Skręcanie nieswobodne (skrępowane)

W większości praktycznych przypadków deplanacja przekrojów pręta skręcanego nie może rozwijać się swobodnie. Taki stan  określamy skręcaniem nieswobodnym lub skrępowanym.

Przykładem skręcanie skrępowanego jest zwykłe utwierdzenie końca pręta lub specyficzny, symetryczny  sposób przyłożenia momentów skręcających , wymuszający płaskość przekroju leżącego w płaszczyżnie symetrii.  W technicznej teorii nieswobodnego skręcania przyjmuje się, że słuszne są zależności wyprowadzone adzone  dla czystego skręcania

Jednostkowy kąt skręcenia  defniuje się jako :

$\Theta= \frac {M_v}{GI_v} $  (1)

gdzie $M_v$ kest momentem skręcającym przekrój,  $G$ – modułem odkształcalności poprzecznej (Kirchoffa), a $I_v$ – momentem bezwładności przekroju przeciw skręcaniu. Przemieszczenie podłużne przekroju pręta jest proprcjonalne do współrzędnej wycinkowej przekroju ze współczynnikiem proporcjonalności $\Theta$:

$u(x.y.x)=-\Theta (x) \cdot \omega $  (2)

gdzie współrzędna wycinkowa jest specyficzną współrzędną, określającą położenie punktu $M$ w przekroju i jest równa podwojonym polem zakreślonym przez promień wodzący od pewnego punktu początkowego punktu $A$ przekroju (rys.1). 

wsp wycinkowaRys.1 Współrzędna wycinkowa przekroju cienkościennego

Brak swobody deplanacji wywołuje naprężenie normalne do przekroju równe

$\sigma_\omega=E \frac {du} {dx}=-E \frac {d^2\varphi} {dx^2} $  (3)

gdzie $E$- moduł odkształcalności podłużnej (Younga),  a $\varphi$ jest kątem skręcenia przekroju.  Zachodzi 

$\Theta=\frac{d\varphi}{dx}$. 

Można pokazać, że naprężenia normalne $\sigma_\omega$ można wyrazić za pomocą nowej siły przekrojowej bimomentu $B_\omega$ w postaci (Piechnik, 2008):

$\sigma_{\omega}=\frac {B_{\omega}}{I_{\omega}} \cdot \omega $  (4)

gdzie $I_\omega$ jest wycinkowym bezwładności przekroju. Bimoment $B_\omega$, czyli para momentów zginających jest wyznaczany analogicznie do momentu zginającego w pręcie. Oprócz bimomentu definiuje się siłę przekrojową – moment giętno-skrętny $M_\omega$,  który jest pochodną bimomentu po długości pręta (Vlasov, 1959):

$M_\omega=\frac {dB_\omega}{dx} $  (5)

Całkowity moment skręcający przekrój $M_x$ jest sumą momentu giętno-skrętnego $M_\omega$ oraz momentu czystego skręcania  $M_v$ (momentu Saint-Venanta).

$M_x= M_\upsilon +M_\omega $  (6)

Moment giętno-skrętny wywołuje naprężenia styczne  $\tau_\omega$ o stałej wartości po grubości ścianki, które można wyznaczyć z zależności:

$\tau_\omega= \frac {M_\omega \cdot S_\omega}{I_\omega \cdot t} $  (7)

gdzie:  $S_\omega$ – wycinkowy moment statyczny przekroju, $t$ – grubość ścianki przekroju.

Naprężenie styczne od momentu czystego skręcania wyznaczamy ze wzoru (Brzoska, 1965):

$\tau_\upsilon= \frac {M_\upsilon }{W_\upsilon} $  (8)

gdzie:

$W_\upsilon= \frac {I_\upsilon }{max \{t_i \}}$  (9)

jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie., równym stosunkowi momentu bezwładności na skręcanie i maksymalnej grubości ścianki.

Dla przekroju cienkościennego złożonego   z $n$ ścianek, których długość $l_i$  jest znacznie większa od grubości $t_i$  wynosi

$I_\upsilon= \frac{1}{3} \cdot \sum \limits_{i=1} \limits^{n} t_i^3 \cdot l_i $  (10)

gdzie  $I_v$ jest momentem czystego skręcania przekroju cienkościennego otwartego, złożonego z $n$ cienkich ścianek o grubości $t_i$ i długości $l_i$ każda. Uzasadnienie powyższej formuły i granice jej stosowania przedstawiono pod hasłem: skręcanie swobodne pręta o przekroju cienkościennym.

W przypadku przekroju zamkniętego o powierzchni $\Omega$ zamkniętej wewnątrz linii środkowych przekroju, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, wynosi 

$W_\upsilon = 2 \cdot \Omega \cdot min \{t_i \}$  (11)

gdzie występuje minimalna grubość $t$ ścianki przekroju.

Z przedstawionych formuł wynikają dwa ważne wnioski:

1. sztywność na skręcanie przekroju zamkniętego jest wielokrotnie większa od przekroju otwartego i jest proporcjonalna do podwojonego pola zawartego wewnątrz przekroju.

2. w zagadnieniu skręcania nieswobodnego prętów występują nowe, nieznane w klasycznej teorii zginania  prętów,  charakterystyki geometryczne przekroju $I_\omega$, $S_\omega$,  oraz  siły przekrojowe $B_\omega$, $M_\omega$

 

Literatura

Brzoska, Z. (1965). Statyka i stateczność konstrukcji prętowych cienkościennych (Wyd. II). Warszawa: PWN.
Piechnik, S. (2008). Pręty cienkościenne otwarte. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych. Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej.
Vlasov, V. Z. (1961). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. Moskva | Jerusalem: Państwowe Wydawnictwo Fizyczno-Matematycznej Literatury | Israel Program for Scientific Translations.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »