Belki żelbetowe. Zginanie

Zagadnienie zginania belek żelbetowych jest fundamentalnym problemem rozpatrywanym w teorii żelbetu. Klasyczne rozwiązania dotyczą szczególnego zadania: przekroju pojedynczo zbrojonego, zginanego w jednym kierunku bez udziału siły osiowej. Rozwiązanie to przedstawiono w rozdziale Klasyczna_technika projektowania zbrojenia_belki. W artykule zaprezentowano metodę obciążenia zredukowanego MU* w której wprowadzono zredukowane obciążenia przekroju prostokątnego podwójnie zbrojonego lub przekroju teowego ze współpracującą płytą stropową. Stosowanie metod MU i MU* jest w zasadzie wystarczające do wstępnego projektowania przekrojów żelbetowych  przez  inżynierów Architektów.
Artykuł jest kierowany do inżynierów specjalności konstrukcyjno-budowlanej i dla nich omówiono bardziej złożone zadanie zginania dwukierunkowego z udziałem siły osiowej. Zastosowano spójne podejście z zastosowaniem nieliniowego modelu żelbetu MN ($\ref{19}$). Wyprowadzono nowe formuły analizy przekroju zginanego, wynikające ze znajomości współczynników (17/21) oraz (99/238) modelu MN (rys Z-1).

Artykuł w ciągu ostatnich 24 godzin czytało 54 Czytelników

Chodor L., Belki żelbetowe,, Encyklopedia πWiki, www.chodor-projekt.net, 13 lipca 2019  do  9 czerwca 2020  – ( publikacja  kompletna) 1 wrzesień  2023 do  25 września 2023 –  ( reedycja i wprowadzenie  metody MU*) Arkusz LCżelbet zawiera oryginalny kod – © wszelkie prawa zastrzeżone.

[ Trwają prace remontowe . Treści nieautoryzowane ]

Część Z Zginanie Nawigacja: [ K:  Kształtowanie ] ⇐ ⊗ ⇒  [ P: Pełzanie i skurcz ]

Podstawowe oznaczenia

W niniejszym artykule stosuje się następujące podstawowe oznaczenia, dotyczące wielkości względnych (unormowanych) dla zginania belek żelbetowych:

• symbol normalizacji  (po symbolu podano zapis wyrażenia w zmiennych unormowanych)

$\parallel \to\parallel $

• efektywna wytrzymałość betonu  (zależnie od modelu betonu)

$$\begin{equation} f_{cd}^{’} = \begin {cases}
f_{cd}, & \text{ w modelu  MN (nieliniowym, parabolicznym)}\\
\eta_c \cdot f_{cd},& \text{ w modelu  MU (uproszczonym, prostokątnym)}\\
\end{cases} \label{1}\end{equation}$$

gdzie $\eta_c =\eta $ wg ($\ref{21}$)

• efektywna wytrzymałość stali

$$\begin{equation} f_{yd}^{’}= \eta_s \cdot  f_{yd} \label{2}\end{equation}$$

gdzie  $\eta_s=1,0$ ,  lub  $\eta_s=0,9$ dla przekroju kołowego (ogólnie dla przekroju, w którym szerokość strefy ściskanej zmniejsza się w kierunku skrajnego włókna ściskanego)

• unormowany moment zginający 

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel \, m_\#=\cfrac {M_\# }{ \overline {M}} \label {3} \end{equation}$$

gdzie  # = el  – sprężysty (elastic), ult – graniczny (ultimate) ze względu na kruche zniszczenie (zmiażdżenie) betonu , Ed – obliczeniowy (design) od obciążeń zewnętrznych(External), Rd – nośność, opór ( Resistans) obliczeniowa (design), itd. Czynnik normujący moment $$\begin{equation} \overline {M}=b d^2 f_{cd}^{’} \label {4} \end{equation}$$

ma wymiar nośności przekroju mierzonej momentem zginającym. Nośność sprężysta prostokąta bxd wynosi $M_{el}= W_{el} \cdot f_{cd}^{’}$; $W_{el}= b \cdot d^2 / 6 $, czyli  $\overline M =M_{el}/6 $, Nośność plastyczna  prostokąta wynosi $M_{el}= W_{pl} \cdot f_{cd}*{’}$; $W_{pl}= b \cdot d^2 /4$, czyli  $\overline M =M_{pl}/4$

Efektywna wysokość przekroju $d$ jest  odległością od krawędzi ściskanej betonu do osi zbrojenia. Dla zbrojenia dolnego (rys. Z-1)

$$\begin{equation}  d= h- a_l\label {5} \end{equation}$$

gdzie:  h – wysokość przekroju betonowego , $a_l$ – osiowe otulenie zbrojenia dolnego „l” ( $a_l=c_l – \Phi/2$ ; $c_l$ – otulenie betonem pręta o średnicy $\Phi$

Szerokość belki $b$ jest szerokością rozpatrywanej części przekroju: dla belki prostokątnej szerokość przekroju $b= b$ ; dla belki teowej  – szerokość środnika $b_w$ lub pasa $b_f$ (rys, Z-8) dla belki ko przekroju kołowym  średnica $b=D$

• współczynnik $\delta$ redystrybucji naprężenia w przekroju (stosunek momentu po redystrybucji do momentu sprężystego):

$$\begin{equation}  \delta= \cfrac{\mu_{ult}}{\mu_{el}} \label {6} \end{equation}$$

• unormowana siła osiowa

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel \,  n_\# =\cfrac{N_\# }{\overline N} \label {7} \end{equation}$$

Czynnik normujący siłę osiową $$\begin{equation} \overline {N}=A_c \cdot f_{cd}^{’} \label {8} \end{equation}$$

gdzie $A_c=b\cdot d $ jest efektywnym polem przekroju betonu ($\ref{12}$)

• unormowana wysokość strefy ściskanej

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel \, \xi_⊕=\cfrac{x_⊕ }{d} \label {9} \end{equation}$$

gdzie  ⊕= ult – dla wartość granicznej,  ⊕=eff-  zredukowana współczynnikiem redukcji $\lambda$ (efektywna)

• unormowane ramię – mimośród siły w przekroju

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel \, \zeta_⊕=\cfrac{z_⊕}{d} \label {10} \end{equation}$$

• stopień zbrojenia (unormowane pole zbrojenia)

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel \, \rho_⊗=\cfrac{A_{s,⊗}}{A_c } \label {11} \end{equation}$$

gdzie:
$A_c $ ($\ref{12}$)
⊗= l (lower) – dla zbrojenia dolnego (rozciąganego),
⊗= u (upper) – dla zbrojenia górnego (ściskanego),
⊗=s dla sumy zbrojenia,

• efektywne pole przekroju betonu $A_c= A_{c,brutto}$ – pole otulenia dolnego $A_{su}$, czyli dla przekroju prostokątnego: 

$$\begin{equation} A_c=  b \cdot (h- a_l) = b\cdot  d \label {12} \end{equation}$$ i  analogicznie dla innych typów przekrojów

• wysokość ściskanej bryły betonu

$\to$ rzeczywista

$$\begin{equation} x \, \parallel \to\parallel \, \xi=\cfrac{14}{d} \label {13}\end{equation}$$

$\to$ efektywna   (tylko w modelu MU).

$$\begin{equation} x_{eff}= \lambda \cdot x  \, \parallel \to\parallel \,  \xi_{eff} = \cfrac{x_{eff}}{d} \label {14}\end{equation}$$

gdzie $\lambda$ ($\ref{20}$)

• pole przekroju betonu sprowadzone do stali 

$$\begin{equation} A_{c, s} = A_c \cdot \cfrac{f_{cd}^{’}}{f_{yd}^{’}} \label {15} \end{equation}$$

gdzie:  $f_{cd}^{’}$ ($\ref{1}$), $f_{yd}^{’}$ ($\ref{2}$),

• pole ściskanej bryły betonu (zależnie od stosowanego modelu betonu)

$$\begin{equation} A_{cx}= \begin {cases}
\cfrac{17}{21} \cdot x \cdot b, & \text { w modelu MN}\\
x_{eff}\cdot b, & \text { w modelu MU}\\
\end{cases} \label{16} \end{equation}$$

• pole  ściskanego betonu sprowadzone do stali

$$\begin{equation} A_{cx, s} = A_{cx} \cdot \cfrac{f_{cd}^{’}}{f_{yd}^{’}} \label {17} \end{equation}$$

gdzie:  $f_{cd}^{’}$ ($\ref{1}$), $f_{yd}^{’}$ ($\ref{2}$)

• odległość  środka ściskanej bryły betonu od górnej krawędzi  przekroju

$$\begin{equation} x_c=  \begin {cases} \cfrac{99}{238}\cdot x , & \text { w modelu MN}\\
\cfrac{1}{2} x_{eff} , & \text { w modelu MU}\\
\end{cases} \label{18}\end{equation}$$

Model żelbetowego przekroju zginanego

Podstawowe założenia modelu

1. Żelbetowy pręt zginany analizuje się ramach klasycznej teorii belek Bernoullego, czyli przyjmuje założenie płaskich przekrojów,  czyli „przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu”, z którego wnioskiem jest to, że  odkształcenia  włókien  przekroju  zmieniają się liniowo po wysokości podług zależności ($\ref{35}$).
2. Pomija się naprężenia rozciągające w betonie,
3. Pomija się składowe naprężenia inne niż  normalne w kierunku osi belki $\sigma$, a jednoosiowe prawo Hooke’a obowiązuje  dla każdego włókna   belki  $\sigma_w =E_w \cdot \varepsilon_w$: dla betonu „w=c” wg ($\ref{41}$) , dla stali „w=s” wg ($\ref{45}$). Moduł Younga włókien   stalowych wynosi  $E_s= 200 \, GPa$ Moduł Younga ściskanych włókien betonowych wynosi  $E_c=27 \, do \, 45 \, MPa$ (moduł średni) zależnie od klasy betonu wg tab W-1  i w zależności od stanu konstrukcji po uwzględnieniu pełzania  betonu, czyli  zależy od wieku analizowanego elementu – zgodnie z  zasadami z rozdziału Pełzanie i skurcz betonu
4. Maksymalne odkształcenie włókna ściskanego przekroju nie może przekroczyć wartości $\varepsilon_{cu} =3,5$ ‰ ( $\varepsilon_{cu2}$ w modelu MN i $\varepsilon_{cu3}$ w modelu MU), (rys. Z-1 i Z-2)
5. Dopuszcza się pełne uplastycznienie zbrojenia stalowego, czyli $\varepsilon_s \ge \varepsilon_{yd}= f_{yd}/E_s$, ale w ogólności naprężenia w zbrojeniu mogą być mniejsze od granicy plastyczności $\sigma_s \le f_{yd}$
6. Rozkład naprężenia w części ściskanej betonu (powyżej osi obojętnej)  jest paraboliczny, opisany zależnością  ($\ref{19}$) –  model nieliniowy MN  = rys. Z-1 .
7. Dopuszcza się aproksymację parabolicznego rozkładu naprężenia w strefie ściskanej przez rozkład prostokątny – model uproszczony MU (rys. Z-2 ) ze współczynnikami redukcyjnymi strefy ściskanej, określonymi formułami ($\ref{20}$), ($\ref{21}$). Dla zwykłego betonu BZ współczynnik wysokości strefy ściskanej wynosi $\lambda_{BZ} =0,8$.

 

Model nieliniowy MN

Model rozkładu naprężenia na wysokości $x$ strefy ściskanej betonu jest paraboliczny dla odkształcenia betonu $0 < \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2} = 2,0$ ‰ i prostokątny dla $0 < \varepsilon_c > \varepsilon_{c2} < \varepsilon_{cu2}=3,5$ ‰ [1], kl. 3.1.7(1)   (wykładnik potęgi $n=2$ dla betonu zwykłego  BZ i n wg tab. W-1 dla betonów wysokiej wytrzymałości BWW).

Nieliniowy (paraboliczny) model betonu MN  z rys. z-1, można opisać formułami [1], wzory (3.17)-(3.18) :

$$\begin{equation}\sigma_c (z)=  \begin {cases}
f_{cd}, & \text{  jeśli  } \varepsilon_{c2} \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu2}\\
f_{cd}\cdot \left [ 1 -\left( 1-\cfrac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}} \right)^n \right],& \text { jeśli  } \varepsilon_c  < \varepsilon_{c2} \\ \end{cases} \label{19}\end{equation}$$

gdzie wykładnik potęgi zgodnie z tab. W-1 (dla betonu BZ  n=2), $\varepsilon_{cu2}=3,5$‰ – graniczne (maksymalne) odkształcenie betonu (dla BZ) $\varepsilon_{c2}=2$‰ – najmniejsze odkształcenie, przy którym w betonie wystąpią naprężenia $f_{cd}$ (dla BZ)

Całkowanie rozkładu ($\ref{19}$) prowadzi do zależności ($\ref {16}$)  na pole ściskanej bryły betonu $Z_{c,x}$ oraz do ($\ref{18}$) na odległość środka tej bryły od krawędzi górnej przekroju $x_c$

Model uproszczony MU

Zgodnie z klauzulą [1],kl.3.1.7(3) w obliczeniach inżynierskich dopuszcza się założenia upraszczające, polegające na aproksymacji parabolicznej bryły naprężenia w modelu MN  przez bryłę prostokątną MU, w sposób pokazany na rys. Z-2.

W uproszczonym modelu  MU zmniejsza się wartość naprężenia w betonie do $\eta f_{cd}$ i wysokość bryły naprężenia do $\lambda x$, zgodnie z wartościami zamieszczonymi w tab. W-1. W celu skóćenia zapisu formuł – zredukowana wysokość strefy ściskanej betonu jest oznaczana przez $x_{eff} = \lambda x$.

Graniczne odkształcenia betonu w modelu MU $\varepsilon_{cu3}$ są takie d\same jak modelu MU  $\varepsilon_{cu2}$  i wynoszą 3,5‰. Natomiast odkształcenia betonu BZ  na początku strefy prostokątnej (dla $\sigma_c =\eta\cdot f{cd}$) w modelu MN wynoszą $\varepsilon _{c2}$=2 ‰, a  w modelu MU $\varepsilon _{c3}$= 1,75 ‰ . Dla betonów BWW stosowne wartości podano w  tab. W-1.

Model MU przedstawiony na rys. Z-2 definiują formuły (3.19)-(3.22) normy [1], które opisują współczynnik $\lambda$, określający efektywną wysokość strefy ściskanej oraz współczynnik $\eta$, określający efektywną wytrzymałość betonu podług zależności :

$$\begin{equation} \lambda= \begin {cases} 0,8 , & \text {dla BZ} \\ 0,8-\cfrac{f_{ck}-50}{400} , & \text {dla BWW}\end {cases} \label{20}\end{equation}$$

$$\begin{equation} \eta= \begin {cases} 1,0 , & \text {dla BZ} \\ 1,0-\cfrac{f_{ck}-50}{200} , & \text {BWW} \end {cases} \label{21}\end{equation}$$

Siły przenoszone przez beton: osiowa F_c  i  moment M_c

Wypadkowa bryły naprężenia w betonie $F_c$  (lub po unormowania $n_c$ ($\ref{7}$) zaprezentowana na rys. Z-1 (model MU) i rys Z-2 (model MN) wynosi

$$\begin{equation} F_c = \parallel \to\parallel   n_c= \begin {cases}
\cfrac {17}{21}  \cdot b \cdot x \cdot f_{cd}^{’}\,  \parallel \to\parallel \, \cfrac {17}{21}  \cdot \xi \approx 0,81 \cdot \xi &  \text{ w modelu  MN (nieliniowym, parabolicznym)}\\
b \cdot x_{eff} \cdot f_{cd}^{’}\,  \parallel \to\parallel \, \xi_{eff}\approx 0,8 \cdot \xi, &  \text { w modelu  MU (uproszczonym, prostokątnym)}\\
\end{cases} \label{22}\end{equation}$$

gdzie:
$x_{eff}$,  $\xi_{eff}$ ($\ref{14}$),
$f_{cd}^{’}$  ($\ref{1}$).
$n_c= \cfrac{F_c }{\overline N}$ unormowana siła ściskająca bryłę betonową (podług zależności ($\ref{7}$))

W modelu MN zależnie od rodzaju betonu z zestawu betonów wysokiej wytrzymałości BWW zmienia się wykładnik potęgi „n”  paraboli ($\ref{19}$). W celu uwzględnienia tej zależności  – również dla modelu MN (podobnie jak dla MU) wytrzymałość betonu redukuje się współczynnikiem $\eta$ zgodnie z zależnością ($\ref{1}$). Dokładniejsza specyfikacja wpływu zmian wykładnika „n” na opór ściskanej bryły betonu nie jest przedmiotem artykułu.

W przypadku  przeważającego zginania (rys. Z-3, stan C)  wysokość strefy ściskanej  $x\le h$ i moment bryły naprężenia w betonie $M_c$ względem osi zbrojenia rozciąganego, dolnego, można wyznaczyć  ze standardowej  zależności:

$$\begin {equation} M_c= F_c \cdot z_c, \,  \parallel \to\parallel  \, m_c = n_c \cdot \zeta_c \label {23} \end {equation}$$

ramię $z_c$ działania siły $F_c$ względem osi zbrojenia dolnego wynosi

$$\begin {equation} z_c = d  – x_c \,  \parallel \to\parallel  \, \zeta_c =1- \xi_c \label {24} \end {equation}$$

gdzie:
$d$ – użyteczna  wysokość przekroju ($\ref{5}$) dla zbrojenia dolnego, rozciąganego ($d=d_l$),
$\zeta_c = \cfrac {z_c}{d}$ unormowana odległość $x_c$,

Odległość $x_c$ siły $F_c$ od górnej krawędzi przekroju zależna od modelu betonu, wynosi :

$$\begin{equation} x_c = \parallel \to\parallel \xi_c = \begin {cases}
\cfrac{99}{238}\cdot x  \,  \parallel \to\parallel  \,  \cfrac{99}{238}\cdot \xi \approx 0,416 \cdot \xi, &  \text{ w modelu  MN}\\
\cfrac{1}{2} \cdot x_{eff} \,  \parallel \to\parallel  \, \cfrac{1}{2} \cdot \xi_{eff} \approx 0,5 \cdot 0,8= 0,400 \cdot \xi &  \text{ w modelu  MU dla BZ}\\
\end{cases} \label{25}\end{equation}$$

Porównanie modelu  nieliniowego MN i uproszczonego MU

Wysokość strefy ściskanej w modelu MU dla betonu zwykłego BZ  wynosi $\lambda \cdot x= 0,8 \cdot x$, a w modelu MN niezależnie od rodzaju betonu $\lambda=17/21= 0.81$.  Odległość siły w betonie $F_c$ od krawędzi górnej przekroju w modelu  MU $x_c= x_{eff}/2= 0,5 \cdot 0,8= 0,4 \cdot x$, a w modelu MN  $ x_c=\cfrac{693}{1666} = 0,416 \cdot x $. Różnice nie przekraczają kilku procent i są akceptowane w  ręcznych obliczeniach inżynierskich.

W modelu nieliniowym opór betonu mierzony siłą osiową wynosi $F_c$ oraz mierzony momentem zginającym $M_c$ i nie zależy od współczynnika $\lambda$. Ze względu na to, że model MN jest bardziej uniwersalny  i dokładny – w niniejszym artykule jako podstawowy stosuje się model MN, a model MU jedynie do celów porównawczych.

Graniczna wysokość ściskanej strefy betonu

Graniczna wysokość strefy ściskanej ξ_ult, a zniszczenie kruche betonu

Wysokość strefy ściskanej betonu jest ograniczona poprzez dopuszczalną redystrybucję naprężenia w przekroju zgodnie zasadami dotyczącymi sprężystej analizy betony z ograniczoną redystrybucją. Redystrybucja naprężenia w zakresie nieliniowym dotyczy nie tylko punktów wzdłuż konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, ale także redystrybucji naprężenia po wysokości przekroju. W przypadku redystrybucji naprężenia na wysokości przekroju również mają zastosowanie wyrażenia z klauzuli  [1],kl.5.5(4), zalecanej dla analizy liniowo-sprężystej z ograniczoną redystrybucją belek lub płyt statycznie niewyznaczalnych, a mianowicie :

$$\begin{equation} \delta \ge \begin {cases}
0,44+1,25 \cdot \xi_{ult}, & \text {dla BZ} \\
0,54+k_4 \cdot \xi_{ult}.,  & \text {dla BWW} \\
0,7  , & \text {dla stali B lub C} \\
0,8  , & \text {dla stali A} \\
\end {cases} \label {26}\end{equation}$$

Współczynnik $k_4=\cfrac{1,25 \cdot (0,6+0,0014)}{\varepsilon_{cu}}$ dla poszczególnych betonów zestawiono w tab.W-1.

Z ($\ref{26}$) otrzymujemy :

$$\begin{equation} \xi_{ult} < \begin {cases}
(\delta – 0,44)/1,25, & \text {dla BZ } \\
(\delta – 0,54)/k_4 & \text {dla BWW }
\end {cases} \label{27}  \end{equation}$$

Dla powszechnie stosowanej plastycznej stali klasy B lub C  – $\delta_{max}= 0,7$ (30% redystrybucji) i z równań ($\ref{27}$) otrzymujemy :

$$\begin{equation} \xi_{ult} <  \begin {cases}
0,208, & \text {dla  BZ } \\
0,160/k_4 & \text {dla BWW } \\
\label {28} \end {cases} \end{equation}$$

W wielu polskich podręcznikach (m.in. podręcznik do technikum  budowlanego [2] ; podręcznik dla studentów budownictwa  [3], [4] i in.)  przedstawia się odmienną interpretacje granicznej wysokości strefy ściskanej, a mianowicie taką przy której w zbrojeniu rozciąganym osiąga się granicę plastyczności. Z tego kryterium wyprowadza się formułę

$$\begin{equation} \xi_{ult,PL}= \cfrac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{cu2} +{\varepsilon _{yd}}}\label {29} \end{equation}$$

gdzie $\varepsilon _{yd}=f_{yd}/E_s$ Na rys. Z-1 zilustrowano $x_{ult}= \xi_{ul.PL} \cdot d$ (bez indeksu PL).

Dla najczęściej stosowanej stali B500 i BZ  z ($\ref{29}$) otrzymujemy:

$$\begin{equation} \xi_{ult,PL}= 0,617 \label {30} \end{equation}$$

Porównanie wartości $(\ref{30})$ (uzyskanej przy dopuszczeniu pełnego uplastycznienia stali) z wynikiem, ($\ref {28}$) uzyskanym dla granicznej redystrybucji naprężenia w strefie ściskanej – wskazuje, że stosowanie pierwszego, historycznego warunku ($\ref{29}$) prowadzi do znaczącego przekroczenia dopuszczalnej redystrybucji naprężenia na wysokości przekroju betonowego.  Akceptacja hiperredystrybycji  dopuszcza też przypadki matematycznie nierzeczywiste, co pokazano przy wyprowadzeniu zależności na graniczną rzeczywistą wysokości strefy ściskanej ($\ref{53}$).

Przy pełnej redystrybucji naprężenia w przekroju – wysokość strefy osiągnie  $\xi=0,45$, więc $\xi=0,617$ jest fizycznie niemożliwe.
Graniczna wysokość strefy  ściskanej ($\ref {39}$) jest pozostałością historycznego podejścia, które jest błędne i nie powinno być nadal  stosowane.

W celu ilustracji powyższego wywodu, w tab Z-1 zestawiono zależność stopnia redystrybucji $\delta$ od wysokości strefy ściskanej $\xi_{ult}$ dla betonu zwykłego BZ.

Tab. Z-1.Stopień redystrybucji naprężenia w betonie w funkcji granicznej wysokości strefy ściskanej z ($\ref{27}$)

W wieku krajach, np. [5] od lat zaleca się stosowanie do wymiarowania przekrojów zginanych współczynnika redystrybucji $\delta=0,85$,  Dla takiego współczynnika graniczna wysokość strefy ściskanej wyniesie  $\xi_{ult}=0,33$.

W niniejszym artykule przyjmujemy wartość graniczną strefy ściskanej $\xi_{ult}$  = 0,35  (dla betonu BZ), która jest graniczną wartością rzeczywistą ($\ref{53}$).i odpowiada stopniowi redystrybucji $\delta=$ 0,88, czyli :

$$\begin{equation} \xi_{ult} = \begin {cases}
\cfrac{0,88 – 0,44}{1,25} = 0,35, & \text {dla BZ } \\
\cfrac{0,88 – 0,54}{k_4} = \cfrac{0,34}{k_4} & \text {dla BWW }
\end{cases} \label{31}\end{equation}$$

gdzie wartości współczynnika $k_4$ podano w tab.W-1.

Wartości graniczne $(\ref{31})$ dotyczą rzeczywistej wysokości strefy ściskanej, a nie zredukowanej współczynnikiem $\lambda$ (efektywnej). Założenie $(\ref{31})$ o wysokości strefy ściskanej dotyczy zarówno modelu MN  jak i MU.  Nie przekraczanie tej wartości strefy ściskanej mniejsza ryzyko zniszczenia przekroju zginanego poprzez kruche zniszczenie betonu, co w konsekwencji prowadzi do zapewnienia odpowiedniej niezawodności zginanych przekrojów żelbetowych.

Nośność graniczna przekroju z warunku kruchego zniszczenia betonu

Nośność graniczną bryły betonu z warunku kruchego zniszczenia uzyskamy z rozwiązania $(\ref{51})$ względem $m_{Ed}$. Dla betonu zwykłego BZ, otrzymamy:

$$\begin{equation} \parallel \to\parallel \, m_{ult} = \begin {cases}
\cfrac{\xi_{ult}}{2058} \cdot  \left (1666 – 963 \cdot \xi_{ult} \right),& \text { MN }\\
$\xi_{ult,eff} \cdot \left(1- \cfrac{\xi_{ult,eff}}{2} \right), & \text {  MU }\\
\end {cases} \label{32}  \end{equation}$$

Po podstawieniu granicznej wysokości strefy ściskanej $\xi_{ult}=0,35$  ($\ref{31}$) uzyskamy wartości graniczne nośności ściskanej bryły betonu

$$\begin{equation} \parallel \to\parallel \, m_{ult} = \begin {cases}
\cfrac{0,35}{2058} \cdot  \left (1666 – 963 \cdot 0,35 \right) = 0,226 = m_{ult,MN} & \text { MN }\\
0,28 \cdot \left(1- \cfrac{0,28} {2} \right) = 0,241 = m_{ult,MU}, & \text {  MU }\\
\end {cases} \label{33}  \end{equation}$$

gdzie w modelu MU efektywna graniczna wysokość wynosi $\xi_{ult,eff} =0,8\cdot 0,35= 0,28$

Dla betonów  BWW   $m_{ult}$  wyznacza się indywidualnie z zależności ($\ref{32}$)  po podstawieniu wartości  $ \xi_{ult}$ ($\ref{31}^2$) dla konkretnego betonu.

Uogólnienie granicznej wysokości strefy ściskanej

Graniczną wysokość strefy ściskanej nie może być przekroczona, po to, by  zabezpieczyć beton przed kruchym pękaniem. W istocie należy ja wyznaczać   z warunku granicznego gradientu  (szybkości) spadku odkształceń po wysokości przekroju, jak następuje:

$$\begin{equation} \nabla \xi_{ult}= \cfrac{ \Delta \varepsilon }{  \Delta \xi_{ult}}  \begin {cases}
(0,0035-0)/ 0,35  = 10 \text{‰},  & \text {dla BZ } \\
(0,0035-0)/ (0,34/k_4)  = 10,3 /k_4 \text{‰}, & \text {dla BWW} \end {cases} \label{34}  \end{equation}$$

gdzie przyrost $ \Delta \xi_{ult}$ przyjęto za $(\ref{31})$.

Powyższe uogólnienie wyjaśnia istotę granicznej wysokości strefy ściskanej jako wartości własnej betonu. Oczywiste staje się, że   łączenie wysokości granicznej z wytężeniem zbrojenia nie jest właściwe.
Ponadto wyjaśniono, że graniczna wysokość strefy ściskanej dotyczy przypadku przeważającego zginania (rys. W-2c), a w przypadkach czystego lub przeważającego ściskania a także przeważającego rozciągania (rys. W-2a,b) wartości $ \nabla \xi_{ult}$ nie można przekroczyć, więc w tych przypadkach sprawdzenie warunku granicznej wysokości strefy ściskanej jest zbędne.

Równania przekroju

Zasada płaskich przekrojów

 Odkształcenia podlegają zasadzie płaskich przekroi Bernoulliego , wyrażonej formułami  ($\ref{35}$) wynikającymi z rys. Z-1 :

$$\begin {equation} \cfrac{\varepsilon_{sl}}{d_l-x}= \cfrac{\varepsilon_{su}}{x – d_u}=\cfrac{\varepsilon_{cu}}{35} \label {35} \end {equation}$$

gdzie: $\varepsilon_{cu}=$3,5‰  = $\varepsilon_{cu3}$ dla modelu prostokątnego MU i $\varepsilon_{cu2}$ dla modelu MN.

$(\ref{35})$ można uzyskać jawną postać odkształcenia zbrojenia górnego (u) i dolnego (l):

$$\begin {equation} \varepsilon_{sl}=\varepsilon_{cu} \cdot (d_l /x-1) \qquad \varepsilon_{su}=\varepsilon_{cu} \cdot (1 – d_u/x) \label {36} \end {equation}$$

Z $(\ref{36})$ wynika, że zależnie od relacji wysokości strefy ściskanej $x$ oraz wysokości użytecznych zbrojenia zachodzą następujące przypadki wytrzymałościowe:

TT (ang. Tension-Tension) $x=0$ – przypadek dla którego odkształcenia w stali są nieokreślone. Odpowiada to jednorodnemu rozciąganiu przekroju, w którym w całym przekroju (w betonie i stali) mamy odkształcenia rozciągające, a przekrój podlega analizie prętów zespolonych . Takim przypadkiem nie zajmujemy się w niniejszym artykule – jest on przedmiotem artykułu Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe.

CC (ang. Compresion-Compresion) $  x > d_u \,  x \le d_l \to $  $\varepsilon_{su} > 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, oba zbrojenia są ściskane – jest to przypadek małego mimośrodu. CT (ang. Compresion-Tension) $  x > d_l  \to \, \varepsilon_{su} > 0 \, , \, \varepsilon_{sl} < 0$, czyli zbrojenie górne jest ściskane, a zbrojenie dolne rozciągane  – jest to przypadek dużego mimośrodu, obejmujący również klasyczne zginanie belek. Do przypadku

CT zaliczymy też  $ x \le d_u  \to$  $\varepsilon_{su}\le 0$,  $\varepsilon_{sl} > 0$, dla którego  zbrojenie górne jest rozciągane, a dolne ściskane. Wystarczy analizować przekrój odwrócony o 90⁰ . Na rys.  Z3  przypadki wytrzymałościowe TT, CC, CT zestawiono w korelacji z punktami A-E na krzywej integracji zginania i ściskania przekroju żelbetowego.

W niniejszym artkule zasadniczo zajmujemy się zginaniem, czyli  przypadkiem wytrzymałościowym CT  i to w punkcie E  na rys Z-3. ($N_{Ed}=0$). Wprowadzenie do innych przypadków zawiera rozdział  Dwukierunkowe zginanie_My-Mz_z udziałem N.

Warunki równowagi przekroju jednoosiowo zginanego

Na rys. Z-1 i Z-2 pokazano siły działające w przekroju z przyjętą konwencją znakowania sił zewnętrznych:  zewnętrzny moment  zginający $M_{Ed}$ jest dodatni jeśli rozciąga dolne włókna przekroju, zewnętrzna siła osiowa $N_{Ed}$ jest dodatnia, jeśli ściska przekrój. Założono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych: siły  $F_c$ i $F_{su}$ są ściskające, siła $F_{sl}$ jest rozciągająca. Jeśli z rozwiązania zadania uzyskamy znaki ujemne, to będzie oznaczało, że w danej sytuacji obliczeniowej siła działa przeciwnie do założonego zwrotu.

Warunki równowagi przekroju zginanego momentem $M_{Ed} =M_y$ względem osi większej sztywności przekroju (y-y) oraz ściskanego /rozciąganego siłą osiową $N_{Ed}$ można zapisać w postaci

$$\begin{equation} \begin {cases} \Sigma X=0 \to  N_{Ed} – F_c – F_{su}  + F_{sl}=0\\ \Sigma M_y=0 \to  M_{Ed} – M_{c,y} – F_{su} \cdot (h/2 – a_u) – F_{sl} \cdot (d_0 – a_l)=0 \end {cases} \label {37}\end{equation}$$

Ponieważ spełnione powinny być oba warunki  $(\ref {37})$ jednocześnie, więc złożenie (suma) obu warunków powinna być stateczna. Po przemnożeniu pierwszego równania obustronnie przez $- h/2$ i dodaniu obu równań skonsolidowany warunek równowagi przyjmuje postać:

$$\begin{equation} R=(M_{Ed} – M_{c,y}) – (N_{Ed}+2\cdot F_{sl} – F_c)\cdot h/2 + (F_{sl} \cdot  a_l+ F_{su} \cdot  a_u) = 0 \label {38} \end{equation}$$

Po przekształceniach skonsolidowany warunek równowagi  żelbetu możemy zapisać w postaci przydatnej do wyznaczania sumy zbrojenia przekroju:

$$\begin {equation} (F_{sl} +F_{su})=\cfrac {2\cdot  (M_{Ed}-M_{c,y})} {d_{lu}}+ (N_{Ed}-F_c) \label {39} \end {equation}$$

gdzie:
$d_{lu}=h/2-a_u-a_l$
$F_c$ – wypadkowa bryły naprężenia w betonie ($\ref{22}$) ,
$M_{c,y}$ – moment zginający przenoszony przez beton liczony względem środka przekroju  wynosi

$$\begin {equation} M_{c,y} =F_c \cdot \left( h/2 – x_c \right) \label {40} \end {equation}$$

gdzie $x_c$ ($\ref{25}$)

Prawo fizyczne betonu. Moduł materiału, a moduł górnego lub dolnego włókna belki

Prawo fizyczne betonu wiąże odkształcenia w betonie $\varepsilon_c$ z naprężeniem $\sigma_c$ i jest zapisywane w postaci analogicznej do wzoru Hooke’a dla materiału jednorodnego: $$\begin{equation}\sigma_c=E_c \cdot \varepsilon_c \label{41}\end{equation}$$

przy czym moduł odkształcalności betonu E_c(ε_c, t) jest w ogólności nieliniową funkcją odkształceń betonu oraz czasu $t$ i zmniejsza się istotnie wraz ze wzrostem pełzania betonu [1], Rys.3.2, a prawo $(\ref{41})$ jest w istocie nieliniowe. W mechanice prętów żelbetowych w normie  [1]  model $(\ref{41})$  aproksymowano przybliżoną, ale niezależną od czasu postacią przedstawioną na rys. Z-1 (model nieliniowy) lub na rys.  Z-2 (model uproszczony).

Obliczeniowy moduł odkształcalności betonu jest modułem siecznym i jest minimalny dla włókna skrajnego (tam, gdzie odkształcenie jest maksymalne ε_c=ε_cu2 lub ε_cu3). Nazwiemy go modułem włókna górnego :

$$\begin{equation}E_{cu}=f_{cd}/\varepsilon_{cu2} \label{42}\end{equation}$$

Na przykład dla betonu C30/37  moduł włókna górnego wynosi E_cu=(30/1,4)/3,5‰=6,1 GPa. Dla porównania: średni moduł styczny dla  betonu C30/37 wynosi E_cm=32 GPa, a moduł długotrwały (z uwzględnieniem pełzania) E_c,ef=E_cm/[1+φ(∞,t₀)] ≈ E_cm/(1+2)=32/3=10,7 MPa.

Moduł włókna dolnego $E_{cl}$ zależy od fazy pracy przekroju, przy czym w każdej fazie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Z proporcji płaskiego przekroju mamy możemy wyznaczyć odkształcenie betonu na podstawie odkształcenia pręta stalowego, jak następuje:

$$\begin{equation}  \varepsilon_{cl}= \varepsilon_{sl} \cdot \cfrac{h}{d_l}=\varepsilon_{sl} \cfrac{1}{1-a_l /h }\label{43}\end{equation}$$

Z prawa fizycznego ($\ref{41}$) moduł  włókna dolnego $E_{cl}$ dla $\sigma_{cl}=f_{ctm}$ wynosiłby na przykład

$$\begin{equation} E_{cl} =\cfrac{\sigma_{cl}} {\varepsilon_{cl}}= \cfrac {f_{ctm}}{\varepsilon_{sl}} \cdot \cfrac{1}{1-a_l /h } \label{44}\end{equation}$$

Moduły $E_{cu}$, $E_cl$  oraz $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$  są innymi wielkościami jakościowo, bowiem $E_{cm}$ i $E_{c,ef}$ dotyczą materiału, a $E_{cu}$ i $E_{cl}$  dotyczą włókien konstrukcji.

W problemie zarysowania i ugięć (rozdział Rysy i ugięcia belek) stosuje się efektywny moduł  odkształcalności $E_{c,ef}$ zależny od pełzania w czasie (rozdział Pełzanie i skurcz betonu)

Prawo fizyczne stali zbrojeniowej

Prawo fizyczne jest takie same dla zbrojenia górnego i dolnego (⊗=u,l): $$\begin{equation}\sigma_{s⊗}=E_s \cdot \varepsilon_{s⊗} \label{45}\end{equation}$$

gdzie moduł Younga w zakresie sprężystym i w temperaturach $30^o C \le t \le 100^o C$ przyjmuje się $E_s=200 GPa$, a po przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności $f_yd$, czyli przy odkształceniu większym $\varepsilon_{yd}=f_{yd} / E_s$  moduł odkształcalności jest modułem stycznym, zależnym od modelu stali. Dla najczęściej stosowanego modelu idealnie sprężysto-plastycznego (Prandtla) moduł styczny stali wynosi $E_s=f_yd/ \sigma_s$, gdzie $\sigma_s$ jest aktualnym naprężeniem w stali.

Stal zbrojeniowa może mieć  klasę  plastyczną stali ( A- mała ciągliwość , B – średnia ciągliwość . C – duża ciągliwość ), a zaleca się  stosować stal klasy B lub C. Podział stali dokonuje się ze względu wartość współczynnika $k=f_t/f_y$ (= granica wytrzymałości w próbie rozciągania /granica plastyczności) oraz graniczne odkształcenia charakterystyczne $\varepsilon_{ul}$ , obserwowane przy zerwaniu próbki (przy naprężeniach $f_t$):

$$\begin{equation} \varepsilon_{uk} (f_{tk}) \in \begin {cases} [2,5 \, ; 5) \% , & \text{dla stali klasy A}\\ [5\, ; 7,5) \% , & \text{dla stali klasy B}\\ [7,5 \% , & \text{dla stali klasy C} \end {cases} \label {46} \end{equation}$$

$$\begin{equation} k=f_t/f_y  \begin {cases} \ge 1,05 \% , & \text{dla stali klasy A}\\ \ge  1,08 \% , & \text{dla stali klasy B}\\ >1,15 \% ,\le 1,35 \% & \text{dla stali klasy C} \end {cases} \label {47}\end{equation}$$

W tab. W-2 zestawiono najczęściej stosowane stale zbrojeniowe.

Na rys. Z-4 pokazano modele stali przyjmowane w analizie żelbetu. Powszechnie stosuje się model idealnie sprężysto-plastyczny (model Prandtla), a w dokładniejszych analizach model ze wzmocnieniem liniowym. Pomimo tego, że współczynnik k jest niewielki dla stosowanych stali zbrojeniowych, to w modelu stali ze wzmocnieniem można uzyskać nośności nawet o 10% wyższe niż dla modelu Prandtla bez wzmocnienia.

W modelu ze wzmocnieniem liniowym naprężenia w zbrojeniu wyznacza się z zależności:

$$\begin{equation} \sigma_s = \begin {cases} E_s\cdot \varepsilon_s , & \text {dla  $\varepsilon_s \le \varepsilon_{yd}$} \\ f_{yd} \cdot [ 1+k_w \cdot ( \varepsilon_s-\varepsilon_{yd})] , & \text { dla $ \varepsilon_{yd} <\varepsilon_s \le \varepsilon_{ud}$ } \\ f_{ud}=f_{uk}/1,15 , & \text{ dla $\varepsilon_s > \varepsilon_{ud}$} \end {cases} \label {48}\end{equation}$$

gdzie $\varepsilon_{yd}$ oraz $k_w$ zestawiono w tab. W-2. Graniczne obliczeniowe odkształcenie stali $\varepsilon_{ud}=0,9\cdot\varepsilon_{uk}$, przyjęto jako wartość graniczną, wynikającą z definicji rodzajów stali $(\ref{47})$.

Rozwiązanie zagadnienia jednokierunkowo zginanej belki żelbetowej

Zadanie jednokierunkowego zginania belki żelbetowej obliczeniowym momentem zginającym $M_{Ed}$ tylko w jednym kierunku  ( $ M_{Ed}=M_y$ ; $N_{Ed}≡ 0$; $M_z=0$ ; $ M_T= M_x =0 $) jest podstawowym zadaniem teorii żelbetu i może być rozwiązany „w kwadraturach”.

Klasyczna technika projektowania belki

Klasyczną technikę projektowania belki nazwiemy MU lub MN zależnie od zastosowanego modelu betonu uproszczonego-prostokątnego MU ( rys. Z-2) lub nieliniowego=parabolicznego MN (rys. Z-1).

W projektowaniu żelbetowej belki zginanej poszukuje się wysokości $x$ strefy ściskanej betonu oraz potrzebnych, teoretycznych powierzchni zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{sl}^T$ oraz górnego (ściskanego) $A_{su}^T$. Na podstawie powierzchni teoretycznych dobiera się liczbę oraz średnice prętów które dają powierzchnie rzeczywiste zbrojenia Dla takiego znanego przekroju i zbrojenia można wyznaczyć wydłużenia, a następnie siły w poszczególnych prętach i rzeczywistą wysokość strefy ściskanej oraz nośność przekroju.

Warunek wytrzymałościowy jednoosiowo zginanego przekroju żelbetowego

Wymaga się , by przekrój żelbetowy zginany obliczeniowym momentem zginającym pochodzącym od obciążeń zewnętrznych $M_{Ed}$ – obliczeniowa nośność przekroju $M_{Rd}$ była większa od obciążenia, co zapisuje się w  postaci: (bezwzględnej) $\parallel \to\parallel$ (unormowanej):

$$\begin{equation}  M_{Rd} \ge  M_{Ed} \,  \parallel \to\parallel  \,  m_{Rd} \ge  m_{Ed} \label {49} \end{equation}$$

Nośność przekroju pojedynczo zbrojonego [-]

Nośność przekroju pojedynczo zbrojonego [-], czyli nośność przekroju bez zbrojenia górnego, ściskanego ($A_{su}=0$ \to  $F_{su}=0$ oznaczmy przez $M_{Rd,[-]}$. Nośność tą  można bezpośrednio wyznaczyć z warunku równowagi momentów wokół osi zbrojenia rozciąganego jako nośność ściskanej bryły betonu  $M_{Rd,c}$  ( siła w zbrojeniu $F_{sl}$ nie uczestniczy w warunku). Otrzymamy:

$$\begin{equation}M_{Rd,[-]} = M_{Rd,c} =M_c \label {50} \end{equation}$$

gdzie $M_c$ wg ($\ref{23}$) do ($\ref{25}$)

Wysokość strefy ściskanej i ramię – mimośród siły

W  staniu granicznym, czyli dla $m_{Rd,c } = m_{Ed}$ – z równania kwadratowego zestawionego z równań   ($\ref{50}$}+ ($\ref{23}$) do ($\ref{25}$) możemy wyznaczyć  wysokość strefy ściskanej $\xi$ jako  pierwiastki tego równania:

$$\begin{equation} \,  \parallel \to\parallel \, \xi(\mu)= \begin {cases}
\cfrac{7}{953} \cdot \left [  \sqrt{ 7 \cdot (2023 – 5778 \cdot \mu) } \pm 119 \right], & \text{ w modelu  MN}\\
1 \pm \sqrt{1- 2 \cdot \mu} ,& \text{ w modelu  MU}\\
\end{cases} \label{51}\end{equation}$$

gdzie: $\mu$ – obciążenie przekroju momentem:
$\mu =m_{Ed}$ – obciążenie całkowite przy zbrojenia pojedynczym,
$\mu =m_{Ed}^*$ – obciążenie zredukowane  przy zbrojenia podwójnym lun w przekrojach teowych,

Ponieważ w rozpatrywanym zadaniu zginania wysokość strefy ściskanej $x > d$, czyli  ($\xi>1$) nie ma sensu fizycznego, więc rzeczywiste są pierwiastki ($\ref{51}$) ze znakiem minus w miejsce $\pm$.

Często posługuje się ramieniem sił wewnętrznych  $ z_c = d –  x_c $, czyli po unormowaniu ($\ref{18}$):

$$\begin{equation} \,  \parallel \to\parallel \, \zeta_c (\mu) = \begin {cases}
1-  \cfrac{99}{238}\cdot \xi (\mu),\approx 1 – 0,416 \cdot \xi (\mu), & \text{  MN}\\
1- \cfrac{\xi_{eff}(\mu)}{2} (\, \approx  1- 0,5 \cdot 0,8 \cdot  \xi (\mu) = 1 –  0,4 \cdot \xi(\mu)\, ) ,& \text{   MU}\\
\end{cases} \label{52}\end{equation}$$

Powyższe wyrażenia mają sens  fizyczny, wówczas , gdy wyrażenie podcałkowe jest dodatnie, czyli dla :

$$\begin{equation} \xi  \le \begin {cases}
\cfrac {2023}{5778}  \approx 0,35 & \text{   MN}\\
0,625  & \text {  MU } \, (\xi_{eff}=\lambda \xi <0.,5 \,) \\
\end{cases} \label{53}\end{equation}$$

Graniczna, rzeczywista wysokość strefy ściskanej z modelu MN $\xi=$ 0,35 dobrze koresponduje z graniczną wysokością z warunku kruchego pękania betonu i redystrybucją naprężenia w przekroju belki, omówioną w rozdziale Graniczna wysokosc_strefy_sciskanej_x_ult_a_zniszczenie_kruche_betonu. Natomiast graniczna rzeczywista wysokość strefy ściskanej w modelu MU nie może posłużyć do wyciągania wniosków dotyczących nieciągłości lub osobliwości zagadnienia.

Zbrojenie rozciągane

Dla znanej wysokości strefy ściskanej i momentu zginającego z warunku równowagi momentów względem wypadkowej siły w betonie $F_c$, bezpośrednio wyznaczamy siłę w zbrojeniu dolnym – w punkcie wypadkowej (resulting ) (p. rys. Z-2): $F_{sl}= F_{sl,r}$ z otuleniem osiowym $a_l= a_{l,r}$,  wysokością efektywną $d=d_l = d_r$ oraz ramieniem sił $z=z_r$

$$\begin{equation} F_{sl}=\cfrac{M_{Ed}}{z_c} \,  \parallel \to\parallel  \, n_{sl}= \cfrac{m_{Ed}}{\zeta_c}\label {54} \end{equation}$$

gdzie $ n_{sl}=\cfrac{F_{sl}}{\overline N}$ ;  $\overline N$ wg ($\ref{8}$)

a następnie teoretyczne pole przekroju zbrojenia:
$$\begin{equation}  A_{sl} = \cfrac{M_{Ed}} {z \cdot f_{yd} } \,  \parallel \to\parallel  \, A_{sl}(m_{Ed}) = \cfrac{m_{Ed}} {\zeta_c} \cdot A_{c,s}\label {55}\end{equation}$$

gdzie  sprowadzone do stali efektywne pole betonu  $A_{c,s}$ ($\ref{15}$).

Metoda obciążenia zredukowanego MU*, MN*

Metoda obciążenia zredukowanego MU* lub MN* rozszerza metodą klasyczną na przekrój podwójnie w ogólności niesymetrycznie zbrojony poprzez zastosowanie koncepcji  redukcji obciążenia zewnętrznego przez nośność zbrojenia ściskanego, górnego.

Model metody MU*, MN*

Każdy przekrój żelbetowy jest podwójnie zbrojony, nawet wówczas, gdy ze względów obliczeniowych  zbrojenie ściskane nie jest wymagane. Zgodnie z zasadami kształtowania belek przy górnej krawędzi belki należy dać bowiem  min 2 pręty (najczęściej o średnicy jak zbrojenie dolne). Ważnym przykładem zastosowania konstrukcyjnego zbrojenia górnego jest pokazany na rys. Z-7, często spotykany przekrój teowy ukształtowany przez włączenie do współpracy z belką części płyty.

W modelu obliczeniowym, pokazanym na rys. Z-8 przyjmuje się, że w pasie przekroju o szerokości $b_f$  występuje zbrojenie z płyty $A_{su}^{constr}$, które często musi być jeszcze uzupełnione zbrojeniem belki $A_{su}^{add}$.

Wśród inżynierów utrwalone jest stosowanie  klasycznej techniki zbrojenia belki metodą MU. Technikę projektowania przekroju podwójnie zbrojonego  MU* wprowadzimy w drodze modyfikacji metody MU.

Podstawą metody MU* jest założenie, że  ściskane zbrojenie górne przekroju podwójnie zbrojonego [=] jest zasadniczo znane  i składane jak następuje:

$$\begin{equation} A_{su,[=]} = A_{su}^{constr} + A_{su}^{add} \label {56}\end{equation}$$

gdzie:

$A_{su}^{constr}$ – zbrojenie górne , które należy zastosować z innych względów niż obliczeniowe (konstrukcyjnych). Na rys. Z-7 zbrojenie konstrukcyjne  jest zbrojeniem płyty stropowej (rozdzielczym).

$A_{su}^{add}$ – zbrojenie górne , które należy dodać w przypadku, gdy nośność betonu wraz ze ściskanym zbrojeniem konstrukcyjnym jest niewystarczająca do przeniesienia obciążeń ze względu na niebezpieczeństwo kruchego pękania.

Zredukowane obciążenie M_Ed*

Zbrojenie ułożone  w strefie  ściskanego  betonu  zwiększa nośność $M_{Rd,[-]} = M_{Rd,c}$   ($\ref{50}$)  bryły  ściskanej przekroju pojedynczo zbrojonego o nośność  zbrojenia ściskanego $M_{Rd, su}$, do:

$$\begin{equation} M_{Rd,[=]} =M_{Rd,c} + M_{Rd,su} \,  \, \parallel \to\parallel \,  m_{Rd,[=]} =m_{Rd,c} + m_{Rd,su}\label {57} \end{equation}$$

gdzie moment zginający $M_{Rd,su}$ przenoszony przez zbrojenie górne jest liczony w tym samym układzie co $M_{Rd,c}$, czyli względem osi zbrojenia rozciąganego i wynosi

$$\begin{equation} M_{Rd, su} = F_{su} \cdot (d- a_u) = A_{su} \cdot f_{yd} \cdot (d-a_u) \,  \parallel \to\parallel  \, m_{Rd, su}=\cfrac{ A_{su}}{A_{c,s}}  \cdot (1-a_u/d) \label {58} \end{equation}$$

gdzie  $A_{c,s}$ jest sprowadzonym do stali przekrojem betonu ($\ref{17}$).

W ($\ref{58}$) uwzględniono, że naprężenie w pręcie wynosi $\sigma_{cu}= E_s \cdot \varepsilon_{cu}$, czyli jest zgodne z odkształceniem  niespękanego betonu, w którym pręt jest zanurzony i zawiera się w przedziale  $ \varepsilon_{c2}$ =2‰ $\le \varepsilon_{su}$ < $\varepsilon_{cu2}$=3,5‰. Ponieważ stal B500 przy odkształceniu 2,5‰ jest już w pełni uplastyczniona, więc  przyjęto $\sigma_{su}=f_{yd}$.

Związek  ($\ref{57}$) w stanie granicznym, czyli dla  $M_{Rd},[=]=M_{Ed}$ można zapisać w postaci dogodnej do wprowadzenia metody obciążenia zredukowanego MU*:

$$\begin{equation} M_{R,dc} \ge M_{Ed}^* = \,  \parallel \to\parallel  \, m_{R,dc} > m_{Ed}^*  \label {59} \end{equation}$$

gdzie zredukowane obciążenie przekroju wynosi:

$$\begin{equation} M_{Ed}^* =  M_{Ed} -M_{Rd,su} \,  \parallel \to\parallel \, m_{Ed}^* =  m_{Ed} – m_{R,d,su} \label {60} \end{equation}$$

Formułę ($\ref{59}$) uzyskano poprzez przeniesienie na stronę obciążenia składnika nośności strefy ściskanej $M_{Rd, su}$, co było możliwe dlatego, że $M_{Rd, su}$  nie jest funkcją poszukiwanej wysokości strefy ściskanej $x$. Formuła est analogiczna do  standardowej  ($\ref{51}$), ale zamiast obciążenia całkowitego  $M_{Ed}$ występuje  w niej obciążenie zredukowane  $M_{Ed}^*$.

Dla zredukowanego obciążenia ($\ref{60}$) z formuły $\ref{52}$)   można wyznaczyć ramię siły bryły betonu, ale takie ramię nie jest ramieniem siły zbrojenia dolnego (odmiennie do przekroju pojedynczo zbrojonego) i nie jest przydatne w procedurze projektowej. Właściwe ramię siły zbrojeniu dolnego  $\zeta_{sl}$ wyznaczono niżej (formuła ($\ref{66}$)).

Kryterium dodatkowego zbrojenia ściskanego

Determinantą stosowania dodatkowego ściskanego zbrojenia górnego jest nadwyżka momentu zginającego przekrój, przenoszonego przez ściskany beton nad  momentem granicznym $m_{ult}$ ($\ref{47}$):

$$\begin{equation}  \Delta m  (\mu) = \mu  – m_{ult} \label {61} \end{equation}$$

gdzie: $\mu$ – obciążenie przekroju momentem:
$\mu =m_{Ed}$ – obciążenie całkowite przy zbrojenia pojedynczym – w sytuacji oceny potrzeby zbrojenia ściskanego   bez zbrojenia konstrukcyjnego,
$\mu =m_{Ed}^*$ – obciążenie zredukowane  przy zbrojenia podwójnym lub w przekrojach teowych, w sytuacji ceny potrzeby dodatkowego zbrojenia ściskanego  strefy z wbudowanym zbrojeniem konstrukcyjnym

Kryterium  zbrojenia górnego można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \text{ Jeżeli  } \Delta m (m) \begin {cases} \le 0, &  \text{ to nie trzeba dodawać zbrojenia górnego }  A_{su}^{add}=0\\ > 0 ,& \text {to trzeba dodać zbrojenie górne}  A_{su}^{add}>0\\ \end {cases} \label{62}  \end{equation}$$

 

Zbrojenie ściskane, górne przekroju podwójnie zbrojonego [=]

Dodatkowe zbrojenie  górne $A_{su}^{add}$ dobiera się na nadwyżkę momentu zginającego $\Delta m= m_{Ed}^* – m_{ult}>0 $ ($\ref{61}$), której nie może przejąć beton ściskany wraz ze zbrojeniem konstrukcyjnym $A_{su}^{constr}$:

Dodatkowe zbrojenie górne można wyznaczyć z rozwiązania zależności ($\ref{58}$) względem  $A_{su}$  ( po zastąpieniu  $m_{su}$ przez $\Delta m$ ):

$$\begin{equation} A_{su}^{add} = \cfrac{\Delta m}{1-a_u/d}  \cdot A_{c,s} \label {63} \end{equation}$$

Całkowite zbrojenie górne  przekroju podwójnie zbrojonego $A_{su},[=]$ jest sumą zbrojenia konstrukcyjnego i dodatkowego zgodnie z formułą ($\ref{53}$)

Zbrojenie rozciągane, dolne przekroju podwójnie zbrojonego [=]

Wyznaczenie wysokości strefy ściskanej bryły betonu ($\ref{51}$) pod zredukowanym obciążeniem $(\mu = m_{Ed}^*)$ oraz ustalenie wymaganego zbrojenia górnego ($\ref{56}$) <- ($\ref{63}$)  jest równoznaczne z rozwiązaniem zadania zginania (bez udziału siły osiowej) podwójnie zbrojonego przekroju betonowego. Pole przekroju zbrojenia dolnego $A_{sl}$ może być wprost wyznaczone z dowolnego warunku równowagi .($\ref{37}$).

Najprościej jest wyznaczyć zbrojenie dolne z warunku równowagi sił poziomych $\sum X$ ($\ref{37}^1$), który po uwzględnieniu  $N_{Ed}=0$ ma postać

$$\begin{equation} F_{sl}= F_c+F_{su}\label {64}\end{equation}$$

gdzie:
$F_c$ – siła ściskająca bryłę betonu wg ($\ref{22}$),
$F_{su}=A_{su} \cdot f_{yd}^{’} $ – siła w zbrojeniu ściskanym, górnym z przekrojem wg ($\ref{69}$ i ($\ref{63}$).

Z warunku wytrzymałościowego $\sigma_{sl}= F_{sl}/ A_{sl} \le f_{yd}^{’}$ otrzymujemy

$$\begin{equation} A_{sl} \ge \cfrac{F_{sl}}{f_{yd}^{’}} \label {65}\end{equation}$$

gdzie:  $f_{yd}^{’}$ ($\ref{2}$) ;   $F_{sl}$ ($\ref{64}$)

Ramię – mimośród siły zbrojenia dolnego

Mimośród siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$ wyznaczymy z zależności ($\ref{67}$) poprzez zastąpienie ramienia siły w betonie $z_c$ poprzez ramię – mimośród $z_{sl}$ siły $F_{sl}$ i rozwiązanie formuły względem $z_{sl}$

$$\begin{equation} z_{sl}=\cfrac{M_{Ed}}{F_{sl}} \,  \parallel \to\parallel  \,  \zeta_{sl}= \cfrac{m_{Ed}}{n_{sl}}\label {66} \end{equation}$$

gdzie:
$n_{sl}=\cfrac{F_{sl}}{\overline N}$,
$\overline N$  wg ($\ref{8}$)

Ramiona sił $z_c$ i $z_{sl}$ będą sobie równe tylko wówczas, gdy w strefie ściskanej i w strefie rozciąganej występuje po jednej sile jak w przekroju pojedynczo zbrojonym  Wówczas siłę rozciągającą zbrojenie dolne można wyznaczyć z równania ($\ref{35}$). W przypadku  przekroju zbrojonego podwójnie ramię – mimośród siły rozciągającej w zbrojeniu jest średnią ważoną dźwigni sił ściskających działających w strefie ściskanej:

$$\begin{equation} z_{sl}=\cfrac{M_{Ed}}{F_{sl}} = \cfrac{M_c+M_{su}}{F_{sl}}=  \cfrac{z_c \cdot F_c +z_{su} \cdot F_{su}}{F_c+F_{su}}\,  \parallel \to\parallel  \,  \zeta_{sl}= \cfrac{\zeta_c \cdot n_c +\zeta_{su} \cdot n_{su}}{n_c+n_{su}}\label {67} \end{equation}$$

Uwaga:

W literaturze często zaleca się, by w przypadku przekroju podwójnie zbrojenie dolne wyznaczyć jak dla przekroju pojedynczo zbrojonego, a po wzmocnieniu strefy ściskanej  zbrojenie górnym ściskanym – zbrojenie dolne zwiększyć  o dodane zbrojenie górne. Takie podejście nie jest właściwe, bowiem amię siły w zbrojeniu dolnym $z_{sl}$ $(\zeta_{sl})$ = $z_c$ $(\zeta_c)$  – wyznaczenie ze wzoru ($\ref {66}$)dla całkowitego obciążenia  już w pierwszym kroku prowadzi do przyjęcia nieoptymalnego, zbyt dużego  zbrojenia.

Przypadki wymiarowania pręta zginanego ZM, ZS i ZD

W zależności od wielkości momentu zginającego działającego na przekrój można wyróżnić trzy przypadki wymiarowania: ZM – małe zginanie, wówczas, gdy konstrukcyjne zbrojenie górne nie  powoduje zmiany zbrojenia dolnego (przykład Z-1), ZS – średnie zginanie . wówczas, gdy konstrukcyjne zbrojenie górne prowadzi do zmiany zbrojenia dolnego (przykład Z-2), ZD – duże zginanie , wówczas gdy należy stosować dodatkowe zbrojenie górne  (pzykład Z-3).

Naprężenia i siły w zbrojeniu

Dla znanej wysokości strefy ściskanej $x$  z zasady płaskich przekrojów ($\ref{35}$) oraz prawa fizycznego dla stali $\ref{45}$)  można wyznaczyć naprężenia  $\sigma_{s}$ oraz siły $F_s$  w zbrojeniu o  o rzeczywistym przekroju $A_s^R$

$$\begin{equation}  \sigma_{s,⊗} = [ \varepsilon_{cu} \cdot (d_⊗ /x- 1)] \cdot E_s  \le f_{yd^{’}} \label {68} \end{equation}$$

$$\begin{equation}  F_{s,⊗}= \sigma_{s,⊗} \cdot A_{s,⊗}^R \label {69} \end{equation}$$

gdzie ⊗ = l(lower, dolne, rozciągane ) , u (unter, górne, ściskane).

Ważnym wnioskiem dla projektantów jest to, że naprężenia w prętach zbrojeniowych nie zależą wprost od ich przekroju (średnicy), a zależą od stosunku wysokości użytecznej przekroju $d$ do wysokości strefy ściskanej betonu $x$: jeśli $(x=d)$ to naprężenia w zbrojeniu nie wystąpią , jeśli $x=0$, to naprężenia będą teoretycznie nieskończone. Konsekwencją zwiększania przekroju prętów będzie proporcjonalne zwiększenie sił w tych prętach

Bezcelowe, a nawet szkodliwe jest przyjmowanie prętów o dużo większym przekroju od wymaganego – nie prowadzi to do zwiększenia bezpieczeństwa pręta, a nawet je zmniejsza na skutek polepszenia warunków do pękania betonu.

Uwagi krytyczne o klasycznej technice projektowania przekrojów zginanych

1. Klasyczna technika projektowania przekrojów zginanych nie uwzględnia relacji odkształceń w betonie i stali, oraz prawa fizycznego, betonu i stali, w przypadku metody NU nie są spełnione podstawowe warunki równowagi sił, na skutek pomijania zbrojenia górnego lub wyznaczania zbrojenia dolnego w przekroju podwójnie zbrojonym jak w przekroju pojedynczo zbrojonym,
2. Każdy przekrój żelbetowy jest w rzeczywistości podwójnie zbrojony, co jest  założeniem  zmodyfikowanej  metody MU*.

Zbrojenie wielowarstwowe

W przypadku zbrojenia wielowarstwowego  wiązkę (układ) zbrojenia skupia się  w jeden punkt obliczeniowy środek  ciężkości dolnych prętów rozciąganych (p. rys. Z-2) lub górnych ściskanych (jeśli ułożono w  wielu warstwach), przy czym odległość wypadkowej siły w zbrojeniu od dolnej krawędzi belki ( efektywne otulenie osiowe) wyznacza się jako średnią ważoną otulenia osiowego  warstw zbrojenia:

$$\begin{equation} a_{l,r}\approx \cfrac{ \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i}}{\sum A_{sl,i}} \label {70}\end{equation}$$

gdzie i – numer warstwy zbrojenia.

Dostateczność sposobu ($\ref{70}$) wynika z równowagi momentu  $M_{sl}$ wywołanego siłą zastępczą $F_{sl,r}$ i wiązką sił $F_{sl,i}$ względem wypadkowej  siły w betonie

$M_{sl} = F_{sl,r}\cdot z_r= \sum F_{sl,i}\cdot z_i$ Stąd po uwzględnieniu prawa fizycznego oraz zasady płaskich przekrojów $\varepsilon_{sl,i}=\varepsilon_{cu} \cdot (h- x – a_{l,i})/x$ i po przekształceniach otrzymamy

$$\begin{equation} a_{l,r} =  \cfrac{ \left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i} \right) -\left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i}^2 \right)/(h-x)} {  \left( \sum A_{sl,i} \right) -\left( \sum A_{sl,i} \cdot a_{l,i} \right)/(h-x)} \label {71}\end{equation}$$

W pierwszym przybliżeniu ($\ref{71}$) można aproksymować przez ($\ref{70}$), ponieważ składniki ujemne sa znacznie (praktycznie o rząd) mniejsze od dodatnich. Można też, przed wyznaczeniem wysokości strefy ściskanej, przyjąć oszacowanie $  x \approx 0,2 \cdot h  $.

Konstruowanie zbrojenia z wiązki prętów o mniejszej średnicy które są rozmieszczone w jednej lub kilku warstwach w strefie ekstremalnego rozciągania jest bardziej skuteczne w kontrolowaniu pęknięć i poprawie wiązania (przyczepności) od stosowania mniejszej liczny prętów o większych średnicach.  W tab. K-2 podano  maksymalne średnice prętów, które można stosować z warunku ograniczenia rys. W wysokich belkach, znaczna część środnika będzie rozciągana, a prawidłowo rozłożone zbrojenie rozciągane zapewnia ograniczenie rozwarcia rys na spodzie belki. Jednakże nadmierne pęknięcia mogą pojawić się wyżej – w środniku i w tych przypadkach , szczególnie w środowisku o zmiennej temperaturze i skurczu – należy stosować boczne siatki  (rys. K-5).

Przekrój kołowy

Model żelbetowego przekroju kołowego

Analizę  zginania belki żelbetowej o przekroju kołowym przeprowadzimy z wykorzystaniem koncepcji Di Laora (2020) [8] w której dyskretne pręty zbrojenia rozłożone na obwodzie  pręta (rys. Z-4a) zastąpiono ciągłą ścianką rury o takim samym całkowitym polu przekroju stali $A_s$(rys. Z-4b). W rezultacie otrzymano stosunkowo proste zależności analityczne praktycznie bez utraty wymaganej w obliczeniach inżynierskich dokładności rozwiązania ścisłego (różnica pomiędzy proponowanym rozwiązaniem, a wynikami dokładnej numerycznej analizy w modelu MN nie przekracza 5%).

W prezentowanym podejściu  stosujemy zredukowane wytrzymałości betonu i stali : $$\begin{equation} f_{cd}^{’}= \eta_c \cdot f_{cd}  \, ; \, \eta_c=0,9 \label {72}\end{equation}$$

Współczynnik redukcji $\eta_c=0,9$ stosuje się  zgodnie  z poleceniem normy Eurokod 2  [1],uwaga pod kl. 3.1.7(3) : „Jeśli szerokość strefy ściskanej zmniejsza się w kierunku skrajnego włókna ściskanego, to wartość $\eta f_{cd}$ należy zmniejszyć o 10 %.„.

$$\begin{equation} f_{yd}^{’}= \eta_s \cdot f_{yd} \, ; \, \eta_s = 0,95 \label {73}\end{equation}$$

Współczynnik redukcji $\eta_s=0,95$ stosuje za pracą  [8] się w celu skalibrowania zastępczego modelu zbrojenia ( zamiast dyskretnych prętów – ścianka rury). Model MU przekroju kołowego pokazano na rys. Z-9

Z zależności zobrazowanych na rys. Z-9 można ustalić następujące związki geometryczne:

$$\begin{equation} \Theta = arccos \left( 1- \cfrac{x_{eff}}{R} \right) \, ; \, A_{cx}= R^2\cdot [\Theta -(sin 2\Theta)/2 ]\label {74}\end{equation}$$

$$\begin{equation} r_c = \cfrac{6}{5} \cdot \cfrac{sin^3 \Theta}{2\Theta – sin 2\Theta}\cdot R \, ; \, r_{s,u}= d \cdot \cfrac{sin \Theta}{\Theta }\, ; r_{s,l}= d \cdot \cfrac{sin \Theta}{\pi – \Theta }\,\label {75}\end{equation}$$

Postawienie zadania

W zadaniu ,mimośrodowego zginania  przekroju kołowego poszukujemy wymaganego zbrojenia przekroju $A_s$ lub stopnia zbrojenia przekroju $\rho=\cfrac {A_s}{A_c}$ ($\ref{11}$) Wprowadźmy pojęcie efektywnego stopnia  zbrojenia przekroju (sprowadzonego do  do zredukowanej wytrzymałości stali i betonu)

$$\begin{equation} \rho^{’}= \rho \cdot \cfrac{f_{yd}^{’}}{f_{cd}^{’}} = \cfrac{\overline N_{Rd,c}}{\overline N_{Ed,s}} \label {76}\end{equation}$$

gdzie  nośności porównawcze betonu i stali na  ściskanie wynoszą:

$$\begin{equation} \overline N_{Rd,c}= A_c  f_{cd}^{’} =\pi/4 \cdot  D^2  f_{cd}^{’}\label {77}\end{equation}$$

$$\begin{equation} \overline N_{Rd,s}= A_s  f_{yd}^{’}\label {78} \end{equation}$$

Do wyznaczenia efektywnego stopnia zbrojenia ($\ref{76}$) mamy do dyspozycji dwa równania równowagi:

• $\sum X=0$ sumy  rzutów sił na oś poziomą, który na podstawie rys. Z-9 ( też [8]- wzory (1),(2)), można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} \cfrac {R^2}{4}\cdot ( 2  \Theta – sin 2 \Theta )  f_{cd}^{’} + \cfrac{ \Theta}{ \pi} \cdot A_s  f_{yd}^{’} \, – \, \cfrac{  \pi – \Theta} { \pi}\cdot A_s  f_{yd}^{’} \label {79} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \parallel \to  \parallel \,  (2 \Theta – sin 2 \Theta) + 2 \Theta \cdot \rho^{’}  –  2(\pi – \Theta) \cdot \rho^{’} = 2 \pi \cdot n_{Ed} \label {80}\end{equation}$$

gdzie  obciążenie przekroju siłą osiową

$$\begin{equation} N_{Ed} \, \parallel \to\parallel \,  n_{Ed}=N_{Ed}/ \overline N_{R{dc}} \label {81}\end{equation}$$

$\overline N_{R{dc}}$ wg ($\ref{77}$) 

• $\sum M=0$ sumy momentów względem  osi przekroju (osi działania siły osiowej)

$$\begin{equation} M_{Rd} = M_{Ed}  \, \parallel \to \parallel m_{Rd}=m_{Ed} \label {82}\end{equation}$$

Czynnik normujący moment $(\ref{4}$)  (podzielnik obu stron równania ($\ref{79}$)) dla przekroju kołowego przyjęto w postaci

$$\begin{equation} \overline M =2 \pi  R^3\cdot f_{cd}^{’}\label {83}\end{equation}$$

Obliczeniowa nośność przekroju na zginanie jest sumą  nośności betonu $M_{Rd,c}$ oraz stali (rozciąganej i ściskanej) $M_{Rd,s}$:

$$\begin{equation} M_{Rd} = M_{Rd,c} + M_{Rd,s} \, \parallel \to\parallel \, m_{Rd}= m_{Rd,c}+ m_{Rd,s}\label {84}\end{equation}$$

Składowe nośności przekroju ($\ref{84}$) wyznaczone z zależności zobrazowanych na  rys. Z-9 (też [8]- wzór (5)) wynoszą :

$$\begin{equation} M_{Rd,c}  =\cfrac{4}{5} \cdot R^3 \cdot sin^3 \Theta \cdot f_{cd}^{’}\, \parallel \to\parallel \, m_{Rd,c} =\cfrac{1}{3 \pi}sin^3 \Theta \label {85}\end{equation}$$

$$\begin{equation} M_{Rd,s}= \cfrac{4}{\pi} \cdot d_r \cdot A_s \cdot sin \Theta \cdot f_{yd}^{’} \, \parallel \to \parallel \,\ m_{Rd,s}= \cfrac{d}{ \pi R \cdot \rho^{’} } \cdot  sin \Theta\label {86}\end{equation}$$

gdzie  efektywny promień przekroju $d_r = (R-a)$ ,

Rozwiązanie zadania zginania przekroju kołowego

Wyznaczmy najpierw wysokość strefy ściskania dla założonego stopnia zbrojenia przekroju $\rho^{’}$ z warunku $\sum M$  ($\ref{81}$)   w stanie granicznym dla $ m_{Rd}=m_{Ed}$ , gdzie $m_{Rd}$  wg  ($\ref{84}$),do ($\ref{86}$). Równanie to   ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty

$$\begin{equation} \Theta= arcsin {\left (  \cfrac{W}{ R } \,  – \,\cfrac{d \cdot \rho^{’}} {W}  \right )}\label {87}\end{equation}$$

gdzie wyróżnik rozwiązania:

$$\begin{equation} W= \left([ 1/2 \cdot \left ( m_{Ed,R} + \sqrt{  (m_{ Ed,R})^2+  4 \cdot (\rho^{’}  \cdot d_r \cdot R) ^3  }  \right )  \right]^{1/3} \label {88}\end{equation}$$

W wyrażeniu na wyróżnik ($\ref{88}$)  wprowadzono dodatkowe oznaczenia  na względny moment zginający $m_{Ed, R}$

$$\begin{equation} m_{Ed, R}= 3 \pi  \cdot R^3 \cdot m_{Ed} \label {89}\end{equation}$$

Dla znanej wielkości strefy ściskania betonu z ($\ref{87}$) można wyznaczyć stopień zbrojenia przekroju.
Przy braku siły osiowej $n_{Ed}=0$ mamy:

$$\begin{equation} \rho^{’} = \cfrac{ \Theta – sin\Theta \cdot cos \Theta}{2 \Theta -\pi} \label {90}\end{equation}$$

Rozwiązanie nieliniowego układu równań ($\ref{87}$)+($\ref{90}$) można dokonać dowolną metodą numeryczną. Zalecane jest zastosowanie podstawowego programu inżyniera  – Excel z dodatkiem Solver (w wersji podstawowej Excela wtyczkę  należy uaktywnić).

Zginania ze ściskaniem przekroju kołowego

Rozwiązanie zadania zginania ze ściskaniem prowadzi się posług procedury przedstawionej w poprzednim rozdziale dla niezerowej siły osiowej $n_{Ed}> 0$. W celu szybkiej oceny można użyć wykresów interakcji M-N przekroju kołowego, np. [3], tab 8.4 do 8.6.

Przekroje teowe (T i L przekrój)

Belki (podciągi i żebra) w stropie płytowo-belkowym (rys. K-2) rozpatruje się jako teowe z górną półką utworzoną przez współpracującą część płyty. Belki o przekroju teowym  (pośrednie-środkowe)  lub kątowym (brzegowe- skrajne)  nazywane są belkami T lub L odpowiednio. Współpracująca część płyty działa integralnie z belką – wygina się w kierunku wzdłużnym belki i jest górnym  pasem belki. Część belki poniżej pasa (właściwa część belki)  jest często nazywana środnikiem.

Szerokość współpracująca przekroju teowego

Zginające naprężenie ściskające we współpracującej części płyty nie jest równomierne na całej jego szerokości. Naprężenie waha się od maksimum w obszarze belki do stopniowo niższych wartości w punktach oddalonych. W celu sprowadzenia zadania do analizy  w ramach klasycznej teorii zginania – zakłada się równomierny rozkład naprężenia na szerokości efektywnej (rys. Z-10).

Problem  belki T sprowadzono do  wyznaczenia szerokości efektywnej pasa (współpracującej części płyty). Stwierdzono, że efektywna szerokość pasa $b_{eff}$ wzrasta wraz ze wzrostem rozpiętości przęsła, szerokości belki (środnika). i grubości płyty. Zależy również od rodzaju obciążenia † (skoncentrowane, rozproszone itp.) oraz warunków podparcia (schematu statycznego). Stwierdzono na przykład  że równoważna szerokość półki jest mniejsza, gdy obciążenie skupione jest przykładane w połowie rozpiętości swobodnie podpartej belki, w porównaniu z przypadkiem, gdy to samo obciążenie jest przykładane jako obciążenie równomiernie rozłożone.

Połowa odległości w świetle przęsła z żebrem (sąsiadującym do rrozpatrywanej belki  wynosi rys Z-11):

$$\begin{equation} b_i= ( L_i- b_{w,l}/2-  b_{w,p}/2 )/2  \, (i=1,2)  \label {91} \end{equation}$$

gdzie: $b_{w,l}$, $b_{w,p}$ – szerokości żeber z lewej i prawej strony przęsła. $L_i$ – rozstawy  osiowe żeber – p.też rys Z-10

Szerokość współpracująca $b_{eff,i}$ płyty z belką żebrem  o szerokości $b_{w,i}$  wynosi (rys. Z-11) :

$$\begin{equation} b_{eff,i} = 0,2 \cdot b_i + 0,1\cdot L_{0,i} \le  \min{ \{ b_i \, ; \, 0,2 \cdot L_{0.i} \}}  \label {92} \end{equation}$$

gdzie $L_{0,i}$ jest efektywną długością zginania podłużnego belki (liczonego po długości belki poprzecznie do przekroju rys. Z-11,  Efektywna długość zginania jest odległością pomiędzy punkami zerowych momentów zginających belkę i powinna być określona z wykresu momentów w systemie konstrukcyjnym.

Przybliżone wzory do oszacowania „efektywnej długości zginania  belki $L_0$w zależności od obliczeniowej  długości belki  $L_{eff} można wstępnie przyjąć zgodnie rys. Z-12.

Szerokość półki przekroju teowego, złożonego z żebra środkowego i półki wynosi:

$$\begin{equation}b_{eff}=  \begin {cases} b_{eff,1}+b_w + b_{eff,2} \le b_1+b_w +b_2, & \text{   dla przekroju T } \\ b_{eff,1}+ b_w+ \le b_L+b_w, & \text{   dla przekroju L } \\ \end{cases} \label{93}\end{equation}$$

Przypadki obliczeniowe i  położenie strefy ściskanej

Rozpatruje się dwa przypadki wytrzymałościowe przekroju  teowego:

• przekrój pozornie teowy, gdy oś obojętna znajduje się w płycie (półce) – przypadek (1) na rys. Z-8. lub
• przekrój rzeczywiście teowy gdy oś obojętna znajduje się w belce (środniku) – przypadek (2) na rys. Z-8.

Wymiarowanie przekroju teowego rozpoczynamy od sprawdzenia, czy przekrój jest pozornie teowy, czyli czy zachodzi:

$$\begin{equation} x \le h_f  \, \text {  czyli  }  x_{eff} \le  \lambda  \cdot h_f   \, \text {  to przekrój jest pozornie teowy}  \label {94} \end{equation}$$

przy czym wysokość strefy ściskanej do sprawdzenia warunku  ($\ref{94}$) wyznacza się z zależności ($\ref{51}$) dla belki o szerokości $b_{eff}$ ($b_f$ na rys Z-8) poddanej obciążeniu  $\mu- m_{Ed}^{*}$ ($\ref{60}$) zredukowanemu przez znane (konstrukcyjne) zbrojenie ściskane ułożone podłużnie w płycie. Pominięcie  zbrojenie konstrukcyjnego (w płtcie) $A_{su}^{constr}$ może doprowadzić do „fałszywego” zakwalifikowania przekroju do rzeczywiście teowego, podczas gdy przekrój jest pozornie teowy, co zwykle prowadzi do nieoptymalnego projektu belki.

Jeśli warunek ($\ref{94}$) jest spełniony, to przekrój pozornie teowy wymiaruje się jak prostokątny o szerokości $b_{eff}$ zgodnie zasadami podanymi w rozdziale Metoda obciążenia zredukowanego MU*.  Technikę obliczeń pokazano w przykładzie Z-4 bez uwzględnienia zbrojenia górnego (płyty) oraz w przykładzie Z-5  z uwzględnieniem tego zbrojenia.

Jeśli  przekrój NIE jest pozornie teowy zgodnie z warunkiem ($\ref{94}$) , to jest rzeczywiście teowy.

Przekrój rzeczywiście teowy. Uogólnienie równań MU*  na przekrój  T

Model przekroju rzeczywiście teowego pokazano na rys. Z-13. W belce pozornie teowej (prostokątnej o szerokości $b_{eff}$)  występują nieistniejące części przekroju, oznaczone symbolem (-) na modelu. Nośność ściskanej bryły betonu belki rzeczywiście teowej M_{Rd,crz} } można obliczyć odejmując od nośności betonu belki pozornie teowej M_{Rd,cpz} nośność nieistniejących części bryły $M_{Rd,c(-)}$:

$$\begin{equation} M_{Rd,crz} =M_{Rd,cpz} – M_{Rd,c(-)} \, \parallel \to\parallel \,  m_{Rd,crz} =m_{Rd,cpz} – m_{Rd,c(-)}\label {95} \end{equation}$$

gdzie wszystkie nośności bryły betonu są liczone w tym samym układzie – względem osi zbrojenia rozciąganego, dolnego.

Z rys. Z-13 można ustalić,  że nieistniejąca część przekroju (-) ma nośność : $$\begin{equation} M_{Rd, c(-)} = (b_f – b_w) \cdot (d – h_f/2- x_{eff}/2)\cdot ( x_{eff}-h_f) \cdot \eta \cdot f_{cd} \label {96}\end{equation}$$

Ponieważ moment $M_{Rd,c(-)}$ zależy od poszukiwanej wysokości strefy ściskanej $x_{eff}$, więc nie można wprost zastosować metody MU* zredukowanego obciążenia  i należy rozpatrzeć łączną nośność betonu ($ref{95}$) Po odjęciu ($\ref{96}$) od  ($\ref{51}$)  otrzymamy:

$$\begin{equation} M_{Rd,crz} =\left\{ \left [ (b_f- b_w) \cdot h_f \cdot \left (d- \cfrac{h_f}{2} \right)  \right]  +\left[ b_w \cdot x_{eff} \cdot  \left (d – \cfrac {x_{eff}}{2} \right) \right ] \right\} \cdot \eta \cdot f_{cd} \label {97} \end{equation}$$

a po unormowaniu czynnikiem normującym  ($\ref{4}$), który dla przekroju teowego przyjęto w odniesieniu do szerokości środnika $b_w$ , czyli

$$\begin{equation} \overline M = b_w \cdot d ^2 \cdot f_{cd} \label {98}\end{equation}$$

otrzymamy postać unormowaną nośności betonu przekroju rzeczywiście teowego ($\ref{97}$)

$$\begin{equation} \, \parallel \to \parallel  \,  m_{Rd,crz} = m_{Rd,cf} + m_{Rd,cw}  \label {99} \end{equation}$$

gdzie nośności pasa $m_{Rd,cf}$ i środnika $m_{Rd,cw}$ wynoszą:

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel  \,  m_{Rd,cf} = \left( \cfrac{b_f}{b_w} – 1 \right)  \cdot   χ_f \cdot \left ( 1– \cfrac{ χ_f}{2} \right) \label {100} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \, \parallel \to\parallel  \,  m_{Rd,cw} =  \xi _{eff} \cdot \left ( 1– \cfrac{\xi_{eff}}{2} \right) \label {101} \end{equation}$$

gdzie: $ χ_f = \cfrac{h_f}{d}$

Ponieważ $m_{Rd,cf}$ nie zawiera  pooszukiwanej niewiadomej $x$, to metodę MU* można uogólnić na przekrój teowy w ten sposób, że obciążenie zredukowane ($\ref{60}$) wyniesie:

$$\begin{equation}  \,  \parallel \to\parallel \,  m_{Ed}^* =  m_{Ed} – m_{Rd,su} – m_{Rd,cf} \label {102} \end{equation}$$

przy czym wszystkie składniki należy normować tym samym  czynnikiem ($\ref {98}$). Dla tak zdefiniowanego obciążenia zredukowanego stosuje się Metoda obciążenia zredukowanego MU* W zależności od wartości zredukowanego obciążenia $m_{Ed}^*$  ($\ref{101}$) mogą wystąpić następujące sytuacje i związane z nimi procedury doboru zbrojenia przekroju:

1. $m_{Ed}^* <0 $, oznacza że  naprężenie ściskające beton pasa nie osiąga wytrzymałości betonu $\sigma_c < \eta f_{cd}$.
   Sprawdzić poprawność obliczeń przekroju pozornie teowego.
   Jeśli obliczenia nadal wykazują, że przekrój jest rzeczywiście teowy , to znaczy że  zaprojektowany nieoptymalnie , Należy zmniejszyć wymiary przekroju:  wysokość i szerokość środnika $h_f, b_f$  lub wymiary półki (jeśli to możliwe), tak by $m_{Ed}^* > 0 $.
2. $m_{Ed}^* >0  \text { oraz} \le  m_{ult} $ oznacza że  naprężenia ściskające beton mogą  osiągnąć wytrzymałości $\sigma_c = \eta f_{cd}$ oraz, że nie jest wymagane dozbrojenie ściskanej strefy betonu zbrojeniem górnym  $A_s^{add}$.  Przechodzimy do pkt. 4
3. $m_{Ed}^* >0  \text { oraz } >  m_{ult}$ $\to$ potrzebne jest dodatkowe zbrojenie górne, które wyznaczamy w procedurze MU* Po wyznaczeniu  zbrojenia górnego, dokonujemy korekty obciążenia zredukowanego  $m_{Ed}^*$ o nośność dodatkowego zbrojenia górnego $m_{Ed,su}^{add}$ i przechodzimy do pkt 4.
4.  Dla ostatecznie ustalonego obciążenia zredukowanego $m_{Ed}^*$  ($\ref{101}$), wyznaczamy: * wysokość strefy ściskanej $\xi^*$ z ($\ref{66}$), *  ramię – mimośród sił $\zeta^*$ ($\ref{67}$).
   Dla ramienia sił $\zeta^*$ i dla całkowitego (przed redukcją) obciążenia $m_{Ed}$, dobieramy zbrojenie rozciągane (dolne) $A_{s}$ z formuły   ($\ref{68}$).

Uwaga:

Formuła ($\ref{111}$) jest podstawą stosowanej techniki projektowania przekrojów teowych ( podręcznik do technikum  budowlanego [2] ; podręcznik dla studentów budownictwa  [3]), w której nośność betonu przekroju teowego złożono z:  nośności pasa – skrzydeł przekroju  $m_{Rd,f}$ ) )  – części przekroju oznaczonej symbolem (f) oraz nośności środnika $ m_{Rd,c(w)}$  w części  przekroju oznaczonej symbolem (w).

Procedura doboru zbrojenia  zalecana w tych podręcznikach jest odmienna od przedstawionej i prowadzi do znacznego przewymiarowania zbrojenia dolnego, czyli nieoptymalnego projektu,  W tyc podręcznikach nośność  bryły betonowej rozdziela się na dwie składowe: nośność skrzydeł pasa i nośność środnika, ale następnie na każdą z tych nośności odrębnie dobiera się zbrojenie dolne i na końcu sumuje. Jest to niepoprawne.

Przekrój L

Zginanie przekroju L przy założeniu zachowania płaskiej postaci zginania środnika, to jest w założeniu, że oś „z””  pozostaje osią główną przekroju  można analizować z  wg formuły ($\ref{111}$) i i stosować wynikającą z niej uogólnioną procedurę  obciążenia zredukowanego.  Założenie  płaskiej postaci zginania jest bliskie rzeczywistości ze względu na utrzymywanie środnika w tym położeniu  przez płytę, której częścią jest pas. Zginanie niesymetrycznego przekroju L prowadzi do zagadnienia zginania dwuosiowego ze skręcaniem, którego analiza nie jest przedmiotem niniejszego artykułu.

Nośność  znanego, konkretnego  przekroju

Wysokość strefy ściskanej

Dla znanych sił przekrojowych  $M_{Ed}$ oraz $N_{Ed}$ a także siły w zbrojeniu dolnym $F_{sl}$  oraz górnym $F_{su}$  można wyznaczyć wysokość strefy ściskanej w sposób pokazany niżej.

Podejście klasyczne

W podejściu klasycznym pole powierzchni ściskanej cześci przekroju betonowego  o dowolnym kształcie wyznacza się  z jednego warunku równowagi sumy sił na oś poziomą  ($\ref{36}$) $\Sigma X$

$F_c= A_{cx} \cdot f_{cd} = N_{Ed}  – F_{su}  + F_{sl}$, skąd po podstawieniu ($\ref{43}^1$)  i  ($\ref{44}^1$) otrzymujemy wysokość strefy ściskanej przekroju:

$$\begin{equation} x= \alpha_F \cdot  \cfrac{N_{Ed} -F_{su}+ F_{sl}} {b\cdot f_{cd}}   \label {103}\end{equation}$$ Współczynnik $\alpha_F$ zależy od modelu betonu:

$$\begin{equation}  \alpha_F= \begin {cases}
\eta \cdot \lambda  \, \text {(= 0,8 dla  betonu zwykłego BZ )}&  \text {dla modelu U} \\
\cfrac{17}{21}= 0,81 & \text {dla modelu N}
\end {cases} \label{104} \end{equation}$$

Podejście skonsolidowane

W podejściu skonsolidowanym warunek równowagi $(\ref{35})$ można sprowadzić do równania  kwadratowego $R(x)=0$, które ma tylko jeden pierwiastek dodatni, co jest zgodne z naturą ($x>0$);. Pierwiastek ten można zapisać w postaci:

$$\begin{equation} x= \alpha_M  \cdot  \sqrt{ \cfrac{ (N_{Ed}+2 F_{sl})\cdot d_0 -M_{Ed}-a_l F_{sl} -a_u F_{su}} {b f_{cd}}} \label {105}\end{equation}$$

Współczynnik $\alpha_M$ zależy od modelu betonu:

$$\begin{equation}  \alpha_M= \begin {cases}
\cfrac{\sqrt{2/\eta}}{\lambda} \, \text {(= 1,768 dla  betonu zwykłego BZ )} &  \text {dla modelu U} \\ \
\sqrt{\cfrac{98}{33}}= 1,723 & \text {dla modelu N} \end {cases} \label{106} \end{equation}$$

Porównanie  wysokości strefy ściskanej  z podejścia klasycznego  i skonsolidowanego

W szczególnym przypadku .czystego ścinania ($N_{Ed}=0$) i przekroju pojedynczo zbrojonego ($A_{su}=0$)  wysokość strefy ściskanej wyznaczone z w podejściu uproszczonym i skonsolidowanym będą takie same tylko przy określonej wartości zewnętrznego momentu zginającego $M_{Ed,x}$:

$$\begin{equation} x_F ≡ x_M ⇔ M_{Ed} = M_{Ed,x} = F_{sl} \cdot \left [ d_l – \left( \tfrac{ \alpha_F}{\alpha_M} \right)^2 \cdot \cfrac{F_{sl}}{b\cdot f_{cd}}\right] \label {107}\end{equation}$$

gdzie $d_l=h – a_l$.

Oznacza to, że  wysokość strefy ściskanej $x_F$ wyznaczona w podejściu uproszczonym (klasycznym) jest tylko przybliżeniem i różni się od wartości skonsolidowanej (dokładnej)  tym bardziej im  moment zginającym przekrój $M_{Ed}$ odbiega od wartości momentu $M_{Ed,x}$ ($\ref {107}$).
Takie same wyniki uzyskamy przy momencie zginającym znacznie mniejszym od nośności przekroju $M_{Rd}$ ($\ref{87}^1$) i wynoszącym zaledwie

$M_{Ed}= M_{Rd} \,  –  M_{co} \, –  [ (\alpha_F/\alpha_M)^2 \cdot F_{sl}/(b\cdot f_{cd})]$

Nośność przekroju żelbetowego

Nośność znanego przekroju żelbetowego ze znanym zbrojeniem dolnym $A_{sl}$ oraz górnym  $A_{su}$  możemy wyznaczyć bezpośrednio z równań równowagi $(\ref{37})$:

$$\begin{equation} \begin {cases} M_{Rd} = M_{c,0} + F_{su} \cdot (d_0 – a_u) + F_{sl} \cdot (d_0 – a_l) \\ N_{Rd} = F_c + F_{su}  – F_{sl} \end {cases} \label {108}\end{equation}$$

gdzie $F_c$ i #M_{c,0} dla przekroju prostokątnego i pozornie teowego wyznaczamy z równania {$\ref{36}$) w metodzie MU lub ( $\ref{37}$) w metodzie MN; dla przekroju kołowego z równania ($\ref{98}$) , a dla rzeczywiście teowego z ($\ref{111}$).

Dwukierunkowe zginanie My-Mz z udziałem N

Problem dwukierunkowego (ukośnego) zginania z udziałem siły osiowej występują praktycznie we wszystkich elementach słupowych, a w belkach najczęściej bez udziału siły osiowej. 

Procedura rozwiązania problemu  belki żelbetowej

W zagadnieniu zginania ze ściskaniem/rozciąganiem przekroju żelbetowego poszukujemy sześciu niewiadomych  (p. rys. Z-1): $x$ – wysokość strefy ściskanej betonu, czyli pola przekroju ściskanego betonu $A_{cx}= x\cdot b$ $A_{sl}$ – pole przekroju zbrojenia dolnego (rozciąganego) $A_{su}$- pola przekroju zbrojenia górnego umieszczonego w strefie ściskanej betonu. $\sigma_{13}$,  – naprężenia ściskających beton, $\sigma_{sl}$,  – naprężenia w zbrojeniu dolnym, $\sigma_{su}$,  – naprężenia w zbrojeniu górnym,
a do dyspozycji mamy tylko dwa warunki równowagi sił: $\Sigma X=0$ – stateczność sumy rzutów sił na oś poziomą X $\Sigma M_i =0$  – stateczność momentów względem dowolnej  osi i = ( O,  l, u)  = (oś przekroju betonowego, oś dolnego zbrojenia, oś górnego zbrojenia). Wybór osi jest dowolny, ale tylko jeden z warunków ΣM jest niezależny. Trzeci  warunek  wynika  z założenia 1 , czyli  zasady płaskich przekrojów. Warunki czwarty piaty i szósty wynikają z założenia 2, czyli prawa fizycznego Hooke’a kolejno dla: betonu $(\ref{41})$, zbrojenia rozciąganego i zbrojenia ściskanego $(\ref{45})$. Siódmy  warunek wynika z założenia  3, czyli $max \, \varepsilon_c = 3,5$ %.

Dodatkowo na podstawie licznych obserwacji eksperymentalnych – przyjmuje się funkcję rozkładu naprężenia po wysokości ściskanej części przekroju betonowego ($x$) podług paraboli w sposób przedstawiony w modelu MN. W tym nieliniowym  modelu wypadkowa siła ściskająca beton wynosi  $F_c=17/21=0,81\cdot (b\cdot x \cdot f_{cd}$) W celu uproszczenia obliczeń dopuszcza się stosowanie modelu uproszczonego MU – zastąpienie  rozkładu nieliniowego – rozkładem równomiernym, ale na mniejszej wysokości – zamiast na wysokości  rzeczywistej $x$ – na wysokości efektywnej $x_{eff}= \lambda \cdot x$ , gdzie $\lambda =0,8 \approx 17/21$  dla betonu zwykłego BZ.

Rozwiązanie zagadnienia belki żelbetowej zginanej i ściskanej polega na zestawieniu wskazanych wyżej zależności i rozwiązaniu utworzonego układu równań.

Układ równań rządzący zagadnieniem jest w ogólności nieliniowy i w zasadzie nie da się sformułować ogólnego rozwiązania analitycznego w „kwadraturach”. Znane rozwiązania ( np [10],  [4] ) są dość skomplikowane, wielowątkowe i definiują wiele różnych przypadków projektowych dla poszczególnych układów konfiguracyjnych  (stosunków sił) jednoczesnego zginania ukośnego przekroju momentem zginającym  $M_{Ed,y}$ wokół osi y , momentem zginającym $M_{Ed,z}$ wokół osi z  oraz ściskania/rozciągania siłą osiową $N_{Ed}$.

Równania równowagi dla dwukierunkowego zginania

W przypadku dwukierunkowego zginania przekroju momentami $M_{Ed,y}$ oraz $M_{Ed,z}$ z udziałem siły osiowej $N_Ed$ skonsolidowane równanie równowagi $(\ref {38})$.stawiamy odrębnie dla obu kierunków

$$\begin{equation} R_y=(M_{Ed,y} – M_{c0,y}) – (N_{Ed,y}+2F_{sl,y} – F_{cy}) \cdot d_{0,y} + (F_{sl,y} \cdot  a_{l,y} + F_{su,y} \cdot  a_{u,y}) = 0 \label {109} \end{equation}$$

$$\begin{equation} R_z=(M_{Ed,z} – M_{c0,z}) – (N_{Ed,z}+2F_{sl,z} – F_{c,z}) \cdot d_{0,z} + (F_{sl,z} \cdot  a_{l,z} + F_{su,z} \cdot  a_{u,z}) = 0 \label {110} \end{equation}$$

W równaniach $(\ref{109})$ , $(\ref{110})$ występują dwie dodatkowe siły $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, które stanowią część całkowitej siły ściskającej przekrój $N_{Ed}$ przypadającej do zginania wokół osi $y$ momentem $M_{Ed,y}$ oraz wokół osi $z$ momentem $M_{Ed,z}$ składające  się na całkowitą siłę ściskającą

$$\begin{equation}  N_{Ed,y}+N_{Ed,z}=N_{Ed} \label {111} \end{equation}$$

Równanie $(\ref{111})$ sprzęga dwa zagadnienia zginania jednoosiowego  w jedno zagadnieniu zginania ukośnego z uwzględnieniem interakcji obu prostych zagadnień.

Nośność obliczeniową przekroju  $M_{Rd} (=M_{Ed})$, $N_{Rd}(=N_{Ed})$ mierzoną  czystymi siłami przekrojowymi (momentem zginającym oraz siłą osiową), odpowiadającymi konkretnym kierunkom zginania (osiom przekroju) przy już wyznaczonym zbrojenia oraz wysokości strefy ściskanej $x$  wyznaczamy w sposób opisany w rozdziale Nośność przekroju betonowego.

Współdziałanie (interakcja) kilku sił redukuje nośność przekroju mierzoną czystą siłą (bez działania pozostałych). Dla przypadku jednokierunkowego zginania ze ściskaniem zależności interakcji pokazano na rys. Z-3.

W obliczeniach praktycznych zwykle przyjmuje się [6], (11-16), że składowe nośności zmniejszane są tym samym współczynnikiem redukcyjnym $k_{(M,N)}$:

$$\begin{equation} F_{Rd,(M,N)}= k_{(M,N)} \cdot \left [ M_{Rd} \, , \, N_{Rd} \right ] \label{112} \end{equation}$$

Współczynniki interakcji $k_{(M,N)}$ można wyznaczyć szacunkowo z zaleceń normy amerykańskiej w zależności od obszaru interakcji, określonej na podstawie odkształcenia zbrojenia dolnego (rozciąganego) $\varepsilon_{sl}$ [11] :

$$\begin{equation} k_{(M,N)} = \begin {cases} 0,65, &  \text {dla }  \varepsilon_{sl}\le \varepsilon_{sy} \\ 0,65+ (\varepsilon_{sl}-\varepsilon_{sy}) \cdot 0,29 / \varepsilon_{cu}, & \text {dla } \varepsilon_{sy} < \varepsilon_{sl} < \varepsilon_{su} \\ 0,90,  & \text {dla }  \varepsilon_{sl} \ge \varepsilon_{su} \end {cases} \label{113} \end{equation}$$

gdzie: $\varepsilon_{sy}=E_s / f_{yk}$ – odkształcenie plastyczne stali, $\varepsilon_{su}$ – odkształcenie graniczne stali (odpowiadające granicy wytrzymałości), $\varepsilon_{cu} =3,5$ ‰  ( $=\varepsilon_{cu2}$ w modelu MN ; = $\varepsilon_{cu3}$ w model uMU) – odkształcenie graniczne betonu

W załączonym  arkuszu kalkulacyjnym LCżelbet interakcja momentu zginającego oraz siły osiowej jest uwzględniana dokładnie bez potrzeby stosowania uproszczonych formuł $(\ref{111})$ z  $(\ref{113})$.

Powierzchnia interakcji ukośnego zginania  przekroju żelbetowego

Na rys. Z-5 pokazano powierzchnię interakcji przekroju żelbetowego zginanego ukośnie.

Na powierzchni interakcji można wydzielić izobary powstałe przez przekrój powierzchni interakcji płaszczyzną prostopadłą do osi sił N (równoleżnik). Aproksymacja powstałej w ten sposób krzywej interakcji dla ustalonej siły osiowe nazywana jest Metodą Konturu (MK) i  jest opisana formułą $(\ref{124} )$ stosowaną w normie europejskiej [1] .

Przekrojem pionowym na powierzchni interakcji można wydzielić izokliny, ten sposób aproksymacji nazywany jest Metodą Odwrotności (MO) ze względu na postać formuły interakcji ($\ref{124}$). Metoda odwrotności została wprowadzona do normy amerykańskiej  ACI 318-05,11. 

Stosowanie uproszczonych formuł interakcji ($\ref{124}$) oraz ($\ref{124}$) uzasadnione jest trudnościami rachunkowymi w ścisłym ujęciu zagadnienia, a także uzyskiwaniem bezpiecznych rozwiązań, co zostało potwierdzona wieloma badaniami eksperymentalnymi i numerycznymi. W szeregu przypadkach zyskiwane rozwiązania są jednak zbyt konserwatywne, więc nieoptymalne [13] .

Rozprzężenie  zginania ukośnego

Wyznaczenie przekrojowych sił osiowych $N_{Ed,y}$ i $N_{Ed,z}$, generujących siły w zbrojeniu $F_{sl}$ oraz $F_{su}$ $(\ref{116})$ w każdym kierunku zginania jest podstawowym problemem zginania ukośnego, powalającym rozdzielić problem sprzężony na dwa problemy proste. W zadaniu rozprzężenia poszukiwać będziemy współczynników rozdziału:

$$\begin {equation}  r_y=N_{Edy}/N_{Ed} \, ; \, r_z=N_{Edz}/N_{Ed} \label {114} \end {equation}$$ Z warunku $(\ref{116})$, otrzymujemy oczywiście $r_y+ r_z=1$

Rozprzężenie zginania ukośnego można dokonać na wiele sposobów, z których omówimy trzy:

• S – proporcjonalnej sztywności.
• R  proporcjonalnej nośności,
• MO – odwrotności nośności (metoda krzywej interakcji MO).

Metoda S rozprzężenia – proporcjonalnie do sztywności

Zgodnie z podstawową zasadą rozdziału sił przekrojowych proporcjonalnie do sztywności, przyjmujemy rozdzielniki sił $r_y$ oraz $r_z$ w dwóch kierunkach proporcjonalnie do sztywności przekroju :

$$\begin{equation} r_y =\cfrac{s_y}{S} \, ; r_z =\cfrac{s_z}{S} \, \label{115} \end {equation} $$

gdzie:
$ S =E_{cm} \cdot ( A_c +\alpha_e \cdot \Sigma A_s) $ – sztywność osiowa całego przekroju,
$s_y =E_{cm} \cdot (A_{cy} +\alpha_e \cdot A_{sy})$,
$s_z =E_{cm} \cdot (A_{cz} +\alpha_e \cdot A_{sz})$,
$\alpha_e=E_s/E_{cm}$. – stosunek modułów sztywności stali i betonu

Przyjmiemy założenie że ze zbrojeniem w danym kierunku współpracuje beton proporcjonalnie do pola przekroju danego zbrojenia:

$A_{cy}/A_{cz}=A_{sy}/A_{sz}$

Przy takim założeniu stosunek współczynników rozdziału (równy stosunkowi sztywności) jest równy stosunkowi przekroju zbrojenia

$$\begin{equation} r_{yz,S}=\cfrac{r_y}{r_z} =\cfrac{s_y}{s_z} =\cfrac{ A_{sy}} {A_{sz}} \label{116}\end {equation} $$

W rezultacie otrzymamy :

$$\begin{equation} r_{y,S} =\cfrac{r_{yz,S}}{1+r_{yz,S}} \label{117}\end {equation} $$

Metoda R rozprzężenia – proporcjonalnie do nośności

Dla $N_{Ed} > N_{Rdx}/3$  metoda MO jest zawodna (p. niżej). W takim przypadku rozdział siły osiowej $N_{Ed}$ przeprowadzimy proporcjonalnie do zbalansowanych nośności $N_{Rdy(N)}$ oraz $N_{Rdz(N)}$, uzyskanych z pomocniczego rozwiązaniu równań równowagi odrębnie dla każdego kierunku zginania, przy chwilowym założeniu, że przypadają na nie siły $(\ref{117})$ wyznaczone metodą S. Nośności zbalansowane są wyznaczane z pełnego układu równań problemu, więc również z uwzględnieniem rozkładu odkształceń zgodnie z geometrycznym założeniem płaskich przekrojów. W wyniku otrzymamy :

$$\begin{equation} r_{y,R} =\cfrac{r_{yz,R}}{1+r_{yz,R}} \label{118} \end {equation} $$

gdzie $r_{yz,R}=\cfrac{N_{Rdy(N)}}{N_{Rdz(N)}}$

Metoda MO rozprzężenia – odwrotności nośności

Krzywą interakcji metody odwrotności MO jest określona przez trzy punkty na powierzchni interakcji (na rys  Z-5) i można zapisać w postaci :

$$\begin {equation}  \cfrac{1}{N_{Rd}} \approx  \cfrac{1}{N_{Rdy}} + \cfrac{1}{N_{Rdz}} – \cfrac{1}{N_{Rdx}} \label {119} \end {equation}$$

gdzie: $N_{Rd} $  – Nośność przekroju mierzona siłą osiową w stanie zginania ukośnego, $N_{Rd,y}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi y (bez ściskania i zginania wokół osi z), $N_{Rd,z}$ – nośność przekroju  zginanego wokół osi z (bez ściskania i zginania wokół osi y), $N_{Rd,x}$   – nośność przekroju  w stanie czystego ściskania (przy pominięciu zginania), opisana formułą $(\ref{124})$ . W stanie granicznym $N_{Rd}=N_{Ed}$ , $N_{Ed,y}=N_{Rd,y}$ i $N_{Edz}=N_{Rd,z}$, a z równania interakcji $(\ref{124})$ po uwzględnieniu definicji $(\ref{112})$ i po przekształceniach można otrzymać :

$$\begin{equation} r_y \cdot (1-r_y)=\cfrac{n_{Ed}}{1+n_{Ed}} \label {120} \end {equation}$$

gdzie: $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$. Po rozwiązaniu tego równania względem $r_y$, otrzymujemy pierwiastek metody MO :

$$\begin{equation} r_{y,R1} =\cfrac{1}{4} \pm \sqrt{ \cfrac{1}{1+n_{Ed}}-\cfrac{5}{7}} \label{121} \end {equation}$$

Rozwiązanie powyższe ma fizyczny sens dla wyrażenia podpierwiastkowego większego od zera , czyli dla $n_{Ed}<1/3$. Oznacza to, że może być stosowane dla siły osiowej $N_{Ed}< N_{Rdx}/3$. W granicy dla $N_{Ed}=0$ mamy $r_{y,R1} =0$ lub 1, co odpowiada $r_{z,R1}$=1 lub 0, to znaczy zginaniu jednokierunkowemu przekroju. W przypadku  $N_{Ed}= N_{Rdx}/3$, mamy $r_{y,R1}=r_{z,R1}=1/2$

Metoda rozprzężenia zginania ukośnego stosowana w arkuszu LCŻelbet

Omówione wyżej metody  są metodami przybliżonym i i każda z nich prowadzi do innego rezultatu, przy czym najbardziej odlegle wyniki uzyskuje się w metodzie MO.

Metody S i R prowadzą do formuł $(\ref {117})$ i $(\ref{118})$ o podobnej budowie, co pozwalałoby na ich łączne rozpatrzenie.  Najprostsza jest metoda S  i w proponowanym algorytmie w pierwszym kroku stosujemy tę metodę w celu wyznaczenia zbalansowanych nośności przekroju, na podstawie których prowadzi się ponowny rozdział sił metodą R, który przyjmuje się za wystarczające przybliżenie rozprzężenia problemu.

Powierzchnia interakcji My-Mz-N w Eurokodzie 2

Norma do projektowania na obciążenia sejsmiczne [14] sugeruje traktowanie dwuosiowego zginania poprzez przeprowadzanie kontroli osobno w każdym kierunku, z jednoosiową wytrzymałością na zginanie zmniejszoną o 30%. Takie podejście jest zbyt konserwatywne.  Dokładniejsze jest podejście prezentowane w normie podstawowej [1], kl. 5.8.9 poprzez stosowanie  krzywych interakcji metodą MK  (Metodą Konturu), czyli przekrojami poziomymi-izobarami powierzchni interakcji) aproksymowanych formułą [1], (5.39) :

$$\begin{equation} \Lambda_R= \left ( \cfrac{M_{Edy}}{M_{Rdy}} \right )^{\alpha_y} + \left ( \cfrac{M_{Edz}}{M_{Rdz}} \right )^{\alpha_z}  \le 1 \label{122} \end{equation}$$

Momentom zginającym przekrój w dwóch kierunkach  $M_{Edz}, M_{Edy}$ i odpowiadają nośności przekroju  $M_{Rdz}, M_{Rdy}$ wyznaczone zgodnie z $(\ref{124})$  odrębnie dla stosownych kierunków zginania .

Normowy wykładnik powierzchni interakcji

Wykładniki interakcji w [1] przyjmuje się jednakowe dla obu kierunków $ \alpha_y= \alpha_z = a $,. Dla przekroju prostokątnego wykładnik potęgi $a$  można przyjmować zgodnie z tab. Z-2 w zależności od względnej siły osiowej $n_{Ed}=N_{Ed}/N_{Rdx}$, gdzie nośność odniesienia $N_{Rdx}$ wyznacza się z formuły:

$$\begin {equation} N_{Rdx}= A_{cx} \cdot f_{cd} + ΣA_s \cdot f_{yd} \label {123} \end {equation}$$

Tab. Z-2 Wykładnik krzywej interakcji My-Mz dla przekroju prostokątnego [1]

Dla przekroju kołowego lub eliptycznego $a=2,0$. Formułę $(\ref{124})$ zaproponował Bresler [15] , który wskazał, że a=1,15 do 1,5.  W przypadku przekrojów kwadratowych zaproponował a=1,5 do 2,0. W komercyjnym programie STAAD stosuje się a=1,24 dla wszystkich kształtów przekroju.

Wartości pośrednie wykładnika interakcji należy aproksymować. Na rys. Z-6 pokazano wykres wykładnika a w funkcji względnej siły osiowej i aproksymacyjny wielomian drugiego stopnia przechodzący przez punkty z tab. Z-2

Uogólnione wykładniki powierzchni interakcji

W niniejszym artykule przyjmuje się, że wykładniki powierzchni interakcji $(\ref{124})$ są różne w zależności od kierunku zginania: $\alpha_y \neq \alpha_z$ i są wyznaczane z rys. Z-6 dla względnych  sił:

$n_{Ed,•}=N_{Ed,•}/N_{Rdx}$, gdzie indeks •=y,z

to znaczy podług zależności korelacyjnej $$\begin {equation} \alpha_•=0,98 + 0,093 \cdot n_{Ed,•} + 0,926 {n_{Ed,•}}^2  \label {124} \end {equation}$$

Przykłady rachunkowe

Przykłady  w przebudowie

Przykład Z-1 [Belka stropowa bez uwzględnienia współpracy płyty – przypadek ZM]

Przykład 4-1 z podręcznika [2]

Zaprojektować zbrojenie  belki żelbetowej swobodnie podpartej o przekroju prostokątnym obciążonej równomiernie po długości, pokazanej na rys. Z-14 Klasa ekspozycji XC2; klasa odporności ogniowej R60;  klasa konstrukcji S4.

Dane ogólne

Beton   C20/25: ( tab. W-1) $\to$ $f_{ck}=20 \, MPa$ , $f_{ctm}=2,2 \, MPa$ , $f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$

Stal B500: (tab. W-2) $\to$ $f_{yk}= 500 , MPa$, $f_yd=500/1,15=435 \, MPa$

Długość belki w świetle murów $l_n=5,0 \, m$, Grubość muru z lewej $t_l=500 \,$mm Grubość muru z prawej $t_p=500 \,$mm

K(2) długość obliczeniowa belki  $\to l_{eff} =5,0+[(300+300)/2]/1000=5,3 \, m$.

Maksymalny obliczeniowy moment przęsłowy (z obliczeń statycznych)  $M_{Ed}=$ 135,6 kNm

Dobór wstępny przekroju

K(3) wysokość belki   $\to h=l_{eff}/12=442$. przyjęto 450 mm

K(5) szerokość belki  $\to b=h/2=450/2=225$, przyjęto 250  mm

Przyjęto:
główne pręty zbrojeniowe o średnicy $\Phi=18 \, mm$ $A_{s1}=\pi \cdot 1,8^2/4 = 2,545 \, cm^2 ) $ ; $F_{s1}= 2,545 \cdot 435 \cdot 10^{-1}= 110,7 \, kN$
strzemiona o średnicy $\Phi_s= 6 \, mm$

Otulenie zbrojenia $c_{min}=\Phi=18 \, mm$, $c_{dur}= 25 \, mm$  dla klasy ekspozycji XC2, $ \Delta c_{dev}=10 \,mm $.

K(12) $\to$ $ c= \max{ \{18\,;\,25 \} } +10= 35 \, mm$, $ c_{nom}= 35+6 = 41 \, mm$,

K(13) $\to$ $a =a_l = a_u = 41+18/2=$ 50 mm

Wysokość użyteczna przekroju  $ d=d_l =450-50=$ 400 mm

$(\ref{17}) \to $ sprowadzone pole betonu  $ A_{c, s} = 25 \cdot 40,0 \cdot \cfrac{14,3}{435}=$ 32,87  cm²

Zbrojenie minimalne i maksymalne

• ze względu na kruche zniszczenie betonu w strefie ściskanej
  K-(15)   minimalny stopień zbrojenia $ρ_{min,b}= \ max { \{ 0,0013 \, ; \,0,26 \cdot 2,2 /500 \} }= 0,0013$
  dokładność członu z warunku (K-18) sprawdzimy po wyznaczeniu dżwigni sił poniżej
  K-(16) $A_{s, min, brittle} = 0,0013 \cdot 25 \cdot 40,0=$ 1,3 cm²
• ze względu na zarysowanie belki w strefie rozciągane
  K-(20) $A_{s, min, crack} = 0,4 \cdot 1,0 \cdot (25\cdot 40)/2 \cdot \cfrac {2,2}{260}= 1,7 \, cm^2$

gdzie:
$(25\cdot 40)/2$ – pole rozciąganej strefy betonu  w chwili poprzedzającej zarysowanie belki zginanej (I faza – sprężysta),
c=0,4 – współczynnik  uwzględniający rozkład naprężenia w przekroju w chwili poprzedzającej zarysowanie dla fazy II  (przyjęto maksymalnie możliwy dla zginania),|
k =1,0 – współczynnik uwzględniający  wpływ nierównomiernych naprężeń samorównoważących się  (przyjęto maksymalnie możliwy),
$\sigma_{s,lim} = 260 \, MPa$ jak dla zbrojenia prętami  $\Phi 18$ na podstawie tablicy  K-2.

Zbrojenie minimalne
$A_{s,min}= max \{ 1,3; 1,7 \} =$  1,7  cm²

Zbrojenie maksymalne

K-(22)   $A_{s, max} = 0,04 \cdot 25 \cdot 40 cm= 40 \, cm^2$

Wstępne szacunki pola przekroju zbrojenia

K-(10) $\to$  dla zbrojenia podwójnego  (górą i dołem) $\Sigma A_s=A_{su}+A_{sl}\approx \cfrac {135,6} {435 \cdot (0,45-2\cdot 0,05)} \cdot 10^1=8,9 \, cm^2$.
co daje  $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$

K-(11) $\to $ dla zbrojenia pojedynczego  $A_{sl} \approx \cfrac{135,6} {435 \cdot 0,9 \cdot (0,45-0,05) }\cdot 10^1=8,7\, cm^2$,
co daje  $4 \Phi 18$, A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$

Zbrojenie górne konstrukcyjne

Do wiązania strzemion zastosowano zbrojenie górne  $2 \Phi 18$   $A_{su}^{constr} = 2\cdot 2,545 =5,09 \, cm^2$

($\ref{58}) \to$  $m_{su}^{constr} =\cfrac{5,09}{32,87}  \cdot (1 – 5, 0/40,0) = 0,135$

Dobór zbrojenia

Model MU

($\ref{1} )\to$ efektywna wytrzymałość betonu  $f_yd^{’}=1,0\cdot 14,3 = 14,3 \, MPa$

($\ref{4}) \to $ czynnik normujący moment  $\overline  M = 0,25 \cdot 0,40^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3=572,0 \, kNm$,

($\ref{3}) \to $ unormowany moment zginający $m_{Ed} = \cfrac{135,6}{ 572,0}=0,237$,

Zbrojenie górne ?

$ (\ref{33}) \to $ moment graniczny dla betonu zwykłego BZ  $m_{ult,MU}=0,241$

$(\ref{62})\to $ warunek zbrojenia górnego  $ \Delta(m_{Ed})= 0,237 – 0,241 = – 0,004 < 0$
$ \to $  nie trzeba stosować zbrojenia górnego ze względów obliczeniowych, ( ale stosujemy je  ze względów konstrukcyjnych – wiązanie strzemion).

Zbrojenie dolne (przekroju pojedynczo zbrojonego)

$(\ref{51}^2) \to $ względna wysokość strefy ściskanej $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,237 } = 0,275$,

$(\ref{52}^2) \to $ względne ramie sił wewnętrznych $\zeta = 1- 0,275/2 =0,863$,

$(\ref{55}) \to $ zbrojenie dolne  $A_{sl,[-]} =  \cfrac{0,237}{ 0,863} \cdot 32,87 = 9,03 \, cm^2 $
przyjęto  $4 \Phi 18$,  $A_s = 4 \cdot 2,545 = 10,2  \, cm^2$

Model MN

($\ref{1} )\to$ efektywna wytrzymałość betonu $f_yd^{’}= 14,3 \, MPa$

Zbrojenie górne ?

unormowany moment zginający $m_{Ed} = 0,237$ – jak w MU

$ (\ref{33}) \to $ moment graniczny dla betonu zwykłego BZ  $m_{ult,MN}= 0,226$

$(\ref{62})\to $ warunek zbrojenia górnego $ \Delta(m_{Ed})= 0,237 – 0,226 = +  0,011 > 0 $

$\to $ trzeba zastosować zbrojenie górne – dobrano poniżej (metoda MN*)

Zbrojenie dolne ( przy braku zbrojenia górnego)

$(\ref{52}^1) \to $ względne ramie sił wewnętrznych $\zeta = 1 – \cfrac{99}{238}\cdot 0,237 = 0,901$

$(\ref{55}) \to $ zbrojenie dolne  $A_{sl,[-]} =  \cfrac{0,237}{ 0,901} \cdot 32,87 = 8,65\, m2^2 $

Model MU*

($\ref{70}) \to$  $m_{Ed}^*= 0,237 – 0,135= 0,102$

gdzie $m_{su}^{constr}=0,135$ (dane zadania)

Zbrojenie dolne

($\ref {35}) \to $  $\xi = 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,102 } =0,108$

$(\ref{66}) \to $ zredukowane  ramię – mimośród sił wewnętrznych  $\zeta = 1- 0,108/2=0,946 $,

$(\ref{68}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne  $A_{sl,[=]} = \cfrac{0,237}{ 0,946} \cdot 32,87 = 8.24 \, cm^2 $

$(\ref{50})$)  $m_{Ed}^* = 0,102 < m_{ult}=0,251)$, $\to$ nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia górnego

Model MN*

zredukowany moment zginający $m_{Ed}^* = 0,102$  (jak w MU wyżej)

$(\ref{50})$)  $m_{Ed}^* = 0,102 < m_{ult}=0,251)$, $\to$  nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia górnego

Zbrojenie dolne

$(\ref{52}^1) \to $ względne ramię sił wewnętrznych  $\zeta = 1 – \cfrac{99}{238}\cdot 0,102 = 0,958$

$(\ref{55}) \to $ zbrojenie dolne $A_{sl,[=]} =  \cfrac{0,237}{ 0,958} \cdot 32,87 = 8,13 \, cm^2 $

Porównanie

Otrzymano następujące wymagane pole przekroju zbrojenia dolnego $A_{sl}$:

MU     9,03  = 100%
MN     8,65  = 96%
MU*   8,24  = 91%
MN*   8,13   = 90%

W przykładzie każde z tych rozwiązań prowadzi do zbrojenia  $4 \Phi 18$,  $A_s = 4 \cdot 2,545 = 10,2  \, cm^2$, jednakże rozbieżności w zbrojeniu teoretycznym dochodzą do 10% i przy większym wytężeniu lub większych przekrojach może prowadzić do znacznych oszczędności sta;o o energii.

Sprawdzenia konstrukcyjne

• wymóg zbrojenia minimalnego

$$ A_{sl}= 10,18 > 1,9 \, cm^2$  ( ustalono pod danymi zadania )

• wymóg zbrojenia maksymalnego

$A_s= A_{sl}+ A_su}= 10,18+ 5,09= 15,27  < 45 \, cm^2 ( ustalono pod danymi zadania )

• odstępy miedzy prętami

otulenie osiowe boczne $a_{uz}= c_{uz}+ $\Phi_s$+$Pji_l$/2=35+6+ 18/2= 50 \, mm$

szerokość belki do rozmieszczenia zbrojenia $b_{zb}=250 -2\cdot 50 = 150 \,mm $ o

odległości między prętami  $ a_{h,v} = b_{zb}/(m_{zb}-1) -\ Phi = 150/(4-1)-18=  32 /, mm$

K-(14) $\ge \max { \{ 18 \, ; \, 20 mm \, ; 10 +5 mm \}}= 20 \, mm$ (10  – maksymalna średnica ziarna kruszywa)

Przykład Z-2 [Belka z przykładu Z-1 – zwiększone  obciążenie – przypadek ZS]

Zaprojektować belkę z przykładu Z-1 na obciążenie  $M_{Ed}=$ 182,8 kNm
Dane wstępne oraz wstępny dobór przekroju pozostaje bez zmian.

($\ref{3}) \to $ unormowany moment zginający $m_{Ed} = \cfrac{182,8}{ 572,0}=0,320$,

Do wiązania strzemion zastosowano zbrojenie górne  $2 \Phi 18$   $A_{su}^{constr} = 2\cdot 2,545 =5,09 \, cm^2$
($\ref{58}) \to$  $m_{su}^{constr} =\cfrac{5,09}{32,87}  \cdot (1 – 5, 0/40,0) = 0,135$

Model MU

Zbrojenie górne ?

$ (\ref{33}) \to $  $m_{ult,MU}=0,241$

$ (\ref{62}) \to $ $ \Delta(m_{Ed}) = 0,320 – 0,241 = + 0,069 > 0$
$ \to $  należy zastosować zbrojenia górne

Model MU*

Zbrojenie górne   dodatkowe?

($\ref{70}) \to$  $m_{Ed}^*= 0,320 – 0,135= 0,218$

gdzie $m_{su}^{constr}=0,135$ (dane zadania)

($\ref{50}$) $m_{Ed}^* = 0,218 < m_{ult}=0,251)$ $\to$  nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia górnego,
zbrojenie górne konstrukcyjne jest już wystarczające – przypadek ZS

Zbrojenie dolne

($\ref {35}) \to $  $\xi = 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,218 } =0,249$

$(\ref{66}) \to  \zeta = 1- 0,249/2=0,880 $,

$(\ref{68}) \to   A_{sl}= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,320}{ 0,880} \cdot 32,87 = 11,95 \, cm^2$

Model MN

$m_{Ed} = 0,320$ – jak w MU

Zbrojenie górne ?

$ (\ref{33}) \to$  $m_{ult,MN}=0,226$

$(\ref{62})\to $ $ \Delta(m_{Ed})= 0,320 – 0,226 = 0,094 > 0$

gdzie $m_{su}^{constr}=0,135$ (dane zadania)

$ \to $  należy zastosować zbrojenia górne

Model MN*

Zbrojenie górne dodatkowe ?

($\ref{70}) \to$  $m_{Ed}^*= 0,320 – 0,135= 0,218$

gdzie $m_{su}^{constr}=0,135$ (dane zadania)

($\ref{50}$) $m_{Ed}^* = 0,218  < m_{ult}=0,226)$ $\to$  nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia górnego
zbrojenie górne konstrukcyjne jest już wystarczające – przypadek ZS

Zbrojenie dolne

$(\ref{52}^1) \to $ $\zeta = 1 – \cfrac{99}{238}\cdot 0,218 = 0,909$

$(\ref{68}) \to   A_{sl}= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,320}{ 0,909} \cdot 32,87 = 11,57 \, cm^2$

Kalkulator LCżelbet

Dla danych z przykładu 2   przekrój zaprojektowano metodą metoda nieliniową MN z użyciem  kalkulatora LCŻelbet. Poniżej, na rys Z-15 zamieszczono ekran z kalkulatora przedstawiający wyniki obliczeń

Rys Z-15 . Kalkulator LCżelbet – przykład Z-1 (kliknij , aby pobrać)

W wyniku obliczeń kalkulatorem wykazano, że zbrojenie dolne można wykonać z $4 \Phi 18$, a zbrojenie górne konstrukcyjnie $2 \Phi 16$ (wytężenie 94,7%).
Jeśli zbrojenie górne jest $2 \Phi 14$, to wytężenie wynosi 98.6%, a dopiero  dla  $2 \Phi 12$ wytężenie jest zbyt duże.

Wniosek: stosowanie obliczeń nieliniowych, np z wykorzystaniem prezentowanego arkusza pozwala na  znaczne oszczędności stali w stosunku do uproszczonych obliczeń „ręcznych”.

Przykład Z-3 [Belka z przykładu Z-1 – zwiększone  obciążenie – przypadek ZD]

Zaprojektować belkę z przykładu Z-1 na zwiększone obciążenie  $M_{Ed}=$ 271,2 kNm  – czyli  271,2/135,6= 2 razy. Dane wstępne oraz wstępny dobór przekroju pozostaje bez zmian.

($\ref{3}) \to $  $m_{Ed} = \cfrac{271,2}{ 572,0}=0,474$,

Do wiązania strzemion zastosowano zbrojenie górne  $2 \Phi 18$   $A_{su}^{constr} = 2\cdot 2,545 =5,09 \, cm^2$
($\ref{58}) \to$  $m_{su}^{constr} =\cfrac{5,09}{32,87}  \cdot (1 – 5, 0/40,0) = 0,135$

Model MU

Zbrojenie górne ?

$ (\ref{33}) \to $  $m_{ult,MU}=0,241$

$(\ref{62})\to $  $ \Delta(m_{Ed})= 0,474 – 0,241 = 0,233 > 0 \to$ wymagane zbrojenie górne

Model MU*

Zbrojenie górne dodatkowe ?

($\ref{70}) \to $  $m_{Ed}^*= 0,474 – 0,135=  0,339$

($\ref{50}$) \to $   \Delta_m =  0,339 – 0,251= 0,088  > 0 \to$  wymagane dodatkowe zbrojenie górne
zbrojenie górne konstrukcyjne nie  jest wystarczające – przypadek ZD

Zbrojenie górne dodatkowe

($\ref{63}$)  \to $ A_{su}^{add} = \cfrac{0,088}{1-5,0/40,0}  \cdot 32,87 = 2,53 \, cm^2$

Całkowite zbrojenie górne

$\to$ ($\ref{56}$) całkowite zbrojenie górne (konstrukcyjne + dodatkowe)   $ A_{su}= 5,09+2,53= 7,62 \cm^2$
przyjęto  $3|Phi18$ $A_{su}= 3\cdot 2,545 = 7,63 \cm^2$

($\ref{58}) \to $  $m_{su}=\cfrac{7,63 }{32,87}  \cdot (1-5,0/40,0) = 0,203$

($\ref{70}) \to $  $m_{Ed}^*= 0,474 – 0,203= 0,271`$

($\ref{50}$) $\Delta_m = 0,271 -0,251 <0   to$  nie wystąpi zmiażdżenie betonu

Zbrojenie dolne

$(\ref{51}^2) \to $  $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,203} = 0,229$,

$(\ref{52}^2) \to $  $\zeta = 1- 0,229/2 =0,885$,

$(\ref{55}) \to $  $A_{sl} =  \cfrac{0,474}{ 0,885} \cdot 32,87 = 17,60 \, cm^2 $
przyjęto  $7 \Phi 18$,  $A_s = 7 \cdot 2,545 = 17,81  \, cm^2$

Model MN, MN*

W MU* wyznaczono:
$m_{Ed} = 0,474$
$m_{su}^{constr}= 0,135$
$m_{Ed}^*= 0,339$

$ (\ref{33}) \to  $m_{ult,MN}=0,226$

($\ref{50}$) $\Delta_m = 0,339 – 0,226 = 0,113 > 0   to$  wymagane dodatkowe zbrojenie górne

zbrojenie górne konstrukcyjne nie  jest wystarczające – przypadek ZD

($\ref{63}$)  \to $ A_{su}^{add} = \cfrac{0,113}{1-5,0/40,0}  \cdot 32,87 = 4,25 \m^2$

$\to$ ($\ref{56}$) całkowite zbrojenie górne (konstrukcyjne + dodatkowe)   $ A_{su}= 5,09+4,25= 9,34 \cm^2$
przyjęto  $ 4|Phi18$ $A_{su}= 4\cdot 2,545 = 10,18 \cm^2$

($\ref{58}) \to $  $m_{su}=\cfrac{10,18 }{32,87}  \cdot (1-5,0/40,0) = 0,271$

($\ref{50}$) $\Delta_m = 0,338 -0,271 = – 0,67 < 0 \ to$   nie nastąpi zmiażdżenie betonu

Zbrojenie dolne

($\ref{70}) \to $  $m_{Ed}^*= 0,474 – 0,271= 0,203`$

$(\ref{52}^1) \to $ $\zeta = 1 – \cfrac{99}{238}\cdot 0,203 = 0,915$

$(\ref{68}) \to   A_{sl}= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,474}{ 0,915} \cdot 32,87 = 17,03 \, cm^2$
przyjęto  $7 \Phi 18$,  $A_s = 7 \cdot 2,545 = 17,81  \, cm^2$

 

Przykład Z-4 [ Belka pozornie  teowa. Przypadek ZS]

Przykład 4-3 z podręcznika [2]

Zaprojektować zbrojenie  belki żelbetowej teowej, pokazanej na rys. Z-16  stropu podpartego przegubowo na obwodzie i równomiernie obciążonego na powierzchni.

Klasa ekspozycji XC1; klasa odporności ogniowej R60;  klasa konstrukcji S4.

Dane ogólne

Beton   C20/25: ( tab. W-1) $\to$ $f_{ck}=20 \, MPa$ , $f_{ctm}=2,2 \, MPa$ , $f_{cd}=20/1,4=14,3 \, MPa$ Stal żebra AIII  $f_{yk}= 400 \, MPa$,  $f_yd=350 \, MPa$ płyta A I  $f_{yk}= 240 \, MPa$,  $f_yd=210 \, MPa$ Stale obecnie nie używane – przyjęto  za [2], przyklady 4.3 i 4.1 Długość belki w świetle murów $l_n=6,0 \, m$, Grubość muru z lewej $t_l=200+50 =250 \,$mm ( mur – podpora szersza o 50 mm od wieńca) Grubość muru z prawej $t_p= 200+50=250 \,$mm K(2) długość obliczeniowa belki  $\to l_{eff} =6,0+[(250+250)/2]\cdot 10^{-3} =6,25 \, m$. Maksymalny obliczeniowy moment przęsłowy  $M_{Ed}=$ 110,54 kNm Przyjęto : wysokość  belki $h= 400 \, mm$ szerokość belki $b=250 \, mm$ średnica zbrojenia $\Phi= 18 \, mm$ otulina $c_{nom} \max \{ 18\,;\,  15 \} +10 = 28 \, mm$ gdzie dla XC1 $c_dur = 15  \, mm$ średnica strzemion $\Phi_s =  6 \, mm$ otulina osiowa  $a=28 + 6 + 18/2= 43 \, mm$ wysokośc użyteczna $d=d_l=400 -43=$ 357   mm

Szerokość efektywna  przekroju teowego

Szerokości żeber wokół rozpatrywanej belki $b_{wl}=b_{wp}+ 250 \, mm$ Połowa odległości w świetle przęsła z żebrem (sąsiadującym z rozpatrywaną belką($\ref96X}$) ($\ref{105}$ \to) b_1=b_2=( 2000- 250/2-250/2)/2= 875 \, mm$ Belka – żebro wolnopodarte $\to$ rys Z-11  $L_0= 1,0  \cdot 625 =6250 \, mm$ Szerokości współpracujące ($\ref{105})\to$ b_{eff,1} = b_{eff,2} =  0,2 \cdot 875 + 0,1\cdot 625 = 800 \., mm$ $\le  \min{ \{ 875 \, ; \, 0,2 \cdot +6250} \}= 875 \, mm$ Szerokość półki przekroju teowego ($\ref{106})\to$ b_{eff}= 800  250 +800=$ 1850 mm $\le 875+240+875 =1500 \, mm$

Czy przekrój jest pozornie teowy

Zakładamy , że przekrój jest pozornie teowey i szerokości belki $b= b_{eff} = 1850 \, mm$ $( \ref{4}) – ( \ref{3}) \to $ unormowany moment zginający $m_{Ed} = \cfrac{110,54}{ 1,85 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=0,033, $(\ref{35}) \to $ względna wysokość strefy ściskanej $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,033 / 1,0} =1- 0,9664= 0,034  <  m_{ult}= 0,251 $, gdzie $m_{ult}=0,251$  $ (\ref{47}$) Czy wysokość strefy ściskanej znajduje się w pasie ? $x=xi\cdot d /\lambda = 0.034\cdot 357/0,8 = 15 <h_f=80 ,\ mm$ $\to$ przekrój jest pozornie teowy

Zbrojenie dolne

$(\ref{66}) \to $ względne ramię – mimośród sił wewnętrznych $z = (1+0,9664)/2 = 0,9832$

$(\ref{17}) \to $ sprowadzone pole betonu przekroju pozornego $ A_{c, s} = 185,0 \cdot 35,7 \cdot \cfrac{14,3}{350}=$  269,84  cm²

Sprowadzone pole betonu  przekroju pozornego $(\ref{68}) \to $ zbrojenie dolne $A_{sl} =  \cfrac{0,033}{ 0,9832} \cdot 269,84 = 9,06 \, cm^2$, przyjęto  $4 \Phi 18$,  $A_s = 4 \cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$

Zbrojenie górne

Obliczeniowo nie trzeba stosować zbrojenia górnego, ale zbrojenie górne  należy zastosować ze względów konstrukcyjnych (zbrojenie płyty). W kolejnym przykładzie  pokazano jak zbrojenie płyty wplywa na zmniejszenie zbrojenia dolnego.

Przykład Z- 5 [Przekrój pozorny teowy ze zbrojeniem górnym]

Wyznaczyć wymagane zbrojenie dolne belki teowej z przykładu Z-3  po uwzględnieniu zbrojenia górnego konstrukcyjnego  (zbrojenie rozdzielcze w płycie pasa). W projekcie płyty [2], przyład 4.3 zastosowano zbrojenie rozdzielcze  \Phi 6 co 24 cm,  górą i dołem, czyliI na długości 185 cm, czyli  $(185/24-2) \approx 10 \, \Phi 6$ $A_{su}= 10 \cdot \pi\cdot 0,6^2/4= 2,8 ,\ cm^2$ zbrojenie rozmieszczono przy górnej i dolnej powierzchni płyty, czyli $a_u=80/2 =40 \, mm$

Zredukowane obciążenie belki

$\ref{58}) \to$  nośność zbrojenia górnego  $m_{su}=\cfrac{2,8}{269,84}  \cdot (1-40/357) = 0,0092$ ($\ref{70}) \to$  zredukowany moment zginający  $m_{Ed}^*= 0,033 – 0,0092= 0,024 <  m_{ult}=0,251$, $(\ref{35}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej  $\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,024 / 1,0} =1- 0,9757= 0,02430$, $(\ref{66}) \to $ zredukowane  ramie sił wewnętrznych  $\zeta^* = (1+0,9757)/2 =0,9878$,

Zredukowane zbrojenie dolne

$(\ref{68}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne   $A_{sl}^*= A_{sl,[=]}= \cfrac{0,033}{ 0,9878} \cdot 269,84 = 9.02 \, cm^2$, przyjęto  $4 \Phi 18$,  A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$ W przykładzie  nie uzyskano zmniejszenia rzeczywistego zbrojenia (choć wymagane, teoretyczne zbrojenie  jest nieco mniejsze.

Przykład Z-6 [Przekrój rzeczywiście teowy bez zbrojenia górnego]

Oszacować zbrojenie przekroju teowego z przykładu  Z-5, ale dla 6x większego obciążenia, czyli dla $M_{Ed}= 6\cdot 110,54 =$ 663,24 kNm

Czy przekrój jest pozornie teowy

szerokości belki $b= b_{eff} = 1850 \, mm$ $( \ref{4}) – ( \ref{3}) \to $ $m_{Ed} = \cfrac{663,24}{ 1,85 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=0,1967 <  m_{ult}= 0,251 $, $ (\ref{47}$) $\to$ nie jest potrzebne zbrojenie górne $(\ref{35}) \to $ $\xi= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,1967 / 1,0} =1- 0,6272= 0,068 $x=xi\cdot d /\lambda = 0,1967\cdot 357/0,8 = 87,8  > h_f=80 ,\ mm$ $\to$ przekrój jest rzeczywiście teowy szerokości belki $b= b_{w} = 250 \, mm$ $( \ref{4}) – ( \ref{3}) \to $ $m_{Ed} = \cfrac{663,24}{ 0,25 \cdot 0,357^2 \cdot 14,3 \cdot 10^3}$=1,456 (jeszcze nie poprójemy do momentu granicznergo $m_{ult}$ , bo nalerzy obliczć obciążenie zredukowane

Nośność pasa przekroju T

pod ($\ref{113})  $\to$ $b_{fw}=b_f/b_w= 1850/250= 7,400$ $χ_f=h/f/d=(400-80)/357= 0,876$ ($\ref{113}) \to$  nośność pasa  przekroju w części poza środnikiem m_{Rd,cf} = (  7,400 -1 ) \cdot  ( 0,876 –0,876^2/2 )= 3,151$ ($\ref{70}) \to$  zredukowany moment zginający $m_{Ed}^*= 0,230 – 0,136= 0,094$ $(\ref {35}) \to $ zredukowana wysokość strefy ściskanej $\xi^*= 1 – \sqrt{1 – 2 \cdot 0,094 / 1,0} =1- 0,9011 = 0,0989$, $(\ref{66}) \to $ zredukowane  ramię – mimośród sił wewnętrznych $\zeta^* = (1+0,9011)/2 =0,951$, $(\ref{68}) \to $ zredukowane zbrojenie dolne $A_{sl}^*= A_{sl,[=]} = \cfrac{0,230}{ 0,951} \cdot 32,87 = 8.07 \, cm^2$, przyjęto  $4 \Phi 18$,  A_s = 4\cdot 2,545 = 10,18 \, cm^2$   ( $3 \Phi 18$ jest już niewystarczające) Ponieważ $m_{Ed}^* = 0,094< m_{ult}=0,251)$, to  nie trzeba stosować dodatkowego zbrojenia górnego  (warunek $(\ref{50})$)

Przykład Z-7 [Przekrój kołowy]

Przykłady  Z-8 [Testy Benchmark arkusza LCżelbet]

Arkusz LCżelbet przetestowano na wielu przykładach, w tym publikowanych w literaturze:

1. belka podwójnie zbrojona – przykład wg pracy  [16] Pokazano, że stosowanie arkusza  pozwala na większe o ok 17%
2. nośność przekroju zbrojonego symetrycznie  – przykład wg pracy [16], przykład 6.3 Uzyskano nośność 12% większą
3. nośność przekroju zbrojonego symetrycznie –  przykład wg pracy [1], przykład Z-13.1 Uzyskano nośność o 17% większą
4. zginanie ukośne względem dwóch osi przypadek CT₂  przykład wg pracy  [1], przykład Z-3.6 Pokazano , że w przykładzie oryginalnym nośność zawyżono ponad dwukrotnie.
5.  nośność przekroju zginanego ukośnie z betonu z betonu wysokiej wytrzymałości – wg pracy [16], przykład 6.18 Pokazano, że  w przykładzie oryginalnym zawyżono nośność – konieczne było boczne, uzupełniające zbrojenie rozciągane 1Ø

Powyższe testy arkusza LCŻelbet należy traktować jako testy Benchmark , obejmujące wszystkie przypadki  z identyfikowane w  rozdziale Przypadki wytrzymałośćiowe pręta żelbetowego , które mogą wystąpić w belkach-słupach. Należy przy tym wskazać, że arkusz jest przeznaczony dla profesjonalnych inżynierów, bowiem  wymaga podania danych: [ wymiary przekroju+ zbrojenie dolne+ zbrojenie górne + zbrojenie boczne ] z pewnego obszaru dla którego można znaleźć równowagę odkształceń i naprężenia. Taka równowaga nie wystąpi na przykład dla przekroju ze zbyt małym zbrojeniem, które dla danych sił wymusza nadmierne odkształcenia włókien betonu. Dopiero po znalezieniu pierwszego rozwiązania dopuszczalnego można przystąpić do optymalizacji zbrojenia. Oszczędności z użycia kalkulatora w stosunku dla klasycznych metod ręcznych lub tablicowych – mogą być nawet dwukrotne.

Bibliografia artykułu

1. PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3: 2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
2. Pyrak S. (2012). Konstrukcje z betonu (VII, Tom 5). WSiP
3. Knauff M., Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2, PWN, Warswa 2011
4. Starosolski W. (2013), Konstrukcje żelbetowe według Eurokodu 2 i norm związanych, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
5. MPA The Concrete Centre. (2016). Bending and Shear in Beams. Lecture 3. EC2 Webinar – Autumn, [https://www.concretecentre.com/TCC/media/TCCMediaLibrary/Presentations/Lecture-5-Slabs-and-Flat-Slabs-PHG-N-Rev13-15-Oct-16.pdf ]
6. Wight, J. K., & MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete: mechanics and design (6th ed). Pearson Prentice Hall
7. Institution of Structural Engineers, The Institution of Civil Engineers, Manual for the design of reinforced concrete building structures to EC2, Institution of Structural Engineers, May 2022
8. Di Laora  R, , Galasso, C, Mylonakis G., Cosenza, E, (2020), A simple method for N-M interaction diagrams of circular reinforced concrete cross sections, Structural Concrete, 21 (1) pp. 48-55
9. Gąćkowski R. (2013), Tablice i algorytmy do wymiarowania zginanych elementów żelbetowych, Verlag Dashöfer
10. Knauff M., Golubińska A., Knyziak P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, Wydanie drugie. PWN
11. ACI 318-14 (2014), Building Code Requirements for Structural Concret
12. MPA, The Concrete Centre, (2016), Columns, Lecture 8, EC2 Webinar – Autumn, [ Lecture-8-Columns-jb-9-Nov-16.pdf ]
13. Di Ludovico M., Lignola G. P., Prota A., Cosenza E. (2010). Nonlinear Analysis of Cross Sections under Axial Load and Biaxial Bending. ACI Structural Journal, 107(4), 390–399
14. PN-EN 1998-1:2005Eurokod 8: Projektowanie konstrukcji poddanych oddziaływaniom sejsmicznym, Część 1: Reguły ogólne, oddziaływania sejsmiczne i reguły dla budynków
15. Bresler B. (1960), Design Criteria for Reinforced Concrete Columns Under Axial Load and Biaxial Loading. Journal of the American Concrete Institute, 57(5), 481–490
16. Knauff M. i in.. (2006), Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych: według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne

_______________
Koniec