa jest sposób opisu przemieszczeń przekroju poprzecznego. W teorii Bernoulliego przekrój pozostaje płaski i wszystkie jego punkty doznają jednakowego przemieszczenia podłużnego wynikającego ze zginania oraz rozciągania. W teorii Własowa przekrój zachowuje swój kontur, lecz nie zachowuje płaskości. Punkty przekroju mogą przemieszczać się wzdłuż osi pręta o różne wartości, co prowadzi do zjawiska deplanacji (paczenia).

Pole przemieszczeń pręta cienkościennego przedstawiono na rys. IV.11. Przekrój początkowy oznaczono symbolem $\Omega^{(0)}$, natomiast przekrój po odkształceniu symbolem $\Omega^{(N)}$. W wyniku skręcania środek przekroju ulega przemieszczeniom poprzecznym $v(x)$ oraz $w(x)$, natomiast poszczególne punkty linii środkowej przekroju przemieszczają się wzdłuż osi pręta o różne wartości $u_1,u_2,\ldots,u_5$. Zróżnicowanie przemieszczeń podłużnych jest charakterystycznym objawem deplanacji przekroju i stanowi podstawową cechę odróżniającą teorię Własowa od klasycznej teorii belek. Na rysunku nie zaznaczono kątów obrotu przekroju oraz wielkości opisujących paczenie, aby zachować czytelność ilustracji.

Przemieszczenia poprzeczne do osi pręta: pionowe $w$ oraz poziome $v$ rozpatruje się zgodnie z klasyczną teorią belki Bernoulliego.

Rys. IV.10. Pole przemieszczeń liniowych pręta o przekroju cienkościennym

Pole przemieszczeń jest funkcją przyporządkowującą każdemu punktowi pręta jego przemieszczenie po odkształceniu. Położenie dowolnego punktu w konfiguracji początkowej określają współrzędne $(x,y,z)$, gdzie $x$ jest współrzędną osi pręta, natomiast $(y,z)$ określają położenie punktu w przekroju poprzecznym. W ogólnym przypadku pole przemieszczeń można przedstawić w postaci wektorowej

\[ \mathbf{u}(x,y,z)= \begin{Bmatrix} u(x,y,z)\\ v(x,y,z)\\ w(x,y,z) \end{Bmatrix}, \tag{IV.43} \label{IV.43} \]

gdzie:
$u(x,y,z)$ – przemieszczenie podłużne równoległe do osi pręta,
$v(x,y,z)$ – przemieszczenie poprzeczne w kierunku osi $y$,
$w(x,y,z)$ – przemieszczenie poprzeczne w kierunku osi $z$.

Zgodnie z pierwszą hipotezą Własowa (hipotezą sztywnego konturu) przemieszczenia poprzeczne wszystkich punktów przekroju są jednakowe. Oznacza to, że zależą one wyłącznie od położenia przekroju na osi pręta i można je zapisać w postaci

\[ v=v(x), \qquad w=w(x). \tag{IV.44} \label{IV.44} \]

Natomiast przemieszczenie podłużne zależy zarówno od położenia przekroju na osi pręta, jak i od położenia punktu w przekroju poprzecznym, dlatego w ogólności przyjmuje postać

\[ u=u(x,y,z). \tag{IV.45} \label{IV.45} \]

Dalszym celem teorii jest wykazanie, że dzięki hipotezom Własowa ogólne pole przemieszczeń można sprowadzić do znacznie prostszej postaci, w której przemieszczenie podłużne zostanie rozdzielone na funkcję zależną od położenia przekroju na osi pręta oraz funkcję zależną wyłącznie od geometrii przekroju poprzecznego. Wynik ten stanie się podstawą wyprowadzenia odkształceń, naprężeń oraz charakterystyk geometrycznych przekroju cienkościennego.

Podstawowe zależności różniczkowe

Równanie skręcania nieswobodnego

Równanie skręcania pręta o przekroju cienkościennym (otwartym , zamkniętymi mieszanym), obciążonego rozłożonym wzdłuż jego osi $x$ momentem skręcającym o intensywności $m_s (x)$ ma następującą postać

\[ \overline E I\omega \cdot \cfrac{d^4 \varphi}{dx^4} \, – \, GI_v \cdot \cfrac{d^2 \varphi}{dx^2} = m_s (x) \label{IV.39} \]

gdzie:
$\varphi(x)$ – kąt skręcenia przekroju pręta wokół osi x,
$\overline E$ zastępczy moduł Youmge’a ($\ref{30}$)
$I_\omega$ – wycinkowy moment bezwładności,
($EI\omega$ – sztywność giętno-skrętna przekroju pręta),
G- moduł Kirchoffa,
$I_v$ – moment bezwładności czystego skręcania (Saint Venanta)
($GI_v$ – sztywność skrętna przekroju pręta) ,

czyli ma postać różniczkową podobną do klasycznego równania zginania względem osi y belki Timoshenko o zwartym przekroju, sztywności giętnej $EI_y$ i sztywności na ścinanie $kGA$ obciążonej rozłożonym, i pionowymi siłami $q_z$

$EI_y \cdot d^4 w /dx^4 + kGA \cdot (\cfrac{d^2 w}{dx^2} + \cfrac{d^2ψ}{dx^2}) = q_z (x)$ , gdzie $w(x)$ jest ugięciem pręta, wywołanym obciążeniem pręta $q_z(x)$.
Ugięcie $w(x)$ belki i kąt obrotu zginania ψ(x)w punkcie belki x zależą od sztywność zginania $EI_y$ i sztywności na ścinanie $kGA$ belki ( k to współczynnik uwzględniający kształt przekroju, G – moduł Kirchhoffa, A – pole przekroju poprzecznego).

Rozwiązanie równania skręcania nieswobodnego

Równaniem stanu pręta cienkościennego jest równanie kąta skręcenia $\varphi (x,y)$. Inne zmienne stanu. w tym siły przekrojowe można wyznaczyć z formuł zależnych tylko od kąta skręcenia i jego pochodnych (patrz ($\ref{IV.126}$), ($\ref{IV.127}$), ($\ref{IV.128}$
Piechnik, S. Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2000
Piechnik S. Mechanika techniczna ciała stałego, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007
Piechnik, S. (2006). Algebra of systems of forces applied to the flat material line. JTAM, 44(1), 107–125
Clifford, W. K. (1873). Preliminary sketch of bi-quaternions. Proc. London Math. Soc., 4, 381–395
Jancewicz, B., & Brzeski, P. (2005). Magnetic field surfaces. European Journal of Physics, 26, 617–634.
Perwass, C. (2009). Geometric algebra with applications in engineering. Springer
Gull, S., Lasenby, A., , Doran, C. (1993). Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime. Found. Phys., 23(9), 1175–1201
Jancewicz, B. (2011). Pseudowektory. Foton, 115(Zima 2011), 31–43
Bijak R., Chodor L., Zginanie i skręcanie dwuteowników bisymetrycznych, 61. Konferencja Naukowa KILiW PAN oraz KN PZITB Krynica 2015, 20–25 września 2015 r. Krynica-Zdrójj
Gawłowski, S. (2006). Podejście statyczne do oceny nośności granicznej prętów cienkościennych otwartych, Praca doktorska, Politechnika Krakowska
Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PWN, Warszawa-Kraków 1980
Brzoska Z., Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych, (Wyd. II, PWN, Warszawa, 1965
Rykaluk K., Zagadnienia stateczności konstrukcji metalowych, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne , Wrocław 2012
Kasprzyk T., Zadanie 5. Rozwiązanie przykładowe, Politechnika Wrocławska KMBiIM ZWM, Wrocław maj 2021

________________________________

04 sie 26

By : Leszek Chodor

Comments : Off

O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.