Klasyfikacja imperfekcyjnych metod projektowania [R1-3]

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 37 Czytelników
[Klasyfikacja metod II rzędu. Zadania Benchmark] [poprzednie: R1-2] ⇐ ⊗ [następne: R2-1] [ Imperfekcje i ich źródła]

Ze względów porządkujących już na wstępie dokonamy klasyfikacji metod wymiarowania konstrukcji, stosowanych w praktyce inżynierskiej z odniesieniem do procedur proponowanych w normach do projektowania konstrukcji żelbetowych, stalowych, zespolonych i aluminiowych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008), (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006)(PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008), (PN-EN 1999-1-1, 2010).

Podział metod wymiarowania konstrukcji

Wśród dwóch grup metod wymiarowania konstrukcji:
WM – metod wyboczeniowych,
IM – metod imperfekcyjnych,
wyróżnimy odmiany i wersje.

W grupie klasycznych metod wyboczeniowych WM wyróżnimy odmiany:

(a)  WEM – metoda Wydzielonych Elementów, w której projektowane są elementy wydzielone z całego systemu  konstrukcyjnego. W odmianie tej wyróżnimy wersje:

  • HWEM – metoda Historyczna, polegająca na zmniejszeniu sztywności elementu poprzez redukcję współczynnikiem wyboczeniowym, wyznaczonym dla smukłości z długości efektywnej elementu,
  • WWEMWyboczeniowa elementów wydzielonych, polegająca na wyznaczeniu smukłości elementu w pomocniczej analizie LBA (liniowa analiza wyboczeniowa), w której uzyskiwane są siły krytyczne elementów

(b)  OWM, metoda Ogólna, w której w pierwszym etapie wyznacza się mnożnik krytyczny obciążeń dla całego systemu w pomocniczej analizie wyboczeniowej LBA. Ten etap analizy może stanowić przejście do metody WWEM, lub poprzedza drugi etap metody ogólnej, w którym wyznacza się smukłość całego systemu, a na tej podstawie jeden współczynnik wyboczeniowy wspólny dla wszystkich elementów konstrukcji.

W grupie metod imperfekcyjnych IM wyróżnimy odmiany:

(a)  GIM, metoda Geometryczna, polegająca na wymuszeniu imperfekcji geometrycznych.
W odmianie tej wyróżnimy wersje:

  • SIM , metoda Standardowa, polegająca na wymuszeniu imperfekcji przechyłowych i łukowych z amplitudami normowymi,
  • AIM, metoda Alternatywna, polegająca na wymuszeniu zintegrowanych imperfekcji systemu z alternatywą amplitudą, – skalą dla sprawczego kształtu utraty stateczności. Modyfikowanie geometrii systemu w klasycznym ujęciu metody AIM odbywa się poprzez wymuszenie alternatywnych imperfekcji geometrycznych, przeskalowanych z kształtu wyboczenia sprężystego wyodrębnionego typu (np.tylko wyboczenia giętnego lub tylko zwichrzenia),

(b) QIM ,metoda Obciążeniowa, polegająca na obciążeniu konstrukcji siłami poziomymi równoważnymi          imperfekcjom geometrycznym

(c) HIM,  metoda Hybrydowa, w których część imperfekcji uwzględnia się obciążeniowo, a część geometrycznie, to znaczy  poszczególne rodzaje systemowych imperfekcji uwzględnia się różnymi metodami.

Na rys.1-3.1 pokazano schemat klasyfikacyjny metod projektowania konstrukcji z uwzględnieniem metod imperfekcyjnych.

Rys,1-3.1. Klasyfikacja metod imperfekcyjnych projektowania konstrukcji

Wprowadzona systematyka metod projektowania konstrukcji podatnych na efekty nieliniowe nie zmienia systematyki obliczeń statycznych wprowadzonych w normach (PN-EN 1993-1-6, 2010)  oraz (PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1, 2008), a mianowicie:

LA – analiza liniowo sprężysta – zamiennie stosowana jest nazwa: teoria piewszego  rzędu,
LBA – analiza sprężysta bifurkacyjna – zamiennie stosowana jest nazwa analiza wyboczeniowa lub postaci własnych,
GNA – geometrycznie nieliniowa analiza sprężysta – w pracy ograniczona do teorii drugiego rzędu,
MNA – analiza fizycznie nieliniowa – w pracy stosowana najprostsza z metod fizycznie
nieliniowych, czyli metoda nośności granicznej (przegubów plastycznych)
GMNA– analiza geometrycznie i fizycznie nieliniowa,
GNIA – geometrycznie nieliniowa analiza konstrukcji z imperfekcjami,
GMNIA – geometrycznie i fizycznie nieliniowa analiza konstrukcji z imperfekcjami.

Przedstawiane w podręczniku metody należy w większości zaliczyć do GNIA, a w wersji uogólnionej metody alternatywnej UAIM do metod GMNIA.

Klasy imperfekcji a metody wymiarowania

Klasy imperfekcji prętów

W tab. 1-3.1. zestawiono klasy imperfekcji prętów oraz wynikające z nich parametry,  zdefiniowane w normach do projektowania konstrukcji budowlanych, a w szczególności EC3 (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006).

W metodach wyboczeniowych stosowane są parametry klasy imperfekcji $\alpha$ – wiersz (a) do (c).

W metodach imperfekcyjnych stosowane są amplitudy imperfekcji względnych $n_L=L/e_0$ – wiersz (d) i (e), gdzie $L$ i $e_0$ są długością pręta i strzałką imperfekcji łukowej odpowiednio

Zarówno parametr klasy imperfekcji $\alpha$ jak i imperfekcja $n_L$ zależą od pięciu klas imperfekcji ($a_0$, $a$, $b$, $c$, $d$) – kolumna (1) do (5). Klasy imperfekcji zależą od  rodzaju przekroju poprzecznego pręta.zgodnie z  tab. 3-2.2 dla wyboczenia giętnego  oraz zgodnie z tab. 3-2.3 dla przypadku zwichrzenia.

Klasy imperfekcji są wspólne dla trzech typów niestateczności:

  • giętnego, to jest wyboczenia Eulera  – nieindeksowanego  *=_,
  • zwichrzenia, to jest wyboczenie bocznego Własowa, indeksowanego przez $ *=LT$,
  • ogólnego, to jest obejmującego oba wyżej wymienione typy wyboczenia, indeksowanego przez $*=op$,

Tab.1-3.1. Klasy imperfekcji prętów oraz wynikające z nich :
a) parametry klasy imperfekcji $\alpha$  (wg EC3, tab 6.4 i 6.5)
b) amplitudy imperfekcji $n_L=L/e_0$ (wg EC3, tab 5.1)

Liczba klas imperfekcji wynika  z dążenia do najlepszego dopasowania teorii łukowych współczynników wyboczeniowych Ayrton-Perry do licznych wyników badań eksperymentalnych, zgromadzonych w europejskich i światowych bazach danych.

W dalszej części podręcznika zgłosimy postulat, by  liczbę klas imperfekcji z pięciu ograniczyć do jednej „c”. Spowoduje to niewielkie widoczne tylko deterministycznie, przeszacowanie nośności prętów zaszeregowanych do tej pory do klas „$a_0$ do „b” i niedoszacowanie dla klasy „d”. Jak wynika ze statystycznej analizy danych- takie uproszczenie jest statystycznie nieistotne na powszechnie akceptowalnym poziomie ufności 95%, a spowoduje znaczne uproszczenie analiz w szczególności optymalizacyjnych zmierzających do optymalnego doboru rodzaju kształtownika.

Imperfekcje ukladów konstrukcyjnych

Imperfekcje układów konstrukcyjnych są sprowadzone do imperfekcji przechyłowych, globalnych  z podstawową wartością przechyłu wstępnego  $ n_G = 200$ bez podziału na klasy tych imperfekcji. Nie zależą ponadto od metod wymiarowania, przy czym w wyboczeniowych metodach wymiarowania w zasadzie nie były obecne, natomiast w metodach imperfekcyjnych są przedmiotem podstawowego zainteresowania.

Krótka charakterystyka metod wyboczeniowych

Wymiarowanie metodami wyboczeniowymi znamienne jest tym, że stosowane są współczynniki wyboczeniowe.  Warunek stateczności i wytrzymałości elementu obciążonego siłą ściskającą $N_{Ed}$ oraz  momentem zginającym w płaszczyźnie potencjalnego zwichrzenia $M_{Rd,y}$ jest zapisywany na poziomie elementu formułą typu ( (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.61))):

$$\begin{equation}  \cfrac{N_{Ed}}{\chi_y \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{yy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y, Rd}} + \cfrac{ k_{yz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \\
\cfrac{N_{Ed}}{\chi_z \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{ k_{zy} M_{y,Ed}}{\chi_{LT} \cdot M_{y,Rd}} + \cfrac{ k_{zz} M_{z,Ed}}{ M_{z,Rd}} + \cfrac{B}{B_{Rd}} \le 1 \label {1-3.1} \end{equation}$$

gdzie dla współczynnika materiałowego $\gamma_M$, nośności obliczeniowe przekroju

$$\begin{equation}  F_{Rd}=\cfrac{F_{Rk}}{\gamma_M} \label {1-3.2} \end{equation}$$

uzyskuje się z nośności charakterystycznych

$$\begin{equation}  F_{Rk}=f_y \cdot W_F \label {1-3.3} \end{equation}$$

Współczynniki interakcji wyznacza się metoda 1 wg  (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Zał.A) ;llub metodą 2 wg (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Zał.B).  W załączniku do polskiej normy zaleca się stosowanie prostszej metody 2, w której współczynniki korelacji wyznacza się z zależności (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Tab B.2):

dla przekrojów dwuteowych niewrażliwych na deformacje skrętne

$$\begin{equation}\\ k_{yy}=\begin{cases}
C_{my} \cdot \left[ 1+( \overline \lambda_y – 0,2 ) \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ] \le C_{my} \cdot \left ( 1+0,8  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ), & \text {klasa 1 i 2 }\\
C_{my} \cdot \left( 1+ 0,6 \cdot \overline \lambda_y  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right )  \le C_{my} \left( 1+0,6  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ), & \text {klasa 3 i 4 }\\
\end{cases} \label {1-3.4a} \end{equation}$$

$$\begin{equation}\\ k_{yz}=\begin{cases}
0,6 \cdot k_{zz}, & \text {klasa 1 i 2 }\\
k_{zz}, & \text {klasa 3 i 4 }\\
\end{cases} \label {1-3.4b} \end{equation}$$

$$\begin{equation}\\ k_{zy}=\begin{cases}
0,6 \cdot k_{yy}, & \text {klasa 1 i 2 }\\
0,8 \cdot k_{yy}, & \text {klasa 3 i 4 }\\
\end{cases} \label {1-3.4c} \end{equation}$$

$$\begin{equation}\\ k_{zz}=\begin{cases}
C_{mz} \cdot \left[ 1+( \overline \lambda_y – 0,2 ) \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ] \le C_{my} \cdot \left ( 1+0,8  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ), & \text {klasa 1 i 2 }\\
C_{my} \cdot \left( 1+ 0,6 \cdot \overline \lambda_y  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right )  \le C_{my} \left( 1+1+0,6  \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ), & \text {klasa 3 i 4 }\\
\end{cases} \label {1-3.4d} \end{equation}$$

 

gdzie:
$f_y$ – granica plastyczności stali (ogólnie wytrzymałość materiału),
$W_F = [A_•, W_•y, W_•z, W_\omega$ ] , gdzie  (• 1,2,3,4) – klasa przekroju – geometryczne wskaźniki wytrzymałości przekroju, odpowiadające siłom $F=[N, M_y, M_z, B]$ (B jest bimomentem) i wynoszą:
$A_{1,2,3}=A$,  $A_4=A_{eff}$, $W_{1,2}=W_{pl}$, $W_3=W_{el}$, $W_4=W_{eff}$.

Występujące w tej formule współczynniki wyboczenia : giętnego $\chi_y, \chi_z$ oraz zwichrzenia $\chi_{LT}$  od dziesiątków lat  uzależnia się od  smukłości, która po uogólnieniu jest obecnie stosowana w postaci smukłości względnej:

$\overline \lambda_*$ (1-1.2)

właściwej dla rodzaju wyboczenia „*” : ( *= [_, LT, T, TF ]= [ giętne , zwichrzenie, skrętne, giętno-skrętne ] )

a współczynniki wyboczeniowe szacuje się podług  historycznej teorii (Ayrton, Perry, 1886). Wprowadzenie do teorii współczynnika wyboczeniowego Ayrton-Perry  podano w rozdziale Klasyczna teoria Ayrton-Perry.

W obecnie stosowanych formułach obok współczynników wyboczeniowych stosuje się system współczynników korelacji $k_{yy}$ oraz $k_{yz}$ korygujących standardowe formuły typu ( $\ref{1-3.1}$) do sytuacji jednoczesnego działania ściskania $N_{Ed}$ i zginania $M_Ed,y$ oraz $M_Ed,z$ oraz korelacji zjawisk wyboczenia giętnego i zwichrzenia. System współczynników redukcyjnych: wyboczeniowych oraz korelacyjnych jest bardzo złożony i powoduje , że metody wyboczeniowe są bardzo skomplikowane oraz trudne do stosowania nawet w projektowaniu wspomaganym komputerowo. Przede wszystkim jednak metody wyboczeniowe dają tylko przybliżone wyniki i w zasadzie nie powinny być stosowane jako wzorzec do kalibrowania metod imperfekcyjnych, w tym parametrów imperfekcji- zależność powinna być odwrotna.

W praktyce inżynierskiej od lat (niemalże od zawsze) stosuje się elementarną metodę wyboczeniową HWEM, w której smukłość pręta wyznaczano dla znanej długości wyboczeniowej z formuły (1-1.7). Metoda jest już historyczna, choć nadal często stosowana przez projektantów.

Metodę HWEM ulepszono poprzez wyznaczanie sił krytycznych w  prętach na podstawie analizy wyboczeniowej systemu prętów (całej konstrukcji) i obliczenie smukłości pręta bezpośrednio z formuły (1-1.3) bez używania wzoru Eulera (1-1.5).  Ten ulepszony sposób wyznaczania smukłości pręta nazwaliśmy metodą WWEM.

Zarówno w metodzie HWEM jak i WWEM dokonuje się rozróżnienia rodzajów niestateczności: giętnej i skrętnej ( w tym giętno-skrętnej, czyli zwichrzenia) i stosuje się odrębne współczynniki wyboczeniowe (por. formuła ($\ref{1-3.1}$). Oprócz tego do  każdego  elementu wydzielonego z konstrukcji przypisuje się inne współczynniki wyboczeniowe.

Faktycznie typy niestateczności są sprzężone, a ich rozdział jest trudny i niepotrzebny. System konstrukcyjny charakteryzuje jeden mnożnik krytyczny i rozdział tego mnożnika na poszczególne elementy nie jest ściśle możliwy.  Te spostrzeżenia są podstawą koncepcji ogólnej metody wyboczeniowej OWM, w której stosuje się jeden mnożnik krytyczny dla całego systemu i form niestateczności, a do całego systemu konstrukcyjnego i każdego elementu przypisany jest jeden współczynnik wyboczeniowy.

Metoda HWEM (elementarna – historyczna)

Zalecenia normowe pozostawiają możliwość klasycznego wymiarowania pręta na podstawie długości wyboczeniowych, ale w bardzo ograniczonym zakresie. Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.2(3)c) dopuszcza się sprawdzenie wytrzymałości i stateczności elementówv wyłącznie poprzez indywidualne sprawdzenia stateczności elementów, przyjmującv odpowiednie długości wyboczeniowe ustalone dla globalnej utraty stateczności wg pkt 6.3.(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3), ale tylko w przypadkach elementarnych.

Zauważmy, że w praktyce przypadki elementarne właściwie nie występują.  Przypadek elementarny będzie miał miejsce wyłącznie wówczas, gdy potrafimy wykazać w sposób nie budzący wątpliwości, że zamocowanie węzłów spełnia idealne warunki.  Autor zna w zasadzie tylko jeden przypadek elementarny – słupa-wahacza, to znaczy takiego pręta ściskanego, dla którego uzasadnimy, że będzie zachowywał się jak pręt przegubowo-przegubowy (np. Rys. 1.1a) lub e).

Projektant powinien przedstawić uzasadnienie dlaczego występuje przypadek elementarny. Niedopuszczalne jest przyjęcie schematu wyboczeniowego pręta wydzielonego z konstrukcji bez uzasadnienia dotyczącego przesuwności i podatności jego węzłów. Przeprowadzenie wystarczającego dowodu jest zwykle trudne i czasowo porównywalne z bezpośrednim zastosowaniem bardziej dokładnych metod, więc od razu zalecamy zastosowanie metody WEM lub OWM, a najlepiej i najłatwiej jednej z metod IM. Metody IM mogą być bowiem niemal automatycznie stosowane we współczesnych programów komputerowych, w zasadzie bez szczegółowego zgłębiania problemu przez inżyniera i prowadzenia oszacowań długości wyboczeniowych, czyli sił lub momentów krytycznych.

We współczesnych normach współczynniki wyboczeniowy: $\chi$ jest obliczany z formuły (2-3.13) wraz z pomocniczymi współczynnikami $\Phi$ (2-3.14) oraz $\Theta$ (2-3.15).

O dokładności metody HWEM decyduje poprawność oszacowania długości wyboczeniowej pręta $L_{cr}$. (1-1.7). Niedokładność rzędu kilkunastu procent w oszacowaniu długości wyboczeniowej może prowadzić do kilkudziesięcioprocentowego błędu w oszacowaniu współczynnika wyboczeniowego, a to z kolei do znacznego przeszacowania lub niedoszacowania nośności pręta. To w zasadzie wyklucza metodę z praktycznego projektowania.

Metoda WWEM (wydzielonych elementów ze znaną siłą krytyczną)

Podstawowa wada metody HWEM, polegająca na silnej zależności jej dokładności od precyzji wyznaczenia długości wyboczeniowych  jest poprawiona w ten sposób, że  smukłość pręta szacuje się bezpośrednio z formuły  (1-1.2) ( przy standardowym wyboczeniu giętnym z zależności (1-1.3), przy zwichrzeniu z zależności (1-1.4), ale siły krytyczne  $N_{cr}$ $M_{cr}$ wyznacza się z rozwiązania zadania pomocniczego, a nie z wzorów Eulera lub Własowa. Siły te należy wyznaczyć eksperymentalnie lub w pomocniczej numerycznej analizy wyboczeniowej LBA.

W przypadku zwichrzenia układu prętów siły krytyczne istotnie zależą od konstrukcji węzłów  oraz połączeń między elementami ze względu na różne mechanizmy przenoszenia deplanacji z rygla na słup lub z belki na belkę (tzn. transformacji bimomentu). Dlatego analiza LBA wykonywana przez programy, w których nie zaimplementowano analizy węzłów jest wystarczająco dokładna tylko w prętach z zachowaniem ciągłości deplanacji  . W tym zakresie poleca się  sprzężenie programu do analizy systemu (np Consteel) z programem do analizy węzłów (np Idea StatiCA).

Współczynniki wyboczeniowe dla sił krytycznych wyznaczonych w zadaniu pomocniczym wyznacza się ze standardowych formuł, analogicznych do (2-3.13), a wskazanych w następujących klauzulach normowych :

Ten sposób podejścia nazwiemy metodą WWEM ( częściowo ogólną)

Obecnie metodę WWEM często używa się do wyznaczenia współczynnika zwichrzenia belki.

Moment krytyczny $M_{cr}$ wyznacza się za pomocą kalkulatora LTBeamN (CTICM, 2013) . Kalkulator LTBeamN jest  użyteczny do wyznaczania mnożnika krytycznego (momentu krytycznego) belek i słupów ciągłych złożonych z elementów ułożonych w linii prostej. Natomiast w przypadku ram (prętów łączonych pod kątem) można posłużyć się programem Consteel , w którym zaimplementowano najważniejsze topologie połączeń w narożach ram: śrubowane lub spawane z żebrami diagonalnymi lub nakładkami.

Metodą WWEM nie będziemy się zajmowali, ponieważ zakładamy, że wyznaczanie a’priori (czyli w procesie projektowania) siły krytycznej następuje w analizie wyboczeniowej całego układu z użyciem programów komputerowych. Również w przypadku ram złożonych z elementów cienkościennych stosujemy współczesne programy z zaimplementowanym uogólnionym prętem ze stopniem swobody paczenia w węzłach. Po przeprowadzeniu takiej analizy, naturalne jest zastosowanie dokładniejszej metody OWM, czyli metody pełnej ogólnej, opisanej w kolejnym punkcie lub stosowanie bezpośrednich metod imperfekcyjnych.

Metoda OWM (pełna ogólna)

Geneza nazwy metody i ograniczenia jej stosowania

W przypadku, gdy nie są miarodajne warunki , pozwalające zastosować metody WEM (HWEM lub WWEM) ), to sprawdzenia stateczności i wytrzymałości elementów należy prowadzić metodą OWM (zotpressInText item=”{TSFWTQGW,kl. 6.3.4.(1)}”]) nazwaną w tej normie „ogólną”, stąd jej nazwa. Metoda ta jest nazywana  jako ogólna, choć w istocie ma ograniczenia i nie powinna być bezkrytycznie stosowana poza przypadkami określonymi w normie, czyli dla:

a) elementów pojedynczych lub złożonych o stałym lub zmiennym przekroju i różnych warunkach podparcia, lub

b) płaskich ram lub podzespołów ram złożonych  z elementów poddanych ściskaniu i/lub jednokierunkowemu zginaniu w płaszczyźnie układu, przy czym zginanie ma charakter sprężysty.

Wynika stąd, że do czasu przeprowadzenia dopuszczających badań – metody ogólnej nie należy bezkrytycznie stosować do  konstrukcji przestrzennych lub obciążonych przestrzennie w tym skręcaniem.

Ograniczenia stosowania metody  OWM są znaczne i w istocie  nie jest ona wcale metodą ogólną

Ponieważ nie są znane jednoznaczne warunki miarodajności metod WEM, więc oznaczałoby to, że metodę ogólną OWM należałoby z ostrożności stosować w każdym przypadku, ale niestety nie  pozwalają na to dopuszczenia metody ogólnej. Dychotomię tą  rozwiązuje zastosowanie metod imperfekcyjnych IM, które stosujemy już bez ograniczeń, a nadto są one łatwiejsze do zastosowania i dokładniejsze. Oznacza to dalsze uproszczenie procesu wymiarowania oraz zbliżenie do logicznych zasad naturalnych.

Ogólne zasady metody OWM

W metodzie OWM używany jest jeden globalny współczynnik niestateczności $\chi_{op}$ wyznaczony dla smukłości względnej $ \overline \lambda_{op}$ układu podatnego na utratę stateczności z płaszczyzny i zwichrzenie elementów wg (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4(1 do 4)).

W nowoczesnych programach komputerowych (np. (Consteel Software, 2019), (Sofistik, 2018)) metoda OWM  jest zaimpelementowana jako podstawowa metoda sprawdzania wytrzymałości i statecznosci konstrukcji.

W metodzie OWM  należy przeprowadzić analizę wyboczeniową systemu (LBA) i określić krytyczny mnożnik obciążeń

  • $\Lambda_{cr}$ (1-1.13) , w EC3 oznaczony  jako $\alpha_{cr,op}$.

Oprócz tego należy określić  graniczny (plastyczny) mnożnik obciążenia

  •  $\Lambda_{pl}$ (1-1.15)  w EC3 oznaczony jako $\alpha_{ult,k}$

Metoda ogólna,zgodnie z teorią uznaje, że cała konstrukcja posiada jeden mnożnik graniczny i krytyczny, co skutkuje jedną dla całej konstrukcji smukłością

$$\begin{equation} \overline \lambda_{op}=\sqrt{\cfrac{\Lambda_{pl}} {\Lambda_{cr}}}= \sqrt{\cfrac{\alpha_{ult,k}}{ \alpha_{cr,op}}} \label {1-3.5} \end{equation}$$

W metodzie OWM wytężenie elementu jest faktycznie wytężeniem przekroju i nie trzeba poszukiwać interakcji wyboczenia, zwichrzenia, ściskania i zginania. Wskazuje to w oczywisty sposób na to, że cały zbiór współczynników korelacji stosowany w klasycznych metodach wymiarowania konstrukcji jest zbiorem nienaturalnych współczynników.
Wszystkie te współczynniki korelacyjne wraz z zespołem współczynników wyboczeniowych wyznaczanych oddzielnie dla każdego elementu i każdej postaci niestateczności okazują się niepotrzebne, bo mogą być zastąpione jednym integralnym współczynnikiem wyboczenia.   W ten sposób upraszcza się proces projektowania, ale również sprowadza zasadę projektowania na zgodną z teorią , a nadto zmniejsza ryzyko pomyłek i błędów obliczeniowych oraz przewymiarowania elementów.

Graniczny, plastyczny mnożnik obciążeń

Zgodnie z EC3, graniczny mnożnik obciążeń $\alpha_{ult,k}$, jest minimalnym mnożnikiem obciążeń obliczeniowych, przy którym przekrój krytyczny osiąga nośność charakterystyczną w warunkach płaskiego stanu deformacji z uwzględnieniem właściwych imperfekcji geometrycznych.

Inaczej mówiąc mnożnik graniczny jest mnożnikiem plastycznym $\Lambda_{pl}$ wyznaczonym zgodnie z teorią nośności granicznej (plastycznej), która jest przedmiotem artykułu Nośność plastyczna konstrukcji.
W przypadku konstrukcji statycznie wyznaczalnej, można wyróżnić jeden przekrój krytyczny (najbardziej wytężony), tzn. taki, który pierwszy osiągnie nośność graniczną i wówczas zgodnie z zasadą graniczny mnożnik obciążeń jest odwrotnością wytężenia $w_{ult}$ przekroju w stanie granicznym $ult

Przy pominięciu sił poprzecznych i momentów skręcających wytężenie jest określone lewą stroną wyrażenia ($\ref{1-3.1}$).  Dla zginania względem większej sztywności $y$, otrzymujemy stąd formułę normową (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.6.65) :

$$\begin{equation} \cfrac{1}{\alpha_{ult,k}} = \cfrac{N_{Ed}}{N_{Rk}}+\cfrac{M_{Ed}}{M_{y,Rk}} \label {1-3.6} \end{equation}$$

W przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, które posiadają strukturalne zapasy nośności, ze względu na jej utratę dopiero po utworzenia się kilku przegubów plastycznych, a nie tylko jednego – mnożnik należy wyznaczać w procedurze nośności granicznej (np. zgodnie z pracą (Chodor, 2016)), przy czym nośność przegubu plastycznego należy wyznaczać z uwzględnieniem interakcji sił przekrojowych, co najmniej momentów zginających i siły osiowej  (np. zgodnie z pracą (Chodor, 2015)). Po to by uzyskać minimalny mnożnik obciążeń należy stosować podejście statyczne.

Krytyczny mnożnik obciążeń

Krytyczny mnożnik obciążeń $\alpha_{cr,op}$  jest minimalną, obliczeniową wartością własną analizy wyboczeniowej  LBA rozpatrywanej części lub całości systemu z warunku niestateczności sprężystej z płaszczyzny układu. Wyboczenie całej konstrukcji z płaszczyzny układu może przybrać formę wyboczenia bocznego (zwichrzenia), giętnego z płaszczyzny lub giętno-skrętnego. W analizie wyboczeniowej sprężystego przestrzennego systemu złożonego z uogólnionych prętów Własowa, nie prowadzi się rozdzielenia poszczególnych fizycznych postaci wyboczenia, ponieważ takie rozdzielenie sprzężonych postaci niestateczności nie jest możliwe, ale też nie jest potrzebne. W takiej analizie przyjmuje się, że mnożnik jest mnożnikiem krytycznym konfiguracji obciążeń obliczeniowych, wybranym jako minimalny z wszystkich teoretycznych postaci wyboczenia (czyli jest zapewne pierwszą wartością własną).

Oszacowania mnożników $\alpha_{cr,op}$ jest możliwe praktycznie tylko metodami numerycznymi. Na rynku funkcjonuje kilka programów, umożliwiających taką analizę (np. (Consteel Software, 2019), (Computer and Structures Inc, 2019), dedykowane do analiz inżynierskich z zastosowaniem uogólnionego elementu prętowego (cienkościennego elementu Własowa).

Współczynnik wyboczeniowy

Smukłość ($\ref{1-3.5}$) zależnie od stosowanej analizy przy wyznaczaniu mnożnika obciążeń  jako minimalnego,  zawiera w sobie korelacje wszystkich uwzględnionych form wyboczenia (wyboczenia giętnego, bocznego itd.).

Integralny (globalny) współczynnik wyboczeniowy $\chi_{op}$ wyznaczany jest dla smukłości ($\ref{1-3.5}$) z klasycznej (2-3.13) wraz z pomocniczymi współczynnikami $\Phi$ (2-3.14) oraz $\Theta$ (2-3.15) zależności dla (*=op).

Parametr klasy imperfekcji $ \alpha_{op} $ przyjmuje się z tab. 1-3.1 jako bardziej niekorzystną (większą) wartość dla przypadku wyboczenia i zwichrzenia. Takie postępowanie jest zgodne z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4((4)a)), w którym mnożnik $\alpha_{ult,k}$ został wyznaczony  jako odwrotność wytężenia przekroju krytycznego zgodnie z formułą ($\ref{1-3.6}$) .

Warunki wytrzymałości i stateczności

W metodzie OWM  zbiór klasycznych warunków stateczności i wytrzymałości elementów systemu  ($\ref {1-3.1}$) przy indywidualnych dla każdego elementu współczynnikach wyboczenia ( w tym zwichrzenia) – zostaje zastąpiony  jednym warunkiem nośności stateczności i wytrzymałości całej konstrukcji w przekroju sprawczym:

$$\begin{equation} \cfrac {\chi_{op} \cdot \alpha_{ult,k} } { \gamma_{M1}} \ge 1 \label {1-3.6a} \end{equation}$$

przy czym w ($\ref{1-3.2}$)  $\gamma_M=\gamma_{M1}=1,1$

Krótka charakterystyka metod imperfekcyjnych

W odróżnieniu od metod wyboczeniowych wymiarowanie konstrukcji metodami imperfekcyjnymi odbywa się na poziomie przekroju i zamiast formuły ($\ref {1-3.1}$)  stosujemy

$$\begin{equation}  \cfrac{N_{Ed}}{ N_{Rd}}+ \cfrac{M_{Ed,y}}{ M_{Rd,y}} + \cfrac{M_{Ed,z}}{ M_{Rd,z}} + \cfrac{B} { B_{Rd}} \le 1 \label {1-3.8} \end{equation}$$

gdzie warunek ($\ref {1-3.1}$) rozszerzono jeszcze o działanie bimomentu $B$

Wymiarowanie metodami imperfekcyjnymi  znamienne jest tym, że siły przekrojowe są wyznaczane z uwzględnieniem  wpływu przemieszczeń na te siły (przynajmniej teoria II rzędu), a także z uwzględnieniem imperfekcji geometrycznych systemu i jego elementów. Stosowanie współczynników wyboczeniowych nie jest potrzebne. Innymi słowy efekty niestateczności odzwierciedlone są w większych siłach przekrojowych i nie należy ich jeszcze powiększać współczynnikami rdeukcyjnymi.

Często stosuje się metodę hybrydową (mieszaną ) HIM , w której imperfekcje przechyłowe uwzględnia się metodą obciążeniową QIM,  natomiast imperfekcje łukowe elementu metodą HWEM na poziomie wydzielonego elementu, traktowanego jak pręt przegubowo- przegubowy, czyli jako zastępczy przypadek elementarny, dla którego długość efektywna $L_{cr}=L$.
Wydzielony element jest wymiarowany na siły drugiego rzędu, uzyskane w systemie obarczonym imperfekcjami globalnymi. Dobrze zilustrowano to w normie do projektowania konstrukcji aluminiowych,  Rys. 3- 4.1b.

Metody imperfekcyjne są w istocie pojęciowo najprostszą metodą sprawdzania wytrzymałości i stateczności systemów konstrukcyjnych i ich elementów i obecnie są zgodne zaleceniami  normowymi (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.5.2.2(3)a). W normach podano tylko ogólny opis metody. Niniejsza praca ma  wypełnić treścią tę ogólną zasadę, tak by inżynierowie mogli ją wdrażać w praktyce projektowej i tak, by umożliwić budowę procedur i komputerowych programów wspomagających projektowanie. Całość podręcznika jest poświęcona imperfekcyjnej metodzie IM projektowania konstrukcji stalowych, żelbetowych i zespolonych ze zwróceniem uwagi na uniwersalne, wspólne cechy metody dla konstrukcji wykonanych z różnych materiałów, więc również+dla konstrukcji hybrydowych.

W niniejszej pracy prezentujemy i analizujemy metody imperfekcyjne IM wskazywane w (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.5.2.2(3)a). Metody IM są naturalnym i w istocie najprostszym sposobem projektowania i obliczania konstrukcji inżynierskich w procedurze wspomaganej komputerowo. Nie występują w niej bezpośrednio elementy klasycznych metod wyboczeniowych, (długości ani współczynniki wyboczeniowe). Metodę IM szczegółowo opiszemy w niniejszym podręczniku, a występuje ona w kilku wersjach wskazanych na początku rozdziału.

Szczególne miejsce będzie zajmowała geometryczna metoda alternatywna AIM, którą uogólnimy do metody UAIM. W metodzie alternatywnej uogólnionej modyfikowanie geometrii systemu należy dokonać poprzez wymuszenie przestrzennych, alternatywnych zajmowała geometryczna metoda alternatywna AIM, którą uogólnimy do metody UAIM. W metodzie alternatywnej uogólnionej modyfikowanie geometrii systemu należy dokonać poprzez wymuszenie przestrzennych, alternatywnych imperfekcji geometrycznych. Taka uogólniona imperfekcja jest właściwa dla utraty stateczności podług dowolnej formy wyboczenia: giętnego, bocznego, skrętnego, i miejscowego od zależności od typu stosowanych elementów skończonych w modelu numerycznym konstrukcji. Uogólniona imperfekcja alternatywna jest skorelowanym probabilistycznie kształtem wyboczenia sprężystego i zniszczenia plastycznego.

Przykłady rachunkowe

Metody wymiarowania konstrukcji przedstawimy na przykładzie prostej belki-słupa, z rys. 1-3.2. o długości $L=5691 \, mm$. Dane do przykładu zaczerpnięto z pracy (Hajdu, Papp, Achim, 2017), dotyczącej klasycznej metody alternatywnej AIM na przypadek zwichrzenia belki-słupa.

Rys.1-3.2 Belka do przykładów 1-3

(Hajdu, Papp, Achim, 2017)

Belka jest wykonana z kształtownika IPE 360 – S235. Charakterystyki pręta zestawiono w tab. 1-3.2

Tab.1-3.2 Charakterystyki przekroju do przykładów 1-3

Belka jest obciążona stałymi po długości siłami przekrojowymi:
$N_{Ed}= 497,364 \, kN$
$M_{Ed,y}= 25,436 \, kNm$

Klasa przekroju belki przy zginaniu z płaszczyzny (• =1) – pomija się dokładne sprawdzenie, które omówiono w artykule Klasy przekroju stalowego.

(1-1.10) $\to$ współczynnik materiałowy $\varepsilon= \sqrt{\cfrac{235}{235}}=1,0$
uwaga pod (1-1.9) $\to$ współczynnik klasy przekroju  $k_•=1$

sztywność giętna boczna $EI_z= 210\cdot 1043,5 \cdot 10^{-2}= 2191,4 \, kN m^2$,
sztywność skrętna  $GI_T= 80 \cdot 37,3 \cdot 10^{-2}= 29,84 \, kN m^2$

Przykład 1-3.1 [Metoda HWEM]

Długości wyboczeniowe

Idealne warunki brzegowe (podparcie widełkowe obu końców belki ze swobodą deplanacji przekrojów końcowych) wskazuje, że:
(rys. 1-1.2a) $\to$ współczynnik długości wyboczeniowej giętnej $ \mu_y=\mu_z=1$
$to$ współczynnik długości wyboczeniowej na zwichrzenie $\mu_{LT}=1$

(1-1.6) $\to$  długość wyboczeniowa  giętna $L_{cr} = L_{cr,y}=L_{cr,z}=1,0 \cdot 5,691=5,691 \, m$
$to$ długość wyboczeniowa zwichrzeniowa $L_{LT}=1,0\cdot 5,691=5,691 \, m$

Wyboczenie giętne

(1-1.9) $\to$  smukłość porównawcza  $\lambda_1=93,9\cdot 1,0=93,9$
(1-3-2) $\to$  smukłość progowa $\overline \lambda_0=0,2$

Wyboczenie w płaszczyźnie zginania

Tab 3-2.1  $\to$ klasa imperfekcji „b”
Tab. (1-3-1) $\to $ $ \alpha_y= 0,34$

$i_y= \sqrt{\cfrac{16265,3}{72,7}}=14,96 \, cm$
(1-1.8) $\to$  $\lambda_y= \cfrac{569,1}{14,96}\cdot 1,0=38,0$
(1-1.7) $ \overline \lambda_y =\cfrac{38,0} {93,9}=0,40$

(2-3.15) $\to$ parametr imperfekcji $\Theta_y=0,34 \cdot ( 0,40- 0,2)=0,068$
(2-3.14) $\to$ współczynnik pomocniczy $\Phi_y=1/2 \cdot \left ( 1+0,068+ 0,40^2 \right )=0,617$
(2-3.13) $\to$ współczynnik wyboczenia $\chi_y=\cfrac{1}{0,568 +\sqrt{0,568^2+ 0,40^2}}=0,924$

Wyboczenie z płaszczyzny zginania

Tab 3-2.1  $\to$ klasa imperfekcji „c”
Tab. (1-3-1) $\to$ $\alpha_z= 0,49$

$i_z= \sqrt{\cfrac{1043,5}{72,7}}=3,79 \, cm$
(1-1.8)  $\to$  $\lambda_z= \cfrac{569,1}{3,79}\cdot 1,0=150,2$
(1-1.7) $ \overline \lambda_z =\cfrac{150,2}{93,9}=1,60$

(2-3.15) $\to$ parametr imperfekcji $\Theta_z=0,49 \cdot (0,40-0,2)=0,686$
(2-3.14) $\to$ współczynnik pomocniczy $\Phi_z=1/2 \cdot \left ( 1+0,068+ 0,40^2 \right )=2,122$
(2-3.13) $\to$ współczynnik wyboczenia $\chi_z=\cfrac{1}{2,122 +\sqrt{2,122^2+ 0,40^2}}=0,284 $

Wyboczenie boczne (zwichrzenie)

Tab 3-2.2  $\to$ klasa imperfekcji „b” (przypadek ogólny)
Tab. (1-3-1) $\to $ $ \alpha_{LT}= 0,34$

Rozpatrujemy  przypadek elementarny  czystego zginania i widełkowego podparcia na podporze, w którym przy zaniedbaniu sztywności skrętnej $GI_T$ w stosunku do sztywności giętnych można zastosować aproksymację:

promień bezwładności osiowy  $i_0=\sqrt{i_y^2+i_z^2}=\sqrt{14,96^2+3,79^2}=15,43 \, cm$
smukłość zwichrzenia $\lambda_{LT}= \cfrac{569,1}{15,43}\cdot 1,0=36,88$
smukłość względna  $ \overline \lambda_{LT} =\cfrac{36,88}{93,9}=0,39$

(2-3.15) $\to$ parametr imperfekcji $\Theta_y=0,34 \cdot ( 0,39- 0,2)=0,0656$
(2-3.14) $\to$ współczynnik pomocniczy $\Phi_y=1/2 \cdot \left ( 1+0,066+ 0,39^2 \right )=0,610$
(2-3.13) $\to$ współczynnik wyboczenia $\chi_y=\cfrac{1}{0,610 +\sqrt{0,610^2+ 0,40^2}}=0,929$

Współczynniki interakcji

Współczynniki interakcji wyznaczamy metodą 2 wg (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Zał.B)

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Tab B.3) $\to$ $C_{my}=C_{mz}=C_{mLT} = 0,6=0,4 \cdot \psi =0,6+0,4 \cdot 1=1$,  gdzie $\psi=1$ dla stałego momentu zginającego po długości elementu.

$N_{Rd}= N_{Rk} / \gamma_{M1}= 1709,2/1,1= 1553,8 \, kN$

(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, Tab B.2):

$k_{yy}=C_{my} \cdot \left[ 1+( \overline \lambda_y – 0,2 ) \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_y \cdot N_{Rd}} \right ]=

=1 \cdot \left [1+(0,40-0,2) \cfrac{497,364}{0,924 \cdot 1553,8}\right]=1,07$

$k_{zz}=C_{mz} \cdot \left[ 1+( 2\cdot \overline \lambda_z – 0,6 ) \cdot \cfrac{N_{Ed}} { \chi_z \cdot N_{Rd}} \right ]=

=1 \cdot \left [1+(2\cdot 1,60 -0,6) \cfrac{497,364}{0,284 \cdot 1553,8}\right]=3,25$

$k_{yz}= 0,6 \cdot k_{zz}=0,6 cdot 3,25=1,95$
$k_{zy}= 0,6 \cdot k_{yy}=0,6 cdot 1,07=0,642$

Wytężenie belki-słupa

 

Przykład 1-3.1 [Belka-słup – metoda WWEM]

(1-1.5) $N_{cr,z}=\cfrac{\pi^2 \cdot EI_z}{(l_{cr,z}^2}\cfrac{\pi^2 \cdot 2191,4} {5,691^2} = 667,8 \, kN$

Krytyczny moment zginający ze wzoru  Własowa

 

$M_{cr}= C_1 \cdot N_{cr,z} \sqrt{\left( \cfrac{I_\omega}{I_z}+\cfrac{ G I_T}{N_{cr,z} }\right)}

$M_{cr}= 1,0  \cdot N_{cr,z} \sqrt{\left( \cfrac{I_\omega}{I_z}+\cfrac{ G I_T}{N_{cr,z} }\right)}
=1,0 \cdot 667,8 \cdot \sqrt{\left( \cfrac{313600}{1043,5} \cdot 10^{-4} +\cfrac{ 29,84}{667,8}\right) }= 182,4 \, kNm$

Smukłości pręta

(1-1.3) $\overline \lambda_z = \sqrt{\cfrac{1709,2}{667,8}}=1,60$
(1-1.4) $\overline \lambda_{LT} = \sqrt{\cfrac{212,4}{182,4}}=1,08$

Współczynniki wyboczenia

 

 

 

 

 


[następne: R2-1] [ Imperfekcje i ich źródła]

Niniejszy artykuł jest częścią 4. rozdziału 1. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]


Historia edycji:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika. Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami po opracowaniu części rozdziału.
Wersja 1.0 (2019-04-07) – pierwsza wersja artykułu
Wersja 2.0 (2019-05-26) – podzielono na artykuły internetowe i zaopatrzono w połączenia odnośnikami

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w tekście

Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
CTICM. (2013). LTBeamN  (1.03) (Version 1.0.3). Retrieved from https://www.cticm.com/logiciel/ltbeamn/
Chodor, L. (2015, November 10). Plastyczna interakcja ściskania i dwuosiowego zginania. Retrieved November 23, 2015, from http://chodor-projekt.net/encyclopedia/interakcja-plastyczna-sily-osiowej-i-dwuosiowego-zginania/
Computer and Structures Inc. (2019). SAP2000. Structural Software for Analysis and Design (Version 21). Retrieved from https://www.csiamerica.com/products/sap2000
Consteel Software. (2019). ConSteel 12 Manual. Retrieved from http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents
Hajdu, G., Papp, F., & Achim, R. (2017). Vollständige äquivalente Imperfektionsmethode für biege- und druckbeanspruchte Stahlträger. Stahlbau, 86(6), 483–495.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-6. Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-6: Wytrzymałość i stateczność konstrukcji powłokowych (2010). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych -  Część 1-7: Konstrukcje płytowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
Sofistik. (2018). Sofistik. Imperfection Concept. Retrieved from /www.sofistik.de/documentation/2018/en/tutorials/steel-design/imperfection/imperfection.html

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »