Metoda imperfekcyjna wymiarowania pręta stalowego

W pracy (Papp, 2016) rozwiązano zagadnienie oszacowania równoważnej amplitudy dla postaci wyboczenia bocznego (zwichrzenia). W ten sposób została otwarta droga do stosowania metody imperfekcyjnej wymiarowania prętów stalowych (słupów i belek) bez potrzeby wyznaczania współczynników wyboczeniowych, w tym zwichrzenia.

Wprowadzenie

Zaprezentowana w pracy (Papp, 2016) ogólna metoda imperfekcyjna  (ang. overall imperfection method) dotyczy sprzężonego (ang. coupled) wyboczenia, tzn wyboczenia giętnego sprzężonego z wyboczeniem skrętnym i bocznym (zwichrzeniem), bazuje na fundamentalnym rozwiązaniu zagadnienia dla wyboczenia giętnego (Chladny, Stujberova, 2013). (Chladny, Stujberova, 2013), a wcześniej na klasycznym podejściu (Ayrton, Perry, 1886).

Matematycznie nie jest możliwe i praktycznie nie jest potrzebne rozdzielenie tych form wyboczenia. W dobie powszechnej komputeryzacji, szczególnie interesujące jest iteracyjne ujęcie numeryczne, zaprezentowane przez (Papp, 2016), które bazuje na uwikłanej zależności na równoważną wstępną imperfekcję układu $v_{init}(x)$ proporcjonalną do funkcji ugięcia, odpowiadającej postaci wyboczenia sprężystego $v_{cr}(x)$ w funkcji obliczeniowej imperfekcji pręta (wygięcia wstępnego) $v_{od}$ oraz siły krytycznej (Eulera) $ N_{cr,z}$:

$ v_{init}(x)=v_{od} \dfrac {N_{cr,z}}{EI_z {v^{”}}_{cr, max}} v_{cr}(x)$  (1)

Formuła (1) jest uogólnieniem wyrażenia (5.9) zamieszczonego w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006). Uogólnienie polega na uwzględnieniu  interakcji wyboczenia giętnego z wyboczeniem bocznym (zwichrzeniem).

Równoważna imperfekcja skręcenia pręta $\varphi_{init}(x)$ jest związana z imperefekcją giętną $ v_{init}(x)$ zależnością:

$ \varphi_{init}(x) =\dfrac{N_{cr,z}}{M_{cr}}v_{init}(x)$  (2)

Numeryczne podejście iteracyjne przewiduje kroki:

Krok 1: Przeprowadzenie liniowej analizy wyboczeniowej,
Krok 2: Analiza II rzędu dla wstępnej imperfekcji $v_{cr}(x)$,
Krok 3: Wyznaczenie maksymalnych naprężeń II rzędu dla pręta odniesienia (wzorcowego),
Krok 4: Wyznaczenie amplitudy równoważnej wstępnej imperfekcji $v_{init,max}$,
Krok 5: Przeprowadzenie analizy II rzędu elementu, obarczonego wstępnymi imperfekcjami,
Krok 6:  Sprawdzenie stanu granicznego elementu, poprzez elementarny warunek (3) dla przekroju (bez współczynników wyboczeniowych):

$ \dfrac{N^{II}_{Ed}}{N_{Rd}}+\dfrac{M^{II}_{y,Ed}}{M_{y,Rd}}+\dfrac {{M^{II}}_{z,max}} {M_{z,Rd}}+\dfrac {{B^{II}}_{max}}{B_{Rd}} \le 1$  (3)

gdzie indeksem (II) oznaczono siły prętowe II rzędu wyznaczone dla pręta obarczonego imperfekcjami w płaszczyźnie i z płaszczyzny.

Uwagi do metody imperfekcyjnej Papp

Metoda imperfekcyjna Papp jest metodą kinematyczną i polega na wyznaczeniu geometrii pręta obarczonego imperfekcjami geometrycznymi w stanie granicznym.

Z punktu widzenia inżynierskiego intersujące jest zagadnienie statyczne, to znaczy wyznaczenie takich obciążeń zewnętrznych lub stanu naprężeń wewnętrznych, który wywołuje taki sam skutek. Ponadto w roziązanie należałoby włączyć zgadnienia probablistyczne, w tym losowy charakter imperfekcji oraz zgadnienia niezawodności przekroju, elemntu i konstrukcji.

Imperfekcja pręta – proces stochastyczny

Przyjmijmy, że imperfekcja w postaci wstępnego wygięcia pręta $v_0$ jest procesem stochastycznym w funkcji nielosowej współrzędnej  x po osi pręta o długości L. Na rys. 1 dla procesu tego przedstawiono kilka realizacji procesu $v_{0i} (x) (i=1,2..n)$oraz jego wartość oczekiwaną $\mu_v(x)$.

Niechaj proces losowy ugięcia wstępnego, wynosi:

$ v_0(x)=\{A cos\omega x+ B sin \omega x\} x \in L$  (4)

gdzie amplitudy A i B są zmiennymi losowymi a, $\omega=\dfrac {2\pi}{L}$

Analiza procesu stochastycznego (4) będzie prostsza, jeżeli sprowadzimy go procesu stacjonarnego. Proces jest stacjonarny w szerszym sensie, gdy ma stała wartość oczekiwaną, a jego funkcja korelacyjna zależy wyłącznie od różnicy argumentów $\Delta x$.

Na to żeby wartość oczekiwana procesu

$ \mu_v(x)= E[v_0(x)]= E[A] cos\omega x+ E[B] sin \omega x\$  (5)

była stała  (niezależna od x) potrzeba i wystarcza, by E[A]=E[B]=0, skąd wynika $E[\mu_v(x)]=0$ dla $x \in L$.

Z kolei funkcja korelacyjna $K(x, x+\Delta x)$ wynosi

$ K(x, x+\Delta x)=E[v_o(x+\Delta x) \cdot v_0(x)]=$  (6)

Literatura

Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Chladny, E., & Stujberova, M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617.
Chladny, E., & Stujberova, M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 2. Stahlbau, 83(9), 684–694.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.10.021

Related Hasła

Comments : 0
O autorze

* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum „Manufaktura” w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji „Cersanit” ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina). Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.

Wyślij

Translate »