Belki żelbetowe. Ścinanie

Siły i naprężenia poprzeczne

Przekroje betonowe w odróżnieniu od stalowych są bardzo wrażliwe na ścinanie, które jest nieodłącznie związane ze zginaniem. Zbrojenie na ścinanie wykonuje się w formie zamkniętych strzemion, najczęściej pionowych. Rzadziej obok strzemion stosuje się pręty odgięte zbrojenia podłużnego lub strzemiona ukośne. Wprowadzanie prętów odgiętych lub ukośnych można stosować wyłącznie w przypadkach specjalnych, wówczas, gdy maksymalne zbrojenie strzemionami okaże się niewystarczające.

W zagadnieniu ścinania przekrojów żelbetowych posługuje się pojęciem obliczeniowych, poprzecznych sił przekrojowych $V_{Ed}$ i  nośności przekroju $V_{Rd}$ lub naprężeń stycznych $v_{Ed}$ i wytrzymałości przekroju na ścinanie $v_{Rd}$:

$$\begin{equation}  v_{Ed}=\cfrac {V_{Ed}}{A_v}  \quad ; \quad  v_{Rd}=\cfrac {V_{Rd}}{A_v} \label{1} \end{equation}$$

gdzie pole przekroju ścinania $A_v= b_w \cdot z$.
Ramię sił wewnętrznych, występujące w (W-10) przyjmuje się w $(\ref {1})$ jako $z=0,9 \cdot d_l$, gdzie d jest wysokością użyteczną przekroju dla zbrojenia rozciąganego (dolnego) $d_l=h-a_l$. Wymiar  $b_w$ jest szerokością  żebra (środnika) przekroju teowego/dwuteowego  lub szerokością przekroju prostokątnego ,

Wymagania konstrukcyjne

Minimalne zbrojenie poprzeczne na ścinanie

W tych miejscach elementu, w których obliczeniowe naprężenia styczne $v_{Ed}$ wywołane obciążeniami zewnętrznymi  spełniają warunek

$$\begin{equation} v_{Ed} \le v_{Rd,c}  \label{2} \end{equation}$$

gdzie $v_{Rd,c}$ – wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie ($\ref {11}$),

zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane, ale w takim przypadku w belkach należy zastosować zbrojenie minimalne na ścinanie, służące do wiązania zbrojenia podłużnego, o polu przekroju spełniającym warunek stopnia zbrojenia (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.4)) :

$$\begin{equation} \rho_w=\cfrac{A_{sw}}{s b_w sin \alpha} \ge \rho_{w,min}\label{3} \end{equation}$$
gdzie:
$A_{sw}$ jest polem przekroju pojedynczego zestawu zbrojenia na ścinanie (np. dwóch strzemion , jeśli zastosowano podwójne),
$s$- rozstaw zestawów zbrojenia po długości pręta.
$\alpha$ – kąta nachylenia zestawu zbrojenia do poziomu.
Minimalny stopień zbrojenia wyznacza się  z zależności (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.5N)):
$$\begin{equation} \rho_{w,min} =0,08 \cdot  \sqrt{f_{ck}} /f_{yk} \label{4} \end{equation}$$

Poprzeczne zbrojenie minimalne należy więc stosować na całej długości belki i zagęszczać w obszarach nie spełniających warunku $(\ref{2})$. Minimalne zbrojenie na ścinanie nie jest wymagane w płytach (pełnych, z żebrami lub kanałami), w których możliwa  jest poprzeczna redystrybucja obciążeń. lub mniej ważnych belkach (np nadproża o rozpiętości mniejszej niż 2 m) , które nie wpływają w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji.

Maksymalny rozstaw zbrojenia na ścinanie

Maksymalny rozstaw zbrojenia jest unormowany niezależnie od wymogu minimalnego pola przekroju zestawu zbrojenia $(\ref{3})$ i wynosi (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.6N)):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,75 d(1+ctg \alpha) \label{5} \end{equation}$$
W przypadku prętów odgiętych ich maksymalny rozstaw podłużny powinien wynosić (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.7N)):
$$\begin{equation} s_{l,max}= 0,6 d(1+ctg \alpha) \label{6} \end{equation}$$
Normuje się również maksymalny rozstaw ramion strzemion (pionowy) (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (9.8N)):
$$\begin{equation} s_{t,max} =0,75 \cdot d  \le 600 \, mm  \label{7} \end{equation}$$
Z wymagań dotyczących minimalnego zbrojenia poprzecznego wynika, że podłużny rozstaw zestawów powinien spełniać warunek:
$$\begin{equation} s \le 12,5 \cdot \cfrac{A_{sw}\cdot f_y}{b_w sin \alpha \cdot \sqrt{f_{ck}}} \label{8} \end{equation}$$
Warunek $(\ref{4})$ powinien być spełniony na całej długości elementu. Dla najczęściej stosowanego żelbetu C30/37-B500 i strzemion pionowych mamy stąd
$$\begin{equation} s_N \le 1141 \cdot \cfrac{A_{sw}}{b_w } \label{9} \end{equation}$$

Wytrzymałość przekroju nie zbrojonego na ścinanie

Nośność na ścinanie elementu betonowego $V_{Rd}$ ogólnie o zbieżnym przekroju oblicza się jako sumę (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.1)):
$$\begin{equation} V_{Rd} = V_{Rd,c} +V_{ccd}+V_{td} \label{10} \end{equation}$$
gdzie (rys. S-1) :
$V_{Rd,c}$ – nośność elementu bez zbrojenia na ścinanie (ale ze zbrojeniem podłużnym na zginanie),
$V_{ccd}$ –  obliczeniowa składowa siła  w w nachylonym pasie ściskanym (górnym),
$V_{td}$ – obliczeniowa siła w nachylonym zbrojeniu rozciąganym (dolnym)

Rys.S-1. Składowe siły poprzecznej w przekroju zbieżnym

(PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, rys.6.2)

Wytrzymałość  przekroju nie zbrojonego na ścinanie  $v_{Rd,c}$ można wyznaczyć  z zależności
$$\begin{equation} v_{Rd,c}=\max{ \left \{ C_{Rd,c} \cdot k  \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3}  \, ; \, \nu_{min} \right \} }+ k_1 \cdot \sigma_{cp} \label{11} \end{equation}$$
gdzie obliczeniowy współczynnik korelacji pomiędzy wytrzymałością na ścinanie i  ściskanie wynosi
$C_{Rd,c}=C_{Rk,c}/\gamma_c = 0,18/1,4=0,129$
We wzorze ($\ref{11}$) występują ponadto współczynniki:
$k=1+\sqrt{200/d} \le 2,0$, gdzie d- wysokość użyteczna przekroju w mm,
$\nu_{min}= 0,035 \cdot k^{3/2} \cdot {f_{ck}}^{1/2}$,
$k_1=0,15 \cdot \nu_{min}$,
$\sigma_{cp}=\dfrac{N_{Ed}}{A_c} \le 0,2 f_{cd}$ ($A_c$ – pole przekroju betonu)
gdzie bierze wartość siły $N_{Ed}$ bez znaku.

Stopień zbrojenia na zginanie (i ew. rozciąganie) $\rho_l=\dfrac{A_{sl}}{b_w d}\le 0,02$,  wyznacza się z pola przekroju zbrojenia rozciąganego $A_{sl}$ , które sięga na odległość nie mniejszą niż  $l_{bd}+d$ poza rozważany przekrój, gdzie $l_{bd}$ jest wymagana długością zakotwienia rozciąganego pręta zbrojeniowego. Warunek uwzględnienia zbrojenia podłużnego do stopnia zbrojenia jest klasyczny jak dla zbrojenia na zginanie i został zilustrowany na rys. S-2 na przykładzie belki lub płyty zginanej.

Rys. S-2. Określenie pola przekroju zbrojenia As do wyznaczenia stopnia zbrojenia przekroju na zginanie. lbd – wymagana długość zakotwienia pręta

(PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, rys 6.3)

W przypadku różnych stopni zbrojenia w dwóch prostopadłych kierunkach wyznacza się średnią geometryczną

$$\begin{equation}\rho_l=\sqrt{\rho_{ly}\cdot \rho_{lz}} \label {12} \end{equation}$$

W tab.S-1 zestawiono wytrzymałości betonu na ścinanie $v_{Rdc}$ $(\ref{11})$ dla najczęściej stosowanego betonu C30/37 .

Tab.S-1 Wytrzymałość na ścinanie  $v_{Rd,c}$ [MPa]  $(\ref{11})$ betonu C30/37


W przypadku belek wykonanych z innych betonów wytrzymałość odczytaną z tab.S-1 należy przemnożyć przez współczynnik korekcyjny $k_v$ z tab. S-2

Tab. S-2 Współczynnik korekcyjny dla wytrzymałości betonu na ścinanie wg tab.S-1

Strefy zbrojenia na ścinanie

Przekroje belki, ścinane siłami poprzecznymi $V_{Ed}$ , takimi że
$$\begin{equation}V_{Ed} > V_{Rd,c} \label {13} \end{equation}$$

powinny być zbrojone wkładkami stalowymi.  Odpowiadający temu odcinek belki na rys. S-3  wyróżniono symbolami I_II i podzielono na trzy strefy: A,B,C. Zbrojenie na ścinanie rozpoczyna się od wytrzymałości przekroju nie zbrojonego na maksymalną siłę poprzeczną w licu podpory (lub konserwatywnie  siłę teoretyczną nad podporą $V_{Ed,c}$.

Jeśli warunek $(\ref{9})$ nie jest spełniony to należy zastosować zbrojenie, które najpierw wyznacza się dla odcinka   A o długości $z\cdot ctg \Theta$ na siłę $V_{Ed}=V_{Ed,s}$, czyli minimalnej na odcinku o długości d od lica podpory. Często na tym poprzestaje się i wyznaczone zbrojenie rozkłada na całym odcinku I-II. Jeśli ten odcinek jest długi, to w celu zoptymalizowania ilości stali zbrojenie zmienia się w taki sposób, że na odcinku C o długości $z\cdot ctg \Theta$ wyznacza się zbrojenie na minimalną siłę na tym odcinku ( czyli dla minimalnego zbrojenie na ścinanie), a na pozostałym odcinku B zbrojenie wyznacza się na minimalną siłę na tym odcinku (na rys. $V_{Ed}$).

Rys. S-3. Strefy A,B,C zbrojenia na ścinanie

(opracowano z wykorzystaniem fragmentów rysunku (Knauff, Golubińska, Knyziak, 2015, rys 14.11))

Ścinanie poprzeczne (pionowe) belek

W normie  (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010)  wprowadzono  metodę wyznaczania nośności przekroju na zginanie z uwzględnieniem działania krzyżulca betonowego nachylonego pod kątem $\Theta$.  Kąt nachylenia krzyżulca betonowego  zmienia się w zależności od siły ścinającej stosowane w sposób pokazany na rys.S-4.

Rys.S-4. Ściskany krzyżulec betonowy tworzony podczas ścinania belki

(Bond, Brooker, Harris, Harrison, Moss, Narayanan, 2006, fig 4)

Maksymalna wytrzymałość betonu na ścinanie  $v_{Rd,max}$ na podstawie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.14)) wynosi
$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1  \cdot f_{cd} \cdot \cfrac { ctg \Theta + ctg \alpha } {1+ctg^2 \Theta} \label {14} \end{equation}$$
$v_{Rd,max}$ dla pionowego zbrojenia ($\alpha=90^o$) , wynosi
$$\begin{equation} v_{Rd,max} =  \alpha_{cw} \cdot \nu_1 \cdot f_{cd} \cdot \cfrac{1}{ ctg\Theta+tg\Theta} \label{15} \end{equation}$$
Graniczne wartości kąta nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta$  (rys.S-4) zawierają się w przedziale :
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta \le 2,5 \label{16} \end{equation}$$
czyli  $21,8^o \le \Theta \le 45|^o$.
Maksymalne  wytrzymałości betonu belki na ścinanie zestawiono w tab.10.

Najkorzystniejsze jest nachylenie krzyżulca betonowego pod kątem $45^o$w  ($ctg \Theta=1$,) a dla $ctg \Theta=2,5$ nachylenie jest najmniej korzystne.  Ze względów technologicznych strzemiona najczęściej daje się jednak  pionowe,

Tab.S-3 Maksymalna nośność betonu na ścinanie $v_{Rd,max}$  [MPa] $( \ref{11})$ przy zastosowaniu pionowego zbrojenia na ścinanie
w zależności od kąta nachylenia krzyżulca betonowego (dla $\gamma_c=1,4$) 

Wytrzymałość zbrojenia na ścinanie $v_{Rd,s}$ na podstawie (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.13)) wynosi

$$\begin{equation} v_{Rd,s} =  \cfrac {A_{sw}} {s \cdot b_w} \cdot  f_{ywd} \cdot \sin\alpha  \label{17} \end{equation}$$

Wytrzymałość  przekroju zbrojonego na ścinanie jest mniejszą z powyższych wartości

$$\begin{equation} v_{Rd} = \min { \left \{ v_{Rd,s} \, ; \,  v_{Rd,max} \,\right  \} }  \label{18} \end{equation}$$

W wyrażeniach powyżej występują:
$\alpha$ – kąt nachylenia zbrojenia na ścinanie (krzyżulców lub prętów ukośnych) do osi belki- dodatni przy pochyleniu zbrojenia w lewo (lewoskrętny),
$\Theta$ – kąt nachylenia do osi belki ściskanego krzyżulca betonowego równoważącego się w zbrojeniu na ścinanie , czyli pochylonego w prawo,
$z$ – ramię sił podłużnych: ściskających $F_{cd}$ oraz rozciągających $F_{td}$ , które zwykle w przekrojach bez działania siły osiowej, przyjmuje się $z=0,9d$.
$b_w$ – szerokość strefy rozciąganej belki. Dla przekrojów teowych jest grubością środnika, a belce o przekroju prostokątnym $b_w=b$,
$A_{sw}$ pole przekroju zbrojenia na ścinanie.,
$f_{ywd}= f_{yd}$ – obliczeniowa wytrzymałość ścinanego zbrojenia  na rozciąganie (obliczeniowa granica plastyczności stali)
$\alpha_{cw}=1,0$ – współczynnik  naprężeń dla pola ściskanego
Współczynnik redukcji naprężeń w betonie zarysowanym przy ścinaniu (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.6N)):
$$\begin{equation}  \nu_1= \nu= 0,6 \cdot (1-\cfrac {f_{ck}} {250} )  \label{19} \end{equation}$$
Na rys. S-5 zilustrowano powyżej zdefiniowane pojęcia.

Rys. S-5. Model kratownicowy ścinania belki żelbetowej

W przypadku, gdy wymagane jest zbrojenie na ścinanie,  kąt nachylenia krzyżulca betonowego, zawiera się w przedziale granicznym $(\ref{12})$.  W sytuacji zastosowania pionowego zbrojenia wyznaczymy go z $(\ref {11})$ w stanie granicznym, to znaczy dla $v_{Rd,max}= v_{Ed}$.  Po zastosowaniu tożsamości trygonometrycznych: $(ctg \Theta + tg \Theta=1/ (sin \Theta\cdot cos \Theta)= 2/ sin(2 \Theta)$, uzyskamy wyrażenie
$v_{Ed} =  \nu_1 \cdot f_{cd} \cdot 0,5 \cdot sin (2 \Theta)$, czyli
$$\begin{equation} \Theta= 0,5 \cdot arcsin \left ( \cfrac{2 \cdot v_{Ed}}{ \nu_1 \cdot f_{cd}} \right) \label{20} \end{equation}$$
Dla znanego kąta nachylenia krzyżulca betonowego potrzebny przekrój zbrojenia poprzecznego $A_{sw}$ rozmieszczony na długości $s$ (rozstawie zestawów) wynosi
$$\begin{equation} \cfrac{A_{sw}}{s}= \cfrac{v_{Ed}\cdot b_w}{f_{ywd} \cdot ctg \Theta} \label{21} \end{equation}$$
Procedurę wyznaczania zbrojenia belek na ścinanie można przedstawić w postaci schematu blokowego (rys.S-6).

Rys.S-6. Schemat blokowy projektowania przekroju strzemion pionowych  Asw

( (Bond et al., 2006, fig 2) dostosowane do polskiej normy)

Ścinanie podłużne

Ścinanie podłużne występuje na skutek działania sił rozwarstwiających płytę od żebra. Na rys. S-7 przedstawiono wycinek $\Delta x$ płyty z żebrem. Na końcu A-A siły ściskające płytę (od zginania) wynoszą $F_d$, a na końcu przeciwnym $F_d + \Delta F_d$. Różnica tych sił wywołuje siły rozwarstwiające, które ścinają przekrój podłużny płyty i zbrojenie $A_{sf}$.

Rys. S-7 Ścinanie podłużne przekroju teowego

(Bond et al., 2006, fig 13)

Badania wykazują, że kąt nachylenia krzyżulca betonowego $\Theta_f$ zależy od tego, czy półka (płyta) jest ściskana , czy rozciągana.
Jeżeli półka jest ściskana, to przyjmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 2,0 \label{22} \end{equation}$$
Jeżeli półka jest rozciagana , to przujmuje się
$$\begin{equation}1,0 \le ctg \Theta_f \le 1,25 \label{23} \end{equation}$$
Mechanizm zmiażdżenia ściskanych krzyżulców betonowych w półce prowadzi do warunku granicznego (PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E, 2010, wzór (6.22))
$$\begin{equation} v_{Ed} \le \nu \cdot f_{cd} \cdot sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f \label{24} \end{equation}$$
przy czym zachodzi tożsamość trygonometryczna: $(sin \Theta_f \cdot cos \Theta_f) = \cfrac {ctg \Theta_f}{1+ ctg^2 \Theta_f}$.
Zbrojenie poprzeczne na jednostkę długości wyznacza sie z zależności
$$\begin{equation} \cfrac{A_{sf}}{s_f} > \cfrac{v_{Ed} \cdot h_f}{f_{yd} \cdot ctg \Theta_f} \label{25} \end{equation}$$
Wyznaczenie zbrojenia $A_{sf}$ przeprowadza się według schematu, który pokazano na rys. S-8.

Rys. S-8 Schemat blokowy do wyznaczania zbrojenia Asf na siły rozwarstwiające

((Bond et al., 2006, fig 14) dostosowane do polskiej normy)

Przykłady numeryczne projektowania zbrojenia na ścinanie podłużne podano w artykule dotyczącym płyt żelbetowych.

Ścinanie przez przebicie

Ścinanie przez przebicie przedstawiono w artykule Przebicie płyty żelbetowej.

Przykłady

Małe ścinanie

(Bond et al., 2006, Lecture3/24)
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.S-5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=705 kN.
Belka o przekroju hxb=1000×450 wykonana z betonu C30/37- B500: ($f_{ck}=500\, MPa,$  $f_{yd} =500/1,15=435 \, MPa$.
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=66 mm, wysokość efektywna przekroju $d=1000-66=934 \, mm$

Naprężenia ścinające
$(\ref {1})$$\to $ $v_{Ed} = \cfrac{V_{Ed}} {b_w \cdot 0,9 \cdot d}= \cfrac{705}{450 \cdot 0,9 \cdot 934} \cdot 10^3= 1,68 \, MPa$
Z tab S-3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,5)= 3,901 \, MPa$,
$v_{Rd, max} = 3,901 \, > \, 1,68 \, MPa \to ctg \Theta=2,5$.

Przekrój zbrojenia poprzecznego
$(\ref{21}) \to $ $A_{sw}/s=\cdot {1,68 \cdot 450}{435 \cdot 2,5}=0,70 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 4-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{\pi\cdot 10^2}{4}= 314 \, mm^2$

Rozstaw strzemion $s \, < 314/0,70=448 \, mm \to$ przyjęto $s=440 \, mm$
Wymagany maksymalny rozstaw zbrojenia poprzecznego
$(\ref {7}) \to $ $ s_{l,max}= 0,75\cdot 934= 700 \, > 440 \, mm$
$(\ref{8}) \to $ $ s_{l,max}=12,5 \cdot \cfrac{314\cdot 500}{450 \cdot \sqrt{30}}=796 \, > 440 \, mm$

Większe ścinanie

(Bond et al., 2006, Lecture3/26)
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.S-5
Wyznaczyć zbrojenie poprzeczne dla belki ścinanej siłą poprzeczną $V_{Ed}$=312,5 kN,  przekroju hxb=550×140 , wykonanej z C30/37-B500
Otulenie osiowe zbrojenia dolnego a=50 mm, wysokość efektywna przekroju $d=550-50=500 \, mm$
$(\ref{1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{312,5}{140 \cdot 0,9 \cdot 500} \cdot 10^3= 4,96 \, MPa$
Z tab.S-3 odczytujemy dla betonu C30/37:
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=2,5)= 3,90 \, MPa$;
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 5,66 \, MPa$ ,
$\nu_1=0,528 $,
$f_{cd}=21,3 \, MPa$

Zachodzi  $ 3,90 \, < \, v_{Ed}=4,96 \, < \, 5,66 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.
Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref{20}) \to$ $ \Theta= 0,5 \cdot  arcsin (2\cdot 4,96 / (0,528 \cdot 21,4 )=0,5358 \,rad=30,7^o \to ctg \Theta= 1,684 $

Wymagane zbrojenie poprzeczne
$(\ref{21}) \to $ $A_{sw}/s=\cfrac {4,96 \cdot 140} {500 \cdot 1,684}= 0,765 \, mm^2/mm$
Przyjęto strzemiona  Ø 10, 2-cięte:  $A_{sw} = 4 \cdot \cfrac{\pi\cdot 10^2}{4}= 157 \, mm^2$
Rozstaw strzemion $s \, < 157/0,765=205 \, mm \to$ przyjęto $s=200  \, < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$
Strzemiona w tym rozstawie należy ułożyć  od lica podpory  na długości  $l_w= z \cdot ctg \Theta= 0,9 \cdot 500 \cdot 1,684= 758 \,mm$,
Przyjęto $l_w= 4 \cdot 200= 800 \, mm$.
Na pozostałej części belki strzemiona można rozstawić w odległości  l < 0,75 \cdot 500=375 \, mm$.

Strzemiona i pręty odgięte

(Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6)
Swobodnie podparta belka teowa o rozpiętości l_{ef}=3×1,2=6 m, o przekroju 300x 450 (d) jest obciążona obliczeniowymi siłami skupionymi P=550 kN (rys. S-9), wykonana z  C25/30- B500 $ (f_y= 500/1,15=435 \, MPa$)

Rys. S-9 Ilustracja do przykładu 3.3.

(Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6)

Siła poprzeczna na podporze $V_{Ed}=550 \, kN$
Rozważono dwa warianty zbrojenia poprzecznego:
a) tylko strzemiona pionowe,
b) hybrydowe złożone ze strzemion pionowych i prętów odgiętych
W przypadku zastosowania zbrojenia hybrydowego nośność prętów odgiętych i nośność strzemion sumuje się, ale strzemiona muszą zapewnić przynajmniej 50% wymaganej nośności.
W wariancie a):
Korzystamy z algorytmu przedstawionego na rys.S-5
$(\ref {1}) \to $ $v_{Ed} = \cfrac{550}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 4,53 \, MPa$
Z tab.S-3 odczytujemy dla betonu C25/30:
$f_{cd}=17,9 \, MPa$,
$\nu_1=0,540$,
$v_{Rd,max}(ctg \Theta=2,5)= 3,33 \, MPa$,
$v_{Rd,max} (ctg \Theta=1,0)= 4,82 \, MPa$

Zachodzi  $ 3,33  \, < \, v_{Ed}=4,53 \, < \, 4,82 \, MPa \to $ należy wyznaczyć $\Theta$.

Kąt nachylenia krzyżulca betonowego
$(\ref {20}) \to $ $ \Theta= 0,5 \cdot arcsin (2\cdot 4,53/(0,540\cdot 17,9 )=0,6074 \, rad= 34,8^o \to ctg \Theta= 1,438 $
W pracy (Knauff, Golubińska, Kryziak, 2014, Prz.16.6) inną metodą uzyskano $ctg \Theta= 1,432 $

Przyjęto strzemiona  Ø 8 czterocięte $A_{sw}=4 \cdot \cfrac{4 \pi[8^2i}{4}=201 \, mm^2$

Wymagany rozstaw dla znanego pola przekroju otrzymamy po przekształceniu zależności ($\ref{17}$) w postaci

$$\begin{equation} s \le  \cfrac {A_{sw} \cdot f_{yd}} {v_{Ed} \cdot b_w} \cdot ctg \Theta \label {26}\end{equation}$$

czyli $ s \le  \cfrac {201 \cdot 435} {4,53 \cdot 300} \cdot 1,438= 93 \, mm $

Ponieważ wymagany rozstaw strzemion jest zbyt mały, więc podjęto decyzję o zastosowaniu zbrojenia hybrydowego , również prętami odgiętymi (wariant b).
W celu zwiększenia rozstawu między strzemionami, przedział przypodporowy dodatkowo zbrojono prętami odgiętymi. Nośność przekroju jest sumą nośności prętów odgiętych oraz strzemion.

Ze względów konstrukcyjnych zastosowano cztery pręty odgięte Ø 20  pod kątem $\alpha=45^o$
$A_{sw}= 4 \cdot \cfrac{\pi \cdot 2^2}{4}=12,57 \, cm^2$

$(\ref {17})$ $\to $ nośność prętów odgiętych  $ v_{Rd,s} =  \cfrac {12,57}1} \cdot  435 \cdot \sin 45^o \cdot 10^{-1} =386,6 \, kN$

Do przeniesienia przez strzemiona pozostaje  $ V_{Ed} = 550-386,6=163,4 \, kN <  0,5 \cdot 550  =275 \, kN \to V_{Ed}=275 \, kN$
Dla takiej siły naprężenia styczne wynoszą:  $v_{Ed} = \cfrac{275}{300 \cdot 0,9 \cdot  450} \cdot 10^3= 2,26 \, MPa \, < \, 3,33 \, MPa$ $\to ctg \Theta= 2,5$

Wymagany rozstaw $ s \le  \cfrac {201\cdot 435}  {2,26 \cdot 300} \cdot 2,5= 322 \, mm $

Literatura

Bond, A. J., Brooker, O., Harris, A. J., Harrison, C., Moss, R. M., & Narayanan, R. S. (2006). How to Design Concrete Structures using Eurocode 2 (A cement and concrete industry publication). Camberley: The Concrete Centre.
Knauff, M., Golubińska, A., & Knyziak, P. (2015). Przykłady obliczania konstrukcji żelbetowych. Budynek ze stropami płytowo-żebrowymi. Zeszyt 1. PWN.
Knauff, M., Golubińska, A., & Kryziak, P. (2014). Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z  przykładami obliczeń (drugie). Warszawa: PWN.
PN-EN 1995-1-1+A2+NA+07E. Eurokod 5 -- Projektowanie konstrukcji drewnianych - Część 1-1: Postanowienia ogólne - Reguły ogólne i reguły dotyczące budynków (2010). UE: PKN.

Related Hasła

Comments : 0
O autorze
* dr inż. Leszek Chodor. Architekt i Inżynier Konstruktor; Rzeczoznawca budowlany. Autor wielu projektów budowli, w tym nagrodzonych w konkursach krajowych i zagranicznych, a między innymi: projektu wykonawczego konstrukcji budynku głównego Centrum "Manufaktura" w Łodzi, projektu budowlanego konstrukcji budynku PSE w Konstancinie Bielawa, projektów konstrukcji "Cersanit" ( Starachowice, Wałbrzych, Nowograd Wołyński-Ukraina), projektu konstrukcji hali widowiskowo-sportowej Arena Szczecin Autor kilkudziesięciu prac naukowych z zakresu teorii konstrukcji budowlanych, architektury oraz platformy BIM w projektowaniu.
Translate »