Przybliżone algorytmy niezawodnościowe [N]

Niezawodność obiektu definiuje się  jako  poziom wypełniania swoich  funkcji w realnych warunkach eksploatacji przez okres użytkowania. Funkcje nałożone na obiekt budowlany obejmują nie tylko warunki wytrzymałości oraz stateczności, ale również odporność ogniową  i energooszczędność, w tym zapotrzebowanie na energię skumulowaną w całym okresie eksploatacji. Niezawodność mierzy się zwykle prawdopodobieństwem zniszczenia Pf (lub współczynnikiem niezawodności $\beta=\Phi^{-1}(P_f)$, gdzie $\Phi$ jest funkcją Laplace’a (dystrybuanta normalnego rozkładu prawdopodobieństwa). Ze względu na to, że zwiększa się złożoność obiektów i kryteriów jakości, ważne jest zagadnienie przybliżonego obliczania niezawodności w połączeniu z metodami symulacyjnych Monte Carlo.

Wprowadzenie

Prosta metoda MC  jest często nazywana Surową Monte Carlo CMC  (od ang Crude Monte Carlo ), ze względu na jej prostotę i „siłowe” rozwiązanie dowolnych problemów losowych, ale ma niestety niewielką efektywność i wymaga znacznego nakładu czasu symulacji, nawet w dobie wciąż przyspieszających komputerów.

Modelowanie statystyczne CMC wymaga dużej liczby symulacji, tym większej im bardziej niezawodny będzie system.  W przypadku konstrukcji budowlanych, wymaga jest niezawodność rzędu $\beta=3,8$, co odpowiada $P_f\approx 10^{-4}$. Błąd średniokwadratowy  wyznaczenia prawdopodobieństwa z definicji częstotliwościowej przy N symulacjach wynosi $\delta$ . Dla uzyskania  oszacowania niezawodności $$\beta=3,8$$ z błędem  $\delta=10$% potrzeba aż N=106 (milion) rozwiązań.
Taki błąd będzie akceptowalny tylko przy mniej odpowiedzialnych systemach lub ocenianych cechach, takich jak na przykład niezawodność energetyczna.

W przybliżonych algorytmach obliczania niezawodności systemów ważne są bardziej wysublimowane metody, które nazwiemy Szybką Monte Carlo SMC.

Klasycznymi metodami przyśpieszającymi symulacje  (Buslenko, Golenko, Sobol, Sragowicz, Szrejder, 1967), (Jermakow, 1976), (Ripley, 1987), (Niemiro, 2011), (Rolski, 2013):

  • losowanie istotne (ang. importance sampling),
  • ważona eliminacja  (ang. rejection control),
  • losowanie warstwowe(ang stratified sampling),
  • zmienne kontrolne (ang. controlled variates),
  • zmienne antytetyczne (ang  antithetic variates).
  • procesy regenerujące Markowa

Podstawą do wprowadzenia powyższych metod są obserwacje:

  • Przestrzeń probabilistyczna  Ω  możliwych wartości zmiennych systemu)  jest ogromna – jej wymiar jest bardzo duży lub skończona przestrzeń zawiera astronomicznie dużą liczbę punktów,
  • Rozkład prawdopodobieństwa π jest „skupiony” w małej części ogromnej przestrzeni Ω,
  • Nie ma podstaw do zakładania, że funkcja operatora systemu jest w jakimkolwiek sensie „gładka” (co jest warunkiem stosowania standardowych analitycznych i numerycznych metod rozwiązania),
  • Gęstość rozkładu π jest znana tylko z dokładnością do stałej normującej.

Metoda losowania warstwowego

Istota losowania warstwowego

Prosta metoda losowania warstwowego jest podstawą wielu współczesnych metod SMC.
Rozważmy zadanie wyznaczenia prawdopodobieństwa zniszczenia systemu  z definicji częstotliwościowej (1)

$P_f= \frac{n_f}{N}$ (1)

gdzie nf jest liczbą realizacji systemów nie spełniających kryteriów jakości, a N całkowitą liczbą badanych systemów (liczbą symulacji). Załóżmy, że operator systemu K przekształca zmienną wejściową X na zmienną wyjściową Y:KX=Y

$KX=Y$ (2)

Symulacja systemu (2) polega na N-krotnym wylosowaniu zmiennej losowej X o znanym (lub założonym hipotetycznie) rozkładzie prawdopodobieństwa $Prob(x)$, gdzie x jest wylosowaną realizacją (konkretną wartości) zmiennej X  i wyznaczeniu N realizacji zmiennej losowej Y i następnie wyznaczeniu charakterystyk oraz rozkładu zmiennej wyjściowej zgodnie z zasadami statystyki poprzez zastosowanie stosownych estymatorów. Możemy ocenić jakość systemu na podstawie kryteriów jakości rozpiętych na zmiennych wyjściowych Y lub wejściowych $X= K^{-1} \cdot Y$ , a następnie z definicji (1) wyznaczyć niezawodność systemu.

Losowanie warstwowe polega na tym, że rozbijamy przestrzeń $\chi : (X\in \chi)$   na sumę k rozłącznych podzbiorów (warstw):

$\chi =\bigcup_{i=1}^{k}\chi_i} (\chi_i\sqcap \chi_j=0 \; , \; \; i\neq j)$ (3)

i losujemy k niezależnych próbek, po jednej z każdej warstwy. Rozważa się również taki sposób, w którym z każdej warstwy pobiera się próbki o liczebności N1,…, N2, …, Ni, …, Nk odpowiednio.

Sposób podziału przestrzeni na warstwy  ma znaczenie. Największy zysk w porównaniu z losowaniem nie-warstwowym uzyskamy wówczas, gdy „wariancja międzywarstwowa”  jest dużo większa od „wewnątrzwarstwowej”. Zawsze jednak zyskujemy na losowaniu warstwowym, jeśli zastosujemy najprostszą, proporcjonalną alokację, mimo, ze nie jest to alokacja optymalna. W praktyce często opłaca się wylosować wstępne próbki, na podstawie których estymuje się rozrzuty „międzywarstwowe” i „wewntąrzwarstwowe;

Zmniejszenie liczby symulacji w  losowaniu warstwowym

Efekt zmniejszenia potrzebnej liczby symulacji pokażemy na prostym przykładzie systemu równoległego w sensie teorii niezawodności złożonego z trzech elementów. W systemie równoległym do zniszczenia systemu potrzeba zniszczenia wszystkich elementów. Załóżmy, że elementy systemu są losowo niezależne, a system nie jest odnawiany, czyli elementy niszczą się niezależnie i każdy co najwyżej jeden raz w rozpatrywanym okresie T.

Artykuł w trakcie  OPRACOWANIA

Literatura

Buslenko, N. P., Golenko, D. I., Sobol, I. M., Sragowicz, W. G., & Szrejder, J. A. (1967). Metoda Monte Carlo (I). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
Jermakow, S. M. (1976). Metoda Monte Carlo i zagadnienia pokrewne. Warszawa: PWN.
Niemiro, W. (2011). Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo (Wykład Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki). Warszawa: Uniwersytet Warszawaki. Retrieved from http://www-users.mat.umk.pl/~wniem/SymulacjeStochastyczne/wyklad.pdf
Ripley, B. D. (1987). Stochastic simulation. New York: Wiley.
Rolski, T. (2013). Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo (Wykład Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski). Wrocław: Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski. Retrieved from http://www.math.uni.wroc.pl/~rolski/Downloads/sym.pdf
Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »