Momenty funkcji zmiennych losowych. Metoda linearyzacji

1. Zależności ścisłe dla pierwszego i drugiego momentu

1.1.  Podstawowe definicje

Przyjmijmy, że losowy wektor $Y=\varphi(X)$  jest znaną, w ogólności zespoloną (z częścią nierzeczywistą) funkcją $\varphi$ zmiennej losowej X, która  ma funkcję gęstości probabilistycznego rozkładu $f(X)$. Momenty losowe funkcji Y: wartość oczekiwaną $ EY=\mu_y$, wariancję $VarY$ oraz odchylenie standardowe $\sigma_y$ można oszacować ze ścisłych zależności (Pugachev, 1984):

$ \mu_y=EY=E \varphi(X)=\int \limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) f(x) dx$,  (1)
$VarY=\sigma_y^2=E[\varphi(X)-\mu_y][\varphi(X)^*-\mu_y^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [\varphi(X)-\mu_y][\varphi(X)^*-\mu_y^*] f(x) dx$,  (2)

Kowariancja wzajemna $C_{yz}=Cov(y,Z)$ dwóch losowych wektorów$Y$ i $Z$, będących  funkcjami $Y=\varphi(X)$ i $Z=\psi(X)$ wektora $X$, wynosi:

$Cov(Y,Z)==C_{yz}=E[\varphi(X)-\mu_y][\psi(X)^*-\mu_z^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [\varphi(X)-\mu_y][\psi(X)^*-\mu_z^*] f(x) dx$,  (3)

W przypadku, gdy,  $\psi(X) \equiv X$, to z (3) uzyskujemy wyrażenie na kowariancję $C_{xy}$ wektora $X$ i $Y$:

$Cov(X,Y)=C_{xy}=E[X-\mu_x] [\varphi(X)^*-\mu_y^*]=\int \limits_{-\infty}^\infty [X-\mu_x][\varphi(X)^*-\mu_y^*] f(x) dx$,  (4)

Formuły (1) do (4)  dotyczą zarówno rzeczywistych lub zespolonych zmiennych skalarnych lub wektorowych. Znak (*) oznacza macierz sprzężoną zespoloną, a w przypadku macierzy rzeczywistych jest to znak transpozycji macierzy (*=T).

Współczynnik korelacji zmiennych losowych $X$ i $Y$ o wartościach oczekiwanych $\mu_x=E X$ i $\mu_y=E Y $ oraz odchyleniach standardowych $\sigma_x=\sqrt {Var X}$ i $\sigma_y=\sqrt {Var Y}$,  oraz kowariancji zmiennych $C_{xy} = Cov (X, Y) $, jest wartością oczekiwaną iloczynu standaryzowanych zmiennych  (Korn, 1983):

$\rho_{xy}= \rho \{X , Y \}= E \left \{ \dfrac {X-\mu_x}{\sigma_x} \cdot \dfrac {Y-\mu_y}{\sigma_y} \right\}= \dfrac {C_{xy }} {\sigma_x \cdot \sigma_y}$  (5)

Współczynnik korelacji określa siłę sprzężenia zmiennych i przyjmuje wartości w przedziale

$ -1 \le \rho_{xy}\le 1 $  (6)

Wartość $ \rho_{xy}=0 $oznacza brak związku (sprzężenia), a dla zmiennych rozłożonych normalnie – niezależność zmiennych. Dla  $ \rho_{xy} = 1 $ sprzężenie jest silnie dodatnie, to znaczy wzrost (lub zmniejszenie) $X$ najczęściej prowadzi do wzrostu (lub zmniejszenia)$Y$. Na odwrót dla  $ \rho_{xy}= – 1 $ relacja jest odwrotnie proporcjonalna.

1.2.Przykłady zastosowania  ścisłych formuł

1.2.1. Pole powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D

Metodą ścisłą wyznaczymy parametry pola powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D (lub promieniu R=D/2). Zmienne losowe oznaczymy dużymi literami D, R, a  ich realziacje (wartości ) małymi literami  d, r – wartość zmiennej.
Pręty zbrojeniowe są walcowane z błędami promienia R, rozłożonymi podług normalnego rozkładu prawdopodobieństwa z wartością  oczekiwaną  $ER= \mu_r=r_o$  oraz  odchyleniem standardowym $\sigma_r$,
Z punktu widzenia wytrzymałościowego istotne jest pole przekroju zbrojenia
$A= \varphi(R)= \pi R^2$,  (7)
które jest nieliniową funkcją $\varphi()$  losowego promienia  R (lub średnicy D=2R).

Do wyznaczenia momentów losowych funkcji (7) : wartości średniej $\mu_A$ oraz odchylenia standardowego $\sigma_A$ zastosujemy najpierw ścisłe formuły (1), (2) . Z zależności (1) mamy:

$ \mu_A=\int \limits_{-\infty}^\infty \pi r^2 f(r)dr =\pi \dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}\int \limits_{-\infty}^\infty r^2 e^{- \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r-r_o}{\sigma_r}\right)^2}dr$,  (8)

Ostatnia całka wraz z mnożnikiem $ \pi \dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}$ z definicji jest momentem drugiego rzędu losowej wielkości R, który oczywiście jest równy $r_o^2+\sigma_r^2$. Stąd otrzymujemy:

$ \mu_A= \pi (r_o^2+\sigma_r^2)$,  (9)

Z formuły (2) mamy:

$VarA=\pi^2\dfrac{1}{\sigma_r \sqrt{2 \pi}}\int \limits_{-\infty}^\infty (r^2-r_o^2-\sigma_r^2)^2 \cdot e^{- \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{r-r_o} {\sigma_r}\right)^2}dr$,  (10)

Po obliczeniu tej całki (Pugachev, 1984), otrzymamy:

$VarA=2 \pi^2 \sigma_r^2 (2r_o^2+ {\sigma_r}^2)$,  (11)

1.2.2.  Ugięcie wspornikowej belki  Timoshenko o losowej długości L

Wyznaczymy momenty losowego  ugięcie $Y$ końca wspornikowej belki Timoshenko (z uwzględnieniem sztywności postaciowej) o losowej długości $L$ i innych parametrach nielosowych, w tym o sztywności giętnej $EI$ oraz postaciowej $S_v$.

1.2.2.1. Postawienie zadania

Przemieszczenie $Y$ końca wspornika (pod siłą P) można wyznaczyć ze znanej zależności:

$Y=\int \limits_0^L \left( \dfrac{M \overline M}{EI} + \dfrac{T \overline T}{S_v} \right ) dx$  (12)

X3-X_1Rys.1. Zginanie i ścinanie wspornika Timoshenko

Po „przemnożeniu wykresów sił”,pokazanych na rys.1. otrzymujemy formułę na ugięcie $Y$, które jest funkcją losowego argumentu $L$:

$Y=\dfrac {PL^3}{3EI} +\dfrac{PL}{S_v}= \dfrac{P }{3 EI}( L^3+ 3 k L)$,  (13)

gdzie współczynnik podatności na ścinanie $k = \dfrac{EI}{S_v} $.

1.2.2.2. Parametry losowej długości belki

Przyjmijmy, że losowa długość pręta X=L ma  jednostajny rozkład  prawdopodobieństwa z gęstością prawdopodobieństwa
$\dfrac{1}{2\cdot \Delta L}$ w przedziale $(L-\Delta L ; L+\Delta L)$, a poza tym przedziałem jest równa zero.
Rozkład ten pokazano na rys. 1. Tak przyjęty rozkład oznacza,  że w przedziale możliwych wartości długości  belki $L \pm \Delta L$, gdzie $\Delta L$ jest dopuszczalną tolerancją może przyjąć każdą wartość z tym samym prawdopodobieństwem

$p= Prob\{X=x\}= \dfrac{1}{2 \Delta L}$,

a kontrola jakości wyklucza wartości spoza tego przedziału.

rozkład równomiernyRys.1 Rozkład równomierny losowej długości belki

Z własności rozkładu jednostajnego, wynika że wartość oczekiwana długości belki wynosi
$\mu_x= \dfrac{(L-\Delta L)+(L+\Delta L)}{2}=L$,
a wariancja
$Var X= \dfrac{[(L- \Delta L)-(L+ \Delta L)]^2}{12}= \dfrac {\Delta^2 L} {3}$.

1.2.2.3. Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe ugięcia

Wartość oczekiwana (1) ugięcia (12) wynosi:

$\mu_y= C p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}\ (x^3 + 3k x) dx= C L (L^2 +\Delta^2 +3k)$,  (14)
 gdzie wprowadzono oznaczenia
$\Delta=\Delta L$,
$C=\dfrac{P}{3 EI}$,
$p=\dfrac{1}{2 \Delta}$
 (15a,b,c)

Porównując  (14) z funkcją (13) widzimy zgodność zapisu dla $\Delta=0 $, to znaczy dla długości belki wykonanej bez odchyłki wymiarowej. Do porównania wrócimy jeszcze  podczas omawiania metody linearyzacji.

Wariancja (2) ugięcia (12) wynosi:

$ VarY = C^2 p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}(x^3 + 3k x)^2 dx = C^2 \Delta^2 \left ( 3L^4 +2L^2 \Delta^2 +3k^2 +\dfrac{6k}{5} (5 L^2 +\Delta^2) +\dfrac{\Delta^4}{7} \right) $  (16)

Dla długości belki wykonanej bez odchyłki wymiarowej $\Delta=0$ wariancja jest zerowa.

Kowariancja (4) ugięcia (13) z losową długością $L$wynosi:

$ Cov _{YL}= C p \int \limits_{L- \Delta}^{L+ \Delta}(x^3 + 3k x) \cdot (x-L) dx = C \Delta^2 \left ( L^2+k+\dfrac {\Delta^2}{5} \right) $,  (17)
$\rho_{YL}=\dfrac{L^2+k +\dfrac{\Delta^2}{5}} {\sqrt{ (k+L^2)^2+ \dfrac {14}{105} (3k+5 L^2)\Delta^2 +\dfrac{\Delta^4}{21}}}$.  (18)

Dla $\Delta=0$ korelacja jest pełna ($\rho_{YL}=1$).

Dla  $k=0$ (dla klasycznej belki Bernoulliego)  formuły (14 do 18) upraszczają się do postaci (19):

$\mu_y= C L (L^2 +\Delta^2)$
$ VarY == C^2 \Delta^2 \left ( 3L^4 +2L^2 \Delta^2 +\dfrac{\Delta^4}{7} \right) $
$ Cov \{ Y, L \}=C \Delta^2 \left ( L^2\dfrac {\Delta^2}{5} \right) $
$\rho_{YL}=\dfrac{L^2+\dfrac{\Delta^2}{5}} {\sqrt{ L^4+ \dfrac {14}{21}\Delta^2L^2 +\dfrac{\Delta^4}{21}}}$.
 (19a-d)

2. Metoda linearyzacji

2.1.  Podstawy

Obliczanie momentów funkcji losowych ze ścisłych zależności (62, 63, 64) jest zadaniem złożonym rachunkowo, a wynik analityczny udaje się znaleźć w nielicznych przypadkach prostych funkcji oraz rozkładów probabilistycznych argumentów funkcji (przykłady 1.2. są takimi wyjątkowymi przypadkami). W celu umożliwienia oszacowania momentów złożonych funkcji, w praktyce inżynierskiej, stosuje się metodę linearyzacji, która polega na tym , że nieliniową funkcję $\varphi(x)$, zastępuje się linią prostą w punkcie najbardziej prawdopodobnym, czyli w punkcie oczekiwanym $\mu_x$ argumentu x, tak jak pokazano na rys. 16lINEARYZACJARys.16 Linearyzacja funkcji losowej w punkcie oczekiwanym $\mu_x$ (Pugachev, 1984)

Zależność zmiennej $Y$ od $X$ zgodnie z prostą pokazaną na rys. 16 przyjmuje postać:

$Y \approx \varphi ( \mu_x ) + \varphi^{‚} (\mu_x ) (X- \mu_x )$,  (20)

W przypadku , gdy X jest wektorem, to pochodną $\varphi^{‚} (\mu_x )$ należy traktowac jako macierz wrażliwości – pochodne wszystkich współrzędnych wektora  $\varphi (x )$ podług współrzędnych wektora x w punkcie $x= \mu_x$:

$ \varphi^{‚} (\mu_x ) = \left[\begin{array} {cccc} \dfrac{\partial \varphi_1} {\partial x_1} & \dfrac {\partial \varphi_1} {\partial x_2} & \ldots & \dfrac {\partial \varphi_1} {\partial x_n} \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ \dfrac {\partial \varphi_r} {\partial x_1} & \dfrac{\partial \varphi_r}{\partial x_2} & \ldots &\dfrac{\partial \varphi_s}{\partial x_n} \end{array} \right]_{x=\mu_x}$  (21)

gdzie n – rozmiar wektora $X$, r- rozmiar wektora $Y$. Do funkcji liniowej (17) możemy zastosować standardowe procedury wyznaczenia wartości oczekiwanej oraz macierzy kowariancji wektora $Y$ (Pugachev, 1984), a w rezultacie otrzymamy formuły linearyzacji probabilistycznej:

$ \mu_y \approx \varphi ( \mu_x ) $,  (22a)
$ C_y \approx \varphi ^{‚} ( \mu_x ) C_x \varphi ^{‚} ( \mu_x )^*$,  (22b)

gdzie $ C_x=Cov X $, $C_y=Cov Y $ są macierzami kowariancji odpowiednio wektora X i Y. W przypadku zmiennej skalarnej kowariancja staje się wariancją: $ CovX=Var X=\sigma_x^2$, gdzie $\sigma_x$  jest odchyleniem standardowym zmiennej X.

Formuły (14a, b) dotyczą zarówno rzeczywistych lub zespolonych zmiennych skalarnych lub wektorowych. Znak (*) oznacza macierz sprzężoną zespolona, a w przypadku macierzy rzeczywistych jest to znak transpozycji macierzy (*=T).

Dokładność metody linearyzacji zależy od rozproszenia losowego zmiennej wejściowej. Jeśli $ \sigma_x \ll \mu_x$. to dokładność aproksymacji jest dobra i zmniejsza się wraz ze zmniejszaniem się nieliniowości funkcji.

2.2.  Przykłady metody linearyzacji i ocena dokładności

2.2.1. Pole powierzchni pręta zbrojeniowego o losowej średnicy D

Rozwiążemy zadanie z przykładu 1.2.1.  metodą linearyzacji.

Pochodna cząstkowa funkcji $\varphi(x)$  (7) przy oznaczeniu  $x=R$ wynosi:

$ \varphi(x)^{‚}= \dfrac {\partial \varphi(x)}{\partial x}= 2\pi r $,  (23)

Z (22 a,b) otrzymujemy:

$ \mu_A \approx \tilde {\mu_A}= \varphi(\mu_r)=\varphi(r_0)=\pi r_o^2 $,  (24a)
$ Var A \approx \tilde {VarA}= |\varphi^{‚} (\mu_r)|^2 \cdot \sigma_r^2=|\varphi^{‚} (r_0)|^2 \cdot \sigma_r^2=4 \pi^2 r_0^2 \sigma_r^2$,  (24b)

Porównując oszacowania (24a,b) z wartościami ścisłymi (9), (11) , otrzymujemy:

$ \dfrac {\mu_A} {\tilde{\mu_A}}=1+ \dfrac {\sigma_r^2} {r_o^2}$,  (25a)
$ \dfrac {Var A} {\tilde{Var A}}=1+\dfrac { \sigma_r^2} {2 r_o^2}$,  (25b)

W prezentowanym przykładzie dla $\sigma_r=0,1 r_0$ błąd oszacowania średniej wynosi 1%, a wariancji 0,5% .

2.2.2.  Ugięcie wspornikowej belki  Timoshenko o losowej długości L

Rozwiążemy zadanie z przykładu 1.2.2.  metodą linearyzacji.

Pochodna cząstkowa funkcji $Y(x)$  (12) przy oznaczeniu  $x=L$ wynosi:

$ Y(x)^{‚}= \dfrac {\partial Y (x)}{\partial x}= 3C ( x^2+k)$,  (26)

Z (22 a,b) otrzymujemy:

$ \mu_A \approx \tilde {\mu_Y}= \varphi(\mu_x)=3C(L^2+k) $,  (27a)
$ Var Y \approx \tilde {VarY}= |\varphi^{‚} (\mu_x)|^2 \cdot \sigma_x^2=|\varphi^{‚} (L)|^2 \cdot \sigma_L^2=C^2 \Delta^4(k+L^2)^2$,  (27b)

Porównując oszacowania (27a,b) z wartościami ścisłymi (14), (16) , otrzymujemy:

$ \dfrac {\mu_Y} {\tilde{\mu_Y}}=1+ \dfrac {\Delta^2} {L^2+3k}$,  (28a)
$ \dfrac {Var Y} {\tilde{Var Y}}=1+….$,  (28b)

W prezentowanym przykładzie dla $k=0$ (belka Bernoulliego) i dla spotykanego w praktyce $\dfrac {\Delta}{L} \approx 3 \%$ błąd oszacowania średniej i wariancji jest zaniedbywalny.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »