Skręcanie pręta o przekroju prostokątnym

Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju prostokątnym (rys.1). Można pokazać (Piechnik, 2008), że zagadnienie brzegowe skręcania swobodnego pręta o dowolnym przekroju jest zagadnieniem Neumanna

$$\begin {equation} \nabla \varphi^2 =0 \end {equation}$$

gdzie

$$\begin {equation} \varphi (y,z) \end {equation}$$

jest funkcją skręcania (paczenia) niezależną od współrzędnej długości pręta x, Jest więc dowolną funkcją harmoniczną spełniającą statyczne warunki brzegowe na pobocznicy pręta.

W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=0 \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu wynosi

$$\begin {equation} I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi r^4}{2}=I_0 \end {equation}$$

Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą

$$\begin {equation} max \tau_v= \cfrac{M_v}{I_0} \cdot r \end {equation}$$Rys.1. Przekrój prostokątny skręcany

W przypadku przekroju prostokątnego  o wymiarach bxh (h-wysokość) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu:

$$\begin {equation} \varphi (y,z)=y \cdot z-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z)\end {equation}$$

gdzie

$$ \begin {equation} k_n=\cfrac { (2n+1) \pi}{b}  \quad ; \quad  B_n= (-1)^n \cfrac{8b}{(2b+1)^2 \pi^2} \end {equation}$$

W konsekwencji moment bezwładności skręcania możemy zapisać w postaci

$$\begin {equation} I_v=\left [ \cfrac{1}{3} – \cfrac {64}{\pi^5} \cdot (h/b))^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ] b^3 h= \beta (h/b) \cdot b^3 \cdot h \end {equation}$$

Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne  można zapisać w postaci:

$$\begin {equation} max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v} {\alpha (h/b)  \cdot b^2 h} \end {equation}$$

skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania

$$\begin {equation} W_v=\alpha (h/b) \cdot b^2 \cdot h \end {equation}$$

Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1

Tab.1. Współczynniki wskaźnika wytrzymałości  i momentu bezwładności na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta

Literatura

Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »