Rozdział 4: Podstawy uogólnionej metody imperfekcyjnej

Niniejszy artykuł jest 4 rozdziałem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki,
[ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]

Historia edycji:
(2019-05-04)  Rozdział 4: Podstawy uogólnionej metody imperfekcyjnej projektowania konstrukcji  – W TRAKCIE

Historia recenzji:

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na adres  wydawnictwa biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Rozdział jest podstawowym rozdziałem podręcznika  Metoda imperfekcyjna w projektowniu konstrukcji 

Fundamentalne założenia metody UIM

W praktyce inżynierskiej podstawową metodą wymiarowania jest nadal podejście zachowawcze, charakterystyczne tym, że do analizy elementów zginanych i ściskanych stosowany jest system współczynników wyboczeniowych (niestateczności: giętnej, bocznej, skrętnej, giętno-skrętnej, itd.) wraz ze współczynnikami korelacji. Słowo zachowawcze zastosowano w kontekście podejścia mającego na celu utrzymanie dotychczasowego stanu rzeczy, przywiązanego do tradycji, konserwatywnego, bez względu na znane opisy nauki i techniki, które jednoznacznie wskazują, że takie podejście w praktycznych, złożonych lub nieidealnych sytuacjach – nie ma większego uzasadnienia teoretycznego, co zwykle prowadzi do procedur niejasnych, do wielu kryteriów, do braku ogólności, do procedur pełnych wyjątków i w konsekwencji trudniejszych do ogarnięcia i stosowania przez inżynierów praktyków od metody imperfekcyjnej, prezentowanej w niniejszej pracy.

W niniejszym rozdziale zaprezentowano uogólnioną metodę imperfekcyjną UIM znamienną tym, że stosowane są bezpośrednie wymuszenia imperfekcjami geometrycznymi lub obciążeniowymi. Imperfekcje geometryczne uwzględniane są poprzez zmianę geometrii systemu, a imperfekcje obciążeniowe w drodze obciążenia nominalnego systemu fikcyjnymi siłami równoważnymi imperfekcjom geometrycznym. Uogólnienie klasycznych metod imperfekcyjnych IM w metodzie UIM polega na tym, że imperfekcje systemowe stanowią losową alternatywę imperfekcji sprężystych oraz plastycznych.

Fundamentalne złożenia metod klasycznych IM są następujące:

  1. Sprawdzenie wytrzymałości konstrukcji i jej elementów dokonuje się na poziomie przekroju, a nie elementu na siły przekrojowe 2 rzędu w zasadzie bez stosowania klasycznych współczynników wyboczeniowych. W przypadku konstrukcji cięgnowych i cięgnowo – membranowych stosujemy, co najmniej metodę I2 rzędu. W procedurze geometrycznie nieliniowej iteracyjnie wyznaczony zostanie stan równowagi systemu, a siły przekrojowe będą zawierały siły dodatkowe, które w uproszczonych, histerycznych, procedurach normowych były uwzględniane poprzez stosowanie systemu współczynników wyboczeniowych (w tym zwichrzenia) i współczynników korelacji form zniszczenia,
  2. Sprawdzenie wytrzymałości wystarczy wykonać w przekrojach sprawczych (krytycznych). Przekroje sprawcze są tymi przekrojami konstrukcji, w których wystąpi ekstremalne wytężenie, wywołane siłami przekrojowymi 2 rzędu,
  3. Wytężenie przekrojów sprawczych określa maksymalne naprężenie zastępcze, wyznaczone zgodnie z odpowiednią dla materiału hipotezą wytężeniową (Piechnik, 1980), czyli dla stali i aluminium hipoteza H-M-H (Huber-Mises-Hencky) oraz dla betonu hipoteza C-T-G (Coulomb-Tresca-Guest). Stosuje się również krzywe interakcji sił przekrojowych.
  4. Przed przystąpieniem do analizy II (lub III) rzędu konstrukcję wytrącamy z idealnej ścieżki równowagi i w rezultacie wprowadzamy na ścieżkę pokrytyczną (pobifurakcyjną),
  5. W celu wytrącenia konstrukcji z idealnej ścieżki, wymuszamy imperfekcje geometryczne lub obciążeniowe, które są zintegrowanym wynikiem losowych niedoskonałości położenia węzłów konstrukcji i osi/płaszczyzn elementów w przestrzeni,
  6. Stosownie do przewidywanych mechanizmów zniszczenia konstrukcji, dobieramy rodzaj elementów skończonych, którymi modelujemy układ rzeczywisty:
  7. w przypadku konstrukcji niezawierającej belek podatnych na zwichrzenie i elementów cienkościennych niepodatnych na lokalną utratę stateczności, a także elementów, w których wpływy ścinania są pomijalnie małe, dopuszcza się stosowanie tradycyjnego modelu prętów o przekroju zwartym, to jest elementów Bernoulliego-Eulera. Klasa konstrukcji spełniających warunki z poprzedniego zdania – nie jest duża, a klasyczne elementy prętowe o przekroju zwartym mogą być użyte wyłącznie po uprzednim uzasadnieniu dopuszczalności ich zastosowania,
  8. w przypadku konstrukcji, dla których istotna jest podatność postaciowa (np. elementy żelbetowe lub złożone pręty stalowe) należy stosować elementy prętowe Timoshenko,
  9. w przypadku konstrukcji zawierającej belki podatne na wyboczenie boczne, czyli w zasadzie większości belek stalowych niezabezpieczonych przed zwichrzeniem należy stosować uogólnione elementy prętowe, czyli cienkościenne elementy Własowa (z paczeniem jako stopniem swobody węzłów),
  10. w przypadku konstrukcji modelowanej elementami prętowymi Własowa, niestateczność miejscową ścianek przekrojów zaleca się uwzględniać na poziomie przekroju klasy 4 w sposób prezentowany przez normę (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006),
  11. W przypadku elementów ewidentnie zawierających elementy powłokowe (w tym płaskie płytowe), na przykład wysokie blachownice, zbiorniki, itd. należy stosować elementy powierzchniowe, co umożliwi analizę niestateczności miejscowej ścianek. Nie jest zalecane stosowanie elementów powłokowych w analizach elementów prętowych, ponieważ w ten sposób istotnie zwiększy się złożoność problemu bez poprawy dokładności rozwiązania (p. uwagi poniżej),
  12. Ponieważ wstępne wygięcia i skręcania dotyczą zarówno elementów ściskanych jak i rozciąganych, zginanych jak skręcanych, więc wymuszenia imperfekcyjne przykładamy do każdego elementu i każdego węzła systemu w obu kierunkach prostopadłych do osi/płaszczyzny elementu,
  13. Imperfekcja obciążeniowa (siła fikcyjna) jest stowarzyszona z dowolnym (skupionym, liniowym, powierzchniowym) obciążeniem grawitacyjnym lub inną siła bezwładności.
  14. Procedura sprawdzania wytrzymałości konstrukcji jest uniwersalna (taka sama dla konstrukcji wykonanych z różnych materiałów: stali, aluminium, żelbetu lub materiałów mieszanych i ewentualnie zespolonych),

Dodatkowo w mtodzie UIM wprowadzamy założenie:

15. Kształt systemu i elementów w stanie granicznym nośności prawie na pewno realizuje się w innej niż krytyczna sprężyście postać równowagi i ponadto są losowe,  podlegające statystycznemu rozkładowi wartości ekstremalnych  Imperfekcje uogółnione stosowne w metodzie UIM stanowią alternatywę (sumę) losową imperfekcji sprężystych oraz plastycznych

Uwagi:

  1. Element prętowy ma wymiar podłużny znacznie większy od wymiaru poprzecznego (min 3-krotnie). W przypadku elementów konstrukcji dla których nie można wyróżnić dominującego kierunku podłużnego stosujemy elementy powłokowe. Na przykład element blachownicy o wysokości środnika h i odległości miedzy żebrami a można traktować jako pręt dla a>3h , a należy traktować jako płytę w przypadku a<3h.
  2. Stosowanie elementów powłokowych do prętów istotnie zwiększa rozmiar zadania, co zwykle nie jest uzasadnione. Na przykład w pracy (Gu, Chan, 2005) dla prostej ramy złożonej z dwuteowników walcowanych pokazano, że dyskretyzacja elementami belkowymi była możliwa z użyciem 60 prętów i 61 węzłów lub równoważnie z użyciem 4465 elementów płytowych i 4829 węzłów), a uzyskane rezultaty były podobne,
  3.  Modelowanie elementami powłokowymi umożliwia uzyskanie tylko mnożników obciążeń granicznych i krytycznych, a wymiarowanie należy przeprowadzić i tak jak dla elementu prętowego.

Systemowe imperfekcje geometryczne konstrukcji

Klasyfikację imperfekcji konstrukcji przedstawiono w rozdziale 2 i na rys. 2.1.

Systemowe geometryczne imperfekcje konstrukcji dotyczą elementu EGI lub systemu SGI.

Imperfekcje systemu SGI są często nazywane globalnymi lub przechyłowymi, ponieważ wynikają z odchyleń położenia węzłów systemu od położenia oczekiwanego, przy czym z punktu widzenia stabilności konstrukcji najistotniejsze są odchylenia poziome (przechyły) SPI lub skręcenia całej konstrukcji STI. Najczęściej będziemy analizowali imperfekcje przechyłowe SPI, które wynikają z odchylenia (lub przechylenia) węzłów powierzchniowych od zamierzonego położenia projektowanego, w tym odchylenia punktów przyłożenia sił powierzchniowych czynnych lub biernych ( reakcji podpór).

Pomiędzy węzłami systemu definiowane są elementy, które mogą być obarczone imperfekcjami teoretycznej (najczęściej prostej) osi rozpiętej pomiędzy węzłem początkowym i końcowym elementu. Imperfekcje elementu EGI często są nazywane lokalnymi lub łukowymi, wynikają z odchylenia linii pręta lub powierzchni pomiędzy węzłami systemu od kształtu oczekiwanego. W systemie często definiuje się grupy elementów (superelementy), które mogą mieć odchylenia łukowe grupy, a niezależnie każdy element może mieć swoje imperfekcje łukowe, wynikające z odchylenia położenia zdefiniowanych węzłów wewnątrz konstrukcji od położenia projektowanego. Dlatego imperfekcje łukowe przypiszemy do elementu EŁI  lub do systemu SŁI 

Najczęściej te odchylenia mają kształt kolebkowy (łukowy w przypadku konstrukcji liniowych). Imperfekcje lokalne występują pomiędzy zdefiniowanymi węzłami wewnętrznymi i w zależności od typu elementu mogą być łukowe w przypadku elementów prętowych (jednowymiarowych) lub powłokowe, w przypadku elementów powierzchniowych (płyt, tarcz, powłok).

Imperfekcje, a efekty P-Delta

W rozdziale 2 „Efekt P-δ”, pokazano, że działanie sił osiowych na łukowych imperfekcjach prowadzi do amplifikacji przemieszczeń, a w konsekwencji również sił przekrojowych, co nazywa się efektem P-δ, lub P- „małe delta”. Na rys. 4.1 pokazano, że również działanie siły pionowej P na imperfekcji przechyłowej Δ również prowadzi do zwiększenia momentów zginających pręt. Taki efekt nazywa się P-Δ, lub P- „duże delta”.

Rys.4.1. Efekt P-δ i P-Δ: a) schemat, b) rozkład momentów zginających A- z analizy I – rzędu, B – efekt P-Δ, C- efekt P-δ

Szczególnie ważny jest efekt działania obciążeń grawitacyjnych na przemieszczone bocznie wysokie budowle, w tym wielopiętrowe budynki. Efekt P-Delta prowadzi z jednej strony do zwiększenia sił i przemieszczeń lub z drugiej strony do zmniejszeniu wytrzymałości konstrukcji rozpatrywanej w konfiguracji nieodkształconej. Efekt P-Δ (lub P- „duże-delta”) jest związany z względnymi przemieszczeniami końców elementu (przechyłem). W przeciwieństwie do P-δ, ten typ efektu P-Delta ma decydujące znaczenie dla modelowania i analizy nieliniowej. W rezultacie efektywna sztywność boczna zmniejszając opór we wszystkich fazach odkształcenia .

Imperfekcje łukowe

Przekształcenie efektu P- δ w P-Δ

Często, w celu zwiększenia efektywności obliczeń (niewielkie zwiększenie czasu obliczeń przy dostatecznej dokładności z punktu widzenia praktyki), szczególnie w obliczeniach sejsmicznych stosuje się aproksymację, zmierzającą do sprowadzenia efektu P- δ do analizy efektu P-Δ poprzez podział istotnych elementów konstrukcji na wiele segmentów. (Powell, 2010).

Wpływ aproksymacji imperfekcji łukowych na sprawcze przemieszczenia Δ oraz sprawcze momenty zginające M przedstawiono na Rys. 4.2. Wykres prezentuje wyniki uzyskane w przykładach 6.1.1 oraz 6.1.2 (rozdział 6), gdzie zamieszczono szczegółowy opis.  Błąd aproksymacji ε jest największy przy podziale pręta na dwa proste elementy, czyli zamodelowaniu jednego węzła w środku elementu „wypchniętego” z osi pręta o strzałkę imperfekcji $e_0$ . Aproksymacja poprawia się wraz z zagęszczaniem podziału. Węzły dodatkowe umieszczane były na łuku sinusoidy. Znacznie lepsze wyniki aproksymacji obserwuje się dla pręta przegubowo-przegubowego niż dla wspornika) i dla momentów zginających 2 rzędu niż dla przemieszczeń sprawczych. Błąd aproksymacji momentu nie przekracza 10% dla wspornika i 1% dla pręta przegubowo-przegubowego.

Rys.4.2. Przemieszczenie sprawcze w funkcji aproksymacji imperfekcji łukowej

Z analizy przykładu wynika, że w przypadku układów przesuwnych (np. wspornika) pręty modelować elementami 9-cio węzłowymi (podział na 8 odcinków), natomiast w układach nieprzesuwnych (np. belka na nieprzesuwnych podporach) wystarczają już 4 węzły pośrednie. W celu wyeliminowania błędu aproksymacji należałoby stosować elementy zakrzywione o przekroju zwartym ( Dodatek  C) lub ogólniej o przekroju cienkościennym.

 Imperfekcje łukowe, a fikcyjne obciążenia

Do wyznaczania obciążenia zastępczego dla danego wymuszenia stosuje się następujące kryteria sprawczego efektu:

  • statyczne (S) – najczęściej przez porównanie momentu zginającego w przekroju sprawczym,
  • przemieszczeniowe (P) – najczęściej w drodze porównania przemieszczenia przekroju sprawczego,
  • energetyczne (E)– najczęściej przez porównanie energii odkształcenia postaciowego zgromadzonej w przekroju sprawczym, analogicznie do kryterium wytężeniowego H-M-H

Metoda energetyczna jest najdokładniejsza, ale zbyt złożona do obliczeń ręcznych – może być stosowana w obliczeniach komputerowych.

Obciążenie fikcyjne z kryterium statycznego

W normie Eurokod 3 do wyznaczenia fikcyjnego (zastępczego) obciążenia równoważnego imperfekcjom łukowym, zastosowano kryterium statyczne. Z porównanie momentu zginającego w przekroju sprawczym S pręta przegubowo-przegubowego (Rys.4.3b) wywołanych siła osiową $N$ (oznaczenie normowe $N_{Ed}$ ) na przemieszczeniu $e_L$ ( oznaczenie normowe $e_{0,d}$ ) i momentu zginającego wywołanego równomiernie rozłożonym, fikcyjnym obciążeniem $q_L$ (oznaczenie normowe $q_d$), czyli z warunku

$\left( M_S=\cfrac{q_L L^2}{8}\right) =(M_L=N\cdot e_L$),  uzyskano formułę  (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (3.9)).

Rys.4.3. Analiza fikcyjnych obciążeń poprzecznych mimośrodu imperfekcji: a) obciążenie fikcyjnymi siłami poziomymi, b) pręt przegubowo-przegubowy, c) pręt wspornikowy, d) obciążenie fikcyjnymi momentami (opracowanie własne)

Pokażemy, że formuła normowa (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (3.9)) jest poprawna tylko dla pręta o schemacie przegubowo-przegubowy

Dla schematu statycznego wspornika (Rys.4.3c) przekrój sprawczy nie jest położony w środku wysokości. Rozważmy dwa położenia przekroju sprawczego:

  • w utwierdzeniu $x_S=L$
    Moment zginający od obciążenia  $q_L$wynosi $M_S=q_L L^2/2$. W sytuacji, w której pręt zostanie tak zmontowany, że amplituda imperfekcji zostanie ułożona w wierzchołku, czyli $\Delta=e_L$, więc $M_L=N\cdot e_L$. Mamy stąd obciążenie fikcyjne $q_L=2\cdot N\cdot e_L/ L^2$, co jest czterokrotnie mniej od wynikającego z formuły normowej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (3.9)),
  • w miejscu maksymalnego wygięcia łukowego (strzałki wygięcia) $x_S=x_{max}$
    Obciążenie fikcyjne $q_L$ powoduje wychylenie  wspornika w pełni utwierdzonego w podstawie ( $C_\varphi =\infty $ ) o $\Delta=\cfrac{q_L L^4}{ 8EI }$. Strzałka wygięcia wystąpi w odległości  $ x_{max}=L / \sqrt[3]{4} = 0.63 L$ od wierzchołka. Moment zginający w tym miejscu wynosi $M_{S2}= \cfrac{q_L L^2}{2}=\cfrac {q_L L^2 } {2 \sqrt[3] {16}} = \cfrac{5,04 \cdot q_L}{L^2}$. Z warunku $M_S=M_L=N\cdot e_L$, otrzymujemy $q_L= \cfrac {5,04 N\cdot e_L}{l^2}$ , czyli o ponad 50% mniejsze od wynikającego z formuły normowej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (3.9)).

W przypadku wspornika często imperfekcję łukową zastępuje się przyłożeniem do głowicy słupa siły N na mimośrodzie $e_L$, to znaczy dodatkowe obciążenie głowicy momentem (tak przyjęto na przykład w często przywoływanym przykładzie  (Arcelor-Mittal, 2009)). Wyżej, a także w przykładzie 6.1.2 (rozdział 6), pokazano, że takie podejście nie jest poprawne.

Wnioski:

1)  Wzór normowy (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (3.9)) na obciążenie fikcyjne dotyczy tylko pręta przegubowo-przegubowego

2)  Zastąpienie imperfekcji łukowej wspornika mimośrodem jet niepoprawne

Nowe propozycje wyznaczania rozłożonego obciążenie fikcyjnego

Obciążenie fikcyjne z kryterium plastycznego

W przypadku schematów innych niż przegubowo-przegubowy lepsze rezultaty uzyskuje się dla fikcyjnego obciążenia, parą momentów  $M_L$ przyłożonych po obu stronach przekroju sprawczego $S$ i wywołujące dodatkowy moment tylko w tym przekroju. Takie fikcyjne obciążenia stosowane na etapie obliczeń wstępnych i koncepcyjnych dobrze współgrają z proponowaną w tej pracy uogólniona metoda imperfekcyjną w której należy przeprowadzić analizę mechanizmu plastycznego. Para momentów  $M_L$ w granicznym stanie plastycznym dąży do wartości $M_{pl}= W_{pl} \cdot f_y$, co jest statycznym odpowiednikiem przegubu plastycznego konstrukcji stalowej, lub aluminiowej. W przypadku konstrukcji żelbetowych moment graniczny powinien być wyznaczony z warunku ograniczenia maksymalnych rys w betonie. Z warunku $M_S=M_pl$ otrzymamy oszacowania granicznego, fikcyjnego obciążenia poziomego, niezależnego od N:

$$\begin{equation} q_L= n_{pl} \cdot M_{pl}/ L^2 \label {4.1.}\end {equation}$$

gdzie mnożnik $n_{pl} zależy od schematu pręta i w ogólnym przypadku jest wynikiem granicznej analizy plastycznej (Chodor, 2016). a w przypadkach szczególnych wynosi:

$$\begin{equation}  n_{pl}=\begin {cases}
8 & \text {dla pręta przegubowo-przegubowego, i przegubowo-utwierdzonego} \\
2 & \text {dla pręta wspornikowego} \\
12 & \text {dla pręta utwierdzono-utwierdzonego} \\
\end{cases} \label{4.1a} \end {equation}$$

Obciążenie fikcyjne z kryterium przemieszczeniowego

Z porównania ugięcia przekroju krytycznego wywołanego obciążeniem $q_L$ z amplitudą imperfekcji $e_L$ lub  $n_L=\cfrac{e_L}{L}$, otrzymamy następującą formułę:

$$\begin{equation} q_L= \cfrac{k_s EI}{n_L \cdot L^3} =\cfrac{L}{n_L \cdot \overline f_q} \label{4.2} \end {equation}$$

gdzie:
$k_S$  mnożnik zależny od schematu statycznego elementu i położenia przekroju krytycznego:

$$\begin{equation}  k_s =\begin {cases}
32 \sqrt[3]{4}=50,8  & \text {dla wspornika} \\
384/5 = 76,8 & \text {dla pręta przegubowo-przegubowego (wahacza)} \\
185  & \text {dla pręta przegubowo-utwierdzonego} \\
384 & \text {dla pręta utwierdzono-utwierdzonego} \\
\end{cases} \label {4.2.a} \end {equation}$$

$overline f_q$  strzałka ugięcia elementu od jednostkowego (wirtulanego) obciążenia poprzecznego $\overline q_d=1$ , uzyskana z analizy I rzędu.
W praktyce zalecamy wyznaczenie $\overline f_q$ dla schematu słupa z uwzględnieniem podatności węzłów w miejscu potencjalnej oceny imperfekcji łukowej, (czyli zapewne w środku rozpiętości elementu) i następnie wyznaczenie zastępczego obciążenia  z formuły ($\ref{4.2}$).

Z  ($\ref{4.2}$) wynika, że różnica równoważnych obciążeń lokalnych dla różnych schematów elementów może być znaczna, mimo, że w podejściu przemieszczeniowym nie zależy ona od siły osiowej, działającej w pręcie.

Aproksymacja imperfekcji łukowej łańcuchem elementów

Aproksymacja imperfekcji łukowej łańcuchem prostych elementów jest w istocie przekształceniem efektu P- δ w P-Δ.

Aproksymacja polega na zmianie geometrii nominalnie prostego pręta w łańcuch kilku prostych elementów z węzłami ułożonymi na łuku imperfekcji, najczęściej na sinusoidzie $e(x)=e_L \cdot sin( \pi x / L)$ z amplitudą $e_L$ dla $x=L/2$, gdzie $x$ jest bieżącą współrzędną pierwotnego elementu o długości $L$ z węzłem początkowym dla $(x=0)$ i końcowym dla $(x=L)$.

Przyjmuje się nieparzystą liczbę węzłów pośrednich, ze środkowym węzłem w przekroju sprawczym S, co daje parzystą liczbę prostych odcinków łańcucha. Na Rys.4.3d pokazano najprostszy łańcuch dwuelementowy z jednym węzłem pośrednim.

Analizę błędu aproksymacji dla łańcucha o różnej liczbie elementów przedstawiono wyżej (rys. 4.2).

W wielu programach komputerowych (np. Consteel (Consteel Software, 2019) , SAP2000 (Computer and Strutures Inc, 2019) i in) imperfekcje łukowe są uwzględniane poprzez zmianę geometrii sytemu w trakcie generowania obliczeniowego modelu elementów skończonych. Podczas dyskretyzacji węzły przesuwane są o odpowiednie offsety  tak by leżały na łuku imperfekcji. Liczba segmentów łańcucha wynika z liczby węzłów pośrednich, przyjętych, jako parametr dyskretyzacji w programie obliczeniowym (czyli domyślnie cztery – w przypadku układów przesuwnych należy zwiększyć).

Efekty P-Delta, a stopień geometrycznej nieliniowości

Efekty P-Delta geometrycznych imperfekcji systemowych należy analizować w ramach teorii geometrycznie nieliniowej, przy czym powszechnie przyjmuje się, że można poprzestać na analizie. 2 rzędu. Stopień geometrycznej nieliniowości teorii jest stopniem aproksymacji nieliniowej sztywności w rozwinięciu w potęgowy szereg Taylora wokół punktu początkowego konfiguracji konstrukcji. Zachowanie tylko członów liniowych (linearyzacja) prowadzi do klasycznej teorii 1 rzędu, a zachowanie kolejnych potęg w rozwinięciu określa kolejne teorie: 2, 3 rzędu itd.

Wpływ rzędu (stopnia) nieliniowości teorii na efekty P-Delta zbadamy w drodze analizy ściśle nieliniowego modelu systemu złożonego z krępych prętów. Zweryfikujemy założenie o wystarczalności analizy 2 rzędu. Nie zajmujemy się prętami uogólnionymi ze stopniem swobody paczenia, co nie zmniejsza ogólności rozważań.

Podstawy teoretyczne ściśle nieliniowej teorii prętów o przekroju zwartym zaprezentowano w Dodatku C.
Niżej szczegółowo przeanalizujemy wspornik, który jest przedstawicielem układu przesuwnego i pręt przegubowo-przegubowy, który jest przedstawicielem układu nieprzesuwnego.

Układ przesuwny

Poniższe formuły ($\ref{4.3}$) do ($\ref{4.6}$) uzyskano na gruncie teorii geometrycznie ścisłej, przestawionej w  Dodatku C. Zdefiniowane tam nieliniowe sztywności, zależą od współczynnika wytężenia siłą osiową, wyznaczanego z zależności:

$$\begin{equation} \alpha=\cfrac{\pi}{2} \sqrt{\cfrac{N}{N_{cr}}}= \cfrac{L}{2} \sqrt{ \cfrac{N}{EI}} \label{4.7} \end {equation}$$

gdzie $N_{cr}$ – siła krytyczna (1.4) dla $L_{cr} = L$.

Przemieszczenie  $\Delta$ głowicy oraz moment zginający utwierdzenie $M$ (przy podporze wspornika) pokazanego na Rys.4.1, wynosi:

  • od obciążenia skupionego $H$ w wierzchołku

$$\begin{equation} \Delta_H=\cfrac{HL^3}{3 \Theta} [\Lambda_4^2 -\Lambda_3\cdot(4 \Lambda_3 +c_\varphi) ]\label{4.3} \end {equation}$$

$$\begin{equation}  M_H=\cfrac{HL}{ \Theta / EI }\cdot  \Lambda_2 \cdot c_\varphi \cdot (  \Lambda_4 – 2 \Lambda_3)\label{4.4} \end {equation}$$

  • od obciążenia rozłożonego $h$ :

$$\begin{equation} \Delta_h=\cfrac{h L^4}{24 \Theta} [ 4 \Lambda_4^2 – 16 \Lambda_2 +c_\varphi (\Lambda_2 -4 \Lambda_3) ]\label{4.5} \end {equation}$$

$$ \begin{equation}  M_h=\cfrac{h L^2}{ 12 \cdot  \Theta / EI }\cdot [4  \cdot (2  \Lambda_3 -\Lambda_4) \cdot (2 \Lambda_1 \Lambda_3 + \Lambda_1  \Lambda_4 – 3 \Lambda_2^2 ) +c_\varphi \cdot (3 \Lambda_2^2 – 12 \Lambda_2 \Lambda_3 – 2 \Lambda_1 \Lambda_4 + 6 \Lambda_1 \Lambda_4]  \label{4.6} \end {equation}$$

Współczynnik $c_\varphi $  jest bezwymiarowym współczynnikiem sprężystości podpory, określonym na podstawie konwencjonalnej stałej sprężystości $C_\varphi$ [kNm/rad] , to jest wartości momentu, odpowiadającej jednostkowemu obrotowi węzła.  W normie (PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC, 2006) sztywność obrotową węzła oznaczono jako $S_j$ , która w początkowej fazie pracy węzła wynosi $S_{j, ini}$ .

Pomiędzy sztywnością początkową $S_{j, ini} =C_\varphi $ oraz sztywnością względną $c_\varphi$ występuje związek

$$\begin{equation}  c_\varphi = \cfrac{S{j,ini} \cdot L }{EI}\label{4.8} \end {equation}$$

Podstawy słupów można klasyfikować jako sztywne, gdy spełnione są następujące warunki (PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC, 2006, kl. 5.2.3.5 (2)):

w ramach stężonych, czyli takich w których , których układ stężeń redukuje poziomy przechył, co najmniej 80% i w których wpływ deformacji może być pominięty i jednocześnie gdy smukłość względna $\overline \lambda_b$  elementu traktowanego jak przegubowo- przegubowy ($L_{cr}=L$) spełnia warunek

$ \overline \lambda_b \le 0,5$.

Dla smuklejszych elementów powinno zachodzić:

gdy $ 0,5 < \overline \lambda_b < 3,93 \to  S_{j,ini} \ge 7\cdot ( 2 \cdot \overline \lambda_b -1) EI/L$,

gdy $\overline \lambda_b \ge 3,93 \to $ $S_{j,ini} > 48 EI/L$

w ramach niestężonych ( w pozostałych przypadkach)

gdy $S_{j,ini} <  30  EI/L$

Wynika stąd, że w układach przesuwnych pełne utwierdzenie słupa w fundamencie może wystąpić dopiero wówczas, gdy

$$\begin{equation}  c_\varphi >  c_{\varphi,lim}= 30  \label{4.8a} \end {equation}$$

W Tab. 4.1 zestawiono współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy Taylora podług potęg „i” współczynnika $\alpha$, unormowanych funkcji ($\ref{4.3}$) do ($\ref{4.6}$). W kolumnach (3) do (6) podano wartości podzielone przez normę podaną w kolumnie (2), która jest odpowiednim efektem teorii pierwszego rzędu.

Tab. 4.1. Współczynniki $c_i$ rozwinięcia sprawczego przemieszczenia  i momentu zginającego  wspornika
w szereg Taylora podług potęg $\alpha$.  Współczynniki unormowane do  efektów 1 rzędu i

Na Rys.4.1 przedstawiono wykresy funkcji z Tab. 4.1. Na osi rzędnych naniesiono względną, krytyczną siłę osiową $n_{cr}=N/N_{cr}= (2\alpha/\pi)^2$, a na osi rzędnych współczynnik zwiększenia efektu w stosunku do efektu pierwszego rzędu. Dolny indeks „30” danej wielkości oznacza wartość uzyskaną przy sprężystości utwierdzenia słupa, czyli przy podatności $k_\varphi=1/30=0,03$, co odpowiada granicznej sztywności $c_ {\varphi,lim} $ ($\ref{4.8a}$). Wielkości z indeksem $\infty$  uzyskano dla teoretycznie pełnego utwierdzenia słupa $c_\varphi= \infty \to  k_\varphi =0$

Wnioski

  • Stopień utwierdzenia słupa w fundamencie ma istotny wpływ na przemieszczenia. Na przykład przy obciążeniu słupa siłą ściskającą współczynnik  stosunku wychylenia końca wspornika  (3.rzędu) w stosunku do wychylenia 1. rzędu , przy pełnym utwierdzeniu (  ) wynosi 15, a dla równoważnie dopuszczonego przez normę [N25] , wynosi 19, czyli błąd oszacowania wynosi 27%,

Rys. 4.4 Słup wspornikowy Efekt P-Δ i P-δ  (opracowanie własne)

Wnioski

  1. Stopień utwierdzenia słupa w fundamencie ma istotny wpływ na przemieszczenia.
    Na przykład przy obciążeniu słupa siłą ściskającą $N=0,5 N_{cr}$  stosunek $\Delta/ \Delta_0$  wychylenia końca wspornika  wg teorii 3.rzędu) $\Delta$ w stosunku do wychylenia 1. rzędu  $\Delta_0$ , przy pełnym utwierdzeniu ( $c_\varepsilon =\infty$) wynosi 15, a dla równoważnie dopuszczonej przez normę sztywności (c_\varepsilon =30)$ wynosi 19, czyli błąd oszacowania wynosi 27%,
  2. Stopień utwierdzenia słupa w fundamencie ma istotny wpływ na powstający w utwierdzeniu moment zginający, nawet dla słupa statycznie wyznaczalnego, przy czym moment utwierdzenia zwiększa się wraz ze zmniejszaniem się sztywności podpory, na skutek zwiększania się momentu drugiego rzędu, choć na skutek osłabienia oporu węzła zwiększenie jest mniejsze od przyrostu przemieszczenia.
    Na przykład przy $N=0,5 N_{cr}$  współczynnik $M/M_0$ zwiększenia momentu utwierdzenia $M$ w stosunku do momentu 1. rzędu  $M_0$ przy pełnym utwierdzeniu wynosi 12 od obciążenia H i 9 od obciążenia h, a przy c_\varepsilon =30$ 14 i 11 odpowiednio, czyli błąd oszacowania wnosi 17% i 22% odpowiednio.
  3. Przemieszczenia oszacowane wg teorii 2. rzędu są obarczone bardzo dużym błędem.
    Na przykład przy $N=0,5 N_{cr}$  współczynnik $\Delta/ \Delta_0$ dla  $c_\varepsilon =30$, wg teorii drugiego rzędu wynosi 8, a wg teorii trzeciego rzędu wynosi 19, czyli błąd oszacowania wynosi 237%.
  4.  Siły przekrojowe oszacowane wg teorii 2 rzędu są obarczone bardzo dużym błędem.
    Na przykład przy $N=0,5 N_{cr}$ i $c_\varepsilon =30$ stosunek $M/M_0$ :
    – od obciążenia H wg teorii 2. rzędu wynosi 6, a wg teorii 3. rzędu wynosi 14, czyli błąd oszacowania 233%
    – od obciążenia h wg teorii 2. rzędu wynosi 5, a wg teorii 3. rzędu wynosi 11, czyli błąd oszacowania 220%.

Układ nieprzesuwny

Układ nieprzesuwny jest reprezentowany przez prostą belkę na sprężystej podporze, charakteryzowanej współczynnikiem sprężystości $C_\Delta\, [kN/m]$, lub współczynnikami rosną : sztywności $c_\Delta=\cfrac{C_\Delta}{EI L^3}$ lub podatności $k_\Delta =1/ c_\Delta $, które modelują stopień nieprzesuwności układu. Podpora jest niepodatna jeśli  $c_\Delta = \infty$.

Rys.4.5. Nieliniowa geometrycznie belka-słup (opracowanie własne)

W Dodatku C uzyskano  obliczono  ścisłą strzałkę ugięcia belki – słupa pokazanej na Rys.4.5:

$$\begin{equation}   \cfrac{ qL^4}{EI}\cdot \left(  \cfrac{1}{8} + \cfrac {12 (2 \Lambda_3 + \Lambda_4) }{36 \Lambda_2^2 +(c_\Delta \cdot 12 \Lambda_1)\cdot( 2\Lambda_3+ \Lambda_4}+ \cfrac{\alpha \cdot  tg\alpha/2}{2 \Lambda_3+\Lambda_4}\right) \label{4.9} \end {equation}$$

Podstawiając do ($\ref{4.9}$) wyrażenia  na nieliniowe funkcje $\Lambda_i (i=1,2,3,4) –Dodatek C uzyskamy:

$$\begin{equation}   \delta= \cfrac{5q L^4}{384 EI}\cdot \cfrac {4 \alpha^4  + 8 c_\Delta -\alpha^2 (128+c_\Delta)+ 8 ( 4\alpha^2 -c_\Delta ) / \sin{\alpha}} {20 \alpha^4 -5 \alpha^2 c_\Delta} \label{4.10} \end {equation}$$

a po rozwinięciu w szereg Taylora podług  $\alpha$ wokół  $\alpha=0$:

$$\begin{equation}   \delta=\cfrac{5q L^4}{384 EI}\cdot \left [ 1+ \cfrac{96}{5 c_\Delta} +\left (  \cfrac{1}{3}+\cfrac{384}{5 c_\Delta ^2}\right ) \alpha^2 + \left( \cfrac{ 61}{450} + \cfrac {1536}{5 c_\Delta^3} \right) \alpha^4 + \left ( \cfrac{277}{5040} + \cfrac{6144}{5 c_\Delta^4} \right ) \alpha^6  \right ] + …\label{4.11} \end {equation}$$

Wykres zależności ($\ref{4.11}$) znormalizowanej do ugięcia liniowego belki $\delta_0 = \cfrac{5 q L^4}{384 EI}$ pokazano na Rys.4.5. Indeksem „30” oznaczono wielkości uzyskane dla sprężystości podpory $c_\Delta =30$, czyli podatności $k_\Delta=1/30=0,03$. Indeksem $\infty$ oznaczono wielkości uzyskane dla teoretycznie niepodatnej podpory (c_\Delta = \infty ).

Z wykresu wynikają wnioski:

  1. Wpływ nieliniowości jest prawie o rząd mniejszy w układach przesuwnych (linia kropkowa przeskalowana z Rys.4.4) w stosunku do wrażliwości układów nieprzesuwnych (pozostałe krzywe).
  2. Przemieszczenia oszacowane wg teorii 2. rzędu są obarczone dużo mniejszym błędem niż w układach przesuwnych.
    Na przykład przy i  współczynnik  wg teorii 2. rzędu wynosi 2,4, a wg teorii III rzędu o 4% więcej,, podczas gdy w przypadku układu przesuwnego oszacowania wychylenia wspornika były obarczone błędem ok. 200%.
  3. W układach przesuwnych dokładność oszacowania sprawczych sił przekrojowych jest podobna do oszacowania przemieszczeń sprawczych.

Imperfekcje łukowe konstrukcji żelbetowych

Globalna imperfekcja przechyłowa (IG) wyrażana przechyłem nie uwzględnia imperfekcji lokalnych, objawiających się odchyleniami linii obojętnej przekrojów żelbetowych od osi pionowej. Odchylenia te są spowodowane m.in.: niedoskonałościami szalunku, odchyleniem lokalizacji powyginanych prętów zbrojeniowych, niedokładnym zagęszczeniem mieszanki betonowej oraz niejednorodnym warunkami dojrzewania betonu.

Takie lokalne imperfekcje są mierzone amplitudą wygięcia $n_e=e/l$ , gdzie $e$ – amplituda (strzałka wygięcia), $l$- długość elementu (lub ogólniej długość odniesienia).

Na podstawie dopuszczalnych tolerancji wykonawczych zestawionych w Tab. 2.2 należałoby przyjmować wartość charakterystyczną lokalnej imperfekcji słupa lub ściany $n_{L,k}=max \{ 300 ; \quad l/30 \, w \, mm\}$ , a wartość obliczeniową $n_{L,d=n_L,k} / \gamma_{Lc}$ . Zaleca się przyjmować współczynnik obciążeń jak dla obciążeń zmiennych $\gamma_{Lc}=1,5$, ale ze współczynnikiem kombinacyjnym $\psi=0,8$, to znaczy $\gamma_{Lc}=1,5 \cdot 0,8=1,2$, czyli obliczeniowe imperfekcje wyniosą

$$\begin{equation}  n_{L,d} = \{  \max{ \{ 300; \quad 1/30 \, w \, mm\} } /1,2 = \{  \max{ \{ 250; \quad l /36 \, w \, mm\} } \label {IŻ} \end {equation}$$

Formuła ($\ref{IŻ}$) może być stosowana do czasu opracowania  doświadczalnie potwierdzonych wytycznych. W dalszej części podręcznika zaprezentowano przykłady analizy konstrukcji żelbetowych , obarczonych imperfekcjami łukowymi wyznaczonymi z  ($\ref{IŻ}$).

Proces stochastyczny imperfekcji łukowych

Imperfekcja pręta jest naturalnie losowa, przy czym losowe są nie tylko amplitudy, ale również kształt i kierunek. Ze względu na złożoność zagadnienia, sformułowanie precyzyjnych kryteriów imperfekcyjnych w praktycznych wytycznych projektowania, które byłyby uzasadnione (projektowo lub ekonomicznie) jest niemożliwe do zrealizowania, a to uzasadnia uproszczenie problemu, poprzez uwzględnienie wyłącznie jego cech pierwszorzędnych, a pomijanie cech mało istotnych probabilistycznie z punktu widzenia niezawodności konstrukcji rzeczywistych, a także uzasadnia metodologię określania imperfekcji projektowych,

W rozdziale Model imperfekcji łukowych pokazano, że w analizie deterministycznej najczęściej kształt imperfekcji łukowych przyjmuje się w postaci fali sinusoidy lub rzadziej szeregu trygonometryczmego. W pracy (Piątkowski, 2017) zastosowano symulację Monte Carlo ograniczoną do 10-ciu symulacji z wykorzystaniem rozwinięcia imperfekcji w szereg sinusoidalny o 4-ch wyrazach.  W pracy (Shayan, Rasmussen, Zhang, 2014) po przeprowadzeniu  wielu badań statystycznych oraz zaawansowanych analizach numerycznych stwierdzono, wszystkie początkowe niedoskonałości są losowe, a racjonalne modelowanie niedoskonałości można osiągnąć tylko przy użyciu metod probabilistycznych. Zastosowanie metod probabilistycznych do oceny niezawodności ram w zakresie identyfikacji charakterystyk statystycznych początkowych niedoskonałości geometrycznych jest nowym zagadnieniem inżynierskim.

Imperfekcja w postaci wstępnego wygięcia pręta $w_0(x) $ jest procesem stochastycznym w funkcji nielosowej współrzędnej  $x$ po osi pręta o długości $L$.

Na podstawie  znajomości zbioru n-realizacji  procesu

$$\begin {equation}  w_{0,i} (x) \, (i=1,2, .., n) \label {IS.0} \end {equation}$$

można wyznaczyć wartość oczekiwaną  procesu wstępnego wygięcia jako wartość średnią realizacji:

$$\begin {equation}  E [ w_0 (x)]  \approx  \cfrac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n  w_{0,i} (x)  \label {IS.1} \end {equation}$$

Wygięcie  wstępne pręta przyjmowane jest powszechnie w postaci funkcji trygonometrycznej, co  można zapisać wyrażeniem:

$$\begin {equation}  {w_0} (x) =  A \cos {\omega x }+ B \sin {\omega x  } , \quad x \in L   \label {IS.2} \end {equation}$$

gdzie amplitudy A i B są  zmiennymi losowymi, a częstotliwość  $\omega=\dfrac {2\pi}{L}$ przyjmuje się jako nielosowy parametr.

Model ($\ref{IS.2}$) na potrzeby analizy losowej  uogólniamy do dowolnej funkcji wygięcia wstępnego $w_0(x)$ aproksymowanej szeregiem Fouriera:

$$\begin{equation}  w_{0} ( \Delta x ) = \sum \limits_ {i=1}^n  [A_i \cos { \omega_i \Delta x } + B_i \sin { \omega_i \Delta x} ] \label {IS.3} \end{equation}$$

gdzie $\Delta x$ jest odległością pomiędzy punktami pręta (długością odcinka pręta).

Oznacza to, że zamiast analizy zbioru realizacji ($\ref{IS.0}$) funkcji ($\ref{IS.2}$) analizujemy jedną realizację pręta ($\ref{IS.3}$), rozpatrując imperfekcje po długości tego pręta w funkcji odległości pomiędzy różnymi odcinkami $\Delta x$ tego pręta.

Taką własność nazywa się ergodycznością procesu (np (Box, Jenkins, Herer, 1983)).

Przyjmujemy więc fundamentalne założenie:

Założenie EŁI-1 : Proces stochastyczny imperfekcji łukowych jest procesem ergodycznym.

Wnioski:
1. Proces ergodyczny musi być stacjonarny, więc  z założenia 1, wynika, że imperfekcje łukowe są jednorodnym procesem stochastycznym w funkcji nielosowej rzędnej położenia puntu po długości pręta $x$

2. Proces jest stacjonarny (w szerszym sensie), gdy ma stałą wartość oczekiwaną, a jego funkcja korelacyjna zależy wyłącznie od różnicy argumentów $\Delta x$ (długości analizowanego odcinka pręta).

3. Proces  ($\ref{IS.2}$) lub ($\ref{IS.3}$) będzie miał stałą wartość oczekiwaną wtedy i tylko wtedy, gdy będzie miał zerowe amplitudy $E[A]=E[B]=0$, czyli  $E[A_i]=E[B_i]=0$ (i-numer wyrazu szeregu w rozwinięciu w szereg Fouriera)

Fundamentalne założenie 1 o ergodyczności (i w konsekwencji stacjonarności)  losowych imperfekcji łukowych należy interpretować w ten sposób, że:

  • oczekiwany kształt pręta prostego jest prosty,
  • odchylenia losowe  od kształtu oczekiwanego są szumem losowym (np (Box, Jenkins, Herer, 1983)), to znaczy odchylenia losowo oscylują wokół oczekiwanego kształtu pręta prostego.

W dodatku B do niniejszego podręcznika w rozdziale Dyskretyzacja procesu trygonometrycznego pokazano sposób dyskretyzacji ciągłego, stochastycznego procesu trygonometrycznego ($\ref {IS.3}$) na elementy skończone.

Proces  ($\ref {IS.3}$) jest definiowany przez:

  • ciąg nieskorelowanych losowych amplitud $A_i$  , $B_i$ ze średnią zero: $E[ A_i A_j ]=E[A_i B_j ]=E[B_i B_j ]=E[ A_i]=E [ B_i ]=0$
    oraz z jednorodną wariancją $Var[A_i]=E[A_i^2] =E[B_i^2] =\sigma_i^2$,
  • deterministyczne częstotliwości $\omega_i$.

Trend $M_{[e]}$ i funkcja korelacji $R_{[e][e]}$ procesu ($\ref {IS.3}$) na pręcie $[e]$, a w konsekwencji na zbiorze prętów wynosi:

$$\begin{equation}  M_{[e]} =0 \\
R_{[e][e]} =  \sum \limits_{(i)}  \sigma_i ^2 \cdot \cos {(\omega_i \Delta x) } \label {IS.4} \end{equation}$$

Funkcja korelacji ($\ref{IS.4}$)jest  stacjonarna, więc wariancje i kowariancje pomiędzy lokalnymi średnimi w elementach pręta można wyznaczyć z Twierdzenia 3. w Dodatku B.

Imperfekcje przechyłowe

Imperfekcje przechylowe są polem losowym

W rozdziale Model imperfekcji przechyłowych opisano źródła imperfekcji przechyłowych oraz koncepcję obliczeniową zastępczych  obejmujacych łącznie: a)  odchylenie elementu od pionu, b) mimośrody wykonawcze w głowicy i stopie słupa, c) wmontowaniem elementu krótszego od idealnego. Imperfekcja zastępcza jest  kątem odchylenia konstrukcji od pionu. Czasami do imperfekcji zastępczej włącza się również błędy montażu w stykach elementów pomiędzy węzłami końcowymi, choć przeważa pogląd, że tego typu imperfekcje są imperfekcjami lokalnymi  i mogę być włączone do imperfekcji globalnych wyłącznie w przypadku, gdy węzeł elementu ( np stopa lub głowica słupa) będzie przyjęty w miejscu styku wewnętrznego.

Przechyły różnych słupów na tej samej kondygnacji oraz na różnych kondygnacjach różnią się losowo.

W wielu pracach pokazano, że statystycznie nieistotna jest korelacja pomiędzy przechyłami, a także korelacja z innymi początkowymi imperfekcjami słupów na tych samych kondygnacjach. Takie korelacje będziemy wić traktowali jako statystycznie niezależne.

Proces losowy imperfekcji przechyłowych w ciągach poziomych

Do wyznaczenia losowych parametrów imperfekcji przechyłowej  poziomego ciągu słupów  (na tej samej kondygnacji) skorzystamy z przytoczonych w  Dodatku B twierdzeń o dyskretyzacji konstrukcji na stochastyczne elementy skończone.

Przyjmijmy, że ciąg poziomy ma liczebność $m$ słupów. Z punktu widzenia rozpatrywanego zagadnienia nie jest istotne ułożenie słupów: czy są w jednej linii, kilku liniach równoległych, czy też są rozłożone na kondygnacji w inny sposób.

Najpierw założymy, że pole losowe przechyłów słupów jest jednorodne z funkcją korelacji klasy wykładniczej w postaci :

$$\begin {equation}  C(\Delta m) = \exp {(-A |\Delta m| ) }  \label {4.13} \end {equation}$$

gdzie: $\Delta m$ -różnica numerów słupów (odległość slupów), współczynnik  skali $A$ zostanie dalej określony na podstawie uwarunkowań fizycznych procesu.

Wariancja imperfekcji przechyłowej $X_i$ wynosi

$$\begin {equation}  Var [X_i]= \cfrac{2}{A_m^2} \cdot [ A_m – 1 + \exp{-A_m} \label {4.14} \end {equation}$$

gdzie $A_m=2 \cdot A\cdot m$ – wykładnik potęgi – parametr procesu imperfekcji przechyłowych

 

W trakcie edycji 

Rozkład łączny i rozkłady brzegowe imperfekcji geometrycznych

Systemowe imperfekcje geometryczne są z natury losowe, a w szczególności losowy charakter ma współwystąpienie (jednoczesność wystąpienia) rozmaitych form imperfekcji:

  • sprężystych  $\eta_{el}$  i plastycznych $\eta_{pl}$ ,
  • globalnych $ \eta_G$ (zastępczych przechyłowych) i lokalnych  $$\eta_G$ (zastępczych łukowych elementu).

Stopień sprzężenia form imperfekcji należy rozpatrywać również metodami probabilistycznymi.

W ogólnym przypadku wzajemną korelację zmiennych losowych można wyznaczyć z łącznej dystrybuanty

$$\begin {equation}  F( \eta_{el} \, ,\, eta_{pl} \, , \, eta_G \, , \, \eta_L \label {fFłacz} \end {equation}$$

Dokonamy fundamentalnych założeń:

HNI Hipoteza niezależności imperfekcji:

Zmienne losowe $\eta_{el} \, ,\, eta_{pl} \, , \, eta_G \, , \, \eta_L$  są losowo niezależne.

Hipotezę zapiszemy formułą:

W trakcie edycji 

HRI Hipoteza brzegowych rozkładów losowych imperfekcji

Zmienne losowe , i mają rozkład Gumbela maksimów

Zmienne losowe , i  są losowo niezależne.

Hipotezę zapiszemy formułą:

gdzie G() – dystrybuanty brzegowe rozkładu Gumbela maksimów w postaci (A.24), które można zapisać formułą

Ze względu na brak danych statystycznych pomiarów umożliwiających przeprowadzenie oceny korelacji imperfekcji globalnych i łukowych w funkcji miejsca, wiążących je z takim cechami jak miejsce i technologia prefabrykacji, z miejscem i technologią montażu założenie losowej niezależności wydaje się oczywiste z natury rzeczy.

Utrata nośności systemu konstrukcyjnego może nastąpić wskutek utworzenia się mechanizmu plastycznego lub wyboczenia sprężystego. Mechanizmy zniszczenia plastycznego oraz sprężyste mogłyby być sprzężone funkcjonalnie. Na skutek wyboczenia elementu systemu wzmaga się prawdopodobieństwo utraty nośności plastycznej na skutek ukształtowania przegubu plastycznego w miejscu największej krzywizny elementu.

Przyjmujemy nomenklaturę, że imperfekcje plastyczne , to takie wstępne wygięcia, przechylenia lub mimośrody, które prowadzą do mechanizmu zniszczenia plastycznego bez poprzedzającego wyboczenia systemu. Imperfekcje sprężyste z kolei to takie, które prowadzą do sprężystej utraty stateczności systemu bez przejścia przez mechanizm plastyczne. Analizę mechanizmu plastycznego można dokonać bez potrzeby uwzględniania cech sprężystych (dla konstrukcji sztywno-plastycznej), skąd wynika, że znajomość postaci wyboczonej nie daje żadnej informacji o mechanizmie plastycznym. Jednym słowem oba mechanizmy są niezależne.

Statystyczna weryfikacja powyższych spostrzeżeń, dotyczących natury typów imperfekcji będzie mogła być dokonana każdorazowo, jeśli tylko odstępne będą serie odpowiednich pomiarów.

Należy przy tym rozróżnić statystyczną korelację od losowej zależności. Losowa niezależność pociąga brak korelacji statystycznej. Jeśli natomiast z pomiarów wynika zerowa korelacja, to nie oznacza jeszcze niezależności zmiennych losowych.

Weryfikację hipotezy HRI przeprowadzimy z użyciem procedury IndepedenceTest() pakietu Mathematica [M10] na podstawie dostępnych danych. Niestety nie natrafiono na serie danych pomiarów imperfekcji łukowych osi prętów, nadające się do weryfikacji statystycznej. Badania prętów ściskanych były prowadzone w dużej liczbie, ale mierzono w nich siłę niszczącą i ewentualnie stowarzyszone z nią ugięcia prętów.

Współczynniki kombinacyjne obciążenia imperfekcjami

W ogólnym przypadku jednoczesne wystąpienie najniekorzystniejszych imperfekcji systemowych oraz lokalnych jest oczywiście mało prawdopodobne. Obie imperfekcje traktujemy jako losowe wymuszenia (obciążenia) i obie należy zakwalifikować do obciążeń zmiennych. Zalecamy, by do kombinacji obciążeń imperfekcyjnych przyjmować ogólne zasady normy (PN-ISO 2394, 2000) w odmianie stosowanej w normie zotpressInText item=”{FPIRSR5F}”] jak dla stanu STR, zestaw A. Współczynniki obciążeń i kombinacyjne od imperfekcji systemowych stosować zgodnie z naturą odpowiadających obciążeń pionowych.

W odniesieniu do imperfekcji lokalnych wydzielamy nową naturę obciążeń zmiennych ze współczynnikiem obciążeń $\gamma_f=1,5$ i współczynnikiem kombinacyjnym $\psi_0=0,6$ oraz współczynnikiem wartości częstych $\psi_1=0,2$ i quasi-stałych $\psi_2=0$. Współczynniki częściowe wymienione w poprzednim zdaniu podlegają jeszcze analizom, jednakże zwraca się uwagę na analogię procesu stochastycznego (w czasie) obciążeń wiatrem oraz procesu stochastycznego (po długości pręta) imperfekcji lokalnych

Należy zwrócić uwagę, że wykluczone jest jednoczesne wystąpienie imperfekcji opowiadających różnym postaciom odkształcenia (mod wyboczenowych – postaci własnych) . Zdefiniowanie imperfekcji wykluczających jest łatwiejsze po wstępnym przeprowadzeniu analizy wyboczeniowej systemu (analizy LBA). Zasady kombinacyjne wymuszeń od imperfekcji zarówno w postaci geometrycznej jak i równoważnych sił od imperfekcji powinny zawierać pojęcie imperfekcji wykluczających się, tak by nie zestawić ze sobą kombinacji niemożliwych do urzeczywistnienia. Na przykład w przykładzie dwugałęziowego słupa kratowego (rozdział 6) nie można zestawiać ze sobą (sumować) imperfekcji przechyłowej, odpowiadającej postaci odkształcenia w płaszczyźnie słupa z globalną imperfekcją łukową, odpowiadającej postaci odkształcenia słupa z płaszczyzny.

Literatura cytowana w rozdziale

Arcelor-Mittal. (2009). Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe. Część 6: Projekt wykonawczy słupów złożonych. Retrieved August 13, 2017, from http://sections.arcelormittal.com/fileadmin/redaction/4-Library/4-SBE/PL/SSB06_Projekt_wykonawczy_slupow_zlozonych.pdf
Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Herer, W. (1983). Analiza szeregów czasowych: prognozowanie i sterowanie. Warszawa: Państwowe Wydaw. Naukowe.
Computer and Strutures Inc. (2019). SAP2000. Structural Software for Analysis and Design (Version 21). Retrieved from https://www.csiamerica.com/products/sap2000
Consteel Software. (2019). ConSteel 12 Manual. Retrieved from http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents
Gu, J. X., & Chan, S. L. (2005). Second-order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 62(5), 601–615.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-8 +Ap1+AC. Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-8: Projektowanie węzłów (2006). UE: PKN.
PN-ISO 2394. Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych (2000). UE: PKN.
Piechnik, S. (1980). Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych. Warszawa, Kraków: PWN.
Piątkowski, M. (2017). Metody uwzględniania imperfekcji geometrycznych w kratownicach stalowych. Czasopismo Inżynierii Lądowej, Środowiska i Architektury Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, XXXIV(z. 64 (4/I/17)), 229–243.
Powell, G. H. (2010). Modelling for Structural Analysis. Behaviour and Basics. Berkeley, California: Computers and Structures, Inc.
Shayan, S., Rasmussen, K. J. R., & Zhang, H. (2014). On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research, (98), 167–177.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »