Imperfekcyjna metoda projektowania. Wprowadzenie [R1-1]

| [następne R1-2] [ Klasyfikacja teorii drugiego rzędu]


Do wszystkich typów konstrukcji (stalowe, żelbetowe, drewniane, murowe) stosuje się wspólną metodologię projektowania konstrukcji z zastosowaniem metody imperfekcyjnej. Uproszczone metody z wykorzystaniem współczynników wyboczeniowych  (redukcyjnych)  są historyczne i nie są już zalecane w projektowaniu profesjonalnym.

Wrażliwość konstrukcji na imperfekcje można skojarzyć z wrażliwością na efekty drugiego rzędu, a wrażliwość ta jest związana z kryterium 5% odkształceń.

Podręcznik powstał na bazie praktyki projektowej wspomaganej metodami komputerowymi, a przede wszystkim po kilkunastoletniej już obserwacji wielu ważnych obiektów budowlanych zrealizowanych na podstawie projektów autora. Mam nadzieję, że niniejszy podręcznik spopularyzuje współczesną, imperfekcyjną metodę projektowania konstrukcji i przyczyni się do jej powszechnego stosowania w praktyce projektowej zamiast historycznych  metod wyboczeniowych.

Leszek Chodor

Wprowadzenie

Cel i zakres publikacji

Artykuł jest pierwszą częścią podręcznika  Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji.

Zaprezentowano podstawy metody imperfekcyjnej w odmianach geometrycznych i alternatywnych imperfekcji oraz równoważnych, fikcyjnych obciążeń. Na podstawie wieloletniej praktyki projektowej oraz wielu symulacji numerycznych pokazano praktyczny i prosty algorytm inżynierski obliczania i projektowania rzeczywistych konstrukcji obarczonych imperfekcjami z uwzględnieniem nieliniowych efektów geometrycznych oraz wielorakich form niestateczności prętów: vwyboczenia giętnego, skrętnego, i bocznego – zwichrzenia.

Zamieszczono liczne  przykłady rachunkowe  dla szeregu rodzajów konstrukcji. Przykłady wykonano współczesnym programem obliczeniowym  (Consteel Software, 2019) w których zaimplementowano uogólniony element prętowy- cienkościenny element Własowa (Vlasov, 1959) o siedmiu stopniach swobody (z paczeniem i bimomentem jako dodatkowym przemieszczeniem i siłą przekrojową).

Prezentowany w konkluzji podręcznika algorytm jest uogólnieniem alternatywnej, imperfekcyjnej metody geometrycznej wdrożonej przez  (Chladny, 1974) i szczegółowo przedstawionej w pracy (Chladny, Stujberova, 2013) oraz kolejnych. Alternatywna metoda imperfekcyjna jest zalecana do stosowania przez współczesne normy do projektowania konstrukcji w tym (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006), a polega na założeniu kształtu imperfekcji w formie przeskalowanej, pierwszej  sprężystej postaci wyboczenia. Taka zintegrowana imperfekcja opisuje zarówno imperfekcje łukowe jak i przechyłowe.

Podstawowe problemy opisane w podręczniku

Badania nad metodą imperfekcyjną prowadzone w tej pracy zmierzają w kierunku opisu nastepujących fundamentalnych problemów:

1.  Zaprezentowanie metody analizy konstrukcji, umożliwiającej zautomatyzowany proces obliczeń, uwzględniający wielorakie, sprzężone formy utraty stateczności i korelacje między nimi – bez stosowania skomplikowanego systemu normowych współczynników redukcyjnych (wyboczeniowych) przypisanych do wyodrębnianych form utraty stateczności, wraz z systemem współczynników korelacji form wyboczenia wydzielonych elementów,

2. Opisanie imperfekcji kształtem zniszczenia granicznego, wyznaczonym z warunku sprężystej niestateczności oraz zniszczenia plastycznego lub uogólnionych przegubów w konstrukcjach żelbetowych, zespolonych drewnianych i murowych.

3. Opisanie losowego charakteru imperfekcji i probabilistycznej alternatywy typów imperfekcji, a także mechanizmów zniszczenia konstrukcji: wyboczenia sprężystego i utworzenia mechanizmu plastycznego.

4. Zdefiniowanie klas wrażliwości konstrukcji i elementów konstrukcyjnych na lokalne (łukowe) imperfekcje geometryczne, których uwzględnienie w modelu konstrukcji i kombinacjach jest utrudnione.

Uogólniona, imperfekcyjna metoda alternatywna – metodą rozwiązania problemów

Do rozwiązania postawionych zagadnień uogólniono imperfekcyjną metodę alternatywną poprzez wyznaczenie strzałki imperfekcji sprężysto-plastycznych. Prezentowane uogólnienie polega na ogarnięciu tą metodą:
1) wszystkich form utraty stateczności, możliwych do ujawnienia w numerycznym modelu konstrukcji,
2) traktowaniu imperfekcji, jako „losowej sumy” imperfekcji przeskalowanej z postaci sprężystej utraty stateczności systemu oraz stowarzyszonej z postacią utraty nośności plastycznej. Losowe imperfekcje opisano rozkładem Gumbela maksimów, a alternatywę typów imperfekcji oraz mechanizmów zniszczenia potraktowano, jako losowe zdarzenie łączne niezależnych losowo zdarzeń brzegowych.

W prezentowamej metodzie sprężystej postaci utraty stateczności systemu – nie traktuje się , jako ortodoksyjnego wzorca zintegrowanych (łącznie globalnych -przechyłowych  i lokalnych- łukowych ) imperfekcji systemu.  W to miejsce wprowadza się podejście sprężysto-plastyczne i dodatkowo „rozmyte”  na skutek losowego charakteru tych zjawisk, to znaczy podejście rzeczywiste, generalnie prowadzące do zwiększenia nośności systemu, ale w szczególnych przypadkach ujawniające niedobory nośności w stosunku do metod dotychczas stosowanych.

Zakres podręcznika

Metodę imperfekcyjną projektowania konstrukcji przedstawiono na przykładzie prętowych konstrukcji stalowych, żelbetowych, zespolonych, drewnianych i murowych. Nie analizowano konstrukcji powłokowych (PN-EN 1993-1-6, 2010), płytowych (PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1, 2008), blachownic  (PN-EN 1993-1-5, 2008) i innych specjalnych. Konstrukcje te powinny być przedmiotem odrębnych monografii, choć ogólne zasady przedstawione w tym podręczniku wymagają tylko drobnych modyfikacji. Rozważono sytuacje, które nie zawierają wpływów pożaru oraz zmęczenia.

Wstępne niedoskonałości konstrukcji i metody ich uwzględnienia

Wszystkie systemy konstrukcyjne są obarczone losowymi imperfekcjami i nie da się tego uniknąć.

Wstępne niedoskonałości (imperfekcje) konstrukcji, takie jak wstępne wygięcia i naprężenia resztkowe, są jednym z głównych powodów nieliniowego zachowania systemów i elementów konstrukcyjnych oraz mają znaczny wpływ na wytrzymałość i stateczność całego systemu. Imperfekcje mogą być szkodliwe lub korzystne zależnie od kształtu i wielkości odchyłek od kształtu idealnego. (np. (Kim, Lee, 2002)), choć najczęściej istotnie zmniejszają wytrzymałość konstrukcji (np. , (Rossow, Barley, Lee, 1967) ).

Historyczna i współczesna metoda uwzględnienia imperfekcji konstrukcji

W celu uwzględnienia wpływu imperfekcji na pracę konstrukcji stosowane jest wiele podejść, które można zakwalifikować do jednego z dwóch rodzajów:
1. WM metody wyboczeniowe (historyczne), polegające na redukcji sztywności konstrukcji poprzez zastosowanie systemu współczynników wyboczeniowych. Zredukowane nośności elementów odnosi się do sił przekrojowych, uzyskanych z analizy 1 rzędu konstrukcji nominalnej (bez imperfekcji).
2. IMmetody imperfekcyjne (współczesne), polegające na amplifikowaniu sił przekrojowych, które odnosi się do nominalnej wytrzymałości przekrojów (a nie elementów). Amplifikacja sił następuje podczas nieliniowych geometrycznie obliczeń na konstrukcji z wymuszonymi geometrycznymi imperfekcjami systemowymi.

W metodach wyboczeniowych WM imperfekcje są uwzględniane w sposób pośredni poprzez współczynniki redukcyjne (wyboczeniowe), specyfikowane mieszanymi metodami eksperymentalno-analitycznymi. Funkcjonuje skomplikowany system kilkunastu współczynników wyboczeniowych i współczynników korelacji form wyboczenia. Metody wyboczeniowe prowadzą do akceptowanych przez inżynierów wyników przybliżonych,

W metodach imperfekcyjnych IM niedoskonałości systemowe są uwzględniane w sposób bezpośredni poprzez wymuszenie fikcyjnych imperfekcji geometrycznych lub obciążenie systemu fikcyjnymi siłami równoważnymi imperfekcjom geometrycznym. Odmiany metod imperfekcyjnych wynikają ze sposobu wyznaczania fikcyjnych wymuszeń imperfekcjami, w tym ze sposobu szacowania amplitudy imperfekcji geometrycznych. Metody imperfekcyjne są w zasadzie wolne od skomplikowanego systemu współczynników wyboczeniowych, a jednocześnie prowadzą do dokładniejszych wyników i z reguły bardziej ekonomicznych projektów, co jest szczególnie ważne w erze energooszczędności i zrównoważonego rozwoju oraz projektowania.

Metody Imperfekcyjne IM wymagają przeprowadzenia analizy geometrycznie nieliniowej (GNA) drugiego lub wyższego rzędu dla całego przestrzennego modelu konstrukcji. Analiza GNA będzie skuteczna, jeśli konstrukcja zostanie wytrącona z położenia równowagi prostej (przedbifurkacyjnej) do położenia równowagi odkształconej. W celu wytrącenia konstrukcji z położenia nominalnego obciąża się ją niewielkimi fikcyjnymi siłami poziomymi lub bezpośrednio wymusza zmianę geometria układu o niewielkie odchylenia od położenia nominalnego. Te niewielkie odchylenia geometryczne, to właśnie imperfekcje systemowe, a siły fikcyjne uzyskuje się poprzez zamianę kinematycznych warunków brzegowych na statyczne warunki brzegowe, co jest możliwe zgodnie z podstawowymi zasadami teorii sprężystości i plastyczności (np (Piechnik, 2007)).

Rozwój numerycznych metod analizy konstrukcji w kierunku uwzględnienia imperfekcji

Współczesna praktyka projektowania i metody imperfekcyjne są nierozerwalnie związane z rozwojem procedur numerycznych, a szczególnie z implementacją nowoczesnych teorii i metod obliczeń statycznych oraz wymiarowania elementów, których zastosowanie w tradycyjnych sposobach projektowania byłoby żmudne, a często wręcz niemożliwe.

Metody imperfekcyjne stały się dostępne do powszechnego stosowania w związku z zaimplementowaniem stosownych metod i sposobów postępowania w szeregu inżynierskich programach obliczeniowych, a przede wszystkim: Consteel+csJoint (Consteel Software, 2019) , RFEM, RSTAB (Dlubal Software, 2019), SAP2000 (Computer and Structures Inc, 2019), SCIA (SCIA A Nemetschek Company, 2018),  Sofistik (Sofistik, 2018).

Wraz z rozwojem inżynierskich programów obliczeniowych coraz szerzej zaczyna być stosowane podejście ogólne OM, polegające na wyznaczeniu jednego współczynnika wyboczeniowego dla całego systemu na podstawie smukłości całego systemu, a nie dla wydzielonych prętów. Autor, nie poleca do stosowania praktycznego również tej metody, mimo że jest nareszcie zgodna z teoretycznymi podstawami teorii konstrukcji, a przez to znacznie dokładniejsza od klasycznych metod wyboczeniowych stosowanych dla wyodrębnionych prętów. W podręczniku polecane są metody imperfekcyjne IM, przede wszystkim  w wersji uogólnionej metody alternatywnej UAIM. 

Uniwersalność metod imperfekcyjnych dla  rodzaju materiału konstrukcji

Fundamentalne zasady metody imperfekcyjnej są wspólne dla podstawowych rodzajów konstrukcji budowlanych:
betonowych, żelbetowych i sprężonych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008),
stalowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006),
zespolonych (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008),
drewnianych (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010),
murowych (PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2, 2013),
aluminiowych  (PN-EN 1999-1-1, 2010).

Powyżej rodzaje konstrukcji wymieniono w kolejności numerów norm Eurokod. Chronologicznie pierwsza była opublikowana norma do projektowania konstrukcji stalowych (2006), w której sformułowano oryginalną wersję metod imperfekcyjnych. Wersję tę udoskonalano w kolejnych normach, a w szczególności do projektowania konstrukcji zespolonych (2008) i aluminiowych (2010), a nawet żelbetowych (2008). Mniej istotne są zasady podane w normach do projektowania konstrukcji drewnianych (2010) i murowych (2013), gdzie obliczenia drugiego rzędu potraktowano marginalnie.

Z analizy postanowień  różnych normach wynika, że da się sformułować wspólne zasady, a normy późniejsze podają ulepszone zasady w stosunku do normy stalowej. W niniejszym podręczniku usystematyzowano wiedzę w tym zakresie,  podano zasady uogólnione, wspólne dla wszystkich rodzajów konstrukcji, a w konsekwencji zaproponowano uproszczenie zasad projektowania konstrukcji stalowych, w szczególności poprzez ograniczenie liczby krzywych wyboczeniowych (klas imperfekcji łukowych) do jednej istotnej na akceptowalnym poziomie ufności.

Metody imperfekcyjne w praktyce projektowej

Z praktyki projektowej wynika, metody imperfekcyjne stanowią tak istotny przełom dla teorii i praktyki projektowania konstrukcji, że są wprowadzane do praktyki z ostrożnością, a wręcz oporem. Nadal powszechnie stosowana jest metoda współczynników wyboczeniowych, w której stosuje się pół-empiryczne formuły projektowe.

Autor od kilkunastu lat,  jeszcze przed wejściem w życie norm Eurokod, w licznych, ważnych projektach konstrukcji stalowych, żelbetowych i zespolonych zrealizowanych w Polsce i Europie,  stosował  metodę wymiarowania prezentowaną w pracy, a mianowicie metodę imperfekcyjną, polegająca na obciążeniu konstrukcji siłami równoważnymi od imperfekcji i prowadzeniu nieliniowej geometrycznie analizy statycznej, a następnie wymiarowaniu elementów w modelu przestrzennym konstrukcji, bez wydzielania prętów oraz bez stosowania współczynników wyboczeniowych (redukcyjnych). O poprawności metody świadczy to, że konstrukcje są użytkowane bezawaryjnie od wielu lat, a o skuteczności metody świadczy to, że konstrukcje zostały zaprojektowane tak optymalnie, że nie przynosiły efektów wielokrotne próby ich zoptymalizowania przez niezależnych ekspertów.

Uogólniona nośność krytyczna konstrukcji

Nośność krytyczna i plastyczna konstrukcji z imperfekcjami

Imperfekcje systemu i jego elementów powodują, że idealne zachowanie opisywane klasycznymi modelami:
1) wyboczeniowym, LBA ( Linear Bifurcation Analysis), w którym definiuje się nośność krytyczną $\Lambda_{cr}$, oraz
2) teorii nośności granicznej, w którym definiuje się nośność plastyczną $\Lambda_{pl}$

– nie jest obserwowane w pracy rzeczywistej konstrukcji dla której jest definiowana nośność graniczna $\Lambda_{lim}$.

Pręt rzeczywisty nie ulegnie „czystemu” wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany, więc właściwa dla niego jest analiza nieliniowa, a dla słabo lub średnio nieliniowych konstrukcji, stanowiących większość układów inżynierskich – analiza drugiego rzędu.

Rozróżnienie nośności granicznej $\Lambda_{lim}$ oraz krytycznej $\Lambda_{cr}$ i plastycznej $\Lambda_{pl}$ omówiono w artykule Nośność graniczna, a nośność krytyczna i plastyczna. Na rys. 1,1. przedstawiono konkluzję z tych rozważań i definicję nośności granicznej $\Lambda_{lim}$ jako maksimum na nieliniowej ścieżce równowagi przemieszczenie sprawcze $u$ – mnożnik obciążenia $\Lambda$.

Rys.1,1 Definicja nieliniowego obciążenia krytycznego

Mnożnik obciążenia krytycznego $\Lambda_{cr}$ uzyskiwany w klasycznej analizie LBA jest taką wartością obciążenia konstrukcji przy której element, część lub całość konstrukcji traci stateczność w sensie matematycznym.  $\Lambda_{cr}$ należy traktować jako przypadek szczególny mnożnika obciążenia granicznego $\Lambda_{lim}$. Punkt graniczny będziemy nazywać uogólnionym punktem krytycznym. Jego położenia nie da się wyznaczyć w klasycznej analizie LBA. Wystarczające dla  przybliżenie można uzyskać podczas uogólnionej procedury, która jest prowadzona przy zmieniającym się stopniowo schemacie konstrukcji w miarę pojawiania się nowych przegubów plastycznych w miejscach maksymalnej krzywizny (momentów zginających) uzyskanych w iteracji poprzedzającej.

Uogólnioną sprawczą postacią sprężystej utraty stateczności systemu jest postać odpowiadająca najniższej wartości własnej (najmniejszemu mnożnikowi obciążeń) w granicznym schemacie konstrukcji. Graniczny, plastyczny schemat konstrukcji zostanie osiągnięty po ukształtowaniu się ostatniego przegubu plastycznego potrzebnego do uruchomienia mechanizmu plastycznego. Ponieważ w rzeczywistości przeguby plastyczne w stanie granicznym formują się jednocześnie (Chodor, 1986), więc nie trzeba uwzględniać form utraty stateczności w schematach poprzedzających. Obliczenia iteracyjne są potrzebne wyłącznie do opisu stanu granicznego w procesie pushover (Chodor, Podstawka, 2009).

Opisany wyżej model stanowi podstawowe założenie uogólnionej metody stosowanej w pracy. Założenie jest  zgodne z szerokimi badaniami (Godoy, 1998) i innych (np. (Babcock, 1974), (Elishakoff, Arbocz, 1985) ). W pracach tych pokazano, że w sytuacjach rzeczywistych, „czyste” postacie wyboczenia sprężystego praktycznie nie realizują się lub realizują na statystycznie nieistotnym poziomie nawet przy współczynniku niezawodności budynków i budowli β>3 . Można to wykazać również teoretycznie po zastosowaniu podstawowych twierdzeń metody funkcji ważności, stosowanej w losowych symulacjach Monte Carlo (np. (Chodor, 2015) , (Rolski, 2013)). To samo można wykazać stosując podejście (Shanley, 1947), a nie (Ayrton, Perry, 1886), to znaczy podejście niesprężyste, opisujące rzeczywistą utratę stateczności.

Smukłość i współczynnik amplifikacji

Tradycyjną analizą, stosowaną w projektowaniu konstrukcji wrażliwych na efekty niestateczności jest analiza wyboczeniowa. W podejściu inżynierskim jest ona realizowana z użyciem współczynników wyboczeniowych (najczęściej wyboczenia giętnego lub bocznego – zwichrzenia). Istotę współczynnika wyboczeniowego $\chi$ dobrze oddaje jego nazwa angielska reduction factor, czyli współczynnik redukcyjny, bo określa on redukcję (zmniejszenie) nośności elementu $F_{Rb}$  w stosunku do nośności przekroju  sprawczego tego elementu$F_R$.

$$\begin{equation}  \chi=\cfrac{F_{Rb}}{F_R} \label {1-1.1} \end{equation}$$

Współczynnik ($\ref{1-1.1}$) uwzględnia efekty niestateczności elementu (wyboczenie giętne lub skrętne lub giętno-skrętne, w tym zwichrzenie) i jest nieliniową funkcją smukłości elementu,. Przekrój sprawczy jest przekrojem elementu, który decyduje o jego nośności i jest nazywany rónież przekrojem wymiarującym lub krytycznym. Tego ostatniego określenia nie używamy, bo słowo „krytyczny” rezerwujemy dla zjawiska utraty stateczności, a ogólniej stabilności.

Smukłość elementu

W przepisach normowych Eurokod wprowadzono  definicję smukłości względnej pręta, jako pierwiastek ze stosunku nośności przekroju do nośności krytycznej elementu. Definicja ta w zapisie obejmującym kilka przypadków wyboczenia (*=_, ,LT, T, TF) i klas przekrojów (•= 1, 2, 3, 4) jest następująca:

$$\begin{equation}  \overline \lambda_* =\sqrt{\cfrac{F_{R•}}{F_{cr*}}} \label {1-1.2} \end{equation}$$
gdzie:
* indeks przypadków wyboczenia:  _ (spacja) – wyboczenie giętne, LT- zwichrzenie (wyboczenie boczne), T- wyboczenie skrętne, TF – wyboczenie giętno-skrętne
• indeks klasy przekroju: 1,2,3,4, które omówiono w artykule Klasy przekroju stalowego. Przekroje żelbetowe oraz zespolone (a także drewniane) rozpatruje się analogicznie jak przekroje stalowe klasy 3 (metodami teorii sprężystości), ale z uwzględnieniem nieliniowego zachowania betonu oraz wpływu czasu i pełzania na wytrzymałość drewna.
$F_{R•}$ – nośność sprężysta (po uplastycznieniu lub utracie wytrzymałości tylko jednego punktu przekroju) – mierzona siłą przekrojową F (siłą osiową N, lub momentem zginającym M, lub momentem skręcającym T, lub bimomentem Bω, itd.), odpowiednia dla klasy przekroju (•=1,2,3,4), na przykład: $N_{R,1,2,3} = A \cdot f_y$, $N_{R4}= A_{eff} \cdot  f_y$; $M_R= W_y \cdot f_y$ , itd.
$F_{cr*}$ – nośność krytyczna elementu przy niestateczności typu *.
Dla przypadku wyboczenia giętnego (*=_)  smukłość ($\ref{1-1.2}$) wyraża się formułą
$$\begin{equation}  \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{N_{R}}{N_{cr}}} \label {1-1.3} \end{equation}$$
gdzie  nośność przekroju na ściskanie  $N_R=A \cdot f_y$ , ( A- pole przekroju, $f_y$ – wytrzymałość materiału – granica plastyczności dla stali), a $N_{cr}$ jest siłą krytyczną (Eulera), przy której element traci stateczność i wybacza się.
Dla przypadku  wyboczenia bocznego (zwichrzenia) (*=LT):
$$\begin{equation}  \overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_{R}}{M_{cr}}} \label {1-1.4} \end{equation}$$
gdzie nośność przekroju na zginanie $M_{R}=W\cdot f_y$, ( W – wskaźnik wytrzymałości przekroju, f_y jak wyżej), a $M_{cr}$ jest zginającym momentem krytycznym (Własowa), przy której element traci stateczności przez utratę płaskiej postaci zginania (zwichrzenie).
Osiowa siła krytyczna $N_{cr}$ nazywana często siłą  Eulera $N_E$  i jest obliczana ze wzoru:
$$\begin{equation}  N_{cr}= \cfrac{\pi^2 \cdot EI} {L^2_{cr}} \label {1-1.5} \end{equation}$$

Moment krytyczny $M_{cr}$ wyraża się bardziej zlożonymi zależnościami i w praktyce wyznacza numerycznie, np za pomoca programu  LTBEAM (CTICM, 2013).

Siła krytyczna ($\ref{1-1.5}$) opisuje wyboczenie giętne idealnie prostego pręta o długości L i momencie bezwładności przekroju I, ściskanego czystą siłą osiową N. Pręt wykonany jest z materiału idealnie sprężystego o module Younga E. Wartość obciążenia osiowego pręta ($\ref{1-1.5}$) pierwiastkiem równania różniczkowego pręta zginanego i ściskanego, które uzyskał Euler już w XVIII w. i oznacza siłę, przy której następuje bifurkacja (rozdwojenie) stanu równowagi pręta, to znaczy punkt na ścieżce równowagi. w którym pręt może przeskoczyć ze stanu równowagi prostoliniowej do stanu równowagi krzywoliniowej. Takie zjawisko nazwano wyboczeniem.

Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ jest nazywana długością Eulera $L_E$ i w praktyce wyznacza się ją z zależności:
$$\begin{equation}  L_{cr}= \mu \cdot L \label {1-1.6} \end{equation}$$
gdzie:
$\mu$ – współczynnik długości wyboczeniowej,
L- długość teoretyczna pręta.

Wprowadzenie wzoru Eulera ($\ref{1-1.5}$) do formuły ($\ref{1-1.3}$) umożliwia otrzymanie klasycznej, powszechnie stosowanej również dzisiaj, postaci wyrażenia na smukłość względną $ \overline \lambda$ pręta ściskanego o smukłości bezwzględnej  $\lambda$ (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)):
$$\begin{equation}  \overline \lambda = \cfrac {\lambda} {\lambda_1}  \label {1-1.7} \end{equation}$$
gdzie:
bezwzględna smukłość pręta
$$\begin{equation}  \lambda = \cfrac{L_{cr}}{i} \cdot k_•  \label {1-1.8} \end{equation}$$
smukłość porównawcza (dla elementu stalowego)
$$\begin{equation}  \lambda_1=\pi \sqrt{\cfrac{E}{f_y}}=93,9\cdot \varepsilon \label {1-1.9} \end{equation}$$
gdzie współczynnik klasy przekroju  $k_•$ =1 dla przekroju klasy (•=1,2 i 3) oraz  $k_•=\sqrt{\cfrac {A_{eff}} {A}}$ dla przekroju klasy (• = 4) oraz współczynnik materiałowy
$$\begin{equation} \varepsilon= \sqrt{\cfrac{235}{f_y}} \label {1-1.10} \end{equation}$$
jest specyficzny dla konstrukcji stalowych.
Dla elementów żelbetowych, zespolonyh i drewnianych wyrażenia ($\ref{1-1.9}$) i ($\ref{1-1.10}$) wymagają modyfikacji w sposób pokazany w dalszej części podręcznika.
Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ wg ($\ref{1-1.6}$) jest nazywana często (np w konstrukcjach żelbetowych) długością efektywną.

W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej (rys.1.2). Nie powinniśmy tego robić, bo może to  wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez doprowadzenie do przekonania, że maksymalna wartość współczynnika μ wynosi 2 (jak dla wspornika). Jest to szkodliwa informacja, bowiem faktycznie współczynnik długości wyboczeniowej μ  pręta może być znacznie większy od 2 i przyjąć wartości z przedziału:

$$\begin{equation}  0,5 \le \mu \le \infty   \label {1-1.11} \end{equation}$$
gdzie:
$\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta obustronnie idealnie utwierdzonego (o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania) (Rys.1.2d),
$\mu=1,0 $ opowiada prętowi podpartemu nieprzesuwnie i idealnie przegubowo na obu końcach (Rys.1.2a),
$\mu=\infty$ dotyczy pręta obustronnie sprężyście podpartego w podporach o zerowych sztywnościach (czyli pręta swobodnie zawieszonego w przestrzeni) (Rys.1.2g),

Rys.1.2.  Bazowe postacie wyboczenia

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, rys 5.7)

Następnie należy stwierdzić, ze rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:
1) oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta,
2) przekrój pręta i parametry materiałowe nie są stałe po długości, ze względu na niedoskonałości hutnicze, wpływające na charakterystyki przekroju,
3) siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co ważniejsze ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy słupa – pręt w zasadzie od początku pracy jest obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.
W rzeczywistości nigdy nie będziemy mieli do czynienia z „czystym” ściskaniem, ale ze zginaniem ze ściskaniem, a do analizy takiego zagadnienia właściwe są metody co najmniej drugiego rzędu

Współczynnik amplifikacji

Wzór Eulera ($\ref{1-1.5}$) nie powinien być bezkrytycznie stosowany w odniesieniu do pręta rzeczywistego – jest bowiem słuszny wyłącznie dla innego jakościowo przypadku – dla ściskanego pręta idealnego. Wzór ten ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważący przykład w teorii katastrof  (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności układów idealnych w naukach podstawowych: matematyce, fizyce i mechanice.

Rozważmy dowolną konstrukcję poddana dowolnemu (siły skupione, rozłożone, termiczne,wymuszenia geometryczne), zewnętrznemu obciążeniu w konfiguracji obliczeniowej $F_{Ed}$. Załóżmy, że podczas zwiększania wartości obciążenia proporcjonalnie do mnożnika $\Lambda$ – pod obciążeniem $F_{cr}=Λ_{cr} \cdot F_{Ed}$ nastąpi utrata stateczności konstrukcji.  Można wykazać (Rozdział „Geneza Metod imperfekcyjnych” – wzór (18)), że przemieszczenia i siły przekrojowe  II rzędu można uzyskać poprzez przemnożenie wielkości I rzędu przez współczynnik amplifikacji (wzmocnienia)

$$\begin{equation}  a_\Lambda= \cfrac {1}{1-\cfrac{1}{\Lambda_{cr}}}  \label {1-1.12} \end{equation}$$
gdzie
$$\begin{equation}  \Lambda_{cr}= \cfrac {F_{cr}}{F_{Ed}} \label {1-1.13} \end{equation}$$
a obciążenie krytyczne  jest obciążeniem Eulera, równym dla prostego pręta sile Eulera $F_{cr}=N_{cr}$  ($\ref{1-1.5}$) obliczonej dla $L_{cr}=L$ .

 Przy zbliżaniu się do stanu krytycznego,mamy;

$$\begin{equation}  \lim \limits _{F_{Ed}\to F_{cr}} \, a_\Lambda = \infty \label {1-1.14} \end{equation}$$

Przez analogię w innych stanach granicznych, będą definiowane odpowiednie mnożniki obciążenia, uznawane za nośność konstrukcji zgodnie z przyjętym kryterium stanu granicznego. Przykładowo w granicznym stanie plastycznym na skutek utworzenia wystarczającej liczby przegubów plastycznych uruchamia się mechanizm plastyczny pod obciążeniem z mnożnikiem

$$\begin{equation}  \Lambda_{pl}= \cfrac {F_{pl}}{F_{Ed}} \label {1-1.15} \end{equation}$$

Nośność graniczna Rankine-Merchant

Interakcja nośności krytycznej oraz plastycznej definiuje nośność graniczną $\Lambda_{lim}$, którą można oszacować z prostej formuły Rankine-Merchant (Merchant, 1954)  sumowania odwrotności nośności

$$\begin{equation}  \cfrac{1}{\Lambda_{lim}}= \cfrac{1}{\Lambda_{cr}} + \cfrac{1}{\Lambda_{pl }} \label {1-1.16} \end{equation}$$

$\Lambda_{lim}$  jest nośnością graniczną systemu konstrukcyjnego otrzymaną z warunku interakcji nośności krytycznej  $\Lambda_{cr}$  ($\ref{1-1.13}$) i nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$. ($\ref{1-1.15}$).

Nośność krytyczna  $\Lambda_{cr}$ jest osiągnięta, gdy konstrukcja, jej fragment lub element traci stateczność sprężystą w sensie metody LBA.

Nośność plastyczna $\Lambda_{pl}$ jest osiągnięta po uruchomienia mechanizmu plastycznego wskutek utworzenia się wystarczającej liczby przegubów plastycznych przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z materiału idealnie sztywno-plastycznego (p. np. (Chodor, 2016) ).

Wrażliwość konstrukcji na nieliniowości, rząd teorii i imperfekcje

Wrażliwość konstrukcji na nieliniowości geometryczne objawia się tym, że rezultaty uzyskane według teorii liniowej są obarczone zbyt dużymi błędami. Dla konstrukcji wrażliwych na nieliniowości należy stosować teorię nieliniową. Poniżej pokażemy, że można wskazać proste, kryterium wrażliwości na nieliniowości, dotyczące każdej konstrukcji- nawet pręta rozciąganego. Rząd teorii nieliniowej oznacza stopień aproksymacji odkształceń (lub przemieszczeń) nieliniowych poprzez ich rozwinięcie w potęgowy szereg Taylora podług potęg tych odkształceń.

Imperfekcje są pojęciem niezależnym  od wrażliwości konstrukcji na nieliniowości i rząd teorii. Ponieważ jednak analiza imperfekcyjna jest nieodłącznie związana z teorią przynajmniej drugiego rzędu, więc można przyjąć, że konstrukcje wrażliwe na efekty drugiego rzędu są wrażliwe na imperfekcje i odwrotnie.

Teoria I rzędu i wyższych. Kryterium wrażliwości 5% odkształceń

Teoria I rzędu jest przybliżeniem zagadnienia brzegowego mechaniki konstrukcji dla małych odkształceń i przemieszczeń.

Uniwersalnym kryterium wrażliwości konstrukcji na nieliniowości jest kryterium 5% odkształceń, które można sformułować następująco:

Jeśli w dowolnym miejscu konstrukcji odkształcenia liniowe I rzędu $\varepsilon$ przekraczają 5% , to konstrukcja jest wrażliwa na nieliniowości geometryczne.

Kryterium dotyczy w istocie odkształceń plastycznych i zostało oryginalnie sformułowane w obszarze technologi obróbki metali (np. (Wusatowski, 1955)). W konstrukcjach budowlanych efekty nieliniowości przy takich odkształceniach są mniejsze , ale kryterium 5% również funkcjonuje, co niżej pokażemy na przykładzie prostych prętów. Powyższe kryterium było wielokrotnie potwierdzane przez niezależnych badaczy dla różnych konstrukcji (np. (Skotny, 2018) , i in.) Warto zwrócić uwagę, że kryterium 5% dotyczy odkształceń, a nie przemieszczeń, a także to, że może obowiązywać również konstrukcji żelbetowych , mimo, że odkształcenie w betonie jest ograniczane do 3,5%.. Dzieje się tak , że zgodnie z normą (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, tab. C.1) dopuszcza się odkształcenie charakterystyczne stali klasy  B $\varepsilon_{uk}>5$%, a klasy C powyżej $\varepsilon_{uk}>57,5 $% a graniczne odkształcenie obliczeniowe  stali zbrojeniowej wynoszą $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot $\varepsilon_{uk}$.

Pręt rozciągany lub ściskany bez wyboczenia, w tym pręt zbrojeniowy

Dla pręta rozciągniętego lub ściśniętego od długości początkowej $L_0$ do długości końcowej $L_1$ odkształcenie (względne skrócenie) można zapisać w postaci

$$\begin{equation}  \varepsilon= \cfrac{\Delta L}{L_0} = \cfrac{L_1-L_0}{L_0} \to \cfrac{L_1}{L_0} = \varepsilon+1 \label {1-1.17} \end{equation}$$

Rzeczywiste odkształcenia $e$ są skończone i zgodnie z definicją wynoszą:

$$\begin{equation}  e= \int \limits_{L_0}^L \cfrac{dL}{L} = \ln{\cfrac{L_1}{L_0}}= \ln{( \varepsilon+1)} \label {1-1.18} \end{equation}$$

Ścisłe wyrażenie na odkształcenie można rozłożyć w szereg  MacLaurina względem $\varepsilon$:

$$\begin{equation}  e \approx \varepsilon – \cfrac{\varepsilon^2}{2}+ \cfrac{\varepsilon^3}{3} – \cfrac{\varepsilon^4}{4} +(…) \label {1-1.19} \end{equation}$$

Obcięcie szeregu dla członów przy danej potędze $\varepsilon$ daje rząd teorii.  W tab.1-1.1 zestawiono porównanie wartości odkształceń skończonych ($\ref{1-1.18}$) (kol. 1) z klasycznymi odkształceniami ($\ref{1-1.17}$) dla  wartości odkształceń uzyskanych według teorii I rzędu od 1 do 10%. W kolumnie (2) podano błąd oszacowania. Dopuszczalną granicę błędu 2,5% przekroczono dla $\varepsilon=5%$.  Oszacowania II rzędu są już akceptowalne.

Tab.1-1.1 Dokładność aproksymacji skończonych  odkształceń (logarytmicznych)

Pręt ściskany z imperfekcją

Siła ściskająca  $F$ pręt zginany powoduje zwiększenie  przemieszczenia poziomego belki  w sposób pokazany na rys 1.3.

P-D

Rys.1.3. Przemieszczenie poziome Δ(dx) przekroju belki wywołane jej ugięciem w(x)

Ugięcie odcinka dx belki-słupa powoduje przemieszczenie punktów końcowych do położenia dx’, a odkształcenie skrócenia od ugięcia pręta wynosi

$$\begin{equation} \varepsilon (x) =\cfrac{\Delta(dx)}{dx} =\cfrac{dx-dx’ }{dx} =\cfrac{ dx- \sqrt{(dx)^2-(\frac {d} {dx} dx)^2}}{dx} = 1-\sqrt{1-(w’)^2} \label {1-1.18a} \end{equation}$$

Załóżmy, że wygięcie wstępne pręta (imperfekcja łukowa ) ma kształt

$$ \begin{equation} w_0(x)=e_0 \sin{\pi x/L} \label {1-1.18c}\end{equation}$$

Na skutek ściskania siłą $F$  pręt zostanie dogięty do stanu

$$ \begin{equation} w(x)= a_\Lambda \cdot w_0(x) \label {1-1.18d}\end{equation}$$

gdzie współczynnik amplifikacji $(\ref{1-1.12}$) jest stałą zadania.

Po podstawieniu  funkcji ugięcia ($\ref{1-1.18d}$) do wyrażenie na odkształcenie $\varepsilon (x)$ i przecałkowaniu po długości pręta, otrzymujemy odkształcenie skrócenia pręta ściskanego z imperfekcją łukową ($\ref{1-1.18c}$).:

$$ \begin{equation} \varepsilon= \cfrac{\Delta L}{L} = \int \limits_0^L 1- \sqrt{1- C _\Lambda  \cos^2{( \pi  x/L) }} = 1- \cfrac{E (C_\Lambda) }{\pi}   \label {1-1.18e}\end{equation}$$

gdzie:
E() – całka eliptyczna pierwszego rodzaju. Całka eliptyczna jest i łatwa do wyznaczenia w programach inżynierskich – np w programie Mathematica E()=EllipticE().

Rozwiązanie jest  dopuszczalne dla

$C_\Lambda= \left( \cfrac{ \pi \cdot a_\Lambda} {n_L} \right ) ^2 < 1 $,  to znaczy dla $a_\Lambda < n_L/ \pi$, gdzie  $n_L=L/e_0 $ , czyli $\Lambda_{cr} > \cfrac{1}{1-1/(n_l/ \pi)}$

Dla zalecanych imperfekcji $n_L>150$,  mamy  $\Lambda_{cr} > 1,02$, to znaczy rozwiązanie jest dopuszczalne  w każdej konstrukcji spotykanej w praktyce.

Po rozwinięciu wyrażenia ($\ref{1-1.18e}$) w szereg MacLaurina podług wytężenia pręta mierzonego zmienną $C_\Lambda$ , mamy:

$$ \begin{equation} \varepsilon \approx \cfrac{C_\Lambda}{4}+\cfrac{3 \cdot C_\Lambda ^2}{64} +\cfrac{5 \cdot C_\Lambda ^3}{256}+\cfrac{175 \cdot C_\Lambda ^4}{16384} \label {1-1.18f}\end{equation}$$

W tab.1-1.2 porównano aproksymacje odkształcenia w pręcie ściskanym z imperfekcją łukową. Aproksymacja wg teorii I rzędu jest słaba dla obciązenia pręta $F> 0,96 F_{cr}$

Tab.1-1.2 Dokładność aproksymacji odkształceń pręta ściskanego z imperfekcjami

Stabilność konstrukcji i wrażliwość na efekty drugiego rzędu

Stabilność konstrukcji

Warunek stabilności konstrukcji
$$ \begin{equation} \Lambda_{cr} >1  \label {1-1.20} \end{equation}$$

dotyczy globalnego mnożnika obciążeń, to znaczy uzyskanego dla całego systemu konstrukcyjnego, a nie wydzielonego pręta. Oczywiście z  globalnego warunku ($\ref{1-1.20}$) wynika, że stabilność bezie zachowana dla każdego fragmentu konstrukcji e tym dla wydzielonych prętów.

Warunek ($\ref{1-1.20}$) dotyczy tych forma niestateczności, które są uwzględnione w analizowanym modelu. Na przykład w klasycznym modelu, złożonym z prętów o sześciu stopniach swobody – nie będzie uwzględnione zwichrzenie prętów. W celu uwzględnienia tej formy niestateczności należy analizować pręty Własowa. Niestateczność lokalna płyt będzie uwzględniona dopiero po zamianie ścianek prętów na panele płytowe.

Wrażliwość konstrukcji na efekty drugiego rzędu

Wrażliwość na efekty drugiego rzędu, jest stopniem przyrostu odpowiednich sił wewnętrznych lub momentów,lub jakąkolwiek innej zmiany zachowania się konstrukcji w wyniku deformacji. Wrażliwość ta może być oceniona poprzez zbadanie mnożnika obciążenia krytycznego (nośności krytycznej konstrukcji ($\ref{1-1.15}$).  W normie do projektowania konstrukcji stalowych kryterium  wrażliwości konstrukcji na efekty drugiego rzędu zdefiniowano poprzez graniczny mnożnik krytyczny (nośność krytyczną)  $\Lambda_{cre,lim}$, w taki sposób, że  jeśli dla analizowanej konstrukcji globalnie zachodzi:

$$ \begin{equation} \Lambda_{cr} < \Lambda_{cr,lim} \label {1-1.21} \end{equation} $$

to należy stosować analizę drugiego rzędu.

Krytyczny mnożnik $ (\ref{1-1.21} $)  odniesiono do obciążeń obliczeniowych $\Lambda_{cr} = \cfrac{F_{cr}}{F_{Ed}}$,, więc mówi on o tym ile razy konfiguracja obciążenia $F$ może przekroczyć obciążenia obliczeniowe $F_{Ed}$, by nie nastąpiła jeszcze utrata sprężystej stateczności całej konstrukcji, jej fragmentu lub dowolnego elementu (np panelu płytowego lub pręta).

Wartość graniczna nośności krytycznej) $ \Lambda_{cr,lim}$ wynosi:

$$ \begin{equation} \Lambda_{cr,lim} =
\begin {cases}
10, \quad \text{w przypadku analizy sprężystej} \\
15 \quad  \text { w przypadku analizy plastycznej}
\end {cases}
\label {1-1.22} \end{equation} $$

Wyższa wartość $\Lambda_{cr,lim}$ ($\ref{1-1.22}$) w przypadku analizy plastycznej jest uzasadniona tym, że zachowanie się konstrukcji oraz jej stan graniczny mogą być silnie uwarunkowane nieliniowymi właściwościami materiału (np. gdy w ramie tworzą się przeguby plastyczne i dochodzi do redystrybucji momentów, lub gdy w ramie występują węzły podatne powodujące znaczący nieliniowy wzrost odkształceń).

Z praktyki projektowej wynika, że konstrukcje stalowe o nośności krytycznej większej od  ($\ref{1-1.22}$) są wyjątkowe i wówczas najczęściej mamy do czynienia z nieoptymalnym ich zaprojektowaniem. Dla stwierdzenia poprawnego zaprojektowania konstrukcji wystarczy spelnienie kryterium stabilności ($\ref{1-1.20} $)

Kryterium ($\ref{1-1.20} $) można stosować dla innych niż stalowe konstrukcji (żelbetowe, zespolone, drewniane, murowe). W szczególności dla konstrukcji żelbetowych kryterium to powinno być stosowane równoważnie do „kryterium „10%”. Należy zwrócić uwagę, że analiza LBA wykorzystuje inny algorytm numeryczny od analizy II rzędu ( rozwiązanie problemu własnego i odwracanie macierzy sztywności układu konstrukcyjnego),ale programy w których zaimplementowano analizę LBA wyposażono również w algorytmy II rzedu.

Z praktyki projektowej wynika że:
1) większość konstrukcji inżynierskich (stalowe, zespolone) i dużą część konstrukcji żelbetowych należy analizować metodami drugiego rzędu,
2) w przypadku ograniczenia się do analiz pierwszego rzędu, należy uzasadnić, że spełniony jest warunek $\Lambda_{cr} \ge \Lambda_{cr,lim}$. Warunku tego nie trzeba sprawdzać, jeśli analiza jest „od razu” II rzedu. W przypadku niestabilności konstrukcji należy jednak przeprowadzić analizę LBA, w celu oceny problemu i zidentyfikowania tych miejsc konstrukcji, które są krytyczne dla stabilności.
3) kryterium wrażliwości na efekty drugiego rzędu nie należy traktować jako nakazu projektowania tak stabilnych konstrukcji, bo wystarczy  spełnienie warunku  stabilności ($\ref{1-1.23}$).

4) analizę LBA zaleca się przeprowadzić dla każdej konstrukcji z przewodnim celem innym od wyrażonego kryterium $\ref{1-1.21}$), a mianowicie  jako element  optymalizacji konstrukcji , polegającej na zidentyfikowania krytycznych, lokalnych miejsc konstrukcji, których usztywnienie niewielkim kosztem może doprowadzić do wielokrotnego zwiększenia wskaźnika stabilności $\Lambda_{cr}  (\ref{1-1.21} $). Jest to podstawowy sposób optymalizacji konstrukcji obok sposobu polegającego na tym, że w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych istotne zmniejszenie ciężaru całej konstrukcji można uzyskać poprzez zwiększenie sztywności kliku dominujących elementów i w ten sposób odciążenie (i zmniejszenie ciężaru)  innych słabszych elementów , ale występujących w większej liczbie. W większości współczesnych konstrukcji stosowanie strategii wymiarowania wyodrębnionych elementów jest zawodne z punktu widzenia uzyskania optymalnej konstrukcji

Kryterium ($\ref {1-1.22}$) pozwala zakwalifikować konstrukcje do wrażliwych jeszcze przed wykonaniem obliczeń drugiego rzędu na podstawie pomocniczej, quasiliniowej analizy LBA .
Zwracamy uwagę, że czysta analiza wyboczeniowa LBA polega na wyznaczeniu mnożnika krytycznego konfiguracji obciążeń idealnego systemu konstrukcyjnego i może być  traktowana jedynie jako pomocnicza analiza, służąca do rozpoznania wrażliwości konstrukcji i jej niestatecznych miejsc , ale nie może zastąpić metod imperfekcyjnych stosowanych do sprawdzenia stateczności i wytrzymałości poszczególnych przekrojów konstrukcji.

Wrażliwość konstrukcji na imperfekcje

Każda konstrukcja, która godnie z  kryterium ($\ref{1-1.21} $), jest niewrażliwa na efekty drugiego rzędu jest również niewrażliwa na imperfekcje , jest.  Z praktyki projektowej wynika, że bardzo stabilne są już konstrukcje dla których
  $$ \begin{equation} \Lambda_{cr} > 1,5  \label {1-1.23} \end{equation}$$

Wymóg przeprowadzenia analizy II rzędu w celu uwzględnienia imperfekcji konstrukcji pociąga za sobą, wniosek, że w konstrukcji  niewrażliwej na efekty drugiego rzędu można pominąć imperfekcje. Ponieważ kryterium wrażliwości ($\ref{1-1.17}$)jest warunkowane statecznością najsłabszego ogniwa zawartego w konstrukcji i wszystkich from niestateczności uwzględnianych w modelu. Dotyczy więc zarówno imperfekcji globalnych (przechyłowych) jak i lokalnych (łukowych) w konstrukcjach prętowych , a stąd wynika, że w klasycznej metodzie wyboczeniowej dla konstrukcji niewrażliwych na imperefekcje możnaby nie stosować współczynników wyboczeniowych ( w tym zwichrzenia , jeśli w modelu zastosowano elementy Własowa).

Podatność konstrukcji na nieliniowe efekty geometryczne oraz na imperfekcje może być kontrolowana przez projektanta w drodze doboru rodzaju systemu, prawidłowego układu elementów i poprzez dobór sztywności poszczególnych elementów. Najważniejszy przy tym jest system powiązań elementów między sobą oraz wyposażenie układu we właściwie ulokowane elementy usztywniające (stężenia, żebra, rdzenie itd).

Kryterium 10% jako kryterium poprawności konstrukcji

Sformułowanie kryterium 10%

Na podstawie analizy wielu projektów (ostatni rozdział podręcznika sformułujemy kryterium 10%  jako kryterium poprawności projektu konstrukcji

Poprawność projektu konstrukcji ocenia się według kryterium 10%, zgodnie, z którym projekt jest uznany za wykonany prawidłowo, jeśli sprawcze efekty (przemieszczenia lub naprężenia, które decydują o niezawodności obiektu) ocenione wg teorii geometrycznie nieliniowej są większe, co najwyżej o 10% od efektów tej samej konstrukcji, wyznaczonych wg teorii 1. rzędu. Jeśli wpływ efektów nieliniowych jest większy, to prawdopodobnie projekt zawiera wady, najczęściej wskutek niewystarczającego stężenia układami usztywniającymi. W takim przypadku proste zwiększanie przekrojów i elementów krytycznych nie daje zadowalających rezultatów, a prowadzi do nieuzasadnionego zwiększenia zużycia materiału na konstrukcję.

Sformułowane wyżej kryterium 10%  łączy się pośrednio z warunkiem, dotyczącym dopuszczalności stosowania analizy I rzędu w projektowaniu konstrukcji żelbetowych

.Nazwa kryterium „10%” wywodzi się z wymogu dla analizy sprężystej, a podczas prowadzenia  analizie plastycznej można poprzestać man obliczeniach pierwszego rzędu wówczas, gdy mnożnik obciążenia krytycznego  nie przekracza $100/15=6,7$%

Procedura sprawdzania kryterium 10%

W celu weryfikacji poprawności projektu z kryterium 10% wrażliwości konstrukcji należy przeprowadzić testowe obliczenia nieliniowe wstępnego modelu całej konstrukcji i obserwować zbieżność procesu iteracji do rozwiązania stabilnego. Brak zbieżności lub wolna zbieżność oznacza wady projektu, najczęściej braki w układach stężeń lub innych usztywniających, albo nieprawidłowe stosunki sztywności elementów – w systemie elementów, występują elementy zbyt sztywne, np. zbyt krótkie, lub za wiotkie. Po takim sygnale inżynier lokalizuje problem, a w tym celu bada pole odkształceń konstrukcji w stanie liniowym lub w stanie krytycznym (wg teorii LBA – liniowej analizy wyboczeniowej.  poprawić go i przystąpić do kolejnego testu nieliniowego.

Dopiero po uzyskaniu modelu konstrukcji poprawnego z punktu widzenia wrażliwości na efekty nieliniowe, można przystąpić do wymiarowania poszczególnych elementów, w tym do doboru zbrojenia betonu.

Należy podkreślić, że kryterium „10%” nie jest bezwzględnie obowiązujące, bo może doprowadzić do zablokowania stosowania rozwiązań innowacyjnych konstrukcji inżynierskich. W przypadku wdrażania takich konstrukcji należy przeprowadzić  bardziej wnikliwą analizę najczęściej z potrzebą wspomagania badaniami eksperymentalnymi.

[następne R1-2] [ Klasyfikacja teorii drugiego rzędu]


Niniejszy artykuł jest częścią 2. rozdziału 1. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]


Historia edycji:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika. Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami po opracowaniu części rozdziału.
Wersja 1.0 (2019-04-07) – pierwsza wersja artykułu
Wersja 2.0 (2019-05-26) – podzielono na artykuły internetowe i zaopatrzono w połączenia odnośnikami
Wersja 2,1 (2019-06-22) – dodano rozdział dotyczące kryteriów stabilności oraz wrazliwości na efekty II rzędu i imperfekcje


Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor

 

Literatura cytowana w tekście

Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Babcock, C. D. (1974). Experiments in shell buckling, In: Thin Shell Structures, Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
CTICM. (2013). LTBeamN  (1.03) (Version 1.0.3). Retrieved from https://www.cticm.com/logiciel/ltbeamn/
Chladny, E. Vzper pruzne podopretych tlacenych prutov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis (1974). Bratislava: SVST.
Chladny, E., & Stujberova, M. (2013). Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode.Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617.
Chodor, L. (1986). Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycznych (Disseratation Doctor No. PRE 68/86). Wrocław: Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf
Chodor, L., & Podstawka, R. (2009). Analiza pushover oraz przeguby i załomy nieliniowe w konstrukcjach żelbetowych. In Problemy naukowo-badawcze budownictwa (pp. 215–220). Krynica. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/2009-Chodor-Podstawka-Pushover-Krynica.pdf
Computer and Structures Inc. (2019). SAP2000. Structural Software for Analysis and Design (Version 21). Retrieved from https://www.csiamerica.com/products/sap2000
Consteel Software. (2019). ConSteel 12 Manual. Retrieved from http://www.consteelsoftware.com/en/downloads/manuals-documents
Dlubal Software. (2019). RFEM, RSTAB Oprogramowanie do analizy statyczno-wytrzymałościowej (Version 8-18-01). Retrieved from https://www.dlubal.com/pl
Elishakoff, I., & Arbocz, J. (1985). Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 1985(52), 122–128.
Godoy, L. A. (1998). Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin Walled Structures, 32, 181–206.
Kim, S. E., & Lee, D. H. (2002). Second-order distributed plasticity analysis of space steel frames. Journal of Engineering Mechanics, (24), 735–744.
Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-5. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-6. Eurokod 3 -Projektowanie konstrukcji stalowych -Część 1-6: Wytrzymałość i stateczność konstrukcji powłokowych (2010). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych -  Część 1-7: Konstrukcje płytowe (2008). UE: PKN.
PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC. Eurokod 4 -Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.
PN-EN 1996-1-1+A1+Ap1,2. Eurokod 6 - Projektowanie konstrukcji murowych - Część 1-1: Reguły ogólne dla zbrojonych i niezbrojonych konstrukcji murowych (2013). UE: PKN.
PN-EN 1999-1-1. Eurokod 9 - Projektowanie konstrukcji aluminiowych - Część 1-1: Reguły ogólne (2010). UE: PKN.
Piechnik, S. (2007). Mechanika techniczna ciała stałego. Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej.
Rolski, T. (2013). Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo (Wykład Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski). Wrocław: Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski. Retrieved from http://www.math.uni.wroc.pl/~rolski/Downloads/sym.pdf
Rossow, E. C., Barley, G. B., & Lee, S. L. (1967). Eccentrically Loade Steel Columns with Initial Curvature. Journal of Structural  Division, ASCE, 93(ST2), 339–358.
SCIA A Nemetschek Company. (2018). Structural An alysis and Design with  SCIA Enginee (Version 18) [SCIA]. Retrieved from https://www.scia.net/en
Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
Skotny, Ł. (2018, maj). Kiedy można zignorować nieliniowość geometryczną?
Sofistik. (2018). Sofistik. Imperfection Concept. Retrieved from /www.sofistik.de/documentation/2018/en/tutorials/steel-design/imperfection/imperfection.html
Thom, R., Giorello, G., Morini, S., & Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morinii. Warszawa: Państ. Instytut Wydawniczy.
Vlasov, V. Z. (1959). Tonkostiennyje uprugije stierzni | Thin-Walled Elastic Beams. Moskva | Jerusalem: PWF-ML | Israel Program for Scientific Translations.
Wusatowski, Z. (1955). Właściwe sposoby określania odkształceń plastycznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Mechanika(4), 3–21.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »