Imperfekcyjna metoda. Pojęcia podstawowe [R1-2]

[Imperfekcyjna metoda projektowania. Wprowadzenie] [poprzednie R1-1] ⇐ ⊗ [następne R1-3] [ Klasyfikacja teorii drugiego rzędu]

Nośność graniczna i krytyczna konstrukcji z imperfekcjami

Imperfekcje belek i słupów powodują, że idealne zachowanie opisywane klasycznymi modelami:
wyboczeniowym, LBA ( Linear Bifurcation Analysis), w którym definiuje się nośność krytyczną $\Lambda_{cr}$, oraz teorii nośności granicznej, w którym definiuje się nośność plastyczną $\Lambda_{pl}$- nie jest obserwowane w pracy rzeczywistej konstrukcji dla której jest definiowana nośność graniczna $\Lambda_{lim}$.

Pręt rzeczywisty nie ulegnie „czystemu” wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany, więc właściwa dla niego jest analiza drugiego rzędu.

Rozróżnienie nośności granicznej $\Lambda_{lim}$ oraz krytycznej $\Lambda_{cr}$ i plastycznej $\Lambda_{pl}$ omówiono w artykule Nośność graniczna, a nośność krytyczna i plastyczna. Na rys. 1.3. przedstawiono konkluzję z tych rozważań i definicję nośności granicznej $\Lambda_{lim}$ jako maksimum na nieliniowej ścieżce równowagi przemieszczenie sprawcze $u$ – mnożnik obciążenia $\Lambda$.

Rys.1.3 Definicja nieliniowego obciążenia krytycznego

Mnożnik obciążenia krytycznego $\Lambda_{cr}  uzyskiwany w klasycznej analizie LBA jest taką wartością obciążenia konstrukcji przy której element, część lub całość konstrukcji traci stateczność w sensie matematycznym.  $\Lambda_{cr}$ należy traktować jako przypadek szczególny mnożnika obciążenia granicznego $\Lambda_{lim}$. Punkt graniczny będziemy nazywać uogólnionym punktem krytycznym. Jego położenia nie da się wyznaczyć w klasycznej analizie LBA. Wystarczające dla  przybliżenie można uzyskać podczas uogólnionej procedury, która jest prowadzona przy zmieniającym się stopniowo schemacie konstrukcji w miarę pojawiania się nowych przegubów plastycznych w miejscach maksymalnej krzywizny (momentów zginających) uzyskanych w iteracji poprzedzającej.

Uogólnioną sprawczą postacią sprężystej utraty stateczności systemu jest postać odpowiadająca najniższej wartości własnej (najmniejszemu mnożnikowi obciążeń) w granicznym schemacie konstrukcji. Graniczny, plastyczny schemat konstrukcji zostanie osiągnięty po ukształtowaniu się ostatniego przegubu plastycznego potrzebnego do uruchomienia mechanizmu plastycznego. Ponieważ w rzeczywistości przeguby plastyczne w stanie granicznym formują się jednocześnie (Chodor, 1986), więc nie trzeba uwzględniać form utraty stateczności w schematach poprzedzających. Obliczenia iteracyjne są potrzebne wyłącznie do opisu stanu granicznego w procesie pushover (Chodor, Podstawka, 2009).

Opisany wyżej model stanowi podstawowe założenie uogólnionej metody stosowanej w pracy. Założenie jest  zgodne z szerokimi badaniami (Godoy, 1998) i innych (np. (Babcock, 1974), (Elishakoff, Arbocz, 1985) ). W pracach tych pokazano, że w sytuacjach rzeczywistych, „czyste” postacie wyboczenia sprężystego praktycznie nie realizują się lub realizują na statystycznie nieistotnym poziomie nawet przy współczynniku niezawodności budynków i budowli β>3 . Można to wykazać również teoretycznie po zastosowaniu podstawowych twierdzeń metody funkcji ważności, stosowanej w losowych symulacjach Monte Carlo (np. (Chodor, 2015) , (Rolski, 2013)). To samo można wykazać stosując podejście (Shanley, 1947), a nie (Ayrton, Perry, 1886), to znaczy podejście niesprężyste, opisujące rzeczywistą utratę stateczności.

Czysta analiza wyboczeniowa LBA polega na wyznaczeniu mnożnika krytycznego konfiguracji obciążeń idealnego systemu konstrukcyjnego i może być  traktowana jedynie jako pomocnicza analiza, służąca do rozpoznania niestatecznych miejsc konstrukcji, ale nie może zastąpić metod imperfekcyjnych stosowanych do sprawdzenia stateczności i wytrzymałości poszczególnych przekrojów konstrukcji.

Smukłość i współczynnik amplifikacji

Tradycyjną analizą, stosowaną w projektowaniu konstrukcji wrażliwych na efekty niestateczności jest analiza wyboczeniowa. W podejściu inżynierskim jest ona realizowana z użyciem współczynników wyboczeniowych (najczęściej wyboczenia giętnego lub bocznego – zwichrzenia). Istotę współczynnika wyboczeniowego $\chi$ dobrze oddaje jego nazwa angielska reduction factor, czyli współczynnik redukcyjny, bo określa on redukcję (zmniejszenie) nośności elementu $F_{Rb}$  w stosunku do nośności jego przekroju $F_R$ .

$$\begin{equation}  \chi=\cfrac{F_{Rb}}{F_R} \label {1-2.1} \end{equation}$$

Współczynnik ($\ref{1-2.1}$) uwzględnia efekty niestateczności elementu (wyboczenie giętne lub skrętne lub giętno-skrętne, w tym zwichrzenie) i jest nieliniową funkcją smukłości elementu, którą przed wejściem w życie norm europejskich, powszechnie wyliczano na podstawie arbitralnie przyjmowanych długości wyboczeniowych prętów.

Smukłość elementu

W przepisach normowych Eurokod wprowadzono  definicję smukłości względnej pręta, jako pierwiastek ze stosunku nośności przekroju do nośności krytycznej elementu. Definicja ta w zapisie obejmującym kilka przypadków wyboczenia (*=_, ,LT, T, TF) i klas przekrojów (•= 1, 2, 3, 4) jest następująca:

$$\begin{equation}  \overline \lambda_* =\sqrt{\cfrac{F_{R•}}{F_{cr*}}} \label {1-2.2} \end{equation}$$

gdzie:

* indeks przypadków wyboczenia:
_ (spacja) – wyboczenie giętne, LT- zwichrzenie (wyboczenie boczne), T- wyboczenie skrętne, TF – wyboczenie giętno-skrętne

• indeks klasy przekroju: 1,2,3,4, które omówiono w artykule Klasy przekroju stalowego. Przekroje żelbetowe oraz zespolone (a także drewniane) rozpatruje się analogicznie jak przekroje stalowe klasy 3 (metodami teorii sprężystości), ale z uwzględnieniem nieliniowego zachowania betonu oraz wpływu czasu i pełzania na wytrzymałość drewna.

$F_{R•}$ – nośność sprężysta (po uplastycznieniu lub utracie wytrzymałości tylko jednego punktu przekroju) – mierzona siłą przekrojową F (siłą osiową N, lub momentem zginającym M, lub momentem skręcającym T, lub bimomentem Bω, itd.), odpowiednia dla klasy przekroju (•=1,2,3,4),
na przykład: $N_{R,1,2,3} = A \cdot f_y$, $N_{R4}= A_{eff} \cdot  f_y$; $M_R= W_y \cdot f_y$ , itd.

$F_{cr*}$ – nośność krytyczna elementu przy niestateczności typu *.

Dla przypadku wyboczenia giętnego (*=_)  smukłość ($\ref{1-2.2}$) wyraża się formułą

$$\begin{equation}  \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{N_{R}}{N_{cr}}} \label {1-2.3} \end{equation}$$

gdzie  nośność przekroju na ściskanie  $N_R=A \cdot f_y$ , ( A- pole przekroju, $f_y$ – wytrzymałość materiału – granica plastyczności dla stali), a $N_{cr}$ jest siłą krytyczną (Eulera), przy której element traci stateczność i wybacza się.

Dla przypadku  wyboczenia bocznego (zwichrzenia) (*=LT):

$$\begin{equation}  \overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_{R}}{M_{cr}}} \label {1-2.4} \end{equation}$$

gdzie nośność przekroju na zginanie $M_{R}=W\cdot f_y$, ( W – wskaźnik wytrzymałości przekroju, f_y jak wyżej), a $M_{cr}$ jest zginającym momentem krytycznym (Własowa), przy której element traci stateczności prze utratę płaskiej postaci zginania (zwichrzenie).

Osiowa siła krytyczna $N_{cr}$ nazywana często siłą  Eulera $N_E$  i jest obliczana ze wzoru:

$$\begin{equation}  N_{cr}= \cfrac{\pi^2 \cdot EI} {L^2_{cr}} \label {1-2.5} \end{equation}$$

Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ jest nazywana długością Eulera $L_E$ i w praktyce wyznacza się ją z zależności:

$$\begin{equation}  L_{cr}= \mu \cdot L  \label {1-2.6} \end{equation}$$

gdzie:
$\mu$ – współczynnik długości wyboczeniowej,
L- długość teoretyczna pręta.

Siła krytyczna ($\ref{1-2.4}$) opisuje wyboczenie giętne idealnie prostego pręta o długości L i momencie bezwładności przekroju I, ściskanego czystą siłą osiową N. Pręt wykonany jest z materiału idealnie sprężystego o module Younga E. Wartość obciążenia osiowego pręta ($\ref{1-2.4}$) pierwiastkiem równania różniczkowego pręta zginanego i ściskanego, które uzyskał Euler już w XVIII w. i oznacza siłę, przy której następuje bifurkacja (rozdwojenie) stanu równowagi pręta, to znaczy punkt na ścieżce równowagi. w którym pręt może przeskoczyć ze stanu równowagi prostoliniowej do stanu równowagi krzywoliniowej. Takie zjawisko nazwano wyboczeniem.

Wprowadzenie wzoru Eulera ($\ref{1-2.4}$) do formuły ($\ref{1-2.2}$) dla przypadku wyboczenia giętnego, umożliwia otrzymanie klasycznej, powszechnie stosowanej również dzisiaj, postaci wyrażenia na smukłość względną $\overline \lambda$ pręta ściskanego o smukłości  $\lambda$ (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)):

$$\begin{equation}  \overline \lambda = \cfrac {\lambda} {\lambda_1}  \label {1-2.7} \end{equation}$$

gdzie:

bezwględna smukłość pręta

$$\begin{equation}  \lambda = \cfrac{L_{cr}}{i} \cdot k_•  \label {1-2.8} \end{equation}$$

smukłość porównawcza

$$\begin{equation}  \lambda_1=\pi \sqrt{\cfrac{E}{f_y}}=93,9\cdot \varepsilon \label {1-2.9} \end{equation}$$

współczynnik materiałowy

$$\begin{equation} \varepsilon= \sqrt{\cfrac{235}{f_y}} \label {1-2.10} \end{equation}$$

długość wyboczeniowa

$L_{cr}$ wg ($\ref{1-2.5}$).

współczynnik klasy przekroju

$k_•$ =1 dla przekroju klasy (•=1,2 i 3) oraz  $k_•=\sqrt{\cfrac {A_{eff}} {A}}$ dla przekroju klasy (• = 4).

W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej (rys.1.1). Nie powinniśmy tego robić, bo może to  wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez doprowadzenie do przekonania, że maksymalna wartość współczynnika μ wynosi 2 (jak dla wspornika). Jest to szkodliwa informacja, bowiem faktycznie współczynnik długości wyboczeniowej μ  pręta może być znacznie większy od 2 i przyjąć wartości z przedziału:

$$\begin{equation}  0,5 \le \mu \le \infty   \label {1-2.11} \end{equation}$$

gdzie:
$\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta obustronnie idealnie utwierdzonego (o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania) (Rys.1.1d),
$\mu=1,0 $ opowiada prętowi podpartemu nieprzesuwnie i idealnie przegubowo na obu końcach (Rys.1.1a),
$\mu=\infty$ dotyczy pręta obustronnie sprężyście podpartego w podporach o zerowych sztywnościach (czyli pręta swobodnie zawieszonego w przestrzeni) (Rys.1.1g),

Rys.1.1.  Bazowe postacie wyboczenia

(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, rys 5.7)

Następnie należy stwierdzić, ze rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:
1) oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta,
2) przekrój pręta i parametry materiałowe nie są stałe po długości, ze względu na niedoskonałości hutnicze, wpływające na charakterystyki przekroju,
3) siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co ważniejsze ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy słupa – pręt w zasadzie od początku pracy jest
obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.

Współczynnik amplifikacji

Wzór Eulera ($\ref{1-2.4}$) nie powinien być bezkrytycznie stosowany w odniesieniu do pręta rzeczywistego – jest bowiem słuszny wyłącznie dla innego jakościowo przypadku – dla ściskanego pręta idealnego. Wzór ten ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważący przykład w teorii katastrof  (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności układów idealnych w naukach podstawowych: matematyce, fizyce i mechanice.

Rozważmy dowolną konstrukcję poddana dowolnemu (siły skupione, rozłożone, termiczne,wymuszenia geometryczne), zewnętrznemu obciążeniu w konfiguracji $P$. Załóżmy, że podczas zwiększania wartości obciążenia proporcjonalnie do mnożnika $\Lambda$ – pod obciążeniem $P_{cr}=Λ_{cr} \cdot P$ nastąpi utrata stateczności konstrukcji.  Można wykazać (Rozdział „Geneza Metod imperfekcyjnych”  – wzór (18)), że przemieszczenia i siły przekrojowe  II rzędu można uzyskać poprzez przemnożenie wielkości I rzędu przez współczynnik amplifikacji (wzmocnienia)

$$\begin{equation}  a_\Lambda= \cfrac {1}{1-\cfrac{1}{\Lambda_{cr}}}  \label {1-2.12} \end{equation}$$

gdzie

$$\begin{equation}  \Lambda_{cr}= \cfrac {P_{cr}}{P} \label {1-2.13} \end{equation}$$

a obciążenie krytyczne  jest obciażeniem Eulera, równym dla prostego pręta sile Eulera $P_{cr}=N_{cr}$  ($\ref{1-2.4}$) obliczonej dla $L_{cr}=L$ .

 Przy zbliżaniu się do stanu krytycznego,mamy;

$$\begin{equation}  \lim \limits _{P \to P_{cr}} \, a_\Lambda = \infty \label {1-2.14} \end{equation}$$

Przez analogię w innych stanach granicznych, będą definiowane odpowiednie mnożniki obciążenia, uznawane za nośność konstrukcji zgodnie z przyjętym kryterium stanu granicznego. Przykładowo w granicznym stanie plastycznym na skutek utworzenia wystarczającej liczby przegubów plastycznych uruchamia się mechanizm plastyczny pod obciążeniem z mnożnikiem

$$\begin{equation}  \Lambda_{pl}= \cfrac {P_{pl}}{P} \label {1-2.15} \end{equation}$$

Nośność graniczna Rankine-Merchant

Interakcja nośności krytycznej oraz plastycznej definiuje nośność graniczną $\Lambda_{lim}$, którą można oszacować z prostej formuły Rankine-Merchant (Merchant, 1954)  sumowania odwrotności nośności

$$\begin{equation}  \cfrac{1}{\Lambda_{lim}}= \cfrac{1}{\Lambda_{cr}} + \cfrac{1}{\Lambda_{pl }} \label {1-2.16} \end{equation}$$

$\Lambda_{lim}$  jest nośnością graniczną systemu konstrukcyjnego otrzymaną z warunku interakcji nośności krytycznej  $\Lambda_{cr}$  ($\ref{1-2.13}$) i nośności plastycznej $\Lambda_{pl}$. ($\ref{1-2.14}$).

Nośność krytyczna  $\Lambda_{cr}$ jest osiągnięta, gdy konstrukcja, jej fragment lub element traci stateczność sprężystą w sensie metody LBA.

Nośność plastyczna $\Lambda_{pl}$ jest osiągnięta po uruchomienia mechanizmu plastycznego wskutek utworzenia się wystarczającej liczby przegubów plastycznych przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z materiału idealnie sztywno-plastycznego (p. np. (Chodor, 2016) ).


[następne R1-3] [ Klasyfikacja teorii drugiego rzędu]


Niniejszy artykuł jest częścią 2. rozdziału 1. podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji

Publikacja internetowa w wersji „free” z nieograniczonym prawem cytatu – z powołaniem się na autora i źródło:
Leszek Chodor, (2019), Imperfekcyjna metoda  projektowania konstrukcji, Encyklopedia  πWiki, Wydawnictwo πPress, [ http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/ ]


Historia edycji:
Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, Zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika. Obecnie cykl artykułów składający się na podręcznik jest w trakcie edycji internetowej i jest publikowany odcinkami po opracowaniu części rozdziału.
Wersja 1.0 (2019-04-07) – pierwsza wersja artykułu
Wersja 2.0 (2019-05-26) – podzielono na artykuły internetowe i zaopatrzono w połączenia odnośnikami

Proszę społeczność Inżynierów w internecie o przesyłanie recenzji podręcznika  na moje ręce: biuro@chodor-projekt.net
Leszek Chodor


Literatura cytowana w tekście

Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513.
Babcock, C. D. (1974). Experiments in shell buckling, In: Thin Shell Structures, Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
Chodor, L. (1986). Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycznych (Disseratation Doctor No. PRE 68/86). Wrocław: Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf
Chodor, L., & Podstawka, R. (2009). Analiza pushover oraz przeguby i załomy nieliniowe w konstrukcjach żelbetowych. In Problemy naukowo-badawcze budownictwa (pp. 215–220). Krynica. Retrieved from http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/2009-Chodor-Podstawka-Pushover-Krynica.pdf
Elishakoff, I., & Arbocz, J. (1985). Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 1985(52), 122–128.
Godoy, L. A. (1998). Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin Walled Structures, 32, 181–206.
Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed  Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190.
PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3. Projektowanie konstrukcji z betonu -Część 1-1:  Reguły ogólne i reguły dla budynków (2008). UE: PKN.
PN-EN 1993-1-1+A1. Eurokod 3 - Projektowanie konstrukcji stalowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków (2006). UE: PKN.
Rolski, T. (2013). Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo (Wykład Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski). Wrocław: Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski. Retrieved from http://www.math.uni.wroc.pl/~rolski/Downloads/sym.pdf
Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268.
Thom, R., Giorello, G., Morini, S., & Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morinii. Warszawa: Państ. Instytut Wydawniczy.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »