Skręcanie pręta o przekroju prostokątnym

Z punktu widzenia praktyki istotne znaczenie ma problem czystego skręcania pręta o przekroju prostokątnym (rys.1). Można pokazać (Piechnik, 2008), że zagadnienie brzegowe skręcania swobodnego pręta o dowolnym przekroju jest zagadnieniem Neumanna $$ \nabla \varphi^2 =0$$ gdzie $$\varphi (y,z)$$ jest funkcją skręcania (paczenia) jest niezależna od współrzędnej długości pręta x, Jest więc dowolną funkcją harmoniczną spełniającą statyczne warunki brzegowe na pobocznicy pręta.

W przypadku przekroju kołowego rozwiązaniem zagadnienia Neumanna jest funkcja $$\varphi(y,z)=0$$ W konsekwencji moment bezwładności przy skręcaniu wynosi $$I_v= \iint \limits_A r^2 dA= \cfrac{\pi r^4}{2}=I_0$$ Maksymalne naprężenia styczne (na obwodzie koła) wynoszą $$\max \tau_v= \cfrac{M_v}{I_0}\cdot r$$Rys.1. Przekrój prostokątny skręcany

W przypadku przekroju prostokątnego  o wymiarach bxh (h-wysokość) funkcja paczenia może być przedstawiona w postaci szeregu:

$$ \varphi (y,z)=yz-\sum \limits_{i=0}^\infty \cfrac {B_n}{k_n cosh(k_n h/2}\cdot sin(k_n y) cosh (k_n z) $$  (1)
gdzie $$k_n=\cfrac{(2n+1)\pi}{b}$$ , $$B_n=\cfrac{2}{b} \int \limits_{-b/2}^{b/2} 2y sin (k_n y)dy$$  (2)

W konsekwencji moment bezwładności skręcania możemy zapisać w postaci

$$ I_v=\left [ \cfrac{1}{3}-\cfrac{64}{\pi^5}(h/b)^{-1} \sum \limits_{n=0}^\infty \cfrac{tgh (k_n h/2)}{(2n+1)^5}\right ]b^3 h= \beta (h/b)b^3 h$$  (3)

Wyrażenie na maksymalne naprężenia styczne  można zapisać w postaci:

$$ max \, \tau_{xz}= \cfrac{M_v}{\alpha b^2 h} $$ skąd wskaźnik wytrzymałości na skręcania $$W_v=\alpha b^2 h$$  (4)

Współczynniki $\alpha$ i $\beta$ są zależne jedynie od stosunku boków prostokąta i zestawiono je w tab.1

Tab.1. Współczynniki wskaźnika wytrzymałości  i momentu bezwładności na skręcanie dla różnych stosunków boku prostokąta

Literatura

Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej.
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »