Ścisłe formuły [1] Przyjmijmy, że losowy wektor $Y$ (w ogólnym przypadku zespolony) jest funkcją rzeczywistego wektora losowego $X$ z funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa $f(x)$. Wartości oczekiwane (średnie) wektora $X$ i $Y$oznaczamy jako $m_x , m_y$. Często będziemy korzystali z wycentrowanych zmiennych losowych , które powstają przez odjęcie od wartości zmiennej losowej jej wartości oczekiwanej. Wycentrowane zmienne będziemy oznaczali górnym indeksem 0 (zero): $X^0=X-m_xqquad , qquad Y^0=Y- m_y$ (1) Funkcję $Y$ zapiszmy jako $Y=phi(X)$ (2) Wartość oczekiwaną $m_y$ , moment drugiego rzędu $Gamma_y$ oraz kowariancję $K_y$ losowego wektora $Y$ można określić z ogólnych formuł: $m_y=MY= M phi (X)=int limits_{-infty}^{infty} phi (x) f(x) dx$ (3) $Gamma_y=MYY^*=Mphi(X)phi^*(X)=int limits _{-infty}^{infty}phi (x)phi ^*(x) dx$ (4) $K_y=MY^0Y^{0*}=M[phi(X)- m_y][phi^*(X)-m_y^*]$ (5) $ int limits _ {-infty}^{infty}[phi(x)-m_y][phi(x)^*-m_y^*]f (x)dx$ (6) indeksem- gwiazdka (*) oznaczono wartość sprzężoną wielkości lub funkcji zespolonej. W przypadku macierzy rzeczywistych wartość sprzężona jest macierzą transponowaną. Podobnie określamy wzajemne drugie momenty i wzajemne macierze kowariancji dwóch wektorów losowych będących funkcjami wektora X. Dla $ Y=phi(X)qquad , qquad Z=psi(X)$ (7) $Gamma_{yz}=MYZ^*=Mphi(X)psi^*(X)=int limits_{-infty}^{infty} phi(x)psi^*(x) f(x)dx)$ (8) $K_{yz}=MY^0Z^{0*}int limits_{-infty}^{infty} [phi(x)-m_y][psi^*(x)-m_z^*] f(x)dx)$ (9) Powyższe formuły pokazują, że w celu obliczenia wartości oczekiwanej oraz kowariancji nieliniowej funkcji losowego wektora należy znać gęstość rozkładu prawdopodobieństwa argumentów. Przykład 1 Pręty zbrojeniowe wykonuje się z określoną tolerancją promienia pręta R. Przyjmuje się, że R jest zmienną losową normalną z wartością oczekiwaną $m_r$ oraz odchyleniem standardowym $sigma_r$, czyli z funkcją gęstości: $ f(R)=dfrac{1}{sigma_r sqrt2pi}cdot exp left[-dfrac{1}{2}left(dfrac{R-m_r}{sigma_r}right)^2right]$ (10) Znajdźmy wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe pola powierzchni pręta $A=pi R^2$ Korzystając z formuły (3), mamy: $ m_A=int limits _{-infty}^{infty}pi r^2 f(r) dr=pi dfrac {1}{sigma sqrt{2pi}} qquad int limits _{-infty}^infty r^2cdot exp left[-dfrac{1}{2} left( dfrac {r- m_r}{sigma_r}right)^2 right]dr$ (11) Ostatnia całka razem z mnożnikiem $dfrac{1}{sigmasqrt{2pi}}$ jest momentem drugiego rzędu losowego promienia R, który jest równy $ m_r^2+sigma_r^2$. W ślad za tym, otrzymujemy: $ m_A=pi(m_r^2+sigma_r^2)$ (12a) Z formuły (9) mamy: $ sigma^2_A=pi^2 dfrac {1}{sigma_r sqrt{2pi}} qquad int limits _{-infty}^infty (r^2- m^2_r-sigma^2_r)^2cdot exp -left( dfrac {r- m_r}{sigma_r}right)^2 dr$ (12b) Po obliczaniu całki otrzymamy $ sigma^2_A=2pi^2sigma^2_r (2m^2_r+sigma^2_r)$ (13) Linearyzacja [1] W celu ominięcia złożoności obliczeń wartości oczekiwanych, dyspersji kowariancji nieliniowych funkcji zmiennych losowych doprowadza do konieczności znajduje się rozwiązania przybliżone metodą linearyzacji. W przypadku jednowymiarowego skalara $X$ linearyzacja nieliniowej funkcji $varphi(x)$ polega na zastąpieniu krzywej $y=varphi (x)$ przez pewną prostą $y=ax+b$. Jeśli uda się dobrać prostą dostatecznie bliską krzywej w obszarze praktycznie możliwych zmian losowej zmiennej $X$ ( w przypadku normalnie rozłożonej zmiennej $X$ zwykle w obszarze $(m_x-3sigma_x , ; , m_x+3sigma_x)$ , to można oczekiwać, że momenty statystyczne odpowiadającej funkcji liniowej zmiennej losowej $X$ będą bliskie momentom statystycznym funkcji nieliniowej. Punkt linearyzacji $x_L$, czyli punkt w którym do krzywej prowadzi się styczną należy dobrać tak, by uzyskać jak najlepsze przybliżenie interesującej wielkości. W przypadku obliczania wartości momentów statystycznych punkt $x_L=m_x$ , ponieważ wokół tej wielkości zmienne losowa $X$, będzie przyjmowała wartości najczęściej. Styczna do krzywej w punkcie $m_x$ ma równanie $ Y=varphi(x)approx varphi (m_x)+varphi^{’} (m_x) X^0 $ (14) o ile wektorowa funkcja losowego wektora $X$ jest różniczkowalna w punkcie $m_x$ . $varphi^{’}(m_x)$ należy rozumieć jako macierz cząstkowych pochodnych wszystkich współrzędnych wektora $varphi(x)$ po wszystkich współrzędnych wektora $X$ w punkcie $m_x$: (15) Po zamianie $varphi(x)$ jej liniowym przybliżeniem (14) i zastosowaniu operatora wartości oczekieanej otrzymujemy przybliżone formuły na wartość oczekiwaną i macierz korelacji wektora $Y$: $ m_y approx varphi(m_x) $ (16a) $ K_yapprox varphi^{’} (m_x)K_xvarphi^{’}(m_x)^{*}$ (16b) Formuły (16) są słuszne zarówno dla zespolonych jak i dla rzeczywistych , skalarnych jak i wektorowych zmiennych losowych $X$ i $Y$. Przykład 2 [Linaryzacja przykładu 1] Dla danych z przykładu 1 , w którym ściśle obliczono wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe pola przekroju pręta, oszacujemy te parametry w sposób przybliżony poprzez linearyzację funkcji $ A=varphi(R)=pi R^2$ (17) w otoczeniu wartości średniej promienia pręta $m_r$. Ponieważ $varphi^{’} (r)=2 pi r$ , więc z formuł (16) otrzymujemy $ m_Aapprox varphi(m_r)=varphi (r_0)=pi {r^2}_0 $ (18a) $ {sigma^2}_A=4 pi {r^2}_0 {sigma^2}_r$ (18b) Porównując formuły przybliżone (18) ze ścisłymi (13), widzimy, że metoda linearyzacji w tym przypadku daje dobrą aproksymację, jeśli $sigma_r ll r_0$, to jest jeśli odchylenie standardowe jest małe w stosunku do wartości oczekiwanej. Na przykład przy $V_r=dfrac{sigma_r}{m_r}=10 %$ , błąd oszacowania wartości oczekiwanej wynosi 1%, a odchylenia standardowego 0,5%. Literatura Pugachev V. S. (1984). Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers. Pergamon Press ________________________________